![Page 1: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/1.jpg)
Zarządzanie portfelem inwestycji Część 4. – budowa portfeli efektywnych (1)
Zespół projektu „Portfel SII”
![Page 2: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/2.jpg)
Portfele dwuskładnikowe jako wstęp do dalszych rozważań
• Przed przystąpieniem do szerszego omówienia własności portfeliskładających się z wielu składników i koncepcji portfeliefektywnych (te zagadnienia będą przedmiotem kolejnychprezentacji) przyjrzymy się własnościom różnych portfeli,będących kombinacją wyłącznie dwóch ryzykownych aktywów(portfele dwuskładnikowe).
• Takim portfelem dwuskładnikowym może być na przykład portfelzbudowany z akcji dwóch spółek A i B, których udziały w tymportfelu wynoszą odpowiednio 30 proc. i 70 proc.
2
![Page 3: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/3.jpg)
Portfele dwuskładnikowe jako wstęp do dalszych rozważań
• W niniejszej prezentacji przedstawione zostaną przedewszystkim najbardziej charakterystyczne (choć często tylkoczysto teoretyczne) przypadki portfeli dwuskładnikowych przyzałożeniu braku możliwości dokonywania krótkiej sprzedaży.
• Stanowią one dobry punkt odniesienia do dalszych, niecobardziej skomplikowanych rozważań. Pomogą także zrozumiećwpływ wielkości udziałów w portfelu poszczególnych jegoskładników oraz rodzaju i siły zależności zachodzącychpomiędzy stopami zwrotu tych składników (współczynnikkorelacji) na poziom ryzyka i dochód całego portfela.
3
![Page 4: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/4.jpg)
Stopa zwrotu portfela dwuskładnikowego
• Przypomnijmy, że stopa zwrotu portfela inwestycyjnegoto średnia ważona stóp zwrotu poszczególnych aktywów wchodzących w jego skład, gdzie wagami są udziały procentowe tych aktywów w całkowitej wartości portfela. W przypadku portfela dwuskładnikowego, wzór ten przybiera zatem następującą postać:
4
gdzie:Rp – stopa zwrotu portfela dwuskładnikowego,w1,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu,R1,R2 – stopa zwrotu aktywa pierwszego i drugiego.
![Page 5: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/5.jpg)
Odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego
• Odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela inwestycyjnegoto natomiast funkcja odchyleń standardowych poszczególnych inwestycji oraz kowariancji stóp zwrotu poszczególnych aktywów. Dla portfela dwuskładnikowego ogólny wzór na odchylenie standardowe stopy zwrotu jest następujący:
5
gdzie:σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego,σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu,cov1,2 – kowariancja stóp zwrotu pierwszego i drugiego aktywa,r1,2 – współczynnik korelacji stóp zwrotu pierwszego i drugiego aktywa.
![Page 6: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Przypadek 1.
– portfel dwuskładnikowy, – doskonała korelacja dodatnia (r=1),– brak możliwości krótkiej sprzedaży.
![Page 7: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/7.jpg)
Przypadek 1. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja dodatnia (+1), brak krótkiej sprzedaży
• Gdy portfel inwestycyjny składa się z dwóch składników, a współczynnik korelacji stóp zwrotu wynosi 1, odchylenie standardowe stopy zwrotu tego portfela jest równe:
7
gdzie:σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego (r1,2 = 1),σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu.
![Page 8: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/8.jpg)
Przypadek 1. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja dodatnia (+1), brak krótkiej sprzedaży
8
Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których stopy zwrotu wynoszą 8 i 14 proc., a odchylenia standardowe tych stóp zwrotu mają wartość odpowiednio 3 i 6 proc. Jaka jest stopa zwrotu oraz odchylenie standardowe stopy zwrotu całego portfela, jeżeli współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji A i B ma wartość 1?
Rp = wA * RA + wB * RB
Rp = wA * 0,08 + wB * 0,14
σp = wA * σA + wB * σB
σp = wA * 0,03 + wB * 0,06
![Page 9: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/9.jpg)
Przypadek 1. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja dodatnia (+1), brak krótkiej sprzedaży
9
Zależność między stopą zwrotu a odchyleniem standardowym:
![Page 10: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Przypadek 2.
