Acta hIechanica 11, 99--116 (1971) @ by Springer-Verlag 1971

[]ber die laminare StrSmung in einer inkompressiblen Fliissigkeit zwischen einer rotierenden Scheibe und einer festen Wand

bei kleinen Spaltbreiten und radialem Massenstrom

Von

U. Miiller, Karlsruhe

Mit 13 Abbildungen

(Eingegangen am 15. Dezember 1969)

Zusammenfassung -- Summary

Uber die laminare Str6mung in einer inkompressiblen Fliissigkeit zwischen einer retie- tendon Seheibe und ciner festen Wand bei kleinen Spaltbreiten und radialem Massenstrom. Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Berechnung des Str6mungsfeldes in einem in- kompressiblen ~edium zwischen einer rotierenden Scheibe und einer festen Wand, die kreis- fSrmige 0ffnungen konzentrisch zur l~otationsaehse besitzen. Der Spalt zwischen den Pl~tten ist klein im Vergleich zum 0ffmmgsradins. Ausgehend yon verein2achten Navier-Stokesschen Gleichungen werden numerische L6sungen mit Hilfe eines Differenzenverfahrens gewonnen. Die Geschwindigkeitsprofile werden in Abhiingigkeit yon der Reynoldsschen Zahl und vom Durehflul] diskutiert.

On Laminar Flow in an Incompressible Fluid between a Rotating Disc and a Fixed Wall at Small Distances with Radial Mass Stream. Both rotating disc and fixed wall have circular concentric openings. The distance between disc ~nd wall is small compared to the radius o~ the openings. Numerical solutions of the simplified Navier-Stokes equations are obtained using a method of finite differences. Dependence of velocity profiles on Reynolds number and radial flow are discussed.

1. Einleitung und Problemstellung

Die StrSmung in der Umgebtmg rotierender 8oheiben is~ wiederholt Gegenstand yon Untersuehungen gewesen. Zuerst konnte TH. v. K ~ R ~ [i] exakte L6sungen der Navier-Stokesschen Gleiehungen ffir den Fall einer in einem unendlich aus- gedehnten flfissigen Medium rotierenden Scheibe angeben. Unter Abwandiung der Randbedingungen wurden seine Ergebnisse in marmigfacher Weise verallgemeiner~. In jfingster Zeit haben G. L. M~LLOR, P. J. C~APP~L und V. K, S~ox~s [2] ~hnliehe L6sungen der Navier-Stokessehen Gleichungen ffir Str6mungen zwisehen einer ruhenden und einer rotierenden Scheibe angegeben. Da ihre Anordnnngen jedoeh im Mittel keinen Massenstrom in radialer Riehtung aufweist, ist sic im Hinbliek auf technisehe Anwendungen yon weniger grol3em Interesse. Modellstr6mungen mit radialem Materialflul~ w~rden yon M. C. BR~ITW~ und K. PO~LHAUSV,~ [3] sowie yon K. E. ]BoYED und W. RIc~ [4] im Zusammenhang mit Untersuehungen an l~eibnngspumpen bzw. geibungsturbinen behandelt. Wi~hrend jedoch dieseAutoren nur symmetrisehe Anordnungen, n~mlieh zwei gleiehsinnig, mit gleicher Frequenz

7*

1 0 0 U. ~[~LLEI% :

umlaufende Scheiben betrachteten, werdea wir im nachfolgenden die Str6mung ffir den Fall untersuehen, dag eine der beiden Seheiben ruht. Dieser StrSmungsvorgang ist insofern yon grol3em Interesse, als er in der Reibungspumpe zwisehen Gehguse- wand und den rotierenden Seheiben auftritt. Die Orientierung der Seheiben in einem vorgegebenen Koordinatensystem kann der Abb. 1 entnommen werden.

r

~J ] i 1,

d ~

Abb. 1. Skizze der Anordnung

Die Scheiben besitzen in der Umgebung der gotationsachse eine kreisrunde Off- nung mit dem Radius Ri. Wir wollen kurz die physikalischen Vorggnge in einer solchen Reibungspumpe besehreiben. Dutch die rotierenden Scheiben wird infolge der Haftreibung das Material zwisehen den Seheiben in Bewegung gesetzt. Die auftretenden Zentrifugalkr/ifte sehleudern die Flfissigkeit in Radialriehtung nach augen. Aus Kontinuitg~sgriinden wird daher die Fliissigkeit dureh die Mittel- anbohrung in den Scheiben nachgesaugt. Die Anordnung weist also die Eigen- sehaften einer Radialpumpe auf.

