Download - WYKŁAD 5 OPTYKA FALOWA OSCYLACJE I FALE

WYKŁAD 5

OPTYKA FALOWA

OSCYLACJE I FALE

PLAN WYKŁADU

Oscylacje (drgania) harmoniczne

Fale płaskie

Równanie falowe

Odbicie fal

Fale kuliste

Fale walcowe

PODSUMOWANIE

Przykłady oscylacji (drgań) harmonicznych

)tcos(xx 0 drganie liniowe punktu materialnego



)tcos(pp 0 oscylacja wielkości skalarnej p




)tcos(rr 0 trójwymiarowa oscylacja punktu materialnego





)tcos(EE 00 oscylacja harmoniczna

wielkości wektorowej





)tcos(EE 00 oscylacja harmoniczna

wielkości wektorowej

amplituda, częstość kątowa, faza – argument funkcji cos, faza początkowa

RÓWNOŚĆ EULERA

gdzie sinicosei 1i

RÓWNOŚĆ EULERA

gdzie sinicosei 1i

i0

0

0

0

ezz

Cizln

idz

dz

izddsinicosiz

dcosisinzdz

sinicoszz

Składanie oscylacji

21 xxx tcosxx 01 )t( cosxx 002

2tcoscosx2

2

1cost2

2

1cosx2x

)t( costcosxxxx

000

000

0021

Składanie oscylacji w zapisie zespolonym

21 xxx tcosxx 01 )t( cosxx 002

zRex

00 iti0

ti0

ti021 e1exexexzzz

2/ cos2eeeee1 02/i2/i2/i2/ii 00000

2/ti0021

0ex2/ cos2zzz

Trójwymiarowe harmoniczne drganiapunktu materialnego

,tcosax 11 ,tcosay 22 33 tcosaz



ctcosabtcosaatcosar 332211




tii3

i2

i1z eceabeaaear 321




tii3

i2

i1z eceabeaaear 321

tiz eBiAr




tii3

i2

i1z eceabeaaear 321

tiz eBiAr

csinabsinaasinaB

ccosabcosaacosaA

332211

332211




tii3

i2

i1z eceabeaaear 321

tiz eBiAr

csinabsinaasinaB

ccosabcosaacosaA

332211

332211

tsinBtcosAr

tsinBtcosAr

tsinBtcosAr

tsinBtcosA

tsinBtcosA

tsinBtcosAr

tsinBtcosA

tsinBtcosA

BABA

AAtsin

ABAB

BBtcos

tsinBtcosAr

tsinBtcosA

tsinBtcosA

BABA

AAtsin

ABAB

BBtcos

1BABA

BB

BABA

AA22

tsinBtcosAr

tsinBtcosA

tsinBtcosA

BABA

AAtsin

ABAB

BBtcos

1BABA

BB

BABA

AA22

dcxybyax 22 krzywa stożkowa, elipsa

tsinBtcosAr

tsinBtcosAr

)tcos(B)tsin(Adt

rdv

tsinBtcosAr

)tcos(B)tsin(Adt

rdv

elipsa wpisana w równoległobok zbudowany na wektorach A i B, A i B - osie sprzężone elipsy

OSCYLACJE A FALE

fali dla - t),r( =

oscylacji dla - (t) =

Jednowymiarowe fale bieżące

profil zaburzenia przesuwa się w przestrzeni z prędkością v

vtx'x



vtx'x )f(x' = vt)-f(x = t)(x, =



vtx'x )f(x' = vt)-f(x = t)(x, =

'xf - profil zaburzenia



vtxg'xg

vtxf'xf


fala bieżąca w kierunku +x

fala bieżąca w kierunku -x

vtxg'xg

vtxf'xf




W czasie Δt profil przesunie się o odległość Δx

vtxg'xg

vtxf'xf


tvx vtx




vtxg'xg

vtxf'xf


ttvxxfvtxg'xg

ttvxxfvtxf'xf

tvx vtx





Zmiany w czasie i przestrzeni zaburzenia wielkości fizycznej ψ, rozchodzącego się z prędkością

v w kierunku +x („odwrócony” profil)

