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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA “LA SAPIENZA”
DIPARTIMENTO DI INFORMATICA E SISTEMISTICA
NONLINEARITÀ
ALESSANDRO DE CARLIANNO ACCADEMICO 2000-2001aggiornata al 29 ottobre, 2000
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
2
RUMORE
STRUMENTAZIONE
MODALITÀDI CONTROLLO
(t) m(t)
DISTURBO
SISTEMA DACONTROLLARE
u(t) y(t)d(t)
ATTUATOREREGOLATORE
P I D
TRASDUTTORE
r(t)
y*(t)
AZIONEDINAMICA DICONTROLLO
AMPLIFICATOREDI POTENZANONLINEARE
SORGENTEPRIMARIA DI
ALIMENTAZIONE
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
3
NON LINEARITÀ TIPICHE DI UN ATTUATORE
SATURAZIONEE SATURAZIONE
SOGLIA ISTERESI
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
4
SISTEMA DACONTROLLARE
ATTUATOREMODALITÀ
DI CONTROLLO
y*(t) y(t)u(t)u*(t)e(t)
d(t)
ATTUATOREDIMENSIONATO
AL 120%
REGOLATOREDI TIPO
INTEGRALEG(s) =
KI
s
KI s1
DISPOSITIVODI MISURA
CONTROREAZIONEISTANTANEA
PROPORZIONALEH(s) = 1
P(s) =1
(1 + s)3
0 10 20 30 40 50tempo (sec)
KI = .95
0 10 20 30 40 50tempo (sec)
KI = .30
0 10 20 30 40 500
.2
.4
.6
.8
1
1.2
tempo (sec)
KI = .21
EFFETTO DELLA SATURAZIONE
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
5
SISTEMA DACONTROLLARE
ATTUATOREMODALITÀ
DI CONTROLLO
y*(t) y(t)u(t)u*(t)e(t)
d(t)
DISPOSITIVODI MISURA
CONTROREAZIONEISTANTANEA
PROPORZIONALEH(s) = 1
P(s) =1
s(1 + s)3
ATTUATORELINEAREG(s) = KP
REGOLATOREDI TIPO
PROPORZIONALE
KP
KP = .35
0 10 20 30 40 500
.2
.4
.6
.8
1
1.2
tempo (sec)
1.4
-.2
KP = .35
0 10 20 30 40 500
.2
.4
.6
.8
1
1.2
tempo (sec)
1.4
-.2
KP = .70 KP = 1.09
0 10 20 30 40 50tempo (sec)
0
-1
1
2
ATTUATOREZONA MORTA
15 %
EFFETTO DELLA SOGLIA
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
6
VERIFICA DELLA STABILITÀ DI SISTEMI A CONTROREAZIONE
CON NONLINEARITÀ ISTANTANEAIPOTESI 1 NON LINEARITÀ ISTANTANEA
3 COMPORTAMENTO DINAMICO NELL’INTORNO DEL PUNTO DI LAVORO DI TIPO LINEARE INTRINSECAMENTE STABILE
4 PARAMETRI DEL MODELLO DINAMICO CONCENTRATI E COSTANTI
2 FUNZIONAMENTO NELL’INTORNO DI UN PUNTO DI LAVORO
5 MODALITÀ DI CONTROLLO DI TIPO DINAMICO, LINEARE, A PARAMETRI COSTANTI
6 CONTROREAZIONE ISTANTANEA DI TIPO PROPORZIONALE
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
7
IPOTESI
8 PERTURBAZIONI COSTITUITE DA DISTURBI DI TIPO IMPULSIVO
7 SISTEMA CONTROLLATO FUNZIONANTE IN REGIME PERMANENTE IN ASSENZA DI DISTURBI
9 CARATTERISTICA STATICA DELLA NON LINEARITÀ PARZIALMENTE NOTA, MA SEMPRE DI VALORE FINITO E CONTENUTA SOLO NEL PRIMO E NEL TERZO QUADRATE. ASSUME VALORE NULLO SOLO E UNICAMENTE NELL’ORIGINE
METODO VERIFICA CHE IL SISTEMA CONTROLLATO, UNA VOLTA PERTURBATO, RITORNI NELLE STESSE CONDIZIONI DI FUNZIONAMENTO CHE SI AVEVANO PRIMA DELLA PERTURBAZIONE
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
8
STRUTTURA DI RIFERIMENTO
IPOTESI 7 VARIABILE DI RIFERIMENTO MANTENUTA AL VALORE NULLO, OSSIA y*(t) = 0
IPOTESI 2 DINAMICA DEL SISTEMA DA CONTROLLARE DESCRITTA DA P(s)
IPOTESI 5 DINAMICA DELLA MODALITÀ DI CONTROLLO DESCRITTA DA G(s)
IPOTESI 8 DISTURBO DI TIPO IMPULSIVO, OSSIA d(t) = (t)
MODALITÀ
DI CONTROLLO
NON LINEARITÀ
ISTANTANEA
SISTEMA DA
CONTROLLARE
y*(t) y(t)
d(t)u(t) f(u(t))
