UNIVERSITE DE M’SILA FACULTE DE TECHNOLOGIE
DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE
THESE
Présentée par : ZEGHLACHE Samir
En vue de l’obtention du
DOCTORAT
Spécialité : Electronique
Intitulé : Commande non linéaire d’un appareil à vol
vertical
Soutenue le : 23/09/2014 devant le jury composé de :
Djamel CHIKOUCHE Professeur - Université de M’sila Président
Djamel SAIGAA Professeur - Université de M’sila Rapporteur
Kamel Kara Maître de conférences A - Université de Blida Co-Rapporteur
Farid KHABER Professeur - Université de Sétif Examinateur
Abdelkrim ALLAG Professeur - Université de Biskra Examinateur
Amar MEZACHE Professeur - Université de M’sila Examinateur
Promotion : 2013/2014
REMERCIEMENTS
Le travail présenté dans cette thèse a été effectué au LASS, Laboratoire d’Analyse des
Signaux et Systèmes de l’université de M’sila.
Je tiens d' abord à exprimer toute ma gratitude et ma reconnaissance à
Monsieur SAIGAA Djamel, Professeur à l’université de M’sila, pour m’avoir encadré et
soutenu durant ces années de thèse. Je le remercie aussi pour son aide précieuse, les
conseils et les connaissances dont il a su me faire profiter. Il m’est difficile d’exprimer
en quelques mots toute l’admiration que je lui porte.
Je suis extrêmement reconnaissant à Monsieur KARA Kamel, Maître de
conférences (A) à l’université de Blida, pour avoir accepté d’être mon co-directeur de
thèse. Ses très nombreux commentaires et suggestions ont considérablement amélioré à la
fois le contenu et la présentation de cette thèse. Qu’il reçoit ici le témoignage de toute ma
gratitude pour ses grandes qualités humaines et pour son soutien moral.
Je remercie Monsieur CHICOUCHE Djamel, Professeur à l’université de M’sila
pour l’honneur qu’il me fait en présidant ce jury, et par son esprit scientifique de haut niveau,
pour m’avoir orienté vers le plus approprié.
J’adresse également mes très sincères remerciements à l’ensemble des membres pour
l’honneur qu’ils m’ont fait pour avoir accepter de faire partie de ce jury en acceptant
d’examiner et d’évaluer cette thèse. J’exprime mes vifs respects au Monsieur KHABER
Farid, Professeur à l’université de Sétif, au Monsieur ALLAG Abdelkrim, Professeur à
l’université de Biskra, au Monsieur MEZACHE Amar, Maître de conférences (A) à
l’université de M’Sila. Soyez assurés messieurs les membres du jury de ma profonde
reconnaissance pour l’attention que vous avez portée à cette thèse et pour le temps que vous
avez consacré à son évaluation.
Je tiens également à remercier l’ensemble des personnels administratifs et enseignants
des départements d’Electronique et de Génie Electrique ainsi que le directeur et les membres
du Laboratoire d’Analyse des Signaux et Systèmes de l’Université de M’Sila, qui resteront
anonymes dans cette page, mais qui m’ont permis de mener à terme ce travail dans une
ambiance très amicale.
Je tiens à remercier tous ceux qui ;
D'une façon ou d'une autre, m'ont aidé pendant l’élaboration de cette thèse,
Certains par leurs conseils et leurs connaissances scientifiques…
D’autres par leur soutien permanent et leur disponibilité…
Dédicaces
A la mémoire de mon père Mohamed
A ma chère mère Assia
A ma femme Asma et ma petite fille Assia
A mes sœurs Imene, Nawel, Wafa, Amira
I
Table des Matières Table des Matières………………………………………..………………….…………… I
Liste des Figures……………………………………………………………………………....... VI
Liste des Tableaux……………………………………………………………………………… XIV
Introduction générale………………………………………..…………………………. 1
Chapitre I : Etat de L’art
I.1. Introduction…………………………………………………………………………. 6
I.2. Classification des drones……………………………………………………………. 6
I.2.1. Classification selon la taille………………………………………………. 6
I.2.2. Classification selon le mode de propulsion……………………………… 7
I.3. Applications et utilisation………………………………………………………….. 10
I.3.1. Applications militaires…………………………………………………… 10
I.3.2. Applications civiles……………………………………………………….. 12
I.4. Technologie des capteurs pour la localisation des drones………………………….. 13
I.4.1. Capteurs Proprioceptifs………………………………………………….. 13
I.4.1.1. Accéléromètres………………………………………………….. 13
I.4.1.2. Gyroscopes……………………………………………………… 13
I.4.1.3. Centrales inertielles (IMU : Inertiel Measurement Unit)………. 14
I.4.2. Capteurs Extéroceptifs…………………………………………………… 14
1.4.2.1. Compas magnétiques………………………………………….. 14
I.4.2.2. Gyrocompas……………………………………………………. 14
I.4.2.3. Localisation sur balises (GPS : Global Positioning System)…. 14
I.4.2.4. Capteurs télémétriques……………………………………….... 15
I.4.2.5. Caméra………………………………………………………….. 15
I.5. Commande des drones…………………………………......................................... 16
1.5.1. Les techniques de commande linéaires………………………….. 16
1.5.2. Les techniques de commande non linéaires……………………... 17
I.6. Conclusion…………………………………………………………………….......... 20
Chapitre II : Modélisation D’hélicoptère à Deux Degré de Liberté et Six Degré
de Liberté
II.1. Introduction………………………………………………………………………… 22
II.2. Modélisation d’un hélicoptère a deux degré de liberté de type TRMS 33-007-
4M5………………………………………………………………………………..
22
II
I.2.1. Description du TRMS 33-007-4M5………………………………………. 22
II.2.2. Modèle non linéaire………………………………………………………. 23
II.2.3. Sous système d’élévation…………………………………………………. 23
II.2.3.1. Moment gravitationnel 1vM ………………………………........ 24
II.2.3.2. Moment de la force aérodynamique 2vM …………………........ 25
II.2.3.3. Moment des forces centrifuge 3vM …………………………...... 26
II.2.3.4. Moment de friction 4vM ……………………………………...... 28
II.2.3.5. Moment d’inertie vJ ………………………………………….... 28
II.2.4. Sous système d’azimut…………………………………………………… 28
II.2.4.1. Moment de la force aérodynamique……………………………. 29
II.2.4.2. Moment de friction…………………………………………....... 29
II.2.4.3. Moment d’inertie……………………………………….............. 30
II.2.4.4. Dynamiques des propulseurs (hélices + moteurs DC)………..... 30
II.2.5. Modèle d’état……………………………………………………………… 32
II.2.6. Le modèle découplé………………………………………………………. 33
II.2.6.1. Modèle 1 DDL vertical…………………………………………. 33
II.2.6.2. Modèle 1DDL horizontal……………………………………….. 34
II.2.7. Paramètres du modèle…………………………………………………...... 34
II.2.8. Réponse en boucle ouverte……………………………………………...... 36
II.3. Modélisation d’un quadrotor a six degrés de Liberté……………………………..... 36
II.3.1. Les possibilités de vol du quadrotor……………………………………… 36
II.3.2. Modèle Dynamique……………………………………………………...... 38
II.3.3. Dynamique du rotor………………………………………………………. 41
II.4. Conclusion………………………………………………………………………….. 44
Chapitre III : Commande par Linéarisation Entrée-Sortie
III.1. Introduction…...…………………………………………………………............... 45
III.2. Commande par linéarisation entrée-sortie……….…………....………….............. 45
III.2.1. Commande par linéarisation entrée-sortie des systèmes monovariables... 45
III.2.1.1. Degré relatif ………………………………………………….... 45
III.2.1.2. Dérivée de Lie………………………………...………………... 46
III.2.1.3. Forme normale……………………………...……………......... 47
III.2.1.4. Linéarisation exacte par régulation d'état statique…………….. 49
III
III.2.1.5. Linéarisation exacte d'un système en forme normale…………. 49
III.2.1.6. Linéarisation exacte d'un système en forme quelconque...……. 50
III.2.2. Commande par linéarisation entrée-sortie des systèmes multivariables… 51
III.3. Commande par linéarisation entree-sortie appliquées au TRMS………………..... 52
III.3.1. Calcule du degré relatif ……………………………………………..…… 52
III.3.2. Synthèse de la loi de commande…………………………..…………….. 53
III.3.3. Résultats de simulation…………………………………………………... 54
III.4. Commande par linéarisation entrée-sortie appliquées au quadrotor…………….... 56
III.4.1. Stratégie de commande……………………...…………………………… 56
III.4.2. Synthèse de la commande par linéarisation entrée-sortie……………….. 57
III.4.2.1. Sous système de translation…………………………...…........ 57
III.4.2.2. Sous-système d’orientation……………………..…………….. 59
III.4.3. Résultats de simulation………………………………...………………… 61
III.5. Commande par linéarisation entrée-sortie avec extension dynamique appliquée au
quadrotor………….……………………………………………………………….
64
III.5.1. Synthèse de la commande Modèle simplifié du quadrotor……………… 64
III.5.1.1. Commande des postions (x, y, z) et des angles (φ,θ)…………... 65
III.5.1.2. Commande de l’angle (ψ)…………………………………….... 66
III.5.2. Résultats de simulation…………………………...……………………… 67
III.6. Conclusion……………………………………...…………………………............. 70
Chapitre IV : Commande par Mode Glissant
IV.1. Introduction …………………………………………..……………….................... 72
IV.2. Commande par modes glissants d’ordre simple…………………………………... 72
IV.2.1. Choix des surfaces de glissement………...…………………………….... 73
IV.2.2. Condition de glissement……………...………………………………...... 73
IV.2.3. Calcul de la commande………………..……………………………….... 74
IV.2.4. Expression analytique de la commande………………………..……...... 75
IV.2.5. Elimination du phénomène du chattering………………………..………. 76
IV.2.6. Différentes structures de la commande par mode de glissement…........... 77
IV.2.6.1. Structure par commutation au niveau de l’organe de
Commande………………………………………………….......
77
IV.2.6.2. Structure par commutation au niveau d’une contre réaction
d’état……………………………………………………………..
78
IV
IV.2.6.3. Structure de régulation avec ajout de la commande
équivalente……………………………………………………...
78
IV.3. Commande par mode glissant avec des surfaces de glissement non linéaires
appliquée au TRMS……………………………………………………………......
79
IV.3.1. Surface de glissement non linéaire proposée…………………................ 79
IV.3.2. Synthèse de la commande……………………………………………...... 80
IV.3.3. Résultats de simulation………………………………………………...... 83
IV.4. Commande par mode glissant avec des surfaces de glissement non linéaires
appliquée au quadrotor............................................................................................
85
IV.4.1. Surface de glissement non linéaire proposée……………………….…… 85
IV.4.2. Synthèse de la commande……………………..……………………….... 86
IV.4.3. Résultats de simulation……………………………..…………………… 87
IV.5. Principe de modes glissants d’ordre supérieur…………….……………………… 90
IV.5.1. Position du problème…………………………..………………………… 91
IV.5.2. Mode glissant d’ordre deux…………………..……………………..….... 92
IV.5.3. Conditions de convergence en temps fini…………………………..……. 93
IV.5.4. Algorithmes de commande glissant d'ordre deux (Super Twisting)…….. 94
IV.6. Commande par mode glissant d’ordre deux appliquées au TRMS……………….. 95
IV.6.1. Résultats de simulation…………………………………………..……… 96
IV.7. Commande par mode glissant d’ordre deux appliquées au quadrotor……………. 98
IV.7.1. Résultats de simulation……………………………….…………………. 98
IV.8. Conclusion………………………………………………………………………… 101
Chapitre V : Commande par Mode Glissant Flou et Commande Par
Backstepping
V.1. Introduction………………………………………………………………................ 103
V.2. Commande par mode glissant flou…………………………………........................ 103
V.2.1. Mise en œuvre de la commande par mode glissant flou………………….. 104
V.3. Commande par la methode du backstepping……………………………………….. 107
V.3.1. Cas des systèmes d’ordre n……………………………………………………….. 110
V.3.2. Association des commandes mode glissant et backstepping…………………...... 111
V.3.3. Association des commandes mode glissant flou et backstepping……………….. 111
V.4. Commande d’un hélicoptère a deux degrés de liberté de type TRMS 33-007-
4M5………………………………………………………………………………….
112
V
V.4.1. Commande par mode glissant flou……………………………………….. 112
V.4.2. Résultats de simulation…………………………………………………… 113
V.4.3. Commande par mode glissant et backstepping …………………………. 115
V.4.4. Résultats de simulation…………………………………………………… 119
V.4.5. Commande par mode glissant flou et backstepping……………………… 121
V.4.6. Résultats de simulation…………………………………………………… 122
V.5. Commande d’un hélicoptère a six degrés de liberté de type quadrotor…………… 124
V.5.1. Commande par mode glissant flou……………………………………….. 124
V.5.2. Résultats de simulation…………………………………………………… 125
V.5.3. Commande par mode glissant et backstepping………………………….. 128
V.5.4. Résultats de simulation…………………………………………………… 131
V.5.5. Commande par mode glissant flou et backstepping……………………… 134
V.5.6. Résultats de simulation…………………………………………………… 134
V.6. Etude comparative…………….……………………………………………………. 137
V.7. Commande par mode glissant flou et backstepping a base d’observateur du
quadrotor…………………………………………………………………………....
140
V.7.1. Synthèse de l’observateur……………………………………………....... 140
V.7.2. Synthèse des lois de commande………………………………………….. 142
V.7.3. Résultats de simulation…………………………..……………………….. 143
V.8. Conclusion………………………………………………………………….............. 146
Conclusion Générale……………………………………............................................... 148
Bibliographie…………………………………………………………………………………… 150
VI
Liste des Figures
Figure I.1. Catégories des drones……………………………………………………… 7
Figure I.2. Classification selon le mode de propulsion……………………………….. 8
Figure I.3. avion 3D…………………………………………………………………… 8
Figure I.4. Le T-Wing (à gauche) et l’HoverEye (à droite)…………………………… 9
Figure I.5. Hélicoptères à trois hélices. Le Vectron (a), l'hélicoptère auto-stable (b)
et le Tri-rotor de Compiègne (c)……………………………………………………….
9
Figure I.6. Hélicoptères à quatre hélices: quadrirotor de pennsylvanie (a), X19 quad-
tilt-rotor aircraft (b), le drone du laboratoire IBISC (c) et le drone de la NASA (d)…..
10
Figure I.7. Support au combat : (a) coopération UAV-UGV, (b) éclaireur…………… 11
Figure I.8. Drone militaires de surveillance : (a) global hawk (North grumman, 1000
kg de charge utile) et (b) sperwer (sagem)……………………………………………..
11
Figure I.9. Le Predator, drone multi missions, utilisé par l’US Air Force depuis 1995
Figure I.10. Contrôle des Feux de forêts (a), (b) épandage engrais, (c) Surveillance
des lignes électriques…………………………………………………………………...
12
Figure II.1. Hélicoptère à deux degrés de liberté TRMS 33-007-4M5…………...…… 23
Figure II.2. Forces de gravités agissantes sur le TRMS……………………………….. 24
Figure II.3. Moments de la force aérodynamique et de friction……………………….. 26
Figure II.4. Moments de la force centrifuge…………………………………………… 27
Figure II.5. Moments des forces dans le plan horizontal……………...………………. 29
Figure II.6. Schéma bloc des moteurs……………………………………...………….. 31
Figure II.7. Schéma bloc du TRMS 33-007-4M5……………………………...……… 33
Figure II.8. Schéma bloc du modèle vertical…………………………………………... 34
Figure II.9. Schéma bloc du modèle horizontal……………………………………….. 34
Figure II.10. Réponses libres du modèle du TRMS………………………...………… 36
Figure II.11. Réponses du modèle du TRMS pour h vu u 0.5 volt et αv0=αh0=0
rad…................................................................................................................................
36
Figure II.12. Exemple type d’un quadrotor……………………………………………. 37
Figure II.13. Les mouvements du quadrotor…………………………………………... 37
Figure II.14. Configuration du quadrotor…………………………...…………………. 38
Figure III.1. Schéma d'un système monovariable en forme normale………………….. 49
Figure III.2. Linéarisation exacte par régulation d'état statique………………...……... 49
VII
Figure III.3. Schéma du système linéarisé……………………….…………………….. 50
Figure III.4. Découplage d’un système non linéaire multivariable……………………. 51
Figure III.5. Retour d’état dynamique…………………………………………………. 52
Figure III.6. Schéma bloc de la commande par linéarisation entrée-sortie appliquée au
modèle du TRMS 33-007-4M5…………………………………...……………………
54
Figure III.7. Performances de commande dans le cas d’une trajectoire carrée : (a) et
(b) réponses du système, (c) et (d) signaux de commande………………..…………...
55
Figure III.8. Performances de commande dans le cas d’une trajectoire sinusoïdale :
(a) et (b) réponses du système, (c) et (d) signaux de commande……………………...
55
Figure III.9. Performances de commande en présence d’une perturbation externe: (a)
et (b) réponses du système, (c) et (d) signaux de commande……………………..…...
56
Figure III.10. Schéma général de commande du quadrotor……………………...……. 57
Figure III.11. Résultats de poursuite, dans le cas des trajectoires de référence en
échelon, selon les axes , , ,X Y Z ……………………......…………………………….
61
Figure III.12. Résultats de poursuite, dans le cas des trajectoires de référence en
échelon, selon , ……………...…………………..…………………………….......
62
Figure III.13. Signaux de commande, dans le cas des trajectoires de référence en
échelon………………………………………………………………………………….
62
Figure III.14. Vitesse angulaires des quatre rotors, dans le cas des trajectoires de
référence en échelon…………………..………………………………………..............
62
Figure III.15. Trajectoire globale du quadrotor en 3D, dans le cas des trajectoires de
référence en échelon……………………...……………………………………….........
62
Figure III.16. Résultats de poursuite, des trajectoires en forme sinusoïdale, selon les
axes , , ,X Y Z ………….………………...………………………………………........
63
Figure III.17. Résultats de poursuite, des trajectoires en forme sinusoïdale, selon
, ……………………………………………………………………………………
63
Figure III.18. Signaux de commande dans le cas des trajectoires en forme
sinusoïdale……………………………………………………………………………...
64
Figure III.19. Vitesse angulaires des quatre rotors dans le cas trajectoires en forme
sinusoïdale……………………………………………………………………………...
64
Figure III.20. Trajectoire globale en 3D (cas des formes sinusoïdales) ………………. 64
Figure III.21. Schéma bloc de la commande du quadrotor par linéarisation entrée-
sortie avec extension dynamique…………………………………….…………………
67
VIII
Figure III.22. Résultats de poursuite, dans le cas des trajectoires de référence en
échelon, selon les axes , , ,X Y Z ………………………………...…………………...
67
Figure III.23. Résultats de poursuite, dans le cas des trajectoires de référence en
échelon, selon , ………………………….……………………………………….
68
Figure III.24. Signaux de commande, dans le cas des trajectoires de référence en
échelon…........................................................................................................................
68
Figure III.25. Vitesse angulaires des quatre rotors, dans le cas des trajectoires de
référence en échelon……………………………………………………………………
68
Figure III.26. Trajectoire globale du quadrotor en 3D, dans le cas des trajectoires de
référence en échelon……………………………………………………………………
68
Figure III.27. Résultats de poursuite, des trajectoires en forme sinusoïdale, selon les
axes , , ,X Y Z ………………………………………………………….……………...
69
Figure III.28. Résultats de poursuite, des trajectoires en forme sinusoïdale, selon
, ……………………………………………………………………………………
69
Figure III.29. Signaux de commande dans le cas des trajectoires en forme
sinusoïdale……………………………………………………………………………...
70
Figure III.30. Vitesse angulaires des quatre rotors dans le cas des trajectoires en
forme sinusoïdale……………………………….………………………………………
70
Figure III.31. Trajectoire globale en 3D (cas des formes sinusoïdales) ………………. 70
Figure IV.1. Convergence du système glissant……………………………………… 73
Figure IV.2. Valeur continue eqU prise par la commande lors de la commutation
entre maxU et minU .………………………………………………………………..……
75
Figure IV.3. Représentation de la fonction sign……………………………………….. 76
Figure IV.4. Fonction saturation avec un seuil et deux seuils (zone morte)……...…… 76
Figure IV.5. Fonction «smooth»……………………………………………………….. 77
Figure IV.6. Structure de régulation par commutation au niveau de l’organe de
commande………………………………………………………………………………
77
Figure IV.7. Structure de régulation par commutation au niveau de la contre réaction
d’état……………………………………………………………………………………
78
Figure IV.8. Structure de régulation par ajout de la commande équivalente…………… 78
Figure IV.9. Schéma bloc de la commande par mode glissant avec des surfaces non
linéaires…………………………………………………………………………………
83
IX
Figure IV.10. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de
référence carré…………………...……………………………………………………..
84
Figure IV.11. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de
référence sinusoïdal…………………………………………………………………….
84
Figure IV.12. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des
forces aérodynamiques………………………………………………………………...
85
Figure IV.13. Trajectoire dans l’espace de la poursuite : (a) d’un signal carré, (b)
d’un signal sinusoïdale…………………………………………………………………
85
Figure IV.14. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes
, , ,X Y Z ………………………………………………………………………………
88
Figure IV.15. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon , …………… 88
Figure IV.16. Signaux de commande…………………...……………………………... 88
Figure IV.17. Vitesses angulaires des quatre rotors…………………...…………......... 89
Figure IV.18. Trajectoire globale du quadrotor en 3D…………………...…………..... 89
Figure IV.19. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes
, , ,X Y Z ………………………………………………………………………………
89
Figure IV.20. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon , …………… 89
Figure IV.21. Signaux de commande………………………………………………….. 90
Figure IV.22. Vitesses angulaires des quatre rotors……………………...……………. 90
Figure IV.23. Trajectoire globale du quadrotor en 3D………………………………… 90
Figure IV.24. Trajectoire du mode glissant d’ordre 2…………………………………. 92
Figure IV.25. Convergence en temps fini de l'algorithme Super Twisting……………. 95
Figure IV.26. Schéma bloc de la commande par mode glissant d’ordre deux
appliquée à l’hélicoptère à deux degrés de liberté de type TRMS 33-007-4M5……….
95
Figure IV.27. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de
référence carré…………………...……………………………………………………..
96
Figure IV.28. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de
référence sinusoïdale………………………………...…………………………………
97
Figure IV.29. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des
forces aérodynamiques (test de robustesse) ……………………………………….......
97
Figure IV.30. Trajectoires de référence en 3D : (a) signal carré, (b) signal
sinusoïdale. …………………………………………………………………………….
98
X
Figure IV.31. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes
, , ,X Y Z ………………………………………………………………………………
99
Figure IV.32. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon , ………….… 99
Figure IV.33. Signaux de commande …………………………………………………. 99
Figure IV.34. Vitesse angulaires des quatre rotors ……………………………………. 100
Figure IV.35. Trajectoire globale du quadrotor en 3D………………………………… 100
Figure IV.36. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes
, , ,X Y Z ………………………………………………………………………………
100
Figure IV.37. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon , …….……… 100
Figure IV.38. Signaux de commande …………………………………………………. 101
Figure IV.39. Vitesse angulaires des quatre rotors ……………………………………. 101
Figure IV.40. Trajectoire globale du quadrotor en 3D ………………………………... 101
Figure V.1. Partition floue de l’espace autour de la surface de glissement dans le plan
de phase ………………………………………………………………………………..
105
Figure V.2. Fonctions d’appartenance de l’entrée s et de sortie uf ……………………. 106
Figure V.3. Résultats de l’inférence des règles floues pour différentes valeurs de r …. 107
Figure V.4. Structure de l’association des commandes mode glissant flou et
backstepping……………………………………………………………………………
112
Figure V.5. Schéma bloc de la commande par mode glissant flou appliquée au TRMS
33-007-4……………………………………………………………………………….
112
Figure V.6. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de
référence carré (commande par mode glissant flou) ……………..……………………
113
Figure V.7. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de
référence sinusoïdale (commande par mode glissant flou) ………………...………….
114
Figure V.8. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des
forces aérodynamiques (commande par mode glissant flou) ………………………….
114
Figure V.9. Résultats de poursuite en 3D : (a) signal de référence carré, (b) signal de
référence sinusoïdale (commande par mode glissant flou) ……………………………
115
Figure V.10. Schéma bloc de la commande glissante-backstepping appliquée au
TRMS 33-007-4M5 ……………………………………………………………………
115
Figure V.11. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de
référence carré (commande glissante-backstepping) ………………………………......
119
XI
Figure V.12. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de
référence sinusoïdale (commande glissante-backstepping) ……………………………
120
Figure V.13. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des
forces aérodynamiques (commande glissante-backstepping) …………………………
120
Figure V.14. Résultats de poursuite en 3D : (a) signal de référence carré, (b) signal de
référence sinusoïdale (commande glissante-backstepping) ……………………………
121
Figure V.15. Schéma bloc de la commande par mode glissant flou et backstepping
appliquée au TRMS 33-007-4M5………………………...……………………………
122
Figure V.16. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de
référence carré (commande par mode glissant flou et backstepping) ……………...….
123
Figure V.17. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de
référence sinusoïdale (commande par mode glissant flou et backstepping) ……...…...
123
Figure V.18. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des
forces aérodynamiques (commande par mode glissant flou et backstepping) ………...
124
Figure V.19. Résultats de poursuite en 3D : (a) d’un signal sinusoïdale, (b) d’un
signal carré (commande par mode glissant flou et backstepping) …………………….
124
Figure V.20. Schéma bloc de la commande par mode glissant flou appliquée sur le
quadrotor………………………………………………………………………………..
125
Figure V.21. Système d’inférence flou utilisé pour calculer la commande
discontinue……………………………………………………………………………...
125
Figure V.22. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes
, , ,X Y Z …...................................................................................................................
126
Figure V.23. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes , … 126
Figure V.24. Les signaux de commande (trajectoire en échelon)……………………... 126
Figure V.25. Vitesse angulaires des quatre rotors (trajectoires en échelon)…………... 127
Figure V.26. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (trajectoire en échelon) ……….. 127
Figure V.27. Résultats de poursuite des trajectoires sinusoïdaux selon les axes
, , ,X Y Z ………………………………………………………………………………
127
Figure V.28. Résultats de poursuite des trajectoires sinusoïdaux selon les axes
, ………..…………………………………………………………………………..
127
Figure V.29. Les signaux de commande (trajectoires sinusoïdaux) …………………... 128
Figure IV.30. Vitesse angulaires des quatre rotors (trajectoires sinusoïdaux)…...……. 128
Figure IV.31. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (trajectoires sinusoïdaux)...…... 128
XII
Figure V.32. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes
, , ,X Y Z ……………………………………………………………………………....
131
Figure V.33. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes , … 132
Figure V.34. Les signaux de commandes (trajectoires en échelon) ………………...… 132
Figure V.35. Vitesse angulaires des quatre rotors (trajectoires en échelon) ………….. 132
Figure V.36. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (cas des trajectoires en
échelon)………………………………………………………………………………...
132
Figure V.37. Résultats de poursuite des trajectoires sinusoïdaux selon les axes
, , ,X Y Z ………………………………………………………………………………
133
Figure V.38. Résultats de poursuite des trajectoires sinusoïdaux selon les axes , .. 133
Figure V.39. Les signaux de commandes (trajectoires sinusoïdaux)………………….. 133
Figure V.40. Vitesse angulaires des quatre rotors (trajectoires sinusoïdaux)…………. 134
Figure V.41. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (cas des trajectoires
sinusoïdaux)…………………………………………………………………………….
134
Figure V.42. Schéma bloc de la commande par mode glissant flou et backstepping
appliquée sur le quadrotor……………………………………...………………………
134
Figure V.43. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes
, , ,X Y Z …...................................................................................................................
135
Figure V.44. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes , …. 135
Figure V.45. Les signaux de commandes (trajectoires en échelon) …………………... 135
Figure V.46. Vitesse angulaires des quatre rotors (trajectoires en échelon) ………….. 136
Figure V.47. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (cas des trajectoires en
échelon)………………………………………………………………………………...
136
Figure V.48. Résultats de poursuite des trajectoires sinusoïdaux selon les axes
, , ,X Y Z ………………………………………………………………………………
136
Figure V.49. Résultats de poursuite des trajectoires sinusoïdaux selon les axes , ... 136
Figure V.50. Les signaux de commandes (trajectoires sinusoïdaux) ……………...….. 137
Figure V.51. Vitesse angulaires des quatre rotors (trajectoires sinusoïdaux) …...……. 137
Figure V.52. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (trajectoires sinusoïdaux)……… 137
Figure V.53. Structure de commande avec observateur……………………………….. 142
Figure V.54. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes , , ,X Y Z ... 143
Figure V.55. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes , ……. 144
XIII
Figure V.56. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes , , ,X Y Z ... 144
Figure V.57. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes , ……. 144
Figure V.58. Erreurs d’estimation sur les trajectoires réelles selon les axes , ,X Y Z …. 145
Figure V.59. Erreurs d’estimation sur les trajectoires réelles selon les angles , ….. 145
Figure V.60. Erreurs d’estimation sur les trajectoires réelles selon les axes , , ,X Y Z ... 145
Figure V.61. Erreurs d’estimation sur les trajectoires réelles selon les axes , ……. 146
Figure V.62. Les signaux de commandes ……………………………………………... 146
XIV
Liste des Tableaux
Tableau II.1. Paramètres du modèle de TRMS 33-007-4M5……………………....... 35
Tableau II.2. Paramètres mécanique et électrique du modèle du quadrotor………..... 43
Tableau V.1. Etude comparative entre les commandes développées pour le
TRMS 33-007-4M5…………………………………………………………………..
138
Tableau V.1. Etude comparative entre les commandes développées pour le
quadrotor……………………………………………………………………………...
139
Introduction générale
Introduction générale
1
Introduction générale
Introduction générale
Les récentes avancées en informatique et dans la technologie des capteurs associés à la
réduction des coûts de fabrication des drones ont rendu raisonnable le prix de la construction
physique de robots volants miniatures qui permettent l'exécution d'un grand nombre de taches.
Le pilotage automatique d'avions et d'hélicoptères est né avec l'aviation moderne et a
évolué au cours du temps pour satisfaire des besoins de plus en plus contraignants. Il peut être
utilisé lorsque la tache à réaliser est trop répétitive ou trop difficile pour le pilote. La maîtrise
de la commande automatique de l'évolution des drones miniatures contrôlés par radio ouvre la
voie à des applications dans les domaines de la sécurité (surveillance de l'espace aérien, du
trafic urbain et interurbain), de la gestion des risques naturels (surveillance de l'activité des
volcans), de l'environnement (mesure de la pollution de l'air, surveillance des forêts), pour
l'intervention dans des environnements hostiles (milieux radioactifs, déminage des terrains
sans intervention humaine), la gestion des grandes infrastructures (barrages, lignes à haute
tension, pipelines), l'agriculture (détection et traitement des cultures infestées) et la prise de
vue aérienne dans la production de films [1].
Il faut noter que contrairement, aux robots manipulateurs classiques, la plupart de ces
systèmes mécaniques sont sous actionnés [2] (le nombre d'entrées de commande est inférieur
au nombre de degrés de liberté). La nécessité de différencier ces deux catégories provient du
fait que ces robots ne se commandent pas de la même façon. En effet, le manque d'actionneurs
pour ces engins induit une grande difficulté dans la conception de la commande. Au début des
années 90, la communauté automatique a montré un regain d'intérêt pour le problème de
commande de ces systèmes. La dynamique d'un avion à décollage (et atterrissage) vertical
(VTOL Vertical Take-Off and Landing), par exemple, a fait l'objet d'une étude très
approfondie, a constitué une source énorme de connaissances et a permis des développements
supplémentaires à la théorie des systèmes plats et aux techniques de linéarisation entrées-
sorties.
