Unidad 6 – Funciones reales. Propiedades globales PÁGINA 117
SOLUCIONES
1. Las soluciones pueden quedar así:
2. En cada uno de los casos queda:
a) [ )f fDom ; Im 0,= = + ∞
Simétrica respecto al eje OY. Acotada inferiormente por pero no acotada superiormente. y 0=Mínimos en ( 1 Máximo en (0 . ,0) y (1,0).− ,1)Tiende a ( para x tendiendo a ( ))+∞ ±∞ .
b) a)
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b) [ ]g gDom ; Im 1,1= = −
Simétrica respecto al origen de coordenadas. Periódica de período 4. Acotada inferiormente por y superiormente por y 1=− y 1= .
El período tiene un máximo relativo en ( 1,1)− y un mínimo relativo en (1 . ,5; 1)−
c) h hDom ; Im (0, )= = + ∞
No es simétrica ni periódica. Acotada inferiormente por pero no acotada superiormente. y 0=Carece de extremos relativos. Cuando x tiende a ( la función tiende a ) )−∞ (+∞ y cuando x tiende a ( la función tiende )+∞a 0.
3. La función es: siendo N el número de bacterias y t el tiempo en horas. tN 2=
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SOLUCIONES
1. Hay que buscar un número que sea a la vez triangular y cuadrado.
n n
nn n x n x
n
2
2
2 22 2 2
2
Números triangulares : 1,3,4,10,15,21,...,2
Números cuadrados : 1,4,9,16,25,...,8 8esto se cumple para 8, pues 36.
2 2Como dice que hay más de 36 cajas, hay que buscar otra solución, y ésta es :
4949, pues
+
+ +⇒ = ⇒ = = ⇒ =
=
x
x2 249 35 1225 Luego 1225cajas tiene.2+
= = ⇒ =
2. Observamos que:
( )n
n n n n1 1 1 con 2.1 1
Luego :1 1 1
1 2 1 21 1 1
2 3 2 31 1 1
3 4 3 4... ... ...
1 1 1998 999 998 999
1 1999 1000 999 1000
= − ≥− −
= −⋅
= −⋅
= −⋅
= −
= −⋅
= −⋅
1
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Sumando :1 1 1 1 1... 0,999
1 2 2 3 3 4 998 999 999 1000+ + + + + =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
3. Sean A, B, C, las tres rebanadas. Con A1 indicamos que se tuesta la cara 1 y con A2 indicamos que se tuesta la cara 2.
A B s A y B
s As Bs B
A C s A
s Cs A
s CB C s A
s Bs B
s
1 1 1 1
1
1
1
2 1 1
1
2 1
2
2 2 2
2
2 2
1.º tarda : 30 :tostar cara
5 :colocar5 :colocar5 :sacar
2.º tarda : 3 :dar la vuelta
5 :meter30 :tostar cara
3 :dar la vuelta3.º tarda : 5 :sacar
5 :meter30 :tostar cara
5 :sacar Bs C
2
25 :sacar
y C
y C
En total se necesitan: 136 s en tostar las 3 rebanadas.
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SOLUCIONES
1. En cada apartado queda:
a) La tabla de valores, la fórmula y la gráfica son:
b) La tabla de valores, la fórmula y la gráfica son:
c) La tabla de valores, la fórmula y la gráfica son:
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d) Llamando x a la medida de la altura sabemos que la base mide x5+ , por tanto, la tabla de
valores, la fórmula y la gráfica quedan:
2. Los dominios quedan:
( ]( ) ( ) (
{ }{ } [ )
[ )( ] [ ) {
f g
h i
j k
l m
n o
p q
Dom Dom 3,0
Dom 5, Dom ,1 4,
Dom Dom 2,3
Dom 1 Dom 2,
Dom Dom 1,
Dom , 2 2, Dom 1
= =
= − + ∞ = −∞ ∪ + ∞
= =
= − = − + ∞
= =
= −∞ − ∪ + ∞ = − −
)
}
−
−
+ ∞
3. Las funciones se caracterizan por:
• ( )y f x=
( )Dom ; Im 0,f f= = + ∞
Estrictamente creciente en todo su dominio. No tiene extremos relativos.
• ( )y g x=
{ } ( ] ( )Dom 2,2 ; Im , 1 0,g g= − − = −∞ − ∪ + ∞
Estrictamente creciente en ( ) ( ), 2 2,0−∞ − ∪ −
Estrictamente decreciente en ( ) ( )0,2 2,∪ + ∞
Máximo relativo ( )0, 1−
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• ( )y j x=
Do m ; Imj j= =
Estrictamente creciente en ( ) ( ), 5 1,−∞ − ∪ − + ∞
Estrictamente decreciente en ( )5, 1− −
Máximo relativo ( ) 5,4−
Mínimo relativo ( )1, 3− −
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SOLUCIONES
4. Las representaciones quedan:
5. El estudio de cada función nos ofrece la siguiente información:
a) Esta función ( )y f x= está acotada por y y0 e 4= = .
El supremo es y el ínfimo es y 4= y 0= . Esta función tiene un mínimo absoluto en y 0= .
b) Esta función ( )y g x= está acotada por y y3 e 2= =− .