y*(t)f(u(t))
(t)
G(s) P(s)
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
9
IPOTESI 9 CARATTERISTICA STATICA DELLA NON LINEARITÀ CONTENUTA NEL SETTORE ILLUSTRATO IN FIGURA
u
f(u)
u = 0 f(0) = 0
f(u(t)) u(t) dt <
0
f(u)u0 < <
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
SISTEMADA CONTROLLARE
u(t) y(t)
d(t)
u(t) y(t)
d(t)
1 1 0
1 10
10 0
0
11( )
3x(t) =•
x(t) + u(t)
y(t) = [ 1 0 0 ] x(t)
u(t) y(t)
x0(t*) = [ (t*) 0 0 ]’
t*
(t)
IPOTESI 8 PERTURBAZIONE DI TIPO IMPULSIVO
10
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MODELLO DINAMICO
LINEARE
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
11
x(t) = A x(t) - b f(u(t))u(t) = c’ x(t)
y*(t) = 0 u(t)f(u(t))
d(t)x0
SCHEMA A BLOCCHI EQUIVALENTE
uf(
u)MODELLO
NONLINEARITÀ
ISTANTANEA
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
12
CRITERIO DI LIAPUNOV PER LA VERIFICA DELLA STABILITÀ
FORMULAZIONE GENERALE
V(t) = x(t)T P x(t)SI DEFINISCE P MATRICE SIMMETRICA DEFINITA POSITIVA
SI RICAVA V (t)= x(t)T P x(t) + x(t) P x(t)• • •
TENUTO CONTO x(t) = A x(t) x(0) = x0•
= x(t)T (AT P + P A ) x(t) = x(t)T Q x(t)
Q > 0 DEFINITA POSITIVA INSTABILITÀ
Q = 0 SEMIDEFINITA POSITIVA STABILITÀ
Q < 0 DEFINITA NEGATIVA STABILITÀ ASINTOTICA
•V(t) = [x(t)T AT P x(t) + x(t)T P A] x(t) =
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INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
13
FORMULAZIONE ESTESA ALLA NONLINEARITÀISTANTANEA IN CONTROREAZIONE
V(t) = x(t)T P x(t)SI DEFINISCE
SI RICAVA V (t)= x(t)T P x(t) + x(t) P x(t)• • •
TENUTOCONTO x(t) = A x(t) - b f(e(t)) x(0) = x0
•
f(e(t)) e(t) dtt
0+
+ 2 f(e(t)) e(t)
x(t)T P [A x(t) - b f(e(t))] x(t) +
2 f(e(t)) cT x(t)
= x(t)T (AT P + P A ) x(t) + 2 f(e(t)) [bT P - cT] x(t)
V(t) = [ x(t)T AT - bT f(e(t)) ] P x(t) +•
[bT P - cT]
NON LINEARITÀ
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INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
14
PER LA CLASSE DI SISTEMI DINAMICI IN CUI È POSSIBILE INDIVIDUARE UNA MATRICE DEFINITA POSITIVA P TALE DA SODDISFARE LA SEGUENTE RELAZIONE
[bT P - cT] = 0 P b = cOSSIA
IL SISTEMA A CICLO CHIUSO MANTIENE IL FUNZIONAMENTO NELL’INTORNO DEL PUNTO DI LAVORO SE IL SISTEMA DA CONTROLLARE È STABILE
ESEMPIO
x(t) =•0 1-2 -3
x(t) + 01
u(t)
1 x(t)y(t) = 1.5
MODELLO DINAMICODEL SISTEMA DA CONTROLLARE
P =1
LA MATRICE P SIA DEFINITA IN FORMA PARAMETRICA
È DEFINITA POSITIVA
SE - 2 > 0
s2 + 3 s + 2s + 1.5
G(s) = =
(s + 1)(s + 2)s + 1.5
NON LINEARITÀ
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=P b c
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
15
- SE I VALORI DI e CHE VERIFICANO LA CONDIZIONE P b = c SONO TALI DA RENDERE LA MATRICE P DEFINITA POSITIVA
01
11.5
1
RISOLVENDO SI OTTIENE = 1 , = 1.5 PER CUI =P11
11.5
IL SISTEMA A CICLO CHIUSO È STABILE
- LA MATRICE Q = P A + AT P È DEFINITA NEGATIVA
P A + AT P =11
11.5
0-2
1-3
01
-2-3
11
11.5
+-2-3
-2-3.5
= +-2-3
-2-3.5
= -4-5
-5-7
q11 = -4 < 0q11 q22 - q12 q21 = -4 • -7 - (-5 • -5) = -3 < 0
Q DEFINITA
NEGATIVA
LA CONDIZIONE DI STABILITÀ È VERIFICATANON LINEARITÀ
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
16
AT P + P A + j P - j P
= - [(-j I - AT) P + P (j I - AT) ] = - Q = Q’(j I - AT)
