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EQUAES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA
Prof.a Paula Francis Benevides
Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Curitiba Gerncia de Ensino e Pesquisa Departamento Acadmico de Matemtica
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Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
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Contedo
AULA 1 ............................................................................................................................ 6
AULA 2 ............................................................................................................................ 8
1.1 INTRODUO ............................................................................................................ 8 1.2 DEFINIO .................................................................................................................... 9 1.3 CLASSIFICAO ............................................................................................................... 9
1.3.1 Tipo: ....................................................................................................................... 9 1.3.2 Ordem: ................................................................................................................... 9 1.3.3 Grau: ...................................................................................................................... 9 1.3.4 Linearidade: ......................................................................................................... 10
1.4 ORIGEM DAS EQUAES DIFERENCIAIS: ............................................................................ 10
AULA 3 .......................................................................................................................... 12
2. RESOLUO ........................................................................................................... 13
2.1 CURVAS INTEGRAIS: ...................................................................................................... 13 2.2 SOLUO: ................................................................................................................... 13 2.3 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) ................................................................................. 14 2.4 TEOREMA DA EXISTNCIA DE UMA NICA SOLUO ............................................................. 15 2.5 EQUAES DIFERENCIAIS AUTNOMAS............................................................................. 16
3. EQUAES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU ............................................. 18
3.1 EQUAES DE VARIVEIS SEPARVEIS ............................................................................... 18 3.1.1 Resoluo: ............................................................................................................ 18
AULA 4 .......................................................................................................................... 22
3.2 EQUAES HOMOGNEAS .............................................................................................. 22 3.2.1 Funo Homognea ............................................................................................. 22 3.2.2 Equao Homognas ........................................................................................... 22
3.2.2.1 Resoluo: .................................................................................................................................................23
AULA 5 .......................................................................................................................... 26
3.3 EQUAES REDUTVEIS S HOMOGNEAS E EQUAES REDUTVEIS AS DE VARIVEIS SEPARADAS . 26
3.3.1 O determinante 22
11
ba
ba diferente de zero ...................................................... 26
3.3.2 O determinante 22
11
ba
ba igual a zero. .............................................................. 28
AULA 6 .......................................................................................................................... 31
3.4 EQUAES DIFERENCIAIS EXATAS .................................................................................... 31
AULA 7 .......................................................................................................................... 34
3.4.1 Fator Integrante ................................................................................................... 34
AULA 8 .......................................................................................................................... 37
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3
3.5 EQUAES LINEARES: .................................................................................................... 37 3.5.1 Fator Integrante: .................................................................................................. 37 3.5.2 Substituio ou de Lagrange: .............................................................................. 39
AULA 9 .......................................................................................................................... 42
3.6 EQUAES NO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTVEIS A LINEARES: ................................. 42 3.6.1 Equaes de Bernoulli: ......................................................................................... 42
AULA 10 ........................................................................................................................ 45
3.6.2 Equao de Ricatti ............................................................................................... 45
AULA 11 ........................................................................................................................ 48
4. EQUAES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM ............................................. 48
4.1 ENVOLTRIAS E SOLUES SINGULARES ............................................................................ 48 4.1.1 Definies: ............................................................................................................ 48 4.1.2 Equao da Envoltria ......................................................................................... 49 4.1.3 Solues Singulares .............................................................................................. 50
AULA 12 ........................................................................................................................ 52
4.1.4 Equao de Clairaut ............................................................................................. 52
AULA 13 ........................................................................................................................ 54
4.1.5 Equao de Lagrange: ......................................................................................... 54 4.1.6 Outros tipos de equao de 1a Ordem e grau diferente de um: .......................... 56
AULA 14 ........................................................................................................................ 58
5. EXERCCIOS GERAIS ................................................................................................ 58
AULA 15 ........................................................................................................................ 60
6. EQUAES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMTICOS ..................................... 60
6.1 MODELO MATEMTICO ................................................................................................. 60 6.2 DINMICA POPULACIONAL .............................................................................................. 61 6.3 MEIA VIDA .................................................................................................................. 63 6.4 DECAIMENTO RADIOTAIVO ............................................................................................. 65 6.5 CRONOLOGIRA DO CARBONO .......................................................................................... 65 6.6 RESFRIAMENTO ............................................................................................................ 66 6.7 MISTURAS ................................................................................................................... 68 6.8 DRENANDO UM TANQUE ................................................................................................ 70 6.9 DISSEMINAO DE UMA DOENA ..................................................................................... 72 6.10 CORPOS EM QUEDA ....................................................................................................... 74
6.10.1 Corpos em queda e a resistncia do ar .............................................................. 76 6.11 CORRENTE DESLIZANTE .................................................................................................. 78 6.12 CIRCUITOS EM SRIE ...................................................................................................... 80
AULA 16 ........................................................................................................................ 87
7. EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E ORDEM SUPERIOR ................. 87
AULA 17 ........................................................................................................................ 89
7.1 EQUAES LINEARES E HOMOGNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES ..................................... 89
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7.1.1 Caso 1: Razes Reais Distintas. ............................................................................. 90 7.1.2 Caso 2: Razes Mltiplas. ..................................................................................... 90 7.1.3 Caso 3: Razes complexas distintas. ..................................................................... 91
AULA 18 ........................................................................................................................ 94
7.2 EULER - CAUCHY........................................................................................................... 94
AULA 19 ........................................................................................................................ 97
7.3 EQUAES LINEARES NO HOMOGNEAS .......................................................................... 97 7.3.1 Soluo por coeficientes a determinar (Descartes): ............................................ 97
AULA 20 ...................................................................................................................... 100
7.3.2 Soluo por variao de parmetros ................................................................. 100
AULA 21 ...................................................................................................................... 103
7.3.3 Mtodo do Operador Derivada .......................................................................... 103 7.3.3.1 Definio .................................................................................................................................................103 7.3.3.2 Propriedades ...........................................................................................................................................103 7.3.3.3 Equaes Diferenciais .............................................................................................................................103 7.3.3.4 Operador Anulador .................................................................................................................................104 7.3.3.5 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores ...................................................................105 7.3.3.6 Resoluo de Equaes Lineares ............................................................................................................106