Plus récemment, des équipes universitaires, avec le support des industries et des
gouvernements, essayent de mettre au point des robots d'intérêt collectif régis par des
systèmes dynamiques fortement non linéaires [3]. On peut citer, les projets de contrôle de
dirigeables souples (Blimps en anglais) des laboratoires français (équipe RIA du LAAS-
CNRS, CEMIF de l'Université d'Evry, INRIA ...) ou encore les projets concernant la
commande d'hélicoptères de petite taille (une vingtaine d'universités américaines, l'ETH de
2
Introduction générale
Zurich, Heudiasyc de Compiègne, INPG de Grenoble et le Cemif d'Evry). Il est bien clair que
le point important qui ressort de ces projets est le sous actionnement des systèmes étudiés. Les
robots volants sont généralement de cette nature puisque le mécanisme de contrôle ne fournit
qu'une ou deux entrées de commande pour la dynamique de translation et deux ou trois
entrées de commande pour la dynamique de rotation.
Toutefois, malgré l'importance des résultats réalisés jusqu'à ce jour dans le domaine
des systèmes sous actionnés, ceux-ci ne restent applicables que sur des systèmes simples et
possédant une structure particulière. Par exemple, les techniques de linéarisation entrées-
sorties ne s'appliquent qu'aux systèmes triangulaires; les techniques d'asservissement visuel ne
restent applicables que sur des systèmes complètement actionnés et caractérisés par des
dynamiques lentes. Les systèmes plus complexes tels que l'hélicoptère et le quadrotor, sur
lequel porte notre étude, sont des systèmes qui ont été très peu considérés et pour lesquels on
trouve peu de résultats, concernant leur commande, dans la littérature. Une des raisons
expliquant cela est qu'une représentation simple du comportement dynamique complet de
l'hélicoptère ou du quadrotor dans tous ses modes de vol n'existe pas.
Ceci est dû au fait que leurs dynamiques complexes résultent principalement de la
nature variable des forces aérodynamiques dans les différentes conditions de vol. En effet,
bien que les effets aérodynamiques soient en réalité continus, lorsque l'on passe d'un vol
stationnaire à un vol en marche avant, les expressions données dans la littérature sont
différentes pour chaque cas.
L'automaticien ne peut que s'appuyer sur ces modèles. Par ailleurs, une approche
raisonnable du problème, du point de vue du contrôle, consiste à considérer chaque condition
de vol comme un problème à part. Il apparaît que la dynamique d'un hélicoptère pour des
manœuvres proches du vol plané est la plus simple. Ceci est dû principalement aux forces
aérodynamiques liées à la vitesse du vent relatif qui sont dans ce cas négligeables.
Le peu de modèles dynamiques proposés ces dernières années souffrent d'un
problème majeur consistant en la détermination précise des forces aérodynamiques générées
par la rotation des pales [3].
En effet, la plupart des développements théoriques actuels, dans le domaine de la
commande des drones à voilures tournantes, essaient de franchir la modélisation explicite de
ces effets aérodynamiques et, par conséquent, les lois de commande proposées ne sont pas
robustes vis-à-vis du changement des paramètres de vol.
3
Introduction générale
La commande à structure variable est un sujet qui a attiré l’attention de plusieurs
chercheurs depuis longtemps. Le principe de cette technique de commande est de forcer la
dynamique du système à suivre, au mieux, une dynamique désirée, imposée par des systèmes
autonomes stables, ce qu’on appelle les surfaces de glissement. Dans la littérature, les
surfaces de glissement se trouvent comme des systèmes autonomes stables et souvent
linéaires.
Dans la commande à structure variable, la commande par mode de glissement avec
l’ajout de la commande équivalente est considérée comme une commande complète. Celle-ci
contient un terme continu (commande équivalente) pour pré-positionner l’état futur de
système et un terme discontinu de hautes fréquences (commande discontinue) pour assurer
l’attractivité de la surface et la compensation des erreurs de modélisation, et aussi pour réduire
l’effet des perturbations exogènes. La commande discontinue donne naissance à une
dynamique parasite appelée communément “chattering” en anglais, ou phénomène de
réticence en français. Celle-ci se caractérise par des oscillations persistantes de hautes
fréquences. Plusieurs techniques ont été proposées pour réduire ou éliminer ce phénomène.
Les solutions par limitation de la condition de glissement sont les plus utilisées dans les
applications en temps réel. Ces techniques sont basées sur la définition d’une zone autour de
la surface, à l’intérieur de laquelle une condition de glissement moins stricte que la condition
signe est appliquée. Ainsi, le terme “ sign (s) ” dans la partie de glissement de la commande
est souvent remplacé par un terme à variation plus douce.
Les différents points motivants notre recherche sont, principalement, les suivants :
1) Synthétiser des surfaces de glissement non linéaires stables, en se basant sur le critère
de stabilité au sens de Lyapunov. Ces surfaces doivent garder les mêmes propriétés
cruciales que celles d’une surface linéaire, nécessaires pour la synthèse d’une loi de
commande par mode de glissement.
2) Utiliser les outils de l’intelligence artificielle, notamment la logique floue pour
remédier aux problèmes de la commande à structure variable classique. Ainsi, pour
résoudre le problème de “chattering” dû au terme de correction.
3) Proposer une méthode pour la synthèse systématique des surfaces de glissement en se
basant sur la commande récursive (backstepping).
Contributions
Le travail mené dans le cadre de cette thèse a donné lieu aux contributions suivantes :
4
Introduction générale
1) Synthèse d’une loi de commande par linéarisation entrée-sortie. Cette loi a été validée,
en simulation, en considérant la commande du système non linéaire multi-entrées multi-
sorties à double rotors (Twin Rotor MIMO System : TRMS 33-007-4M5) modélisant un
hélicoptère à deux degrés de liberté. Nous avons aussi appliqué cette loi à la commande
du modèle d’un hélicoptère à six degrés de liberté de type quadrotor.
2) Proposition des surfaces de glissement non linéaires d’ordre un, asymptotiquement
stables, pour une classe de systèmes.
3) Synthèse d’une loi de commande à structure variable en utilisant les surfaces de
glissement non linéaires proposées pour les deux types d’hélicoptère.
4) Synthèse d’une loi de commande par mode glissant d’ordre deux basée sur
l’algorithme de super twisting pour les deux types d’hélicoptère.
5) Synthèse d’une loi de commande Floue-glissante pour la commande du modèle du
TRMS 33-007-4M5 ainsi que celui du quadrotor.
6) Synthèse des lois de commandes hybrides de type glissante-backstepping dont les
surfaces de glissement sont synthétisées d’une manière systématique.
7) Proposition d’une loi de commande floue-glissante backstepping. Nous avons
appliqué cette commande sur le modèle du TRMS et celui du quadrotor.
8) Synthèse d'un observateur non linéaire pour le quadrotor
Organisation de la thèse
Cette thèse, composée de cinq chapitres, est organisée de la manière suivante :
Dans le premier chapitre, nous avons introduit une description générale des appareils à vol
vertical (drones) ; à savoir les avantages de ces derniers, leur classification, ainsi que les
domaines d'intérêt civil et militaire. Nous trouvons aussi dans ce chapitre un état de l’art
relatif à la commande de ces appareils.
Le second chapitre est consacré à la modélisation dynamique du TRMS 33-007-4M5,
modélisant un hélicoptère à deux degrés de liberté, ainsi qu’à celle d’un hélicoptère à six
degrés de liberté de type quadrotor.
La synthèse et les résultats de simulation de la commande par linéarisation entrée-sortie
sont présentés dans le troisième chapitre.
5
Introduction générale
Dans le quatrième chapitre, nous proposons des surfaces de glissement non linéaires du
premier ordre. Ensuite, en utilisant ces surfaces, nous nous intéressons à la synthèse des
lois de commande glissantes d’ordre un et d’ordre deux.
Le cinquième chapitre est consacré à la commande glissante combinée avec les outils de
l’intelligence artificielle. Nous présentons la synthèse d’une commande floue-glissante
comme étant une nouvelle méthodologie de conception des lois de commande pour les
systèmes aéronautiques. Ensuite, nous mettons l’accent sur la commande glissante-
backstepping et la commande hybride floue glissante backstepping. Nous présentons
aussi, dans ce chapitre, une étude comparative entre les différentes lois de commandes
proposées. Enfin, nous considérons la synthèse d'un observateur non linéaire pour le
quadrotor.
Nous terminons ainsi cette thèse par une conclusion générale avec des perspectives.
Chapitre I Etat de l’art
Chapitre I
Etat de l’art
6
Chapitre I Etat de l’art
I.1. Introduction
Les appareils à vol vertical ou les drones (UAV : Unmanned Aerial Vehicle) sont des
aéronefs inhabités qui utilisent les forces aérodynamiques pour produire un vol vertical. Ils
peuvent être pilotés à distance, autonomes ou semi autonomes [4]. Ils sont susceptibles
d’emporter différentes charges utiles, les rendant capables d’effectuer des tâches spécifiques,
pendant une durée de vol qui peut varier en fonction de leurs capacités. L’utilisation des
drones a d’abord été connue dans les applications militaires, comme la surveillance et la
reconnaissance et comme plateforme de désignation de cible ou comme arme. Puis, plusieurs
applications civiles sont devenues concurrentes, notamment dans l’observation des
phénomènes naturels (Avalanches, volcans…), la pulvérisation des pesticides sur les surfaces
agricoles, la surveillance de l’environnement (exemple : mesures de la pollution) et des
réseaux routiers, la maintenance des infrastructures…etc.
Dans ce chapitre, nous présentons les drones, leurs classifications, leurs champs
d’application ainsi que l’analyse bibliographique des différentes techniques de commande des
drones.
I.2. Classification des drones
Il n’existe pas une façon unique pour classer les drones, ils peuvent être répartis selon
plusieurs critères : autonomie, portée, altitude, mission, systèmes de contrôles…etc.
I.2.1. Classification selon la taille
On peut distinguer les catégories suivantes :
HALE (Haute Altitude Longue Endurance) : ce sont des drones, le plus souvent à
voilure fixe, capables de rester très longtemps en vol et de collecter des informations sur de
très longues périodes (entre 12 et 48 heures) [5].
MALE (Moyenne Altitude Longue Endurance) : ayant une grande autonomie, ils sont
utilisés pour des vols de longue durée à une moyenne altitude opérationnelle.
Ces drones font partie de la classe de grande taille. Ils peuvent embarquer des armes, ce
qui nécessite généralement d’avoir un humain dans la boucle, ce dernier doit garder la
décision de tir et pouvoir à tout moment annuler la mission [5].
Micro drones : ce sont des drones ayant des tailles variant du centimètre à quelques
dizaines de centimètres et caractérisés par une faible charge. Généralement, propulsés
électriquement, ils permettent ainsi de faire des vols en intérieur [6].
7
Chapitre I Etat de l’art
Mini drones : ce sont des drones plutôt légers et de taille réduite (jusqu’ à quelques
kilogrammes et d’une envergure jusqu’à 1 à 2 mètre) facilitant la mise en œuvre d’une
autonomie relativement faible (de 10 à 30 minutes). Ils sont, en général, utilisés pour
l’observation de zones à accès difficiles. La figure I.1 présente les différentes catégories des
drones [6].
Figure I.1. Catégories des drones [6].
I.2.2. Classification selon le mode de propulsion
Le fonctionnement aérodynamique fournit une autre possibilité de classification.
Ainsi, les drones peuvent être structurés principalement en trois familles [7]:
drones à voilures fixes : utilisent des ailes fixes dans leur mode de déplacement.
drones à ailes battantes : utilisent des ailes comme celles des oiseaux ou de certains
insectes.
drones à voilures tournantes : utilisent le même organe (rotors) pour la propulsion et
la sustentation. Ce type de drones est capable d’atterrissage et de décollage verticaux,
ainsi que de vol stationnaire à basse et à faible altitude.
La figure I.2 montre quelques exemples des drones à voilures fixes, voilure tournantes et ailes
battantes.
8
Chapitre I Etat de l’art
Les drones à voilure tournante se subdivisent, quant à eux, en quatre sous-classes qui sont
comme suit :
Les Mono-rotor : Ils sont caractérisés par l'utilisation d'un seul rotor comme actionneur
principal. Dans cette catégorie, nous trouvons essentiellement les convertibles (figure I.3).
Figure I.3. avion 3D [7].
Les birotors : Il existe plusieurs types de configurations à deux rotors tels que l’hélicoptère
classique composé d’un rotor principal et d’un rotor en queue. Les appareils sans plateaux
cycliques (autre que les hélicoptères notamment) utilisent des ailerons pour faire pivoter les
rotors. Il existe aussi des appareils possédant deux rotors sur le même axe tournant dans des
sens opposés et des ailerons qui baignent dans le flux d’air de ces rotors (figure I.4).
Voilures fixes Voilures tournantes Ailes battantes (ornithoptères)
Figure I.2. Classification selon le mode de propulsion [6].
9
Chapitre I Etat de l’art
Figure I.4. Le T-Wing (à gauche) et l’HoverEye (à droite) [8].
Les trirotors : Moins performant en vol que les quadrotors, le trirotor (figure I.5) est constitué
de deux rotors à l’avant qui tournent dans des sens opposés pour modifier le tangage et d’un
rotor en arrière pour régler le roulis.
Figure I.5. Hélicoptères à trois hélices. Le Vectron (a), l'hélicoptère auto-stable (b) et le Tri-rotor de Compiègne (c) [9].
Les Quadrotors: Un quadrotor est un engin volant doté de quatre rotors placés aux extrémités
d’une armature en croix (Figure I.6). Ces quatre rotors lui fournissent la force verticale
(portance) qui lui permet de décoller.
Son principe de fonctionnement est comme suit : Deux rotors de même axe tournent
dans le sens horaire tandis que les deux autres tournent dans le sens inverse. Ses mouvements
possibles sont le Gaz (montée ou descente verticale), le Roulis ou Tangage qui est une
orientation que prend le quadrotor, et le Lacet qui est une rotation du quadrotor autour de lui-
même.
(a) (b)
(c)
10
Chapitre I Etat de l’art
Figure I.6. Hélicoptères à quatre hélices: quadrotor de pennsylvanie (a), X19 quadtilt-rotor aircraft (b), le drone du laboratoire IBISC (c) et le drone de la NASA (d) [10].
I.3. Applications et utilisation
Les drones sont développés à l’origine pour remplacer l’homme dans des
environnements ou des situations dangereuses. Ces engins sans pilote présentent de nombreux
avantages tels que [11] :
la diminution des contraintes liées à la sécurité,
l’accomplissement des missions à haut risque ou dans des zones inaccessibles à
l'homme,
la réduction des coûts.
Le domaine d’application des drones, qui ne cesse de s’élargir, relève tant du domaine
militaire que civil. Principalement, on peut distinguer les applications militaires et les
applications civiles.
I.3.1. Applications militaires
Les lourdes pertes subies pendant la seconde guerre mondiale par les aviations
d’observation de chacun des antagonistes suscitèrent l’idée d’un engin d’observation militaire
sans équipage (ni pilote, ni observateur). Pendant la guerre du Vietnam, les Américains ont
utilisé des drones (Firebee) pour localiser les rampes de lancement des missiles sol-air
soviétiques «SAM-2».
Lors de la guerre du Golfe, les britanniques, les français commencèrent à se servir de
drones et les américains l’ont fait appel au drone (Pioneer) pour la surveillance jour/nuit,
l’acquisition des objectifs, et les réglages de l’artillerie.
De leur côté, les Israéliens ont saturé les défenses aériennes le long du canal de Suez lors de la
guerre du Kippour (1973) et ce, avec un grand nombre de drones bon marché.
(c) (d)
(b) (a)
11
Chapitre I Etat de l’art
Mais c’est surtout au cours des trois derniers conflits majeurs impliquant les forces
internationales de l’OTAN (intervention au Kosovo, en Afghanistan et en Irak) que les drones
ont vraiment pu démontrer leurs capacités opérationnelles, accomplissant indifféremment des
missions d’observation aérienne ou d’attaque au sol. En règle générale, on peut décomposer
en trois grandes catégories, les missions militaires confiées aux drones :
la surveillance et le renseignement,
le support au combat,
le combat proprement dit.
Ces missions sont illustrées par les figures I.7 – I.9.
Figure I.7. Support au combat : (a) coopération UAV-UGV, (b) éclaireur [7]. Figure I.9. Le Predator, drone multi missions, utilisé par l’US Air Force depuis 1995 [12].
(a) (b) Figure I.8. Drone militaires de surveillance : (a) global hawk (North grumman, 1000 kg
de charge utile) et (b) sperwer (sagem) [12].
(a) (b)
12
Chapitre I Etat de l’art
I.3.2. Applications civiles
Tous les avantages reconnus des drones pour les applications militaires sont
transposables aux applications civiles. On peut citer :
- Dans le domaine de la sécurité: surveillance de l'espace aérien, du trafic urbain et
interurbain,
- Dans la gestion des risques naturels: surveillance de l'activité des volcans;
- La protection de l'environnement: mesure de la pollution de l'air, surveillance des
forêts,
- L'intervention dans des sites hostiles: milieux radioactifs, déminage des terrains
(cartographie de terrains minés),
- La gestion des grandes infrastructures: barrages, lignes à haute tension, pipelines,
- L'agriculture: détection et traitement des cultures,
- La prise de vue aérienne dans la production des films,
- Télécommunications mobiles, publicité et radiodiffusion (télévision, ...),
- Géodésie et mesures atmosphériques.
Figure I.10. Contrôle des Feux de forêts (a), (b) épandage engrais, (c) Surveillance des lignes électriques [7].
(a) (b)
(c)
13
Chapitre I Etat de l’art
I.4. Technologie des capteurs pour la localisation des drones
Les véhicules aériens sans pilote sont équipés de plusieurs instruments et capteurs
permettant leur localisation et l’acquisition des différentes grandeurs nécessaires à la mise en
œuvre de leur système de commande et de décision. Ces capteurs sont habituellement classés
en deux familles [13, 14] :
1. Les capteurs proprioceptifs mesurent le déplacement du drone entre deux instants.
L’intégration de leurs mesures permet d’estimer la situation courante du véhicule
relativement à sa situation initiale. Ces capteurs donnent des résultats qui se dégradent
avec le temps. Il faut donc leur adjoindre un système permettant de recaler
périodiquement la situation absolue du véhicule.
2. Les capteurs extéroceptifs mesurent la situation absolue du drone par observation de
points de repère naturels (amers visuels) ou artificiels (balises, satellites...) dont la
situation est connue dans un référentiel attaché à l’environnement. Ces capteurs peuvent
être utilisés tout au long du parcours soit pour mesurer en permanence la situation
absolue du mobile, soit pour recaler périodiquement la navigation à l’estime. Ils peuvent
intervenir également pour assurer la sécurité du véhicule (perception de l’environnement
proche, contrôle de l’attitude de la plate-forme) et pour construire en ligne un modèle de
l’environnement exploré.
Nous décrirons les capteurs appartenant à ces deux grandes familles, en limitant notre
étude aux capteurs susceptibles d’être embarqués par des engins volants, et de petite taille.
I.4.1. Capteurs Proprioceptifs
I.4.1.1. Accéléromètres
Les accéléromètres peuvent être utilisés pour déterminer la position du véhicule par
double intégration. C’est le principe de la navigation inertielle. Leurs mesures ne sont pas
encore suffisamment précises pour être directement exploitées en navigation.
Dans le cas de véhicules qui ont une accélération faible par rapport à la gravité, les
accéléromètres peuvent être utilisés pour fournir la direction de la gravité. Ils fonctionnent
alors comme des inclinomètres [5].
I.4.1.2. Gyroscopes
Un gyroscope est un appareil permettant d’effectuer une mesure de la rotation absolue
de son boîtier. On retrouve deux types les gyroscopes mécaniques et les gyroscopes à laser
(fibres optiques). Il faut tenir compte de la dérive des mesures au cours du temps et effectuer
14
Chapitre I Etat de l’art
régulièrement des recalages absolus (on ne les utilise pas seuls, mais en composants intégrés
de centrales inertielles) [5].
I.4.1.3. Centrales inertielles (IMU : Inertiel Measurement Unit)
Une centrale inertielle (IMU) est un système complet, composé au minimum de 3
accéléromètres et de 3 gyroscopes permettant de mesurer les composantes selon les 3 axes de
l’accélération non gravitationnelle et de la vitesse instantanée de rotation du véhicule par
rapport à un référentiel inertiel (qui est confondu avec le repère terrestre dans la plupart des
cas). Les centrales inertielles sont des systèmes complexes et chers. Elles intègrent une
électronique permettant de corriger les données capteurs : compensation de l’accélération au
niveau de la mesure des gyroscopes, auto-compensation en température, orthogonalisation des
axes de mesures, etc. On distingue deux types principaux de centrales inertielles : les centrales
strap-down et les centrales à plate forme stabilisées [5].
I.4.2. Capteurs Extéroceptifs
1.4.2.1. Compas magnétiques
Le compas magnétique, appelé aussi magnétomètre, indique la direction du nord
magnétique. Généralement, la déclinaison magnétique est compensée pour que le capteur
délivre en permanence une mesure absolue du capteur par rapport à la direction du nord
géographique. L’inconvénient majeur de ces capteurs est leur perturbation par les masses
magnétiques environnantes ainsi que par les champs magnétiques parasites, induits par la
proximité de moteurs électriques par exemple [5].
I.4.2.2. Gyrocompas
Le premier effet des gyroscopes est la permanence de l’axe de rotation de la toupie
dans une direction donnée, ce qui permet de les utiliser comme indicateurs de direction à
condition que leur dérive soit la plus faible possible.
Plus lourds et plus onéreux que les compas magnétiques, mais insensibles aux perturbations
magnétiques, les gyrocompas constituent une solution intéressante pour les drones de grande
taille [5].
I.4.2.3. Localisation sur balises (GPS : Global Positioning System)
Le système GPS est un système de positionnement par satellites conçu initialement
pour des applications militaires. Son utilisation pour des applications civiles (géodésie,
localisation de mobiles, etc.) est actuellement en plein essor [5].
15
Chapitre I Etat de l’art
Ce système comporte 24 satellites répartis de telle sorte qu’en tout point du globe, on
peut en observer simultanément 4 à 8, avec une élévation d’au moins 15°.
Pour le positionnement absolu, le mobile à localiser est muni d’un récepteur qui
mesure sa distance par rapport à plusieurs satellites Chaque satellite envoie un message qui
permet de calculer ses coordonnées spatiales dans un repère terrestre à l’instant de
l’observation. La distance entre le satellite et le récepteur est estimée à partir du temps mis par
le signal du satellite pour atteindre le récepteur.
En pratique, l’information redondante de 4 à 8 satellites permet un positionnement
avec une erreur allant de quelques mètres à 20 m, suivant le code utilisé (civil ou militaire), la
qualité des éphémérides, etc.
Pour obtenir des précisions meilleures, il faut utiliser un mode de positionnement
relatif, c’est à dire la position d’un récepteur GPS par rapport à un autre récepteur GPS. C’est
ce qu’on appelle le GPS différentiel ou DGPS, et la précision est réduite aux centimètres.
I.4.2.4. Capteurs télémétriques
Cette catégorie regroupe les capteurs permettant d’acquérir des mesures sur
l’environnement qui les entoure. Leur principe est toujours le même : le télémètre émet un
signal qui lui est renvoyé par l’obstacle le plus proche dans la direction d’émission. L’écart de
temps entre le signal émis et le signal reçu permet de retrouver la distance à l’obstacle. Mais
ils diffèrent par la nature des signaux qu’ils émettent (acoustiques, optiques,...). On distingue
ainsi :
1. Les télémètres à ultrasons
2. Les télémètres laser à balayage
3. Les télémètres radars Ultra-Large-Bande
I.4.2.5. Caméra
La camera vidéo est un des capteurs extéroceptifs les plus performants, qui fournit une
information particulièrement riche sur l’environnement. Elle permet de transmettre les
images vues par le drone, vers l’opérateur au sol. Dans certains cas, on traite les informations
transmises par la caméra sur un PC au sol via une carte d’acquisition d’images pour
déterminer la position de l’engin, pour faire du suivi de trajectoire, ou bien pour la détection
d’obstacles.
16
Chapitre I Etat de l’art
I.5. Commande des drones
Ces dernières années, la conception et la mise au point des algorithmes de commande
pour les hélicoptères drones a fait l’objet d’un certain nombre d’études. Ceci est dû au besoin
de produire des véhicules aériens manœuvrables et autonomes, pour des applications
militaires ou civiles. Alors qu’ils sont plus lents et moins efficaces que des avions, les
hélicoptères sont capables de décollages et d’atterrissages verticaux, de vols stationnaires, et
en général ils sont plus manœuvrables dans des espaces limités. Par conséquent, les
hélicoptères représentent l’une des meilleures plates-formes pour des opérations dans des
environnements urbains ou encombrés. Cependant, la dynamique de l’hélicoptère est plus
compliquée que celle d’un avion à voilure fixe : l’hélicoptère est en soi instable sur certaines
plages de vol et présente une dynamique fortement couplée, et les caractéristiques de vol
changent nettement en dehors de l’enveloppe de vol.
Concernant la commande des hélicoptères drones, certains présentent des lois de
commande basées sur le modèle linéaire des drones, alors que d’autres considèrent le modèle
entier.
1.5.1. Les techniques de commande linéaires
Des approches de commandes linéaires telles que les correcteurs PID peuvent alors
être utilisés. Cette démarche a été adoptée dans plusieurs travaux antérieurs. Par exemple
dans [15], la commande d’un hélicoptère Yamaha R-50 a été considérée en utilisant pour
chacune des boucles (mouvement longitudinal, mouvement latéral, altitude et lacet) un
correcteur de type (PID).
La commande optimale linéaire a été également utilisée pour la commande des drones.
Dans le travail présenté dans [16], la technique de commande LQR (Linear Quadratic
Regulator) a été appliquée sur un modèle linéaire d’hélicoptère. Une comparaison entre la
commande PID et la commande LQR, en considérant un modèle linéairesé de la dynamique
de rotation d’un quadrotor, est présentée dans [17].
Afin de prendre en compte les non linéarités de la dynamique de rotation de ce type de
véhicule, un correcteur PD et un correcteur PD2 compensant les couples gyroscopiques et de
Coriolis ont été proposés pour la stabilisation en attitude d’un hélicoptère [18].
Une méthode de stabilisation et de poursuite de trajectoires basée sur la notion de platitude a
été développée par A.Chamseddine [19]. Cette méthode, permettant la poursuite d’une
trajectoire planifiée, a été appliquée sur le modèle linéarisé du quadrotor classique X4. La
technique de commande Hinf est aussi l’une des techniques de commande qui ont été utilisées
17
Chapitre I Etat de l’art
pour la commande des drones. Un algorithme de commande Hinf, développé par M.Chen et
M.Huzmezan est appliqué sur une plateforme pivotant librement, est présenté dans [20].
Dans [21], nous trouvons une application de trois types de commandes LQG/LTR (Linear
Quadratic Gaussian/ Loop Transfert Recovery) et Hinf pour contrôler les différents modes de
vol (longitudinal et latéral) d’un hélicoptère en présence des perturbations dues aux
dynamiques des rotors et au changement de point de vol amenant l’hélicoptère dans une
plage de vol différente. En raison des pondérations ajoutées et de l’utilisation du filtre de
Kalman, l’ordre des correcteurs LQG et LTR est assez élevé par rapport à celui du correcteur
Hinf. En plus, les correcteurs LQG et LTR sont moins robustes que le correcteur Hinf surtout
en présence de perturbations.
On peut aussi citer les travaux de Takahashi [22] qui utilise la commande H2 pour le
modèle linéaire de l’hélicoptère. D’autres algorithmes de commande utilisant directement le
modèle non linéaire du drone et basés sur les techniques Hinf loop shaping et sensibilité mixte
ont été développés [23-27]. La stratégie de commande Hinf loop shaping, basée sur les
techniques d’optimisation LMI (linear matrix inequality) [27], permet d’aboutir à un
correcteur d’ordre relativement faible et donnant de bonne performance de commande.
L’élaboration de lois de commande linéaires pour contrôler le mouvement d’un
hélicoptère pose de nombreux problèmes car les modèles linéaires simplifiés sont
généralement loin de la réalité du système physique. Le modèle dynamique complet d’un
hélicoptère engendre en réalité des incertitudes qui constituent des erreurs de la dynamique
par rapport au modèle linéaire, et, par conséquent, rend l’élaboration de lois de commande
linéaires très difficile. Donc la meilleure solution est de synthétiser des commandes non
linéaires basées sur une modélisation complète du système physique.
1.5.2. Les techniques de commande non linéaires
Les conceptions de contrôleurs non linéaires sont généralement basées sur la notion de
la linéarisation de la boucle fermée [28, 29] du modèle non linéaire de l’hélicoptère. L’idée
est de transformer la dynamique non-linéaire en forme linéaire en utilisant le retour d’état,
avec la linéarisation entrée/état correspondant à une linéarisation complète ou partielle du
modèle. Koo et Satsry [30], ont proposé une linéarisation entrée-sortie approximative pour le
modèle dynamique du drone. Ensuite, ils ont utilisé ce modèle pour développer deux lois de
commande.
18
Chapitre I Etat de l’art
D’autres travaux, en utilisant la méthode directe de Lyapunov et tenant en compte du
modèle complet de l’hélicoptère, ont été élaborés pour le suivi de chemin, le suivi de
trajectoires ou encore la stabilisation à une position fixe [31-33].
Quelques méthodologies de commande adaptative ont été développées pour la
commande des drones. Par exemple dans [34], une approche de l’inversion du modèle à
structure adaptative, dans laquelle les non linéarités cinématiques ainsi que les incertitudes sur
les forces aérodynamiques et de propulsion sont incorporées, a été considéré. D’autres
configurations de la commande adaptative non linéaire des drones basée sur les réseaux de
neurones peuvent être trouvées dans la littérature. Par exemple dans [35, 36], la commande
par réseau de neurones pour un hélicoptère drone basée sur l’inversion du modèle
approximatif et la linéarisation de la boucle fermée a été proposée. Dans la plupart de ces
travaux le problème de stabilité n’est pas considéré. Une approche rigoureuse de la
commande adaptative non linéaire pour un UAV utilisant les réseaux de neurones est
présentée dans [37]. Cette approche est basée sur une structure de boucles imbriquées (boucle
interne pour la stabilisation d’attitude, et boucle externe pour le suivi de trajectoire), où
chaque boucle utilise l’inversion dynamique approximative en plus d’un réseau de neurones
pour la linéarisation en boucle fermée compensant l’inversion imparfaite. Les poids du réseau
de neurones utilisé sont adaptés en ligne pour réduire au minimum l’erreur de suivi.
Les techniques prédictives ont été aussi utilisées pour la commande des drones. En
effet, plusieurs algorithmes de commande prédictive ont été développés. Par exemple, une
commande prédictive, qui tient compte de la planification des trajectoires avec des contraintes
d’entrée et d’état tout en suivant la position et l’angle de lacet désirés, a été proposée pour la
commande du modèle non linéaire d’un hélicoptère drone [38]. Plusieurs techniques de
commande Hinf non linéaire d’un hélicoptère à six degrés de liberté ont fait l’objet de
plusieurs travaux de recherche [39-42]. Le travail considéré dans [43] présente une stratégie
de commande hybride entre la technique Hinf non linéaire et la commande prédictive pour
résoudre le problème de suivi de trajectoire d’un hélicoptère à quatre rotors.
Le problème de la conception Hinf non linéaire pour un hélicoptère de laboratoire à
deux rotors (deux degré de liberté) a été présenté dans [44]. L’approche présentée dans cet
article considère un procédé non linéaire Hinf pour le rejet de perturbation sur la dynamique
réduite des rotors, y compris des limites intégrales sur l’erreur de suivi pour faire face aux
perturbations persistantes. Le contrôleur résultant présente la structure d’un PID non linéaire,
avec des constantes à temps variables selon la dynamique du système. La méthodologie
19
Chapitre I Etat de l’art
considérée a été validée par des résultats expérimentaux en utilisant cet hélicoptère. Une
application de la commande linéarisante sur la dynamique longitudinale (sous actionnée) du
même hélicoptère de laboratoire a été donnée dans [45]. D’autres méthodes de commande
basées sur le calcul évolutif, tels que les algorithmes génétiques, ont été envisagées. Par
exemple, dans le travail présenté dans [46], un algorithme génétique a été utilisé pour
déterminer les paramètres optimaux d’un correcteur PID utilisé pour stabiliser un hélicoptère
à deux degrés de liberté.