=
[(-j I - AT) P (j I - AT)-1 + P (j I - AT) (j I - AT)-1
= Q’ (j I - AT)-1
[ (-j I - AT) P (j I - AT)-1 + P ] = Q’ (j I - AT)-1
(-j I - AT)-1[ (-j I - AT) P (j I - AT)-1
+ (j I - AT)-1(-j I - AT)-1P ] = Q’(-j I - AT)-1
(-j I - AT)
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FORMA QUADRATICA DEFINITA POSITIVA
PER ( j I - AT) NON SINGOLARE
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
17
P (j I - AT)-1 +
(j I - AT)-1(-j I - AT)-1
P =
Q’
(-j I - AT)-1
P (j I - AT)-1 + P(-j I - AT)-1 > 0
P (j I - AT)-1 + P(-j I - AT)-1 > 0bT bTb bT
COMPLESSE CONIUGATE
2 Re [bTP (j I - A)-1 b ] > 0
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= cT (j I - A)-1 b bTP
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
18
G(j) = cT (j I - A)-1 b
cT = bTP
cT
2 Re [bTP (j I - A)-1 b ] > 0
Re [ G(j)] > 0
CONDUZIONE SUFFICIENTE AFFINCHÈ IL SISTEMA A CICLO CHIUSO, COSTITUITO DA UN SISTEMA DINAMICO STABILE LINEARIZZATO INTORNO AD UN PUNTO DI LAVORO, E DA UNA NON LINEARITÀ ISTANTANEA, LA CUI CARATTERISTICA STATICA SIA COMPRESA NEL PRIMO E NEL TERZO QUADRANTE E SIA NULLA SOLO NELL’ORIGINE, RITORNI NELLA CONDIZIONE DI FUNZIONAMENTO NOMINALE DOPO UNA PERTURBAZIONE DOVUTA AD UN DISTURBO DI TIPO IMPULSIVO
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
19
f(0) = 0
f(e)e <0 <
e
f(e)
Re [ G(j) ] > 0
y*(t) = 0 e(t) f[e(t)] y(t)
(t)
PER IL SISTEMA ILLUSTRATO IN FIGURA È VERIFICATA LA CONDIZIONE DI
STABILITÀ ASSOLUTA
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
20
()k
* = - ()
k
e
f(e
) k e
()
(
)
*
()* f (
e)
e
k e
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e(t) f[e(t)]
e(t) f[e(t)]
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
21
t)
1
k
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
22
y*t)=0 f[et)] y(t)G(j)
(t)
et)
e(t) f [e(t)]t)
1k
G(j)y*t)=0 yt)
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
23
e(t) f [e(t)]t)
1k
G(j)y*t)=0 yt)
f [e(t)]G(j)
yt)
1k
e(t)y*t)=0
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
24
f [e(t)]G(j)
yt)
1k
e(t)y*t)=0
yt)G(j) + 1
kf [e(t)]e(t)y*t)=0
Re [ G(j) + k ] > 01k
G( j )k1
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
25
SISTEMA DA CONTROLLARE INCERTEZZE DOVUTE ALLE VARIAZIONI DEI PARAMETRI FISICI
G( j )
NONLINEARITÀCARATTERISTICA STATICA
COSTANTE
SISTEMA DA CONTROLLAREA PARAMETRI COSTANTI
G( j )
NONLINEARITÀCARATTERISTICA STATICAVARIABILE IN UN SETTORE
BEN DEFINITO
k 2
k1
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e(t) f[e(t)]
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
26
k2
k1
e(t) f[e(t)]
(k2- k1)
k1
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
27
e(t) f[e(t)]
k1
k2 - k1
1
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
28
e(t)y*(t)=0 f[e(t)]
G(j)y(t)
(t)
k1
k2 - k1
1
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
29
y*(t)=0
G(j)y(t)
(t)
k1
k2 - k1
1
f[e(t)]e(t)y*(t)=0
G(j)y(t)
(t)
k1k2 - k1
1
e(t)y*(t)=0 y(t)
(t)
k2 - k1
1
e(t) G(j)1+k1G(j)
y*(t)=0 y(t)
(t)
e(t) G(j)1+k1G(j)
1k2 -k1
+
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
30
y*(t)=0 y(t)
(t)
e(t) G(j)1+k1G(j)
1k2 -k1
+
G(j)1+k1G(j)
1k2 -k1
+Re > 0
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