AULA 22 ...................................................................................................................... 109
8. EXERCCIOS GERAIS .............................................................................................. 109
AULA 23 ...................................................................................................................... 111
9. MODELAGEM COM EQUAES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR .................... 111
9.1 EQUAES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL: ....................................... 111 9.1.1 Sistema Massa-Mola: Movimento Livre no amortecido .................................. 111
9.1.1.1 ED do Movimento Livre no amortecido: ...............................................................................................112 9.1.1.2 Soluo e Equao do Movimento:.........................................................................................................112
9.1.2 Sistema Massa-Mola: Movimento Livre Amortecido ........................................ 113 9.1.2.1 ED do Movimento Livre Amortecido: ......................................................................................................113
9.1.3 Sistema Massa Mola: Movimento Forado ....................................................... 116 9.1.3.1 ED do Movimento Forado com Amortecimento: ..................................................................................116 9.1.3.2 ED de um Movimento Forado No Amortecido: ...................................................................................117
9.1.4 Circuito em Srie Anlogo - Circuitos eltricos RLC em srie ............................. 118 9.2 EQUAES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO............................................. 119
9.2.1 Deflexo de uma viga: ....................................................................................... 119 9.2.1.1 Solues No Triviais do Problema de Valores de Contorno: .................................................................120 9.2.1.2 Deformao de uma Coluna Fina: ...........................................................................................................121 9.2.1.3 Corda Girando: ........................................................................................................................................123
AULA 24 ...................................................................................................................... 128
10. SISTEMA DE EQUAES DIFERENCIAIS .............................................................. 128
10.1 SISTEMA CANNICO E SISTEMA NORMAL: ............................................................ 128
AULA 25 ...................................................................................................................... 131
10.2 SISTEMAS DE EQUAES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMTRICA ........................... 131
AULA 26 ...................................................................................................................... 134
10.3 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ..................................... 134
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10.3.1 Vetor soluo ................................................................................................... 135 10.3.2 O Problema de Valores Iniciais ........................................................................ 136
10.3.2.1 Existncia de uma nica soluo ...........................................................................................................136 10.3.3 Sistemas homogneos ..................................................................................... 136
10.3.3.1 Princpio da Superposio .....................................................................................................................137
10.3.4 Independncia Linear ....................................................................................... 138 10.3.4.1 Critrio para Solues Linearmente Independentes .............................................................................138
10.3.5 Conjunto fundamental de soluo ................................................................... 139 10.3.5.1 Soluo Geral - Sistemas Homogneos .................................................................................................139
10.3.6 Sistemas no homogneos .............................................................................. 140 10.3.6.1 Soluo Geral - Sistemas No-Homogneos .........................................................................................140
10.3.7 Uma Matriz Fundamental ................................................................................ 142 10.3.7.1 Uma Matriz Fundamental No-Singular .............................................................................................143 10.3.7.2 Matriz Especial ......................................................................................................................................143
10.3.7.3 t uma Matriz Fundamental ........................................................................................................145
AULA 27 ...................................................................................................................... 150
10.4 SISTEMAS LINEARES HOMOGNEOS ................................................................................ 150 10.4.1 Autovalores reais e distintos ............................................................................ 150 10.4.2 Autovalores complexos .................................................................................... 152 10.4.3 Autovalores de Multiplicidade dois ................................................................. 153
AULA 28 ...................................................................................................................... 158
10.5 SISTEMAS NO HOMOGNEOS ....................................................................................... 158 10.5.1 Coeficientes Indeterminados ........................................................................... 158 10.5.2 Variao de Parmetros .................................................................................. 161
AULA 29 ...................................................................................................................... 165
11. RESOLUO POR SRIES DE POTNCIA: ............................................................. 165
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AULA 1
REVISO DE INTEGRAIS
Resolva as seguintes integrais:
1) dxx )13( R: Cxx
2
3 2
2) dxx
x
4= R: Cxx 48
3
2
3)
dxx
x2
2 )1( R: C
xx
1
4)
21 x
dx R: Carcsenx
5)
dxx
x21
R: Cx 21ln2
1
6) )1( 2xx
dx R: C
x
x
1ln
2
12
2
7)
21 xdx
R: Cx arctan
8) 42x
dx R: C
x
x
2
2ln
4
1
9) x
dx
3 R: C
x
3
1ln
10)
dxx
x3
21 R: Cx
x ln
2
12
11)
dxx
x3
2 )1( R: Cx
x ln
2
12
12) dxx
x
tan
sec2 R: Cx tanln
13)
dx
ax
ax22
22
R: Cax
axax
ln
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7
14)
dx
ax
ax22
22
R: Ca
xax arctan2
15) dxxex3
R: Cxe x 139
1 3
16)
dx
xx
x
12
12
R: Cxx 12ln2
1 2
17)
dx
xx
xx32
2
31
2 R: Cxx 13ln
3
1 23
18)
dx
x
x21
1 R: Cxx arctan1ln
2
1 2
19)
22 31231
3
xx
xdx R: Cx 231ln
2
20)
dx
x
x
35
13 R: Cxx 35ln
25
4
5
3
21)
dx
xx
x
145
152
R: Cxxx )25arctan(145ln2
1 2
22)
dx
x
x
10
12 R: Cxx 10ln212
23) dxxex )2.(1
ln
R: Cxx 2ln
24)
dxx
xe x
2
arctan
1
arctan. R: Cex x arctan.1arctan
25) xdxex sin.cosln R: C
x
2
sin 2
26) dxxe x )2( 3
2
R: Cex x 2
).1( 2
27)
dxxxe x
64
)123(4 22 R: C
xxe x
4
3
22
3
16
22
28) dxxex )4.( 22 R: Cexx x 22 ).122(
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AULA 2
EQUAES DIFERENCIAIS
1.1 INTRODUO
Antes de mais nada, vamos recordar o que foi aprendido em Clculo!!! A derivada dxdy
de uma funo = () nada mais do que uma outra funo () encontrada por uma regra
apropriada. Como por exemplo, a funo = 3 diferencivel no intervalo (, ), e a sua
derivada 23.
3
xedx
dy x . Se fizermos3xey teremos:
23. xydx
dy
(1)
Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equao (1) e perguntasse qual a funo
representada por y? Apesar de voc no fazer ideia de como ela foi construda, voc est a frente de
um dos problemas bsicos desta disciplina: como resolver essa equao para a desconhecida funo
= ()? O problema semelhante ao familiar problema inverso do clculo diferencial, onde dada uma derivada, encontrar uma antiderivada.
No podemos deixar de lado a diferena entre a derivada e a diferencial, pois, embora a
derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois operadores tm
significados bastante diferentes. As diferenas mais marcantes so:
a derivada tem significado fsico e pode gerar novas grandezas fsicas, como por exemplo a velocidade e a acelerao; a diferencial um operador com propriedades
puramente matemticas;
a derivada transforma uma funo em outra, mantendo uma correspondncia entre os pontos das duas funes (por exemplo, transforma uma funo do segundo grau em uma
funo do primeiro grau); a diferencial uma variao infinitesimal de uma grandeza;
a derivada uma operao entre duas grandezas; a diferencial uma operao que envolve uma grandeza;
o resultado de uma derivada no contm o infinitsimo em sua estrutura; consequentemente, no existe a integral de uma derivada; a integral s pode ser aplicada
a um termo que contenha um diferencial (infinitsimo);
se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se:
dx
dy
em total semelhana com a definio de derivada. A consequncia direta desse fato que a
derivada no o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse
quociente. Isto significa que a partir da relao:
)(xfdx
dy
possvel escrever:
dxxfdy )(
que se denomina equao diferencial.
uma das aplicaes mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais a obteno da equao diferencial, etapa fundamental para a introduo do Clculo Integral.
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1.2 Definio
Equao diferencial uma equao que relaciona uma funo e suas derivadas ou
diferenciais. Quando a equao possui derivadas, estas devem ser passadas para a forma diferencial.
1) 13 xdx
dy
2) 0 ydxxdy
3) 0232
2
ydx
dy
dx
yd
4) xyyy cos')"(2'" 2
5) 2 3 2( ") ( ') 3y y y x
6) yxdt
dy
dt
dx35
7) yxy
z
x
z
22
2
2
2
8) y
zxz
x
z
1.3 CLASSIFICAO
1.3.1 TIPO:
Se uma equao contiver somente derivadas ordinrias de uma ou mais variveis
dependentes em relao a uma nica varivel independente, como em (1) a (6), as derivadas so
ordinrias e a equao denominada equao diferencial ordinria (EDO). Uma ED pode conter
mais de uma varivel dependente, como no caso da equao (6)
Uma equao que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variveis dependentes de
duas ou mais variveis independentes, como em (7) e (8), a equao denominada equao
diferencial parcial (EDP). As equaes diferenciais parciais no sero vistas neste curso.
1.3.2 ORDEM:
A ordem de uma equao diferencial a ordem de mais alta derivada que nela aparece. As
equaes (1), (2) e (6) so de primeira ordem; (3), (5) e (7) so de segunda ordem e (4) de terceira
ordem.
1.3.3 GRAU:
O grau de uma equao diferencial, que pode ser escrita, considerando a derivadas, como
um polinmio, o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. Todas as equaes dos
exemplos acima so do primeiro grau, exceto (5) que do segundo grau.
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10
1
3
33
3
dx
yd
y
dx
ydx
3
32
3
3
dx
ydy
dx
ydx
3a ordem e 2o grau
yxdx
dy 2lnln y
x
dx
dy
2
ln yedx
dy
x.
12
yexdx
dy 2 1a ordem e 1o grau
Observe que nem sempre primeira vista, pode-se classificar a equao de imediato
quanto a ordem e grau.
1.3.4 LINEARIDADE:
Dizemos que uma equao diferencial ordinria
)()()()()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
de ordem n linear quando so satisfeitas as seguintes condies:
1) A varivel dependente y e todas as suas derivadas nyyy ,,",' so do primeiro grau, ou
seja, a potncia de cada termo envolvendo y um.
2) Os coeficientes naaa ,,, 10 de nyyy ,,",' dependem quando muito da varivel
independente x .
Exemplos:
a) 08)( xdydxxy
b) 072
2
ydx
dy
dx
yd
c) xydx
dyx
dx
yd245
3
3
So respectivamente equaes diferenciais ordinrias lineares de primeira, segunda e
terceira ordem.