El supremo es y el ínfimo es y 3= y 2=− . Esta función no tiene extremos absolutos.
c) Esta función ( )y h x= está acotada por y y3 e 5=− = . El supremo es y el ínfimo es y 5= y 3=− . Esta función tiene un máximo absoluto en y 5= .
d) Esta función ( )y i x= no está acotada.
e) Esta función ( )y j x= está acotada inferiormente por y 1=− .
El ínfimo es y 1=− y no tiene supremo. Esta función tiene un mínimo absoluto en y 1=− .
f) Esta función ( )y k x= está acotada superiormente por y 2= . El supremo es y no tiene ínfimo. y 2=Esta función no tiene extremos absolutos.
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6. Las simetrías en cada caso son:
• Las funciones: f; i; k; l; son simétricas respecto al eje de ordenadas. • Las funciones: h; j; m; son simétricas respecto al origen de coordenadas. • Las demás funciones no tienen simetrías.
7. En cada caso las respuestas son:
a) La variable independiente es el número de años desde su fundación, y la variable dependiente el beneficio en miles de euros.
b) [ ) [ ]f fDom 0, Im 0,75= + ∞ =
c) La empresa tiene beneficios máximos al cabo de 4 años, y estos ascienden a 75 000 euros.
d) Durante los primeros cuatro años los beneficios crecen; a partir del 4º año empiezan a
decrecer.
e) Como en todo el dominio se verifica que , no habrá pérdidas en ningún momento; f x( ) 0>siempre habrá beneficios.
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SOLUCIONES
8. En cada caso queda:
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
f g
x xf g x f gx
xf g x f gx
f x fxg gx x x
xxf x f
3 2
2
3 2
2
a) Dom 1,1 Dom
b) Quedan :4( )( ) Dom( ) 1,
13( · )( ) Dom( · ) 11
3( ) Dom 1,11
c) Queda :1 1 1( ) Dom 3
3
= − − =
− ++ = ⇒ + = − −
−+
= ⇒ = −+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+= ⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
−
−
9. Los dominios quedan:
{ }
{ }
{ }
3 22
32
22
2 4a) ( )( ) ( ) ( ) 2 Dominio 22 2
2b) ( )( ) ( ) ( ) ( 2) Dom 22 2
( )c) ( ) :( 2) Dom 2( ) 2 (2 ) ( 2)
d) ( )( ) [ ( )]2 2
x x x xf g x f x g x xx x
x x xf g x f x g x x f gx x
f f x x x fx xg gg x x x x
x xg f x g f x gx
− + − ++ = + = + + = ⇒ = −
− −
+⋅ = ⋅ = ⋅ + = ⇒ ⋅ = −
− −
⎛ ⎞= = + = ⇒ = −⎜ ⎟ − − +⎝ ⎠
⎡ ⎤= = =⎢ ⎥− −⎣ ⎦
{ }2 2
2
2 2 2 4 2
3 8 82 Dom4 4
e) ( )( ) [ ( )] 2 ( 2) 2 4 6 Dom[ ]
x x g fx x x
g g x g g x g x x x x g g
⎛ ⎞ − ++ = ⇒ = −⎜ ⎟ − +⎝ ⎠
= = + = + + = + + ⇒ =
2
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10. Las soluciones son:
f g x x f f
h g x g fxx xf h x h hx x
4 2
4 2
a) ( ) 1 3 d) ( )(1) 493b) ( ) e) ( )( 1) 2
12 28 3c) ( ) f) ( )(0)
102 1
= + =
= −+
+ += =
+ +
=
11. La solución queda:
( )( ) [ ( )] (3 ) 5 3
5( )( ) [ ( )] (5 ) 3 (5 ) 15 3
f g x f g x f x a a xa
g f x g f x g x x a a x
= = − = + − ⎫⎪ ⇒ =⎬⎪= = − = − − = − − ⎭
12. Por ejemplo, las funciones pueden ser:
x
f x x g x xh x l x x
xt x p x xx
2 3
2
( ) ( ) 2( ) 3 ( ) 2
1( ) ( )2
= =
= =+
= =+
+
13. Las inversas quedan:
xf x f xx
x xf x f xx
xf x x f xx
1 1
1 1
1 1
2a) ( ) no existe d) ( )
3 5b) ( ) e) ( )2 3
3c) ( ) 1 f) ( )3 1
− −
− −
− −
+=
+= =
−−
= − =
2
+
14. Las inversas quedan:
x xf x x g x h x1 13 1 l( ) 2 ( ) ( ) 23 l
− − −−= + = = −1 og
og2
15. Queda: f g x x f g x x f g1 1( )( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) (4)− −= − ⇒ = + ⇒ =7
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16. La solución queda:
Haciendo t obtenemos socios fundadores. 0= N 5250=
La gráfica de la función viene dada por:
17. La solución queda: Cable I PCable II P t
150,05·
⇒ =⇒ =
Veamos a partir de qué número de horas el precio de una empresa y de la otra es el mismo:
t t0,05· 15 300 horas= ⇒ =
Hasta 300 horas mensuales interesa más la empresa Cable II; a partir de 300 horas mensuales interesa más la empresa Cable I, y si se utiliza Internet durante 300 horas mensuales exactamente es indistinta la empresa a elegir.
El número de afiliados desciende los tres primeros años hasta alcanzar el número de 750 y, a partir de ese año, empieza a aumentar. En ningún momento es nulo este número.
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