31
G(j)1+k1G(j)
1k2 -k1
+Re > 0
1
k2 -k1
1+k2G(j)-k1G(j)+k1G(j)
1+k1G(j)Re > 0
1+k2G(j)
1+k1G(j)Re > 0
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
32
1+k2G(j)
1+k1G(j)Re > 0
Re > 0+G(j)1
k1
+G(j)1k2
Re[G(j)]+1k1
Re[G(j)]+1k2
Im[G(j)]+ > 02
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XYX
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
33
Re[G(j)]+1k1
Re[G(j)]+1k2
+ > 0Im[G(j)]2
Re[G(j)]2
Im[G(j)]2
Re[G(j)]+ +1k1
1k2
+ +1
k1 k2
> 0
+1k1
1k2
1k1 k2
> 0X 2 + Y 2 + X +
EQUAZIONE DI UNA CIRCONFERENZA
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
34
Re[G(j)]Im
[G(j
)]
G(j)
- 1k2
- 1k1
+1k1
1k2
1k1 k2
> 0X 2 + Y 2 + X +
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INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
35
d(t)
MODALITÀ
DI CONTROLLO
SISTEMA DA
CONTROLLARE
y*(t) y(t)u(t) f(u(t))f(u(t))
ATTUATOREVALVOLA DI
REGOLAZIONEREGOLATORE
P D
y*(t)=0
(t)
P(s)KP + KD sk(1 + q s)
G(s) = 1 + q s
G(s) P(s) = ( 1 + q s ) P(s)
1 + q sG(s)k
Re [ G(j) P(j) + ] > 01k
Re [ (1 + jq ) P(j) + ] > 01k
NON LINEARITÀ
Re[P(j) ] - q Im[P(j)] + > 01k
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YX
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
36
Re[P(j) ] - q Im[P(j)] + > 01k
EQUAZIONE DI UNA RETTA
Re[P(j)]
I
m[P
(j)]
1k
-
1q k
P*(j) = Re[P(j)] + j Im[P(j)]
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INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
37
d(t)
MODALITÀ
DI CONTROLLO
SISTEMA DA
CONTROLLARE
y*(t) y(t)u(t) f(u(t))f(u(t))
ATTUATOREVALVOLA DI
REGOLAZIONE
y*(t)=0
(t)
P(s)
G(s) = 1 + q s
G(s) P(s) = ( 1 + q s ) P*(s)
Re [ G(j) P*(j) + ] > 01k
Re [ (1 + jq ) P*(j) + ] > 01k
NON LINEARITÀ
Re[P*(j) ] - q Im[P*(j)] + > 01k
G(s)REGOLATOREP I D
KP +KD s +KI
sK
s(1+1s)(1+2s)K(1+1s) P(s)(1+2s)
sk(1 + q s)P(s)
sP*(s)1 + q s
k
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YX
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
38
Re[P*(j) ] - q Im[P*(j)] + > 01k
EQUAZIONE DI UNA RETTA
Re[P(j)]
I
m[P
(j)]
Re[P*(j)] + j Im[P*(j)]
1k
-
1q k
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1k
P(j
Re
ImIm
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
39
Re[P(j)] - Im[P(j)] + > 01k*
Re[P(j) + ] > 01k
1k*
P*(jRe
Im
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d (t)(t)
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
40
G(s)NONLINEARITÀ
y*(t) = 0 y(t)e(t) f(e(t))
tempo
tempo
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
41
EFFETTI DELLA NONLINAERITÀ SULL’ANDAMENTODELLE VARIABILI DI INGRESSO E DI USCITA VARIABILE
DI INGRESSOVARIABILEDI USCITA
SINUSOIDALE DISTORTA
NONLINEARITÀ
ARMONICA FONDAMENTALE DISTORSIONE
UTILIZZABILE AI FINI DEL CONTROLLO
QUASI TOTALMENTEATTENUATA DAL
SISTEMA DA CONTROLLARE
DALLA STRATEGIADI CONTROLLO
AL SISTEMADA CONTROLLARE
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
42
VARIABILE DI INGRESSOSINUSOIDALE
NONLINEARITÀ VARIABILE DI USCITA
ARMONICAFONDAMENTALE
ARMONICHESUPERIORI
EFFETTO QUASI TRASCURABILE
SULL’ANDAMENTO DELLA VARIABILE
CONTROLLATA
DINAMICAL’AMPIEZZA DIPENDE SIA DALL’AMPIEZZA
SIA DALLA PULSAZIONE DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO.