Des meilleurs résultats ont été obtenus avec la technique de commande non linéaire
par backstepping ; la convergence des états internes du quadrotor a été garantie quelque soit
les états initiaux. Cette technique de commande a été renforcée par la suite avec l’ajout de
l’action intégrale [47]. Cette approche a été validée sur l’hélicoptère à quatre rotors dans
diverses expériences de vol.
Le problème de stabilité pour deux types différents des drones (X4, XSF) a été étudié
en appliquant deux approches différentes [48]. Dans la première approche la technique de
backstepping combinée avec et la théorie de Lyapunov, tandis que dans la deuxième
approche la logique floue à été utilisée pour élaborer une commande pour le modèle
Lagrangien du drone XSF.
Le travail présenté dans [49] montre une autre application de la commande par
backstepping sur un modèle d’un hélicoptère drone pendant le vol stationnaire en négligeant
les faibles forces latérales et longitudinales. La fonction de Lyapunov dérivée a été utilisée
pour analyser la performance de la boucle fermée du modèle complet. Il a été montré que s’il
existe des bornes sur l’erreur initiale et sur les paramètres de trajectoire, des performances
acceptables pour le suivi de trajectoire du système pourraient être obtenues.
La commande non linéaire par retour d’état dynamique est une technique qui a été
appliquée dans quelques projets sur un hélicoptère à quatre rotors. L’objectif est de
transformer le système en boucle fermée en sous systèmes linéaires, contrôlables et découplés
[50, 51].
La dynamique de la trajectoire à suivre est établie en se basant sur une nouvelle
approche d’asservissement visuel développé récemment pour l’asservissement visuel des
corps rigides sous actionnés. Les travaux présentés dans [52-56] sont les premiers résultats de
l’application de cette commande sur un hélicoptère drone. Par exemple, dans [55, 56] on a
utilisé la commande visuelle pour commander un hélicoptère à quatre rotors et un avion à
décollage et atterrissage verticaux.
20
Chapitre I Etat de l’art
La commande des véhicules aériens sans pilote a aussi fait l’objet de nombreux
travaux utilisant la commande par mode glissant linéaire et non linéaire [57-59]. La méthode
de commande par mode glissant multivariable, introduite dans [57], a été appliquée sur le
modèle linéarisé de l’hélicoptère type PUMA à 9 DDL (Degré De Liberté) pendant le vol
stationnaire. Les travaux présentés dans [58, 59] ont été consacrés à l’application de la
commande par mode glissant sur le modèle d’un hélicoptère à 4 rotors. En particulier, dans
[57], après avoir effectué une linéarisation exacte du modèle de l’hélicoptère, un observateur
à mode glissant a été utilisé pour le stabiliser. Un estimateur adaptatif a été ajouté au système
pour estimer l’effet des perturbations externes comme le vent.
La commande par mode glissant est caractérisée par une robustesse vis à vis des
incertitudes structurelles et des perturbations externes pour la commande des drones.
Cependant, l’inconvénient principal associé à cette méthodologie est l’apparition des
vibrations (phénomènes de chattering) dans les actionneurs qui peut endommager le système.
Généralement, dans la synthèse de la loi de commande par mode de glissement, la
surface de glissement est définie comme un système linéaire autonome et stable. Néanmoins,
la dynamique imposée par un tel système est plus lente que celle imposée par un système non
linéaire, d’où l’importance d’utiliser ce dernier type de systèmes pour synthétiser la surface de
glissement dans certaines applications. Dans notre travail, nous développons une surface de
glissement non linéaire, telle que la non linéarité est engendrée via une fonction bornée de
type sigmoïde, la surface proposée et même la non linéarité qui la caractérise, garde la
simplicité dans la synthèse de la loi de commande. Pour remédier au problème du phénomène
de chattering nous avons combiné les systèmes d’inférence flous avec la commande à régime
glissant qui est insensible aux perturbations extérieur pouvant agir sur la stabilité de
l’hélicoptère.
I.6. Conclusion
Il existe une grande diversité de familles de drones à voilures fixe et tournante, qui
possède chacune ses spécificités techniques. Le choix d’une architecture de drones n’est pas
anodin et doit notamment correspondre aux missions pour lesquelles il sera employé, ainsi
qu’aux degrés de performances recherchés.
Afin de permettre l’exploitation des drones sans intervention humaine, un système de
commande et de décision doit être mis en place. Etant donné que le modèle dynamique
décrivant un drone est fortement non linéaire, extrêmement couplé et sujet à de multiples
incertitudes, le problème de commande des drones est une tâche délicate qui nécessite
21
Chapitre I Etat de l’art
l’utilisation des techniques de commande plus élaborées. Certains paramètres du système
dépendent des conditions d’environnement (par exemple des constantes aérodynamiques) ou
de l’hélicoptère (par exemple la pente de la courbe de portance). Les paramètres inconnus du
système rendent également les conditions d’équilibre de l’hélicoptère inconnues. En fait, ces
caractéristiques ont suscité l’intérêt d’un grand nombre de chercheurs dans le domaine de
l’automatique et ont fait de ce modèle un exemple académique pour tester l’efficacité de
nombreux algorithmes de commande.
Malgré le grand nombre de méthodologies de commande qui ont été développées, le
problème de sensibilité des véhicules aériens sans pilote aux perturbations externes et de la
charge importante de calcul reste posé et continuer à susciter l’intérêt de la communauté des
automaticiens pour développer et tester de nouvelles techniques de commande. Le chapitre
suivant fait l’objet de la modélisation de l’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés
de liberté.
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
Chapitre II
Modélisation d’hélicoptère à deux degrés
de liberté et à six degrés de liberté
22
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
II.1. Introduction
Afin de concevoir un contrôleur de vol, on doit d'abord comprendre profondément les
mouvements de l’avion, sa dynamique et par conséquent ses équations dynamiques. Cette
compréhension n’est pas simplement nécessaire pour la conception du contrôleur, mais elle
permet aussi de s'assurer que les simulations du véhicule prend un comportement aussi proche
que possible de la réalité quand la commande est appliquée. Beaucoup de tentatives de
modélisation d’un drone sont disponibles dans la littérature, tel que le modèle établi par
Lozano [60] en utilisant la méthode Euler-Lagrange, celui proposé par Bouabdallah [61], ou
encore la modélisation basée sur les méthodes évolutionnaires [62]. Le modèle présenté par
Hamel [1], [63, 64], basé sur le formalisme de Newton et qui intègre la dynamique des
actionneurs, a été obtenu à partir de la dynamique d'un corps rigide associé au fuselage auquel
sont ajoutées les forces aérodynamiques générées par les rotors.
En utilisant le formalisme de Newton, nous présentons, dans ce chapitre, la description
et la modélisation dynamique d’un hélicoptère à deux degrés de liberté type TRMS 33-007-
4M5 [65]. Nous y présentons aussi la description des possibilités de vol d’un (UAV) de type
quadrotor à six degré de liberté ainsi que ses mouvements de base.
II.2. Modélisation d’un hélicoptère à deux degrés de liberté de type TRMS 33-007-4M5
II.2.1. Description du TRMS 33-007-4M5
Le TRMS (Twin Rotor Mimo System) est un système physique aérodynamique conçu
pour le développement et l’implémentation de nouvelles lois de commandes (figure II.1). Ceci
inclut, la modélisation de la dynamique du système, l’identification, l’analyse et la conception
de divers contrôleurs par des méthodes classiques et modernes. Son comportement ressemble
à celui d'un hélicoptère, de point de vue de commande ; il présente un système non linéaire
d'ordre supérieur avec des couplages significatifs. Il comprend les éléments suivants :
Une poutre qui peut pivoter sur sa base de telle manière qu'elle puisse tourner
librement dans le plan vertical et horizontal.
Deux propulseurs (principal et secondaire) fixés aux deux extrémités de la poutre, ils
sont formés d’une hélice, un moteur à courant continu ainsi qu’un bouclier pour des
raisons de sécurité.
Un contrepoids fixé sur la tige à son pivot, son rôle est de diminuer les vibrations
(oscillations) de la poutre.
Une tour pour maintenir la poutre.
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
Une base comprenant des circuits électroni
filtrage des signaux entrants et sortants.
Un boîtier de marche/arrêt des moteurs
Figure II.1. Hélicoptère à deux degré
II.2.2. Modèle non linéaire
Le modèle physique est développé sous certaines hypothèses
premier lieu, on suppose que les dynamiques du sous
différentielles du premier ordre. De plus, on suppose que les frottements sont de type
visqueux, et que le sous-système hélice
aérodynamiques [65].
II.2.3. Sous système d’élévation
D’abord, considérons la rotation de la poutre dans le
de l’axe horizontal. En appliquant l
2
2
vv v
dM J
dt
Avec :
4
1v vi
i
M M
8
1v vi
i
J J
L’équation (II.1) peut être écrite sous la forme
1 2 3 4v v v v v vJ M M M M
Où :
Trajectoire de rotation verticale
Moteur à courant continue de l’axe horizontal
Trajectoire de rotation horizontale
Moteur à courant continue
vertical
23
II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
Une base comprenant des circuits électroniques pour l’adaptation, synchronisation et
es signaux entrants et sortants.
er de marche/arrêt des moteurs.
Hélicoptère à deux degrés de liberté TRMS 33-007-4M5
physique est développé sous certaines hypothèses simplificatrices. En
premier lieu, on suppose que les dynamiques du sous-système rotor sont des équations
différentielles du premier ordre. De plus, on suppose que les frottements sont de type
système hélice-air peut être décrit par les lois d’écoulement
Sous système d’élévation
D’abord, considérons la rotation de la poutre dans le plan vertical. C’est
de l’axe horizontal. En appliquant la seconde loi de Newton on obtient :
L’équation (II.1) peut être écrite sous la forme :
1 2 3 4v v v v v vJ M M M M
v
Trajectoire de rotation verticale
oteur à courant continue de l’axe horizontal
On Off
Trajectoire de rotation horizontale
Moteur à courant continue de l’axe
vertical
II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
ques pour l’adaptation, synchronisation et
4M5 [65].
simplificatrices. En
système rotor sont des équations
différentielles du premier ordre. De plus, on suppose que les frottements sont de type
air peut être décrit par les lois d’écoulement
plan vertical. C’est-à-dire autour
(II.1)
(II.2)
(II.3)
(II.4)
24
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
vM : La somme des moments dans le plan vertical
vJ : La somme des moments d’inertie par rapport à l’axe horizontal
v : L’angle d’élévation de la tige
1vM : Moment de la gravitation
2vM : Moment de la force aérodynamique
3vM : Moment de la force centrifuge
4vM : Moment de friction
Les différents moments sont calculés comme suit :
II.2.3.1. Moment gravitationnel Mv1
Pour déterminer les moments de la gravitation appliqués à la poutre et qui la mettent
en rotation autour de l’axe horizontal, on considère la situation illustrée dans la figure II.2
Figure II.2. Forces de gravités agissantes sur le TRMS.
1 . . cos sin2 2 2
t m bv tr ts t mr ms m v b cb cb v
m m mM g m m l m m l l m l
(II.5)
L’équation (II.5) peut être écrite sous la forme :
1 cos sinv v vM g A B C (II.6)
cost vl
cosm vl
ml
tl v x
y
sinb vl
cb bl l
ts trm g m g
tm g
bm g
mm gms mrm g m g
cbm g
25
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
Avec :
2
2
2
ttr ts t
mmr ms m
bb cb cb
mA m m l
mB m m l
mC l m l
(II.7)
Où :
1vM : Le moment correspondant aux forces de gravités
mvm : La masse du rotor principal
mm : La masse de la partie principale de la tige
trm : La masse du rotor secondaire
tm : La masse de la partie secondaire de la tige
cbm : La masse du contrepoids
bm : La masse de la tige du contrepoids
msm : La masse du l’hélice principale
tsm : La masse de l’hélice secondaire
ml : La longueur de la partie principale de la tige
tl : La longueur de la partie secondaire de la tige
bl : La longueur de la tige du contrepoids
cbl : La distance entre le contrepoids et l’articulation
g : L’accélération gravitationnelle
II.2.3.2. Moment de la force aérodynamique Mv2
Pour déterminer les moments des forces propulsives appliquées à la tige on considère
la situation illustrée dans la figure II.3.
26
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
Figure II.3. Moments de la force aérodynamique et de friction.
2 ( )v m v mM l F (II.8)
Où :
2vM : Le moment de la force aérodynamique développé par le rotor principal
m : La vitesse angulaire du rotor principal
( )v mF : Exprime la dépendance de la force aérodynamique de la vitesse
angulaire du moteur. Elle doit être mesurée expérimentalement
II.2.3.3. Moment des forces centrifuge Mv3
L'équilibre statique du vilebrequin est obtenu lorsque la résultante des forces
centrifuges est nulle, plus précisément lorsque le centre de gravité se trouve sur l'axe de
rotation. Néanmoins, l'équilibre statique n'implique pas nécessairement l'équilibre dynamique.
En effet, le vilebrequin peut donner lieu à un moment de flexion dû aux forces centrifuges
d'autant plus grandes que le mouvement de rotation est important (figure II.4). Ce moment est
donné par :
6
3 3,1
V V ii
M M
(II.9)
y
cost vl
cosm vl
ml
tl x
sinb vl
cb bl l
bm g
v mF
v
27
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
Figure II.4. Moments de la force centrifuge.
(II.10)
Avec :
hh
d
dt
(II.11)
h : Vitesse angulaire de la tige autour de l’axe vertical et h est l’angle d’azimut de la tige
2 23,1 sin cosv h tr ts t v vM m m l
(II.12)
2 23,2 sin cos
4t
v h t v v
mM l
(II.13)
2 23,3 sin cosv h mr ms m v vM m m l
(II.14)
2 23,4 sin cos
4m
v h m v v
mM l
(II.15)
2 23,5 sin cos
4b
v h b v v
mM l
(II.16)
2 23,6 sin cosv h cb cb v vM m l
(II.17)
2 2 2 2 23 sin cos
4 4 4t m b
v h tr ts t mr ms m b cb cb v v
m m mM m m l m m l l m l
(II.18)
Posons :
2 2 2 2
4 4 4t bm
tr ts t mr ms m b cb cb
m mmH m m l m m l l m l
(II.19)
On peut écrire (II.18) sous la forme compacte suivante :
2
3 sin cosv h v vM H (II.20)
x
O
v
M
bF m w w OM
2 sinb vF m OM w
3,1
cos( ) sin( )
v tr ts h h t
h h
t t v t v
M m m l
k
l l j l k
28
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
II.2.3.4. Moment de friction Mv4
Ce moment est donné par :
4v v vM k (II.21)
Avec :
vv
d
dt
(II.22)
v : La vitesse angulaire autour de l’axe horizontal
vk : Constante de friction.
II.2.3.5. Moment d’inertie Jv
D’ après la figure II.2 on peut déterminer le moment d’inertie par rapport à l’axe
horizontal. On remarque que ce moment est indépendant de l’angle d’élévation
21
2
2
23
2
4
25
2
6
2 27
2 28
3
3
3
2
v mr m
mv m
v cb cb
bv b
v tr t
tv t
msv ms ms m
v ts ts ts t
J m l
lJ m
J m l
lJ m
J m l
lJ m
mJ r m l
J m r m l
(II.23)
ou :
msr : Le rayon de l’hélice principale
tsr : Le rayon de l’hélice secondaire
II.2.4. Sous système d’azimut
De la même façon, on peut décrire le mouvement de la tige autour de l’axe vertical, le
mouvement horizontal peut être décrit comme étant un mouvement de rotation d’un solide :
2
2
hh h
dM J
dt
(II.24)
29
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
Où : hM est la somme des moments des forces agissantes dans le plan horizontal, et hJ est la
somme des moments d’inertie par rapport à l’axe vertical.
Ainsi :
2
1h hi
i
M M
(II.25)
8
1h hi
i
J J
(II.26)
II.2.4.1. Moment de la force aérodynamique
Pour déterminer les moments de forces appliquées à la tige, on considère le cas
présenté dans la figure II.5.
Figure II.5. Moments des forces dans le plan horizontal.
1 cosh t h t vM l F (II.27)
Où :
t : La vitesse angulaire du rotor secondaire
h tF : Exprime la dépendance de la force aérodynamique de la vitesse angulaire
du rotor secondaire.
II.2.4.2. Moment de friction
Le moment de friction est donné par l’équation suivante :
2h h hM k (II.28)
Avec :
hk Constante de friction
thF
Axe de rotation vertical h
ml
tl
1hM
30
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
II.2.4.3. Moment d’inertie Ce moment est donné par :
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
227
228
cos3
cos3
sin3
cos
cos
sin
cos2
cos
mh m v
th t v
bh b v
h tr t v
h mr m v
h cb cb v
tsh ts ts lt v
h ms ms ms m v
mJ l
mJ l
mJ l
J m l
J m l
J m l
mJ r m l
J m r m l
(II.29)
Ou sous forme compacte :
2 2( ) cos sinh v v vJ D E F (II.30)
D, E et F sont des paramètres constants. Ils sont donnés par :
2 2
2 2
2 2
3
3 3
2
bb cb cb
m tmr ms m tr ts t
tsms ms ts
mD l m l
m mE m m l m m l
mF m r r
(II.31)
Où :
trJ : Le moment d’inertie dans le moteur secondaire,
mrJ : Le moment d’inertie dans le moteur principal,
vS : Le moment angulaire dans le plan vertical,
hS : Le moment angulaire dans le plan horizontal.
II.2.4.4. Dynamiques des propulseurs (hélices + moteurs DC)
Les deux moteurs sont à courant continu commandés en tension. On considère le
modèle simple d’un MCC (Moteur à Courant Continu) avec une charge extérieure donnée
par :
( )ib L
KI u K T
R (II.32)
31
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
Avec :
: Vitesse angulaire du moteur (rad/s).
u : Tension de commande (V).
I : Moment d’inertie.
R : Résistance de l’armature.
bK : Constante de la FEM.
iK : Constante du couple.
LT : Couple résistant généré par la charge.
La charge, LT , ici représente les frottements mécaniques et les frottements
aérodynamiques générés par la rotation de l’hélice. Puisque ces frottements sont difficiles à
modéliser, on a introduit une nouvelle variable vvu pour le vertical et hhu pour l’horizontal
ainsi que deux fonctions non linéaires statiques. Ensuite, il suffit de déterminer leurs
caractéristiques statiques expérimentalement
Le sous-système devient alors un système de premier ordre avec une fonction non
linéaire à sa sortie :
1vvvv mr v
mr
m v vv
duu K u
dt T
P u
(II.33)
1hhhh tr h
tr
t h hh
duu K u
dt T
P u
(II.34)
Le schéma bloc des moteurs de chaque sous-système est présenté par la figure II.6.
Figure II.6. Schéma bloc des moteurs.
Où
mrT : La constante du temps du moteur principal.
trT : La constante du temps du moteur secondaire.
mrK : Le gain statique du moteur principal.
1sT
K
mr
mr v vvP u vu
vvu m
1tr
tr
K
T s h hhP u hu hhu t
32
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
trK : Le gain statique du moteur secondaire.
II.2.5. Modèle d’état
En utilisant les équations précédentes, on peut écrire les équations décrivant le
mouvement du système comme suit :
21cos sin sin 2
2m v m v v v v h v
v
v
l F k g A B C HdS
dt J
(II.35)
vv
d
dt
(II.36)
tr tv v
v
JS
J
(II.37)
cos
( )t h t v h hh
h v
l F kdS
dt J
(II.38)
hh
d
dt
(II.39)
cos
( )mr m v
h h
h v
JS
J
(II.40)
En choisissant comme :
- Entrée : Tv hU u u
- Vecteur d’état : Tv v vv h h hhX S u S u
- Sortie : T
v hY
On obtient le modèle d’état ci-dessous :
1 2 6
3
2 2 6 1 1
2
3 15 1 12 2
1 1
3 3
3 14 5 2 2
1 1
5 21
cos sin
cos1sin cos
cos sin
1
cos
cos sin
1
cos sin
trh
v
m f v v v trh
v v v v
mr v
v
mr v
mr
mr v
Jx x P x
J
l S F P x K J gx x P x A B x C x
J J J J
J P x xx H x x
J D x E x F
x x K uT
J P x xx x
D x E x F
xD x E
3 16 1 52 2 2
1 1 1
6 6
coscos
cos sin
1
mr vt f h h h
tr h
tr
J P x xl S F P x x K x
x F D x E x F
x x K uT
(II.41)
33
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
La figure II.7 montre le diagramme fonctionnel du TRMS :
Figure II.7. Schéma bloc du TRMS 33-007-4M5 [65].
II.2.6. Le modèle découplé
En contraignant le mouvement de la tige dans un seul plan soit l’horizontal ou le
vertical, on obtient deux sous modèles chacun ayant un degré de liberté.
II.2.6.1. Modèle à 1 DDL vertical
Ce modèle est dérivé du modèle couplé, en fixant l’angle d’azimut h , et en posant
0hu .
On choisit le vecteur d’état suivant :
T
v v vvX S u (II.42)
La représentation d’état est alors :
1 2
3 2 1 1
2
3 3
( ) cos( ) sin( )
1
m v v v
v
mr v
mr
x x
l F P x k x g A B x C xx
J
x x K uT
(II.43)
Le schéma bloc du sous-système vertical est présenté par la figure II.8
hf FS vtl cos vhJ
1s1 s1
vf FS mlvJ
1 s1 s1
vh
vmr
J
J
cos
hK
h
th
-
vvh H cossin2
- tv
v
tr
J
J
Kv
vv CBAg sincos
v
hu
vu
Ph GH
Pv
Gv
hS
vS
34
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
Figure II.8. Schéma bloc du modèle vertical.
Remarque II.1
Le modèle vertical obtenu ne dépend pas de l’angle d’azimut h .
II.2.6.2. Modèle à 1 DDL horizontal
De la même façon que pour le modèle vertical, dans le modèle couplé on pose
0v v , 0vu et on choisit T
h h hhX S u comme vecteur d’état, on obtient le modèle
horizontal suivant :
1 2
3 0 22
0
3 3
( ) cos( )
( )
1
t h h v h
h v
tr h
tr
x x
l F P x k xx
J
x x K uT
(II.44)
Le schéma bloc du sous-système horizontal est présenté par la figure II.9
Figure II.9. Schéma bloc du modèle horizontal.
II.2.7. Paramètres du modèle
Ces paramètres peuvent être classés en trois catégories :
Paramètres physiques.
Caractéristiques non linéaires.
Les constantes de temps et les gains statiques.
Les caractéristiques non linéaires des moteurs sont données par les fonctions suivantes [65] :
6 5 4
3 2
5 4 3
2
90.99 ( ) 599.73 ( ) 129.26 ( )
1238.64 ( ) 63.45 ( ) 1283.41
2020 ( ) 194.69 ( ) 4283.15 ( )
262.
( )
(
27 ( ) 379 .8
)
6 3
v vv vv vv vv
vv vv vv
h hh hh hh hh
hh hh
P u u u u
u u u
P u u u u
u u
(II.45)
vf FS mlvJ
1s1 s1 - tv
Kv
vv CBAg sincos
v vu Pv
Gv
vS
hf FS vtl cos vhJ
1s1 s1
hK
h
th
- hu
Ph GH hS
35
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
Les fonctions aérodynamiques sont données par [65] :
12 5 9 4 6 3
4 2 2
14 5 11 4 7
2
v m
3
3.48 (10 ) ( ) 1.09 (10 ) ( ) 4.123 (10 ) ( )
1.632 (10 ) ( ) 9.544 (10 )
3 (10 ) ( ) 1.595 (10 ) ( ) 2.511 (10 ) ( )
1.808 (10 4) ( ) 0.080
( )
( )
80
m m m
m m
h t t t t
t t
F
F
(II.46)
Les valeurs numériques des différents paramètres sont regroupées dans le tableau (II.1) :
Paramètres Valeur
A 0.0946875 kgm2
B 0.11046 kgm2
C 0.01986 kgm2
D 0.04988 kgm2
E 0.004745 kgm2
F 0.006230 kgm2
H 0.048210 kgm2
fS 0.000843318
vJ 0.055448 kgm2
mrJ 0.000016543 kgm2
trJ 0.0000265 kgm2
ml 0.24 m
tl 0.25 m
mrT 1.432 sec
trT 0.3842 sec
mrK 1
trK 1
vK 0.0095
hK 0.00545371
g 9.81 m/s2
Tableau II.1. Paramètres du modèle de TRMS 33-007-4M5 [65].
36
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
II.2.8. Réponse en boucle ouverte
Les figures II.10 et II.11, montrent les réponses libres ( h vu u 0 volt) du modèle du TRMS,
avec les conditions initiales : αv=αh=0 rad.
Figure II.10. Réponses libres du modèle du TRMS.
Figure II.11. Réponses du modèle du TRMS pour h vu u 0.5 volt et αv0=αh0=0 rad.
La réponse libre du sous-système d’élévation est oscillatoire amortie, cela est due aux
forces gravitationnelles qui agissent uniquement sur le plan vertical, et poussent le simulateur
à se stabiliser en un point d’équilibre αv=-0.93 rad. Par contre, le sous-système d’élévation
reste dans sa position d’origine tant qu’il n’y pas d’excitation du rotor de queue.
Lorsqu’on excite le système, le sous-système vertical tend vers un nouveau point d’équilibre
car la commande de 0.5 volt n’est pas suffisante pour l’élever vers un angle supérieur.
Cependant, le sous système horizontal a le comportement d’un intégrateur, il diverge même
pour de petites excitations. Ceci est dû essentiellement à la faible inertie du mouvement
horizontal où il n’y a pas de force de gravité qui s’oppose au mouvement.
II.3. Modélisation d’un quadrotor à six degrés de liberté
II.3.1. Les possibilités de vol du quadrotor
Le quadrotor est doté de quatre rotors dont les hélices sont à pas fixe qui lui permettent
la sustentation par une variation de la vitesse angulaire de ses rotors.
0 50 100 150-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
h (
rad
)
0 50 100 150 -2
-1.5
-1
-0.5
0
Temps (s)
alp
ha
v (
rad)
0 50 100 1500
200
400
600
800
Temps (s)
alp
ha
h (
rad)
0 50 100 150-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Temps (s)
alp
ha
v (r
ad)
37
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
Deux hélices de même pas sont montées en opposée et tournent dans le même sens et les deux
autres hélices tournent dans le sens opposé (figure II.12).
Figure II.12. Exemple type d’un quadrotor [66].
Les mouvements possibles du quadrotor sont présentés par la figure II.13 :
Le mouvement vertical (Sustentation) s’obtient de la contribution des quatre hélices
au même temps.
Le déplacement suivant l'axe X se produit suite à une rotation autour de l'axe Y, cette
dernière se crée à cause de la différence de portance des rotors 1-3 (Tangage θ).
Le déplacement suivant l'axe Y se produit suite à une rotation autour de l'axe X, cette
dernière se crée à cause de la différence de portance des rotors 2-4 (Roulis φ).
Le mouvement en lacet nécessite que deux rotors du même axe tournent dans un
sens tandis que les deux autres dans l’autre sens (Lacet ψ).
Figure II.13. Les mouvements du quadrotor.
c- Le lacet
1
2 3
4
a- Le tangage 3
1
2
4
1
2 3
4
b- Le roulis
38
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
II.3.2. Modèle Dynamique
Pour étudier le mouvement du quadrotor on utilise deux repères (figure II.14) : le
repère E(X, Y, Z) lié à la terre et supposé galiléen, le repère B(x, y, z) lié au corps du
quadrotor.
Figure II.14. Configuration du quadrotor.
Afin de pouvoir comprendre au mieux le modèle dynamique développé ci-dessous, voilà les
différentes hypothèses de travail :
La structure du quadrotor est supposée rigide.
Le centre de masse et l’origine du repère lié à la structure coïncident.
Les hélices sont supposées rigides.
Les forces de portance et de trainée sont proportionnelles aux carrés de la vitesse de
rotation des rotors.
Sous ces hypothèses, il est possible de décrire la dynamique du fuselage comme celle
d’un corps rigide dans l’espace à laquelle viennent s’ajouter les forces aérodynamiques
provoquées par la rotation du rotor. En utilisant le formalise de Newton-Euler, les équations
de la dynamique s’écrivent sous la forme suivante :
( )
f t g
f a g
v
m F F F
J J
(II.47)
où:
: représente la position du centre de masse du quadrotor par rapport au repère inertiel {E}
(liée à la terre),
m : la masse totale de la structure,
J : est la matrice d’inertie au centre de masse, exprimé dans le repère {B}, considérée
diagonale, car la structure du quadrotor est supposée symétrique.
y E x
z
F1 F4
F3 F2
M1 M4
M2 M3 mg
y
z
x
B
39
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
(II.48)
: désigne la vitesse angulaire du quadrotor exprimée dans le repère {B}. Elle est donnée
par :
1 0
0
0
Sin
Cos Cos Sin
Sin Cos Sin
(ІI.49)
Dans le cas où le quadrotor réalise des mouvements angulaires de faible amplitude le vecteur
peut être assimilé à , ,T
.
La matrice R est la matrice de transformation homogène reliant le repère lié au solide au
repère inertiel [60].
Rotation de l’axe z
cos( ) sin( ) 0
( , ) sin( ) cos( ) 0
0 0 1
Rot z
Rotation de l’axe y
cos( ) 0 sin( )
(y, ) 0 1 0
sin( ) 0 cos( )
Rot
Rotation de l’axe x
1 0 0
(x, ) 0 cos( ) sin( )
0 sin( ) cos( )
Rot
On a donc :
R( , , ) ( , ) ( , ) ( , )Rot z Rot y Rot x
cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin
sin cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin
sin cos sin cos cos
S
(II.50)
est la matrice anti-symétrique ; pour un vecteur donné T][ 321 elle est définie
comme suit :
0 0
0 0
0 0
x
y
z
I
J I
I
z
x
z'
x'
y, y'
x
y
x'
y'
z ,z'
y
z
y'
z'
x, x'
40
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
3 2
3 1
2 1
0
0
0
(II.51)
Ff est la résultante des forces de poussée générées par les quatre rotors. Elle est donnée par :
4
1
*f ii
Cos Cos Sin Sin Cos
F Cos Sin Sins Sin Cos F
Cos Cos
(II.52)
avec :
2i p iF K (II.53)
Où pK désigne le coefficient de portance et i désigne la vitesse angulaire du rotor en
question.
Ft est la résultante des forces de trainée selon (X, Y, Z). Elle est donnée par :
0 0
0 0
0 0
ftx
t fty
ftz
k
F k
k
(II.54)
où ftxk , ftyk , ftzk sont les coefficients des forces de trainée selon les trois axes.
Fg regroupe les forces liées à la gravité :
0
0gF
mg
(II.55)
f représente le vecteur résultant des moments appliqués sur la structure du quadrotor :
4 2
3 1
2 2 2 21 2 3 4
( )
( )
( )
f
d
d F F
d F F
K
(II.56)
d est la distance entre le centre de masse du quadrotor et l’axe de rotation du rotor et est dK
le coefficient de trainée.
a représente le vecteur résultant des frottements dus aux couples aérodynamique :
2
0 0
0 0
0 0
fax
a fay
faz
k
k
k
(II.57)
faxk , fayk , fazk sont les coefficients des frottements aérodynamiques selon les trois axes.
g représente l’ensemble des couples dus aux effets gyroscopiques :
41
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
4
1 1
0
0
( 1)
g ri i
i
J
(II.58)
avec rJ et
i représentent l’inertie et la vitesse angulaire, respectivement, du rotor en
question.
A partir des relations précédentes on obtient le modèle dynamique complet suivant qui régit le
quadrotor :
1
1
1
22
23
1{ }
1{ . }
1{ }
1[ ( ) ]
1[ ( ) ]
1[ ( )
ftx
fty
ftz
y z fax r
x
z x fay r
y
x y
z
x Cos Cos Sin Sin Sin U k xm
y Cos Sin Sin Cos Sin U k ym
z Cos Cos U k z gm
I I dU k JI
I I dU k JI
I II
24 ]fazU k
(II.59)
où, 1U , 2U , 3U et 4U sont les entrées de commande du système et s’écrivent en fonction des
vitesse angulaires des quatre rotors comme suit :
2112
2 2
23 3
244
0 0
0 0
p p p p
p p
p p
d d d d
K K K KU
K KU
K KU
K K K KU
(II.60)
et :
1 2 3 4
(II.61)
II.3.3. Dynamique du rotor
Le rotor est un ensemble constitue d’un moteur à courant continu entrainant une hélice
via un réducteur. Le moteur à courant continu est régit par la dynamique suivante :
2
e
m r s r
diV ri L k
dt
k J C k
(II.62)
Les différents paramètres du moteur sont définis comme suit :
V : est la tension d’entrée du moteur.
