Download - Vectori referat matematica
B S
O A
u + v v
u
Vectori si operatii
În matematică, un vector propriu al unei transformări liniare pe un spațiu
vectorialeste un vector nenul a cărui direcție rămîne neschimbată de către acea
transformare. Factorul prin care mărimea vectorului este scalată se
numeștevaloare proprie a acelui vector.
Mulțimea vectorilor proprii ce au asociată aceeași valoare proprie constituie un
subspațiu vectorial al spațiului transformării, numit spațiu propriu al transformării,
asociat valorii proprii respective.
În geometrie, planul este o suprafață bidimensională, de curbură zero, nelimitată
în orice direcție. La desenarea figurilor, planul se poate reprezenta printr-un
paralelogram sau printr-un triunghi oarecare.
În lucrarea lui Euclid, Elementele, planul este o noțiune fundamentală, la fel ca și
dreapta și punctul. Una din axiomele geometriei euclidiene este:
„Prin trei puncte necoliniare trece un plan și numai unul”.
Corolare ale acestei axiome sunt:
„Printr-o dreaptă și un punct nesituat pe această trece un plan și numai
unul”.
„Prin două drepte secante trece un plan și numai unul”.
1. Adunarea vectorilor
Fie u si v doi vectori in plan de directii diferite . Fie O un punct in plan . Construim OA=u si OB=v . Fie S un al patrulea varf opus lui O al paralelogramului cu trei varfuri in O,A si B .
1
OS = u + v ( regula paralelogramului )
1) Daca u si v sunt doi vectori de aceeasi directie si acelasi sens atunci u+v este vectorul de aceeasi directie si sens si de lungime | u |+| v | .
2) Daca u si v au aceeasi directie si sensuri opuse atunci daca | u |>| v | vectorul u+v are aceeasi directie cu vectorii u si v , are sensul vectorului u si lungimea | u |-| v | .
3) Daca u si v au aceeasi directie , sensuri opuse si | u |<| v | atunci u+v este vectorul de aceeasi directie cu sensul vectorului v si cu lungimea | v | - | u | .
Se stie ca intr-un Δ , AC < AB + BC si atunci | u+v | < | u | + | v | . Cand A,B,C sunt colineare si vectorii AB si BC au acelasi sens atunci |
u+v | = | u | + | v | . Deci in general | u+v | ≤ | u | + | v | pentru orice 2 vectori u si v egalitatea avand loc numai daca u si v sunt coliniari si au acelasi sens .
Proprietetile adunarii :1. (u+v) +w = u+ (v+w) – asociativitate ;
2. u+v = v+u – comutativitate ;
3. exista 0 , a.i. oricare ar fi v , v+0 = 0+v = v – element neutru ;
4. oricare ar fi vectorul v exista (–v) a.i v+(-v)=(-v)+v=0 – element sincretic ; (- v) = opusul lui v , are aceeasi directie , lungime dar sensul e opus .
| u | + | v | = √(u²+v²+2uv*cos α) ;
2. Inmultirea unui vector cu un scalar
Fie α care apartine lui R , v- vector => αv se obtine din v astfel :
a) pentru α>0 vectorul αv are aceeasi directie cu v , acelasi sens si lungimea = α|v| ;
b) pentru α<0 vectorul αv are aceeasi directie cu v , sens opus acestuia si lungimea |α|*|v| ;
c) pentru α=0 => 0*v = 0 ;
Proprietatile inmultirii unui vector cu un scalar :Fie α , β apartin lui R , u,v = 2 vectori ;
2
A
C'
A'
B'
CB
D
E
A
F
B
C
1. α( βv ) = ( αβ )v ;
2. α( v+u ) = αv + αu ;
3. 1* (v) = v ;
4. 0* (v) = 0 ;
5. α 0 = 0 ; - Daca α=-1 vectorul (-v) se numeste opusul vectorului v si se obtine din acesta pastrandu-i directia si modulul , dar schimbandu-i sensul .
Teorema : 2 vectori nenuli sunt paraleli ( sau coliniari ) daca unul se obtine din celalalt prin inmultire cu un scalar nenul .
u,v ≠ 0
u || v <=> exista α apartinand lui R a.i. u = αv ;
Daca A',B',C', sunt mijloacele laturilor Δ ABC atunci AA'+BB'+CC'=0
Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele a doua laturi este egal cu semisuma bazelor ( EF=1/2(AB+DC));-Daca in rel. demonstrata trecem la norme ||EF||=1/2 (||AB|+|DC||)≤1/2(||AB||+||DC||);
-Egalitatea are loc<=> vectorii AB si CD sunt coliniari si de acelasi sens <=> AB || DC <=> ABCD – trapez ;
-In general FE ≤1/2(AB+DC) – intr-un patrulater ;
-Egalitatea are loc in trapez .