1.4 ORIGEM DAS EQUAES DIFERENCIAIS:
Uma relao entre as variveis, encerrando n constantes arbitrrias essenciais, como
Cxxy 4 ou BxAxy 2 , chamada uma primitiva. As n constantes, representadas sempre
aqui, por letras maisculas, sero denominadas essenciais se no puderem ser substitudas por um
nmero menos de constantes.
Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrrias essenciais, dar origem a uma
equao diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrrias. Esta equao aparece eliminando-se
as n constantes entre as )1( n equaes obtidas juntando-se primitiva as n equaes provenientes
de n derivadas sucessivas, em relao a varivel independente, da primitiva.
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Obter a equao diferencial associada s primitivas abaixo:
a) Cxx
y 2
3 2
b) xCsenxCy cos21
c) 2Cxy
d) 22
1 CxCy
e) )cos( bxay onde a e b so constantes
f) xx eCeCy 22
31
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AULA 2 - EXERCCIOS
Nos exerccios de 1 a 12, obter a equao diferencial associada a primitiva:
1) 222 Cyx
2) xCey
3) )( 223 yxCx
4) xCxCy 2sin2cos 21
5) 321 )( CexCCyx
6) xx eCeCy 2
21
7) ayy
x1ln
8) Cyxyx 5332
9) CBxAxy 2
10) CBeAey xx 2
11) xxx eCeCeCy 3
22
31
12) BAxy 2ln
13) Obter a equao diferencial da famlia de crculos de raio 10, cujos centros
estejam sobre o eixo y.
Respostas:
1) 0 ydyxdx
2) 0 ydx
dy
3) dx
dyxyxy 23 22
4) 042
2
ydx
yd
5) 022
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 022
2
ydx
dy
dx
yd
7) 0ln ydx
dy
y
xx
8) 05332 2
dx
dyxyxy
dx
dyxy
9) 03
3
dx
yd
10) 0232
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
11) 061162
2
3
3
ydx
dy
dx
yd
dx
yd
12) 2" ' ( ') 0xyy yy x y
13) 2
22
100 x
x
dx
dy
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AULA 3
2. RESOLUO
Resolver uma ED determinar todas as funes que, sob a forma finita, verificam a
equao, ou seja, obter uma funo de variveis que, substituda na equao, transforme-a numa
identidade. A resoluo de uma equao diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira,
que a preparao da equao, que consiste em fazer com que cada termo da equao tenha, alm
de constantes, um nico tipo de varivel. A segunda etapa a resoluo da equao diferencial e
consiste na aplicao dos mtodos de integrao.
2.1 CURVAS INTEGRAIS:
Geometricamente, a primitiva a equao de uma famlia de curvas e uma soluo
particular a equao de uma dessas curvas. Estas curvas so denominadas curvas integrais da
equao diferencial.
xdx
dy2
2.2 SOLUO:
a funo que quando substituda na equaodiferencial a transforma numa identidade. As
solues podem ser:
Soluo geral: A famlia de curvas que verifica a equao diferencial, (a primitiva de uma equao diferencial) contem tantas constantes arbitrrias quantas forem as unidades
de ordem da equao.
Soluo particular: soluo da equao deduzida da soluo geral, impondo condies iniciais ou de contorno. Geralmente as condies iniciais sero dadas para o instante
inicial. J as condies de contorno aparecem quando nas equaes de ordem superior os
valores da funo e de suas derivadas so dadas em pontos distintos.
Soluo singular: Chama-se de soluo singular de uma equao diferencial envoltria da famlia de curvas, que a curva tangente a todas as curvas da famlia. A
soluo singular no pode ser deduzida da equao geral. Algumas equaes diferenciais
no apresentam essa soluo. Esse tipo de soluo ser visto mais adiante.
As solues ainda podem ser:
Soluo explcita: Uma soluo para uma EDO que pode ser escrita da forma )x(fy
chamada soluo explcita.
Soluo Implcita: Quando uma soluo pode apenas ser escrita na forma 0)y,x(G
trata-se de uma soluo implcita.
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14
Exemplo:
Consideremos a resoluo da seguinte EDO: xdx
dy1
cxxy
dxxdy
23
3
2
1
A soluo geral obtida obviamente uma soluo explicita.
Por outro lado, pode-se demonstrar que a EDO:
2
2
xxy
y
dx
dy
tem como soluo: x
y
Cey , ou seja, uma soluo implcita.
Exemplo:
Verifique que 16
xy
4
uma soluo para a equao 21
xydx
dy no intervalo ),( .
Resoluo:
Uma maneira de comprovar se uma dada funo uma soluo escrever a equao
diferencial como 0xydx
dy 21
e verificar, aps a substituio, se a diferena acima 21
xydx
dy
zero paratodo x no intervalo.
4
x
dx
dy
16
x4
dx
dy 33
Substituindo na E.D., temos
044
044
0164
332321
43
xxxx
xxx
x
Esta condio se verifica para todo Rx
2.3 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
Seja a equao diferencial de primeira ordem ),( yxfdx
dy sujeita a condio inicial
00 y)x(y , em que 0x um nmero no intervalo I e 0y um nmero real arbitrrio, chamado de
problema de valor inicial. Em termos geomtricos, estamos procurando uma soluo para a equao
diferencial definida em algum intervalo I tal que o grfico da soluo passe por um ponto (xo, yo)
determinado a priori.
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15
Seja xe.cy a famlia a um parmetro de solues para y'=y no intervalo ),( . Se
especificarmos que y(0) = 3, ento substituindo x = 0 e y = 3 na famlia, temos:
x0 e.3ye3ce.c3
Se especificarmos que y(1) = 3, ento temos:
1xx111 e3ye.e3yee.3ce.c3
Ser que a equao diferencial )y,x(fdx
dy possui uma soluo cujo grfico passa pelo
ponto (xo, yo)? Ainda, se esta soluo existir, nica?
As funes y = 0 e 16
xy
4
so solues para o problema de valor inicial
0)0(y
xydx
dy 21
Podemos observar que o grfico destas solues passam pelo ponto (0,0). Desta forma,
deseja-se saber se uma soluo existe e, quando existe, se a nica soluo para o problema.
2.4 TEOREMA DA EXISTNCIA DE UMA NICA SOLUO
Seja R uma regio retangular no plano xy definida por bxa , dyc , que contm o
ponto )y,x( 00 em seu interior. Se )y,x(f e dy
df so contnuas em r, ento existe um intervalo I,
centrado em x0 e uma nica funo y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial
)y,x(fdx
dy , sujeito a 00 y)x(y .
Trs perguntas importantes sobre solues para uma EDO.
1. Dada uma equao diferencial, ser que ela tem soluo?
2. Se tiver soluo, ser que esta soluo nica?
3. Existe uma soluo que satisfaz a alguma condio especial?
Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existncia e Unicidade de soluo
que nos garante resposta para algumas das questes desde que a equao tenha algumas
caractersticas.
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
16
Teorema: Considere o problema de valor inicia
00 )(
)()(
yxy
xqyxpdx
dy
Se p(x) e q(x) so continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 , ento o problema de
valor inicial tem uma nica soluo nesse intervalo.
Alertamos que descobrir uma soluo para uma Equao Diferencial algo similar ao
clculo de uma integral e ns sabemos que existem integrais que no possuem primitivas, como o
caso das integrais elpticas. Dessa forma, no de se esperar que todas as equaes diferenciais
possuam solues.
2.5 EQUAES DIFERENCIAIS AUTNOMAS
As equaes diferenciais da forma
yfdx
dy (2)
so chamadas de autnomas.
Utilizando a manipulao formal introduzida por Liebnitz (1646-1716), podemos escrever a
equao (2) na forma:
)(
1
yfdx
dy (3)
Cuja resoluo :
y
y
dyyf
yxyx0
)(
1)()(
0 (4)
Para justificar a equao (4) necessitamos que )(
1
yf seja bem definida no intervalo de
interesse A, onde 0)( yf e que seja contnua neste intervalo A. Pois, como 0)(
1
yfdy
dx em
A , o Teorema da Funo Inversa garante que existe uma funo inversa da funo )(yx , isto ,
)(xFy tal que )(yfdx
dF em A , o que justifica o procedimento formal.
Portanto, a soluo do problema de condio inicial
00)(
)(
yxy
yfdx
dy
(5)
obtida pela soluo do problema
00)(
)(
1
xyxyfdy
dx
(6)
e com a inverso da funo )(yx .