2. Die Grundgle ichungen

Zur Beschreibung der StrSmungsvorggnge zwischen rotierenden Scheiben sind im allgemeinen Fall die Navier-Stokes-Gleichungen und die Kontinuitgts- gleichung erforderlich. Ffir sta~iongre StrSmungen lauten diese Gleichungen fiir die unbekannten Geschwindigkeitskomponenten u, v, w und den Druck p in Polar- koordinaten mit ~ als der Dichte:

av) [a~v 1 av av u . v + w

( I _ 1 c) ~ u T + az/ az +~\a~-~ +7-a--;-

8w au ~ + - - = 0 . a--~ + r az

a2w + az~]'

Uber die ]aminare S~rSmung in einer inkompressiblen l~liissigkei$ 101

I n diesen Gleichungan warde bareits die Rota t ionssymmetr ie des Problems berfiaksiehtigt. Zu diesem Sys tem partieller Diffarenti~lgleichungen t re ten noah Randbedingungen auf. Es gilt auf den Seheiben

u = v = w = 0 ffir z = 0 ; u = w = 0 , v = r . o ~ ffir z = d . (2.2)

Dabei ist ~ die Winkelgeschwindigkeit . Eine allgemeine L6sung dieser komplizierten Gleichungen zu linden, erscheint

beim gegenwgrtigen Stand der Kenntnisse wenig aussichtsreich. Glficklicherweise lassen sich diese Beziehungen batrgchtl ich vereinfachen, wenn man sich auf laminare St rSmungen beschrgnkt und ferner annimmt , dag ffir das Verh/iltnis yon Scheibenabstand zu Innenradius Ri der Scheibe

d

gilt. Aul]erdem soll fiir eine mit der Winkelgeschwindigkeit o) gebildete Reynolds- Zahl

R e * co. Ri 2 >> 1 und d 1 v Re

sain. Sind diese Bedingungen erffillt, so kSrmen in den Gleiahungen 2.1 a, b, e Vereinfachungen vorgenommen werden, die ganz analog zu den Vereinfachungen im Grenzschiahtfall verlaufen. Es ist zweckmggig, bai diesem Prozeg dimensions- lose GrSl3en einzufiihren, indem m a n z = d z ' , r = R ~ r ' 1 u = U o u ' , v = Uov ' ,

w = d--~-R~ U o w ' , p = e Uo~p ', U o = ~oR~ setzt. Dann erhglt man ffir die Ri

dimensionslosen GrSgen u ' , v ' , w ' , und p ' unter Erha l tung der Bezeichnungswaise folgendes System parabolischer Differentialgleiahungen.

~ u v ~ 0 u ~ p 1 ~2u @ w . . . . , (2.3a)

U 8r r Oz 8r @ R e 8z 2

8v u �9 v Ov 1 ~2v - - + w -- - - , (2.35)

u ~ r ~ - r ~ z R e ~ z 2

a._p_.p = 0 Ou u aw ~z ' ~-r + --r + --~z = 0. (2.3c)

d2(D Hierbei ist R e = eine mi t der Spaltbreite d gebildete Reynolds-Zahl.

?)

U m zu eindeutigen L6sungen fiir dieses parabohsehe Differentialgleichungssystem zu gelangen, bedarf es zusgtzlieher Anfangsbadingungen fiir r = 1. Wir setzen hier

ffir

u (1 , z) = Uo(Z), v ( 1 , z) = Vo(Z), w(1, z) = Wo(Z)o p(1) ---- Po (2.4)

0 _ < z < _ l .

1 r ' wird fortan auch h/~ufig als Radienverh~ltnis bezeichnet werden.