42
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
i : est la vitesse angulaire du moteur.
ek , mk : sont des constantes des couples électrique et mécanique respectivement.
rk : est la constante du couple de charge.
r : désigne la résistance du moteur.
rJ : désigne l’inertie du rotor.
sC : représente le frottement.
En négligeant l’effet inductif des moteurs à cause de leur taille réduite, le modèle dynamique
des moteurs est approximé par :
2
210 iiii bV 4,1i (II.63)
avec r
r
r
me
r
s
J
k
rJ
kk
J
C 210 ,, et
r
m
rJ
kb .
Le modèle (II.59) développé précédemment peut être réécrit dans l’espace d’état sous
la forme ( ) ( )x f x g x U en considérant 1 12[ ..... ]TX x x comme vecteur d’état du
système.
Soit :
],,,,,,,,,,,[ zzyyxxX (II.64)
De (II.59) et (II.64) on obtient la représentation d’état suivante :
1 2
12 9 2
3 4
14 10 4
5 6
9 116 11 6 1
7 8
28 8 8 7 10 12 3 4
9 10
210 5 10 4 8 12 6 12 2 3
11 12
212 2 12 1 10 8 3 10 1 2
cos cos
x
y
x x
Ux a x U
m
x x
Ux a x U
m
x x
x xx a x U g
m
x x
x a x a x x b U
x x
x a x a x x a x b U
x x
x a x a x x a x b U
(II.65)
43
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
1 2 3
4 5 6
7 8 9 10 11
1 2 3
, ,
, ,
, , , ,
1, ,
y z fax r
x x x
fayz x r
y y y
x y faz ftx fty ftz
z z
x y z
I I K Ja a a
I I I
KI I Ja a a
I I I
I I K K K Ka a a a a
I I m m m
d db b b
I I I
(II.66)
où :
11 9 7 11 7
11 9 7 11 7
cos sin cos sin sin
cos sin sin sin cos
x
y
U x x x x x
U x x x x x
(II.67)
Les Paramètres mécanique et électrique du modèle du quadrotor sont regroupés dans le
tableau (II.2) [67] :
Paramètres Désignation Valeur
pK Coefficient de portance 52.9842 10 . / /N m rad s
dK Coefficient de trainée 72.2320 10 . / /N m rad s
m Masse de quadrotor 486 g
d Distance entre le centre de
masse du quadrotor et l’axe de rotation du rotor
25 cm
J Matrice d’inertie du quadrotor
3 23.8278,3.8288,7.6566 10 . / /diag N m rad s
faK Coefficient des frottements aérodynamique
45.5670,5.5670,6.3540 10 . / /diag N m rad s
ftK Coefficient des forces de
trainées selon , ,X Y Z 45.5670,5.5670,6.3540 10 . / /diag N m m s
rJ Inertie du rotor 5 22.8385 10 . / /N m rad s
ek Constante du couple électrique
0.0216
sC Frottement 35.8326 10
rk Constante du couple de charge
73.4629 10
Tableau II.2. Paramètres mécanique et électrique du modèle du quadrotor.
44
Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté
II.4. Conclusion
Nous avons présenté, dans ce chapitre, une modélisation analytique d’un hélicoptère à
deux degrés de liberté de type TRMS 33-007-4M5. Le modèle obtenu est non linéaire et
fortement couplé. Afin de simplifier la tâche de développement des lois de commande, nous
avons considéré le découplage du modèle complet en deux sous systèmes, selon les deux
plans vertical et horizontal. Ensuite, nous avons envisagé la modélisation dynamique d’un
hélicoptère à six degrés de liberté de type quadrotor. En effet, nous avons utilisé le
formalisme de Newton-Euler pour établir un modèle qui décrit presque tous les phénomènes
physiques agissant sur le quadrotor. Le modèle établi montre la nature couplée, complexe,
non linéaire, multi variable et sous-actionné de ce système. Les modèles obtenus seront
utilisés, dans les chapitres suivants, pour mettre en œuvre les différentes lois de commande.
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
Chapitre III
Commande par linéarisation entrée-sortie
45
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
III.1. Introduction
La synthèse de la commande d’un hélicoptère est généralement difficile. Cette
difficulté provient soit de la non linéarité de ses équations dynamiques et/ou le fort couplage
entre eux, soit de l’incertitude sur les paramètres aérodynamiques, qui est souvent inconnue.
Ces problèmes deviennent de plus en plus difficiles à contourner par les algorithmes de
commande classiques, telle que la commande à actions proportionnelles, intégrales et
dérivées, surtout lorsque les exigences de la dynamique du système bouclé sont trop strictes.
Pour se faire, de nombreuses stratégies de commande non linéaires ont été étudiées et
appliquées sur les hélicoptères drones, et ce, dans le but d’aboutir à des algorithmes de
commande de haute performance permettant le rejet des perturbations non mesurables et
assurant une bonne robustesse vis-à-vis des incertitudes paramétriques. Grace à sa simplicité,
la commande par linéarisation entrée-sortie, a été appliquée sur plusieurs types de systèmes
non linéaires et a montré une bonne efficacité. Son principe consiste à trouver une
transformation qui permet de compenser les non linéarités du modèle et ainsi rendre la
relation entre la sortie d’un système et son entrée complètement linéaire. Nous nous
envisageons, dans ce chapitre, d’appliquer cette stratégie de commande sur les modèles des
deux types d’hélicoptères, déjà donné dans le chapitre précédent, en vue de régler leur
position.
III.2. Commande par linéarisation entrée-sortie
III.2.1. Commande par linéarisation entrée-sortie des systèmes monovariables
Soit le système non linéaire suivant :
( ( )) ( ( )) ( )
( ( ))
x f x t g x t u t
y h x t
(III.1)
- x est un vecteur de nR (le vecteur d'état du système),
- u est un scalaire représentant l'entrée (c-à-d la commande),
- y est un scalaire représentant la sortie,
- ( ( )), ( ( ))et ( ( ))f x t g x t h x t sont des fonctions non linéaires.
III.2.1.1. Degré relatif
Nous introduisons maintenant la notion de degré relatif d'un système. C'est une notion
très importante car elle est à la base d'une condition nécessaire et suffisante permettant
d'affirmer ou d'infirmer le fait que le système soit linéarisable de manière exacte.
46
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
Définition III.1
Le degré relatif (noté r) d'un système SISO (single input single output) peut être défini
de manière intuitive comme étant, le nombre minimum de fois qu'il faut dériver par rapport au
temps l'expression de la sortie (y) pour voir apparaître explicitement l'entrée (u) est donnée
par :
(1)1
(2)2
( 1)1
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
.
.
.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
rr
r
y x h x
y x h x
y x h x
y x h x
y x a x b x u
(III.2)
Remarque III.1
Le degré relatif n'est pas défini aux points x de l'espace d'état tel que
a(x) = 0.
III.2.1.2. Dérivée de Lie
Soit : nh R R une fonction scalaire et : n nf R R un champ de vecteur.
On utilise la notation ( ) : nfL h x R R pour designer la fonction scalaire ( ) ( )f
hL h x f x
dx
qui est aussi appelée la dérivée de Lie de h dans la direction du champ de vecteur f.
De la même manière, on peut noter, pour k =0, 1, 2, 3,…………
1
0
( ) ( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
kk kf fk
f
hL h x f x L h x f x
dx x
L h x h x
(III.3)
Remarque III.2
- Le degré relatif r est le nombre de fois qu’il faut dériver la sortie y pour que la commande u
apparaisse ; cela se vérifie comme suit :
(III.4)
et comme ( ) 0gL h x alors : ( )fy L h x
( ) ( )
( ) ( )f g
h h hy x f x g x u
x x x
y L h x L h x u
47
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
De la même manière on trouve :
2
( 1) 1
( ) 1
( ) 1
( )
.
.
( )
( )
( ) ( )
f
r rf
r rf
r r rf g f
y L h x
y L h x
y L h x xx
y L h x L L h x u
(III.5)
III.2.1.3. Forme normale
La notion de forme normale d'un système non-linéaire est basée sur la définition d'un
nouveau vecteur d'état au moyen d'un changement de variables. Ce nouveau vecteur d'état
permet d'exprimer les équations d'état du système sous une forme considérablement plus
simple que celle de départ. Par la suite, lorsque nous devrons appliquer une régulation d'état
au système, il sera plus aisé d'utiliser les équations exprimées en forme normale.
Changement de variable
Pour tout point x de l'espace d'état en lequel le degré relatif r est défini, nous pouvons
définir un nouveau vecteur d'état ( )z x . Les r premières composantes de ( )x sont
définies comme étant les dérivées d'ordre 0 à ( 1)r de la sortie donnée par :
1
(1)2
(2)3
( 1)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
.
.
.
( ) ( )rr
x y x
x y x
x y x
x y x
(III.6)
II a été démontré dans [68] que r ≤ n et que ces r fonctions qualifient un changement
de variable partiel régulier. Il a été également démontré que si r < n, il est possible de trouver
des fonctions 1, ,.......,r r telles que le changement de variable complet soit régulier. De
plus, il est possible d'assurer que l'expression de leur dérivée temporelle ne fasse pas
apparaître l'entrée explicitement.
Equations d'état
Pour chacune des ( 1)r premières composantes du vecteur d'état, sa dérivée est égale
à la composante suivante du vecteur d'état. Autrement dit :
48
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
(1)1 2
(3)2 3
( )1
( )
( )
.
.
.
( )rr r
z y x z
z y x z
z y x z
(III.7)
Pour la composante d'ordre r, étant donné (III.7), nous obtenons :
( ) ( ) ( ) ( )rrz y x a x b x u (III.8)
Vu que le changement de variable est régulier, nous en déduisons :
1 1( ( )) ( ( ))
( ) ( )
r
z z
z a z b z u
a z b z u
(III.9)
Avec ( ) 0za z par définition du degré relatif.
Si les 1 ,.......r n ont été choisies telles que leur dérivée ne fasse pas apparaître u, nous
obtenons pour r + 1 < i < n :
( )i iz q z (III.10)
( )iq z représente la dynamique des zéros.
Forme normale
Les équations d'états prennent donc la forme :
1 2
2 3
1
1 1
.
.
( ) ( )
( )
.
.
( )
r r
r z z
r
n n
z z
z z
z z
z a z b z u
z q z
z q z
(III.11)
La sortie s'exprime simplement par y=z1.
La structure de ces équations est illustrée dans la figure III.1. Le système représenté sous cette
forme est dit représenté en forme normale.
49
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
Figure III.1. Schéma d'un système monovariable en forme normale.
III.2.1.4. Linéarisation exacte par régulation d'état statique
La régulation d'état statique consiste à appliquer au système une entrée ne dépendant
que de son vecteur d'état actuel (x) et d'une entrée de référence (v) :
( ) ( )u x x v (III.12)
Le système régulé est donc de la forme :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( ))
x f x g x x g x x u t
y h x t
(III.13)
La figure III.2 illustre le bloc diagramme de cette régulation.
Figure III.2. Linéarisation exacte par régulation d'état statique.
III.2.1.5. Linéarisation exacte d'un système en forme normale
Considérons un système exprimé en forme normale et tel que son degré relatif soit
égal à son degré propre (r = n).
1 2
2 3
1
.
.
( ) ( )
n n
n z z
z z
z z
z z
z a z b z u
(III.14)
vxx
xhy
uxgxfx
u y
x
v
uzazb zz
u rz rz 2z yz 1
1rz nz
nir
zqz ii
1
50
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
Nous avons vu dans l'équation (III.9) que ( ) 0za z . Nous pouvons donc appliquer
l'entrée suivante au système :
1
( ) ( )( )
z
z
u z b z va z
(III.15)
Les équations d'états du système régulé sont donc :
1 2
2 3
1
.
.
n n
n
z z
z z
z z
z v
(III.16)
La figure III.3 illustre le schéma bloc correspondant.
Figure III.3. Schéma du système linéarisé.
Le système régulé peut donc être considéré comme une chaîne d'intégrateurs, c'est-à-
dire un système linéaire et commandable. En assignant la dérivée d'ordre n de la sortie de
référence (y(r)) à l'entrée de référence (v), nous obtenons bien la sortie de référence comme
sortie du système (y = y(r)).
Remarque III.3
Nous venons de voir que la condition r = n est suffisante à la linéarisation exacte du
système. Il a été démontré dans [68] que cette condition est nécessaire.
III.2.1.6. Linéarisation exacte d'un système en forme quelconque
La linéarisation présentée dans la section précédente repose sur deux opérations :
un changement de variable ( )z z .
une régulation d'état.
On peut démontrer que l'ordre de ces deux opérations n'a pas d'importance [68]. De
plus, il n'est pas nécessaire de passer par la forme normale pour calculer l'expression de u. En
effet, dans le cas où r = n, nous pouvons calculer directement u(x) à partir de l'expression de
( )ry (équations (III.2) et (III.5)) [68].
1
( ) ( )( )
u x a x vb x
nzV nz 3z 2z yz 1
51
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
1
1 rfr
g f
u x L h x vL L h x
(III.17)
III.2.2. Commande par linéarisation entrée-sortie des systèmes multivariables
La commande par bouclage non linéaire des systèmes multivariables consiste à
transformer, par bouclage, le système en systèmes monovariables indépendants. Avant
tout, on considère que le système non linéaire de p entrées et p sorties a pour forme:
Figure III.4. Découplage d’un système non linéaire multivariable.
p
i
ii uxgxfx1
(III.18)
i iy h x 1,2, ,i p (III.19)
Où 1 2, , nx x x x est le vecteur d’état, 1 2, , pu u u u est le vecteur des commandes
et iy représente le vecteur des sorties. f, gi sont des champs de vecteurs lisses et hi est une
fonction lisse.
Soit le système défini par :
x f x g x u
y h x
Avec
n
p
p
x
u
y
(III.20)
En dérivant la sortie y, on obtient l’équation suivante :
uxBxAy (III.21)
Définition III.2
Le degré relatif noté r de la sortie yp est le plus petit ordre de dérivation k tel que l’on
ait :
( ), ,
, 0
kp k p k p
k p
y A x B x u
Avec B x
(III.22)
Le système défini par (III.20) est découplable par bouclage statique si et seulement si :
1u
pu
1y
py
1
p
1v
pv
1y
py
52
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
1
1
1
, ,
, ,
prrp
p
y yrang p
u u
(III.23)
Le problème consiste à trouver une relation linéaire entre l’entrée et la sortie en
dérivant la sortie jusqu’à ce qu’au moins une entrée apparaisse en utilisant l’expression :
1
1
j j
pr rrj
j j j gi f j ii
y L h x L L h x u
Avec 1,2,3,j p (III.24)
Qui peut être exprimé sous forme matricielle :
1
1 0 0p
Trrpy y A x B x u (III.25)
avec
xhL
xhL
xA
prf
rf
p
1
0
1
et
xhLLxhLLxhLL
xhLLxhLLxhLL
xhLLxhLLxhLL
xB
prfgp
rfgp
rfg
rfg
rfg
rfg
rfg
rfg
rfg
p
p
pp
p
p
111
21
21
21
11
11
11
0
21
22
2
2
1
11
2
1
1
La loi de linéarisation est donnée donc sous la forme :
10 0u B x A x V (III.26)
xB0 doit être une matrice inversible.
Le vecteur (V) représente les nouvelles commandes conçues afin d’imposer une
nouvelle dynamique.
Remarque III.4
Dans le cas où la matrice xB0 n’est pas inversible, il faut faire un retour d’état
dynamique comme le montre la figure III.5.
Figure III.5. Retour d’état dynamique.
Ou 1 représente l’ordre de la dérivée de la commande 1u
III.3. Commande par linéarisation entrée-sortie appliquées au TRMS
Nous allons synthétiser deux lois de commandes linéarisantes pour chaque sous-
système. Ensuite, nous appliquons une commande linéaire, à savoir « le placement de pôle »
sur les modèles obtenus.
py
1y1u
pu
xB 10 n’ést
pas inversible
1
py
1y
pu
xB 10
inversible
1u
53
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
III.3.1. Calcule du degré relatif
Reprenons la représentation d’états du sous système vertical :
vvv
vvv
udxCx
xgxbxfx
xx
33
1232
21
(III.27)
mr
mrv
mrv
v
vv
T
Kd
Tc
J
Kb
,1
(III.28)
3 3
1 1 1
( )
cos sin
mv f v v
v
vv
lf x S F P x
J
gg x A B x C x
J
(III.29)
Nous dérivons y jusqu’à l’apparition de la commande on trouve :
1 2y x x (III.30)
2 3 2 1v v vy x f x b x g x (III.31)
3 13 3 2 1 2
3 1
( ) ( )v vv v v v v v v
f x g xy C x d u b f x b x g x x
x x
(III.32)
Puisque la commande apparaît dans la 3ème dérivée de la sortie y=x1 donc le sous
système vertical a par conséquent un degré relatif rv=3. Ceci nous permet de conclure que le
sous-système vertical est complètement linéarisable.
Les mêmes étapes sont reprises afin d’extraire le degré relatif du sous système horizontal. On
trouve rh=3.
III.3.2. Synthèse de la loi de commande
La loi de commande par linéarisation entrée-sortie est donnée par l’équation suivante :
vxhL
xhLLu r
frfg
1
1 (III.33)
avec v est un placement des pôles dans le plan de Z.
La loi de commande pour chaque sous système horizontal et vertical est donc calculée par :
hhhh
hh
hh
h vxbxfbxx
fc
x
fd
u 5666
6
1 (III.34)
v
vvvvv
vv
vv
v vxx
xgxgxbxfbx
x
fc
x
fd
u 21
11233
3
3
1 (III.35)
54
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
vv et hv sont obtenus avec un placement des pôles adéquat qui assure la convergence du
système. Ils sont donnés par :
56655444
123322111
xbxfxxx
xgxbxfxxx
v
v
hhd
vvvd
h
v
(III.36)
où les valeurs de 1 6,..., sont choisies de tel sorte que l’équation caractéristique du sous
système horizontal dans le plan Z est 75.446.252.2 2 sss et celle du sous système
vertical est 98.712.287.1 2 sss . Le schéma bloc de la commande du TRMS est présenté
dans la figure III.6.
Figure III.6. Schéma bloc de la commande par linéarisation entrée-sortie appliquée au modèle du TRMS 33-007-4M5.
III.3.3. Résultats de simulation
Les figures III.7 à III.9 présentent les résultats de simulation de la technique de
linéarisation entrée-sortie appliquée au modèle du TRMS. Toutes les simulations ont été
effectuées avec les positions initiales αh (0)= 0 rad et αv (0)= -0.93 rad pour les sous systèmes
horizontal et vertical respectivement. A partir de ces figures nous pouvons constater, que ce
soit dans le cas d’une trajectoire carrée (figures III.7 (a) et (b)) ou sinusoïdale (figures III.8 (a)
et (b)), que l’erreur de poursuite et la valeur du dépassement sont faibles. Nous pouvons
également constater que les signaux de commande sont relativement lisses (figures III.7 (c) et
(d), figures III.8 (c) et (d)).
Pour conclure sur la robustesse de cette technique de commande vis-à-vis des
perturbations externes, nous avons augmenté, durant l’intervalle du temps [10 s 15 s], la
valeur de la force aérodynamique pour les deux sous-systèmes horizontal et vertical (figures
dx1 vu
dx4 41 xy
TRMS 33-007- 4M5
Horizontal
Vertical 12 xy
Placement des pôles
hv Commande par
linéarisation entrée-sortie
vv Commande par
linéarisation entrée-sortie
Placement des pôles
hu
55
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
III.9 (a) – (d)). Nous remarquons qu’il y a une dégradation sévère des performances de
poursuite ; cette dégradation disparait avec l’annulation de cette augmentation.
Figure III.7. Performances de commande dans le cas d’une trajectoire carrée : (a) et (b) réponses du système, (c) et (d) signaux de commande.
Figure III.8. Performances de commande dans le cas d’une trajectoire sinusoïdale : (a) et (b) réponses du système, (c) et (d) signaux de commande.
(a) (b)
(c) (d)
(a) (b)
(c) (d)
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
h (
rad)
Désiré Actuel Désirée Réelle
1
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
Temps (s)
alp
ha
v (
rad)
Désiré Actuel Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
3
uh (
vo
lt)
Temps (s)0 10 20 30 40 50 60
-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uv (
vo
lt)
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
h (
rad)
Désiré Actuel Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60 -1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
v (r
ad)
Désiré Actuel Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60 -3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uh (
vo
lt)
Temps (s)
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
3
uv
(vo
lt)
56
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
Figure III.9. Performances de commande en présence d’une perturbation externe: (a) et (b) réponses du système, (c) et (d) signaux de commande.
III.4. Commande par linéarisation entrée-sortie appliquées au quadrotor
III.4.1. Stratégie de commande
Toutes les commandes stabilisantes sont conçues afin d’assurer la poursuite des
trajectoires désirées suivant les trois axes (X, Y, Z) et l’angle du lacet ψ. La stratégie de
commande adoptée est basée sur la décomposition du système d'origine en deux sous
systèmes : le premier concerne la commande en position tandis que le second est celui de la
commande en orientation. Les angles de roulis et de tangage désirés sont calculés par :
arcsin sin cosd x yU U (III.37)
sin sinarcsin
cos cos cos cosx
d
U
(III.38)
où Ux et Uy sont données par l’équation (II.67).
Le schéma de la figure (III.10) illustre la stratégie de commande adoptée :
(a) (b)
(c)
0 5 10 15 20 25 30 35-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
v (
rad)
Désirée Réelle
Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv
Fh Fv
0 5 10 15 20 25 30 35-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uh (
vo
lt)
(d)
0 5 10 15 20 25 30 35-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uv (
vo
lt)
Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv
Fh Fv
Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv
Fh Fv
0 5 10 15 20 25 30 350
0.2
0.4
0.6
0.8
Temps (s)
alp
ha
h (
rad)
Désirée Réelle
57
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
Figure III.10. Schéma général de commande du quadrotor.
III.4.2. Synthèse de la commande par linéarisation entrée-sortie
Etant donné le modèle dynamique du système sous la forme d’état (II.59), la fonction f x est
alors :
2
9 2
4
10 4
6
11 6
8
28 8 7 10 12
10
25 10 4 8 12 6 12
12
22 12 1 10 8 3 10
x
a x
x
a x
x
a xf x x
a x a x x
x
a x a x x a x
x
a x a x x a x
, (III.39)
et le vecteur de sortie Y est défini par :
1
3
5
7
9
11
x
x
xY
x
x
x
(III.40)
III.4.2.1. Sous système de translation
Le degré relatif de ce sous-système se calcule de la manière suivante :
,,
zyx ,,
z
z
y
y
x
x
Contrôleur de position
1U
2U
3U
4U
, ,
, ,
, ,
d d d
d d d
d d d
d
x y z
x y z
x y z
,
,
,
d d
d d
d d
d
d
d
Contrôleur d’orientation
58
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
1 1
1 1 2
11 2 9 2 x
y x
y x x
Uy x a x U
m
(III.41)
Alors le degré relatif est : 1 2r
2 3
2 3 4
12 4 10 4 y
y x
y x x
Uy x a x U
m
(III.42)
Alors le degré relatif est : 2 2r
3 5
3 5 6
9 113 5 11 6 1
cos cos
y x
y x x
x xy x a x U g
m
(III.43)
Alors le degré relatif est : 3 2r
1 2 3 16r r r n (III.44)
1n étant l’ordre du sous système de translation ; cela induit la non existence d’une dynamique
de zéros.
Le difféomorphisme
011 1 1 1
12 1 1 2
21 2 3
22 2 3 4
31 3 5
32 3 5 6
f
f f
f f
f f
z L h x y x
z L h x L x x
z h x x
z L h x L x x
z h x x
z L h x L x x
(III.45)
Alors
11 1
12 2
21 3
22 4
31 5
32 6
z x
z x
z x
z x
z x
z x
et
1 11 1 2 2
1 12 2 9 2 1
2 21 3 4 2
2 12 4 10 4 2
31 5 6
3 9 112 6 11 6 1 3
cos cos
x
y
z x x z
Uz x a x U v
m
z x x z
Uz x a x U v
m
z x x
x xz x a x U g v
m
(III.46)
Tel que
1 1 1 1 2 2 1
2 3 3 3 4 4 3
3 5 5 5 6 6 5
d d
d d
d d
v k x x k x x
v k x x k x x
v k x x k x x
(III.47)
59
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
Pour la synthèse des différentes lois de commande stabilisantes nous avons utilisé la
technique de placement de pôles. Les pôles choisis sont comme suit :
1 2
3 4
5 6
0.2782 6.7218
0.2619 2.1381
0.6972 4.3028
p p
p p
p p
(III.48)
Après calcul des différents polynômes caractéristiques et identification des
coefficients ik , les valeurs de ces derniers sont comme suit :
1
2
3
4
5
6
1.87
7
0.56
2.4
3
5
k
k
k
k
k
k
(III.49)
Par identification terme à terme entre le système d’équations (III.46) et le système
d’équations (III.47), il en résulte que les trois lois de commande du sous système de
translation sont comme suit :
1 1 1 2 2 9 21
3 3 3 4 4 10 41
1 5 5 5 6 6 11 69 11cos cos
x d
y d
d
mU k x x k x a x
U
mU k x x k x a x
U
mU k x x k x g a x
x x
tel que 1 0U et 9 11cos cos 0x x (III.50)
III.4.2.2. Sous-système d’orientation
Le degré relatif de ce sous-système se calcule comme suit :
4 7
4 7 8
24 2 8 8 7 10 12 3 4
y x
y x x
y x a x a x x b U
(III.51)
Alors le degré relatif est : 4 2r
5 9
5 9 10
25 9 5 10 4 8 12 6 12 2 3
y x
y x x
y x a x a x x a x b U
(III.52)
Alors le degré relatif est : 5 2r
6 11
6 11 12
26 11 2 12 1 10 8 3 10 1 2
y x
y x x
y x a x a x x a x b U
(III.53)
Alors le degré relatif est : 6 2r
60
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
4 5 6 26r r r n (III.54)
2n étant l’ordre du sous système de translation ; cela montre qu’il n’y a pas une dynamique de
zéros.
Le difféomorphisme
041 4 4 7
42 4 7 8
51 5 9
52 5 9 10
61 6 11
62 6 11 12
f
f f
f f
f f
z L h x y x
z L h x L x x
z h x x
z L h x L x x
z h x x
z L h x L x x
(III.55)
Alors
41 7
42 8
51 9
52 10
61 11
62 12
z x
z x
z x
z x
z x
z x
et
4 41 7 8 2
4 22 8 8 8 7 10 12 3 4 4
5 51 9 10 2
5 22 10 5 10 4 8 12 6 12 2 3 5
61 11 12
6 22 12 2 12 1 10 8 3 10 1 2 6
z x x z
z x a x a x x b U v
z x x z
z x a x a x x a x b U v
z x x
z x a x a x x a x b U v
(III.56)
Tel que
4 7 7 7 8 8 7
5 9 9 9 10 10 9
6 11 11 11 12 12 11
d d
d d
d d
v k x x k x x
v k x x k x x
v k x x k x x
(III.57)
Les pôles choisis sont comme suit :
7 8
9,10
11,12
1.1127 1.8873
1.5 1.9365
2.5 0.866
p p
p j
p j
(III.58)
et les valeurs des coefficients ik , obtenues de la même manière que dans le cas du sous-
système de translation, sont données par :
7
8
9
10
11
12
2.1
3
6
3
7
5
k
k
k
k
k
k
(III.59)
Il en résulte que les trois lois de commande du sous système d’orientation sont comme suit :
61
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
24 7 7 7 8 8 8 8 7 10 12
3
23 9 9 9 10 10 5 10 4 8 12 6 12
2
22 11 11 11 12 12 2 12 1 10 8 3 10
1
1
1
1
d
d
d
U k x x k x a x a x xb
U k x x k x a x a x x a xb
U k x x k x a x a x x a xb
(III.60)
III.4.3. Résultats de simulation
Dans cette simulation nous avons utilisé, pour calculer les différentes lois de
commande développées dans la section précédente, l’ensemble des paramètres du modèle du
quadrotor qui sont donnés dans le tableau II.2. Nous avons également considéré des
trajectoires de référence en échelon et de forme sinusoïdale. Les performances de commande
obtenues sont illustrées par les figures III.11 à III.20.
Nous remarquons qu’il y a une bonne poursuite des trajectoires de référence en
échelon (figures III.11 et III.12). Cependant, des dépassements sont observés dans le cas des
directions (y, , ), (figures III.11 (b), III.12 (a) et (b)). Ces dépassements ne sont pas tolérés
et peuvent être dangereux lorsqu’il s’agit d’un atterrissage. Les figures III.13 (a – d), montrent
que les commandes obtenues sont plus ou moins lisses. La figure III.14 présente la vitesse
angulaire des quatre rotors, tandis que la figure III.15 illustre la forme de la trajectoire globale
en trois dimensions.
Figure III.11. Résultats de poursuite, dans le cas des trajectoires de référence en échelon, selon les
axes , , ,X Y Z .
(a)
(c)
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
x (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
z (m
)
Désirée Réelle
(b)
(d)
0 10 20 30 40 50 60
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
Temps (s)
ksi (
rad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Temps (s)
y (m
)
Désirée Réelle
62
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
Figure III.12. Résultats de poursuite, dans le cas des trajectoires de référence en échelon, selon , .
Figure III.13. Signaux de commande, dans le cas des trajectoires de référence en échelon.
(a) (b)
(a) (b)
(c) (d)
Figure III.14. Vitesses angulaires des quatre rotors, dans le cas des
trajectoires de référence en échelon.
Figure III.15. Trajectoire globale du quadrotor en 3D, dans le cas des
trajectoires de référence en échelon.
0 10 20 30 40 50 60-20
-15
-10
-5
0
5
x 10
Temps (s)
phi (
rad)
-3
0 10 20 30 40 50 60-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Temps (s)
theta
(ra
d)
0 10 20 30 40 50 601
2
3
4
5
6
7
8
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
1 (
N)
0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1x 10
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
2 (
N)
-3
0 10 20 30 40 50 60-4
-2
0
2
4
6
x 10
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
3 (
N)
-3
0 10 20 30 40 50 60-2
0
2
4
6
8
10x 10
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
4 (
N.m
)
-3
0 10 20 30 40 50 600
50
100
150
200
250
Temps (s)
vite
sse
wi (
rad/s
)
w1 w2 w3 w4
00.5
11.5
22.5
0
0.5
1
1.5
20
0.5
1
1.5
2
x (m)y (m)
z (m
)
Désirée
Réelle
63
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
Dans le cas des trajectoires en forme sinusoïdale, nous remarquons que l’erreur de
poursuite est importante (figures III.16 (a) – (c)) et que les commandes calculées n’arrivent
pas à stabiliser les angles , à la valeur zéro (figures III.17 (a) et (b)). La figure III.20
montre la forme, en trois dimensions, de la trajectoire globale dans ce cas.
Figure III.16. Résultats de poursuite, des trajectoires en forme sinusoïdale, selon les axes , , ,X Y Z .
Figure III.17. Résultats de poursuite, des trajectoires en forme sinusoïdale, selon , .
(a) (b)
(c)
(a)
0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps (s)
x (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
6
7
8
Temps (s)
z (m
)
Désirée Réelle
600 10 20 30 40 50-0.02
-0.015
-0.01 -0.005
0
0.005 0.01
0.015 0.02
Temps (s)
the
ta (
rad
)
0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
y (m
)
1.5
Désirée Réelle
(d)
0 10 20 30 40 50 60
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
Temps (s)
ksi (
rad)
Désirée Réelle
(b)
0.04
0 10 20 30 40 50 60
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01 0.02 0.03
Temps (s)
phi (
rad)
64
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
Figure III.18. Signaux de commande dans le cas des trajectoires en forme sinusoïdale.