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
17
As equaes autnomas aparcem na formulao de uma grande quantidade de modelos.
Sempre que uma lei de formao afrma que: a taxa de variao de uma quantidade y(t)
proporcional a esta mesma quantidade, temos uma equao autnoma da forma
kydx
dy (7)
Como, kyyf )( , ento 0*)( yf se 0*y . Devemos procurar solues separadamente
nos dois intervalos 0 y e y0 .
Considerando inicialmente o problema de Cauchy
0)(00
yxy
kydx
dy
(8)
E seu problema inverso
00)(
1
xyxkydy
dx
(9)
Cuja soluo inversa dada por
y
yxyxy
y
kxyy
kxdy
kyxCdy
kyyx
0000
0000
)(
ln1
lnln111
)(
ou seja,
)(
00
0
0)(lnxxk
eyyxxky
y para x R.
Considere a equao autnoma
akydx
dy
sua soluo geral, para k
ay , obtida considerando-se sua forma diferencial
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
18
Cakyk
x
dxdyaky
dxdyaky
ln1
1
1
Portanto,
k
ayea
kyeaky CxkCxk ,
1 )()(
Neste caso, k
ay e a soluo de equilbrio.
3. EQUAES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU
So equaes de 1a ordem e 1o grau:
),( yxFdx
dy ou 0 NdyMdx
em que M = M(x,y) e N = N(x,y).
Estas funes tm que ser contnuas no intervalo considerado (- , )
3.1 EQUAES DE VARIVEIS SEPARVEIS
A equao diferencial 0),(),( dyyxNdxyxM ser de variveis separveis se:
M e N forem funes de apenas uma varivel ou constantes.
M e N forem produtos de fatores de uma s varivel.
Isto , se a equao diferencial puder ser colocada na forma 0)()( dyyQdxxP , a equao chamada equao diferencial de variveis separveis.
3.1.1 RESOLUO:
Para resolvermos tal tipo de equao diferencial, como o prprio nome j diz, deveremos
separar as variveis, isto , deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma
funo exclusivamente da varivel y, e ento integramos cada diferencial, da seguinte forma:
CdyyQdxxP ).().(
Exemplos:
Resolver as seguintes equaes:
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
19
1) 13 xdx
dy
2) 0 xdyydx
3) 04
dyy
xxdx
4) 0secsec. xdytgyydxtgx
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
20
5) 01)1(222 dyxdxyx
6) xyx
y
dx
dy
)1(
12
2
7) 2
2
1
1
x
y
dx
dy
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
21
8) Resolva o problema de valor inicial
AULA 03 EXERCCIOS
1) Verifique quexxey uma soluo para
a equao 0y'y2"y no intervalo
),( .
Resolver as seguintes equaes diferenciais.
2) 0.1
dx
dytgy
x
3) 0)1(4 22 dyxdxxy
4) 0)3()2( dyxdxy
5) 0)1( 2 dyxxydx
6) 42
2
x
e
dx
dy y
7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx
8) dx
dyxyy
dx
dyxa
2
9) 0tansectansec 22 xdyyydxx
10) (x2 + a2)(y2 + b2)dx + (x2 a2)(y2 b2)dy = 0
11) 0)1( ydxdyx
12) 0)1( 2 xydxdyx
13) 0cos xydx
dy
14) xydx
dycos3
15) 0)2(324
dyeydxxyx
Respostas:
1) Esta condio se verifica para todo
nmero real.
2) x cos y = C
3) Cy
1)1xln(2 2
4) (2 + y)(3 x) = C
5) C y2 = 1 + x2
6) C2
xarctge y2
7) Cy
1
x
1
2
1
y
xln
22
8) y
y
k
a aex
ln
2
9) tg x . tg y = C
10) Cb
yarctg.b2y
ax
axlnax
11) y = c(x 1)
12) C.x1y 2
13) senxe
Ky
14) senxCey 3
15) Cy
6
y
9)1x3(e
3
x3
1)0(,42 yydx
dy
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
22
AULA 4
3.2 EQUAES HOMOGNEAS
3.2.1 FUNO HOMOGNEA
Uma funo f = f(x, y) denominada homognea de grau k se, para todo t R, vale a relao f(tx, ty) = tk f(x, y). Uma funo f = f(x, y) homognea de grau 0 se, para todo t R, vale a relao f(tx, ty) = f(x, y)
Exemplos:
1) A funo f(x, y) = x2 + y2 homognea de grau 2,
pois )y,x(ft)yx(tytxt)ty()tx()ty,tx(f 2222222222
2) 4y
x)y,x(g
2
2
homognea de grau zero pois,
)y,x(ft4y
xt4
y
x4
yt
xt4
)ty(
)tx()ty,tx(g 0
2
20
2
2
22
22
2
2
3) f(x,y) = 2x3 + 5xy2 homognea de grau trs pois,
)y,x(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)y,x(f 3233233323
Se f(x, y) for uma funo homognea de grau n, note que podemos escrever
x
y,1fx)y,x(f n e
1,
y
xfy)y,x(f n so ambas homogneas de grau n.
Exemplo:
Seja 22 yxy3x)y,x(f homognea de grau 2. Logo,
x
y,1fx
x
y
x
y.31x
x
y
x
y31x)y,x(f 2
22
2
22
1,
y
xfy1
y
x3
y
xy1
x
y3
y
xy)y,x(f 2
22
2
22
3.2.2 EQUAO HOMOGNAS
A equao 0dy)y,x(Ndx)y,x(M ser chamada de equao diferencial homognea se
M e N forem funes homogneas de mesmo grau.
Exemplos:
1) xy
yx
dx
dy 22
2) 2
2
'y
xy
3)
x
yarctgy'
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
23
3.2.2.1 Resoluo:
Seja a equao homognea Mdx + Ndy = 0
Tem-se:
N
M
dx
dy
Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a potencia
igual ao grau de homogeneidade da equao, resultar uma funo de y/x.
x
yF
dx
dy (1)
necessrio, no entanto, substituir a funo y/x por uma outra que permita separar as
variveis.
Dessa forma, substitui-se x
y por u.
xuy . (2)
Derivando y=x.u em relao ax tem-se
dx
duxu
dx
dy
(3)
Substituindo (2) e (3) em (1), temos:
x
dx
uuF
du
uuFdx
dux
uFdx
duxu
)(
)(
)(
Que uma equao de variveis separveis.
Em resumo:
Pode-se resolver uma Equao Diferencial Homognea, transformando-a em uma equao
de variveis separveis com a substituio y = x.u, onde u = u(x) uma nova funo incgnita.
Assim, dy = xdu + udx uma equao da forma y = f(x, y) pode ser transformada em uma equao
separvel.
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
24
Exemplo:
02)( 22 xydydxyx
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
25
AULA 04 EXERCCIOS
Resolva as seguintes equaes:
1) (x y) dx (x + y) dy = 0
2) (2x y) dx (x + 4y) dy = 0
3) (x2 + y2) dx + (2x + y)y dy = 0
4) (x + y) dx + (y x) dy = 0
5) (x2 + y2) dx xy dy = 0
6) 044
2
2
2
2
dx
dyyxy
dx
dyy
7) Determine a soluo de (x2 3y2)dx + 2xydy = 0 sujeita a condio inicial 1)2(y .
8) Determine a soluo de 0xydy6dx)y3x2( 22 sujeita a condio inicial
3
1)1(y
Respostas:
1) y2 + 2xy x2 = K
2) Kyyxx 22 422
3) y3 + 3xy2 + x3 = k
4)
Cx
yarctgyx
ou
x
yarctgyxC
22
22
1
ln
ln
5) 2
2
2 x
y
kex
6) Cxyx 23 22
7) xxy8
31
8) 1xy9x2 23
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
26
AULA 5
3.3 EQUAES REDUTVEIS S HOMOGNEAS E EQUAES REDUTVEIS AS DE VARIVEIS SEPARADAS
So as equaes que mediante determinada troca de variveis se transformam em equaes
homogneas ou em equaes de variveis separveis.
So equaes da forma:
222
111
cybxa
cybxaF
dx
dy
onde a1, a2, b1, b2, c1 e c2 so constantes.
Observemos que a equao acima no de variveis separveis porque temos uma soma das
variveis x e y e tambm no homognea pela existncia de termos independentes, portanto
deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente. O que equivale a efetuar uma translao de
eixos.