– portfel dwuskładnikowy, – doskonała korelacja ujemna (r=-1),– brak możliwości krótkiej sprzedaży.
![Page 11: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/11.jpg)
Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja ujemna (-1), brak krótkiej sprzedaży
• Gdy portfel inwestycyjny składa się z dwóch składników, a współczynnik korelacji stóp zwrotu wynosi -1, odchylenie standardowe stopy zwrotu tego portfela jest równe:
11
gdzie:σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego (r1,2 = -1),σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu,
![Page 12: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/12.jpg)
Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja ujemna (-1), brak krótkiej sprzedaży
12
Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których stopy zwrotu wynoszą 8 i 14 proc., a odchylenia standardowe tych stóp zwrotu mają wartość odpowiednio 3 i 6 proc. Jaka jest stopa zwrotu oraz odchylenie standardowe stopy zwrotu całego portfela, jeżeli współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji A i B ma wartość -1?
Rp = wA * RA + wB * RB
Rp = wA * 0,08 + wB * 0,14
σp = |wA * σA - wB * σB|σp = |wA * 0,03 - wB * 0,06|
![Page 13: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/13.jpg)
Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja ujemna (-1), brak krótkiej sprzedaży
13
Zależność między stopą zwrotu a odchyleniem standardowym:
![Page 14: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/14.jpg)
Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja ujemna (-1), brak krótkiej sprzedaży
• Dla dwuskładnikowego portfela inwestycyjnego o współczynniku korelacji stóp zwrotu aktywów równym -1, wyznaczyć można portfel o zerowym ryzyku. Wówczas udziały poszczególnych aktywów w takim portfelu wynoszą:
14
gdzie:w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu o zerowym ryzyku,σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu pierwszego i drugiego aktywa.
![Page 15: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/15.jpg)
Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja ujemna (-1), brak krótkiej sprzedaży
15
Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których stopy zwrotu wynoszą 8 i 14 proc., odchylenia standardowe stóp zwrotu mają wartość odpowiednio 3 i 6 proc., a współczynnik korelacji tych stóp zwrotu wynosi -1. Jakie powinny być udziały pierwszego i drugiego aktywa w portfelu, aby cały portfel miał zerowe ryzyko (zerowe odchylenie standardowe stopy zwrotu)? Ile wynosi stopa zwrotu takiego portfela?
wA = σB / (σA + σB)wA = 0,06 / (0,03+0,06)wA = 0,67
wB = σA / (σA + σB)wB = 0,03 / (0,03+0,06)wB = 0,33lub: wB = 1 - wA = 1 - 0,67 = 0,33
Rp = wA * RA + wB * RB
Rp = 0,67 * 0,08 + 0,33 * 0,14Rp = 0,053 + 0,047 = 0,10
![Page 16: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/16.jpg)
Przypadek 2. – portfel dwuskładnikowy, doskonała korelacja ujemna (-1), brak krótkiej sprzedaży
16
![Page 17: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Przypadek 3.
– portfel dwuskładnikowy, – brak zależności między stopami zwrotu (r=0),– brak możliwości krótkiej sprzedaży.
![Page 18: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/18.jpg)
Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy, brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży
• Kiedy portfel inwestycyjny składa się z dwóch składników, dla których stóp zwrotu współczynnik korelacji wynosi 0 (brak korelacji), to odchylenie standardowe stopy zwrotu tego portfela jest równe:
18
gdzie:σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego (r1,2 = 0),σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu.
![Page 19: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/19.jpg)
Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy, brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży
19
Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których stopy zwrotu wynoszą 8 i 14 proc., a odchylenia standardowe tych stóp zwrotu mają wartość odpowiednio 3 i 6 proc. Jaka jest stopa zwrotu oraz odchylenie standardowe stopy zwrotu całego portfela, jeżeli współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji A i B ma wartość 0?
