UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS
MISSÕES CAMPUS DE ERECHIM
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE
MATEMÁTICA
CHARLES LUIS BATISTELLA
CÁLCULO DO VOLUME DE UMA PEÇA DE TRANSIÇÃO NÃO
REVOLUCIONÁVEL E DA ÁREA NECESSÁRIA DA CHAPA
METÁLICA PARA SUA CONSTRUÇÃO
ERECHIM
2008
2
CHARLES LUIS BATISTELLA
CÁLCULO DO VOLUME DE UMA PEÇA DE TRANSIÇÃO NÃO
REVOLUCIONÁVEL E DA ÁREA NECESSÁRIA DA CHAPA
METÁLICA PARA SUA CONSTRUÇÃO
Trabalho de conclusão de curso, apresentado ao Curso de Matemática, Departamento de Ciências Exatas e da Terra da URI – Campus de Erechim Orientador: Prof. Mestre Clémerson Alberi Pedroso
ERECHIM
2008
4
AGRADECIMENTOS
- Primeiramente agradeço a Deus, pela força e coragem que Ele me deu para atingir
meus objetivos.
- Ao meu orientador, Professor Mestre Clémerson Alberi Pedroso, agradeço pelo
apoio, incentivo e pelas sugestões em todas as fases deste trabalho.
- Aos meus amigos e colegas de trabalho, que contribuíram para que este trabalho
fosse realizado, agradeço.
- À minha família, que esteve ao meu lado me apoiando em todos os momentos, sou grato.
5
RESUMO
O objetivo deste trabalho é elaborar modelos matemáticos que permitam encontrar o
volume de uma peça de transição não revolucionável de tubulações quadradas para
circulares e a área da chapa metálica necessária para a sua construção. Tal peça é
usada por funileiros e indústrias em geral, para interligar tubulações de diferentes
geometrias, como, por exemplo, conectar uma tubulação retangular a uma tubulação
circular. Podem ser utilizadas como moegas, onde se deseja estocar certa
quantidade de produto por um período curto ou longo de tempo, para não extrapolar
a capacidade da máquina que está à frente da moega. Também servem de
“tanques” para a armazenagem de diversos tipos de fluidos, farinhas, entre outros.
A dedução da equação possibilita a obtenção de volumes de peças de transição
rapidamente, sem a necessidade de recorrer a programas gráficos que levam
razoável período de tempo para descobrir esses valores. Com a utilização de um
protótipo, desenvolveram-se hipóteses baseadas em conceitos de geometria e de
trigonometria que levaram à obtenção das equações desejadas. Os resultados foram
comparados com os valores obtidos com o programa AutoCAD 2006, a fim de
validar tais equações. Fizeram-se, também, algumas abordagens sobre a história da
matemática e sobre alguns aspectos de Modelagem Matemática. Destaca-se a
importância da informática, especificamente do programa AutoCAD aliado à
Matemática, do ponto de vista prático e da vantagem do uso das equações obtidas.
Palavras-chave: Peças de transição quadrado para circular. Volume. Área.
6
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Foto de uma peça de transição de tubulações quadradas para
circulares.................................................................................................11
Figura 2 - Vista superior da peça..............................................................................20
Figura 3 - Distribuição dos prismas no cubo............................................................ 20
Figura 4 - Molde maciço da peça..............................................................................21
Figura 5 - Localização das variáveis utilizadas no modelo........................................21
Figura 6 - Localização dos sólidos S1.......................................................................23
Figura 7 - Variáveis utilizadas para o cálculo do volume do S1................................23
Figura 8 - Vista superior do S1..................................................................................24
Figura 9 - Localização dos sólidos S2.......................................................................25
Figura 10 - Variáveis utilizadas para o cálculo do volume do S2..............................25
Figura 11 - Localização dos sólidos S3.....................................................................26
Figura 12 - Variáveis utilizadas para o cálculo do volume do S3..............................27
Figura 13 - Vista superior do S3................................................................................27
Figura 14 - Localização dos sólidos S4....................................................................28
Figura 15 - Variáveis utilizadas para o cálculo do volume do S4..............................29
Figura 16 - Chapa planificada e traçada...................................................................31
Figura 17 - Distribuição das cores na planificação......................................................32
Figura 18 - Variáveis utilizadas para o cálculo da área A1........................................33
Figura 19 - Variáveis utilizadas para o cálculo da área A2.........................................34
Figura 20 - Variáveis utilizadas para o cálculo da área A3..........................................35
Figura 21 - Perda do material no corte da planificação em relação a um
retângulo.................................................................................................39
7
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Variáveis utilizadas para o desenvolvimento do modelo matemático para
o cálculo do volume ................................................................................22
Quadro 2 - Variáveis utilizadas para o desenvolvimento do modelo matemático para
o cálculo da área......................................................................................33
Quadro 3 - Comparação dos resultados do volume .................................................38
Quadro 4 - Comparação dos resultados da área ......................................................39
8
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO.......................................................................................................10
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA..............................................................................13
2.1 UM POUCO DE HISTÓRIA.....................................................................................13
2.2 A MODELAGEM MATEMÁTICA..........................................................................15
2.3 SOBRE OS PROGRAMAS CAD............................................................................17
3 DESENVOLVIMENTO DOS MODELOS MATEMÁTICOS.......................................20
3.1 DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMÁTICO PARA CALCULAR O VOLUME DA PEÇA DE TRANSIÇÃO DE QUADRADO PARA CIRCULAR.................................................................................................................20
3.1.1 Cálculo do volume do Sólido 1 (S1)..................................................................23
3.1.2 Cálculo do volume do Sólido 2 (S2)....................................................................25
3.1.3 Cálculo do volume do Sólido 3 (S3)..................................................................26
3.1.4 Cálculo do volume do Sólido 4 (S4)..................................................................28
3.2 EQUAÇÃO GERAL DO VOLUME DA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR..................................................................................................29
3.3 DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMÁTICO PARA ENCONTRAR A ÁREA DA CHAPA NECESSÁRIA PARA FABRICAÇÃO DE UMA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR .....................................................31
3.3.1 Cálculo da área do triângulo 1 (A1).....................................................................33
3.3.2 Cálculo da área do triângulo 2 (A2).....................................................................34
3.3.3 Cálculo da área do triângulo 3 (A3)....................................................................35
3.4 EQUAÇÃO GERAL DA ÁREA DA PLANIFICAÇÃO GERAL DA ÁREA DA PLANIFICAÇÃO DA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR.........................................................................................................36
4 RESULTADOS E ANÁLISE DOS DADOS.............................................................38
4.1 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ENCONTRADOS COM AS FÓRMULAS DO VOLUME E DA ÁREA E OS VALORES OBTIDOS COM O PROGRAMA AUTOCAD 2006.................................................................................................38
9
5 CONCLUSÕES.........................................................................................................................41
REFERÊNCIAS............................................................................................................................42
APÊNDICES..................................................................................................................................44 APÊNDICE A - Desenvolvimento detalhado do modelo matemático para o cálculo do
volume da peça de transição quadrado para circular........................45 APÊNDICE B - Desenvolvimento detalhado do modelo matemático para o cálculo da
área da planificação da peça de transição quadrado para circular..................................................................................................48
ANEXOS.........................................................................................................................53 ANEXO 1 - Protótipo da planificação da peça de transição utilizado para o
desenvolvimento do modelo para o cálculo da área...............................54 ANEXO 2 - Peça de transição interligando cone com válvula gaveta num reservatório
de água.......................................................................................................54 ANEXO 3 - Peça de transição de quadrado para circular utilizada como
moega.........................................................................................................55 ANEXO 4 - Churrasqueira acoplada a uma peça de transição........................................55 ANEXO 5 - Peça de transição retangular para circular interligando tubulação...........56
10
1 INTRODUÇÃO
Desde os primórdios da antiguidade, o homem buscava modelos matemáticos
que sanassem as dificuldades que seus povos encontravam na resolução de
problemas práticos do dia-a-dia. Eram muitas as tentativas e os estudos até
encontrar uma fórmula para um problema específico que lhe desse uma resposta de
maneira rápida e eficaz.
