ZellmembraneZellmembraneNatalie Emken
Seminar DGL in der Biomedizin, SS 0927. Mai 2009
GliederungGliederung1. Die Zellmembran2. Diffusion3. Erleichterte Diffusion4. Carrier-vermittelter Transport5. Aktiver Transport6. Das Membranpotential7. Osmose8. Kontrolle des Zellvolumens9. Quellenangaben
1. Die Zellmembran1. Die Zellmembran
Die Zellmembran umgibt die lebende Zelle und begrenzt deren inneren Vorgänge von der äußeren Umgebung
Die Austauschvorgänge zw. der Zelle und ihrer Umgebung spielen sich an der äußeren Zellhülle, der Zellmembran ab
Die Zellmembran ist selektiv permeabel: Selektiv werden verschiedene Stoffe durchgelassen oder aufgehalten
Sie ist dadurch zugleich Trennwand und Träger vieler Stoffwechselprodukte
1. Die Zellmembran1. Die Zellmembran 1.1 Aufbau1.1 Aufbau
Abb. 1: Schematische Darstellung einer Zellmembran (Quelle: http://www.was-ist-q10.de/images/aerzte_10_01.GIF)
1. Die Zellmembran1. Die Zellmembran 1.2 Aufgaben der Membranproteine1.2 Aufgaben der Membranproteine
Die Plasmamembran und die Membran verschiedener Organellen verfügen jeweils über eine charakteristische Proteinausstattung
Sie wirken als Träger- und Transportmoleküle Sie durchbrechen die wasserunlösliche Lipidschicht und
schaffen dadurch Poren und Kanäle Sie beteiligen sich am Stoffwechsel der Zelle Sie tragen zur Festigkeit der Membran bei
1. Die Zellmembran1. Die Zellmembran 1.3 Transportmechanismen1.3 Transportmechanismen
Vernachlässigt man zunächst die Frage der Energieabhängigkeit, so lassen sich konzeptionell drei Transporttypen unterscheiden Uniport Antiport Symport
Man unterscheidet dabei jedoch zwischen aktiven und passiven Transportprozessen
1. Die Zellmembran1. Die Zellmembran 1.3 Transportmechanismen1.3 Transportmechanismen
Passive Transportmechanismen sind: Einfache Diffusion Erleichterte Diffusion Carrier-vermittelter Transport Osmose
Aktive Transportmechanismen sind: Ionenpumpen, bei denen unter Hydrolyse von ATP zu ADP
bestimmte Ionen entgegen ihren jeweiligen Konzentrationsgradienten transportiert werden
Z.B. die Natrium-Kalium-ATPase und die Calcium-ATPase
Sei u die Menge eines chemischen Stoffes, Ω sei ein Teil des Raumes. Dann gilt:
∂Ω ist der Rand von Ω n ist die reguläre äußere Einheit zu ∂Ω f ist die lokale Produktion von u pro m³ J ist der Fluss von u
Falls J ausreichend glatt ist, gilt
Falls die Größe in der u gemessen ist, fest aber beliebig ist, gilt der folgende Erhaltungssatz
2. Diffusion2. Diffusion
dAdVfdVudtd
nJ
dVdA J nJ
J
ftu
Die einfachste Beschreibung für den Fluss chemischer Stoffe ist
(Ficksches Gesetz) Wenn das Ficksche Gesetz gilt wird der Erhaltungssatz
zur Reaktions-Diffusionsgleichung
Falls D konstant ist, so folgt weiter
uDJ
2. Diffusion2. Diffusion 2.1 Ficksches Gesetz2.1 Ficksches Gesetz
fuDtu
fu²Dtu
2. Diffusion2. Diffusion 2.2 Diffusionskoeffizienten2.2 Diffusionskoeffizienten
Für große kugelförmige gelöste Moleküle gilt k ist die Boltzmann-Konstante T ist die absolute Temperatur der Lösung µ ist die Viskosität der Lösung a ist der Radius des gelösten Moleküls
Für nichtkugelförmige Moleküle gilt f ist der Funktionalkoeffizient von Stokes der Teilchen
Mit der Molekularmasse und Molekulardichte
akT
D6
fkT
D
³aM3
4
31
63
/
M²kT
D
2. Diffusion2. Diffusion 2.3 Diffusion durch eine Membran2.3 Diffusion durch eine Membran
Annahme: Die Membran (mit Dicke L) grenzt zwei große Bereiche einer verdünnten Chemikalie ab cl= Konzentration im linken Bereich (bei x=0) cr= Konzentration im rechten Bereich (bei x=L)
Entsprechend zur Diffusionsgleichung gilt