ISTANTANEAL’AMPIEZZA DIPENDE SOLO
DALL’AMPIEZZA DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO.
IN UN SISTEMA A CONTROREAZIONE, LA NONLINAERITÀ PUÒ ESSERE VISTA COME UN ELEMENTO CARATTERIZZATO DA UN GUADAGNO VARIABILE SIA CON L’AMPIEZZA SIA CON LA PULSAZIONE DEL SEGNALE DI INGRESSO
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
43
VARIABILE DI INGRESSOSINUSOIDALE
ARMONICAFONDAMENTALE
ARMONICHESUPERIORI
EFFETTO QUASI TRASCURABILE
SULL’ANDAMENTO DELLA VARIABILE
CONTROLLATA
NONLINEARITÀISTANTANEASIMMETRICA
AD UN VALORE
NONLINEARITÀISTANTANEASIMMETRICA
A DUE VALORI
LO SFASAMENTO FRA L’ARMONICA FONDAMENTALEE LA SINUSOIDE DI INGRESSO DIPENDE DALL’AMPIEZZA DI
QUEST’ULTIMA
SFASAMENTO NULLO FRA SINUSOIDE DI INGRESSO E
ARMONICA FONDAMENTALE
VARIABILE DI USCITA
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
44
FUNZIONAMENTO IN OSCILLAZIONE PERMANENTE
IN OSCILLAZIONE PERMANENTE LA NONLINEARITÀ È ASSIMILABILE AD UN GUADAGNO VARIABILE FUNZIONE DELLA:
- PULSAZIONE * DELLA OSCILLAZIONE PERMANENTE;
- AMPIEZZA E* DELLA ARMONICA FONDAMENTALE.
d (t)(t)
y*(t) = 0 y(t)e(t) f(e(t))NON
LINEARITÀ P(j)
ARMONICA FONDAMENTALE E RESIDUO ARMONICO
OSCILLAZIONE PERMANENTE ASSIMILABILE AD UNA SINUSOIDE
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
45
FUNZIONE DESCRITTIVA
IL GUADAGNO VARIABILE FUNZIONE, CALCOLATO COME RAPPORTO FRA L’AMPIEZZA DELLA ARMONICA FONDAMENTALE DELLA VARIABILE DI USCITA DALLA NONLINEARITÀ E L’AMPIEZZA DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO ALLA NONLINEARITÀ, È DETTA FUNZIONE DESCRIVA E INDICATA CON D(E*,* )
y(t)e(t) f(e(t))D(E*,*)FUNZIONE
DESCRITTIVAP(j)
y*(t) = 0
(t)
D(E*,*) =
AMPIEZZA DELLA ARMONICA FONDAMENTALE DELLA VARIABILE DI USCITA
AMPIEZZA DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
46
ANDAMENTI DI ALCUNE FUNZIONI DESCRITTIVE
ef(
e)
e
D(e
)
e
f(e)
-1
-1
e
D(e
)
1
e
f(e)
1-1
e
D(e
)1
1
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
47
ANDAMENTI DI ALCUNE FUNZIONI DESCRITTIVE
ef(
e)
-1
-1.2
e
D(e
)
1
.2 1
e
f(e)
e
D(e
)
Re[D(e)]
Im[D(e)]
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
48
d (t)(t)
G(s)y*(t) = 0 y(t)e(t) f(e(t))
k P(j)
W(j) =kP(j)
1 + kP(j)
CONDIZIONE DI OSCILLAZIONEPER UN SISTEMA LINEARE
ASSEGNATA LA P(j), INDIVIDUARE I VALORI DEL GUADAGNO k E DELLA PULSAZIONE RELATIVE ALLA OSCILLAZIONE AL LIMITE DI STABILITÀ
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GLI ALTRI POLICON PARTE REALE NEGATIVA
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
49
W(j ) =kP(j)
1 + kP(j)=
k N(P(j))
D(P(j)) + k N(P(j))=
k N(P(j))
(j)• • • ((j)2 + 2)=
k N(P(j))
(j)• • • ( -2 +
2 )0
W(j ) =
CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE AL LIMITE DI STABILITÀ
j
j
-j
COPPIA DI POLI COMPLESSI CON PARTE REALE NULLA
CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE RELATIVA A W(j)