Com o aparecimento de matemáticos importantes, tais como Euclides,
Arquimedes, Tales, Pitágoras, Heron, entre outros, a Matemática ganhou uma nova
ênfase no aprimoramento dos estudos e dos conceitos nos diversos ramos desta
ciência.
Alguns ramos como a Geometria Espacial, Analítica, Descritiva e Diferencial,
foram bastante explorados por Pitágoras, Platão e, sobretudo, por Euclides, que
escreveu um livro chamado “Elementos”. Destaca-se a Geometria Espacial, que
abriu amplos campos de estudos sobre conceitos de três dimensões e espaço.
A curiosidade e o fascínio pelas formas da natureza levaram tais matemáticos a
explorarem estas formas, desenvolvendo estudos sobre sólidos geométricos que se
assemelhassem às configurações encontradas na natureza. Claro que estes sólidos
eram de fácil visualização e de fácil análise. Com isso, foram determinadas
equações particulares para cada sólido, com as quais era possível calcular a área e
o volume dos mesmos.
Graças a estes estudiosos, pode-se calcular facilmente, por exemplo, quantos
mililitros de óleo comporta uma lata com formato cilíndrico, quantos litros de vinhos
cabem em um barril, o espaço ocupado por uma esfera, a capacidade de um
congelador, entre outras aplicações.
11
O volume dos sólidos, tais como o cilindro, tronco de pirâmide, cone, cubo,
paralelepípedo, entre outros, é bastante utilizado na engenharia para construção de
tanques, moegas, tubulações onde passam fluidos e sólidos, caixas de
armazenagem de produtos, etc. A área do quadrado, do retângulo, do círculo, da
coroa circular e do setor circular também é de grande valia, pois através dela
descobrimos a quantidade de material necessário para produzir equipamentos como
os citados anteriormente.
Outros sólidos utilizados comumente na engenharia, conforme ilustra a figura
abaixo, são as peças de transição que compõem tubulações onde se inicia com um
tubo quadrado ou retangular e termina com um tubo circular. Podem ser utilizadas
como moegas ou “tanques” para a armazenagem de diversos tipos de fluidos ou
sólidos.
Figura 1 – Foto de uma peça de transição de tubulações quadradas para circulares
12
Entretanto, como estas peças servem para acumular produtos e fluidos, é
necessário encontrar o volume e a área da chapa para confecção destas peças. Mas
como fazer isso, se o sólido não é revolucionável? Por isso, estudou-se uma peça
em escala menor para definir uma equação para a capacidade do objeto, bem como
a área de uma superfície plana de uma chapa metálica necessária para a produção
da mesma, uma vez que não existem equações determinadas para este tipo de
artefato metálico.
O presente trabalho foi estruturado da seguinte maneira. Na primeira seção,
descreve-se a importância da Geometria na resolução de problemas, expondo o
problema da pesquisa, a justificativa e explicando a aplicabilidade da peça estudada.
Na segunda seção, faz-se uma abordagem geral sobre a história da matemática,
enfatizando a divisão da Geometria, o surgimento, o significado e a utilização dos
cálculos de volume e da área no ramo das engenharias. A terceira seção traz o
desenvolvimento dos modelos matemáticos para calcular o volume da peça de
transição e a área da planificação utilizada na sua confecção. Na quarta seção,
compara-se, através de quadros, os valores de volume e área encontrados com os
modelos desenvolvidos e os fornecidos pelo programa AutoCAD 2006. Na última
seção, são apresentadas as conclusões da pesquisa.
13
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 UM POUCO DE HISTÓRIA
Sabe-se que a Matemática é uma das ciências mais antigas e que é originária de
diversas civilizações da antiguidade. Salienta-se que vários matemáticos, como
Tales, Pitágoras, Arquimedes, Euclides, entre outros, buscavam a compreensão dos
problemas existentes na sua época. Porém, estes problemas que envolviam
Matemática acabavam se tornando de difícil resolução, requerendo um grande
estudo por parte dos matemáticos.
Graças aos matemáticos que aceitaram o desafio e permitiram não rebaixar os
problemas de seus povos, existem muitas interpretações e soluções no que diz
respeito às formulas e teoremas que compõem a geometria, a trigonometria,
cálculos, enfim, tudo que se refere às áreas matemáticas (BARON, 1985, p. 1).
Contudo, muitos registros feitos na época em que viveram, perderam-se com o
tempo e o que foi encontrado está em papiros. Em um deles, denominado Papiro de
Moscou, é apresentado um cálculo do volume do tronco de pirâmide. Conforme o
site Cálculo Matemático (2007), não se sabe se as intenções do papiro eram
pedagógicas ou simplesmente anotações. Basicamente o papiro apresenta
informações sobre trigonometria, aritmética, equações e cálculo de área e volume.
Nota-se que os antigos tinham a preocupação com o estudo da Geometria e
tentavam expressar os fatos em forma de problemas. Vale lembrar que Geometria
significa “medida da terra”, nome dado pelos gregos, conforme citação que segue.
14
Os gregos perceberam que os egípcios eram capazes de executarem cálculos e medidas de dimensionamento da terra e através destes conhecimentos assimilaram demonstrações dedutivas rigorosas das leis acerca do espaço. A este conhecimento os gregos deram o nome de Geometria (CÁLCULO MATEMÁTICO, 2007).
A Geometria divide-se em diversos ramos. Alguns deles, como a Geometria
Espacial que funciona como uma ampliação da Geometria Plana (euclidiana) e trata
das técnicas para o estudo de sólidos ou objetos em três dimensões, assim como a
relação entre esses elementos; a Geometria Analítica que investiga as propriedades
das linhas, superfícies e volumes; a Geometria Descritiva com que se representam e
estudam os sólidos tridimensionais, de grande valor, pois os teoremas pertencentes
a estas áreas do conhecimento científico são utilizados, muitas vezes, no cotidiano
sem as pessoas disso se dêem conta, como, por exemplo, a capacidade de uma
garrafa para nela armazenar determinado produto.