in Abhängigkeit von den Randbedingungen c(0,t)= cl , c(L,t)= cr
²xc²
Dtc
2. Diffusion2. Diffusion 2.3 Diffusion durch eine Membran2.3 Diffusion durch eine Membran
Im stabilen Zustand, ,
folgt dass
J ist konstant oder Wir erhalten also
Der Fluss von Chemikalien ist konstant
0
tc
0
²xc²
DxJ
bax)x(c
llr cLx
cc)x(c
rl cc
LD
J
3. Erleichterte Diffusion3. Erleichterte Diffusion
Bei der erleichterten Diffusion spielen die zwei Faktoren Diffusion und Reaktion eine Rolle
Sie ereignet sich, wenn der Fluss einer Chemikalie durch eine Reaktion, die im diffusen Medium stattfindet, verstärkt wird
Beispiel: Fluss von Sauerstoff in Muskelfasern (der Sauerstoff ist an Myoglobin gebunden und wird als Oxymyoglobin transportiert)
3. Erleichterte Diffusion3. Erleichterte Diffusion 3.1 Erleichterte Diffusion von Sauerstoff3.1 Erleichterte Diffusion von Sauerstoff
22 MbO Mb O c,e,s
(3)
(2)
(1)
f²xc²
Dtc
f²xe²
Dte
f²xs²
Dts
c
e
s
sekckf
k+
k-
Annahme: Wir haben einen „Slab reactor“, welcher diffundierendes Myoglobin enthält
Die Sauerstoffkonzentration links (bei x=0) wird bei s0 und rechts (bei x=L) bei sL gehalten (s0>sL)
Falls f die Aufnahmerate von Sauerstoff in Oxymyoglobin beschreibt, dann gelten
folgt aus der Reaktionsgleichung
O2 + Mb MbO2,
3. Erleichterte Diffusion3. Erleichterte Diffusion 3.1 Erleichterte Diffusion von Sauerstoff3.1 Erleichterte Diffusion von Sauerstoff
Es ist sinnvoll De=Dc zu setzen, da Myoglobin und Oxymyoglobin nahezu identisch in Molekularmasse und –struktur sind
Es ist außerdem sinnvoll die Randbedingungen zu spezifizieren, da das Myoglobin und das Oxymyoglobin in dem „Slab“ bleiben
Die totale Menge des Myoglobin bleibt außerdem bei der Reaktion am stationären Zustand erhalten (e+c=e0), so dass (2) überflüssig ist und
Lxxxc
xe
und bei 00
xxcxx cDsDcs stt 0
3. Erleichterte Diffusion3. Erleichterte Diffusion 3.1 Erleichterte Diffusion von Sauerstoff3.1 Erleichterte Diffusion von Sauerstoff
Integration von bzgl. x liefert
J ist die Summe aus dem Fluss des freien Sauerstoff und dem des gebundenen und bildet damit den Fluss des totalen Sauerstoffs
Durch erneute Integration bzgl. x=0 und x=L können wir J bzgl. der Grenzwerte beider Konzentrationen ausdrücken
Jdxdc
Ddxds
D cs
)cc(L
D)ss(
LD
J Lc
Ls 00
xxcxx cDsDcs stt 0
3. Erleichterte Diffusion3. Erleichterte Diffusion 3.1 Erleichterte Diffusion von Sauerstoff3.1 Erleichterte Diffusion von Sauerstoff
Durch die dimensionslosen Variablen
erhalten wir aus (1) und (3) die Gleichung
Mit diesen Zahlen können wir e1 und e2 abschätzen, welche sehr klein sind und darauf hinweisen, dass für Sauerstoff und Myoglobin im gesamten Medium gilt
Lyxec
u,skk
und 0
²LkD
e²Lke
De
euue
cs
yyyy
20
1
21 1
und wobei
,
kk
KsK
sec mit 0
3. Erleichterte Diffusion3. Erleichterte Diffusion 3.1 Erleichterte Diffusion von Sauerstoff3.1 Erleichterte Diffusion von Sauerstoff
Durch Substitution in die Gleichung für den gesamten Fluss J erhalten wir nun
Bei Anwesenheit von Trägerstoffen ist die Diffusion durch den Faktor verstärkt
KsKs²K
Ke
DD
,ssL
D
KsKsKe
DDc
ssL
D
sKs
sKs
eL
Dss
LD
J
Lo
o
s
c
Ls
LosLo
s
L
L
o
ocLo
s
und wobei
0
0
0
1
1
3. Erleichterte Diffusion3. Erleichterte Diffusion 3.2 Erleichterte Diffusion bei der Muskelatmung3.2 Erleichterte Diffusion bei der Muskelatmung
Um ein Membranpotential aufrecht zu erhalten, wird ATP konstant verbraucht
Dieser Verbrauch von Energie erfordert die konstante Umwandlung von Zucker
Dabei verbrauchen die Muskelfasern Sauerstoff Zucker kann zwar auch anaerob umgewandelt werden,
jedoch wirkt das dadurch entstehende Abfallprodukt (Milchsäure) toxisch