Rp = wA * RA + wB * RB
Rp = wA * 0,08 + wB * 0,14
σp = (wA2 * σA
2 + wB2 * σB
2)1/2
σp = (wA2 * 0,032 + wB
2 * 0,062)1/2
![Page 20: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/20.jpg)
Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy, brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży
20
Zależność między stopą zwrotu a odchyleniem standardowym:
![Page 21: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/21.jpg)
Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy, brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży
21
• Poza sytuacją, kiedy współczynnik korelacji stóp zwrotuaktywów portfela jest równy -1 (przy założeniu możliwościdokonywania krótkiej sprzedaży drugi taki wyjątkowyprzypadek występuje, gdy współczynnik korelacji wynosi 1),nie da się wyznaczyć portfela o zerowym ryzyku. Częstoistnieje jednak możliwość wyznaczenia tzw. portfelao minimalnym ryzyku.
• Udziały aktywów w portfelu o minimalnym ryzyku są takdobrane, że nie istnieje żadna inna kombinacja tych dwóchaktywów, przy której cały portfel inwestycyjny miałby niższypoziom ryzyka (mniejszą wartość odchylenia standardowegostopy zwrotu).
![Page 22: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/22.jpg)
Portfel dwuskładnikowy, brak krótkiej sprzedaży
22
• Nie w każdym przypadku kombinacja ze sobą dwóch aktywów przynosijednak efekt w postaci minimalizacji ryzyka inwestycyjnego (portfelo minimalnym ryzyku). W niektórych sytuacjach, mając dwa papierywartościowe, portfel o najmniejszym możliwym ryzyku składaćsię będzie całkowicie (100 proc.) z waloru mniej ryzykownego (udziałdrugiego waloru równy 0 proc.). Wartość odchylenia standardowegotakiego portfela będzie zatem równa wartości odchyleniastandardowego mniej ryzykownego waloru.
• Przykładem takiej sytuacji może być przedstawiony wcześniejprzypadek, gdy współczynnik korelacji między stopami zwrotu dwóchaktywów wynosi 1 – jeśli współczynnik korelacji jest równy 1,niezależnie od wartości odchyleń standardowych dwóch walorów, nieda się zbudować portfela o minimalnym ryzyku (przy założeniu brakumożliwości dokonywania krótkiej sprzedaży).
![Page 23: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/23.jpg)
Portfel dwuskładnikowy, brak krótkiej sprzedaży
• Portfel o minimalnym ryzyku można zbudować, jeśli dla:
spełniony jest warunek:
23
gdzie:σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,r1,2 – współczynnik korelacji stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego.
![Page 24: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/24.jpg)
Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy, brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży
• Jeżeli współczynnik korelacji stóp zwrotu aktywów portfela wynosi zero, udziały tych aktywów w portfelu o minimalnym ryzyku muszą być równe:
24
gdzie:σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego (r1,2 = 0),σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu o minimalnym ryzyku.
![Page 25: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/25.jpg)
Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy, brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży
25
Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których stopy zwrotu wynoszą 8 i 14 proc., a odchylenia standardowe tych stóp zwrotu mają wartość odpowiednio 3 i 6 proc. Jakie powinny być udziały akcji A i B w portfelu, aby minimalizował on ryzyko (portfel o minimalnym ryzyku), jeżeli współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji A i B wynosi zero? Jaką wartość ma stopa zwrotu i odchylenie standardowe takiego portfela?
wB = σA2 / (σA
2 + σB2)
wB = 0,032 / (0,032 + 0,062)wB = 0,2
lub: wB = wA – 1 = 0,2
wA = σB2 / (σA
2 + σB2)
wA = 0,062 / (0,032 + 0,062)wA = 0,8
Rp = wA * RA + wB * RB
Rp = 0,8 * 0,08 + 0,2 * 0,14Rp = 0,092
σp = (wA2 σA
2 + wB2 σB
2 )1/2
σp = (0,82 * 0,032 + 0,22 * 0,062)1/2
σp = 0,02683
![Page 26: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/26.jpg)
Przypadek 3. – portfel dwuskładnikowy, brak korelacji, brak krótkiej sprzedaży
26
Zależność między stopą zwrotu a odchyleniem standardowym:
![Page 27: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Przypadek 4.
