Wer die Geometrie begreift, vermag
in dieser Welt alles zu verstehen
Hellmuth Stachel, Technische Universitat Wien
[email protected] — http://www.geometrie.tuwien.ac.at/stachel
33. Fortbildungstagung fur Geometrie, 5.– 8. Nov. 2012, Strobl/Wolfgangsee
Inhalt
1. Die Ideen des Kunstlers
2. Schattenwurf und Lichtschacht
3. Spiegelungseffekte
4. Plane fur die Handwerker
5. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren
. . . Zitat von Galileo Galilei (Samira Elsayed oder
Felzmann, Blumel, Muller, Vilsecker: Geometrische Bilder, obv)
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 1
Am 9. September 2012 segnete Weihbischof Dr. Andreas Laun
auf dem Platz vor dem Badener Tor des Zisterzienserstiftes Heiligenkreuz
das “Denkmal zur Gewissens- und Religionsfreiheit als Grundlage des Friedens”
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 2
Dieses Denkmal umfasst ein Mosaik, gestaltet nach dem Bild
“Epiphanie” des franzosischen Kunstlers Philippe Lejeune (geb. 1924),
sowie den “Gnomon”, eine schmale dreiseitige spiegelnde Pyramide
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 3
Das Denkmal wurde gestiftet vom “Verein Moderner Sakralbau” unter dem Obmann
Mag. Prinz Gundakar von und zu Liechtenstein und dem Obmannstellvertreter
Weihbischof Dr. Andreas Laun . . . am Ende einer funfjahrigen Planungszeit
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1. Ideen des Kunstlers
Zu Beginn der Planung gab es das Gemalde “Epiphanie”mit Mariaund dem Jesuskind im Zentrum.
Das Fest der Epiphanie (“die Erscheinung des Herren”) wird inchristlichen Kirchen am Dreikonigstag gefeiert.
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 4
1. Ideen des Kunstlers
. . . und es gab Skizzen
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 5
1. Ideen des Kunstlers
das Rundbild sollte zugleichals Sonnenuhr fungieren;
dazu sollte zu einem gewissen Zeitpunkt einLichtstrahl das dargestellte Jesuskind treffen;
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1. Ideen des Kunstlers
die ganze Anlage solltean eine Plakatwand oderan ein romisches Amphi-theater (z. B. Kolosse-um ?) erinnern.
Spiegelungen am Gno-mon sollten die Wirkungnoch verstarken; der Be-sucher sollte sich selbstinnerhalb der dargestell-ten Menschenmenge er-kennen.
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 7
1. Ideen des Kunstlers
Im September 2011 wurde mir offiziell die Frage gestellt:
Inwieweit lassen sich die Vorstellungen des Kunstlers realisieren ?
. . . ich konnte mich dankenswerterweise mit Koll. Hofmann beraten
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 8
Zu diesem Zeitpunkt stand bereits die Rund-mauer fur das Mosaik (4m hoch, genau nachSuden ausgerichtet).
Fur die voraussichtlichen Abmessungen desGnomons sowie fur dessen Position gab esungefahre Plane.
Maße in cm
320
20473
32
70.2◦
100 (120)
40
410
852
21. 6.
21.12.
21. 3.
23. 9.
N S
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2. Schattenwurf und Lichtschacht
Herr Hofmann klarte die Beson-nungsverhaltnisse (MEZ):
Wann scheint Sonne auf Standort
um den 20. des von bis
Dezember 10:30 – 13:30
Janner, November 10:30 – 14:00
Februar, Oktober 09:15 – 13:00
Marz, September 08:00 – 15:00
April, August 07:00 – 16:00
Mai, Juli 07:15 – 16:00
Juni 07:30 – 16:30
21.12.
21.1.
21.2.
11:00 12:00 13:00 14:00
Blick vom Denkmal nach Suden
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2. Schattenwurf und Lichtschacht
10 11 12 13 1408 09 10 11 12 13 14 15
16
21.12. 21.6.
Derartige Bilder sollten illustrieren, dass der Schlagschatten des lotrechtenGnomons fur eine traditionelle Sonnenuhr nicht brauchbar ist.
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 11
Crash-Kurs uber Sonnenuhren
SONNE
ε
ε
Schiefe der Ekliptik ε = 23.44◦
21. 3.
23. 9.
Wahrend der Bewegung der Erde um die Sonne variiert der Erhebungswinkel der Sonne
gegenuber der Aquatorebene zwischen −ε und ε .
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Crash-Kurs uber Sonnenuhren
H
N
Aquator
Erdkugel
23.4◦
23.4◦
48◦
21.06.
21.12.
18.6◦
65.4◦
Das bedeutet fur Heiligenkreuz(geogr. Breite 48.055◦) maxima-le Erhebungswinkel der Sonne zwi-schen 18.6◦ und 65.4◦.