Aus diesem Grund muss der Sauerstoff vom Äußeren der Zelle zum Zentrum der Zelle vordringen, um Sauerstoffschuld zu verhindern
3. Erleichterte Diffusion3. Erleichterte Diffusion 3.2 Erleichterte Diffusion bei der Muskelatmung3.2 Erleichterte Diffusion bei der Muskelatmung
Um zu erklären wie das Myoglobin die Versorgung einer Muskelzelle mit Sauerstoff fördert und dabei hilft Sauerstoffschuld zu verhindern, untersuchen wir ein Modell des Sauerstoffverbrauch
Es berücksichtigt den Effekt der Sauerstoffdiffusion und der Myoglobindiffusion
Annahmen: Eine Muskelfaser ist ein langer kreisförmiger Zylinder (mit Radius
a=2,5x10-³cm) Diffusion findet nur in radialer Richtung statt Die Sauerstoffkonzentration am Rand ist fest und konstant Die Verteilung chem. Stoffe verläuft polysymmetrisch
3. Erleichterte Diffusion3. Erleichterte Diffusion 3.2 Erleichterte Diffusion bei der Muskelatmung3.2 Erleichterte Diffusion bei der Muskelatmung
Mit diesen Annahmen sind die stationären Zustandsgleichungen, die die Diffusion von Sauerstoff und Oxymyoglobin beschreiben, gegeben durch
Der neue Ausdruck g beschreibt den konstanten Sauerstoffverbrauch und die Randbedingungen sind
01
gf
drds
rdrd
rDs
01
f
drdc
rdrd
rDc
00 rdrdc
drds
ardrdc
,ss a bei 0 und bei
3. Erleichterte Diffusion3. Erleichterte Diffusion 3.2 Erleichterte Diffusion bei der Muskelatmung3.2 Erleichterte Diffusion bei der Muskelatmung
Durch dimensionslose Variablen, erhalten wir
Hieraus folgt außerdem, dass
kg
²akD
e²ake
De
dydu
ydyd
yeuu
dyd
ydyd
ye
cs
und
, mit 20
1
21
11
1
ayrec
uskk
und ,0
dydu
ydyd
ye
dyd
ydyd
ye
1121
3. Erleichterte Diffusion3. Erleichterte Diffusion 3.2 Erleichterte Diffusion bei der Muskelatmung3.2 Erleichterte Diffusion bei der Muskelatmung
Durch zweimalige Integration bzgl. y erhalten wir
Hierbei sind A und B durch die Randbedingungen bestimmt
Geringe Sauerstoffschuld tritt ein, falls σ=u=0 bei y=0 Für diese Grenzwerte setzen wir A=B=0 Die Konzentration am Rand muss dann mindestens so
groß wie σ0 sein, wobei wir den quasi Steady-state benutzt haben
²yBylnAuee421
1
2
10
00 41 e
ee
mit ,
1
111
uuu
3. Erleichterte Diffusion3. Erleichterte Diffusion 3.2 Erleichterte Diffusion bei der Muskelatmung3.2 Erleichterte Diffusion bei der Muskelatmung
Abb. 2: Funktion der Kritischen Sauerstoffkonzentration, abhängig von dem Sauerstoffverbrauch (Quelle: KEENER J. & J. SNEYD (2001): Mathematical Physiology, S.44)
4. Carrier-vermittelter Transport4. Carrier-vermittelter Transport
Manche Substanzen sind in der Zellmembran unlöslich, durchströmen sie aber dennoch Carrier-vermittelter Transport
Carrier sind auf ganz bestimmte Moleküle spezialisiert (ähnlich wie Enzyme), für die sie eine Bindungsstelle besitzen
Jeder zu transportierende Stoff ist auf sein entsprechendes Carrier-Protein angewiesen
Es gibt 3 Typen von Trägervermittelten Transport Uniport Symport Antiport
4. Carrier-vermittelter Transport4. Carrier-vermittelter Transport 4.1 Glucosetransport4.1 Glucosetransport
Tritt auf, wenn die Bindungsstellen des Trägermoleküls abwechselnd von der extrazellulären Seite und der intrazellulären Seite der Membran zugänglich sind
Bei diesem Prozess handelt es sich um einen Uniport
Abb. 3: Glucosetransport in der Zellmembran (Quelle: http://www.biochem.arizona.edu/classes/bioc462/462a/NOTES/LIPIDS/Fig12_27ModelGluT1transpt.GIF (abgerufen am. 10.05.2009))
4. Carrier-vermittelter Transport4. Carrier-vermittelter Transport 4.1 Glucosetransport4.1 Glucosetransport
Wir können den Prozess des Glucosetransport folgendermaßen formulieren:
Annahmen: Die Population des Enzym-Trägerproteins C hat zwei konformative
Stadien Ci und Ce
Das Glukose-Substrat Si an dem Inneren kann mit dem Enzym Ci gebunden sein, um den Komplex Pi zu formen
Das Glukose-Substrat Se an dem Äußeren kann mit dem Enzym Ci gebunden sein, um den Komplex Pe zu formen
Si + Ci Pi Pe Se + Ce
Ci Ce
k
k kkk k
k
k
4. Carrier-vermittelter Transport4. Carrier-vermittelter Transport 4.1 Glucosetransport4.1 Glucosetransport
Die DGL sind gegeben durch
(4.6)
(4.5)
(4.4)
(4.3)
(4.2)
(4.1)
eeeeie
iiiiei
eeeeie
iiiiei
eeee
iiii
cskpkkckcdt
dc
cskpkkckcdtdc
pkcskkpkpdt
dp
pkcskkpkpdtdp
Jcskpkdtds
Jcskpkdtds
4. Carrier-vermittelter Transport4. Carrier-vermittelter Transport 4.1 Glucosetransport4.1 Glucosetransport
Zwei Degenerationen: Der totale Betrag vom Rezeptor bleibt erhalten und daher
gilt Der totale Betrag von Glucose bleibt erhalten und daher
gilt
Zusammen mit den Gleichungen (4.1-4.6) am stationären Zustand bilden sie ein lineares System für die fünf Unbekannten
0cccpp eiei
.constppss eiei
Jc,c,p,p eiei und
4. Carrier-vermittelter Transport4. Carrier-vermittelter Transport 4.1 Glukosetransport4.1 Glukosetransport
Wir können also J berechnen und es gilt
Für den dimensionslosen Fluss gilt dann
kkKkkK
,²KKKsKKs
ssCKkKJ
d
ddedi
ied
und wobei 02
1
KKKs,Ks
,²
j
deeii
ei
ie
und wobei 11
4. Carrier-vermittelter Transport4. Carrier-vermittelter Transport 4.2 Symport und Antiport4.2 Symport und Antiport
Modelle für Symport und Antiport folgen in ähnlicher Weise
Das Trägerprotein besitzt in diesem Fall mehrere Bindungsstellen, welche zum intrazellulärem und extrazellulärem Raum ausgerichtet sein können
Ein Austausch der Konstellation tauscht die Lage aller beteiligten Bindungsstellen vom Inneren zum Äußeren oder anders herum
Ein Beispiel für einen Antiport ist der Natrium-Calcium-Austauscher in Muskeln- und Nervenzellen
Ein Beispiel für einen Symport ist der natriumangetriebene Glukose-Symporter
4. Carrier-vermittelter Transport4. Carrier-vermittelter Transport 4.2 Symport und Antiport4.2 Symport und Antiport
Falls es k Bindungsstellen gibt, die am Austausch beteiligt sind, so gibt es 2k mögliche Kombinationen von gebundenen und ungebundenen Seiten
Schlüsselannahme für das Modell: Es ist nur der vollständig gebundene oder vollständig ungebundene Träger an einem konformativen Austausch beteiligt
Abb. 4: Stadien und mögliche Übergänge eines Transporters mit zwei Substraten S und T und einer Bindungsstelle für jedes (Quelle: KEENER J. & J. SNEYD (2001): Mathe-matical Physiology, S.47)
4. Carrier-vermittelter Transport4. Carrier-vermittelter Transport 4.2 Symport und Antiport4.2 Symport und Antiport
Wir ignorieren im folgenden die Zwischenprodukte, da die Analysis dieses völlig allg. Reaktionsschemas kompliziert ist
Das Reaktionsschema vereinfacht sich dann zu mS + nT + C P
Die Ergebnisse für einen Symport und einen Antiport sind jetzt ähnlich dem des Uniport
k
k
²KKKtsKKtststs
CKkKJdd
ni
med
ne
mi
ne
mi
ni
me
d
02
1
4. Carrier-vermittelter Transport4. Carrier-vermittelter Transport 4.2 Symport und Antiport4.2 Symport und Antiport
Für den Fluss des Symport erhalten wir
wobei der Fluss von s mJ und der Fluss von t nJ ist und
Für den Fluss des Antiport erhalten wir
k/kKk/kKkkkkk dppcc und und
²KKKtsKKtststs
CKkKJdd
ne
med
ni
mi
ni
mi
ne
me
d
02
1
5. Aktiver Transport5. Aktiver Transport
Der oben beschriebene trägervermittelte Transport erfolgt immer unter elektrochemischen Gradienten und ist somit durch Diffusion gekennzeichnet