Com a definição de sólido que, segundo Euclides, é “aquilo que tem
comprimento, largura, e espessura” (BOYER, 1996, p. 81), surgiu a idéia de volume,
e, no ano de 1615, Joames Kepler estipula a Steometria (“stereo”, que significa
volume e “metria”, que significa medida), ou seja, o cálculo de volume para sólidos
geométricos. A palavra volume vem de volumen, que é a propriedade de um barril
(vinho, azeite, etc) rolar com facilidade.
Tem-se conhecimento de que o matemático Arquimedes atribuiu a Demócrito
teoremas como: “todo prisma triangular se decompõe em três pirâmides
equivalentes, o volume de um cone é um terço do volume do cilindro de mesma
base e altura”. (BARON, 1985, p. 20). Já, Euclides trata do volume no livro “XII dos
Elementos”, porém, não há fórmulas escritas. Arquimedes foi o primeiro a realizar
com autenticidade os cálculos de volume. Seu trabalho foi restrito ao volume da
esfera e da área de sua superfície.
Mas o que quer dizer volume? Conforme o Instituto Nacional de Matemática Pura
e Aplicada (IMPA, 2007), “volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele
ocupado”, sendo isso não uma especificação matemática, mas apenas uma
elaboração intelectual.
15
Em 1669, o físico-matemático inglês Isaac Newton e o matemático Leibniz,
desenvolveram simultaneamente o cálculo diferencial e integral. Desta forma,
tornou-se possível achar o volume e a área de qualquer sólido independente de sua
simetria, pois, antes disso, era necessário o estudo e o conhecimento de geometria
e trigonometria para tentar descobrir alguma fórmula específica para determinar o
volume e a área de cada tipo de sólido.
Nas engenharias os cálculos de volume e área tornam-se necessários para o
dimensionamento dos equipamentos, a fim de verificar se a capacidade atende à
demanda do cliente, o espaço disponível na indústria para locar o equipamento e
também, para averiguar os custos de fabricação contidos. Para tanto, pode-se citar,
por exemplo, a capacidade de armazenamento de grãos de um silo, capacidade de
estocagem em moegas, volume de produto que um transportador helicoidal leva por
hora, volume da câmara do cilindro do motor de um carro.
Com o aprimoramento das técnicas de fabricação, novas formas geométricas
foram surgindo e também softwares específicos de desenho, os quais apresentam
ao desenhista e projetista o cálculo de maneira mais rápida de volumes e de áreas,
sem a necessidade de apelar a várias fórmulas da Geometria.
2.2 A MODELAGEM MATEMÁTICA
Um dos ramos mais instigantes da matemática e que vem contribuindo
ativamente para a construção de modelos nas diversas áreas sociais é a Modelagem
Matemática.
Há várias definições para Modelagem Matemática; resumidamente, constitui-se
do processo de transformação de situações reais em problemas matemáticos e
soluciona-os procurando verificar sua validade no mundo real (BASSANEZI, 2004).
As equações que se utiliza continuamente no meio acadêmico são modelos
matemáticos baseados em teorias e conceitos formulados por estudiosos em vários
anos de pesquisa e dedicação. Alguns destes modelos foram escritos há milhares de
16
anos. Um exemplo disso é o povo egípcio que, segundo o site Somatemática (2007),
utilizavam o cálculo da área para demarcar as proporções de terras destinadas a
cada proprietário, pois os marcos eram levados durante o período das cheias do Rio
Nilo. Quando se deparavam com um terreno irregular, que não era quadrado e nem
triangular, apelavam para um artifício denominado triangulação, usado até os dias
de hoje.
De fato, a Modelagem Matemática busca solucionar problemas e fenômenos,
transformando-os em equações que se possa usufruir de modo contínuo no meio
social. Ainda mostra que a Matemática evolui gradativamente e prova a sua
verdadeira aplicabilidade, não ficando apenas em cálculos mecânicos feitos no
papel.
No entanto, a escolha de um modelo matemático apropriado para corresponder a
fenômenos é muito difícil. Muitas vezes o matemático deve fazer várias tentativas a
fim de escolher o melhor exemplo, aquele que não fique apenas em uma bela
demonstração matemática, mas possa ser articulado e manipulado por outras
pessoas que sejam leigas nestas áreas.
Segundo Bassanezi (2004, p. 12),
[...] um modelo complexo pode ser motivo de orgulho para um matemático
e inadequado para o pesquisador que vai aplicá-lo. Muitas vezes, as
necessidades imediatas de um pesquisador são atendidas por um modelo
parcial e simples, o qual não comporta todas as variáveis que possam
influenciar na dinâmica do fenômeno estudado.
Com o desenvolvimento de computadores mais rápidos e de técnicas numéricas
eficientes, os modelos complexos puderam ser resolvidos quase sem restrições. No
entanto, alguns programas, como o AutoCAD, utilizados nas indústrias por
engenheiros, desenhistas e projetistas, não trazem nos seus padrões “moldar” peças
sem algum padrão de simetria, que é o caso da peça de transição quadrado para
circular.
17
Muitos profissionais, principalmente da área de engenharia, usam programas
como AutoCad, Solid Works, Inventor, entre outros, sem perceber que estes utilizam
inúmeros modelos e variáveis para executar os cálculos de área, volume,
resistência, pressão, etc. Segundo Taube Netto citado por Pallone (2008), “[...] um
modelo matemático pode conter até 30 mil equações e envolver até um milhão de
variáveis. Certamente os avanços da informática permitem hoje que se faça cálculos
para lidar com sistemas tão complexo assim”.
Embora existam programas que respondam de uma forma eficaz na obtenção
dos resultados, não se deve deixar a matemática de lado, pois ela está presente em
todos os meios. Deve-se desafiar e aguçar a capacidade de pensar, de modo que se
possa resolver os problemas cotidianos de maneira ampla e clara, através de
modelos matemáticos consistentes que visem a facilitar e agilizar as tarefas
propostas nos diversos ramos profissionais.
2.3 SOBRE OS PROGRAMAS CAD
Computer-Aided Design (CAD), ou desenho auxiliado por computador, é definido
pela Wikipédia (2008), como o nome genérico de sistemas computacionais
(software) utilizados pela engenharia, geologia, arquitetura, e design para facilitar o
projeto e desenho técnicos.
Conforme a enciclopédia virtual, referida, estes sistemas consistem numa série
de ferramentas para construção de entidades geométricas planas (como linhas,
curvas, polígonos) ou mesmo objetos tridimensionais (cubos, esferas, etc.). Também
deve haver ferramentas para relacionar essas entidades ou esses objetos, por
exemplo: criar um arredondamento (filete) entre duas linhas ou subtrair as formas de
dois objetos tridimensionais para obter um terceiro.