Para esse tipo de equao tem dois casos a considerar:
3.3.1 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba DIFERENTE DE ZERO
Resoluo:
Seja o sistema (1)
0
0
222
111
cybxa
cybxa cuja soluo dada pelas razes x e y .
A substituio a ser feita ser:
dvdyvy
dudxux
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
27
Observa-se que, geometricamente, equivaleu a uma translao dos eixos coordenados para
o ponto ( , ) que a interseo das retas componentes do sistema (1), o que verdadeiro, uma
vez eu o determinante considerado diferente de zero.
Assim sendo, a equao transformada ser:
22222
11111
cbavbua
cbavbuaF
du
dv
Como e so as razes do sistema:
vbua
vbuaF
du
dv
22
11
que uma equao homognea do tipo visto anteriormente.
Exemplo:
Resolver a equao23
132
yx
yx
dx
dy
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
28
3.3.2 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba IGUAL A ZERO.
Assim, observe-se que o mtodo aplicado no 1o caso no far sentido, de vez que as retas
no sistema seriam paralelas e sua interseo seria verificada no infinito (ponto imprprio). A
equao se reduzir a uma de variveis separveis.
Como 22
11
ba
ba = 0, os coeficientes de x e y so proporcionais, de modo que se pode
escrever:
2221 baba 1
2
1
2
b
b
a
a
(1)
Chamando a relao constante (1) de m, pode-se escrever:
1
2
1
2
1
2
c
cm
b
b
a
a
12
12
mbb
maa
Assim:
211
111
)( cybxam
cybxaF
dx
dy
Fazendo tybxa 11 , e sendo )(xft , tem-se:
)(1
1
1
xatb
y
Derivando em relao a x:
1
1
1a
dx
dt
bdx
dy
Equao transformada:
2
11
1
1
cmt
ctFa
dx
dt
b
)(11 tGbadx
dt
que uma equao de variveis separveis.
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
29
Exemplo: Resolver a equao 136
12
yx
yx
dx
dy
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
30
AULA 5 - EXERCCIOS
1) 0dy)1yx3(dx)y3x2(
2) 0dy)5yx2(dx)4y2x(
3) 0dy)8y5x(dx)xy3(
4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(
5) yx1
y3x31
dx
dy
6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(
7) 2y4x3
1y3x
dx
dy
Respostas:
1) 2x2 6xy + y2 + 2y = K
2) (y x + 1)3 = K(x + y 3)
3) k212x
)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22
4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y 7) + C
5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K
6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C
7) x2 - 4y2 - 6xy - 2x + 4y = K
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
31
AULA 6
3.4 EQUAES DIFERENCIAIS EXATAS
Uma equao do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1) denominada diferencial exata, se
existe uma funo U(x,y) tal que dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. A condio necessria e
suficiente para que a equao (1) seja uma diferencial exata que:
x
N
y
M
Dada a equao diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(x,y)=C sua soluo, cuja
diferencial dada por:
dyy
udx
x
udu
(2)
Ento, comparando (1) e (2) teremos:
),( yxMx
u
(3)
e
),( yxNy
u
(4)
Para obtermos a sua soluo ),( yxfu deveremos integrar, por exemplo,a expresso
(3), em relao varivel x, da qual teremos
)(),(),( ygdxyxMyxf
(5)
Derivando parcialmente (5) em relao y teremos:
)('),(
ygy
dxyxM
y
f
(6)
Igualando (6) e (4) resulta:
),()('),(
yxNygy
dxyxM
.
Isolando g(y) e integrando em relao a y acharemos:
1
),(),()( Cdy
y
dxyxMyxNyg
(7)
Substituindo (7) em (5) teremos a soluo geral da equao exata, que :
Cdyy
dxyxMyxNdxyxMyxf
),(
),(),(),(
Logo, a soluo da forma
Cdy
y
PNMdxyxU ),(
onde costuma-se denotar MdxP
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
32
Exemplos:
1) 02)( 22 xydydxyx
2) 0)23()12( dyyxdxyx
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
33
AULA 06 EXERCCIOS
1) (x3 + y2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0
2) ey dx + ( xey 2y) dy = 0
3) 2xy dx + x2 dy = 0
4) senh x.cosy dx = coshx.seny dy
5) 0)( 22 drrdre
Respostas:
1) Ksenyxyx
24
4
2) Cyxe y 2
3) x2y = K
4) coshxcosy = K
5) Kre 22
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
34
AULA 7
3.4.1 FATOR INTEGRANTE
Nem sempre a ED exata, ou seja, Mdx + Ndy = 0 no satisfaz, isso : x
N
y
M
.
Quando isso ocorre vamos supor a existncia de uma funo F(x, y) que ao multiplicar toda
a ED pela mesma resulta em uma ED exata, ou seja, F(x,y)[Mdx +Ndy] = 0, e esta uma ED exata.
Se ela exata, existe cteyxu ),( e MFdx
u.
e NF
dy
u.
Tomando a condio de exatido FNdx
FMy
Fx
NN
x
FF
y
MM
y
F
e achar F por aqui loucura!!!!!!!
Vamos supor ento que F(x,y) = F(x)
x
NFN
x
F
y
MF
dividindo tudo por FN 0 e organizando, temos:
x
N
Nx
F
Fy
M
N
111
x
N
Ny
M
Nx
F
F
111
x
N
y
M
Nx
F
F
11
reescrevendo: dxx
N
y
M
NdF
F
11
integrando: CdxxRF )(ln
dxxRexF
)(.)(
onde:
x
N
y
M
NxR
1)(
analogamente, supondo F(x,y) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos:
dyyReyF
)(.)(
onde:
x
N
y
M
MxR
1)(
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
35
Em resumo:
Quando a expresso Mdx + Ndyno diferencial exata, isto , x
N
y
M
, mostra-se que h
uma infinidade de funes ),( yxF , tais que )( NdyMdxF uma diferencial exata.
A esta funo ),( yxF , d-se o nome de fator integrante.
F(x): F(y):
x
N
y
M
NxR
1)(
x
N
y
M
MyR
1)(
dxxR
exF)(
)(
dyyR
eyF)(
)(
Exemplos:
Resolver as seguintes equaes diferenciais transformando em exatas atravs do fator
integrante.
1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
36
2) (x2 y2) dx + 2xy dy = 0
AULA 07 EXERCCIOS
1) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy
2) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0
3) seny dx + cos y dy = 0
4) Encontre a soluo particular
de dx)yx(xydy2 22 para
2)1(y
5) 0xdy2dx)xy( 2
6) 0xdylnxdx)yx(
7) 2222 yxy
xdy
y
dy
yx
dx
Respostas:
1) x2 cos y + x4 = C
2) Ctgyex
2
3) Ceseny x .
4) xxy 32
5) k5
x2xy2
25
6) kxlnyx
7) Kyxx 22
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
37
AULA 8
3.5 EQUAES LINEARES:
Uma equao diferencial linear de 1a ordem e 1o grau tem a forma:
)()( xQyxPdx
dy
(1)
Se Q(x) = 0, a equao dita homognea ou incompleta; enquanto, se Q(x) 0, a equao
dita no-homognea ou completa. Analisaremos dois mtodos de soluo de equaes diferenciais
desse tipo a saber:
3.5.1 FATOR INTEGRANTE:
Este mtodo consiste na transformao de uma equao linear em outro do tipo diferencial
exata, cuja soluo j estudamos anteriormente. Posto isto, vamos retornando equao original de
nosso problema:
QPydx
dy
Vamos reescrever esta ltima sob a forma
0)( dydxQPy
Multiplicando ambos os membrospor Pdxe (fator integrante) obtemos a expresso
0 dyedxQPyePdxPdx
. Aqui, identificamos as funes M e N:
QPyeMPdx
e
PdxeN
Derivando M com relao a y e N com relao a x, obtemos:
PdxPe
y
Me
PdxPe
x
N
confirmando assim, que a equao transformada uma equao diferencial exata.
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
38
Exemplo1:
Resolver a equao 2 xx
y
dx
dy por fator integrante:
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
39
3.5.2 SUBSTITUIO OU DE LAGRANGE:
Esse mtodo foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange1 (matemtico francs: 1736-1813)
criador da Mecnica Analtica e dos processos de Integrao das Equaes de Derivadas Parciais. O
mtodo consiste na substituio de y por Z.t na equao (1), onde t = (x) e Z= )(x , sendo Z
a nova funo incgnita e t a funo a determinar, assim y = Z.t.