Zur gleichen Tageszeit (‘Sonnen-zeit’) liegt die Sonne in derselbenMeridianebene der Erde.
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 13
Crash-Kurs uber Sonnenuhren
H
N
Aquator
Erdkugel
23.4◦
23.4◦
48◦
42◦
21.06.
21.12.
Der Schatten eines Stabes fallt ge-nau dann zur selben Tageszeit aufdieselbe Gerade, wenn die Schat-tenebene parallel zur zugehorigenMeridianebene ist. Dann ist sie ei-ne ‘Stundenebene’, und ihre Spurheißt ‘Stundenlinie’.
=⇒ der Schattenstab muss paral-lel zur Erdachse sein.
Eine Parallele zur Erdachse ragt inHeiligenkreuz unter 42◦ aus einernach Suden weisenden Hauswand.
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 14
Crash-Kurs uber Sonnenuhren
Traditionelle Sonnenuhr mit dem Zeigerparallel zur Erdachse
Sonnenuhr in Munchen
Mittels Stunden- und Datumslinien sindDatum (zweideutig) und Tageszeit ables-bar
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 15
2. Schattenwurf und Lichtschacht
Mit Ausnahme von 12:00 Uhr andern sich die
zur gleichen Tageszeit vom Gnomon geworfenen
Schlagschatten im Laufe des Jahres.
Das durfte auch der Kunstler geahnt haben.
07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
Die Schlagschatten des Gnomons (mit Schacht)
zeigen den Schatten eines Punktes. Nur mittels
Stunden- und Datumslinien ware die Tageszeit ab-
lesbar.
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 16
2. Schattenwurf und Lichtschacht
Auch der Lichtschacht im Gno-mon, durch welchen
genau am Dreikonigstag zu Mit-tag ein Sonnenstrahl auf das Je-suskind (exakt nordlich vom Gno-mon) fallt,
hat nicht die erwartete Wirkung.
Fotomontage: Gnomon mit Lichtschacht
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 17
2. Schattenwurf und Lichtschacht
Wahrscheinlich ist der Helligkeitsunteschied zugering (an einem sonnigen Wintertag). Auch gibtes keinen Einmaleffekt.
Die gewahlte Schachtweite (12 cm breit, 14 cmhoch) entspricht der Kopfgroße des Jesuskindesin der Darstellung.
223.6
21. 6.
21. 3.
23. 9.
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2. Schattenwurf und Lichtschacht
11:45 12:00 12:15
12:30 12:45 13:00
Effekte am 6. Janner und ebenso am 5. Dezember
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11:15 12:00 12:45
zwei Wochen spater, am 20. Janner, und ebenso am 20. November
11:45 12:00 12:15
40 Tage spater, am 15. Feber, und ebenso am 27. Oktober
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 20
2. Schattenwurf und Lichtschacht
Der vom Lichtschacht verursachte Lichtfleck ware von Ende Oktober bis Mitte Feberum die Mittagszeit festzustellen.
Deshalb gibt es fur das Mosaik nun-mehr eine kunstliche Beleuchtung (ge-koppelt mit Straßenbeleuchtung) miteiner eigenen Spotleuchte fur das Je-suskind
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3. Spiegelungseffekte
101407080910111314151617
21.12. 21.6.
Die Spiegelungen des Sonnenlichtes an der Ost- und Westflanke des Gnomonserzeugen helle Streifen auf dem Mosaik. Ahnlich den Schlagschatten erlauben auch
diese keine von der Jahreszeit unabhangige Zeitablesung.
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3. Spiegelungseffekte
07
08
09
10
11
Ein zur Erdachse annahernd paralleler Streifen auf Ost- und Westwand bewirkt helle Streifen auf der
Rundwand wie bei Sonnenuhr. Das Bild zeigt den Verlauf der Reflexionen uber die Monate.
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3. Spiegelungseffekte
7
7
8
8
9
9
10
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11
11
13
13
145
Fotomontage mit reflektie-
renden Streifen und den zu-
gehorigen Reflexionen am
9. September.
Die Reflexionen wirken wie
Schatten zu der an der Ost-
bzw. Westwand gespiegelten
Sonne.
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 24
3. Spiegelungseffektereplacements
Jede Reflexion wirkt wie ein Schatten zu der
an der Ost- bzw. Westwand gespiegelten Son-
ne.
Die gespiegelten Sonnenstrahlen zur gleichen Tages-
zeit (Sonnenzeit) liegen in derselben Ebene durch die
gespiegelte Erdachse a.Flanke des Gnomons
∼ 5.0◦
a
an
a
Die bestmogliche Naherung fur die gespiegelte Erdach-
se a innerhalb der Flanke des Gnomons ist der Nor-
malriss an der Erdachse a in dieser Wand.
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3. Spiegelungseffekte
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15
16
16
17
17
21.2., 21.10. 21.5., 21.7.