Ainda é encontrada na Wikipédia (2008) uma abordagem referente à divisão
entre os softwares CAD. É baseada na capacidade do programa em desenhar
apenas em 2 dimensões ou criar modelos tridimensionais. Nos softwares pode haver
intercâmbio entre o modelo 3D e o desenho 2D (por exemplo, o desenho 2D pode
18
ser gerado automaticamente a partir do modelo 3D).
Conforme a Wikipédia (2008), a utilização dos softwares CAD fica limitada a um
grupo pequeno de usuários, devido a sua intensa especialização e a seu alto custo.
Existem poucas ferramentas livres nessa área, e em muitos aspectos ficam aquém
dos softwares comerciais. Também costumam demandar hardware caro.
O principal software CAD para indústrias pequenas, arquitetos e treinamento é o
AutoCAD, produzido pela empresa Autodesk. Seu formato de armazenamento de
arquivo (ficheiro), o DWG (Drawing), é muito difundido no mercado, e isso fez com
que recentemente um consórcio de empresas fosse formado, advogando pela
passagem do DWG para o domínio público. Para grandes indústrias e projetos mais
complexos, alguns softwares mais usados são o SolidWorks, SolidEdge, o Catia, o
Unigraphics NX, o Pro-Engineer, o Inventor (também da Autodesk) e o Microstation.
A seguir, algumas especificações que a enciclopédia virtual Wikipédia (2008) traz
dos programas mais utilizados pela indústria metal-mecância.
AutoCAD criado e comercializado pela Autodesk, desde 1982, é utilizado
principalmente para a elaboração de peças de desenho técnico em duas dimensões
(2D) e para criação de modelos tridimensionais (3D). Além dos desenhos técnicos, o
software vem disponibilizando, em suas versões mais recentes, vários recursos para
visualização em diversos formatos. É amplamente utilizado em arquitetura, design
de interiores, engenharia mecânica e em vários outros ramos da indústria. O
AutoCAD é atualmente disponibilizado apenas em versões para o sistema
operacional Microsoft Windows.
O SolidWorks é desenvolvido pela SolidWorks Corporation e funciona nos
sistemas operativos Windows. Baseia-se em computação paramétrica, criando
formas tridimensionais a partir de formas geométricas elementares. No ambiente do
SolidWorks, a criação de um sólido ou superfície típica começa com a definição de
topologia em um esboço 2D ou 3D. A topologia define a conectividade e certos
relacionamentos geométricos entre vértices e curvas, no esboço e externos ao
esboço.
19
Autodesk Inventor é um programa que permite modelar imagens a três
dimensões. Os modelos 3D gerados pelo Autodesk Inventor também são funcionais,
ou seja, eles funcionam como no mundo real. Se o modelo for um motor, por
exemplo, as peças que se movem e giram no modelo real também se movem e
giram no modelo 3D. O Autodesk Inventor também contempla a parte de engenharia,
não apenas modelando as peças, como também dimensionando-as, superando
assim o escopo de ferramentas CAD. A versão 11 do produto vem com um módulo
de simulação dinâmica (Dynamic Simulation), onde o mecanismo é colocado sob os
efeitos da aceleração da gravidade e de todas as outras forças presentes no
sistema, permitindo-se observar e analisar seu comportamento.
20
3 DESENVOLVIMENTO DOS MODELOS MATEMÁTICOS
3.1 DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMÁTICO PARA CALCULAR O VOLUME DA PEÇA DE TRANSIÇÃO DE QUADRADO PARA CIRCULAR
Para o desenvolvimento do modelo matemático para calcular o volume da peça
de transição, a parte circular foi substituída por um dodecágono (veja figura 2) para
facilitar no desenvolvimento das equações já que a perda no valor final do volume
seria mínima. Depois, considerando um cubo que foi dividido em vários prismas, cujo
os de mesmo formato e tamanho se atribuiu a mesma cor, conforme figura 3.
Figura 2 – Vista superior da peça
Figura 3 – Distribuição dos prismas no cubo
21
Como se pode observar na figura 3, o sólido 1 e o sólido 2, denominados
respectivamente como S1 e S2, aparecem 8 vezes sobre a superfície do cubo. Já o
sólido 3 e o sólido 4, designados como S3 e S4 , repetem-se 4 vezes. Todos os
sólidos apresentam base triangular.
Após a identificação dos sólidos, a extração dos mesmos do cubo permitiria a
obtenção da peça desejada, conforme indica a figura 4.
Figura 4 – Molde maciço da peça
A figura 5 mostra a localização das variáveis atribuídas para auxiliar na
elaboração do Modelo Matemático.
Figura 5 – Localização das variáveis utilizadas no modelo
22
O quadro 1 ilustra o significado de cada variável e como foram obtidas:
b Largura.
l Comprimento. O comprimento é igual à largura (l=b) por se tratar de um
quadrado. No desenvolvimento do modelo esta variável não aparecerá.
h Altura.
Ød Diâmetro da parte circular.
A
Corresponde ao lado menor da base do sólido S1, obtido da expressão
2
dbA
−= .
2
b
Corresponde ao lado maior da base do S1, obtida através da largura ou
comprimento da peça de transição dividido por dois.
B
Corresponde ao lado maior da base do S2, obtida através do Teorema de
Pitágoras. Resulta na equação 2
2
2A
bB +
= , ou seja, a hipotenusa da base
do S1.
L
Encontrado através do Teorema de Pitágoras. Resulta na equação
2
2
2
+=
pDL , ou seja, a hipotenusa da base do S3.
D Obtido da equação
−
+
= 2
22
22r
bbD , isto é, a altura da base do S3.
r Raio da circunferência.
p Resultante da expressão rp ⋅= 5176,0 , ou seja, distância entre os pontos de
ligação que formam o dodecágono.
r² Resultante da expressão 8660,12 ⋅= pr , ou seja, o raio do círculo que inscreve o
dodecágono.
Quadro 1 - Variáveis utilizadas para o desenvolvimento do modelo matemático para o cálculo do
volume
23
A seguir, segue demonstração dos cálculos para encontrar o volume de cada
sólido.
3.1.1 Cálculo do volume do Sólido 1 (S1)
Os Sólidos 1 (S1), em vermelho, estão localizados nas extremidades do cubo e
totalizam 8 prismas de mesmo formato e tamanho, conforme mostra a figura 6. Em
seguida mostram-se, através da figura 7, as variáveis utilizadas para os cálculos
referentes aos sólidos S1.
Figura 6 – Localização dos sólidos S1
Figura 7 – Variáveis utilizadas para o cálculo do volume do S1
24
Observando a vista superior do S1, conforme mostra a figura 8, A é
perpendicular ao lado .2
b
Figura 8 – Vista superior do S1
Sabe-se que para calcular o volume de um prisma basta encontrar a área da sua
base e multiplica-lá pela sua altura. Como o prisma é uma pirâmide de base
triangular e a área do triângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura e
dividindo por dois, a área da base corresponde à equação: 2
2A
b⋅
.