Derivando em relao a x, tem-se:
dx
dZt
dx
dtZ
dx
dy (2)
Substituindo (2) em (1) vamos obter:
QPZtdx
dZt
dx
dtZ
Qdx
dZtPt
dx
dtZ
(3)
Para integral a equao (3), examina-se dois casos particulares da equao (1) a saber:
i) P = 0, ento dy = Qx, logo, CQdxy (4)
ii) Q = 0, ento 0 Pydx
dy (equao homognea) que resulta em dy + Pydx = 0 que de
variveis separveis. Da, 0 Pdxy
dy. Integrando essa ltima, resulta em PdxCyln .
Aplicando a definio de logaritmo, passamos a escrever a soluo PdxCPdxC eeey . Fazendo
Cek , temos Pdx
key (5) que representa a soluo da equao homognea ou incompleta.
Agora, vamos pesquisar na equao (3) valores para t e Z, uma vez que y=Z.t, teremos a
soluo da equao (1) que uma equao linear completa (no-homognea). Se igualarmos os
coeficientes de Z a um certo fator, o valor da obtido poder ser levado ao resto da equao,
possibilitando a determinao de Z uma vez que t pode ser determinado a partir desta condio.
Assim, vamos impor em (3), que o coeficiente de Z seja nulo. Feito isto, 0 Ptdx
dt (6), que da
mesma forma j estudada no caso ii. Assim, Pdx
ket . Substituindo este resultado em Qdx
dZt
obtemos Qdx
dZke
Pdx
. Da, Qekdx
dZ Pdx1
e Qdxek
dZPdx
1. Integrando este ltimo
1
(Turim, 25 de janeiro de 1736 Paris, 10 de abril de 1813)foi um matemtico francs de origem italiana criador da Mecnica Analtica e
dos processos de Integrao das Equaes de Derivadas Parciais
http://pt.wikipedia.org/wiki/Turimhttp://pt.wikipedia.org/wiki/25_de_janeirohttp://pt.wikipedia.org/wiki/1736http://pt.wikipedia.org/wiki/Parishttp://pt.wikipedia.org/wiki/10_de_abrilhttp://pt.wikipedia.org/wiki/1813
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
40
resultado, temos CQdxek
ZPdx
1
(7). Lembrando que y = Z.t, vamos obter, substituindo t e
Z:
CQdxe
kkey
PdxPdx 1, onde resulta, finalmente em:
Cdx.Q.eeyPdxPdx
(8)
que a soluo geral da equao (1)
Exempo 2:
Resolver a equao 2 xx
y
dx
dy por Lagrange
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
41
AULA 8 EXERCCIOS
1) 0cot
x
x
x
y
dx
dy
2) xydx
dyx arctan)1( 2
3) xyxdx
dycos.tan
4) xx
y
dx
dy
5) 32 x
x
y
dx
dy
6) xxydx
dysintan
7) Achar a soluo particular para 0)0(y em x
xydx
dy
cos
1tan.
8) Resolver o problema de valor inicial 3)0(,2 yxxydx
dy
Respostas:
1) Cxx
y )ln(sin1
2) xeCxy arctan.1arctan
3) xCxxy sec2sin4
1
2
11
4) 2xCxy
5) 2
4
6
1
x
Cxy
6)
C
xxy
2
sinsec
2
7) x
xy
cos
8) 2xe
2
7
2
1y
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
42
AULA 9
3.6 EQUAES NO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTVEIS A LINEARES:
Resolver equaes diferenciais no lineares muito difcil, mas existemalgumas delas que
mesmo sendo no lineares, podem ser transformadasem equaes lineares. Os principais tipos de
tais equaes so:
3.6.1 EQUAES DE BERNOULLI:
Equao da forma:
nyxQyxP
dx
dy)()(
(1)
para 1n e 0n , onde P(x) e Q(x) so funes continuas conhecidas como equao de Bernoulli2. Nesse caso, a idia realizar uma substituio na equao acima, demodo a transform-la em uma
EDO linear.
Pois, se:
n = 0 y + P(x)y = g(x) caso anterior n = 1 y + [P(x) g(x)] y = 0 caso anterior e homognea
Soluo:
Transformao de varivel:
Substitui por tyn 1
Deriva-se em relao a x:
dx
dt
dx
dyyn n )1(
(2)
Substituindo (1), que :
nQyPy
dx
dy PyQy
dx
dy n
em (2) temos:
dx
dtPyQyyn nn )1(
dx
dtPyQn n 11
2
Jakob Bernoulli, ou Jacob, ou Jacques, ou Jacob I Bernoulli (Basileia, 27 de Dezembro de 1652 - Basileia, 16 de agosto de 1705), foi o
primeiro matemtico a desenvolver o clculo infinitesimal para alm do que fora feito por Newton e Leibniz, aplicando-o a novos problemas.
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
43
Como ty n 1 , temos:
dx
dtPtQn ))(1(
QntPndx
dt)1(])1[(
Tornando-se assim uma equao linear a ser resolvida pelo mtodo anterior.
Exemplo:
232
xyx
y
dx
dy
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
44
AULA 09 EXERCCIOS
1) 33 yxxy
dx
dy
2) xyydx
dyx ln2
3) 33 yxy
dx
dyx
4) yxyxdx
dy
4
5) 022 xy
dx
dyxy
6) 3xyxy2
dx
dy
7) 2xyy
x
1
dx
dy
Respostas:
1) 2
.1
1
2 xeCxy
2) Cxex
y
).ln(
1
3) 1.22223 yxCyx
4)
2
4 ln2
1
Cxxy
5) x
Cxy ln.2
6) Ke
ey
x
x
2
2
2
22 2
7) Cxx
1y
2
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
45
AULA 10
3.6.2 EQUAO DE RICATTI
A equao de Jacopo Francesco Riccati3 da forma:
)()()(2 xRyxQyxP
dx
dy
(1)
onde P, Q e R designam funes de x. Observamos que, quando P(x)=0 temos a equao linear e,
quando R(x) = 0 temos a equao de Bernoulli. Joseph Liouville4 mostrou que a soluo da
equao de Riccati s possvel quando se conhece uma soluo particular y0. Caso contrrio, ela
s integrvel atravs de uma funo transcendente5.
Resoluo:
Conhecendo-se uma soluo particular 0y da equao (1), pode-se resolver facilmente a
equao fazendo a seguinte mudana de varivel:
zyy 0 (2)
onde 0y e z dependem de x .
Como 0y soluo, temos:
RQyPydx
dy 0
2
00
(3)
Por outro lado, derivando (2) tem-se:
dx
dz
dx
dy
dx
dy 0 (4)
Substituindo (2) e (4) na equao (1) :
RzyQzyPdx
dz
dx
dy )()( 0
2
00
Desenvolvendo e agrupando os termos:
RQyPyzQPyPzdx
dz
dx
dy 0
2
00
20 )2( (5)
3(Veneza, 28 de Maio de 1676 - Treviso, 15 de Abril de 1754) foi um matemtico e fsico italiano que efetuou trabalhos sobre hidrulica
que foram muito importantes para a cidade de Veneza. Ele prprio ajudou a projetar os diques ao longo de vrios canais. Considerou diversas classes
de equaes diferenciais mas conhecido principalmente pela Equao de Riccati, da qual ele faz um elaborado estudo e deu solues em alguns casos especiais.
4(Saint-Omer, Pas-de-Calais, 24 de Maro de 1809 - Paris, 8 de setembro de 1882) foi um matemtico francs. 5
Uma funo chamada de transcendente quando no algbrica (pode ser expressa em termos de somas, diferenas, produtos, quocientes
ou razes de funes polinomiais). As funes trigonomtricas, exponenciais e logartmicas so exemplos de funes transcedentes.
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
46
Substituindo (3) em (5) e reagrupando, resulta em:
2
0)2( PzzQPy
dx
dz (6)
que uma equao de Bernoulli na varivel z, cuja soluo j foi desenvolvida.
Em resumo:
Para sua resoluo algbrica deveremos conhecer uma soluo particular y = y0 qualquer de
(1), na qual a mudana de variveis y = z + y0, ir eliminar o termo independente R(x)
transformando a equao de Riccatti numa equao de Bernoulli.