Jednowymiarowe fale bieżąceharmoniczne

kvtkxcos = )vtx(kcos = )cos(kx' = )f(x' 000


, pewna długość charakterystyczna


2k




2k

kvtkxcoskvtxxkcos

Z warunku okresowości, dla odpowiedniego Δx:




2k

kvtkxcoskvtxxkcos


;2kvtkxkvtxxk




2k

kvtkxcoskvtxxkcos


;2xk ;2kvtkxkvtxxk




2k

kvtkxcoskvtxxkcos


;2xk ;2kvtkxkvtxxk x

2k




2k

kvtkxcoskvtxxkcos


;2xk ;2kvtkxkvtxxk x

2k

x


T2

v1

2v2

kv


T2

v1

2v2

kv

tkxcos = )vtx(kcos 00


T2

v1

2v2

kv


,t,xfTt,xf t,xfTt,xf


T2

v1

2v2

kv



vkT


T2

v1

2v2

kv



vkT

)tkx(i00z

0

e = t)-isin(kx + )tkxcos( =

)tkxcos( =

trk tkx

Płaskie harmoniczne fale bieżącew przestrzeni trójwymiarowej

uogólnienie postaci fazy

trk tkx

t - rk =



narzucając warunek stałej fazy otrzymamy równanie wiążące wektor falowy k, wektor położenia r i czas t

trk tkx

t - rk =

const = t = zkykxk = rk zyx




trk tkx

t - rk =

const = t = zkykxk = rk zyx




płaszczyzna stałej fazy

Równanie – zbiór rozwiązań to będzie zbiór punktów…

0t zkykxk zyx


0t zkykxk zyx

0DCzByAx


równanie płaszczyzny; A, B, C składowe wektora normalnego

0t zkykxk zyx

0DCzByAx


222 CBA

DR

odległość p-zny od

początku układu współrz.


0t zkykxk zyx

0DCzByAx


222 CBA

DR

vtrtk

r = k

tR 00

odległość p-zny od początku układu współrz.


0t zkykxk zyx

0DCzByAx


222 CBA

DR

vtrtk

r = k

tR 00

odległość p-zny od początku układu współrz.

p-zna oddala się od początku układu współrz.


Fale płaskie nieharmoniczne w przestrzeni trójwymiarowej

vt-z+y+xk

= tk

zkk

yk

kx

kk

k = trk = zyx


vt-z+y+xk

= tk

zkk

yk

kx

kk

k = trk = zyx

vtzyx

argument funkcji kształtu dla fali nieharmonicznej:


vt-z+y+xk

= tk

zkk

yk

kx

kk

k = trk = zyx

vtzyx

argument funkcji kształtu dla fali nieharmonicznej:

0 ,0 ,1 dla mamy vtx jak poprzednio

RÓWNANIE FALOWE

Niech zaburzenie wielkości fizycznej ψ rozchodzi się w postaci fali płaskiej:

vt)-z+y+xf( = )t,r(

RÓWNANIE FALOWE


Pokażemy że zaburzenie to jest rozwiązaniem równania falowego:

vt)-z+y+xf( = )t,r(

2

2

2 tv

1 =

RÓWNANIE FALOWE


Pokażemy że zaburzenie to jest rozwiązaniem równania falowego:

vt)-z+y+xf( = )t,r(

2

2

2 tv

1 =

2

2

22

2

2

2

2

2

t

)t,r(

v

1 =

z

)t,r(

y

)t,r(

x

)t,r(

Ogólne rozwiązanie równania falowego

)vtzyx(f = x

,)vtzyx(f = x

,,22

2

,


)vtzyx(f = x

,)vtzyx(f = x

,,22

2

,

)vtzyx(f(-v) = t

; )vtzyx(f(-v) = t

,,22

2

,


)tzyx(f = zyx

,,2

2

2

2

2

2

)tzyx(f =

)tzyx(fvv

1=

tv

1

,,

,,222

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

t

)t,r(

v

1 =

z

)t,r(

y

)t,r(

x

)t,r(

Zasada superpozycji

vtzyxf1 vtz'y'x'f2

Jeśli dwie funkcje:

są rozwiązaniami równania falowego, to jest nim także dowolna kombinacja liniowa tych

funkcji:

vtz'y'x'fCvtzyxfC

t,z,y,xF

2211

ODBICIE FAL na granicy dwóch ośrodków

Fala padająca f(x+vt), fala odbita g(x-vt)