Sabe-se também que o volume de uma pirâmide é igual a um terço do volume do
prisma de mesma base e mesma altura (DI PIERRO NETTO; ORSI FILHO, 2000).
Então: 3
.2
2
311
hA
b
VhbasedaÁrea
V SS
⋅
=⇒⋅
= , simplificando, obtém-se a equação
geral do volume do S1:
61
hAbVS
⋅⋅=
25
3.1.2 Cálculo do volume do Sólido 2 (S2)
Os Sólidos 2 (S2), em azul, estão localizados entre o S1, em vermelho e o S3, em
verde, totalizando 8 prismas de mesmo formato e tamanho, como mostra a figura 9.
Após, mostram-se, através da figura 10, as variáveis utilizadas para os cálculos
referentes aos sólidos S2.
Figura 9 – Localização dos sólidos S2
Figura 10 – Variáveis utilizadas para o cálculo do volume do S2
26
Para determinar a equação do volume do S2 a fim de que a mesma pudesse ser
usada para encontrar o volume de qualquer outro tipo de peças de transição,
utilizou-se a Fórmula de Heron para encontrar a área da base da pirâmide, onde C é
a área que se deseja encontrar e s corresponde ao semiperímetro. Então:
( ) ( ) ( ) HerondeFórmulaLsBspssC ⇒−⋅−⋅−⋅=
troSemiperímedoEquaçãoLBp
s ⇒++
=2
Obtendo a expressão da área da base da pirâmide é possível modelar a
expressão do volume do S2:
3
.2
hCVS =
3.1.3 Cálculo do volume do Sólido 3 (S3)
Os Sólidos 3 (S3), em verde, estão localizados no meio dos sólidos S2, em azul,
totalizando 4 prismas de mesmo formato e tamanho, como mostra a figura 11. Em
seguida, mostram-se, através da figura 12, as variáveis utilizadas para os cálculos
referentes aos sólidos S3.
Figura 11 – Localização dos sólidos S3
27
Figura 12 – Variáveis utilizadas para o cálculo do volume do S3
A figura 13 mostra a vista superior do S3, onde é possível observar as outras
variáreis utilizadas no cálculo.
Figura 13 – Vista superior do S3
Para determinar a área da base do sólido foi utilizada a fórmula da área de um
triângulo qualquer, fazendo uso das variáveis correspondentes:
23
DpS
⋅=
28
Com isso, é possível expressar o modelo matemático que satisfaz o volume do
S3:
⇒
⋅
⋅
=3
23
hDp
VS 6
3
DphVS
⋅⋅=
3.1.4 Cálculo do volume do Sólido 4 (S4)
Os Sólidos 4 (S4), de cor magenta, estão localizados nas laterais da peça,
totalizando 4 prismas de mesmo formato e tamanho, como mostra a figura 14.
Figura 14 – Localização dos sólidos S4
As variáveis utilizadas para o cálculo foram as mesmas do S1. Porém, para
encontrar a área da base da pirâmide foi necessário rotacionar a lateral do prisma
90°, de modo que a parte plana ficaria paralela a um plano imaginário, o que
acarretou que a largura continuaria correspondente a b e o comprimento, agora,
correspondesse a h , ou seja, à altura do S4, conforme mostra a figura 15.
29
Figura 15 – Variáveis utilizadas para o cálculo do volume do S4
Neste caso, a área da base é encontrada com a seguinte expressão:
24
hbS
⋅=
Agora, para determinar a equação do volume do S4, é necessário adotar A
como sendo a nova altura. Portanto:
⇒
⋅
⋅
=3
24
Ahb
VS 64
AhbVS
⋅⋅=
3.2 EQUAÇÃO GERAL DO VOLUME DA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO
PARA CIRCULAR
Para encontrar a equação geral do volume foi feito um somatório das equações
individuais, multiplicando cada uma pela quantidade dos respectivos sólidos e
simplificando ao máximo todas as expressões. Foi tomado TSV , como a variável que
30
representa o volume total dos sólidos ou a perda do volume em relação ao cubo. Em
seguida, seguem os procedimentos utilizados para definição do modelo matemático
para encontrar o volume total da peça de transição quadrado para circular:
4321 .4.4.8.8 SSSSTS VVVVV +++=
⋅⋅+
⋅⋅+
+
⋅⋅=
6.4
6.4
3
..8
6.8
AhbDphhChAbVTS
( )DpCbAh
VTS ⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅
= 423
2
−
+
⋅+⋅+
−⋅⋅⋅
⋅= 2
22
224
22
3
2r
bbpC
dbb
hVTS
( )[ ]
⋅⋅−⋅−⋅+⋅−⋅⋅
−⋅⋅
=2
22282
3
22
2 bpdbCrphVTS
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
⋅⋅−⋅−⋅+−⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅
−⋅⋅
=2
22282
3
22
2 bpdbLsBspssrphVTS
Tomando VT como volume da peça de transição, VC como volume do cubo e VTS
como o volume total dos sólidos, é possível escrever uma equação geral simplificada
para o volume. Assim:
TSCT VVV −=
Substituindo as variáveis pelos respectivos valores, obtém-se:
( )
⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅
+⋅−⋅⋅−⋅
⋅−⋅=
4322
22
2
9998,05357,26077,125,0
1250,08170,0
3
2
dbdbd
dbdbhhbVT
31
3.3 DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMÁTICO PARA ENCONTRAR A ÁREA DA CHAPA NECESSÁRIA PARA FABRICAÇÃO DE UMA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR
Para o desenvolvimento do modelo matemático para encontrar a área da chapa
necessária para a fabricação da peça de transição quadrado para circular, fez-se
uso da chapa planificada, esboçada com o auxílio do AutoCAD 2006.
Como a peça de transição é confeccionada com duas chapas iguais, a
planificação representa apenas a metade do objeto. Os traços marcados na
superfície servem de referência para conformar a peça.
Fazendo uso dos traços referencias, foi possível desenvolver a equação que
determina a área da chapa. Conforme mostra a figura 16, os traços saem dos
vértices da linha b , que corresponde à largura da peça, e ficam a uma distância p
um dos outros, de modo que quando se fizer o somatório de p , ter-se-á o meio
perímetro do círculo da peça de transição. Para ter 100% de garantia que a
planificação corresponderá ao objeto que se almeja produzir, as linhas 2
b e E
devem ser perpendiculares entre si.
Figura 16 – Chapa planificada e traçada
32
Nota-se que a superfície da planificação traçada apresenta triângulos de
diferentes dimensões e áreas. Os de mesma área e tamanho foram nomeados
igualmente e atribuída a mesma cor, conforme mostra a figura 17.
Figura 17 – Distribuição das cores na planificação
Como se pode observar na figura 17, os triângulos 1 e 3, denominados,
respectivamente, A1 e A3, aparecem 2 vezes no desenho da planificação, de modo
que os dois triângulos laterais, quando somados, representam uma única área A1. Já
o triângulo 2, nomeado como A2, repete-se 4 vezes.