III.5. Commande par linéarisation entrée-sortie avec extension dynamique appliquée au quadrotor
III.5.1. Synthèse de la commande avec un modèle simplifié du quadrotor
Reprenons le modèle dynamique du quadrotor donné par l’équation (II.59), en utilisant
l’hypothèse des petits angles tout en ignorant les couples aux effets gyroscopiques, les
frottements aérodynamiques et les forces de trainées, nous obtenons le modèle dynamique
simplifié suivant :
Figure III.19. Vitesses angulaires des quatre rotors dans le cas des trajectoires en forme sinusoïdale.
Figure III.20. Trajectoire globale en
3D (cas des formes sinusoïdales).
0 10 20 30 40 50 600
50
100
150
200
250
Temps (s)
vite
sse w
i (ra
d/s
)
w1
w2
w3
w4
-1-0.5 0
0.51
-1 0
10
1
2
3
4
5
6
7
y (m)
z (m
)
Désirée Réelle
x (m)
(a)
7
0 10 20 30 40 50 60
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
1 (
N)
-3
0 10 20 30 40 50 60
-8
-6
-4
-2
0
2
4x 10
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
2 (
N)
(b)
(d)
0 10 20 30 40 50 60-2
0
2
4
6
8
10x 10
-3
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
4 (
N.m
) (c)
0 10 20 30 40 50 60-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1x 10
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
3 (
N)
-3
65
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
1
1
1
2
3
4
1
1
1
1
x
y
z
x U Sinm
y U Sinm
z Cos Cos U gm
dU
I
dU
I
UI
(III.61)
III.5.1.1. Commande des postions (x, y, z) et des angles (φ,θ)
Le modèle du sous système de translation de l’équation (III.61) peut se réécrire sous la
forme matricielle suivante :
1
2
3
1sin 0 0
01
0 sin 0 0
1sin cos 0 0
m Ux
y Um
z g U
m
(III.62)
La loi de commande est calculée par :
1U B A V
(III.63)
Avec :
1sin 0 0
1sin 0 0
1sin cos 0 0
m
Bm
m
et
0
0A
g
(III.64)
Le vecteur 1 2 3, ,V v v v représente les nouvelles commandes conçues afin d’imposer
une nouvelle dynamique. La matrice B n’est pas inversible, il faut faire un retour d’état
dynamique en intégrant la commande U1 deux fois. Nous obtenons alors :
66
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
211
(4)
(4) 211
(4)
2 21 1 1 1
1
1
2cos sin
2cos sin
2 2 2sin cos sin sin sin cos cos cos
1 1sin 0 cos
1 1sin cos 0
1cos cos
y
y
UU
m mxU
y Um m
zU U U U
m m m
dU
m m I
dU
m m I
m
1
2
3
1 1
1 1sin cos cos sin
x y
U
U
Ud d
U Um I m I
(III.65)
avec :
1
1
1
2 1
3
1 1
211 1
211 2
1 1
1 1sin 0 cos
1 1sin cos 0
1 1 1cos cos sin cos cos sin
2cos sin
2cos sin
2 2sin cos sin
y
y
x y
dU
m m IU
dU U
m m IU
d dU U
m m I m I
UU v
m m
UU v
m m
U Um m
2 21 1 3
2sin sin cos cos cosU U v
m
(III.66)
et :
(4) (3)1 1 2 3 4
(4) (3)2 1 2 3 4
(4) (3)3 1 2 3 4
x x x x x x x xd
y y y y y y y yd
z z z z z z z zd
v x k e k e k e k e
v y k e k e k e k e
v z k e k e k e k e
(III.67)
dx xxe , dy yye , dz zze
Nous pouvons choisir les gains 41 ,, xx kk , 41 ,, yy kk , 41 ,, zz kk , afin d'obtenir la
dynamique d'erreurs stables et convergeant vers zéros.
III.5.1.2. Commande de l’angle (ψ)
Pour la commande de l’angle de lacet nous avons choisi d’utiliser le régulateur PD
décrit par l’équation suivante :
4 1 2d d dU k k (III.68)
où 1k est le gain dérivé et 2k est le gain proportionnel.
La figure III.21 présente le schéma de commande adoptée :
67
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
Figure III.21. Schéma bloc de la commande du quadrotor par linéarisation entrée-sortie avec extension dynamique.
III.5.2. Résultats de simulation
Dans cette section, nous présentons les résultats de simulation de la commande par
linéarisation entrée-sortie avec extension dynamique appliquée au modèle du quadrotor. Nous
avons effectué ces simulations en utilisant les lois de commande développées ci-dessus et les
valeurs des paramètres du modèle du quadrotor regroupées dans le tableau II.2. Les résultats
obtenus sont représentés par les figures III.22 à III.29.
Les figures III.22 à III.26 montrent les performances de commande obtenues dans le
cas des trajectoires en échelon. Nous obtenons, une bonne précision de poursuite et nous
remarquons que, dans ce cas, la poursuite s’effectue sans aucun dépassement (figure III.22 (a)
– (d)). Les figures III.23 (a) et (b) montrent la convergence des angles , vers zéro.
Egalement, les signaux de commande obtenus, dans ce cas, sont plus ou moins lisses.
Figure III.22. Résultats de poursuite, dans le cas des trajectoires de référence en échelon, selon les
axes , , ,X Y Z .
(a) (b)
(c) (d)
Quadrotor
,
x
x
y
y
z
z
Placement de pole
, ,x y z
1
s
Commande par
linéarisation entrée-sortie
Commande PD de
l’angle ψ
dx
dy
dz
d
1U
1U
2U
3U
1v2v
3v
U4
1
s
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Temps (s)
y (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
x (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
z (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
Temps (s)
ksi (
rad)
Désirée Réelle
68
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
Figure III.23. Résultats de poursuite, dans le cas des trajectoires de référence en échelon, selon , .
Figure III.24. Signaux de commande, dans le cas des trajectoires de référence en échelon.
(a) (b)
Figure III.25. Vitesses angulaires des quatre rotors, dans le cas des
trajectoires de référence en échelon.
Figure III.26. Trajectoire globale du
quadrotor en 3D, dans le cas des
trajectoires de référence en échelon.
00x (m) y (m)
0.51
1.52
2.5
0.5
1
1.5
20
0.5
1
1.5
2
z (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
Temps (s)
phi (
rad)
0 10 20 30 40 50 60-0.04
-0.02
0
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
Temps (s)
theta
(ra
d)
(d)
(a) (b)
(c)
0 10 20 30 40 50 60-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
2 (
N)
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
6
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
1 (
N)
7
0 10 20 30 40 50 60-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
3 (
N)
0 10 20 30 40 50 60-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
4 (
N.m
)
0 10 20 30 40 50 60 0
50
100
150
200
250
Temps (s)
vite
sse w
i (ra
d/s
)
w1
w2
w3
w4
69
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
Dans le cas des trajectoires en forme sinusoïdale nous remarquons que l’erreur de
poursuite est plus ou moins faible (figures III.27 (a)-(c)) et que les angles , sont stabilisées
autour de zéro avec des oscillations de faible amplitude (figures III.28 (a) et (b)).
Figure III.27. Résultats de poursuite, des trajectoires en forme sinusoïdale, selon les axes , , ,X Y Z .
Figure III.28. Résultats de poursuite, des trajectoires en forme sinusoïdale, selon , .
(a) (b)
(d) (c)
(a)
0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps (s)
x (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps (s)
y (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
6
7
Temps (s)
z (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
ksi (
rad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02 0.04 0.06 0.08
Temps (s)
phi (
rad)
(b)
0 10 20 30 40 50 60-0.04 -0.03 -0.02 -0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Temps (s)
the
ta (
rad
)
70
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
Figure III.29. Signaux de commande dans le cas des trajectoires en forme sinusoïdale.
III.6. Conclusion
Dans ce chapitre, après avoir présenté les fondements théoriques de la commande par
linéarisation entrée-sortie, nous avons considéré la commande d’un hélicoptère à deux degrés
de liberté de type TRMS 33-007-4M5 ainsi que la commande d’un hélicoptère à six degrés de
liberté de type quadrotor.
En utilisant le modèle découplé en deux sous-systèmes (horizontal et vertical) du
TRMS, donné dans le chapitre précédent, et en se basant sur la technique de commande par
linéarisation entrée-sortie, nous avons développé pour chaque sous-système une loi de
commande. Les résultats de simulation des lois de commande développées et appliquées sur
le modèle du TRMS ont montré la limitation en performance de cette technique, surtout en
(c)
Figure III.30. Vitesses angulaires des quatre rotors dans le cas des trajectoires en forme sinusoïdale.
Figure III.31. Trajectoire globale en
3D (cas des formes sinusoïdales).
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
6
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
1 (
N)
0 10 20 30 40 50 60-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
la c
om
ma
nde U
2 (
N)
Temps (s)
(a) -3
Temps (s)0 10 20 30 40 50 60
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
x 10
la c
om
ma
nde U
3 (
N)
(b)
(d)
0 10 20 30 40 50 60-5
0
5
10
15x 10
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
4 (
N.m
)
-3
-1 -0.50
0.51
-1-0.5
00.5
10
1
2
3
4
5
6
7
x (m)y (m)
z (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 600
50
100
150
200
250
Temps (s)
Vite
sse w
i (ra
d/s
)
w1 w2 w3 w4
71
Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie
présence des perturbations externes. Nous avons considéré aussi l’application de cette
stratégie de commande sur le modèle d’un hélicoptère de type quadrotor. Les résultats de
simulation ont montré que cette technique présente une faible précision dans la poursuite des
trajectoires de références. Enfin, nous avons appliqué la commande par linéarisation entrée-
sortie avec extension dynamique sur le modèle du quadrotor. Des meilleures performances ont
été obtenues en comparaison avec la stratégie de commande par linéarisation entrée-sortie.
Particulièrement, nous avons obtenu une meilleure précision de poursuite et des valeurs de
dépassement admissibles. Afin de développer des lois de commande plus robustes, nous
considérons, dans le chapitre suivant, la commande par mode de glissement.
Chapitre IV Commande par mode glissant
Chapitre IV
Commande par mode glissant
72
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
IV.1. Introduction
La commande par mode glissant a connu un essor considérable durant les dernières
décennies [69, 70]. Ceci est dû aux propriétés de sa convergence rapide et sa grande
robustesse par rapport aux erreurs de modélisation et des perturbations externes [71, 72].
Emelyanov [73]. a proposé une nouvelle famille de modes glissants appelé les modes
glissants d’ordre supérieur. Ceux-ci sont caractérisés par une commande discontinue agissant
sur les dérivées d’ordre supérieur de la variable de glissement. Ils préservent les principaux
avantages de la précédente approche, et permettent de supprimer le phénomène de chattering
tout en assurant une meilleure précision de convergence par rapport aux imperfections de
modèle ou d’organes de commande. L’ordre de glissement caractérise en particulier le degré
de continuité des dynamiques du système au voisinage de la surface de glissement et
correspond au nombre de dérivées continues de la variable à contraindre. Pour cela, des
algorithmes de commande capables de générer des régimes glissants de tout ordre doivent être
synthétisés.
Notre objectif, dans ce chapitre, est de construire des lois de commande par mode
glissant afin de résoudre le problème de poursuite de trajectoires, pour les deux types
d’hélicoptères présentés dans le chapitre II, en présence d'incertitudes tout en réduisant au
maximum le phénomène de chattering.
IV.2. Commande par modes glissants d’ordre simple
L’idée de base de la commande par mode glissant est premièrement d’attirer les états
du système dans une région convenablement sélectionnée, puis de concevoir une loi de
commande qui maintiendra toujours le système dans cette région. En résumé, une commande
par mode glissant est conçue en deux étapes [28], [72], [74] (figure IV.1) :
- Détermination d’une surface de glissement.
- Définition d’une loi de commande stabilisante qui pourra contraindre le système à avoir
le comportement désiré.
73
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
Figure IV.1. Convergence du système glissant.
IV.2.1. Choix des surfaces de glissement
En général, la forme de la surface dans le plan de phase est présentée par [28] :
et
eSr 1
(IV.1)
avec Td
reeexxe ][ )1(
où :
x est la variable à réguler, e est l’erreur de réglage, est une constante positive qui
interprétera la bande passante du contrôle désiré et r est le degré relatif du système.
On aura donc :
Pour 1r
eeS (IV.2)
Pour 2r
eeeS (IV.3)
IV.2.2. Condition de glissement
Soit le système dynamique non linéaire décrit par l'équation d’état suivante :
Utxgtxfdt
dx,,
(IV.4)
où Xx (un ouvert de ℜ�) est le vecteur d’état, xf et xg sont des fonctions définies
surℜ�, avec :
La condition de glissement peut être formulée en déterminant une fonction scalaire de
Lyapunov :
:xV tel que 0 V x x .
txd
0S
Convergence vers l’état désiré
Convergence vers la surface de glissement
Trajectoire 0,0 xx x
x 0x
0S tx
dxx
74
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
La fonction de Lyapunov est choisie de façon à décroître dans le temps. L’idée est de trouver
une commande qui assure cette décroissance en rendant négative la dérivée de la fonction de
Lyapunov.
Soit :
xSxV 2
2
1
(IV.5)
où xS décrit la distance du point x de la surface de glissement 0xS .
Pour que la fonction de Lyapunov se décroit, nous devons assurer que [72, 73] :
0 xSxSxV (IV.6)
Cette condition assure que la surface S soit attractive pour la trajectoire de phase : sous
certaines conditions, le point représentatif de l'évolution du système dans l'espace de phase
peut être maintenu sur la surface 0xS qui est choisie à priori. L'état du système bouclé est
alors plongé dans l'état d’un système "réduit" de dimension inférieure et libre appelé système
équivalent, dont les coefficients de son équation caractéristique sont identiques à ceux de cette
surface [75].
IV.2.3. Calcul de la commande
Les deux composants de la commande sont :
seq UUU
(IV.7)
eqU , la commande équivalente ou nominale, est déterminée par le modèle du système, on peut
la considérer comme la valeur moyenne continue que prend la commande lors d'une
commutation rapide entre deux valeurs maxU et minU (figure IV.2).
sU , correspond à la commande qui garantit l'attractivité de la variable à contrôler vers la
surface et satisfait la condition 0S x S x .
La figure IV.2 présente l’évolution de la commande équivalente l’ors de la commutation entre
maxU et minU .
75
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
maxU
t
U eqU
minU
Figure IV.2. Valeur continue eqU prise par la commande lors de la commutation entre maxU et minU .
IV.2.4. Expression analytique de la commande
En régime de glissement idéal, l’expression des surfaces et de leurs dérivées sont
nulles. Ceci se traduit par :
0
0
xS
U s
(IV.8)
Donc :
0,,
Utxgtxf
x
SxS
T
Avec eqUU
(IV.9)
Ainsi, la commande équivalente est donnée par :
txfx
Stxg
x
SU
TT
eq ,,
1
(IV.10)
Avec la condition de transversalité :
0,det
txg
x
ST
(IV.11)
Le régime idéal n’est pratiquement jamais réalisable, on doit ainsi faire usage du
deuxième terme de la commande pour ramener l’état du système vers la surface à chaque fois
qu’il s’en écarte. Il convient donc de prendre :
xSsignKxSUs
(IV.12)
où mKKdiagK ,1 et la fonction sign est représentée sur la figure IV.3.
76
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
-1
1
Si
iSSign
Sat (Si)
Si
Sat (Si)
Si
�
1
-1
����
1
-1
Figure IV.3. Représentation de la fonction sign.
IV.2.5. Elimination du phénomène du chattering
L'un des principaux inconvénients du réglage par mode de glissement est le
phénomène du chattering. Qui peut endommager les actionneurs par des sollicitations trop
fréquentes et nuire au fonctionnement et aux performances du système. Dans le but de réduire
ces oscillations plusieurs solutions ont été apportées, comme par exemple remplacer la
fonction sign par une fonction de saturation caractérisée par un ou deux seuils (figure IV.4) :
Figure IV.4. Fonction saturation avec un seuil et deux seuils (zone morte).
Ces deux fonctions sont respectivement définies par :
1
1
si S
Ssat S si S
si S
2
21
12
1
10
SsiSsign
SsiS
Ssi
Ssat (IV.13)
La fonction de smooth (figure IV.5) est aussi utilisée:
77
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
-1
+1
S
Smooth(S)
Figure IV.5. Fonction «smooth».
IV.2.6. Les différentes structures de la commande par mode de glissement
Dans les systèmes à structure variable utilisant la commande par mode de glissement,
on peut trouver trois configurations de base pour la synthèse des différentes commandes. La
première correspond à la structure la plus simple où la commutation a lieu au niveau de
l’organe de commande lui-même. On l’appellera, structure par commutation au niveau de
l’organe de commande. La deuxième structure fait intervenir la commutation au niveau d’une
contre-réaction d’état. Enfin, la dernière structure est une structure par commutation au niveau
de l’organe de commande avec ajout de la “ commande équivalente ”. Dans la suite de cette
thèse, nous retenons la dernière structure.
IV.2.6.1. Structure par commutation au niveau de l’organe de commande
Le schéma d’une structure par commutation au niveau de l’organe de commande est
donné par la figure IV.6. Cette structure de commande est la plus classique et la plus utilisée.
Figure IV.6. Structure de régulation par commutation au niveau de l’organe de commande.
Cette structure correspond au fonctionnement tout ou rien des interrupteurs de
puissance associés, dans une grande majorité d’applications, aux variateurs de vitesse. Elle a
été utilisée pour la commande des moteurs pas-à-pas [76].
∑
Loi de commutation Si(x)
Umax
Umin
Perturbation
Sortie Ui
X
78
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
IV.2.6.2. Structure par commutation au niveau d’une contre réaction d’état
Le schéma fonctionnel d’une telle structure est donné par la figure IV.7. C’est la
structure la moins exigeante au niveau de la sollicitation de la commande [76]. Elle a été mise
en œuvre dans la commande de moteurs à courant continu et à aimants permanents, ainsi que
dans la commande des machines à induction [77]. Elle s’appuie sur la commande par contre
réaction d’état classique où le réglage de la dynamique du système est réalisé par les gains de
réglage. La non linéarité provient de la commutation entre les gains, donc on à créé une
commutation au niveau de la dynamique du système.
Figure IV.7. Structure de régulation par commutation au niveau de la contre réaction d’état.
IV.2.6.3. Structure de régulation avec ajout de la commande équivalente
Une telle structure dont le principe est montrée sur la figure IV.8, présente un réel
avantage. Elle permet de prépositionner l’état futur du système grâce à la commande
équivalente donnée par l’équation (IV.10) qui n’est rien d’autre que la valeur désirée du
système en régime permanent. L’organe de commande est beaucoup moins sollicité, mais on
est plus dépendant des variations paramétriques.
Figure IV.8. Structure de régulation par ajout de la commande équivalente.
∑
Perturbation
Sortie
X
Loi de commutation Si(X)
Ueq
+
+
1
-1
ΔU
∑
Loi de commutation Si(X)
Perturbation
Sortie Ui
X K1
K2
79
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
IV.3. Commande par mode glissant avec des surfaces de glissement non linéaires appliquée au TRMS
L’utilisation des surfaces linéaires dans la synthèse des lois de commande par mode
glissant est jugée satisfaisante en terme de stabilité [78, 79]. Toutefois, la dynamique imposée
par ce choix est relativement lente. Des surfaces de glissement non linéaires pourront être
utilisées pour remédier à cet inconvénient.
Dans cette partie, des surfaces non linéaires sont proposées pour une classe des
systèmes non linéaires dont le degré relatif est r=2 et r=3. En fait, plusieurs approches pour la
synthèse de ce type de surfaces ont été proposées. Dans [80], la surface proposée est
constituée de deux termes, un terme linéaire qui est défini par le critère de stabilité de Herwitz
et un autre terme non linéaire utilisé pour améliorer les performances au régime transitoire.
Cependant, cette surface requiert trop de calcul et ainsi ses applications sont restreintes pour
le cas des systèmes d’ordre supérieur.
Un travail intéressant sur la synthèse de surfaces de glissement non linéaires est
présenté dans la référence [81]. Plusieurs surfaces disponibles dans la littérature peuvent être
considérées comme celle proposée dans notre travail. Dans le paragraphe suivant, nous
introduisons une surface de glissement non linéaire pour la classe des systèmes non linéaires
décrits par l’équation IV.4. Celle-ci, est inspirée du travail présenté dans [81].
IV.3.1. Surface de glissement non linéaire proposée
Nous définissons i une surface de glissement non linéaire d’ordre deux par :
22i i i i i i ie e e e (IV.14)
avec :
0i , 0 0 (Λ(⋅) est une fonction de classe C1), et i i ide x x est l’erreur de
poursuite.
Nous considérons, la fonction de Lyapunov Vi définie par [28] :
2 2 2
0
1 1
2 2
ie
i i i iV e e x dx (IV.15)
Ainsi, la dérivée temporelle de Vi est :
2i i i i i iV e e e e (IV.16)
22i i iV e (IV.17)
et selon le théorème de Lyapunov, 0i est asymptotiquement stable si et seulement si
0iV . Il faut alors, déterminer la fonction Λ(⋅), de telle sorte que [28] :
80
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
. 0 0 0 0i i ie e e et (IV.18)
Pour ce choix, l’erreur de poursuite ei tend au moins asymptotiquement vers zéro ( 0ie t
quand t ). En effet, lorsque i i ie k e , on est dans le cas linéaire et ei converge
exponentiellement vers zéro ( 0ie t quand t , avec 0i ie t e ).
Dans notre travail, nous définissons la fonction Λ(⋅) comme étant une fonction
sigmoïde, avec :
2
21
1
12
i ii e
i ii
ee
et
d ee
de
i > 0 (IV.19)
Définition IV.1
Pour un ε donné, tel que : 0 < ε <1, la fonction continue Λε , de ℜ→ℜ, est dite une fonction
ε−sigmoïde si elle vérifie, pour z , les relations suivantes [82] :
0,z z z ≠0 (IV.20)
00 (IV.21)
zzz
zzz
sgn1
1 (IV.22)
Pour 1 2, , ...,T
nx x x x , un vecteur de ℜn, Λε (x) est aussi un vecteur de ℜn qui a pour
composantes 1 2, , ...,T
nx x x .
IV.3.2. Synthèse de la commande
Avant l'application d’une technique de commande à un système complexe il faut
choisir entre deux stratégies de commande : la commande centralisée, ou la commande
décentralisée. Dans ce choix, on doit s’appuyer sur les critères suivants : réalisabilité de la
commande, temps de calcul et ordre du régulateur.
L'utilisation de la commande centralisée nécessite une bonne connaissance du
système, donc un temps de calcul très grand. Par contre, l'utilisation de la commande
décentralisée facilite la synthèse et donne des lois de commandes non gourmandes en temps
de calcul.
81
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
Le système global (le TRMS) sera décomposé en deux sous-systèmes (vertical et
horizontal), chacun d'eux est commandé indépendamment de l’autre (figure IV.9). Les
interconnexions seront considérées comme étant des perturbations.
Figure IV.9. Schéma bloc de la commande par mode glissant avec des surfaces non linéaires appliquée au hélicoptère à deux degrés de liberté de type TRMS 33-007-4M5.
D’après les équations (II.43) et (II.44), nous obtenons pour le sous système vertical et le sous
système horizontal les représentations d’état suivantes :
- Sous système vertical :
vvv
vvv
udxCx
xgxbxfx
xx
33
1232
21
(IV.23)
mr
mrv
mrv
v
vv
T
Kd
Tc
J
Kb
,1
(IV.24)
3 3
1 1 1
( )
cos sin
mv f v v
v
vv
lf x S F P x
J
gg x A B x C x
J
(IV.25)
+
Equivalent control
+
dx4
dx1
+
+
+
-
hu
eqhu
41 xy 6
5
x
x
3
2
x
x
svu
Commande équivalente
eqvu
vu
TRMS 33-007- 4M5
Horizontal
Vertical
12 xy
-
Commande équivalente
Surface non linéaire
+ shu
Commande discontinue
Commande discontinue
Surface non linéaire
82
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
- Sous système horizontal :
hhh
hh
udxCx
xbxfx
xx
66
565
54
(IV.26)
0
6 6 00
1,
( ) cos
hh
h v
trh h
tr tr
th f h h v
h v
Kb
J
Kc d
T T
lf x S F P x
J
(IV.27)
.
Les lois de commande synthétisées pour chaque sous système vertical et horizontal, en
utilisant les surfaces de glissement proposées ci-dessus, assurent la stabilité au sens de
Lyapunov. Elles se présentent comme suit :
h eqh sh
v eqv sv
u u u
u u u
(IV.28)
564
226
6
6
6
6
12
21
xbxfbxeeexx
xfc
x
xfd
u hhhdhh
hhhhv
hh
h
eqh
(IV.29)
6
6
1sinsh dh h
hh
u k gf x
dx
, dhk > 0 (IV.30)
2
1
11231
223
3
3
3
3
12
21
xx
xgxgxbxfbxeeex
x
xfc
x
xfd
u vvvvvdv
vvvvv
vv
vv
eqv
(IV.31)
3
3
1sinsv dv v
vv
u k gf x
dx
, dvk > 0 (IV.32)
Les erreurs de poursuite sont définies par :
1 1
4 4
h d
v d
e x x
e x x
(IV.33)
et les surfaces de glissement non linéaires sont données, pour chaque sous système, par :
2
2
2
2
h h h h h h h h
v v v v v v v v
e e e e e
e e e e e
, , 0h v (IV.34)
avec :
212
11
2
hhh
eh
ede
ed
ee
hh
, h > 0 (IV.35)
83
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
212
11
2
vvv
ev
ede
ed
ee
vv
, v > 0 (IV.36)
Démonstration
Soit la fonction de Lyapunov suivante :
21
2h hV (IV.37)
Si 0hV , alors 0. hh , on peut dire alors que la condition nécessaire de glissement
est vérifiée et la stabilité au sens de Lyapunov est garantie.
Soit :
2 6 624 6 6 5
6 6
avec 0
2 12
h dh h dh
h hhh h h h h d h h h h h h
k sign S k
f x f xe e e x c x d u b f x b x
x x
(IV.38)
alors :
6 2 2
6 4 6 56 6
6
12 1 sin
2
h hh h h h h h h d h h h dh h
hh
f xu c x e e e x b f x b x k g
f x xd
x
(IV.39)
Nous suivons les mêmes étapes pour extraire vu .
IV.3.3. Résultats de simulation
Dans cette section, nous présentons les résultats de simulation de la commande du
modèle mathématique du TRMS en utilisant les lois de commandes développées ci-dessus.
Dans cette simulation, nous avons utilisé les valeurs des paramètres du modèle présentées
dans le tableau II.1 et les conditions initiales : αh (0) = 0 rad et αv (0) = -0.93 rad.
Les résultats obtenus (figures IV.10 - IV.13) sont satisfaisants. En particulier, nous
avons obtenu une bonne précision de poursuite des trajectoires de référence, des valeurs de
dépassement maximales admissibles et un temps de réponse d’environ 6 sec (ceci est
acceptable par rapport à la nature des systèmes aéronautiques). Pour conclure sur la
robustesse des lois de commandes développées, nous avons considéré l’augmentation de la
force aérodynamique entre 10 et 15 sec de chaque sous système horizontal et vertical (figure
IV.12). Nous pouvons constater, sur cette figure, que les performances de commande n’ont
pas été affectées par cette augmentation.
Sur Les figures IV.10 (c), IV.10 (d), IV.11 (c), IV.11 (d), IV.12 (c), IV.12 (d), nous
voyons que les commandes appliquées au TRMS sont des signaux de hautes fréquences, ce
qui est considéré comme un inconvénient majeur de cette commande.
84
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
Figure IV.10. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence carré.
Figure IV.11. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence sinusoïdal.
(a) (b)
(d) (c)
(a) (b)
(c) (d)
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
h (
rad
)
Désirée Réelle
Temps (s)
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
1
alp
ha
v (
rad)
Désirée Réelle
3
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
Temps (s)
uh (
vo
lt)
0 10 20 30 40 50 60 -3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)u
v (
vo
lt)
1
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
Temps (s)
alp
ha
h (
rad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60 -1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
v (r
ad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
Temps (s)
uh (
vo
lt)
3
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uv
(vo
lt)
85
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
Figure IV.12. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des forces
aérodynamiques.
Figure IV.13. Trajectoire dans l’espace de la poursuite : (a) d’un signal carré, (b) d’un signal sinusoïdale.
IV.4. Commande par mode glissant avec des surfaces de glissement non linaires appliquée au quadrotor
IV.4.1. Surface de glissement non linéaire proposée
Nous définissons is une surface de glissement non linéaire d’ordre un par :
i i is e e (IV.40)
avec :
i i ide x x est l’erreur de poursuite et Λ(⋅) est une fonction de classe C1.
Nous considérons la fonction de Lyapunov Vi définie par:
(a) (b)
(c) (d)
(a) (b)
0 5 10 15 20 25 30 350
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Temps (s)
alp
ha
h (
rad)
Désirée Réelle
Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv
Fh Fv
0 5 10 15 20 25 30 35-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
v (
rad)
Désirée Réelle
Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv
Fh Fv
0 5 10 15 20 25 30 35-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uh (
vo
lt)
0 5 10 15 20 25 30 35-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uv (
vo
lt)
020
40
60
-0.5
0
0.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)alphah (rad)
alp
ha
v (r
ad)
Désirée Réelle
020
4060
-0.5
0
0.5
-1
-0.5
0
0.5
Temps (s)alphah (rad)
alp
ha
v (r
ad)
Désirée Réelle
86
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
21
2i iV e (IV.41)
Ainsi, la dérivée temporelle de Vi est :
i i i
i i i
V e e
ou
V e e
(IV.42)
Selon le théorème de Lyapunov, 0is est asymptotiquement stable si et seulement si
0iV . Il faut alors déterminer la fonction Λ(⋅) de telle sorte que:
. 0 0 0 0i i ie e e et (IV.43)
Pour la commande du quadrotor nous définissons la fonction Λ(⋅) comme étant une
fonction sigmoïde, avec :
2
21
1
12
i ii e
i ii
ee
et
d ee
de
i > 0 (IV.44)
IV.4.2. Synthèse de la commande
Les lois de commande assurant la stabilité au sens de Lyapunov se présentent comme
suit [83] :
22 12 1 2 12 1 10 8 3 10 12 11
1
22 23 2 5 10 4 8 12 6 12 10 9
2
22 34 3 8 8 7 10 12 8 7
3
1
11
2
11
2
11
2
d
d
d
x
U k sign S a x a x x a x e eb
U k sign S a x a x x a x e eb
U k sign S a x a x x e eb
mU
U
244 9 2 2 1 1
255 10 4 4 3 1
1
261 6 11 6 6 5 11 9
11 9
1 / 02
1 / 02
1 / cos cos 0cos cos 2
x d
y y d
z d
k sign S a x x e e U
mU k sign S a x y e e U
U
mU k sign S a x z g e e x x
x x
(IV.45)
tel que ,i ik 2 R
Démonstration
Soient les erreurs de poursuite suivantes :
1
i i id
i i
e x x
e e
1,...,11i (IV.46)
Les surfaces non linéaires choisies sont comme suit :
87
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
12 11
10 9
8 7
2 1
4 3
6 5
x
y
z
S e e
S e e
S e e
S e e
S e e
S e e
(IV.47)
Soit la fonction de Lyapunov suivante :
21
2V S S (IV.48)
Si 0V S alors 0S S . Nous pouvons dire alors que la condition nécessaire de
glissement est vérifiée et la stabilité au sens de Lyapunov est garantie.