Viele Prozesse, die gegen Gradienten arbeiten, beanspruchen einen Energieaufwand
Als wichtigstes Beispiel für den aktiven Transport dient die Natrium-Kalium-Pumpe
Sie reguliert das Zellvolumen und hält ein Membranpotential aufrecht
Der Antrieb dieser Pumpe verbraucht allerdings meistens einen Drittel des Energiebedarfs
5. Aktiver Transport5. Aktiver Transport 5.1 Die Natrium-Kalium-Pumpe5.1 Die Natrium-Kalium-Pumpe
Die Natrium-Kalium-ATPase ist ein in der Zellmembran verankertes Transmembranprotein
Das Enzym katalysiert unter Hydrolyse von ATP den Transport von Natrium-Ionen aus der Zelle und den Transport von Kalium-Ionen in die Zelle gegen den Konzentrationsgradienten
Je Molekül ATP werden 3 Natrium-Ionen aus der Zelle und 2 Kalium-Ionen in die Zelle befördert
Die Pumpaktivität dieser Pumpe nutzt Energie bei der Dephosphorylation von ATP in ADP durch das allgemeine Reaktionsschema ATP + 3Nai
+ + 2Ke
+ ADP + Pi + 3Nae+ + 2Ki
+
5. Aktiver Transport5. Aktiver Transport 5.1 Die Natrium-Kalium-Pumpe5.1 Die Natrium-Kalium-Pumpe
Abb. 5: Na+-K+-ATPase (Quelle: http://www.bioc.uzh.ch/bipweb/lexikon/proteine/nakatpase/nakatpase.gif (abgerufen am 16.05.2009))
5. Aktiver Transport5. Aktiver Transport 5.1 Die Natrium-Kalium-Pumpe5.1 Die Natrium-Kalium-Pumpe
Zur Umwandlung in ein mathematisches Modell, ziehen wir ein vereinfachtes Modell in Betracht
Es existiert demnach nur eine einzige Bindungsstelle für Natrium und Kalium Eins-zu-eins Austausch
Wir bezeichnen das Trägermolekül mit C und nehmen folgende Reaktionen anNai
+ + C NaC NaCP Na e+ + CP
ATP ADP
CP + Ke+ KCP P + KC
KC Ki+ + C
5. Aktiver Transport5. Aktiver Transport 5.1 Die Natrium-Kalium-Pumpe5.1 Die Natrium-Kalium-Pumpe
Wir setzen auf diese das Massenwirkungsgesetz an J beschreibt wieder die Rate mit der das Natrium und
Kalium bereit steht bzw. beseitigt wird Der Fluss von Ionen durch die Pumpe im stationären
Zustand ist dann gegeben durch
545343
21215432
5432211211
1122
21210
kkkkkkK
kkkkkkK,kkkK
,kkkK,kkkK,kkkK
,KKKKKK
KKKKCJ
k
ppn
pp
keinie
eiei
P
und
wobeiNaNaKK
PK NaK Na
5. Aktiver Transport5. Aktiver Transport 5.1 Die Natrium-Kalium-Pumpe5.1 Die Natrium-Kalium-Pumpe
Da ATP viel dynamischer ist als ADP, erwarten wir, dass die rückwärts gerichtete Reaktionsrate k-p im Vergleich zur vorwärts gerichteten Reaktionsrate gering ist
Falls wir also die entgegengesetzte Reaktion ignorieren(K-1=0), erhalten wir
Diese Gleichung ist unabhängig von der extrazellulären Natrium-Konzentration
,
KKKKKKKCJ
kinie
ei
122210
NaKKK Na
5. Aktiver Transport5. Aktiver Transport 5.2 Die Calcium-ATPase5.2 Die Calcium-ATPase
Andere wichtige Pumpen sind die Ca2+-ATPase und Transporter, die die intrazelluläre Ca2+-Konzentration gering halten
Inneres freies Calcium wird bei geringen Konzen-trationen, gegenüber den hohen extrazellulären Calciumkonzentrationen, aufrecht erhalten
Man geht davon aus, dass viele Signalwege über eine feine Regulation der örtlichen Calciumkonzentration gesteuert werden
Die am besten zu verstehende Ca2+ Pumpe ist eine ATPase in dem sarkoplasmatischen Retikulum der Muskelzellen
6. Das Membranpotential6. Das Membranpotential
Zwischen Außen- und Innenseite der Membran besteht bei allen Zellen eine elektrische Spannung
das Membranpotential Da das Cytoplasma einer Zelle im Vergleich zur
extrazellulären Flüssigkeit negativ geladen ist, begünstigt das Membranpotential den passiven Transport von Kationen in die Zelle hinein und von Anionen aus ihr heraus
Dadurch treiben zwei Kräfte die Diffusion an, das chemische Konzentrationsgefälle und das elektrische Membranpotential