3
AD
M N
B C
A
C'B'
CA' B
A
M N
A' B C
G
Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele celor doua diagonale este egal cu semidiferenta bazelor ( MN=1/2(BC-AD));
Intr-un Δ ABC , M apartine BC a.i. MB/MC=k => AM=1/(k+1)AB-k/(k+1)AC ; - Caz particular MB=MC => mediana AM=1/2(AB+AC) ;
Fie G = c.g. Δ ABC , M – un punct in plan , atunci MA+MB+MC=3MG ;
Fie H= ortocentrul Δ inscris in C(O,r) , atunci HA+HB+HC=2HO ; H,G,O-coliniare si OH=3OG ; - Dreapta care contine aceste trei puncte ( c.c.circumscris – O , centrul de greutate – G si ortocentrul – H ) se numeste dreapta lui Euler .
Intr-un Δ , G=c.g. , M apartine lui AB , N apartine lui AC , si MN trece prin G => MB/MA + NC/NA =1 .
Teorema lui Menelaus si a lui Ceva
1.Teorema lui Menelaus
4
A
KB'C'
B A' C
O
B
A
xA xB
yA
P
x
y
yB
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele A',B',C' . Atunci A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 .
Reciproca : Daca A' apartine lui BC , B' apartine lui CA , C' apartine lui AB si daca A',B',C' sunt situate doua pe laturi si unul pe prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 atunci punctele A',B',C' sunt coliniare .
2. Teorema lui Ceva
Se da Δ ABC si dreptele concurente AA',BB',CC' ≠ laturi atunci A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 .
Reciproca : Se da Δ ABC , A' apartine lui BC , B' apartine lui CA , C' apartine lui AB ≠ varfuri , situate pe laturi sau un punct pe o latura si doua pe prelungirile laturilor . Daca A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 => dreptele AA' , BB' , CC' sunt concurente .
OBSERVATIE !
1. Dreptele concurente A'A , B'B , C'C se numesc ceviene .
2. Reciproca Teoremei lui Ceva este utila in rezolvarea problemelor de concurenta .
Geometria analitica a dreptei
1. Geometria analitica a dreptei – distanta dintre doua puncte
5
x O
y
B
A
u
i
j
M
x O
y
B
A
x O
y
BM
u
A
AB=√[(xA-xB)²+(yA-yB)²]
2. Elemente de geometrie analitica
Se numeste versor al dreptei d un vector de lungime 1 , care are directia dreptei d . Daca A apartine lui d ii asociem un numar real , unic x , numit coordonata sa . Atunci OA=x*i . Daca x>0 atunci A este in sensul pozitiv al axei Ox . Daca x<0 atunci A este in sensul negativ al axei Ox .
Fie xOy un sistem de axe ortogonale . Fie i si j versorii axelor . Fie u un vector in plan . Orice vector u poate fi scris in mod unic u=xi+yj ;
AB = (xB-xA)i + (yB-yA)j ;
3. Modulul uni vector
u = xi + yj => |u| = √(x²+y²)
|AB|=||AB||=AB |u|=||u||=u
6
4. Suma a doi vectori
u=x1i+y1j v=x2i+y2j
u+v = (x1+x2)i+(y1+y2)j
5. Conditia de paralelism
u||v <=> x1/x2=y1/y2 , pt. x2,y2 ≠0
6. Conditia de coliniaritate a 3 puncte
A,B,C – coliniare <=> AB||AC => (x2-x1)/(x3-x1)=(y2-y1)/(y3-y1)
7. Conditia de perpendicularitate
u┴v <=> x1*x2+y1*y2 = 0
8. Coordonatele mijlocului unui segment
xM=(xA+xB)/2 yM=(yA+yB)/2
9. Coordonatele centrului de greutate al unui Δ
xG=(xA+xB+xC)/3 yG=(yA+yB+yC)/3
10. Ecuatia dreptei in plan
Graficul functiei de gradul I , f : R → R , f(x) = ax + b , cu a≠0 este o dreapta formata din punctele de coordonatele (x,y) unde y=ax+b . Orice dreapta este bine determinata de doua puncte distincte ale sale . - Daca a=0 , dreapta de ecuatie y=b este orizontala dusa prin b ;- Daca a≠0 dreapta de ecuatie y=ax+b este oblica ;- Mai exista dreapta verticala de ecuatie x=c .