102 U. N~LL~:

Das System der Gleiehungen (2.3) enth~lt jedoeh noeh eine typisehe Sehwierig-

keit. W/~hrend im Fall der Grenzsehiehtgleiehungen der Druckgradient ~__XP dutch Or

den Druek in der AuBenstr6mung festgelegt ist, geht der Druekgradient in unserem System selbst als Unbekannte ein, wobei allerdings die Aussage besteht, dab er yon der Querkoordinate z nieht abh/~ngt. Es besteht also das Problem, aus 3 Differentialgleichungen mit eatspreehenden t~and- and Anfangswerten vier Unbekanate zu bestimmen. Die L6sung dieses seheinbaren Widerspruehs beruht auf folgendem Saehverhalt. Jeder der Navier-Stokessehen Gleiehungen sind entspreehend ihren hSehsten Ableitungen zwei Randbedingungen auf den Seheiben zngeordnet. Dureh die Vereinfaehungen entfgllt jedoeh die dritte dieser Gleiehungen. An ihre Stelle t r i t t die Kontinuit~tsgleiehung. Die Kontinuitgts- gleichuag besitzt jedoeh nut Ableitungen erster Ordnung, deshalb bedarf es aueh nur einer Raadbedingung zur Festlegung der aus ihr zu berechnenden Gr6Be. Die verbleibende der seehs ursprfingliehen tgandbedingungen kann deshalb nun zur Bestimmung des nur in I%adialriehtung 'ver/~nderliehen Druekgradienten be- na tz t werden. Wit folgen hier M. C. B~EITER und K. POgLHA~SE~ [3]. Indem wit u (r, 0) = 0 fiir z = 0 in der Kontinuit/~tsgleiehung einsetzen, erhalten wit die Vertrggliehkeitsbedingung

Ow - - = 0 fiir z = 0. (2.5) ~z

Es wird nan im naehfolgenden unsere Aufgabe sein, eine L6sung des Systems 2.3 mit den zugehSrigen t~and- und Anfangsbedingungen zu ermitteln. Da aueh in diesem Fall die Auffindung einer analytiseh darstellbaren L6sung wenig aus- siehtsreieh erseheint, werden ~ einen aumerisehen LSsungsweg einsehlagen. Es handelt sieh dabei um die Anwendung eines Differenzenverfahrens, das yon M. C. B~EITER und K. POHLt~AUS~N [3] erarbeitet wurde.

3. D a s D i f f e r e n z e n v e r f a h r e n

Will man mit Hflfe eines Differenzenverfahrens zu numerisehen LSsungen ge- langen, so iiberzieht man zunaehst das Gebiet zwisehen den Seheibea mit einem Gittemetz, wie es in Abb. 2 angedeutet ist. Die einzelnen Git terpunkte sind dutch je zwei Indizes i und 1" gekennzeiehnet. Weiterhin wird ein Koordinatensystem so eingeftihrt, dab die Lartge in RadiaMehtung vom irmeren Seheibenrand an ge- messea wird (vgl. Abb. 2). Es wird

x = r - - 1

gesetzt. Nach Einfiihrung der neuen Koordinate x werden in den Differential- gleichungen 2.2 alle Ableitungen dutch die entspreehenden Differenzenquotienten ersetzt. Die Ersetzung hat dabei so zu erfolgen, dab wit zu einem sogenannten impliziten Differenzensehema gelangen. I m Falle paraboliseher Differential- gleiehungen bietet es den grofien Vorteil, dab es unempfindiieh gegeniiber Sehritt- weitens in x-I~iehtung ist. Wit erhalten so ein System niehtlinearer Differenzengleichungen.

Ober die laminare Str6mung in einer inkompressiblen Flfissigkeit 103

t N§

tO

Abb. 2. Anordnung des 1Vfaschermetzes

Die Dffferenzengleiehungen lauten:

1 1 - - vi+l"i 1 q- (i -}- 1)h u~+l,~ -~- {u~+l,j ui,j}-t- 2

1 + wi+lz - ~ {ui+lz+l - - u~+lz-1}

1 1 = - -F i+l + 1~----~ " k --~ {ui+l,i-1 - - 2ui+l,~ ~- ui+,,i+l},

(3.1 a)

1 1 Ui+l. ~ �9 Vi+l. ] ~_ Wi+l.] {Vi+l.~+ 1 __ Vi+I'i--1 } gi+l . j -~- {Vi+l.] - - Vi.]} ~- 1 -~ (• ~- 1)h ~-

1 1 R e ]~2 {Vi+l'] -1 - - 2Vi+lj @ Vi+I.j+I},

(3.1 b)

1 Ui+l"~ + 2~- {wi+l,j+l -- wi+l,~-l} = 0 (3.1 c) -~- {ui+l,j - - u~,j} + 1 + (i + t )h

dp t I ier ~wurde der Druckgradient T an der Stelle i mit Fi bezeichnet. Nehmen

wir ~n, dab in Querr ichtung N ~-2 Gi t te rpunkte vorhanden sind, so e rMl t man fiir die l~andbedingtmgen 2.2:

g i + l , 0 : V i + I , 0 ~ - Wi+l,O = O, (3.2)