der elektrochemische Gradient
6. Das Membranpotential6. Das Membranpotential
Das Membranpotential ist eine Konsequenz der oben beschriebenen aktiven Transportprozesse, die Ionen aktiv transportieren
Z.B. der Ablauf der Natrium-Kalium-Pumpe führt dazu, dass mit jeder „Umdrehung“ insgesamt eine positive Ladung aus dem Cytoplasma in die extrazelluläre Flüssigkeit verschoben wird
Wir definieren den Potentialunterschied durch die Zelle als V=Vi-Ve
6. Das Membranpotential6. Das Membranpotential 6.1 Das Nernst-Gleichgewichtspotential6.1 Das Nernst-Gleichgewichtspotential
Die Nernst-Gleichung ist eine der wichtigsten Gleichungen in der Elektrophysiologie
Sie gestattet die Berechnung der Spannungsänderung in Abhängigkeit von der Konzentrationsänderung der beteiligten Ionen
Mit der Nernst-Gleichung lässt sich die Gleichgewichtslage dieses Vorgangs beschreiben
6. Das Membranpotential6. Das Membranpotential 6.1 Das Nernst-Gleichgewichtspotential6.1 Das Nernst-Gleichgewichtspotential Modellierung:
Die Diffusion von S bewirkt einen Ladungsaufbau Dieses Ladungsungleichgewicht baut abwechselnd ein
elektrisches Kraftfeld auf Dies setzt sich der weiteren Diffusion von S entgegen Ein Gleichgewicht stellt sich ein, wenn das Kraftfeld exakt
die Diffusion von S ausgeglichen hat
Zellmembran, permeabel für S, aber nicht S‘
Inneres Äußeres
S S ii 'SS ee 'SS
iV eV
Das Gleichgewichtspotential Vs eines Ions ist durch das Nernst-Potential gegeben
R ist die allgemeine Gaskonstante T ist die absolute Temperatur F ist die Faraday-Konstante k ist die Boltzmann-Konstante q ist die Landung von dem Ion S
Eine besonders wichtige Beziehung ist Na ist die Avogadro-Zahl
6. Das Membranpotential6. Das Membranpotential 6.1 Das Nernst-Gleichgewichtspotential6.1 Das Nernst-Gleichgewichtspotential
i
e
i
es S
Sln
zqkT
SS
lnzFRT
V
aNR
k
Herleitung der Nernst-Gleichung: Wie bereits beschrieben, wird der Fluss durch den
elektrochemischen Gradienten angetrieben Der Beitrag zu dem Fluss durch das Kraftfeld ist durch
Plancks Gleichung gegeben
u ist die Beweglichkeit des Ions z ist die Ladungszahl des Ions c ist die Konzentration von S Ф ist das elektrische Potential → beschreibt das Kraftfeld
6. Das Membranpotential6. Das Membranpotential 6.1 Das Nernst-Gleichgewichtspotential6.1 Das Nernst-Gleichgewichtspotential
czz
uJ
Es gibt eine Beziehung zwischen der Ionenmobilität u und der Fickschen Diffusionskonstante
Durch Kombination mit dem Fickschen Gesetz erhalten wir die Nernst-Planck-Gleichung
Falls der Ionenfluss und das Kraftfeld quer zur Membran verlaufen, können wir die obige Gleichung als die ein-dim. Relation betrachten
c
RTzF
cDJ
6. Das Membranpotential6. Das Membranpotential 6.1 Das Nernst-Gleichgewichtspotential6.1 Das Nernst-Gleichgewichtspotential
FzRT
uD
dxd
cRTzF
dxdc
DJ
6. Das Membranpotential6. Das Membranpotential 6.1 Das Nernst-Gleichgewichtspotential6.1 Das Nernst-Gleichgewichtspotential
Für den Gleichgewichtszustand, d.h. wenn kein Nettostrom fließt, muss gelten
Integration von x=0 bis x=L liefert dann
Und mit V=Фi-Фe können wir schließlich aus der Nernst-Planck-Gleichung die Nernst-Gleichung ableiten
dxd
RTzF
dxdc
c
dxd
cRTzF
dxdc
D
10
0
eicc RT
zFcln e
i
6. Das Membranpotential6. Das Membranpotential 6.2 Die Goldman-Hodgkin-Katz (GHK)-Gleichung6.2 Die Goldman-Hodgkin-Katz (GHK)-Gleichung
Eigentlich bestimmt die lokale Ladungsdichte das elektrische Potential Ф, so dass J durch ein gekoppeltes System von Gleichungen bestimmt werden muss
Ein nützliches Resultat erhalten wir jedoch, falls das Kraftfeld als konstant angenommen wird