Para cada triângulo foram criadas equações individuais da área, utilizando-se
dos princípios básicos de trigonometria e geometria. Após, todas as equações foram
somadas e simplificadas, a fim de se obter uma fórmula onde fosse possível calcular
a área da chapa para fabricação de qualquer peça de transição, utilizando somente
as partes fundamentais do objeto: comprimento, largura, altura e diâmetro.
A maioria das variáveis empregadas para o modelo matemático da área são as
mesmas utilizadas no cálculo do volume. O quadro 2 explana o significado das
demais variáveis e como foram obtidas.
33
Figura 16
E
Corresponde à diagonal do lado da peça de transição encontrada através do
Teorema de Pitágoras com a equação 22 AhE += . Na planificação
corresponde à altura da parte central do objeto.
n Resultante da expressão 2
2
2
+=
bEn , ou seja, a hipotenusa do triângulo 1.
m Resultante da expressão 22 hLm += , ou seja, o lado maior do triângulo 3.
Quadro 2 - variáveis utilizadas para o desenvolvimento do modelo matemático para o cálculo da área
A seguir, segue demonstração dos cálculos para encontrar a área de cada
triângulo.
3.3.1 Cálculo da área do triângulo 1 (A1)
O triângulo 1 (A1), em magenta, está situado no centro da planificação e nas
laterais, conforme mostra a figura 17, sendo que cada lateral equivale à metade da
A1. Com isso, após somadas as duas laterais, tem-se 2 triângulos de mesmo formato
e mesma área, conforme mostra a figura 18.
Figura 18 – Variáveis utilizadas para o cálculo da área A1
34
Assim, tem-se:
21
EbA
⋅=
3.3.2 Cálculo da área do triângulo 2 (A2)
O triângulo 2 (A2), em azul, está situado entre as áreas A1, 2
1A, em magenta, e
A3, em verde, totalizando 4 triângulos de mesmo formato e mesma área, conforme
mostra a figura 17. Abaixo, mostram-se, através da figura 19, as variáveis utilizadas
para os cálculos referentes à área do triângulo A2.
Figura 19 – Variáveis utilizadas para o cálculo da área A2
Para determinar a equação da área A2, a fim de que a mesma pudesse ser
usada para encontrar a área de qualquer outro tipo de peças de transição,
novamente foi usada a Fórmula de Heron, onde 2A é a área que se deseja encontrar
e 1s corresponde ao semiperímetro.
35
Assim:
troSemiperímedoEquaçãomnp
s ⇒++
=2
1
( ) ( ) ( ) HerondeFórmulamsnspssA ⇒−⋅−⋅−⋅= 11112
3.3.3 Cálculo da área do triângulo 3 (A3)
O triângulo 3 (A3), em verde, está situado entre as áreas A2, em azul, totalizando
2 triângulos de mesmo formato e mesma área, conforme mostra a figura 17. A figura
20 mostra as variáveis utilizadas para os cálculos referentes à área do triângulo A3.
Figura 20 – Variáveis utilizadas para o cálculo da área A3
troSemiperímedoEquaçãommp
s ⇒++
=2
2
( ) ( ) ( ) HerondeFórmulamsmspssA ⇒−⋅−⋅−⋅= 22223
36
3.4 EQUAÇÃO GERAL DA ÁREA DA PLANIFICAÇÃO GERAL DA ÁREA DA
PLANIFICAÇÃO DA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR
Para encontrar a equação geral da área foi feito um somatório das equações
individuais das áreas, multiplicando cada uma pela quantidade que aparece na
planificação. Foi tomada TA , como a variável que representa a área total da
planificação. Abaixo segue demonstração dos procedimentos utilizados para
definição do modelo matemático para encontrar a área total da planificação da peça
de transição quadrado para circular:
( ) 231 42 AAAAT ⋅++⋅=
( ) ( ) ( ) ( )msnspsspssmsEb
AT −⋅−⋅−⋅⋅+
⋅−⋅−+
+⋅= 11112
2
22 42
2
( ) ( ) ( ) ( )������ ������� ������������
����� DCBA
T msnspsspssmsEb
A −⋅−⋅−⋅⋅+
⋅−⋅−+
+⋅= 11112
2
22 42
2
4
24 222 bddbhbA
⋅⋅−++⋅=
dBd
B ⋅=⇒⋅
= 1294,02
2588,0
222 49328,07317,222
1hddbbC ⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅=
( )[ ] ( ) 232224322 5,01295,09658,02679,00625,00669,05825,0 bdbddhdbdbdD ⋅−++−+−=
( ) DCBAAT +⋅+⋅= 2
37
Portanto:
( )[ ] ( ) 232224322
222222
5,01295,09658,02679,00625,00669,05825,0
49328,07317,221294,02
24
bdbddhdbdbd
hddbbdbddbhb
AT
⋅−++−+−+
⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅−++⋅
=
38
4 RESULTADOS E ANÁLISE DOS DADOS
4.1 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ENCONTRADOS COM AS FÓRMULAS
DO VOLUME E DA ÁREA E OS VALORES OBTIDOS COM O PROGRAMA
AUTOCAD 2006
Para investigar se as equações encontradas representam o volume e a área da
chapa da peça de transição, foram desenhadas, no AutoCAD 2006, três peças de
diferentes dimensões e, após, os valores encontrados nas expressões foram
comparados com os valores fornecidos pelo programa.
Os quadros abaixo ilustram um comparativo entre os valores encontrados com
as equações e os valores fornecidos pelo programa AutoCAD 2006, bem como o
valor do erro, para o volume e para a área, e a perda de material da planificação em
relação a um retângulo.
PEÇA 1 2 3
LARGURA E COMPRIMENTO (mm) 150 X 150 500 X 500 800 X 800
ALTURA (mm) 150 400 950
DIÂMENTRO (mm) 100 300 600
EQ
UA
ÇÃ
O
VOLUME (L) 2,25 62,3333 388,7037
AU
TO
CA
D
VOLUME (L) 2,2499 62,3326 388,7083
ER
RO
(L) 0,0001 0,0007 0,0046
Quadro 3 - Comparação dos resultados do volume
39
PEÇA 1 2 3
LARGURA E COMPRIMENTO (mm) 150 X 150 500 X 500 800 X 800
ALTURA (mm) 150 400 950
DIÂMENTRO (mm) 100 300 600 E
QU
AÇ
ÃO
ÁREA (m²) 0,0351 0,3081 1,1534
AU
TO
CA
D
ÁREA (m²) 0,0351 0,3082 1,1535
ER
RO
(m²) 0 0,0001 0,0001
PE
RD
A
(%) 27,32 29,59 27,28
Quadro 4 - Comparação dos resultados da área
Analisando o quadro 3, observa-se que o valores encontrados através da
fórmula do volume ficam muito próximos dos fornecidos pelo programa AutoCAD
2006 e que o erro aumenta pouco à medida que o tamanho da peça aumenta.