Die Hohe der reflektierenden Streifen wurde derart gewahlt, dass selbst zur Winter-und Sommersonnenwende die Reflexionen auf die Rundwand fallen.
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 26
3. Spiegelungseffekte
Die Tatsache, dass Licht anstelle vonSchatten die Zeit anzeigt, uberzeugteAbt Maximilian Heim und er gab demProjekt die Zustimmung . . .
nach Verkurzung des Gnomons auf 7m
7
7
8
8
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9
10
10
11
11
13
13
14
14
15
15
16
16
17
17
21. 6.
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4. Plane fur die Handwerker
486
18
45.8
440.2
42.0
700
109
41.7◦
Aufriss des Gnomons mit dem spiegelndenStreifen (Maße in cm)
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4. Plane fur die Handwerker
78910111314151617
112200275340399385326259182 92
26.121.816.310.75.15.911.517.222.526.6
91011131415
7
816
17
56204336311178 27
251
114
143
275
20.711.85.26.112.922.4
40.6
42.8
42.8
40.4
[-23.5]
[-28.8]
[-27.7]
[-22.8]
Plan fur Stundenlinien (unter Berucksichtigung der geographischen Lange 16.049◦)
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 29
replacements
Die untere Halften der Gnomonflanken sind herstellungs- und temperaturbedingt
leicht gewolbt und storen die Zeitablesungen durch unregelmaßige Reflexionen (15.8.)
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 30
4. Plane fur die Handwerker
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7
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8
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15
15
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16
17
17
9.
10111314
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
13
13
14
14
15
15
16
16
17
17
0708091516
21.1., 21.11. 21.4., 21.8.
eine Senkung der Abmattungsgrenze um 50 cm verbesserte die Situation etwas
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5. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren
SONNE
ε
ε
Schiefe der Ekliptik ε = 23.44◦
(Prazession und Nutation vernachlassigt)
21. 3.
23. 9.
Wir projizieren die Bahn der Erde orthogonal in eine Aquatorebene, um die
Drehung der Erde um ihre Achse in wahrer Große zu sehen.
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 32
ψψ
ε
12:00 Uhr
360◦ spater
EkliptikSONNE
Von einem Sonnenhochst-stand zum nachsten musssich die Erde durch 360◦+ψum ihre Achse drehen =⇒
die Tage sind verschiedenlang!
Selbst bei einer Kreisbahn andern
sich die pro Tag (mittlere Zeit)
uberstrichenen Zentriwinkel ψ we-
gen der affinen Verzerrung von Tag
zu Tag.
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 33
1.Jan
21.Mar
21.Jun
23.Sep
21.Dez
147 098 000 km
152 098 000 km
Fruhling
Sommer
Herbst
Winter
Die Bahn der Erde um dieSonne ist Ellipse, die mit kon-stanter Flachengeschwindig-keit durchlaufen wird.
(2 Tage Zeitintervall zwischen den
Teilungsstrichen).
Bahndaten:
a = 149.598 106 kmb = 149.577 106 kme = 2.500 106 kmε = e/a = 0.01671
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 34
Das ist der Seitenriss derelliptischen Erdbahn; dieserwird ebenfalls mit konstan-ter Flachengeschwindigkeitdurchlaufen.
(3 Tage Zeitintervall zwischen den
Teilungsstrichen (mittlerer Zeit).)
Die Abweichungen der Zentri-winkel vom Durchschnittswert360/365◦ sind die Ursache furdie Zeitgleichung.
1.Jan
21.Mar
21.Jun
23.Sep
21.Dez
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5. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren
−15
−5
5
15
z(t) [min]
t
1.Jan
1.Feb
1.Mar
1.Apr
1.Mai
1.Jun
1.Jul
1.Aug
1.Sep
1.Okt
1.Nov
1.Dez
31.Dez
Zeitgleichung: wahre Zeit = Sonnenzeit = mittlere Zeit + z(t)
· · · · · · · · · Zeitgleichung im Falle einer Kreisbahn (e = 0)
- - - - - - - Zeitgleichung ohne Schiefe der Ekliptik (ε = 0)
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 36
5. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren
Zeitgleichung:
1.Aug
16.Aug
1.Sep
0 min
15min
-15min
Ablesebeispiel, 15. August: Die Reflexion zeigt ∼ 8:05 ; es ist Sommerzeit, die Zeitgleichung
ergibt z = −5min (Sonnenzeit –mittl. Zeit) =⇒ Resultat: ∼ 9:10 Uhr
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 37
Segnung am 9. September 2012
Abt Maximilian, Weihbischof Laun, Abt Gregor mit “Sonnenprojektionsuhr”
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 38
Literatur
• H. Stachel: Spiegelung und Brechnung im DG-Unterricht. Informationsblatter derGeometrie 2/1, 23–29 (1983).
8. Nov., 33. Fortbildungstagung fur Geometrie, Strobl/Wolfgangsee 39