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
50
CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE RELATIVA A G(j)
Re[P(j)]
Im[P
(j
)]
- 1
k P(j)
Re[P(j)] = - 1k
Im[P(j)] = 0
modulo |P(j)| = 1k
fase [P(j)] = -
y( t +T ) = y( t )
CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE RELATIVA A y(t)
t t+T t+2T
y( t + ) = - y( t )T2 t t+T/2 t+T
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
51
CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE PERMANENTE
OVVERO DI ESISTENZA DI CICLO LIMITE SI DEFINISCE CICLO LIMITE UNA OSCILLAZIONE PERMANENTE DI
PULSAZIONE COSTANTE E DI FORMA CHE SI RIPETE CICLICAMENTE
IN CORRISPONDENZA DEL FUNZIONAMENTO IN CICLO LIMITE SI HA:
W(j*) =D(E*,*) P(j*)
1 + D(E*,*) P(j*)=
OSSIA1 + D(E*,*) P(j*) = 0
CONDIZIONE DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITEPER SPECIFICI VALORI DI E* E DI *
SE IL SISTEMA DA CONTROLLARE HA CARATTERISTICHE FILTRANTI TALI DA RENDERE TRASCURABILE IL RESIDUO ARMONICO
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
52
SE LA NONLINEARITÀ È ISTANTANEA LA FUNZIONE DESCRITTIVA DIPENDE SOLO DALLA AMPIEZZA DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO.
LA CONDIZIONE DI ESISTENZA DI CICLO LIMITE RISULTA PERTANTO:
1 + D(E*) P(j*) = 0
VERIFICA DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITE
VERIFICA SE ESISTONO ESISTONO VALORI DI E* E DI * PER CUI È VERIFICATA LA SEGUENTE RELAZIONE
P(j*) = -1
D(E*)
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LA CONDIZIONE DI ESISTENZADEL CICLO LIMITE È VERIFICATA !
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
53
I VALORI DI E* E DI * SONO INDIVIDUATI TRACCIANDO
SEPARATAMENTE IL LUOGO DI P(j) PER COMPRESO FRA 0 E
E IL LUOGO DI -1/D(e) PER e COMPRESO FRA 0 E
= = 0
P(j)
e
e 0D(e)1
SOLO SE I LUOGHI SI INTERSECANO LA CONDIZIONE DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITE È VERIFICATA
= = 0
P(j)
e = 0 e
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LA CONDIZIONE DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITE NON È VERIFICATA
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
54
-1
SE IL SISTEMA A CONTROREAZIONE FOSSE STATO LINEARE SAREBBE STATO STABILE
tempo
usci
tafo
rzam
ento
LA NON LINEARITÀ DEGRADALE PRESTAZIONI MA NON ALTERA LA STABILITÀ
e 0
LUOGO RELATIVO ALLAFUNZIONE DESCRITTIVA DI UNA NONLINEARITÀ DI TIPO A SATURAZIONE
1
D(e)
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
55
-1
CICLO LIMITESTABILE
0 e
e
CICLO LIMITEINSTABILE
D(e)1
e
D(e
)
1
.2 1
FUNZIONE DESCRITTIVA
D E(e)d e
< 0PUNTI DI LAVORO STABILI
*
E*
y*(t) = 0 y(t)e(t) f(e(t))
(t)
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
56
-1
D(e)1
e
D(e
)FUNZIONE DESCRITTIVA
= 0 = e = 0 e
* = E* = 0
RISULTATONON VALIDO
!! IL CICLO LIMITE HA PULSAZIONE EAMPIEZZA FINITI !!