Soit :
1
212 11 12 11
22 12 12 1 10 8 1 2 3 10 12 11
12
12
d
d
S k sign S
x x e e
a x a x x b U a x e e
(IV.49)
Alors
22 12 1 2 12 1 10 8 3 10 12 11
1
11
2dU k sign S a x a x x a x e e
b
(IV.50)
2 2 2attractive equivalenteU U U (IV.51)
De (IV.50) et (IV.51) il en résulte :
12
1
22 12 2 12 1 10 8 3 10 12 11
1
11
2
attractive
equivalente d
kU sign S
b
U a x a x x a x e eb
(IV.52)
Les mêmes étapes précédentes permettront d’obtenir 3 4, , ,x yU U U U et 1U
IV.4.3. Résultats de simulation
Dans cette partie, nous présentons les résultats de simulation relatifs à l’application
des lois de commande développées ci-dessus à la commande du modèle dynamique du
quadrotor. Les valeurs des paramètres du modèle, utilisées dans les différentes simulations
sont celles données dans le tableau II.2. Nous avons effectué deux simulations en imposant
des trajectoires de référence en échelon dans le premier cas (figures IV.14 – IV.18) et des
trajectoires des références sinusoïdales dans le deuxième cas (figures IV.19 – IV.23).
Nous avons obtenu une bonne précision de poursuite des trajectoires de référence
choisies. Néanmoins, le phénomène de chattering est toujours présent dans les signaux de
commande comme le montre les figures IV.16 et IV.21.
88
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
Figure IV.14. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes , , ,X Y Z
Figure IV.15. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon ,
Figure IV.16. Signaux de commande.
(a) (b)
(c)
(a) (b)
(a) (b)
(c) (d)
(d)
0 10 20 30 40 50-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
x (m
)
Désirée Réelle 2
Temps (s)
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
y (m
)
Désirée Réelle
Temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 0
0.5
1
1.5
2
z (
m)
Désirée Réelle
2.5
0 10 20 30 40 50 60
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
Temps (s)
ksi (
rad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60 -0.01
-0.005
0
0.005
0.01
Temps (s)
phi (
rad)
0 10 20 30 40 50 60 -0.01
-0.005
0
0.005
Temps (s)
the
ta (
rad)
0.01
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
6
7
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
1 (
N)
0 10 20 30 40 50 60-0.02
-0.015 -0.01
-0.005 0
0.005
0.01
0.015
0.02
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
2 (
N)
60
0.02
Temps (s)
0 10 20 30 40 50-0.02
-0.015
-0.01 -0.005
0
0.005 0.01
0.015
la c
om
ma
nde U
3 (
N)
0 10 20 30 40 50 60-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005 0.01
0.015 0.02
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
4 (
N.m
)
.
.
89
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
Figure IV.19. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes , , ,X Y Z
Figure IV.20. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon ,
Figure IV.17. Vitesses angulaires des quatre rotors.
Figure IV.18. Trajectoire globale du quadrotor en 3D.
(a) (b)
(c) (d)
(a) (b)
Temps (s) 0 10 20 30 40 50 60
0
50
100
150
200
250
vite
sse w
i (r
ad/s
)
w1 w2 w3 w4
00.5
11.5
22.5
0
0.5
1
1.5
20
0.5
1
1.5
2
x (m)y (m)
z (m)
Désirée
Réelle
Temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 -1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x (
m)
Désirée Réelle
1.5
0 10 20 30 40 50 60 -1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
y (
m)
Désirée Réelle
Temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 0
1
2
3
4
5
6
7
8
z (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
0
0.1
Temps (s)
ksi (
rad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60 -0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
Temps (s)
phi (
rad)
0 10 20 30 40 50 60 -0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
Temps (s)
the
ta (
rad)
.
.
90
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
6
Temps (s)
la c
omm
ande
U1
(N)
0 10 20 30 40 50 60-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
Temps (s)
la c
omm
ande
U2
(N)
0 10 20 30 40 50 60-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
Temps (s)
la c
omm
ande
U3
(N)
0 10 20 30 40 50 60-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Temps (s)
la c
omm
ande
U4
(N.m
)
Figure IV.21. Signaux de commande.
IV.5. Principe de modes glissants d’ordre supérieur
L’inconvénient majeur de la commande par mode glissant d’ordre un est l’apparition
du phénomène de chattering au niveau de la commande. En pratique, ce phénomène provoque
une usure relativement rapide des organes de commande du processus. Afin de remédier à cet
inconvénient, l’idée de déplacer la discontinuité due à l'élément de commutation de la loi de
commande en régime glissant vers les dérivées d'ordre supérieur de la commande a été
envisagée dans plusieurs travaux de recherche. Le concept de mode glissant d'ordre supérieur
a été introduit dans les années 80 par M. Levantovsky [84] et M. Emelyanov [85, 86].
Contrairement au régime glissant du premier ordre, ce type de lois de commande est
caractérisé par une commande discontinue qui agit sur les dérivées d'ordre supérieur de la
variable de glissement au lieu de la première dérivée. Le phénomène de chattering est ainsi
repoussé sur les dérivées d'ordre supérieur.
(a) (b)
(c) (d)
Figure IV.23. Trajectoire globale du quadrotor en 3D.
Figure IV.22. Vitesses angulaires des quatre rotors.
x (m)y (m) -1
-0.50 0.5
1
-1
0
10
1
2
3
4
5
6
7
z (m
)
Désirée
Réelle
0 10 20 30 40 50 600
50
100
150
200
250
Temps (s)
vite
sse w
i (ra
d/s
)
w1 w2 w3 w4
91
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
Les principaux avantages de la commande par mode glissant d’ordre supérieur sont :
Conservation des avantages du régime glissant du premier ordre (convergence en
temps fini, robustesse).
Réduction des effets de chattering sur les actionneurs.
Amélioration des performances de la commande.
IV.5.1. Position du problème
Nous considérons un système non linéaire décrit par :
( , , )
( , )
( , )
x f t x u
u U t x
s s t x
(IV.53)
Où :
Xxxx Tn ],....,[ 1 représente le vecteur d’état nX IR .
IRUu représente la commande, elle doit être une fonction discontinue et bornée
dépendant du vecteur d’état et du temps.
f est une fonction supposée suffisamment différentiable, mais connue de façon
incertaine.
t est le temps.
s est une fonction différentiable telle que ses )1( r premières dérivées par rapport au
temps ne sont fonction que de l'état x (ce qui signifie qu'elles ne contiennent aucune
discontinuité).
r désigne le degré relatif du système par rapport à s.
Si r = 1 ( 0su
), le problème de la commande peut être résolu par une loi de commande
en mode glissant du premier ordre. Cependant, une loi glissante du deuxième ordre peut aussi
être utilisée afin d'éviter le phénomène de chattering.
Par contre, si r > 1 ( 0, pour 1,2,..., 1, et 0i rs i r su u
) une commande par mode
glissant d’ordre p (avec p r) doit être utilisée.
L'objectif de la commande par régime glissant d'ordre supérieur est de contraindre le
système à évoluer sur la surface de glissement tout en maintenant s ainsi que ses )1( r
premières dérivées successives égale à zéro.
Soit rS l’ensemble de glissement d’ordre r défini par :
92
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
( 1) : ... 0rrS x X s s s (IV.54)
Supposons que cet ensemble est non vide et définisse localement un ensemble intégral
au sens de Filippov [87]. Alors la dynamique satisfaisant (IV.54) est appelée mode glissant
d’ordre r par rapport à la fonction contrainte s et la loi de commande générant ce mode est
une commande glissante idéale d’ordre r.
IV.5.2. Mode glissant d’ordre deux
L’avantage principal d'un algorithme glissant du deuxième ordre est la réduction du
phénomène de chattering. Son but est de générer un régime glissant d'ordre deux sur une
surface de glissement s, de telle sorte à avoir :
0 ss (IV.55)
La Figure IV.24 fait apparaître la trajectoire de convergence du système vers la surface s.
Figure IV.24. Trajectoire du mode glissant d’ordre 2.
Nous supposons que les seules informations disponibles au temps t sont : la commande
u(t), la surface s(t,x) et le signe de la dérivée par rapport au temps de s. Si nous dérivons deux
fois l'équation de glissement s, nous aurons les expressions suivantes :
( , ) ( , ) ( , )d dx
s t x s t x s t xdt t x dt
(IV.56)
( , ) ( , ) ( , , )s s t x s t x f t x ut x
(IV.57)
, ,s t x t x v (IV.58)
Avec :
, , , , , , ,
, , ,
t x s t x u s t x u f t x ut x
t x s t x uu
(IV.59)
0 ss 0s
0s
93
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
Le problème posé est la stabilisation en temps fini du système auxiliaire du
second ordre modélisé par (IV.58), où v représente l’entrée du système auxiliaire
( si 2, si 1)v u r v u r .
Par exemple si 1r , l’équation (IV.58) devient :
, ,s t x t x u (IV.60)
Dans ce cas les algorithmes discontinus sont appliqués à la dérivée par rapport
au temps u , qui devient la nouvelle commande du système considéré et u devient une
variable d'état. De cette façon l'entrée u du système devient continue.
Il existe plusieurs techniques spécialisées d'algorithmes engendrant la convergence de s et s
vers zéro. L’algorithme le plus utilisé dans la littérature est celui de super Twisting [88-
90].
IV.5.3. Conditions de convergence en temps fini
L'objectif d’une loi de commande par mode glissant du deuxième ordre est d'amener s
ainsi que sa dérivée s à zéro dans un temps fini, en utilisant la commande u(t). Afin
d'atteindre ce but, les hypothèses suivantes sont considérées [91-93] :
1. La commande u du système est une fonction bornée et discontinue, définie par
l'ensemble : MU u u U où UM est une constante réelle. Il est supposé que le
système peut admettre des solutions au sens de Filippov sur la variété glissante d’ordre
deux (s = s = 0) quelque soit la variable t.
2. Il existe 1 0,1u telle que pour toute fonction continue u avec 1uu , il existe 1t tel
que 0u pour tout 1tt . Ainsi, la commande 0[ ( )]Mu U sign s t (où 0t est l'instant
initial), assure la convergence en temps fini sur s = 0. Cette condition permet d’établir
que, partant de n’importe quel point de l’espace d’état, il est possible de définir
une commande amenant la fonction contrainte dans la région de linéarité.
3. Il existe des constantes positives 0 , ms K et MK , telle que :
0),( sxts , alors M0 ( , x,u)mK s t Ku
, u , x XU (IV.61)
L'ensemble 0, , : ( , )t x u s t x s est appelé région de linéarité.
4. A l'intérieur de la région de linéarité, Il existe une constante positive telle que :
( , , ) ( , , ) ( , , ) ,s t x u s t x u f t x uu x
(IV.62)
94
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
Les conditions 3 et 4 impliquent que la dérivée seconde de s est uniformément bornée
dans certain domaine, pour l'entrée considérée.
Pour l'existence de la commande équivalente ueq(t,x) il faut que ,t x soit non nulle. La
fonction ueq(t,x) satisfaisant la relation 0s peut être considérée comme une loi de
commande permettant d'atteindre, en temps fini, la surface (s = s = 0) dans le plan de phase
,s s .
IV.5.4. Algorithmes de commande glissant d'ordre deux (Super Twisting)
Dans cet algorithme, la loi de commande est donnée par [90]:
1 2( ) ( )u u t u t (IV.63)
1
s gn( ) e
e
u si u uu
W i s si u u
(IV.64)
002
0
s gn ( )
s s gn ( )
s i s si s su
i s si s s
(IV.65)
Les conditions suffisantes de convergence sont les suivantes :
0
0
0 0
4 ,
,
,
Mm
mm
m M M m
K
C
K
K C K C
(IV.66)
0
2 0 02
0
,
4 ( ),
( )
0 0.5,
m
M
m m
CW
K
C K W C
K K W C
(IV.67)
Avec Km, KM, W, C0 , ue et s0 sont des constantes positives.
Cette loi de commande est continue, ne requiert aucune information sur la dérivée de s et
présente une bonne robustesse [89], [94]. La convergence de cet algorithme est régie par des
rotations autour de l’origine du diagramme de phase, comme le montre la figure IV.25.
95
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
Figure IV.25. Convergence en temps fini de l'algorithme Super Twisting.
IV.6. Commande par mode glissant d’ordre deux appliquées au TRMS
Cette commande n’est qu’une généralisation de la commande d’ordre un comme
l’indique son nom « commande d’ordre supérieur ». Son principe consiste à utiliser non
seulement la surface de glissement mais aussi ses dérivées pour avoir moins de discontinuités
et donc moins de chattering. Parmi les algorithmes existants nous avons choisi le Super
Twisting présenté dans le paragraphe précédent et pour lequel nous avons utilisé la surface de
Slotine de la forme suivante :
2
2
2
2
h h h h h h h
v v v v v v v
e e e e
e e e e
avec , 0h v (IV.68)
Figure IV.26. Schéma bloc de la commande par mode glissant d’ordre deux appliquée à l’hélicoptère à
deux degrés de liberté de type TRMS 33-007-4M5.
s
s
+
dx4
dx1
+
-
41 xy
TRMS 33-007- 4M5
12 xy - Algorithme de Super
Twisting
Algorithme de Super Twisting
Horizontal
Vertical
hu
vu
96
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
IV.6.1. Résultats de simulation
Les résultats de simulation de l’application de l’algorithme Super-Twisting pour la
commande du modèle du TRMS sont donnés par les figures IV.27 - IV.30. Les simulations
ont été effectuées en mode de régulation avec les positions initiales αh (0)= 0 rad et
αv (0)= -0.93 rad pour les sous systèmes horizontal et vertical respectivement.
Comme nous pouvons le constater sur les figures IV.27 (c, d), IV.28 (c, d), et
IV.29 (c, d) la commande par mode glissant d’ordre 2 a permis d’atténuer considérablement le
phénomène de chattering tout en préservant les avantages principaux de la commande par
mode glissant simple à savoir : la précision, la rapidité du temps de montée et la stabilité. En
effet, nous avons obtenu une bonne précision dans la poursuite des trajectoires de référence,
un temps de réponse d’environ 5 sec et un dépassement nul (figures IV.27 (a, b), IV.28 (a, b)).
Pour mettre en évidence la robustesse de ce type de commande nous avons augmenté
les forces aérodynamiques Fh et Fv entre 10s et 15s. Les figures IV.29 (a - d) montrent que
cette augmentation n’a pas d’effet sur les performances de commande. La figure IV.30 montre
les trajectoires effectuées par le TRMS en trois dimensions.
Figure IV.27. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence carré.
(a) (b)
(c) (d)
Temps (s)
1
0 10 20 30 40 50 60 -1
-0.5
0
0.5
alp
ha
h (
rad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
v (r
ad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60 -3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uh (
vo
lt)
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
3
uv
(vo
lt)
Temps (s)
97
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
Figure IV.28. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence sinusoïdale.
Figure IV.29. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des forces
aérodynamiques (test de robustesse).
0 5 10 15 20 25 30 35-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
v (r
ad)
Désirée Réelle
0 5 10 15 20 25 30 350
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Temps (s)
alp
ha
h (
rad)
Désirée Réelle
(a) (b)
(c) (d)
(a) (b)
(c) (d)
Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv
Fh Fv
Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv
Fh Fv
0 10 20 30 40 50 60 -1
-0.5
0
0.5
Temps (s)
alp
ha
h (
rad
)
Désirée Réelle
1
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
Temps (s)
alp
ha
v (
rad)
1
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
Temps (s)
uh (
vo
lt)
3
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uv (
vo
lt)
0 5 10 15 20 25 30 35-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uh (
vo
lt)
0 5 10 15 20 25 30 35-3
-2
-1
0
1
2
3
uv
(vo
lt)
Temps (s)
98
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
Figure IV.30. Trajectoires de référence en 3D : (a) signal carré, (b) signal sinusoïdale.
IV.7. Commande par mode glissant d’ordre deux appliquées au quadrotor
Pour mettre en œuvre l’algorithme de commande Super Twisting nous avons utilisé les
surfaces de glissement de Slotine suivantes :
12 1 11
10 2 9
8 3 7
2 4 1
4 5 3
6 6 5
x
y
z
S e e
S e e
S e e
S e e
S e e
S e e
tel que tel que i 2 R (IV.69)
Les erreurs de poursuite sont présentées par les équations suivantes
1
i i id
i i
e x x
e e
1,...,11i (IV.70)
IV.7.1. Résultats de simulation
Nous avons utilisé l’algorithme de commande Super Twisting, présenté ci-dessus,
pour commander le modèle dynamique du quadrotor donné dans le chapitre II. Les résultats
obtenus, en utilisant une trajectoire de références en échelon, sont donnés par les figures
IV.31 – IV.35 et ceux obtenus en choisissant une trajectoire de référence sinusoïdale sont
donnés par les figures IV.36 – IV.40.
Nous avons obtenu de bonnes performances de commande. En particulier, la poursuite
des trajectoires de références se fait avec une bonne précision, sans dépassement et avec un
temps de réponse acceptable vis-à-vis la dynamique du système (figures IV.31 (a – d), IV.32
(a, b), IV.36 (a – d), IV.37 (a, b)). L’application de l’algorithme Super Twisting a permis
(a) (b)
020
40
-0.5
0
0.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)alphah (rad)
alp
ha
v (
rad)
Désirée Réelle
60
0
20 40
60
-0.5
0
0.5
-1
-0.5
0
0.5
Temps (s) alphah (rad)
alp
ha
v (
rad)
Désirée Réelle
99
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
aussi d’atténuer considérablement le phénomène de « chattering » ; la variation des signaux
de commande obtenus est plus moins douce (figures IV.33 (a- d), IV.38 (a - d))).
Figure IV.31. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes , , ,X Y Z
Figure IV.32. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon ,
(a) (b)
(c) (d)
(a) (b)
(a) (b)
(c) (d) Figure IV.33. Signaux de commande.
Temps (s)
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Temps (s)
y (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 600
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
z (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Temps (s)
ksi (
rad)
Désirée Réelle
0.2
0 10 20 30 40 50 60-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
Temps (s)
phi (
rad)
0 10 20 30 40 50-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
the
ta (
rad
)
Temps (s)
60
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
6
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
1 (
N)
0 10 20 30 40 50-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
2 (
N)
60
0 10 20 30 40 50 60
-8 -6 -4 -2 0
2
4
6
8
x 10
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
4 (
N.m
)
-3
0 10 20 30 40 50 60-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
3 (
N)
.
.
100
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
Figure IV.36. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes , , ,X Y Z
Figure IV.37. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon ,
Figure IV.35. Trajectoire globale du quadrotor en 3D.
Figure IV.34. Vitesses angulaires des quatre rotors.
(a) (b)
(c) (d)
(a) (b)
00.5
11.5
2
0
0.5
1
1.5
20
0.5
1
1.5
2
x (m)y (m)
z (m
)
Désirée Réelle
Temps (s)0 10 20 30 40 50 60
0
50
100
150
200
250
vite
sse w
i (r
ad/s
)
w1
w2
w3
w4
1.5
0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x (m
)
Désirée Réelle
Temps (s)0 10 20 30 40 50 60
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
y (m
)
Temps (s)
0 10 20 30 40 50 600
2
4
6
8
Temps (s)
z (m
)
Désirée Réelle
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Temps (s)
ksi (
rad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
phi (
rad)
Temps (s)0 10 20 30 40 50 60
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
theta
(ra
d)
Temps (s)
.
.
101
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
Figure IV.38. Signaux de commande.
IV.8. Conclusion
Dans ce chapitre, après avoir présenté la commande par mode glissant simple, nous
avons abordé la méthode de synthèse d’une loi de commande par mode glissant en utilisant
des surfaces de glissement non linéaires, ensuite nous avons considéré la commande par mode
glissant d’ordre deux. Pour mettre en œuvre ce type d’algorithmes de commande, nous avons
proposé une surface de glissement non linéaire [83]. Nous avons évalué les performances de
commande des algorithmes développés en considérant la commande de deux systèmes de
complexité différente : le TRMS 33-007-4M5 et le quadrotor. Les résultats de simulation
obtenus sont satisfaisants et montrent que la commande par mode glissant d’ordre deux
permet de remédier au problème de « chattering » rencontré dans le cas de la commande par
mode glissant simple.
(a) (b)
(d) (c)
Figure IV.40. Trajectoire globale du quadrotor en 3D.
Figure IV.39. Vitesses angulaires des quatre rotors.
-1-0.5
00.5
1
-1 0
10
1
2
3
4
5
6
7
x (m)y (m)
z (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60 0
50
100
150
200
250
Temps (s)
vite
sse w
i (ra
d/s
)
w1
w2
w3
w4
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
6
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
1 (
N)
0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
2 (
N)
-3
0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
3 (
N)
-3
0 10 20 30 40 50 60
-1
0
1
2
3
4x 10
-3
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
4 (
N.m
)
102
Chapitre IV Commande par Mode Glissant
Pour améliorer encore les performances de la commande par mode glissant et atténuer
d’avantage le phénomène de chattering, nous envisageons, dans le chapitre suivant, une
combinaison entre la commande par mode glissant et la commande par logique floue.
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande Par backstepping
Chapitre V
Commande par mode glissant flou et
commande Par backstepping
103
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
V.1. Introduction
La commande par mode glissant a reçu un intérêt croissant en raison de sa simplicité
de mise en œuvre et sa robustesse vis à vis des incertitudes structurelles et des perturbations
externes. Cependant, la présence de la fonction signe dans la loi de commande donne
naissance à un phénomène de chattering qui peut endommager le système en excitant les
hautes fréquences. Dans le but d’éliminer ce phénomène, sans détériorer les performances de
commande et tout en gardant la robustesse du mode glissant, plusieurs solutions ont été
proposées dans la littérature [95-97]. Ces solutions consistent à combiner plusieurs techniques
de commande pour obtenir de bonnes performances. Dans ce chapitre, nous considérons la
combinaison de la commande par logique floue et la commande par mode glissant en utilisant
des surfaces de glissement non linéaires. Les surfaces de glissement proposées dans le
chapitre précédent seront utilisées dans la mise en œuvre de cette loi de commande hybride.
Pour construire d’une manière systématique les surfaces de glissement, l’idée de
combiner la commande par mode glissant et celle par backstepping est envisagée dans ce
chapitre. Cette approche hybride permet le choix d’une surface de glissement tout en tenant
compte de la dynamique du système à commander. Afin d’améliorer les performances de
commande et de limiter le phénomène de chattering nous présentons la conception de la loi de
commande qui consiste à combiner la commande par mode glissant flou et celle par
backstepping.
Des résultats de simulation de la commande des deux hélicoptères à deux et six degrés
de liberté sont inclus dans ce chapitre pour illustrer les performances des stratégies de
commande proposées.
V.2. Commande par mode glissant flou
La logique floue, dont les bases théoriques ont été établies depuis le début des années
1960, permet d’exploiter les informations linguistiques décrivant le comportement dynamique
du système. Ces informations, fournies par l’expert humain, peuvent être exprimées sous
forme d’un ensemble de règles floues de type Si-Alors. La définition de règles ainsi que de
fonctions d’appartenance à des ensembles dits « ensembles flous » permet aux concepteurs de
mieux appréhender les processus imprécis et difficilement modélisables. L’un des domaines
d’application de la logique floue qui a connu une évolution considérable et qui continue de
susciter l’intérêt de plusieurs chercheurs est celui de la modélisation et la commande des
systèmes [98-100]. Depuis la mise en œuvre du principe de la commande floue pour la
première fois en 1974 [101], plusieurs techniques et applications ont été développées. Cette
104
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
approche permet d’obtenir, d’une manière simple et sans faire appel à des développements
mathématiques complexes, une loi de commande souvent efficace et présente l’intérêt de
prendre en compte l’expertise d’un opérateur humain. Cependant, le problème de stabilité et
de robustesse de ce type de lois de commande n’est pas encore résolu d’une manière
définitive et reste un sujet de recherche.
Afin, de limiter le phénomène de chattering associé à la commande par mode glissant,
plusieurs techniques de commande basées sur la combinaison de la commande floue et la
commande par mode glissant ont été proposées [102-104]. L’efficacité de ces techniques, plus
particulièrement dans l’atténuation du phénomène de chattering, a été prouvée en considérant
plusieurs applications. En plus, cette approche permet de préserver la simplicité de mise en
œuvre et la robustesse de la commande par mode glissant.
V.2.1. Mise en œuvre de la commande par mode glissant flou
L’intégration de la commande floue avec la commande par mode glissant permet,
d’une part, d’exploiter la robustesse de la commande à structure variable et, d’autre part,
d’utiliser le critère de stabilité de Lyapunov pour analyser la stabilité du système. Cette
nouvelle vision est basée sur l’interprétation des règles de commande floues. Une règle est
généralement une relation floue de la forme [105] :
1 1: ,.....,jj j jn n jR Si x est A x est A alors u est C (V.1)
où ix ( i =1,..., n ) sont les entrées du système flou, jiA est l’ensemble flou correspondant à
l’entrée ix , jc est un singleton et u est la sortie de la jème règle. La structure de commande,
définie par les règles jR , dépend des états du processus et peut alors être considérée comme
étant un système de commande à structure variable (avec une certaine bande limite).
Comme nous l’avons déjà montré dans le chapitre précédent, le terme de correction
discontinu dans une commande à structure variable est donné par :
u K sign s (V.2)
Un mode glissant théorique est idéal et il est rare qu’il se produit dans le cas d’un
système réel. Ceci est principalement dû au retard de commutation et au chattering autour de
la surface de glissement. Cette situation peut être corrigée par un lissage de la commande
discontinue à l’intérieur d’une bande limite (autour de la surface de glissement).
En introduisant une bande limite Φ, la loi de commande à structure variable est alors modifiée
comme suit [106] :
105
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
.
K s
su K s
K s
(V.3)
L’objectif est de remplacer la commande discontinue u, donnée par (V.3), par une loi
de commande floue fu . L’idée de base pour la conception de cette commande est qu’il est
possible de faire une extension de la surface de glissement s = 0, vers une surface floue
définie par l’expression linguistique suivante :
s est zéro (V.4)
Où s est la variable linguistique correspondant à s, et “zéro” est l’un de ses ensembles flous.
Afin de fuzzifier l’espace autour de la surface de glissement s, on définit cinq sous ensembles
flous (figure V.1), tels que :
1 5, , , , ,...,s sT s NG NM EZ PM PG F F (V.5)
Avec :
NG : négatif grand ; NM : négatif moyen; EZ : environ zéro ; PM : positif moyen ; PG :
positif grand.
Quant à la commande fu , nous définissons aussi cinq sous ensembles flous tels que :
1 5, , , , ,...,u uT u NG NM EZ PM PG F F (V.6)
Où u est la variable linguistique correspondant à fu
Les fonctions d’appartenance des deux variables s et fu , sont illustrées par la figure V.2. On
définit des fonctions d’appartenance de forme triangulaire pour la surface de glissement s et
des singletons pour la commande fu .
Figure V.1. Partition floue de l’espace autour de la surface de glissement dans le plan de phase.
-
NM
PG
PM ZE
NG +
e
e
0s
106
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.2. Fonctions d’appartenance : (a) l’entrée s, (b) la sortie uf .
Dans la figures V.2 (a), le paramètre r ∈ [0,1] est utilisé pour ajuster les points modaux du
sous ensemble ZE (la précision de la commande réside dans l’expression : s est zéro).
Nous définissons pour ce système d’inférence flou, les règles suivantes :
R1: SI s est NG Alors uf est PG
R2: SI s est NM Alors uf est PM
R3: SI s est ZE Alors uf est EZ
R4: SI s est PM Alors uf est NM
R5: SI s est PG Alors uf est NG
On peut écrire aussi :
: , 1, ,5i i isi f uR SI s est F Alorsu est F i (V.7)
Nous considérons X et Y, comme étant l’espace d’entrée et de sortie des règles floues
respectivement. Pour un ensemble flou arbitraire xF dans X, un ensemble flou ixF R est
défini dans l’espace Y par la règle Ri.
En utilisant la méthode d’inférence max-min donnée par [107, 108] :
max min ,min ,i i ixx s u
f fFF R F Fs Xu s u
(V.8)
Dans le cas où la forme de sous ensemble xF est un singleton, on peut écrire :
1
0xF
si s
ailleurs
(V.9)
Pour la phase de défuzzification, on utilise la méthode du centre de gravitée, ce qui nous
donne :
5
15
1
. ii f
i
i
i
s u
u
s
(V.10)
(a) (b)
K
PG PM NM NG Z E
2
K0
2
K
K
fu
fu
PG PM Z E NM NG
r2
0 r
2
s
s
107
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Avec, i s le degré d’appartenance de s au sous ensemble Fisi .
Finalement, le résultat d’inférence pour tout s, s’écrit [109]
ssigKu f (V.11)
avec:
11
022
1
0
21
2
1
11
z
zr
r
rz
zrr
z
rz
r
rz
z
zsig (V.12)
La figure V.3, illustre le résultat d’inférence des règles floues pour différentes valeurs
de la variable r. On remarque bien, que la valeur de la variable r joue un rôle important dans
la forme de cette fonction. Pour ri =1, on peut la considérer comme une fonction de saturation.
Par conséquent, on peut améliorer les performances de la commande par l’ajustement de cette
variable.
Figure V.3. Résultats de l’inférence des règles floues pour différentes valeurs de r.
V.3. Commande par la méthode du backstepping
La technique dite « Backstepping », développée par Kanellakopoulos et al. [110], offre
une méthode de conception systématique d’une commande non linéaire. L’appellation
backstepping est particulièrement justifiée par le processus récursif intrinsèque à la synthèse
de la loi de commande. Cette technique permet de construire, d’une façon récursive, la
commande et la fonction de Lyapunov pour un système non linéaire triangulaire. L’idée
consiste à calculer une loi de commande afin de garantir que la dérivée d’une fonction de
Lyapunov soit définie positive et que sa dérivée soit toujours négative.
6.0r
2.0r
1r2
K
K
2
K
K
108
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Afin d’illustrer le principe de la méthode du backstepping, on considère le cas des systèmes
non linéaires de la forme suivante :
1 1 1 1 1 2
2 2 1 2 2 1 2 3
3 2 1 2 3 3 1 2 3
, ,
, , , , .
T
T
T
x f x g x x
x f x x g x x x
x f x x x g x x x u
(V.13)
Le vecteur des paramètres est supposé connu. On désire faire suivre à la sortie y=x1 le
signal de référence ry , où , ,r r ry y y et (3)ry sont supposées connues et uniformément bornées.
Le système étant du troisième ordre, le design s’effectue en trois étapes.
Etape1 : On considère d’abord le premier sous système
1 1 1 1 1 2Tx f x g x x (V.14)
La variable d’état x2 est traitée comme une commande et l’on définit la première valeur
désirée par :
1 0 rdx y (V.15)
La première variable d’erreur se définit par :
1 1 0z x (V.16)
Avec ces variables, le système d’équation (V.14) s’écrit :
1 1 0
1 1 2 0T
z x
f g x
(V.17)
Pour un tel système, la fonction quadratique s’écrit :
21 1 1
1
2V z z (V.18)
Elle constitue un bon choix de fonction de Lyapunov. Sa dérivée le long de la solution de
l’équation (V.17), est donnée par :
1 1 1
1 1 1 2 0T
V z z
z f g x
(V.19)
Un choix judicieux de x2 rendrait 1V négative et assurerait la stabilité de l’origine du sous-
système décrit par (V.17). Prenons comme valeur de x2, la fonction α1, telle que :
1 1 2 0 1 1Tf g x c z (V.20)
où c1>0 est un paramètre de design. Cela donne
2 1 1 1 1 01
1 T
dx c z f
g
(V.21)
et la dérivée s’écrit
21 1 1 0V c z (V.22)
109
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
d’où la stabilité asymptotique de l’origine de l’équation (V.17).
Etape2 : On considère, dans ce cas, le deuxième sous-système par :
2 2 1 2 2 1 2 3, ,Tx f x x g x x x (V.23)
On définit la nouvelle variable d’erreur :
2 2 1z x (V.24)
qui représente l’écart entre la variable d’état x2 et sa valeur désirée α1. A cause du fait que x2
ne peut être forcée à prendre instantanément une valeur désirée, en l’occurrence α1, l’erreur z2
n’est pas, instantanément, nulle. Le design dans cette étape consiste, alors, à forcer l’erreur de
s’annuler avec une certaine dynamique, choisie au préalable.