Exemplo:
Mostrar que xy soluo particular da equao 0121 223 yxxydx
dyx
e
procurar a soluo geral.
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
47
AULA 10 EXERCCIOS
1) Verificar se y = x soluo particular da equao 32
2
x
y
x
y
dx
dy. Em caso afirmativo,
calcular a soluo geral.
2) Mostrar que x
y1
soluo particular da equao 2
2 2
xy
dx
dy e calcular a sua soluo
geral.
3) Sabendo que y = 1 soluo particular da equao 1)12( 2 xxyyxdx
dy calcular a
sua soluo geral.
4) Calcular a soluo da equao 11
121 2
xy
xy
xdx
dy sabendo que y = x soluo
particular.
5) Dar a soluo geral da equao 0232 yydx
dy sabendo que y = - 1 soluo
particular.
Respostas:
1) 1
34
5
Kx
xKxy
2) kx
x
xy
3
231
3) Cxe
Cxey
x
x
)1(
)2(
4) 2
322
xk
xxkxy
5) 1
2
x
x
Ce
Cey
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
48
AULA 11
4. EQUAES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM
4.1 ENVOLTRIAS E SOLUES SINGULARES
4.1.1 DEFINIES:
Curvas integrais: Famlia de curvas que representa a soluo geral de uma equao
diferencial.
Envolvida: cada uma das curvas integrais. Representa geometricamente uma soluo
particular da equao.
Envoltria: Tomando-se como exemplo a famlia de curvas dependentes de um parmetro
0),y,x(f , define-se como envoltriaa curva tangente a todas as linhas que constituem a
famlia de curvas integrais.
Assim sendo, pode-se afirmar que existe uma ou mais envoltrias para uma mesma famlia,
como tambm poder no haver nenhuma. Por exemplo, uma famlia de circunferncias
concntricas no apresenta envoltria.
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
49
4.1.2 EQUAO DA ENVOLTRIA
Seja 0),y,x(f uma famlia de curvas dependentes do parmetro . Define-se como
envoltria a curva que tangente a toda a linha que constituem a famlia de curvas. Pode-se existir
uma ou mais envoltrias para uma mesma famlia de curvas, como tambm poder no haver
nenhuma. As curvas que forma a famlia so chamadas envolvidas. Geralmente, a envoltria
definida pelo sistema:
0),,(
0),,(
yxfyxf
(1)
cuja equao pode ser obtida pela eliminao do parmetro em (1). Tambm podemos obter a equao da envoltria sob a forma paramtrica, resolvendo o sistema para x e y.
Exemplo:
Obter a envoltria de uma famlia de circunferncia com centro sobre o eixo x e raio igual
a 5.
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
50
4.1.3 SOLUES SINGULARES
Uma equao diferencial no linear de 1a ordem pode se escrita na forma alternativa
0,,
dx
dyyxF
Foi visto que uma equao diferencial pode apresentar trs tipos de soluo:
geral particular singular (eventualmente)
A soluo geral do tipo 0)C,y,x(f , que representa uma famlia de curvas (curvas
integrais), a cada uma das quais est associada uma soluo particular da equao dada.
A envoltria dessa famlia de curvas (caso exista) representa a soluo singular da equao
original.
De fato, o coeficiente angular da reta tangente em um ponto de coordenadas 00 y,x da
envoltria e da curva integral corresponde a0
0
dx
dy. Alm disso, tem-se que os elementos 00 y,x e
0
0
dx
dyde cada ponto da envoltria satisfazem equao acima, pois so elementos de uma curva
integral. Portanto, a envoltria uma soluo da equao que no resulta da fixao da constante C
, e por esta razo, uma soluo singular.
Exemplo:
Determinar a soluo geral e a soluo singular da equao 2
22 x
dx
dyx
dx
dyy
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
51
AULA 11 EXERCCIOS
1) Dar a envoltria das seguintes famlias de curvas:
a)
1
4 2 xy
b) 0)2(2 222 yyx
2) Obter a soluo singular da equao 122
2
y
dx
dyy
3) Achar a soluo geral e a soluo singular da equao:
2
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
1) a ) xy 273
b) 042 yx
2) 1y
3) 2CCxy (soluo geral)
4
2xy (soluo singular)
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
52
AULA 12
4.1.4 EQUAO DE CLAIRAUT
A Equao de Clairaut6 tem a forma
dx
dy
dx
dyxy .
Resoluo:
Chamando pdx
dy
a equao de Clairaut fica pxpy (1)
Derivando a equao anterior em relao a x, teremos:
dx
dppp
dx
dpx
dx
dy)('1.
0)(' pxdx
dp (2)
0dx
dp Cp
A soluo geral dada substituindo-se em (1) p pelo seu valor C
Assim, )(CCxy a soluo geral da equao de Clairaut (famlia de retas)
De (2), tem-se:
0)(' px (3)
xp )('
Eliminando-se p entre (1) e (3) tem-se uma relao F(x,y)=0 que representa a soluo
singular.
Exemplos:
6(Paris, 13 de Maio de 1713 Paris, 17 de Maio de 1765) foi um matemticofrancs.Precursor da geometria diferencial, realizou estudos fundamentais sobre curvas no espao.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Parishttp://pt.wikipedia.org/wiki/13_de_Maiohttp://pt.wikipedia.org/wiki/1713http://pt.wikipedia.org/wiki/17_de_Maiohttp://pt.wikipedia.org/wiki/1765http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_diferencialhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_diferencialhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Curvahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
53
Determinar a soluo geral e a soluo singular da seguinte equao de Clairaut:
0
2
y
dx
dyx
dx
dy
AULA 12 EXERCCIOS
Determinar a soluo geral e a soluo
singular das seguintes equaes de
Clairaut:
a. dx
dy
dx
dyxy ln
b. 2
3
dx
dy
dx
dyxy
c. 01
23
dx
dyy
dx
dyx
d. 045
y
dx
dyx
dx
dy
e. 2
4
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
a. ClnCxy (geral)
xln1y (singular)
b. 2C3Cxy (geral)
y12x2 (singular)
c. 2C
1Cx (geral)
23 x27y4 (singular)
d. 04)xCy5(C (geral)
x16)5y( 2 (singular)
e. 2C4Cxy (geral)
2
222
x1
)x1(4y
(singular)
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
54
AULA 13
4.1.5 EQUAO DE LAGRANGE:
A equao da Lagrange tem a forma
dx
dy
dx
dyFxy
(1)
Observamos que a equao de Clairaut um caso particular da equao de Lagrange, se
dx
dy
dx
dyF
.
Resoluo:
A soluo da equao de Lagrange, geralmente dada sob a forma paramtrica.
Chamando pdx
dy a equao de Lagrange fica ppFxy )( .
Derivando a equao anterior em relao a x, teremos:
dx
dpp
dx
dppxFpFp )(')(')(
dx
dpp
dx
dppxFpFp )(')(')(
Multiplicando por dp
dx e dividindo por [p F(p)], tem-se:
)(
)('
)(
)('
pFp
px
pFp
pF
dp
dx
De onde se pode escrever
QPxdp
dx
Como em geral no ser possvel isolar p na soluo da equao linear anterior, a soluo
geral da equao de Lagrange ser dada na forma paramtrica:
)(
)(
pyy
pxx
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
55
Exemplo:
Resolver a equao
2
1
dx
dyx
dx
dyy
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
56
4.1.6 OUTROS TIPOS DE EQUAO DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM:
Resolver as seguintes equaes:
a)
2
24
dx
dyxy
b)dx
dy
dx
dyx lnsin
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
57
AULA 13 - EXERCCIOS
1) dx
dy
dy
dxxy
2)
dx
dydx
dyxy
12
3)
2
dx
dyx
dx
dyx2y
4)
2
dx
dy1
dx
dyy
5) dxdy
edx
dyy .