CONDIZIONE DIESISTENZA DELCICLO LIMITE
y*(t) = 0 y(t)e(t) f(e(t))
(t)
= 0 =
RISULTATOVALIDO
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
57
CALCOLO DIRETTO DELL’ANDAMENTO DEL CICLO LIMITE
VIENE APPLICATO QUANDO È ASSEGNATO :
- UN MODELLO AFFIDABILE DEL SISTEMA DA CONTROLLARE;
- LA CARATTERISTICA STATICA DELLA NON LINEARITÀ IN UNA FORMA ANALITICA DI TIPO POLINOMIALE
VIENE FISSATA LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ
x(t) = A x(t) + b u(t)y(t) = cT x(t)
•
u(t) = f(y(t))DAL MOMENTO CHE LA NON LINEARITÀ È INSERITA IN SISTEMA A CONTROREAZIONE, IL MODELLO RISULTA:
x(t) = A x(t) - b f [cT x(t)]•
y(T) = y(0)
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
58
PROCEDURA:
- IN CORRISPONDENZA DI UN VALORE ASSEGNATO DEL PERIODO T VIENE RICAVATO IL VALORE DELLA VARIABILE DI USCITA.
PER TRACCIARE L’ANDAMENTO DEL CICLO LIMITE OCCORRE DETERMINARE IL PERIODO T E IL VALORE DELLE CONDIZIONI INIZIALI x(0) = x0
y(T) = cT x(T) = cT (T) x0 + cT (T)
- VIENE CALCOLATO IL VALORE DELLE CONDIZIONI INIZIALI x0 IN FUNZIONE DEL VALORE ASSEGNATO DEL PERIODO T
x0 (T) = - [ I + (T) ] -1 + (T)
- VIENE INSERITA LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ
x0 (T) = (T) x0 + (T)
- VIENE CALCOLATO IL VALORE DELLA VARIABILE DI USCITA y(T) RELATIVA ALLE CONDIZIONI INIZIALI x0 (T) PRECEDENTEMENTE RICAVATE
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
59
- VIENE VERIFICATO SE LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ È EFFETTIVAMENTE VERIFICATA
- SE LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ NON È VERIFICATA VIENE MODIFICATO IL VALORE DEL PERIODO T E LA PROCEDURA RIPARTE DALL’INIZIO
- SE LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ È VERIFICATA VIENE CALCOLATO L’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI USCITA y(t) ALL’INTERNO DEL PERIODO.
- SE LA NONLINEARITÀ È SIMMETRICA VIENE FISSATO IL SEMIPERIODO T/2 E VIENE ADEGUATA LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ
ESEMPIO DI APPLICAZIONE
-1 1 00 -1 10 0 -1
x(t) = x(t) + u(t)001
•
È ASSEGNATO IL MODELLO DEL SISTEMA DA CONTROLLARE
y(t) = [ 1 0 0 ] x(t)
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
60
È LA NONLINEARITÀ È COSTITUITA DA UN RELÈ. IL MODELLO ANALITICO RISULTA
u(t) = - sign [ y(t) ]
DAL MOMENTO CHE TALE NONLINEARITÀ È DEL TIPO ISTANTANEO E SIMMETRICO, IL METODO SARà APPLICATO FACENDO RIFERIMENTO AL SEMIPERIODO, OSSIA A T/2
PER INIZIALIZZARE IL METODO, UNA PRIMA STIMA DELLA DURATA DEL SEMIPERIODO VIENE EFFETTUATA DALLA DETERMINAZIONE DELLA PULSAZIONE IN CORRISPONDENZA DELLA QUALE LA PARTE IMMAGINARIA DELLA FUNZIONE DI TRASFERMENTO
NEL CASO IN ESAME SI HA:
PER = 1.73 SI HA Im[P(j *)] = 0 DA CUI T* = 3.6 E T*/2 = 1.8
VIENE CALCOLATO y0(T/2) = cT x0(T/2) PER T/2 VARIABILE FRA .8 (T*/2) E 1.2 (T*/2)
LA CODIZIONE DI PERIODICITÀ COINCIDE CON QUELLA DI COMMUTAZIONE E RISULTA
y(T/2) = 0
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
61
1.6 1.8 2
-.4
-.2
0
.2
2.2 T/2y 0
(T/2
)
T*/2 =1.84
VIENE TRACCIATO L’ANDAMENTO DI y0(T/2) IN FUNZIONE DI T/2
IN CORRISPONDENZA DI y0(T/2) = 0 SI INDIVIDUA IL VALORE DI T*/2LE CORRISPONDENTI CONDIZIONI INIZIALI x0(T*/2) RISULTANO
x0(T*/2) = 0
-2.9-7.6