Ponieważ dla 0x i „sztywnej” ściany „wychylenie” równe jest zero

0vt0gvt0f mamy zatem

co oznacza, że: yfyg

vtxfvtxg czyli:

co pozwala znaleźć profil fali odbitej dla dowolnego x i t

możemy zatem wprowadzić fale „wirtualne” w obszarze „ściany”. Fale te stają się „rzeczywiste” gdy

występują w obszarze „przed ścianą”

FALE KULISTE

Powierzchnie stałej fazy kuliste, źródło fali w początku układu współrzędnych

FALE KULISTE


vtr Argument funkcji profilu:

vtzyx 222 czyli:

FALE KULISTE



vtzyx 222 czyli:

a nie: vtx

FALE KULISTE



vtzyx 222 czyli:

a nie: vtx

czy też: vtzyx

FALE KULISTE

Sprawdzimy czy funkcja:

będzie spełniać równanie falowe:

t,r

2

2

22

t

)t,r(

v

1 = )t,r(

FALE KULISTE



oraz czy jej argument będzie postaci:

t,r

2

2

22

t

)t,r(

v

1 = )t,r(

vtr

FALE KULISTE




t,r

2

2

22

t

)t,r(

v

1 = )t,r(

vtr

Zaczynamy od laplasjanu (lewej strony równania). Liczymy pochodne względem x, y i z. Dla x mamy:

FALE KULISTE




t,r

2

2

22

t

)t,r(

v

1 = )t,r(

vtr

2

22

2

2

2

2

rrx

+ rr

x1

r1 =

x ,

rrx

= xr

r =

x

Zaczynamy od laplasjanu (lewej strony równania). Liczymy pochodne względem x, y i z. Dla x mamy:

rr2

r =

rr

zyx3

r1 +

r = 2

2

2

222

2

22

Sumując trzy pochodne po x, y i z otrzymamy:

rr2

r =

rr

zyx3

r1 +

r = 2

2

2

222

2

22


rrr

12

2

co jest równoważne:

rr2

r =

rr

zyx3

r1 +

r = 2

2

2

222

2

22


rrr

12

2

co jest równoważne:

gdyż:

rr2

r =

rr

r2

r1 =

= r

rrr

1 = r

rr1

2

2

2

2

2

2

Zatem równanie falowe: 2

2

22

t

)t,r(

v

1 = )t,r(

będzie spełnione gdy:

2

2

22

2

tv

1 = r

rr1


2

22

t

)t,r(

v

1 = )t,r(


2

2

22

2

tv

1 = r

rr1

rtv

1 = r

r 2

2

22

2

czyli gdy będzie spełnione następujące równanie, przypominające równanie dla fali płaskiej:


2

22

t

)t,r(

v

1 = )t,r(


2

2

22

2

tv

1 = r

rr1

rtv

1 = r

r 2

2

22

2

czyli gdy będzie spełnione następujące równanie, przypominające równanie dla fali płaskiej:

A to równanie będzie spełnione gdy:

vt+rg = r lub vt-rf = r

r

vt+rg = )t,r( lub

rvt-rf

= )t,r(

czyli gdy:

r

vt+rg = )t,r( lub

rvt-rf

= )t,r(

czyli gdy:

Fala rozbieżna, emitowana ze źródła i fala zbieżna, np. po przejściu przez soczewkę skupiającą.

r

vt+rg = )t,r( lub

rvt-rf

= )t,r(

czyli gdy:


)tkrcos(r

= t,r 0

W szczególności kulista fala rozbieżna, harmoniczna, będzie opisana wyrażeniem:

r

vt+rg = )t,r( lub

rvt-rf

= )t,r(

czyli gdy:


)tkrcos(r

= t,r 0

W szczególności kulista fala rozbieżna, harmoniczna, będzie opisana wyrażeniem:

)tkr(i0 er

= t,r lub:

FALE WALCOWEoś z jest osią walca

t,rt,r 22 yxr gdzie


t,rt,r 22 yxr gdzie

2

2

2

22

2

2

r

x1

rr1

rrx

= rx

rx =

xr

rx =

x


t,rt,r 22 yxr gdzie

2

2

2

22

2

2

r

x1

rr1

rrx

= rx

rx =

xr

rx =

x

rr1

r =

yx = 2

2

2

2

2

22

rrr

12

2

Pokażemy, że dla dużych r prawa strona jest równa:

rrr

12

2


2

2

2

2

2

rrr21

r4

1r2r

1 =

= r

rr2

1rr

1 = r

rr1

rrr

12

2


2

2

2

2

2

rrr21

r4

1r2r

1 =

= r

rr2

1rr

1 = r

rr1

22

2

r4

1rr

1

r =

no i jest tak rzeczywiście gdy pominiemy wyraz z r2.

2

2

22

22

tv

1 = r

rr1

=

Równanie falowe będzie spełnione gdy:

2

2

22

22

tv

1 = r

rr1

=


,rtv

1 = r

r 2

2

22

2

Po przemnożeniu przez r otrzymamy:

jednowymiarowe równanie falowe.

2

2

22

22

tv

1 = r

rr1

=


,rtv

1 = r

r 2

2

22

2

Po przemnożeniu przez r otrzymamy:

jednowymiarowe równanie falowe.

Równanie to będzie spełnione gdy:

vt)+g(r = r lub vt)-f(r = r

rvt)+g(r

= t)(r, lub rvt)-f(r

= )t,r(

Czyli gdy:

rvt)+g(r

= t)(r, lub rvt)-f(r

= )t,r(

Czyli gdy:

)tkrcos(r

= )t,r( 0

)tkr(i0 er

= )t,r(

Dla walcowej fali harmonicznej i rozbieżnej:

PODSUMOWANIE

Dla oscylacji i fal harmonicznych wprowadzamy zapis zespolony. Część rzeczywista przedstawia

realną fizyczną oscylację lub falę, urojona nie ma znaczenia fizycznego.

Reprezentacja zespolona płaskiej fali harmonicznej opisującej zmienną w czasie i przestrzeni wektorową

wielkość fizyczną ma postać:

trkieBiA

BiA

gdziejest zespoloną amplitudą, k wektorem falowym, ω częstością kątową

PODSUMOWANIE

Wektory A i B wyznaczają równoległobok, w który wpisana jest elipsa polaryzacji, kierunek wektora wyznacza kierunek

rozchodzenia się fali, a jego wartość (liczba falowa k) związana jest z długością fali.

Częstość kątowa ω związana jest z okresem T. Stosunek prędkości kątowej ω i liczby

falowej k odpowiada prędkości rozchodzenia się fali.

PODSUMOWANIE

Równanie falowe dla przypadku jednowymiarowego (płaska fala rozchodząca

się wzdłuż osi x) ma postać:

Jedyny warunek, jaki musi spełnić funkcja ψ jest taki, by jej argument był postaci:

lub

2

2

22

2

tv

1

x

vtx vtx

PODSUMOWANIE

Argument funkcji opisującej trójwymiarową falę płaską opisany jest wyrażeniem:

gdzie α, β, γ to cosinusy kierunkowe a v prędkość rozchodzenia się fali.

vtzyx

Dla fali harmonicznej cosinusy kierunkowe określone są przez składowe wektora

falowego i argument funkcji przyjmuje postać:

trk

PODSUMOWANIE

Amplituda trójwymiarowej fali płaskiej nie zależy od r, fali kulistej maleje z r a fali

walcowej z pierwiastkiem z r, gdzie r jest odległością od źródła.

Jednowymiarowa fala padająca na “sztywną” granicę ulega odbiciu, zmieniając

znak “wychylenia”.

Download - WYKŁAD 5 OPTYKA FALOWA OSCYLACJE I FALE

Top Related