Les équations du système à commander, dans l’espace (z1, z2), s’écrivent :
1 1 0 1 2 1
2 2 1 2 3
T
T
z f g z
z f g x
(V.25)
Pour lesquelles on choisit la fonction de Lyapunov suivante :
22 1 2 1 2
1,
2V z z V z (V.26)
Cette dernière a pour dérivée, le long de la solution de l’équation (V.25) donnée par :
2 1 2 1 2 2
1 1 1 2 1 0 2 2 2 3 1
1 1 1 1 0 2 2 1 1 2 3 1
21 1 2 2 1 1 2 3 1
,
T T
T T
T
V z z V z z
z f g z z f g x
z f g z f g z g x
c z z f g z g x
(V.27)
Le choix de la valeur désirée (la fonction stabilisante) de x3 devient évident. Cette dernier est
donné par :
3 2 1 1 1 2 2 22
1 T
dx g z f c z
g
(V.28)
où c2 >0, avec 1 calculée analytiquement :
1 1 11 1
1r r
r r
x y yx y y
(V.29)
Un tel choix permet de réduire la dérivée à
2 22 1 1 2 2 0V k z k z (V.30)
Ce qui assure la stabilité asymptotique de l’origine de (V.25).
Etape3 : le système (V.13) est maintenant considéré dans sa globalité. La variable d’erreur 3z
est définie par :
3 3 2z x , (V.31)
110
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
ce qui permet d’écrire les équations du système dans l’espace des erreurs 1 2 3, ,z z z comme
suit :
1 1 1 2 1 0
2 2 1 3 2 1
3 3 2 3.
T
T
T
z f g z
z f g z
z f g u
(V.32)
Avec comme fonction de Lyapunov
23 1 2 3 2 3
1, ,
2V z z z V z (V.33)
La dérivée, le long de la solution du système d’équations (V.32), devient :
3 2 3 3
2 21 1 2 2 3 3 2 2 3 2
T
V V z z
c z c z z g u g z f
(V.34)
À présent, on est en présence de la vraie commande u. Un bon choix de celle-ci est donné
par :
2 2 2 3 3 33
1 Tu g z f c zg
(V.35)
où c3>0 et 2 est également calculée analytiquement par :
(3)2 2 1 1 11 1 2
1 2r r r
r r r
x x y y yx x y y y
, (V.36)
Avec ce choix, on a :
2 2 22 1 1 2 2 3 3 0V c z c z c z (V.37)
d’où la stabilité asymptotique de l’origine du système d’équation (V.32). Ceci se traduit par la
stabilité, en boucle fermée, du système original (V.13) et la régulation à zéro de l’erreur de
poursuite ry y . Les deux principaux objectifs du design sont alors atteints.
Les paramètres de design ci sont directement liés à la position des pôles de la boucle
fermée. Leur choix permet de faire un placement des pôles, fixant ainsi la dynamique en
régulation de cette boucle.
V.3.1. Cas des systèmes d’ordre n
L’application récursive du backstepping permet l’extension de la procédure de
design aux systèmes triangulaires de la forme suivante :
1 1 1 1 1 2
2 2 1 2 2 1 2 3
1 1 1 2 1 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1
, ,
, , , , , ,
, , , , , , , ,
T
T
Tn n n n n n
Tn n n n n n n
x f x g x x
x f x x g x x x
x f x x x g x x x x
x f x x x x g x x x x u
(V.38)
111
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
où fi(0)=0, gi ≠0 pour 1≤ i ≤ n
La procédure de design commence à partir de l’équation (V.16) de l’erreur z1. Le
changement de variable adéquat à chaque étape i permet d’appliquer le backstepping
récursivement, en rajoutant l’équation i+1. Partant de α0, on construit les différents αi et Vi .
Ce qui résulte en
1 0
1( )1 1
1 1 1 111
1
rd
ik Ti i
i i k k r i i i i ikdi k rk
x y
x g x y g z c zg x y
(V.39)
où
1
1
1
1
1, ,
ii
i i kkk
i i i
i n
f fx
z x
(V.40)
Les différentes fonctions de Lyapunov sont données par :
2
1
1
1
2
i
i j j
j
V x
(V.41)
La commande u, qui permet d’atteindre les objectifs du design pour le système global, est
donnée par la dernière commande virtuelle αn.
V.3.2. Association des commandes mode glissant et backstepping
L’Association des commandes mode glissant et backstepping a deux avantages :
d’une part le backstepping nous offre une méthode systématique pour synthétiser les surfaces
de glissement et, d’autre part, l’incorporation de la commande par mode glissant s’avère
intéressant dans la simplification des étapes nécessaires pour la synthèse d’une commande
stabilisante par backstepping. Dans cette approche, la variable iz de la dernière étape est
considérée comme une surface de glissement non linéaire.
V.3.3. Association des commandes mode glissant flou et backstepping
Le schéma de la figure (V.4) illustre le principe de cette association. La commande
équivalente est calculée en utilisant la surface de glissement obtenue par la méthode
backstepping. Le système d’inférence flou permet de déterminer la commande attractante à
partir de la surface de glissement obtenu par la méthode backstepping. La commande à
appliquer sur le système est la somme des deux commandes.
112
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.4. Structure de l’association des commandes mode glissant flou et backstepping.
V.4. Commande d’un hélicoptère à deux degrés de liberté de type TRMS 33-007-4M5
V.4.1. Commande par mode glissant flou
Nous considérons ici la commande du modèle du TRMS 33-007-4M5 donné par les
équations (II.43), (II.44) et nous utilisons la loi de commande suivante :
eq fsu u u (V.42)
où :
la commande fsu est calculée par le système d’inférence flou décrit ci-dessus, et ueq, la
commande équivalente, est obtenue en utilisant les équations (IV.29) et (IV.31) et les surfaces
de glissement non linéaires données par l’équation (IV.34). La structure de commande est
illustrée par la figure V.5.
Figure V.5. Schéma bloc de la commande par mode glissant flou appliquée au TRMS 33-007-4M5.
-
+ hu
eqhu
Equivalent control
+
dx4
dx1
-
+
+
41 xy 6
5
x
x
3
2
x
x
fshu+
Commande équivalente
eqvu
vu
TRMS 33-007- 4M5
Horizontal
Vertical 12 xy
+
h
Commande équivalente
fsvu
FIS-H
h FIS-H
Référence
Système
Commande équivalente synthétisée par backstepping
Système d’inférence flou
Surface de glissement synthétisée par backstepping
+ -
+
+
113
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
V.4.2. Résultats de simulation
Les valeurs des paramètres du modèle mathématique du TRMS 33-007-4M5, utilisées
dans la simulation, sont celle présentées dans le Tableau II.1. Les valeurs des autres
paramètres sont :
αh(0) = 0 rad, αv(0) = -0.93 rad, gain de commutation K=10, paramètre d’ajustement r=0.7,
largeur de la bande Φ=0.01.
Les performances de commande obtenues sont données par les figures V.6 (a)-(d) pour
un signal de référence carré et V.7 (a)-(d) pour un signal de référence sinusoïdal. Nous avons
obtenu, pour les deux trajectoires de références, une bonne précision de poursuite et des
signaux de commande présentant moins d’oscillation en comparaison avec ceux obtenus dans
le cas de la commande par mode glissant (figures IV.10 et IV.11). Le test de robustesse réalisé
et présenté par les (figures V.8 (a) - (d)), indique que la propriété de robustesse de la
commande par mode glissant est sauvegardée.
Figure V.6. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence carré (commande par mode glissant flou).
(a)
(c) (d)
(b)
Temps (s)
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
1
alp
ha
h (
rad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
v (r
ad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uh (
vo
lt)
0 10 20 30 40 50 60 -3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uv
(vo
lt)
114
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.7. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence sinusoïdale
(commande par mode glissant flou).
Figure V.8. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des forces aérodynamiques (commande par mode glissant flou).
0 5 10 15 20 25 30 35-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
v (r
ad)
Désirée Réelle
Temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 350
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
alp
ha
h (
rad)
Désirée Réelle
(a) (b)
(c) (d)
(a) (b)
(c) (d)
Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv
Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv
Fh Fv
Fh Fv
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uh (
vo
lt)
0 10 20 30 40 50 60 -3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uv (
vo
lt)
0 5 10 15 20 25 30 35-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uh (
vo
lt)
0 5 10 15 20 25 30 35-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uv
(vo
lt)
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
h (
rad
)
Désirée Réelle
Temps (s)0 10 20 30 40 50 60
-1
-0.5
0
0.5
1
alp
ha
v (
rad)
Désirée Réelle
115
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.9. Résultats de poursuite en 3D : (a) signal de référence carré, (b) signal de référence sinusoïdale (commande par mode glissant flou).
V.4.3. Commande par mode glissant et backstepping
Nous cherchons à établir, pour chacun des sous systèmes vertical et horizontal, une
loi de commande stabilisante de la forme :
eq cu u u (V.43)
La structure de commande est illustrée par la figure (V.10).
Figure V.10. Schéma bloc de la commande glissante-backstepping appliquée au
TRMS 33-007-4M5.
(a) (b)
+
Equivalent control
+
dx4
dx1
+
+
+
-
hu
eqhu
41 xy
6
5
x
x
3
2
x
x
cvu
Commande équivalente
eqvu
vu
TRMS 33-007- 4M5
Horizontal
Vertical
12 xy
-
Commande équivalente
+ chu
Commande discontinue
Commande discontinue
Surface non linéaire
h
Surface non linéaire
v
0
20
40 60
-1
-0.5
0
0.5-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)alphah (rad)
alp
ha
v (
rad)
Désirée
Réelle
0
20
40
60
-0.5
0
0.5-1
-0.5
0
0.5
Temps (s)
alphah (rad)
alp
ha
v (
rad)
Désirée Réelle
116
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Commençons par le sous système vertical dont le modèle, établi dans le chapitre II, et rappelé
par les équations suivantes :
vvv
vvv
udxCx
xgxbxfx
xx
33
1232
21
(V.44)
mr
mrv
mrv
v
vv
T
Kd
Tc
J
Kb
,1
(V.45)
3 3
1 1 1
( )
cos sin
mv f v v
v
vv
lf x S F P x
J
gg x A B x C x
J
(V.46)
Pour déterminer la loi de commande, nous procédons selon trois étapes comme suit :
Etape 1 :
Nous définissons la première variable d’erreur 1vz comme étant l’erreur de poursuite, telle
que :
dv xxz 111 = vdv (V.47)
Nous définissons la première fonction de Lyapunov 1vV par :
211
2
1vv zV (V.48)
Sa dérivée, est donnée par :
1 1 1 1 2 1v v v v dV z z z x x (V.49)
Pour avoir 1 0vV , prenons 2x comme étant la commande virtuelle :
2 1 1 1d v vx x c z , 1 0vc (V.50)
La commande virtuelle 2 dx est alors définie par :
2 1 1 1v v ddx c z x (V.51)
z2v, la variable à stabiliser dans la deuxième étape, est définie par :
2 2 2 2 1 1 1v v v ddz x x x c z x (V.52)
Etape 2:
La fonction de Lyapunov augmentée et sa dérivée sont données par :
22
212
2
1
2
1vvv zzV (V.53)
117
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
2
2 1 1 2 2v v v v vV c z z z (V.54)
En remplaçant 2vz dans l’équation (V.54) nous obtenons :
2 1 1 2 3 2 1 1 2 1 1v v v v v v v v d dV z z z f x b x g x c x x x
(V.55)
Pour avoir 2 0vV , prenons 13 xgxf vv comme étant la commande virtuelle :
3 1 2 1 2 1 1 2 2v v v v d d v vf x g x b x c x x x c z , 2 0vc (V.56)
La commande virtuelle 3 1v v df x g x est alors définie par :
3 1 2 2 2 1 2 1 1v v v v v v d ddf x g x c z b x c x x x (V.57)
z3v, la variable à stabiliser dans la troisième étape, est définie comme suit :
3 3 1 2 2 1 1 2 1 2v v v v v d v d vz f x g x c z x c x x b x (V.58)
Etape 3:
La fonction de Layapunov augmentée ainsi que sa dérivée sont données par :
2 2 23 1 2 3
1 1 1
2 2 2v v v vV z z z (V.59)
3 12 23 1 1 2 2 3 3 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2
3 1
v vv v v v v v v v d d d v d v
f x g xV c z c z z x x c x c x x x x c x x b x
x x
(V.60)
Avec 3 0vc
La loi de commande backstepping du sous système vertical s’obtient par :
33 2 2 1 2 1 1 1 3 2 1
3
132 3 3 1 2 1
13
...1
vv v v d d d v v v v
vvv
v v v dv
f xC x c x c x x x x b f x b x g x
xu
g xf xx c z c x xd
xx
(V.61)
Prenons maintenant, la variable z3v comme étant la surface de glissement :
3 3 1 2 2 1 1 2 1 2v v v v v v d v d vz f x g x c z x c x x b x (V.62)
La fonction de Lyapunov globale du système, s’écrit alors :
2 2 23 1 2
1 1 1
2 2 2v v v vV z z (V.63)
La dérivée temporelle de cette fonction se calcule comme suit :
3 1 1 2 2v v v v v v vV z z z z (V.64)
3 12 23 1 1 2 2 3 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2
3 1
v vv v v v v v v v d d d v d v
f x g xV c z c z x x c x c x x x x c x x b x
x x
(V.65)
Par ailleurs :
1 1v v v v vq sign k , 0, 11 vv kq (V.66)
3 3v vc z
118
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
La loi de commande donnée par l’équation (V.61) peut se réécrire, en introduisant la surface
de glissement, de la manière suivante :
33 2 2 1 2 1 1 1 3 2 1
3
132 1 2 1 1 1
13
...1
sin
vv v v d d d v v v v
vvv
v d v v v vv
f xC x c x c x x x x b f x b x g x
xu
g xf xx c x x q g kd
xx
(V.67)
Nous pouvons mettre l’expression (V.67) sous la forme v eqv cvu u u , où :
33 2 2 1 2 1 1 1 3 2 1
3
132 1 2 1
13
...1
vv v v d d d v v v v
vvv
v dv
f xC x c x c x x x x b f x b x g x
xu
g xf xx c x xd
xx
(V.68)
1 1
3
3
1sincv v v v v
vv
u q g kf x
dx
(V.69)
La loi de commande backstepping du sous système horizontal hu est calculée de la même
manière que la commande vu en utilisant le modèle du sous système horizontal, donné par
(II.44), et en suivant les étapes précédentes. Nous obtenons :
66 2 5 1 5 4 4 4 6 5 3 3 1 5 4
6 6
6
1 hh h h h d d d h h h h h h d
hh
f xu C x c x c x x x x b f x b x c z c x x
f x xd
x
(V.70)
Avec 1 2 3, , 0h h hc c c
En introduisant la surface de glissement donnée par :
3 6 2 2 4 1 5 4 5h h h h h d h d hz f x c z x c x x b x (V.71)
Nous aboutissons à la loi de commande suivante :
66 2 5 1 5 4 4 4 6 5 1 5 4 1 1
6 6
6
1sinh
h h h h d d d h h h h d h h h hh
h
f xu C x c x c x x x x b f x b x c x x q g k
f x xd
x
(V.72)
Avec :
1 1 1 1 , , 0h h h h h h hq sign k q k , (V.73)
La loi de commande précédente peut s’écrire sous la forme h eqh chu u u , avec :
66 2 5 1 5 4 4 4 6 5 1 5 4
6 6
6
1 heqh h h h d d d h h h h d
hh
f xu C x c x c x x x x b f x b x c x x
f x xd
x
(V.74)
1 1
6
6
1sinch h h h h
hh
u q g kf x
dx
(V.75)
119
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
V.4.4. Résultats de simulation
Les valeurs initiales αh (0) = 0 rad et αv (0) = -0.93 rad, ainsi que les valeurs des
paramètres du modèle données dans le tableau II.1 ont été utilisées dans le calcul des lois de
commande développées ci-dessus.
Les figures V.11, V.12, V.13, et V.14 montrent les performances de la commande
obtenues. Elles sont globalement, caractérisées par la présence d’une erreur de poursuite
relativement grande (figure V.12 (b)) et des oscillations rapides sur les signaux de commande
(figures V.11 (c) et (d), V.12 (c) et (d), V.13 (c) et (d)). La cause principale de ces oscillations
est la présence de la fonction signe dans les lois de commande. Pour examiner la robustesse
de l’algorithme, nous avons augmenté, entre les instants 10 et 15 sec, les valeurs des forces
aérodynamiques Fh et Fv. La figure V.13, montre que cette approche présente une faible
robustesse vis-à-vis des variations paramétriques, telles que la variation des valeurs des forces
aérodynamiques Fh et Fv . En vue d’améliorer les performances de cette approche nous
proposons d’utiliser un système d’inférence flou pour calculer la commande discontinue.
Ceci, est l’objet de la section suivante.
Figure V.11. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence carré
(commande glissante-backstepping).
(a) (b)
(c) (d)
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
Temps (s)
alp
ha
h (
rad)
Désirée Réelle
1
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
v (r
ad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uh (
vo
lt)
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uv
(vo
lt)
120
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.12. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence sinusoïdale
(commande glissante-backstepping).
Figure V.13. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des forces
aérodynamiques (commande glissante-backstepping).
0 5 10 15 20 25 30 35-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps (s)
alp
ha
v (r
ad)
0 5 10 15 20 25 30 350
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Temps (s)
alp
ha
h (
rad)
Désirée Réelle
(a)
(c)
(b)
(d)
(a)
(c)
(b)
(d)
Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv
Fh Fv
Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv
Fh Fv
Temps (s)
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
1 a
lpha
h (
rad
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60 -1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
h (
rad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uh (
vo
lt)
0 5 10 15 20 25 30 35-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uh (
vo
lt)
0 5 10 15 20 25 30 35-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uv
(vo
lt)
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uv (
vo
lt)
Désirée Réelle
121
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.14. Résultats de poursuite en 3D : (a) signal de référence carré, (b) signal de référence sinusoïdale (commande glissante-backstepping).
V.4.5. Commande par mode glissant flou et backstepping
L’objectif de cette partie est l’application de la technique hybride : commande par
mode glissant flou et backstepping sur le modèle du TRMS 33-007-4M5. Le schéma bloc de
cette commande est donné par la figure V.15. La loi de commande à appliquer sur chacun des
sous systèmes du modèle du TRMS est de la forme suivante :
eq fbsu u u (V.76)
La commande attractive fbsu est calculée en utilisant le système d’inférence flou
défini dans le paragraphe V.2.1, et la commande équivalente ueq est calculée en utilisant les
équations (V.50) et (V.52).
(a) (b)
0 20
40
60
-1
-0.5
0
0.5-1
-0.5
0
0.5
Temps (s)alphah (rad)
alp
hav
(rad)
0
20
40
60
-1
-0.5
0 0.5
1 -1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)alphah (rad)
alp
hav
(rad)
122
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.15. Schéma bloc de la commande par mode glissant flou et backstepping appliquée au TRMS 33-007-4M5.
V.4.6. Résultats de simulation
Les figures V.16, V.17, V.18, et V.19 montrent les résultats de simulation de
l’application de la commande par mode glissant flou et backstepping sur le modèle
mathématique du TRMS. Nous utilisons les mêmes valeurs des paramètres du modèle et les
conditions initiales utilisées dans les simulations précédentes. La valeur du gain de
commutation et celles du paramètre d’ajustement et de la largeur de la bande sont : K =10, r
=0.7 et Φ = 0.01.
A partir des résultats obtenus (Figures V.16 – V. 18), nous pouvons conclure que cette
technique hybride présente des performances meilleures que celles obtenues dans le cas de
commande par mode glissant et backstepping. Particulièrement, l’erreur de poursuite et le
temps de réponse sont plus faibles, et les signaux de commande présentent moins
d’oscillations. Cependant, la robuste de cette approche reste encore faible pour le TRMS.
hu
eqhu
Equivalent control
+
dx4
dx1
-
+
+
+
41 xy 6
5
x
x
3
2
x
x
fshu+
La commande équivalente
eqvu
vu
TRMS 33-007- 4M5
Horizontal
Vertical 12 xy
+
v
La commande équivalente
-
fsvu
FIS-H
v FIS-H
123
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.16. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence carré
(commande par mode glissant flou et backstepping).
Figure V.17. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence sinusoïdale (commande par mode glissant flou et backstepping).
(a) (b)
(c) (d)
(a) (b)
(c) (d)
0 10 20 30 40 50 60 -1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
h (
rad
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
v (
rad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uh (
vo
lt)
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uv (
vo
lt)
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
h (
rad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60 -1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
v (r
ad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uh (
vo
lt)
0 10 20 30 40 50 60-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uv
(vo
lt)
124
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.18. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des forces aérodynamiques (commande par mode glissant flou et backstepping).
Figure V.19. Résultats de poursuite en 3D : (a) d’un signal sinusoïdale, (b) d’un signal carré (commande par mode glissant flou et backstepping).
V.5. Commande d’un hélicoptère à six degrés de liberté de type quadrotor
V.5.1. Commande par mode glissant flou
En vue d’atténuer le phénomène de chattering, l’inconvénient majeur de la commande
par mode glissant, nous utilisons un système d’inférence flou pour calculer la commande
discontinue. Le principe de cette commande est illustré par la figure V.20 [82], [111].
0 5 10 15 20 25 30 35-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
alp
ha
v (
rad)
Désirée Réelle
0 5 10 15 20 25 30 350
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Temps (s)
alp
ha
h (
rad)
Désirée Réelle
(a) (b)
(c) (d)
(a) (b)
Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv
Fh Fv
Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv
Fh Fv
0 5 10 15 20 25 30 35-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uh (
vo
lt)
0 5 10 15 20 25 30 35-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
uv (
vo
lt)
0 20
40
60
-1
-0.5
0 0.5
1 -1
-0.5
0
0.5
Temps (s)alphah (rad)
alp
hav
(rad)
Désirée Réelle60
0 20
40
-1
-0.5
0
0.5 1 -1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)alphah (rad)
alp
hav
(rad)
Désirée Réelle
125
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.20. Schéma bloc de la commande par mode glissant flou appliquée sur le quadrotor.
La dynamique désirée en boucle fermée est celle choisie par la surface de glissement
suivante :
2
11 i i
eq fs
i i i
i e
u u u
et
s e e
avec
ee
(V.77)
Avec la commande attractive est donnée par :
1 2 3 4 5 6
5
15
1
, , , , ,
, 1...6
T
fs fs fs fs fs fs fs
i ii j j
ifs j
ii j
i
u u u u u u u
s uf
u j
s
(V.78)
La commande fsju est calculée par un système d’inférence flou dont sa description est détaillée par
le schéma suivant :
Figure V.21. Système d’inférence flou utilisé pour calculer la commande discontinue
La commande équivalente equ est calculée en utilisant les expressions (IV.45) et (IV.52)
V.5.2. Résultats de simulation
Nous avons effectué les simulations en mode de régulation pour les sous systèmes de
+
equ
+
+
Quadrotor Surface.1
Surface.2
…
Surface.6
FIS.1
…
Commande équivalente
-
dX
X
FIS.2
FIS.6
fsu
R1: SI si est NG Alors uf i est PG
R2: SI si est NM Alors uf i est PM
R3: SI si est EZ Alors uf i est EZ
R4: SI si est PM Alors uf i est NM
R5: SI si est PG Alors uf i est NG
Partie prémisse Les règles floues Partie conclusion
is
PG PM Z E NM NG
i 2
iir
0 2
iir
i
is
PG PM NM NG Z E
2iK0
2
iKiK
ifu
iuf
iK
126
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
translation et d’orientation et utiliser des trajectoires de référence en échelon et sinusoïdaux.
Les résultats obtenus sont donnés par les figures V.22 - V.30.
Figure V.22. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes , , ,X Y Z
Figure V.23. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes ,
Figure V.24. Les signaux de commande (trajectoire en échelon).
(a) (b)
(c) (d)
(a) (b)
(a) (b)
(c) (d)
Temps (s)
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Temps (s)
y (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
z (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
Temps (s)
ksi (r
ad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
Temps (s)
phi (
rad)
0 10 20 30 40 50 60 -0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Temps (s)
the
ta (
rad)
0 10 20 30 40 50 60 0
1
2
3
4
5
6
Temps (s)
la c
om
ma
nd
e U
1 (
N)
0 10 20 30 40 50 60 -0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0 0.01
0.02
0.03
0.04
Temps (s)
la c
om
ma
nd
e U
2 (
N)
0 10 20 30 40 50 60 -0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
la c
om
ma
nd
e U
3 (
N)
Temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 -1
0
1
2
3
4
5x 10
-3
la c
om
ma
nd
e U
4 (
N.m
)
.
.
127
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.27. Résultats de poursuite des trajectoires sinusoïdaux selon les axes , , ,X Y Z
Figure V.28. Résultats de poursuite des trajectoires sinusoïdaux selon les axes ,
Figure V.26. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (trajectoire en échelon).
Figure V.25. Vitesses angulaires des quatre rotors (trajectoires en échelon).
(a) (b)
(c) (d)
(a)
0 10 20 30 40 50 60 0
50
100
150
200
250
Temps (s)
vite
sse w
i (r
ad/s
)
w1
w2
w3
w4
00.5
11.5
22.5
0
0.5
1
1.5
20
0.5
1
1.5
2
x (m)y (m)
z (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps (s)
x (
m)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps (s)
y (
m)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
6
7
Temps (s)
z (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0 0.1
Temps (s)
ksi (
rad)
Désirée Réelle
(b)
0 10 20 30 40 50 60-0.03
-0.02
-0.01 0
0.01
0.02 0.03
Temps (s)
theta
(ra
d)
0 10 20 30 40 50 60-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Temps (s)
phi (
rad)
.
.
128
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.29. Les signaux de commande (trajectoires sinusoïdaux).
D’après les résultats de simulation, il apparaît clairement que les erreurs de
poursuite sont faibles et les valeurs des dépassements sont acceptables. En outre, les temps de
réponses, qui caractérisent le régime transitoire, sont aussi faibles. Les figures V.24 (a) – (d),
V.29 (a) – (d) montrent les signaux de commandes obtenues ; ils présentent particulièrement
une forme suffisamment lisse. Ceci, permet d’améliorer la précision au régime établi et
atténuer le phénomène de chattering.
V.5.3. Commande par mode glissant et backstepping
Pour établir les différentes lois de commande « backstepping », nous utilisons le
modèle d’état du quadrotor donné par les équations (II.65) et (II.67) et nous suivons les étapes
récursives suivantes :
D’abord, définissons les erreurs de poursuite comme suit :
(a) (b)
(c)
Figure IV.31. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (trajectoires sinusoïdaux).
Figure IV.30. Vitesses angulaires des quatre rotors (trajectoires sinusoïdaux).
(d)
-1
0 1
-1-0.5
00.5
1 0 1 2 3 4 5 6 7
x (m)y (m)
z (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 600
50
100
150
200
250
Temps (s)
vite
sse w
i (ra
d/s
)
w1 w2 w3 w4
0 10 20 30 40 50 60 0
1
2
3
4
5
6
Temps (s)
la c
om
ma
nd
e U
1 (
N)
0 10 20 30 40 50 60-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
la c
om
ma
nd
e U
2 (
N)
0 10 20 30 40 50 60-0.01
-0.005
0 0.005
0.01 0.015
0.02
Temps (s)
la c
om
ma
nd
e U
3 (
N)
0.01
0 10 20 30 40 50 60 -0.01
-0.005
0
0.005
Temps (s)
la c
om
ma
nd
e U
4 (
N.m
)
Temps (s)
129
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
1 1 1
, 1,3,5,7,9,11
, 2, 4,6,8,10,12
id i
i
i i i i
x x iz
x x z i
(V.79)
avec ]12,1[0 ii
Les fonctions de Lyapunov prennent alors la forme suivante :
2
21
1, 1,3,5,7,9,11
2
1, 2, 4,6,8,10,12
2
i
i
i i
z i
V
V z i
(V.80)
Considérons, par exemple, le cas où 11i :
11 11 11
211 11
1
2
dz x x
V z
(V.81)
11 11 11 11 11 12dV z z z x x (V.82)
Par application du théorème de Lyapunov ( 1 0V ), la stabilisation de 11z peut être obtenue par
l’introduction d’une nouvelle entrée de commande virtuelle 12x :
12 11 11 11dx x z , 11 0 (V.83)
L’équation (V.60) devient alors :
211 11 11 11 11V z z z (V.84)
Faisons le changement de variable suivant :
12 12 11 11 11dz x x z (V.85)
Pour 12i
12 12 11 11 11
2 212 11 12
1 1
2 2
dz x x z
V z z
(V.86)
12 11 11 12 12V z z z z (V.87)
La dérivée de 12z est donnée par :
212 2 12 1 10 8 3 10 1 2 11 11 11dz a x a x x a x bU x z (V.88)
La loi de commande U2 est alors déduite en satisfaisant 12 0V , nous obtenons :
22 2 12 1 10 8 3 10 11 12 12 12 11
1
1d dU a x a x x a x x z z
b (V.89)
Le terme 12 12z est ajouté afin de stabiliser 11z
Les autres lois de commande 3 4, , ,x yU U U U et 1U peuvent être déterminées de la même
manière. Nous obtenons :
130
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
23 5 10 4 8 12 6 12 9 10 10 10 9
2
24 8 8 7 10 12 7 8 8 8 7
3
9 2 1 2 2 2 1 11
10 4 3 4 4 4 3 11
1 11 611 9
1
1
/ 0
/ 0
cos cos
d d
d d
x d d
y d d
d
U a x a x x a x x z zb
U a x a x x x z zb
mU a x x x x z z U
U
mU a x y y x z z U
U
mU a x z
x x
5 6 6 6 5 11 9/ cos cos 0dg z x z z x x
(V.90)
Afin de synthétiser les surfaces de glissement de manière systématique, nous faisons appel à
la technique backstepping.
De l’équation (V.85) nous obtenons les surfaces de glissement suivantes :
12 12 11 11 11
10 10 9 9 9
8 8 7 7 7
2 2 1 1 1
4 4 3 3 3
6 6 5 5 5
d
d
d
x d
y d
Z d
S z x x z
S z x x z
S z x x z
S z x x z
S z x x z
S z x x z
(V.91)
Pour obtenir des lois de commande stabilisante, il est nécessaire que 0S S
A partir des équations (V.85) et (V.86) nous avons :
2 2
12 11 12
12 12 11 11 11
1 1
2 2
d
V z z
z x x z
(V.92)
Du système d’équations (V.91) donnant les différentes surfaces de glissement nous avons :
12 12 11 11 11dS z x x z (V.93)
La fonction de Lyapunov 12V peut alors s’écrire :
2 212 1
1 1
2 2V z S (V.94)
La dérivée de cette fonction est donnée par :
12 11 11
212 11 11 2 12 1 10 8 3 10 1 2 11 12d d
V z z S S
V z z S a x a x x a x bU x
(V.95)
Soit :
1 1
12 11 11 11
22 12 1 10 8 3 10 1 2 11 12
d
d d
S q sign S k S
x x z
a x a x x a x b U x
, 2,i iq k (V.96)
L’expression de la loi de commande 2U , donnée par (V.89), peut se réécrire de la manière
suivante :
22 1 1 2 12 1 10 8 3 10 11 12
1
1d dU q sign S k S a x a x x a x x
b (V.97)
131
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Nous obtenons donc :
2 1 1
22 2 12 1 10 8 3 10 11 12
1
1
1
1eq d d
U q sign S k Sb
U a x a x x a x xb
(V.98)
En suivant la même procédure les lois de commande données par le système d’équation
(V.90) peuvent se réécrire de la manière suivante [112] :
23 2 2 5 10 4 8 12 6 12 9 10
2
24 3 3 8 8 7 10 12 7 8
3
4 4 9 2 1 2 11
5 5 10 4 3 4 11
1
1
, 0
,
d d
d d
x x x d d
y y y d d
U q sign S k S a x a x x a x xb
U q sign S k S a x a x x xb
mU q sign S k S a x x x x U
U
mU q sign S k S a x y y x U
U
1 6 6 11 6 5 6 11 911 9
0
, cos cos 0cos cos
z z d d
mU q sign S k S a x z g z x x x
x x
(V.99)
V.5.4. Résultats de simulation
Les résultats de la commande glissante-backstepping appliquée au quadrotor sont
illustrés par les figures V.31 – V. 40. Ces résultats ont été pris avec les paramètres du Tableau
II.2.