UNA VOLTA DETERMINATI T*/2 E x0(T*/2) SI CALCOLA L’ANDAMENTODELLA OSCILLAZIONE. NEL CASO PARTICOLARE SI HA
.1 .2 .3 t (sec)
1
0
-1
y(t)
T = 3.68
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
62
P W MPULSE WIDTHMODULATION
SISTEMA DACONTROLLARE
ATTUATOREON-FF
DISPOSITIVODI MISURA
y(t)y*(t) e(t) m(t) u(t)
p(t)
tempo
m(t)e(t)p(t)
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
63
P W MPULSE WIDTHMODULATION
SISTEMA DACONTROLLARE
ATTUATOREON-FF
DISPOSITIVODI MISURA
y(t)y*(t) e(t) m(t) u(t)
p(t)
tempo
e(t) m(t)
p(t)
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
64
(0)= 0
(t)= (t)•
u(t)= T (t)
•
y(t) = cT x(t)
x(t) = A x(t) + b u(t)
x(0)= x0
y(t)u(t)
tempo
u(t)
1
a 0 10 0
= 01
=0a
0 =
tempo
u(t)
0 - 0
= 01
=10
0 =
tempo
u(t)
Uo 0 = 1 = a0 =
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
65
x(0)= x0(0)= 0
(t)= (t)•
u(t)= T (t)
•
y(t) = cT x(t)
x(t) = A x(t) + b u(t)y(t)u(t)
(t) =x(t)
(t)S =
A
b T
0 =x0
0
A
B T
(t)cT
0 I0 y(t)
u(t)
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
66
x(t) = (t) x0 + (t) 0
t1
t2a1
a2
ESEMPIO DI APPLICAZIONE PER IL CALCOLO DELL’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI USCITA NEL FUNZIONAMENTO A REGIME PERMANENTE
•x0
•
y(t) = cT x(t)x(t) = A x(t) + b u(t)
y(t)u(t)
e S
t =e
A
t
e
t0
(e
A
te
t) b(t) A-1(e
A
t – I)b(t)
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CONDIZIONE DIPERIODICITÀ
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
67
t1
t2a1
a2
0a1
0 1 =0
-a2
0 2 =
(t1)
(t1)
(t2)
(t2)
x0 x(t1) x0
x(t1) = (t1) x0 + (t1) 01
x(t2) = (t2) x(t1) + (t2) 02 = x0
x0= (t2)((t1) x0 + (t1) 01 ) + (t2) 02
x0 = ((t2)(t1) – I)-1 ((t2)(t1) 01 + (t2) 02 ) PER 0 < t < t1
y(t) = cTx(t) = cT((t) x0 + (t) 01 )PER 0 < t < t2
y(t) = cTx(t) = cT((t) x(t1) + (t) 02 )
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P W MPULSE WIDTHMODULATION
SISTEMA DACONTROLLARE
ATTUATOREON-FF
y(t)m(t) u(t)
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
68
(s+1)(s+3)
2s+6s1
s2+.5s+1.5
1
METODO DIRETTO 2 ITERAZIONI: 1 CONDIZIONI INIZIALI
2 TRACCIAMENTO
METODO INDIRETTO 18 ITERAZIONI:2 AGGIORNAMENTO DELLE
CONDIZIONI INIZIALI
1 TRACCIAMENTO
tempoT
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
69
y(t) = cT x(t)
•x(t) = A x(t) + b u(t)
x0(0)= 0
(t)= (t)•
u(t)= T (t)
u(t) y(t)
(t)= (t) + y(t)•
0= 0
(1)
(2)
=
2 T
n
2 T
- n
0
0=
0
2T
1)=
0
T2 T
ncos( )t y(t) dt2T 2)
=
0
T2 T
nsin( )t y(t) dt2T
y(t) = cTx(t) = cT((t) x0 + (t) 0 )
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NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
70
(t) =(t)
(t) =
S
cT 0]
0
0 =0
0
(t) = (t) • (0) = 0
x(t)
(t)
(t)
VARIABILI DI STATO
FORZAMENTO
COMPONENTIIN FASE E
IN QUADRATURA
A0
cT
00
b0
x(t)
(t)(t)
•
••
= 0
x0
0
x0 0
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t
T
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
71
0 10 20 30 40 50ordine delle armoniche
PROCEDURA:1 VENGONO CALCOLATE LE CONDIZIONI INIZIALI x0 PER IL
TRACCIAMENTO DELL’ANDAMENTO PERIODICO2 VENGONO INSERITE LE CONDIZIONI INIZIALI x0 NEL VETTORE (t)
PER IL CALCOLO DELLE CONPONENTE ARMONICHA DI ORDINE n3 VIENE RIPETUTO IL CALCOLO ENTRO LO SPETTRO DI INTERESSE4 VIENE RICOSTRUITO L’ANDAMENTO UTILIZZANDO LE ARMONICHE