Avaliando o quadro 4, também se pode observar que os valores obtidos através
da equação da área ficam bem próximos aos valores fornecidos pelo programa. A
última linha refere-se à perda do material no corte da planificação em relação a um
retângulo, conforme mostra a área hachurada da figura 21.
Figura 21 – Perda do material no corte da planificação em relação à um retângulo
40
Pode-se dizer que a perda de material fica, aproximadamente, entre 27 a 30%.
O valor do erro é decorrente da quantidade de casas decimais usadas. No
cálculo do volume e da área, usando as equações, foram utilizadas quatro casas
decimais com truncamento. Já, o programa AutoCAD 2006, automaticamente ajusta
os valores para quatro casas decimais, porém, sem truncamento.
41
5 CONCLUSÕES
O presente trabalho propõe modelos matemáticos que permitem encontrar o
volume de peças de transição não-revolucionáveis de tubulações quadrangulares
para circulares e para encontrar a área da chapa metálica necessária para a sua
construção a partir de suas dimensões nominais: largura, comprimento, altura e
diâmetro. Mostra formas geométricas incomuns no meio acadêmico, mas que são
utilizadas amplamente nas engenharias.
Observando os resultados analisados, pode-se concluir que os modelos
matemáticos apresentados representam o volume da peça de transição e a área da
sua planificação com pouco erro, se comparados aos resultados apresentados pelo
software AutoCAD 2006.
A elaboração desses modelos pode contribuir para a melhoria de projetos onde
estas peças são aplicadas, trazendo excelente custo benefício, pois deixam o
profissional livre do uso de programas gráficos como o AutoCAD para o cálculo de
volume e áreas que, como abordado neste trabalho, são de alto custo comercial e
dependem de pessoas qualificadas para elaboração de modelos tridimensionais
complexos.
Ressalta-se a extrema importância da Modelagem Matemática em parceria com
a informática, pois graças a estes dois fatores foi possível verificar muito antes do
término do modelo, se as equações elaboradas correspondiam ao volume real do
sólido e à área real da planificação. Uma vez encontrados valores divergentes
significativos, o modelo era ajustado ou corrigido a fim de se obter o máximo de
confiabilidade entre os valores.
Para trabalhos futuros, propõe-se a elaboração de modelos matemáticos para
encontrar o volume de peças de transição de tubulações elípticas para circulares e
elípticas para quadrangulares, assim como a área das planificações.
42
REFERÊNCIAS
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.
ARAUJO, Etevaldo C. Curso técnico de caldeiraria. 2. ed. São Paulo: Hemus, 2002.
AUTOCAD. Wikipédia. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/AutoCAD>. Acesso em: 21 maio 2008.
BARON, Margaret E.; BROS, H. J; MAIER, Rudolf (Trad.). Curso de história da matemática: origens e desenvolvimento do cálculo: unidade 1. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1985.
BASSANEZI, R. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2004. p. 15-41.
______. Modelagem matemática: uma disciplina emergente nos programas de formação de professores. Disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/~biomat/bio9art_1.pdf>. Acesso em: 04 abr. 2008.
BOYER, Carl B.; GOMIDE, Elza F (Trad.). História da matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
CÁLCULO MATEMÁTICO. História da geometria espacial. Disponível em: <http://calculomatematico.vilabol.uol.com.br/geoespacial.htm>. Acesso em: 11 nov. 2007.
DI PIERRO NETTO, Scipione; ORSI FILHO, Sérgio. Quanta: matemática em fascículos para o ensino médio: os sólidos geométricos e suas medidas. São Paulo: Saraiva, 2000.
GIECK, Kurt; LAUAND, Carlos Antônio (Trad.). Manual de fórmulas técnicas. São Paulo: Hemus, 2001.
IMPA. Uma introdução ao cálculo de volumes. Disponível em: <http://www.ensinomedio.impa.br/materiais/tep/cap5.pdf>. Acesso em: 14 nov. 2007.
43
LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica 3. ed. São Paulo: HARBRA, 1994. V.2.
LEITHOLD, Louis; PATARRA, Cyro de Carvalho (Trad.). O cálculo com geometria analítica 3. ed. São Paulo: HARBRA, 1994. V.1.
PALLONE, S. Empresas também utilizam métodos matemáticos. Disponível em: <http://www.comciencia.br/reportagens/modelagem/mod05.htm>. Acesso em: 21 maio 2008.
SENAI – RS. Informações Técnicas-Mecânicas. 10. ed. Porto Alegre: CFP SENAI de Artes Gráficas “Henrique d´Ávila Bertaso”, 1996.
SOMATEMÁTICA. História da geometria. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/geometria.php>. Acesso em: 11 nov. 2007.
45
APÊNDICE A - Desenvolvimento detalhado do modelo matemático para o cálculo do
volume da peça de transição quadrado para circular
4321 .4.4.8.8 SSSSTS VVVVV +++=
Substituindo S1, S2, S3 e S4 pelas respectivas equações:
⋅⋅+
⋅⋅+
+
⋅⋅=
6.4
6.4
3
..8
6.8
AhbDphhChAbVTS
Simplificando a expressão tem-se:
( )DpCbAh
VTS ⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅
= 423
2
Substituindo as variáveis A e D:
−
+
⋅+⋅+
−⋅⋅⋅
⋅= 2
22
224
22
3
2r
bbpC
dbb
hVTS
( )[ ]
⋅⋅−⋅−⋅+⋅−⋅⋅
−⋅⋅
=2
22282
3
22
2 bpdbCrphVTS
Substituindo C:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
⋅⋅−⋅−⋅+−⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅
−⋅⋅
=2
22282
3
22
2 bpdbLsBspssrphVTS
46
Substituindo s:
( )
⋅⋅−⋅−⋅
+
−
++⋅
−
++
⋅
−
++⋅
++
⋅−⋅⋅
−⋅⋅
=2
222
22
228
2
3
22
2
bpdb
LLBp
BLBp
pLBpLBp
rp
hVTS
( )( )[ ]
+⋅⋅−+⋅⋅+⋅−−⋅
+⋅⋅−⋅−⋅−⋅⋅
−⋅⋅
=2
2222
2222
3
242242224
2
2
pLpLBpLB
bpdbrp
hVTS
Substituindo B e A contido em B:
( )
( )
+⋅⋅−+
+⋅⋅−⋅
⋅⋅+⋅−
+⋅⋅−⋅
−+⋅⋅−⋅−⋅−⋅⋅
−⋅⋅
=2
2
2
22
222
22
2222
3
2
4224
222
22
422
2
2
pLpL
ddbb
pLddbb
bpdbrp
hVTS
47
( )
( )( )( )
⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅−⋅−
⋅⋅−⋅+
⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅−⋅−⋅
−
+⋅⋅⋅−⋅−⋅
−⋅⋅
−⋅⋅
=4
168164
168
84328161616
2244
4
3
2422423
222
3422224
2
2
pdpdbdpd
bpd
bdbLpddbbL
bpdb
rp
hVTS
Substituindo L:
( )
( )( )( )
⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅−⋅−
⋅⋅−⋅+
⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅−⋅−⋅
−
+⋅⋅⋅−⋅−⋅
−⋅⋅
−⋅⋅
=4
910204
208
84248161616
2244
4
3
2422423
222
3422224
2
2
pdpdbdpd
bpd
bdbDpddbbD
bpdb
rp
hVTS
Substituindo D novamente:
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
4 3 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
3 2 4 2 2 4
4 4 4 2 2
16 32 2 32 16 8 24
16 2 8 2 24 2 4 32
4 20 10 92
3 4TS
p r b d p b
r b r b b d d p r
d b d p b r d p b
d p d b d p d ph
V
⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ −
⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅
− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅⋅ = ⋅ −
48
Substituindo r2 sendo dr ⋅= 4829,02 :
( )
( ) ( )
⋅+⋅⋅−⋅
+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅−⋅−⋅
+⋅⋅−⋅⋅−−
⋅⋅
=
4224
23222
2
95971,150045,0
3909,360983,0325355,025,0
4829,07071,0
3
2
pdpd
bdpdbpd
dpbpdbh
VTS
Substituindo p sendo dp ⋅= 2588,0 tem-se a equação da perda do volume em relação ao cubo:
⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅
⋅=
432222 9998,05357,26077,125,01250,08170,03
2dbdbddbdb
hVTS
APÊNDICE B - Desenvolvimento detalhado do modelo matemático para o cálculo da
área da planificação da peça de transição quadrado para circular
( ) 231 42 AAAAT ⋅++⋅=
Substituindo A1, A2 e A3 pelas suas respectivas equações:
( ) ( ) ( ) ( )msnspsspssmsEb
AT −⋅−⋅−⋅⋅+
⋅−⋅−+
+⋅= 11112
2
22 42
2
Para facilitar, cada expressão foi simplificada individualmente. Para isso foram
atribuídas variáveis dividindo a equação em quatro partes: A, B, C e D.