11. Ecuatia dreptei care trece printr-un punct dat si are o directie data
Ecuatia dreptei care trece printr-un punct A(x0,y0) si are directia vectorului u=pi+qj este (x-x0)/p=(y-y0)/q , p,q ≠0
Daca p=0 => u=qj => d||Oy si dreapta este verticala cu ecuatia x=x0 Daca q=0 => u=pi => d||Ox si dreapta este orizontala cu ecuatia y=y0
7
A α
B
O x
y d
12. Coeficientul unghiular . Panta unei drepte .
Fie d o dreapta in sistemul de axe xOy . Unghiul α format de dreapta d cu sensul pozitiv al axei Ox se numeste coeficientul unghiular al dreptei d .
Dreapta d:y=mx+n are panta m=tg.α , unde α = unghiul format de dreapta d cu sensul pozitiv al axei Ox .
Ecuatia dreptei care trece printr-un punct dat A(x0,y0) si are panta data m , este y-y0=m(x-x0).
13. Conditia de paralelism a doua drepte
d1 : y=m1x+n1
d2 : y=m2x+n2
d1||d2 d1||d2 <=> m1=m2 ( au aceeasi panta )
14. Conditia de perpendicularitate a doua drepte
d1 : y1=m1x+n1
d2 : y2=m2x+n2
d1┴d2 <=> m1*m2 = -1
15. Ecuatia dreptei care trece prin 2 puncte date8
Ecuatia dreptei care trece prin 2 puncte date A,B = AB : (y-yA)/(yB-yA)=(x- -xA)/(xB-xA)
CONCLUZIE : Ecuatia generala a dreptei d : ax+by+c=0 unde a²+b²≠0 .
Impartirea segmentului AB in raportul lambda si mijlocul unui segment
Fie două puncte distincte din plan. Punctul împarte segmentul în
raportul dacă are loc egalitatea .
Observaţii:1) deoarece .
2) Dacă atunci .
Vectorii şi sunt opuşi .
3) Dacă , atunci ( este pe dreapta , dar nu aparţine segmentului ).
şi au acelaşi sens .
Propoziţia 1. Dacă sunt două puncte distincte din plan şi împarte segmentul în raportul , atunci pentru orice punct din plan are loc:
Corolar. Dacă este mijlocul segmentului
.
9
Proprietati ale operatiei de adunare a vectorilor
1. Comutativitatea:
,Din regula paralelogramului:
2. Asociativitatea:
S-a folosit regula triunghiului pentru:
şi apoi si
10
3. Element neutru:
,
4. Opusul:
,
se numeşte opusul lui .
Observaţii:
1) Existenţa opusului unui vector permite definirea scăderii a doi vectori liberi şi
prin adică se adună cu opusul lui .
2) Relaţia lui Charles.
Pentru orice puncte are loc relaţia .
(adunarea prin regula triunghiului).
3) Regula poligonului
Este extinderea regulii triunghiului pentru determinarea sumei a vectori .
Vectori coliniari. Descompunerea dupa doi vectori dati
11
Definiţie: Doi vectori sunt coliniari dacă şi numai dacă unul din vectori este produsul celuilalt cu un număr real.
şi coliniari astfel încât sau astfel încât .
Observaţii:
1. Vectorul nul , deci el este coliniar cu orice alt vector.
2. Geometric, doi vectori coliniari nenuli au aceeaşi direcţie.
3. Dacă doi vectori nenuli şi sunt coliniari, din .
Teorema 1. Vectorii nenuli şi sunt coliniari dacă şi numai dacă există ,
nenule simultan, astfel încât .
Teorema 2. Dacă vectorii sunt necoliniari, atunci pentru orice vector ,
există unic determinaţi astfel încât .
Vectori liberi
Fiind dat un vector legat, există o infinitate de vectori legaţi echipolenţi cu acesta (au acelaşi sens şi acelaşi modul cu vectorul legat dat).
Definiţie: Se numeşte vector liber mulţimea tuturor vectorilor legaţi echipolenţi cu un vector legat dat.
- Vectorii liberi se notează cu litere mici:
- Fie un vector legat dat. Vectorul liber .
- Orice vector legat din se numeşte reprezentant al vectorului liber .