2
6) dx
dy
dx
dyy ln2
2
7)
dx
dy2
dx
dyy
e
22
x
Respostas
1)
pCppp
y
Cppp
px
1ln1
1
)1ln(1
2
2
2
2
2)
2
ln
ln2
p
Cpx
p
Kpy
3)
Cp
Cy
p
Cx
2
2
4)
cppx
ppy
arcsinln
1 2
5)
p2
pp
epy
cpeex
6)
cp
2p2x
pln2py 2
7)
cy
pyp
p
pyx
arctanln
2ln
22
22
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
58
AULA 14
5. EXERCCIOS GERAIS
Calcule as Equaes Diferenciais abaixo:
1) 0)2(3 dyyxydx
2) 02
dyyexdx x
3) 0)1( 2 dxydyx
4) 0cossinsincos2 xdyyxdxy
5) )yxcos(dx
dy
6) 0)()(2 22 dyyxdxyxx
7) dxyxydxxdy 22
8) 0)( 22 xydydxyxyx
9) 0)2( dyxxyydx
10) 0)52()42( dxyxdyyx
11)342
12
yx
yx
dx
dy
12) 0)139()23( dyyxdxyx
13)
01
2)cos()cos(
dy
yxxyxdx
x
yxyy
14) 0324
22
3
dy
y
xydx
y
x
15) 0)46()63(3222 dyyyxdxxyx
16)yxy
xyx
dx
dy2
2
17) 0)cos1()sin1( dyxdxxy 18)
0)2tan.(sec)tan.(sec dyxyydxyxx
19) 0sin)cos2(2 ydyxdxeyx x ,
determinar a soluo particular para x = 0.
20) dxexydxxdyx2
21) 02 xdyydxdyy
22) 0)ln(3 dyxydx
x
y
23)Achar a soluo particular para y = b e x = a em
0 xeydx
dyx
24) 0)32(2 dyxydxy
25)22
2y
x
y
dx
dy
26) dxyyxdy )1( 2
27)22 )1( xyxy
dx
dyx
28)Conhecendo-se a soluo particular y = ex da
equao xx eyye
dx
dy 22)21( calcular sua
soluo geral.
Calcular a soluo geral e a singular das seguintes
equaes:
29)
2
dy
dx
dx
dyxy
30)
2
1
dx
dy
dx
dyxy
31)dx
dy
dx
dyxy
32)dx
dy
dx
dyxy sin
Resolver as seguintes equaes de Lagrange:
33)
dx
dyx
dx
dyy 2
2
1
34)
2
2
dx
dy
dx
dyxy
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
59
Respostas:
1) )ln(126 2 Cyxy
2) 22 2 Cey x
3) 1)1(ln xCy
4) Cyx secsecln
5) Cxyxyx )cot()sec(cos
6) Cyyxx 323 32
7) 222 yxCxy
8) CX
yxy )ln(
9) Cyy
x ln
10) )3()1( 3 yxCyx
11) Cxyyx 48)584ln(
12) )126ln(62 yxCyx
13) Cyxyxy ln2)sin(
14) Cyy
x
13
2
15) Cyyxx 4223 3
16) Cyyx 222 )1(
17) Cxyyx cos
18) Cx)-y(2secysecx
19) 1cos2 xeyx
20)xxeCxy
21) Cyxy 2
22) Cyyx 3ln2
23)x
eabey
ax
24)y
Cyx12
25) 0122 xyyCx
26)2
22
xC
xy
27)
11
12
xC
y
28)1
2
x
xxx
Ce
eCeCey
29)
23
2
4
27
1
xy
CCxy
30)
2
2
2
1
)1(
1
x
xy
CCxy
31) CCxy
No h soluo singular
32)21arccos
sin
xxxy
CCxy
33)
221
21
2(6
1
)(3
1
pCpy
pCpx
34)
p
pCy
pp
Cx
3
2
3
2
3
3
2
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
60
AULA 15
6. EQUAES DIFERENCIAIS COM MODELOS
MATEMTICOS
6.1 MODELO MATEMTICO
frequentemente desejvel descrever o comportamento de algum sistema ou fenmeno da
vida real em termos matemticos, quer sejam eles fsicos, sociolgicos ou mesmo econmicos. A
descrio matemtica de um sistema ou fenmeno, chamada de modelos matemticos construda
levando-se em considerao determinadas metas. Por exemplo, talvez queiramos compreender os
mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaes
animais nesse sistema ou datar fsseis por meio da anlise do decaimento radioativo de uma
substncia que esteja no fssil ou no extrato no qual foi descoberta.
A construo de um modelo matemtico de um sistema comea com:
i. a identificao das variveis responsveis pela variao do sistema. Podemos a principio optar por no incorporar todas essas variveis no modelo. Nesta etapa,
estamos especificando o nvel de resoluo do modelo.
A seguir,
ii. elaboramos um conjunto de hipteses razoveis ou pressuposies sobre o sistema que estamos tentando descrever. Essas hipteses devero incluir tambm quaisquer
leis empricas aplicveis ao sistema.
Para alguns propsitos, pode ser perfeitamente razovel nos contentarmos com um modelo
de baixa resoluo. Por exemplo, voc provavelmente j sabe que, nos cursos bsicos de Fsica, a
fora retardadora do atrito com o ar s vezes ignorada, na modelagem do movimento de um corpo
em queda nas proximidades da superfcie da Terra, mas e voc for um cientista cujo trabalho
predizer precisamente o percurso de um projtil de longo alcance, ter de levar em conta a
resistncia do ar e outros fatores como a curvatura da Terra.
Como as hipteses sobre um sistema envolvem freqentemente uma taxa de variao de
uma ou mais variveis, a descrio matemtica de todas essas hipteses pode ser uma ou mais
equaes envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemtico pode ser uma equao
diferencial ou um sistema de equaes diferenciais.
Depois de formular um modelo matemtico, que uma equao diferencial ou um sistema
de equaes diferenciais, estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolv-
lo. Se pudermos resolv-lo, julgaremos o modelo razovel se suas solues forem consistentes com
dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema. Porm, se as
predies obtidas pela soluo forem pobres, poderemos elevar o nvel de resoluo do modelo ou
levantar hipteses alternativas sobre o mecanismo de mudana no sistema. As etapas do processo de
modelagem so ento repetidas, conforme disposto no seguinte diagrama.
-
Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
61
Naturalmente, aumentando a resoluo aumentaremos a complexidade do modelo
matemtico e, assim, a probabilidade de no conseguirmos obter uma soluo explcita.
Um modelo matemtico de um sistema fsico frequentemente envolve a varivel tempo t.
Uma soluo do modelo oferece ento o estado do sistema; em outras palavras, os valores da
varivel (ou variveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado, presente e
futuro.
6.2 DINMICA POPULACIONAL
Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio
de matemtica foi feito pelo economista ingls Thomas Malthus, em 1798. Basicamente, a idia por
trs do modelo malthusiano a hiptese de que a taxa segundo a qual a populao de um pais
cresce em um determinado instante proporcional a populao total do pais naquele instante. Em
outras palavras, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas existiro no futuro. Em
termos matemticos, se P(t) for a populao total no instante t, ento essa hiptese pode ser
expressa por:
kxdt
dx , 00 )( xtx
ktexx .0
(1)
onde k uma constante de proporcionalidade, serve como modelo para diversos fenmenos
envolvendo crescimento ou decaimento.
Conhecendo a populao em algum instante inicial arbitrrio t0, podemos usar a soluo de
(1) para predizer a populao no futuro, isto , em instantes t > t0.
O modelo (1) para o crescimento tambm pode ser visto como a equao rSdt
dS , a qual
descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r composta continuamente.
Exemplo:
Em uma cultura, h inicialmente x0 bactrias. Uma hora depois, t = 1, o nmero de bactrias
passa a ser 3/2 x0. Se a taxa de crescimento proporcional ao nmero de bactrias presentes,
determine o tempo necessrio para que o nmero de bactrias triplique.
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Equaes Diferencias Profa Paula Francis Benevides
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Resoluo:
x(to) = x0
x(t1) = 2
3xo
kdtx
dx
kxdt
dx
Integrando com relao a x a equao acima,temos:
kdtx
dx
lnx = kt + c
lnx ln c = kt
lnc
x= kt
ekt = c
x
x = c.ekt
Para 0x)0(x equao anterior fica da seguinte forma:
0x
cex
0
00
Voltando para a equao e substituindo o valor de c
kt0exx
Para descobrirmos o valor de k, utilizamos x(1) = 2
3x0
4055,0k
k2
3ln
e2
3
e.xx2
3
k
1.k00
voltando novamente a equao, temos
t4055,0
0
kt0
exx
exx
para que o nmero de bactrias triplique,
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Equaes Diferencias