( ) ( ) ( ) ( )������ ������� ������������
����� DCBA
T msnspsspssmsEb
A −⋅−⋅−⋅⋅+
⋅−⋅−+
+⋅= 11112
2
22 42
2
Simplificando A:
2
4
2
2
2
22
222
2
2
22
dbdbhb
dbhb
AhbEbA
+⋅⋅−+⋅
=
−+⋅
=+⋅
=
+=
49
4
24 222 bddbhbA
⋅⋅−++⋅=
Simplificando B:
( )2
22
pm
m
mbmsB =
−
+=−= , sendo dp
dp ⋅=⇒⋅= 2588,0
25176,0
dBd
B ⋅=⇒⋅
= 1294,02
2588,0
Simplificando C:
⋅⋅+−
⋅+⋅⋅+=
+⋅−
+=⋅−=
2
2
4
44
2
2
2
2 2222
2
2
2
pmpmpmpmpp
mppssC
2
4 22 pmC
−⋅=
Substituindo p:
( )
2
0670,04
2
2588,04 2222 dmdmC
⋅−⋅=
⋅−⋅=
Substituindo m:
( )2
0670,044
2
0670,04 22222
22 dhLdhLC
⋅−⋅+⋅=
⋅−+⋅=
Substituindo L e p contido em L:
( )
2
0670,041294,04 222
22 dhdDC
⋅−⋅+
⋅+⋅
=
50
2
0670,040670,04 2222 dhdDC
⋅−⋅+⋅+⋅=
2
44 22 hDC
⋅+⋅=
Substituindo D:
( )2
22222
2
422
422
2
2
2
2
2
2
22
hbrbrhr
bb
C⋅++⋅⋅⋅−⋅⋅
=
⋅+
−
+
⋅
=
Substituindo 2r , sendo dr ⋅= 4829,02 :
222 49328,07317,222
1hddbbC ⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅=
Simplificando D:
( ) ( ) ( )msnspssD −⋅−⋅−⋅⋅= 11114
Substituindo 1s :
−
++⋅
−
++⋅
−
++⋅
++⋅= m
mnpn
mnpp
mnpmnpD
22224
Simplificando:
−+⋅
−+⋅
−+⋅
++⋅=
22224
mpnnpmpnmmnpD
51
Simplificando:
422422224 222 pnpnmpmnmD −+−++−=
Substituindo m:
( ) ( ) ( ) 42242
2222
2224
22 222 pnpnhLphLnhLD −+−+⋅++⋅++−=
4224222222224224 222222 pnpnhpLphnLnhLhLD −+−++++−−−−=
Substituindo L e simplificando a expressão:
( )[ ] ( ){ }2224222422224 5625,05,25,125,122 pnpnhpnhDpnhDD +−++−++−+−=
Substituindo D e simplificando a expressão:
( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )
+−++−++−+
+⋅+−+−+−++⋅−−=
422422242222
4
2
222222
2
22223
2
24
2
5625,05,25,1275,0
25,05,034425,12235,04
pnpnhpnhbpnh
brbpnhbrpnhbrbrD
Substituindo n e simplificando a expressão:
( )[ ] ( )[ ]( ) ( )
+−+⋅−++++−+
⋅⋅⋅−+−⋅+−+−+⋅−−=
4224222422224
2
2222222
2
22223
2
24
2
5625,05,13750,15,00625,05,225,0
5,0345,045,125,225,04
phphbphbEphbE
rbphbEbrphbErbrD
Substituindo E e simplificando a expressão:
( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( )
−−−+⋅−−⋅−+
⋅⋅+−−+−++⋅−−=
42222423222
2
2222
2
2223
2
24
2
5625,046250,00625,025,125,0225,0
5,0325,15,025,04
phpdpdbdpdbpd
rbpddbrpddbbrbrD
52
Substituindo 2r , sendo dr ⋅= 4829,02 :
( ) ( ) ( )
( )[ ]
⋅+−⋅−
−−−+⋅−−⋅−⋅−=
2232
42222423222
5,04488,10324,09658,0
5625,049748,00003,025,10168,027164,0
bdpdbd
phpdpdbdpdbpdD
Substituindo p , sendo dpd
p ⋅=⇒⋅= 2588,02
5176,0 :
( )[ ] ( ) 232224322 5,01295,09658,02679,00625,00669,05825,0 bdbddhdbdbdD ⋅−++−+−=
( ) DCBAAT +⋅+⋅= 2
Portanto:
( )[ ] ( ) 232224322
222222
5,01295,09658,02679,00625,00669,05825,0
49328,07317,221294,02
24
bdbddhdbdbd
hddbbdbddbhb
AT
⋅−++−+−+
⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅−++⋅
=
54
ANEXO 1 - Protótipo da planificação da peça de transição utilizado para o
desenvolvimento do modelo para o cálculo da área
ANEXO 2 - Peça de transição interligando cone com válvula gaveta num reservatório
de água
55
ANEXO 3 - Peça de transição de quadrado para circular utilizada como moega
ANEXO 4 - Churrasqueira acoplada a uma peça de transição