- Deoarece este o mulţime de vectori normal ar fi să scriem , dar vom scrie, prin
convenţie, .
- Vectorul liber determinat de toţi vectorii legaţi nuli îl vom nota cu şi se va numi vectorul nul.
Fie un vector liber.
12
- Prin direcţie, sens şi lungime ale vectorului liber vom înţelege direcţia, sensul şi lungimea
comună tuturor vectorilor legaţi din .
- Vom nota cu lungimea sau norma lui .
- Dacă atunci vectorul liber de reprezentant îl vom nota cu .
- Dacă la vectorii legaţi prin egalitatea se înţelege şi , la vectorii
liberi, egalitatea dintre şi unde şi are loc dacă şi numai dacă .
- În concluzie vectorii liberi pot avea originea în orice punct şi reprezintă o mulţime de vectori echipolenţi cu un vector legat dat, pe când vectorii legaţi au o origine dată şi reprezintă un segment orientat.
- Se notează cu mulţimea vectorilor liberi din plan.
Definiţie: Vectorul liber , de normă , se numeşte versor.
Definiţie: Doi vectori se numesc octogonali dacă direcţiile lor sunt perpendiculare.
Observaţie: Fie un punct fixat din plan, numit origine.
Pentru orice vector liber , există un singur punct , astfel încât (există un singur
vector legat cu originea în care să fie reprezentant al vectorului liber ).
Exemplificări:
1. Fie punctele din plan.
Cele două puncte formează vectorul legat (segmentul orientat) .
Dacă sunt alte puncte din plan astfel încât , atunci vectorul liber
are ca reprezentanţi pe oricare dintre vectorii .
2. Fie vectorii şi ca în desenul următor:
13
Ducând paralele la cele două direcţii ale vectorilor şi , se observă că dreptele sunt
perpendiculare vectorii şi sunt ortogonali.
Coordonatele unui vector in plan
Fie doi vectori ortogonali (au şi direcţii perpendiculare).
Fie un vector oarecare.
Din teorema: pentru doi vectori necoliniari ,
cu pentru , cu .
Această expresie se numeşte expresia analitică a vectorului , iar numerele
reale se numesc coordonatele euclidiene ale vectorului .
Vom scrie .
Dacă şi , atunci si
Propoziţia 1. Dacă şi atunci şi sunt coliniari .
Propoziţia 2. Dacă atunci .
Exercitii:
1. Fie şi . Să se determine astfel încât .
Rezolvare :
14
2. Se dau vectorii ; . Pentru ce valori ale lui
, ?
Rezolvare :
,
3. Să se determine astfel încât vectorii , să fie coliniari.
Rezolvare :
Vectorii şi sunt coliniari astfel încât .
Fie cu mijlocul laturii şi mijlocul laturii . Atunci şi (teorema de caracterizare a liniei mijlocii într-un triunghi.
Rezolvare :
15
Din regula triunghiului:
6. Fie şi punctul său de greutate. Dacă este un punct arbitrar din
planul triunghiului, atunci
Rezolvare :
Fie mijloacele laturilor , respectiv .
Deoarece este centru de greutate .Din propoziţia 1, pentru
.
Deoarece este mijlocul lui 16
6. Fie paralelogramul , de centru . Să se arate că pentru orice punct din planul paralelogramului are loc
Rezolvare :
Deoarece este mijlocul lui , respectiv
7. Fie două paralelograme cu diagonala comună. Arătaţi că este paralelogram.
Rezolvare :
Întâi vom demonstra un rezultat extrem de util în a arăta că un patrulater e paralelogram:
Un patrulater este paralelogram , punct din planul patrulaterului.
Fie - paralelogram. Demonstrăm că .
17
Aplicând regula triunghiului
Dar paralelogram
Reciproc:
Dacă
- paralelogram.
Revenind la soluţia problemei:
Din si
18
- paralelogram.
8. Fie punctele coliniare astfel încât . Să se exprime
vectorul cu ajutorul vectorului .
Rezolvare :
Sensul vectorilor şi sunt opuse .
9. Fie şi astfel încât .
Determinaţi pentru care .
Rezolvare :
Din regula triunghiului
19
Dar :
10. Fie şi astfel încât .
Dacă este un punct oarecare din plan, scrieţi vectorul în funcţie de
vectorii .
Rezolvare :
Dar
11.
Rezolvare :
20
12.
Rezolvare :
13.
Rezolvare :
14.
Rezolvare :
15.
Rezolvare :
21
16.
Rezolvare :
17.