– portfel dwuskładnikowy, – dowolna wartość współczynnika korelacji stóp zwrotu,– brak możliwości krótkiej sprzedaży.
![Page 28: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/28.jpg)
Przypadek 4. – portfel dwuskładnikowy, dowolna wartość współczynnika korelacji, brak krótkiej sprzedaży
• Po przedstawieniu trzech najbardziej charakterystycznychportfeli dwuskładnikowych (w warunkach doskonałej korelacjidodatniej, doskonałej korelacji ujemnej, braku korelacji),możemy przejść do przypadku bardziej ogólnego, a zatemi bardziej praktycznego.
• W ten sposób przedstawimy ogólną formułę wykorzystywanądo wyznaczenia udziałów dwóch aktywów w portfeluo minimalnym ryzyku, a także wzór na odchylenie standardowetakiego portfela.
• Pokażemy także na wykresie zależność między stopą zwrotuportfela a jego ryzykiem, gdy korelacja stóp zwrotu aktywów niejest równa 1, -1 lub 0.
28
![Page 29: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/29.jpg)
Przypadek 4. – portfel dwuskładnikowy, dowolna wartość współczynnika korelacji, brak krótkiej sprzedaży
• Udziały dwóch aktywów w portfelu o minimalnym ryzyku muszą być równe (wzór ogólny):
• Wartość odchylenia standardowego stopy zwrotu takiego portfela ma natomiast wartość:
29
gdzie:σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego o minimalnym ryzyku,σ1 ,σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu aktywa pierwszego i drugiego,w1 ,w2 – waga (udział) pierwszego i drugiego aktywa w portfelu o minimalnym ryzyku,r1,2 – współczynnik korelacji stóp zwrotu pierwszego i drugiego aktywa.
![Page 30: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/30.jpg)
Przypadek 4. – portfel dwuskładnikowy, dowolna wartość współczynnika korelacji, brak krótkiej sprzedaży
30
Przykład: portfel zbudowany jest z dwóch akcji (A i B), których stopy zwrotuwynoszą 8 i 14 proc., a odchylenia standardowe tych stóp zwrotu mają wartośćodpowiednio 3 i 6 proc. Jakie powinny być udziały akcji A i B w portfelu,aby minimalizował on ryzyko (portfel o minimalnym ryzyku), jeżeli współczynnikkorelacji stóp zwrotu akcji A i B wynosi -0,5? Jaką wartość ma stopa zwrotui odchylenie standardowe takiego portfela?
wA = (σB2 - σA σB rA,B ) / (σA
2 + σB2 - 2 σA σB rA,B)
wA = [0,062 - 0,03 * 0,06 * (-0,5)] / [0,032 + 0,062 - 2 * 0,03 * 0,06 * (-0,5)]wA = 0,714
wB = wA - 1 wB = 1 - 0,71 = 0,286
σp = {[σA2 σB
2 (1 - rA,B2)] / [σA
2 + σB2 - 2 σA σB rA,B]} 1/2
σp = {[0,032 * 0,062 (1 - (-0,5)2)] / [0,032 + 0,062 – 2 * 0,03 * 0,06 * (-0,5)]} 1/2
σp = 0,0196
Rp = wA * RA + wB * RB
Rp = 0,714 * 0,08 + 0,286 * 0,14Rp = 0,097
![Page 31: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/31.jpg)
Przypadek 4. – portfel dwuskładnikowy, dowolna wartość współczynnika korelacji, brak krótkiej sprzedaży
31
![Page 32: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/32.jpg)
Portfel dwuskładnikowy, brak krótkiej sprzedaży
32
![Page 33: Zarządzanie portfelem inwestycji cz. 4 - budowa portfeli efektywnych](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042817/55a96a211a28ab466e8b4740/html5/thumbnails/33.jpg)
DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ!
Partnerem strategicznym Portfela SII jest Alior Bank