UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Microeconomía Superior II:Optimización (2)
Rafael Salas
Empresa
Producción
Problemaprimal
Optimización Estáticacomparativa
Empresa y
mercado
Problema dual
Dos problemas equivalentes
Problema primal
Problema dual
Elegimos un nivel de productoY
Tomamos como dados los precios de los inputs w (y del output P)
Maximizamos beneficios...
...minimizando los costes
wi
zi
m
i=1
Problema dual (primera etapa)
Dado un vector de precios w...
éste es el conjunto de puntos z en el espacio de los inputs...
...que consiguen un nivel de costes de los factores C determinado.
Forman un hiperplano (línea recta)...
C=wizi
Definimos la isocoste
z2
z1
Coste creciente
w1z1 + w2z2 = c (constante)
w1z1 + w2z2 = c'
w1z1 + w2z2 = c"
Líneas isocostes
Usamos ésto para derivar el
óptimo
Usamos ésto para derivar el
óptimo
z2
z1
z*
Minimización de costes
Coste decreciente
¿Qué condiciones cumple z*?
¿Qué condiciones cumple z*?
_____ __ =Fi(z) wi
Fj(z) wj
Dados los inputs i y j ...
¿Qué sucede si alteramos la tecnología? En la práctica
¿Qué sucede si alteramos la tecnología? En la práctica
RMSTRMST
Obtenemos la misma CPO (condición de
tangencia) que con el problema primal
Obtenemos la misma CPO (condición de
tangencia) que con el problema primal
obtenemos los valores de los inputs que minimizan el coste para cada input...
...a través de los multiplicadores de Lagrange...
...y, por supuesto, el valor del coste mínimo.
Ambos valores pueden escribirse como funciones de los precios (w) y del output (Y).
La solución general...
Veamos...Veamos...
z1* = z1c (Y,w1 ,...,wm )
... ... ...
zm* = zmc (Y,w1 ,...,wm )
Las funciones de demanda de factores condicionada
vector deprecios de los inputs
vector deprecios de los inputs
Nivel de producto especificadoNivel de producto especificado
La f. de demanda condicionada de factores es no creciente en sus precios
Homogéneas de grado 0 en w
Las funciones de demanda condicionada de factores
Las funciones de costes
Si introducimos z1c (Y,w1 ,w2 ) y z2
c (Y,w1 ,w2 ) en la definición de los costes obtenemos la función de costes:
C(Y,w1 ,w2 ) = w1z1c (Y,w1 ,w2 ) + w2 z2
c (Y,w1 ,w2 )
Indica el mínimo coste obtenible, dados los precios de los factores y un nivel de producto (es análoga a la f. de gasto en el problema dual del consumidor)
C(w, Y) :=
vector deprecios de los inputs
vector deprecios de los inputs
Nivel de producto especificadoNivel de producto especificado
min wi zi{G(z) Y}
La función de costes
Dado que es una función de óptimo...
...tiene propiedades interesantes.
Lo cual es cierto para todas las funciones de producción F.
Como veremos en aplicaciones a lo largo del curso
La función de costes va a ser un concepto útil
Veamos...Veamos...
C(w, Y)
wi
C
La f. de costes es no decreciente en wi
C(w, Y+Y)
wi
C
C(w, Y)
La f. de costes es creciente en Y
w1
DA
B
Coste en D > 1/2 [Coste en A + Coste en B]
C
La f. de costes es cóncava en precios
z2
z1
z*
Mínimo coste dado w, y dado Y
Mínimo coste dado w, y dado Y
z*
Mínimo coste dado tw, y dados Y
Mínimo coste dado tw, y dados Y
C(tw,Y) = t iwi zi* = tC(w,Y) C(tw,Y) = t iwi zi
* = tC(w,Y)
La f. de costes es homogénea de grado 1 en
w
C(w, Y)
wi = zi*
_______
wi
C
Lema de Shephard Pendiente = z1* Pendiente = z1*
Práctica
Deriva la demanda condicionada de factores y la función de costes de:
Y= z1
z2
Y= (z1
+ z2
Y= L K
K=25
Comprueba el lema de Shephard
Deriva la demanda condicionada de factores dada la función de costes siguiente:
C= A w1 w2
Y.
Práctica
Calcule las funciones de costes
correspondientes a:
Y= z1 + z2
Y=min(z1/ , z2/)
Y= z1 2 + z2
2
donde y0¡Cuidado con los casos no difereciables y con el último caso!
·Indique los rendimientos a escala que poseen a partir de la función de costes.
.
Una vez resuelto el problema de minimización de costes
Tomamos el precio del output P como dado.
Usamos la función de costes C(w,Y) para plantear la maximización del beneficio.
Derivamos de esta forma Y que maximiza beneficios...
Derivamos de nuevo la oferta de producto y la demanda de factores
Problema dual (segunda etapa)
=PY- C(w,Y)=PY- C(w,Y)
Maximización de beneficios: oferta de producto
Solución:
/ Y = 0 P = C(w,Y)/Y
P =Cmg Y
Maximización de beneficios: demanda de factores
Solución:
/ z1 = 0 P Y/z1 = w1
/ z2 = 0 P Y/z2 = w2
P Pmg z1 = w1
P Pmg z2 = w2
Las funciones de oferta de producto y demanda de factores
P = C (w, Y)/Y “Precio igual al coste marginal”
Se deduce la oferta de producto Ys (w,P)
P Y/z1=w1 “Valor de la productividad igual al precio del factor”
Se deduce la demanda de factores z1
d (w,P)
Práctica
Deriva la oferta de producto y la demanda de factores, a partir de las funciones de costes, de:
Y= z1
z2
Y= (z1
+ z2
Y= L K
K=25
.
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