Für einen Potentialunterschied V= Ф(0)-Ф(L) in einer Membran mit Dicke L und den Konzentrationen links [S]=ci und rechts[S]=ce erhalten wir
Und durch Einsetzen in die Nernst-Planck-Gleichung folgt
L
V
x
D
J
RTL
zFVc
dx
dc
dx
dc
RT
zF
dx
dcDJ
0
6. Das Membranpotential6. Das Membranpotential 6.2 Die Goldman-Hodgkin-Katz (GHK)-Gleichung6.2 Die Goldman-Hodgkin-Katz (GHK)-Gleichung
RTzFVRTzFV
cc
RT
zFV
L
DJ
cRTL
zVFx
DzVF
JRTLxc
RTL
zVFx
ei
i
exp
exp
expexp
1
1
RTzFVRTzFV
ccV
RT
²F²zPI
ei
SS
exp
exp
1tätPermeabili
die ist LD
PS
Die Lösung dieser gewöhnlichen DGL mit den Randbedingungen c(0)=ci und c(L)=ce ist gegeben durch
Durch Multiplikation mit zF wird diese Flussdichte zur elektrischen Stromdichte und wir erhalten die GHK- Strömungsgleichung
6. Das Membranpotential6. Das Membranpotential 6.2 Die Goldman-Hodgkin-Katz (GHK)-Gleichung6.2 Die Goldman-Hodgkin-Katz (GHK)-Gleichung
Für eine Ansammlung von Ionen, alle mit Ladungszahl z=±1, können wir das GHK-Potential direkt berechnen
Falls die elektrochemische Triebkraft Null ist, gilt
Dieser Ausdruck kann nach V aufgelöst werden, so dass für das GHK-Potential gilt
Beispiel:
LD
P
RTVF
RTVF
ccP
RTVFRTVF
ccP j
jz
je
ji
jz
je
ji
j
mit exp
exp
exp
exp
11 110
1 1
1 1
z z
jej
jij
z z
jij
jej
cPcP
cPcPln
F
RTV
iee
eiir PPP
PPPln
FRT
VClKNaClKNa
ClKNa
ClKNa
Der Membranstrom IS kann auch durch die sogenannte elektrochemische Triebkraft V-VS ausgedrückt werden IS=g(V-VS) (g=1/r ist die Membranleitfähigkeit)
Wenn diese Null ist, wird die zufällige Ionenbewegung, die zu einer Ausgleichung der Ionenkonzentrationen auf beiden Seiten der Zellmembran führen würde, durch eine elektrische Potentialdifferenz ausgeglichen
Die Summe aller Ionenströme ist dann Null
6. Das Membranpotential6. Das Membranpotential 6.2 Die Goldman-Hodgkin-Katz (GHK)-Gleichung6.2 Die Goldman-Hodgkin-Katz (GHK)-Gleichung
Osmose ist passiver Transport von Wassermolekülen Modellierung:
Eine lineare Beziehung zwischen dem Druckunterschied und dem Fluss von Wasser durch eine Membran ist gegeben durch Q ist der Fluss des Wassers von Kammer 1 in Kammer 2 P1 und P2 sind der entsprechende Druck
r ist der Flusswiderstand der Membran
7. Osmose7. Osmose
21 PPrQ
Semipermeable Membran
Kammer 2Kammer 1
Q
P1
P2
H2O
Durch Hinzufügen eines gelösten Stoffes in die 1. Kammer wir der effektive Druck der Lösung gesenkt
Falls πs dieser effektive Druck ist, ist die Flussrate des gelösten Stoffes geändert und es gilt wobei πs=kcT der osmotische Druck ist k ist die Boltzmann-Konstante c ist die Konzentration des gelösten Stoffes (Moleküle pro VE) T ist die absolute Temperatur
(πs=RcT, falls c in Mol pro VE ausgedrückt ist)
Der Fluss von Wasser infolge des osmotischen Drucks wird Osmose genannt
7. Osmose7. Osmose
21 PPrQ s
7. Osmose7. Osmose
Falls P1=P2, saugt der Effekt des osmotischen Drucks Wasser in die 1.Kammer und bewirkt eine Zunahme ihres Volumens
Der Osmotische Druck wird durch die Anzahl von Partikeln pro VE des Fluids ermittelt und nicht durch die Masse der Partikel
H2O
H2O
Semipermeable Membran
Osmotischer Druck πs
Konzentrierte Lösung
verdünnte Lösung
8. Kontrolle des Zellvolumens8. Kontrolle des Zellvolumens
Die Konzentrationsunterschiede, die durch ionische Pumpen aufgebaut und aufrecht erhalten werden, sind notwendig für die Zelle, um ihr Volumen zu kontrollieren
Eine Zelle ohne starre Zellwand ist unfähig irgendwelchen hydrostatischen Druckunterschieden zu wiederstehen
Eine hohe intrazelluläre Konzentration an Ionen und großen Molekülen kann also dazu führen, dass zu viel Wasser in die Zelle eintritt und sie anschwillt und platzt