Figure V.32. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes , , ,X Y Z .
(a) (b)
(c) (d)
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
x (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Temps (s)
y (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
z (m
)
Désirée Réelle
600 10 20 30 40 50
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Temps (s)
ksi (
rad)
Désirée Réelle
132
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.33. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes ,
Figure V.34. Les signaux de commande (trajectoires en échelon).
(a) (b)
(a)
(c)
(b)
(d)
Figure V.36. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (cas des trajectoires en
échelon).
Figure V.35. Vitesses angulaires des quatre rotors (trajectoires en échelon).
0 10 20 30 40 50 60-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
Temps (s)
phi (
rad)
0 10 20 30 40 50 60-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
Temps (s)
theta
(ra
d)
00.5
11.5
22.5
0
0.5
1
1.5
20
0.5
1
1.5
2
x (m)y (m)
z (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 600
50
100
150
200
250
300
Temps (s)
vite
sse w
i (ra
d/s
)
w1
w2
w3
w4
0 10 20 30 40 50 60
0
1
2
3
4
5
6
7
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
1 (
N)
0 10 20 30 40 50 60-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
2 (
N)
0 10 20 30 40 50 60
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
3 (
N)
0 10 20 30 40 50 60-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
4 (
N.m
)
.
133
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.37. Résultats de poursuite des trajectoires sinusoïdaux selon les axes , , ,X Y Z
Figure V.38. Résultats de poursuite des trajectoires sinusoïdaux selon les axes ,
Figure V.39. Les signaux de commande (trajectoires sinusoïdaux).
(a)
(c)
(b)
(d)
(a) (b)
(a) (b)
(c) (d)
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
6
7
8
Temps (s)
z (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Temps (s)
ksi (
rad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
Temps (s)
phi (
rad)
0 10 20 30 40 50 60
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
Temps (s)
the
ta (
rad
)
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
6
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
1 (
N)
0 10 20 30 40 50 60-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
2 (
N)
0 10 20 30 40 50 60-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
3 (
N)
0 10 20 30 40 50 60-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005 0.01
0.015 0.02
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
4 (
N.m
)
0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps (s)
x (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps (s)
y (m
)
Désirée Réelle
.
.
134
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Les résultats présentés ci-dessus, montrent que nous n’avons pas obtenu de bonnes
performances de commande. En particulier la précision de poursuite des trajectoires de
référence est faible et les signaux de commande présentent des oscillations très rapides.
V.5.5. Commande par mode glissant flou et backstepping
La structure de commande est donnée par la figure V.42. Il s’agit d’utiliser un
système d’inférence flou pour déterminer la commande attractive fbsu . La dynamique en
boucle fermée est définie par les surfaces de glissement synthétisées en utilisant la technique
backstepping. Nous cherchons alors des lois de commande de la forme :
eq fbsu u u (V.100)
où :
La commande équivalente equ est calculée en utilisant les expressions (V.98) et (V.99), et la
commande attractive fbsu est calculée en utilisant le système d’inférence décrit dans le
paragraphe V.5.1.
Figure V.42. Schéma bloc de la commande par mode glissant flou et backstepping appliquée sur le quadrotor.
V.5.6. Résultats de simulation
Les résultats de simulation en utilisant des trajectoires de référence en échelon sont
donnés par les figures V.42 – V. 46, et ceux en utilisant des trajectoires sinusoïdaux sont
donnés par les figures V.47 - V.51.
Figure V.41. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (cas des trajectoires sinusoïdaux).
Figure V.40. Vitesses angulaires des quatre rotors (trajectoires sinusoïdaux).
+
equ
+ +
Quadrotor Surface.1
Surface.2 …
Surface.6
FIS.1
…
Commande équivalente
-
dX
X
FIS.2
FIS.6
fbsu
-1
0 -1
-0.50 0.5
1 0 1 2 3 4 5 6 7
x (m)y (m)
z (
m)
Désirée
Réelle 1
0 10 20 30 40 50 60 0
50
100
150
200
250
Temps (s)
vite
sse w
i (ra
d/s
)
w1
w2
w3
w4
135
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.43. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes , , ,X Y Z
Figure V.44. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes ,
Figure V.45. Les signaux de commande (trajectoires en échelon).
(a) (b)
(c) (d)
(a) (b)
(a)
(c)
(b)
(d)
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
x (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Temps (s)
y (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps (s)
z (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005 0.01
0.015
Temps (s)
phi (
rad)
0.02
0 10 20 30 40 50 60
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
Temps (s)
theta
(ra
d)
0 10 20 30 40 50 60
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Temps (s)
ksi (
rad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-1 0
1
2
3
4
5
6
7
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
1 (
N)
0 10 20 30 40 50 60-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
2 (
N)
0 10 20 30 40 50 60-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04 0.06
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
3 (
N)
0 10 20 30 40 50 60-5
0
5
10
15
20x 10
-3
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
4 (
N.m
) .
.
136
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.48. Résultats de poursuite des trajectoires sinusoïdaux selon les axes , , ,X Y Z
Figure V.49. Résultats de poursuite des trajectoires sinusoïdaux selon les axes ,
Figure V.47. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (cas des trajectoires en échelon).
Figure V.46. Vitesses angulaires des quatre rotors (trajectoires en échelon).
(a)
(c) (d)
(b)
(a) (b)
0 10 20 30 40 50 60 0
50
100
150
200
250
Temps (s)
vite
sse w
i (r
ad/s
)
w1
w2
w3
w4
0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
x (m
)
Désirée Réelle
1.5
0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps (s)
y (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
6
7
8
Temps (s)
z (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Temps (s)
ksi (
rad)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Temps (s)
phi (
rad)
600 10 20 30 40 50-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01 0.02 0.03 0.04
Temps (s)
theta
(ra
d)
00.5
11.5
22.5
0
0.5
1
1.5
20
0.5
1
1.5
2
x (m)y (m)
z (m
)
Désirée Réelle
.
.
137
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.50. Les signaux de commande (trajectoires sinusoïdaux).
Cette approche nous a permis d’obtenir de bonnes performances de commande. En
effet, la poursuite des trajectoires de référence se fait avec une bonne précision et avec un
temps de réponse relativement faible (figures : V. 43(a) – (d), V. 44 (a), (b), V. 48 (a) – (d),
V. 49 (a) et (b)), et les signaux de commande sont suffisamment lisses (figures : V. 45 (a) –
(d), V. 50 (a)-(d)).
V.6. Etude comparative
Cette étude permettra de conclure sur les performances des différentes lois de
commande développées pour la commande du TRMS 33-007-4M5 et du quadrotor. Elle est
basée sur le deux critères suivants :
- l’énergie de la commande,
- la somme des carrés des erreurs.
(a) (b)
(c) (d)
Figure V.52. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (trajectoires sinusoïdaux).
Figure V.51. Vitesses angulaires des quatre rotors (trajectoires sinusoïdaux).
-1
0
1
-1 -0.5 00.5
10
1
2
3
4
5
6
7
x (m)y (m)
z (m
)
Désirée Réelle
0 10 20 30 40 50 60 0
50
100
150
200
250
Temps (s)
vite
sse w
i (ra
d/s
)
w1
w2
w3
w4
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
6
7
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
1 (
N)
0 10 20 30 40 50 60
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x 10-3
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
2 (
N)
0 10 20 30 40 50 60
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x 10-3
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
3 (
N)
0 10 20 30 40 50 60
-5 0
5
10
15
20
25x 10
-3
Temps (s)
la c
om
ma
nde U
4 (
N.m
)
138
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Les mêmes conditions de simulation, tels que le pas de simulation, la plage temporelle,
les gains de la commande, …etc., ont été utilisées. Les résultats de cette comparaison sont
regroupés dans les tableaux V.1 et V.2.
Tableau V.1. Etude comparative entre les commandes développées pour le TRMS 33-007-4M5.
D’après le Tableau V.1 nous constatons, dans le cas du TRMS 33-007-4M5, que les
valeurs les plus faibles des deux critères J1 et J2 sont obtenues dans le cas de la commande
par mode glissant flou avec des surfaces non linéaires.
Critère
Commandes développées pour le TRMS 33-007-4M5
Commande par mode glissant avec des surfaces non linéaires [113, 114]
Commande par mode glissant d’ordre deux
[115]
Commande par linéarisation entrée-sortie [116]
sim 1 sim 2 sim 1 sim 2 sim 1 sim 2
1
1
1
2
pT
k
J u u
5.50×103 3.94×103 742.364 1.76×103 175.14 78.37
2
1
1
2
pT
k
J e e
500.42
63.23
547.14 64.84 452.29 94.06
Critère
Commandes développées pour le TRMS 33-007-4M5 (suite)
Commande par mode glissant flou avec des surfaces non
linéaires
Commande par mode glissant et backstepping
Commande par mode glissant flou et backstepping
sim 1 sim 2 sim 1 sim 2 sim 1 sim 2
1
1
1
2
pT
k
J u u
160.44 75.99 845.60 1.26×103 180.27 100.05
2
1
1
2
pT
k
J e e
420.75 43.99 631.24 74.52 570.35 93.15
139
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Tableau V.1. Etude comparative entre les commandes développées pour le quadrotor.
Dans le cas du quadrotor (tableau V.2), les valeurs les plus faibles des deux critères J1
et J2 sont obtenues avec la commande par mode glissant flou et backstepping.
A partir des résultats présentés dans les tableaux V.1 et V.2, nous pouvons conclure
que la commande par mode glissant combinée avec la commande floue est, en générale, la
plus performante du point de vue minimisation des deux critères, et ceci pour les deux
systèmes aéronautiques. Néanmoins, les performances de cette commande hybride dépendent
des paramètres du système flou utilisé.
La commande par mode glissant, avec des surfaces non linéaires, sollicite une énergie
importante, ceci se voit par l’ordre des valeurs du critère J1 dans les tableaux V.1 et V.2. De
plus, comme nous l’avons dis au préalable, cette commande présente des oscillations très
rapides, ce qui donne naissance au chattering, (phénomène indésirable). Toutefois, cette
Critère
Commandes développées pour le quadrotor
Commande par mode glissant avec des
surfaces non linéaires [117-119]
Commande par mode glissant d’ordre deux
[120]
Commande par linéarisation entrée-
sortie [59, 121]
Commande par linéarisation entrée-sortie avec extension
dynamique [122]
sim 1 sim 2 sim 1 sim 2 sim 1 sim 2 sim 1 sim 2
1
1
1
2
pT
k
J u u
7.008×105 7.006×105 6.82×104 6.82×104 6.83×105 6.82×105 6.82×104 6.82×104
2
1
1
2
pT
k
J e e
2.33×104
2.64×103
1.47×103 365.67 1.28×104 1.23×104 1.10×103 757.45
Critère
Commandes développées pour le quadrotor (suite)
Commande par mode glissant flou avec des
surfaces de glissement non linéaires
Commande par mode glissant et backstepping [58, 123]
Commande par mode glissant flou et backstepping
sim 1 sim 2 sim 1 sim 2 sim 1 sim 2
1
1
1
2
pT
k
J u u
6.82×104 6.80×104 6.97×104 6.95×104 5.36×104 5.32×104
2
1
1
2
pT
k
J e e
908.65 197.84 1.055×103 194.03 805.96 232.41
140
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
commande manifeste une robustesse vis-à-vis des perturbations exogènes et des erreurs de
modélisation.
La commande hybride par mode glissant et backstepping nous offre une méthode
systématique pour la synthèse des surfaces de glissement. Néanmoins, cette approche
nécessite un développement mathématique avancé.
V.7. Commande par mode glissant flou et backstepping à base d’observateur du quadrotor
Nous présentons ici une nouvelle structure de commande pour le quadrotor à travers la
synthèse d’un observateur non linéaire, pour pouvoir parer aux problèmes suivants :
Erreurs de modélisation.
Etats non accessibles.
Bruits ou perturbations extérieurs.
V.7.1. Synthèse de l’observateur
Considérons le modèle du système (II.65), et soit le vecteur X̂ l’estimé du vecteur X ,
le modèle de l’observateur est une copie du modèle d’origine (celui du système) en ignorant
les couples aux effets gyroscopiques, les frottements aérodynamiques et les forces de trainées.
Il se présente comme suit :
1 12ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[ ,..., ] , , , , , , , , , , ,TX x x x x y y z z
(V.101)
1 2 1
12 11 9 7 11 7 2
3 4 3
14 11 9 7 11 7 4
5 6 5
9 116 1 6
7 8 7
8 3 4 8
9 10 9
10 2 3 10
11 12 11
ˆ ˆ
ˆ cos sin cos sin sin
ˆ ˆ
ˆ cos sin sin sin cos
ˆ ˆ
cos cosˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
x x
Ux x x x x x
m
x x
Ux x x x x x
m
x x
x xx U g
m
x x
x b U
x x
x b U
x x
12 1 2 12x b U
(V.102)
La dynamique des erreurs d’estimation est donnée par :
141
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
1 2 1
2 2
3 4 3
4 4
5 6 5
6 6
7 8 7
8 8
9 10 9
10 10
11 12 11
12 12
e e
e
e e
e
e e
e
e e
e
e e
e
e e
e
(V.103)
Tel que ˆi i ie x x (V.104)
Les erreurs d’estimation sont données par les relations suivantes :
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9
10 10 10
11 11 11
12 12 12
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
e y y
e x x
e y y
e x x
e y y
e x x
e y y
e x x
e y y
e x x
e y y
e x x
(V.105)
Le vecteur de sortie est donné par :
1 3 5 7 9 11TY x x x x x x (V.106)
Pour pouvoir calculer les gains d’observation il est nécessaire que la dynamique de
l’erreur d’estimation (observation) soit stable. Pour se faire nous choisissons une fonction de
Lyapunov candidate fonction de cette dernière et nous essayons ensuite de prouver la stabilité.
Soit : 2 21 2 1 2
1,
2V e e e e (V.107)
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 2
,V e e e e e e
e e e
(V.108)
1 2, 0V e e si et seulement si :
1 1 1 2 1
2 1
e sign e
e
, 1 2, 0 (V.109)
Nous procédons de la même manière pour calculer les autres gains comme suit :
142
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
3 3 3 4 3
4 3
5 5 5 6 5
6 5
7 7 7 8 7
8 7
9 9 9 10 9
10 9
11 11 11 12 11
12 11
e sign e
e
e sign e
e
e sign e
e
e sign e
e
e sign e
e
(V.110)
V.7.2. Synthèse des lois de commande
Dans ce qui suit, nous allons présenter une nouvelle structure de commande basée
essentiellement sur l’observateur non linéaire présenté par la figure V.53. Nous considérons
que la sortie du système est soumise à des bruits, supposés gaussiens, dues à la navigation
dans des zones de turbulences atmosphériques.
En premier lieu, nous nous permettons de modéliser ces perturbations extérieures par
des bruits blancs additifs à la sortie du système Y (V.106) qui sont de nature gaussienne. En
second lieu, l’effet de ces perturbations est modélisé en biaisant les paramètres du système.
Pour se faire nous proposons un schéma de commande donné par la figure V.53.
Figure V.53. Structure de commande avec observateur.
La loi de commande donnée par (V.99) doit assurer une stabilité exponentielle afin de
garantir la stabilité globale de notre asservissement. Dans cette loi, la commande attractive
fbsu est calculée par le système d’inférence flou décrit dans le paragraphe V.5.1, et la
commande équivalente ueq est calculée par :
Contrôleur d’orientation
dd
dd
dd
,
,
,
x
y
z
1U
x
x
y
y
z
z
Ob
servateu
r no
n lin
éaire
zyxzyx ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ
Contrôleur de position
, , ,
, , ,
, , ,
d d d d
d d d d
d d d d
x y z
x y z
x y z
Trajectoire de reference
+
+
Bruit blanc gaussien
2U
3U
4U
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,
Bruit blanc gaussien
143
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
1 11 6 5 6 11 911 9
22 2 12 1 10 8 3 10 11 12
1
23 5 10 4 8 12 6 12 9 10
2
24 8 8 7 10 12 7
3
ˆ ˆ ˆ ˆ, cos cos 0ˆ ˆcos cos
1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
1ˆ ˆ ˆ
eq d d
eq d d
eq d d
eq d d
mU a x z g z x x x
x x
U a x a x x a x xb
U a x a x x a x xb
U a x a x xb
8
9 2 1 2 11
10 4 3 4 11
ˆ
ˆ ˆ , 0
ˆ ˆ , 0
xeq d d
yeq d d
x
mU a x x x x U
U
mU a x y y x U
U
(V.111)
Les nouvelles surfaces de glissement choisies sont définies comme suit :
12 12 11 11 11 11
10 10 9 9 9 9
8 8 7 7 7 7
2 2 1 1 1 1
4 4 3 3 3 3
6 6 5 5 5 5
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
d d
d d
d d
x d d
y d d
Z d d
S z x x x x
S z x x x x
S z x x x x
S z x x x x
S z x x x x
S z x x x x
(V.112)
V.7.3. Résultats de simulation
Dans ces simulations la situation suivante a été considérée :
- bruit gaussien, de valeur moyenne nulle, additif à la mesure avec un écart-type égale à 2 m pour
les capteurs de position et 0.05 rad pour celui des angles.
- variation de 100% des paramètres ai et de 100% des paramètres bi pendant la durée de 20 à 25
secondes.
Les résultats obtenus sont représentés par les figures V. 54 à V. 62.
(a) (b)
(c) (d) Figure V.54. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes , , ,X Y Z
0 5 10 15 20 25 30 35 40-3
-2
-1
0
1
2
3
Temps (s)
x (m
)
Désirée Réelle
Estimée
0 5 10 15 20 25 30 35 40-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Temps (s)
y (m
)
Désirée Réelle
Estimée
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1 -0.5
0 0.5
1 1.5
2 2.5
Temps (s)
z (m
)
Désirée Réelle
Estimée
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps (s)
ksi (
rad)
Désirée
Réelle
Estimée
.
144
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.55. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes ,
Figure V.56. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes , , ,X Y Z
Figure V.57. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes ,
(a) (b)
(a) (b)
(c) (d)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Temps (s)
phi (r
ad)
Réelle
Estimée
Temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
the
ta (
rad)
Réelle
Estimée
Temps (s)
2.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1
-0.5
0 0.5
1 1.5
2
xp
t (m
/s)
Réelle
Estimée
Temps (s) 0 5 10 15 20 25 30 35 40
-0.5
0
0.5
1
1.5
yp
t (m
/s)
Réelle
Estimée
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps (s)
zpt
(m/s
)
Réelle
Estimée
2
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.2
0 0.2
0.4
0.6
0.8
1 1.2
ksip
t (r
ad/s
)
Réelle
Estimée
(b)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
the
tapt
(ra
d/s
)
Réelle
Estimée Réelle
Estimée
(a) Temps (s)
Réelle
Estimée
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0 0.1
0.2
0.3
0.4
phip
t (r
ad/s
)
Réelle
Estimée
.
.
.
145
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.58. Erreurs d’estimation sur les trajectoires réelles selon les axes , ,X Y Z
Figure V.59. Erreurs d’estimation sur les trajectoires réelles selon les angles ,
Figure V.60. Erreurs d’estimation sur les trajectoires réelles selon les axes , , ,X Y Z
(a) (b)
(c) (d)
(a) (b)
(a) (b)
(c) (d)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps (s)
Erreur d'estimation sur l'axe x
e
rreu
r (m
)
Temps (s) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Erreur d'estimation sur l'axe y
err
eu
r (m
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps (s)
Erreur d'estimation sur l'axe z
err
eu
r (m
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Temps (s)
Erreur d'estimation sur l'axe ksi
err
eu
r (r
ad)
Temps (s)0 5 10 15 20 25 30 35 40
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3Erreur d'estimation sur l'axe phi
err
eu
r (r
ad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Temps (s)
Erreur d'estimation sur l'axe theta
err
eu
r (r
ad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
Erreur d'estimation sur l'axe xpt
err
eu
r (m
/s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
Erreur d'estimation sur l'axe ypt
err
eu
r (m
/s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Temps (s)
Erreur d'estimation sur l'axe zpt
err
eu
r (m
/s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Temps (s)
Erreur d'estimation sur l'axe ksipt
err
eu
r (r
ad/s
) .
.
.
146
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
Figure V.61. Erreurs d’estimation sur les trajectoires réelles selon les axes ,
Figure V.62. Les signaux de commande.
Les différentes figures montrent que les performances obtenues par cette commande
sont acceptables et que l’observateur non linéaire permet de reconstruire les variables
estimées avec une erreur faible.
V.8. Conclusion
Nous avons envisagé, dans ce chapitre, l’idée de combiner plusieurs techniques de
commande pour améliorer les performances de commande et atténuer le phénomène de
chattering associé à la commande par mode glissant. Plus précisément, nous avons considéré
l’association des commandes par mode glissant et logique floue, la commande par mode
glissant et la commande par backstepping et enfin les trois commandes : mode glissant,
logique floue et backstepping. Les résultats de simulation de la commande des deux systèmes
aéronautiques (TRMS et quadrotor) ont montré l’efficacité de cette approche hybride. En
effet, la commande par mode glissant flou et la commande par mode glissant flou et
backstepping permettent d’atténuer d’une manière considérable le phénomène de chattering
(a) (b)
(a) (b)
(c) (d)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0
2
4
6
8
Temps (s)
la c
om
ma
nd
e U
1 (
N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Temps (s)
la c
om
ma
nd
e U
2 (
N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.01
0
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
Temps (s)
la c
om
ma
nd
e U
4 (
N.m
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Temps (s)
la c
om
ma
nd
e U
3 (
N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Temps (s)
Erreur d'estimation sur l'axe phipt
e
rreu
r (r
ad/s
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Temps (s)
Erreur d'estimation sur l'axe thetapt
err
eu
r (r
ad/s
)
.
147
Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping
tout en préservant la robustesse de la commande par mode glissant. En plus, la technique
backstepping offre une méthode systématique pour la synthèse des surfaces de glissement et
garantit la stabilité du système. Nous avons aussi envisagé l’idée d’associer un observateur à
la commande par mode glissant flou et backstepping. Outre, la précision de poursuite des
trajectoires de référence, la loi de commande obtenue présente une bonne robustesse vis-à-vis
des perturbations externe et le biais des paramètres.
Conclusion générale
Conclusion générale
148
Conclusion générale
Conclusion générale
Avec la croissance de l’intérêt des UAV, celui des avions à atterrissage et à décollage
verticaux (VTOL) et le besoin d’une instrumentation discrète et surtout légère, le quadrotor a
connu une grande popularité ces dernières années. Cela dit, la principale motivation pour ce
travail de recherche était la synthèse de lois de commande stabilisantes pour ce type
d’appareils.
Le quadrotor et le TRMS 33-007-4M5 sont des systèmes complexes non linéaires,
multi-variables, instables notamment en mode de vol quasi-stationnaire et présentent une
dynamique fortement couplée. Le problème traité consiste à garantir en premier lieu la
stabilité de ces systèmes ainsi que la poursuite de trajectoires avec plus ou moins des
performances acceptables vis-à-vis le milieu de navigation.
Souvent la commande de tels systèmes évoque de prés les problèmes de la
modélisation dynamique ainsi que le problème de la fidélité du modèle au comportement
dynamique du système, dans tous les modes de vol. Dans ce travail, nous nous somme basé
dans le développement du modèle dynamique du quadrotor sur les travaux de recherche
relatifs à l’identification expérimentale des paramètres d’un quadrotor prototype existant au
niveau de LISV [67]. Pour aboutir à un modèle, le plus réaliste et le plus représentatif
possible, nous avons pris en considération toutes les forces et tous les moments influant sur le
système. Pour le TRMS 33-007-4M5 nous avons utilisé le modèle dynamique délivré par la
société feedback [65].
L’un des objectifs de cette thèse était d’envisager la commande à structure variable
avec une nouvelle vision permettant d’améliorer ses performances. Pour cela, des méthodes
de commande par mode de glissement ont été développées et pour lesquelles des surfaces de
glissement non linéaires ont été proposées. L’autre direction que nous avons suivie, pour
améliorer les performances de cette technique de commande, est celle qui consiste à associer
la commande floue et la commande par mode de glissement. Dans le but de développer une
méthode permettant la synthèse systématique des surfaces de glissement, nous avons aussi
associé la technique de commande par backstepping à la commande par mode de glissement
et la commande par mode glissement flou.
Les résultats obtenus montrent le bon fonctionnement des lois de commande
proposées à travers les performances enregistrées, aussi bien pour les simulations effectuées
sur le modèle du TRMS 33-007-4M5 que pour celles effectuées sur le quadrotor.
149
Conclusion générale
Cette étude nous a permis de tirer les conclusions suivantes :
En plus de l’amélioration des performances de commande, les avantages de la commande
à structure variable classique avec des surfaces de glissement linéaires ; à savoir la
robustesse vis-à-vis des variations paramétriques et des perturbations exogènes et la
simplicité de synthèse, sont préservés dans la commande à structure variable basée sur
des surfaces de glissement non linéaires.
L’association de la commande floue à la commande par mode de glissement permet
d’atténuer l’effet de chattering, l’inconvénient principal de la commande à structure
variable.
L’introduction de la commande récursive, connue sous le nom backstepping, nous offre
une méthode systématique pour la synthèse des surfaces de glissement. Toutefois, pour
les systèmes d’ordre supérieur, cette approche s’avère difficile à manipuler. En effet, la
synthèse d’une loi de commande via le backstepping nécessite un développement
mathématique un peu compliqué.
A l’issue des travaux réalisés, cette thèse ouvre de nouvelles perspectives de recherche parmi
lesquelles nous citons :
Mise en ouvre expérimentale des lois de commande développées sur le TRMS et le
quadrotor.
Généraliser l’étude des lois de commande proposées pour le cas discret.
Utilisation des algorithmes d’optimisation pour la détermination des différents
paramètres de la loi de commande.
La reformulation des méthodes développées dans un contexte adaptatif.
Validation des commandes proposées sur d’autres types des avions sans pilote.
LISTE DES PUBLICATIONS ET COMMUNICATIONS Publications Internationales : 1- S.ZEGHLACHE, D.SAIGAA, K.KARA, A.HARRAG and A.BOUGUERRA,” Fuzzy Based Sliding
Mode Control Strategy for an Uav Type-Quadrotor”, The Mediterranean Journal of Measurement and Control, Vol. 8, No. 3, pp. 436-445, 2012.
2- S.ZEGHLACHE, D.SAIGAA, K.KARA, A.HARRAG and A.BOUGUERRA,” Backstepping sliding
mode controller improved with fuzzy logic: Application to the quadrotor helicopter”, Archives of control Sciences, Vol. 22, No. 3, pp. 255-282, 2012.
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Control with Chattering Elimination for a Quadrotor Helicopter in Vertical Flight”, Proceedings of the 7th international conference on Hybrid Artificial Intelligent systems-Volume Part I, Pages 125-136, Springer-Verlag Berlin Heidelbreg, 2012.
2- S.ZEGHLACHE, D.SAIGAA, K.KARA and A.BOUGUERRA,”Dynamic Feedback Linearization Strategy Based Lunberger Observer for a 6DOF Quadrotor Helicopter”, Proceeding of the International Science and Technology Conference (ISTEC’2012), Pages 413-420, Dubai, UAE.
3- S.ZEGHLACHE, Abderrahmen BOUGUERRA and Djamel SAIGAA,”Super Twisting Control algorithm Applied to the 2DOF Helicopter (TRMS system)”, Proceeding of the 12th International conference on Sciences and Techniques of Automatic control & computer engineering, 2011, Sousse, Tunisia.
4- S.ZEGHLACHE, Abderrahmen BOUGUERRA and Djamel SAIGAA,” Feedback Linearization Control of a Helicopter-like Twin Rotor MIMO System in Coupled Configuration”, Proceeding of the 12th International conference on Sciences and Techniques of Automatic control & computer engineering, 2011, Sousse, Tunisia.
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Résumé
La théorie des systèmes à structure variable fait l’objet de multiples études depuis une cinquantaine d’années. Le but de ce travail est d’entamer cette commande avec une nouvelle vision. Pour cela, des méthodes de commande par mode de glissement ont été abordées. En premier temps, des surfaces de glissement non linéaires ont été proposées. La première méthode mise en évidence est une commande à structure variable basée sur les surfaces non linéaires. La deuxième, fait appel aux outils de l’intelligence artificielle pour remédier aux problèmes de la commande à structure variable classique, à savoir la logique floue. Quant à la troisième, c’est une commande hybride glissante-backstepping, dont le souci est de trouver une méthode systématique pour la synthèse des surfaces de glissement. Les lois de commande développées, dans ce travail, ont été validées par simulation sur un hélicoptère à deux degrés de liberté type TRMS 33-007-4M5 et un hélicoptère à six degrés de liberté type quadrotor. Une tentative de comparaison entre les méthodes est réalisée en termes de performance et de robustesse. En outre, le domaine d’observation non linéaire est exploré et on a aboutit à la synthèse d’un observateur non linéaire pour notre quadrotor afin de reconstruire le vecteur d’état d’une façon complète ou d’une façon partielle et d’estimer les états non mesurables et les effets des perturbations extérieures tels que le vent et les bruits.
Mots clés: Mode de glissement, Backstepping, commande non linéaire, commande floue, commande hybride, observateur non linéaire, modèle dynamique.
Abstract The theory of variable structure system is the subject of multiple studies since about fifty years. The aim of this work is to study this method of control with a new vision. For that, several methods of sliding mode control were reached. At first, nonlinear sliding surfaces were proposed. Then, the first method highlights a variable structure controller based on nonlinear surfaces suggested as above. The second calls the artificial intelligence tools to cure the problems of the traditional variable structure controller: fuzzy logic. The third, it is a hybrid controller sliding–backstepping, while the objective of this combination is to find a systematic method for the synthesis of the sliding surfaces. The developed controllers, in this work, were validated by simulation on the two degree of freedom helicopter type TRMS 33-007-4M5, and in the other side, for the six degree of freedom helicopter type quadrotor. Moreover, the field of nonlinear observation is explored, so we have synthesized nonlinear observers for our quadrotor in order to reconstruct completely or partially the state vector and to estimate the unmeasured states and the effects of the external disturbances such as wind and noise.
Key words: Sliding mode, Backstepping, nonlinear control, fuzzy control, hybrid control,
nonlinear observer, dynamic modelling.
ملخص
في ھذا العمل نتطرق إلى ھذه . الخمسة عقود األخیرة كانت نظریة التحكم اإلنزالقي وال زالت إحدى مجاالت البحث العلمي خاللفي بادئ األمر اقترحنا مساحات . الطریقة في التحكم من منظور جدید، حیث تمحورت دراستنا حول عدة طرق للتحكم اإلنزالقي
أما في.إلنزالقیة المذكورة سلفافالطریقة المقترحة األولى تبرز خوارزم للتحكم اإلنزالقي إعتمادا على المساحات ا. إنزالقیة غیر خطیةوبغیة إیجاد طریقة نظامیة لحساب المساحات اإلنزالقیة، قمنا . الطریقة الثانیة فنستعین بتقنیات الذكاء اإلصطناعي كالمنطق الغامض
ذا العمل، تم إختبارھا قوانین التحكم المقترحة في ھ. خالل الطریقة الثالثة بمزج التحكم اإلنزالقي مع طریقة التحكم بالرجوع المرحليوطائرة مروحیة ذات ستة درجات حریة من TRMS 33-007-4M5بالمحاكاة على طائرة مروحیة ذات درجتي حریة من نوع
بدراسة كما قمنا بالمقارنة بین تقنیات التحكم المقترحة من خالل مزایا ومتانة كل تقنیة، كما قمنانوع رباعیة المروحیات، بھدف التحكم في . من نوع رباعیة المروحیاتمااوصلنا إلى تطویر مراقب الخطي خاص بالروبوت الطائر المراقبة الالخطیة
.وجود إظطرابات خارجیة أو عجز على مستوى أجھزة القیاس بغیة إعادة تشكیل شعاع الحالة للنظام بصفة كاملة أو جزئیة
مراقب ،ھجین تحكم التحكم بالمنطق الغامض، تحكم الخطي، المرحلي، بالرجوع التحكم التحكم اإلنزالقي، :كلمات مفتاحیة
.الخطي، نموذج دینامیكي