22
Rezolvare :
18.
Rezolvare :
19. Se da ecuatia a dreptei 12x + 5y + 13 = 0. Sa se scrie ecuatia acestei drepte cu panta :
Rezolvare :
Rezolvam ecuatia dreptei in raport cu y si obtinem consecutiv:
20. Se da ecuatia a dreptei 12x + 5y + 13 = 0. Sa se scrie ecuatia acestei drepte normala :
Rezolvare :
21. Sa se determine punctul de intersectie al dreptelor x − y − 2 = 0 si x + y − 6 = 0.
23
Rezolvare :
22. Sa se scrie ecuatia dreptei care trece prin punctul A(2, 5) si este egal departata de punctele B(−1, 2) si C(5, 4).
Rezolvare :
23. Sa se scrie ecuatia dreptei ce trece prin punctul de coordonate (1; 3) si punctul de intersectie a dreptelor 2x + 3y - 5 = 0 si 5x - 4y-¡ 5 = 0.
Rezolvare :
24.
24
Rezolvare :
25.
Rezolvare :
26.
Rezolvare :
27.
Rezolvare :
28.25
Rezolvare :
29.
Rezolvare :
30.
Rezolvare :
31.
Rezolvare :
32.
26
Rezolvare :
33. Să se demonstreze că în patrulaterul MNPQ are loc relaţia
PNMQPQMN .
Rezolvare :
PNMQPQMN
PQMQPNMNN
P
M Q
Dar
MPNPMNPNMN (regula triunghiului în MNP)(1)
MPQPMQPQMQ ( regula triunghiului în MQP)(2)
Din (1) şi (2)
PQMQPNMN .
34. Să se determine perimetrul triunghiului ABC ale cărui vârfuri sunt A(-1,3), B(-2,0), C(0,3).
Rezolvare :
ACBCABP ABC .
103012 2222 ABAB yyxxAB 130320 2222 BCBC yyxxBC 13310 2222 ACAC yyxxAC
13101 ACBCABP ABC
27
35. În triunghiul ABC punctele M, N, P sunt mijloacele laturilor AB, BC, respectiv
AC. Să se arate că
ANAPAM .
Rezolvare :
Deoarece M, N, P sunt mijloacele laturilor AB, BC, respectiv AC MN şi NP sunt linii mijlocii în ABC
MN AP şi NP AM AMNP paralelogram
ANAPAM .
36.
Rezolvare :
37.
Rezolvare :
28
38.
Rezolvare :
39.
Rezolvare :
40.
29
Rezolvare :
41.
Rezolvare :
30
31
42.
Rezolvare :
43.
Rezolvare :
32
44.
Rezolvare :
45.
Rezolvare :
46.
33
Rezolvare :
47.
Rezolvare :
48.
Rezolvare :
34
49.
Rezolvare :
50.
Rezolvare :
35
36
In concluzie :
Un vector este reprezentat de obicei printr-un segment orientat de dreaptă (o
săgeată) având următoarele elemente:
direcție, pe care se manifestă mărimea vectorială respectivă (se numește
și dreapta-suport a vectorului);
sens, dat de sensul de manifestare a mărimii (sensul pe dreapta-suport);
punct de aplicație, reprezentând punctul în care se manifestă mărimea
fizică;
modul, proporțional cu intensitatea mărimii vectoriale respective.
Vectorul unitate se numește „versor”.
Ei sunt :
Vectori legați, caracterizați prin modul, direcție, sens și punct de aplicație
(exemplu: momentul forței în raport cu un pol);
Vectori alunecători, caracterizați prin modul, direcție și sens (exemplu:
forța pe dreapta-suport);
Vectori liberi, caracterizați prin: modul, sens și o direcție paralelă cu o
direcție dată.
Aplicatii in geometrie :
Multe probleme de geometrie pot fi rezolvate prin metoda vectorială. Se fixează
un punct numit origine, se introduc vectorii de poziție ale diverselor puncte
necesare rezolvării problemei. Se transcrie ipoteza problemei în formă vectorială,
formă care se transformă prin metode algebrice până, prin revenire la forma
geometrică, obținem concluzia dorită.
Pentru aceasta trebuie cunoscută transcrierea vectorială a unor proprietăți
geometrice fundamentale:
37
Doi vectori nenuli și sunt coliniari dacă și numai dacă
Dacă sunt trei vectori nenuli coplanari, atunci oricare dintre ei se
poate scrie ca o combinație liniară a celorlalți.
38