8. Kontrolle des Zellvolumens8. Kontrolle des Zellvolumens
Abb. 6: Schematische Darstellung eines „Pump-Leak Modells“ (Quelle: KEENER J. & J. SNEYD (2001): Mathematical Physiology, S.60)
8. Kontrolle des Zellvolumens8. Kontrolle des Zellvolumens
Zusammen mit den aktiven Strömungen der Natrium-Kalium-Pumpe ergeben sich die Gleichungen
Der osmotische Druck ist gegeben durch
i
e
i
e
i
e
lnF
RTVgI
pqlnF
RTVgI
pqlnF
RTVgI
ClCl
KK
NaNa
ClCl
KK
NaNa
2
3-p ist die Rate bei der die Ionenaustauschpumpe arbeitet-q ist die Ladung von einem einzigen Ion
- X ist die Anzahl von Großen negativ geladenen Molekülen (mit Ladungszahl ≤-1) welche in der Zelle eingeschlossen sind - w ist das Zellvolumen
wX
RTdtdw
r eieiei ClClKKNaNa
8. Kontrolle des Zellvolumens8. Kontrolle des Zellvolumens
Wir können diese Strom-Spannungs-Gleichungen als DGL ausdrücken
zA zqw
dtd
I A
(3) ClCl
Cl
(2) KK
K
(1) NaNa
Na
Cl
K
Na
i
ei
i
ei
i
ei
lnF
RTVgzqw
dtd
pqlnF
RTVgzqw
dtd
pqlnF
RTVgzqw
dtd
2
3
8. Kontrolle des Zellvolumens8. Kontrolle des Zellvolumens
Bevor wir dieses System von Gleichungen analysieren, ist es nützlich ein paar physikalische Beobachtungen machen
Die extrazellulären und intrazellulären Medien befinden sich nahezu in Elektroneutralität
Nur nahe der Membran ist diese Elektroneutralität leicht gestört
Diese Störung ist jedoch so gering, dass sie hier vernachlässigt werden kann und es gilt
(4)
(5) 0
0
wX
zxiii
eee
ClKNa
und ClKNa
8. Kontrolle des Zellvolumens8. Kontrolle des Zellvolumens
Um diese Gleichungen besser zu verstehen führen wir erneut dimensionslose Variablen ein
Die Gleichungen zur Elektroneutralität und des osmotischen Drucks werden dann zu
e y,RTgpFq
P,RTqV
eNa
setzen undClXw
y
,ye,yee
iP
e
iP
e
i 123
ClCl
KK
NaNa
K
Na
KNaKNa
, (2) und (1)
gg
,ee
yy
zy
y
ee
Pe
Pe
x
23
0211
01
8. Kontrolle des Zellvolumens8. Kontrolle des Zellvolumens
Für die eindeutige positive Nullstelle von (1) ergibt sich
Für zx≤-1 hat diese quadratische Gleichung eine positive Nullstelle, falls α<1 ist, d.h.
Dies ist genau der Fall, wenn gilt
0142
4
²z²
²zzy x
-14 in(2)
1
23
ee
Pe
Pe ee
PKNaKNa
KNa
KNagg
ee
23
8. Kontrolle des Zellvolumens8. Kontrolle des Zellvolumens
Abb. 7: Funktion des Zellvolumen, abhängig von der Pumprate (Quelle: KEENER J. & J. SNEYD (2001): Mathematical Physiology, S.64)
Abb. 8: Funktionen des Membran-potential und des Natrium- und Kalium-Gleichgewichtspotential, abhängig von der Pumprate(Quelle: KEENER J. & J. SNEYD (2001): Mathematical Physiology, S.64)
8. Kontrolle des Zellvolumens8. Kontrolle des Zellvolumens
Abb. 9: Funktionen des Membranpotential und des Natrium- und Kalium-Gleichgewichts-potential, abhängig von der Pumprate (Quelle: KEENER J. & J. SNEYD (2001): Mathe-matical Physiology, S.66)
Hier ist die Pumprate als P=ρu³ dargestellt, wobei
eiu
NaNa
9. Quellenangaben9. Quellenangaben
BIRBAUMER N. & R. F. SCHMIDT (2003): Biologische Psychologie, Berlin. HELMICH U. (2007): Arbeitsweise der Natrium-Kalium-Pumpe, online
unter: http://www.u-helmich.de/bio/neu/1/11/112/vertiefung/vert01.html (abgerufen am 17.05.2009)
KEENER J. & J. SNEYD (2001): Mathematical Physiology, Pasadena. LÖFFLER, HEINRICH & PETRIDES (2006): Biochemie und Pathobiochemie. UNIVERSITÄT STUTTGART (o.J.): Transport durch Membranen, online
unter: http://www.uni-stuttgart.de/bio/bioinst/biophysik/lehre/skripte/biophysik_der_zelle/pdf/kapitel_10.pdf (abgerufen am 17.05.2009)
(o.A) (o.J):Transport, online unter: http://www.lrz-muenchen.de/~jmd/transport.htm (abgerufen am 20.05.2009)