UI+I,N+ 1 = Wi+I,~+ 1 = 0 , Vi+I,N+ 1 = 1 --~ (/ -@ 1) h

Ftir die Vertr/~glichkeitsbedingung 2.5 ergibt sieh bei Anwendung einer Newton- sehen Extrapolationsformel (vgl. [5], S. 157ff.):

--wi+l.2 + 4wi+1,1 - - 3wi+l.o = 0. (3.3)

Eine L6sung dieses Systems nichtlinearer, algebraischer Gleichungen ffir 3N-~ 1 Unbekannte zu finden, st6Bt in der jetzigen Form der Gleichungen auf groge Schwierigkeiten. Es wurde versucht, eine L6sung mit Hilfe eines Linearisie-

104 U. )Ii3LLEa:

rungsprozesses und einer nachfolgenden Iteration herbeizufiihren. Der L6sungs- versuch scheiterte jedoch an der ungeniigenden Konvergenz des Verfahrens. Da eine direkte Methode hier nicht zum gewfinschten Erfolg geffihrt hat, wird ein Weg eingeschlagen, den erstmals M. C. Bi~m~i~ mid K. POgLgAVSEi~ [3] beschritten. An Stelle der Unbekannten ui+i,i, vi+i,i, wi+i,i in den Gitterpunkten werdeil nun die Dffferenzen dieser FunktionsgrSgen zwischen den Zeilen i und i ~-1 als Unbekannte eingefiihrt. Wir setzen jetzt:

z~U] = Ui+ld - - U i j ,

A V] : Vi+l, i - - Vi,i , (3.4)

A W i : Wi+i,i - - W i d .

Diese Beziehungen werden nun in den Gleiehungen (3.1) flit die unbekannten Funktionen U~+l,i, vi+i,i, wi+l,j eingeffihrt. Bei der Wahl hinreichend kleiner Schrittweite h in Radialrichtung is~ auch der Funktionszuwachs hinreichend klein, so dab eine Linearisierung im System 3.1 bezfiglich des Funktionszuwachses A ui usw. zul~ssig ist. Es folgen somit die neuen Differenzengleichungen:

--Aui_t 0,5w~, i§ T § Au j u~ z § 2 1 �9 /~--T "-E

{ i i}~ h 2 . v~,i + Aui+l 0'Sw"j--~-2e "-/- T - Avi" t + ( i + l ) h

@ zJ Wj ~ {Uij+i - - Ui,i_l} -t- F i+i " h (3.5 a)

h 2 h -- 1 + (i d- 1)h vii - - ~ {uis+i - - u i ' i - 1 } wii

1 h + R--'2 " / 7 {u~'i-1 -- 2u~'i § u~'i+~}'

h § Au j l + (i + l)h v~'J

h i)s + + Avjtu, ,~, l + 1 q-(i@

+ Avi+ 1 0,5w~ -- ~ �9 T

h ~- Z1 W i -~- {Vij+l - - Vi,i_l}

1 h 1{05§ 1}T Re

h h 1 + (i d- 1)h ui'i " vi,i - - ~ {vi,i+i - - v i , ] - l } Wi d

d- R---~ " k "-T {vi,i-i -- 2vi, i d- Vid+l } ,

(3.5b)

Aui (1 JF h ) -- A w,._ i h h i + (i + i)h - '~ § AWj+l - -~

5 -- 1 + (i -~ 1)h ui,i -t- {wis-i -- wij+i} �9

(3.5c)

ldber die laminare Str6mung in einer inkompressiblen :Fliissigkeilb 105

Dieser Differenzengleichung ist der in Abb. 3 dargestellte Differenzenstern zugeordnet. Die zu den Beziehungen 3.5 geh6renden ]inearen Modelldifferential- gleichungen entstehen aus System 2.3, indem im wesentlichen die Gesch~_ndig- keitskomponente u in den den parabolischen Charakter der Gleichungen mit-

bestimmenden konvektiven Termen u e--Xu und u ~__~v dnreh die jewefligen bekann- ~r ~r

ten Anfangswerte von u ersetzt wird. In den fibrigen niehtlinearen Termen wird durch die Linearisierung in bestimmter Weise tin ExtrapolationsprozeB in den bereits bereehneten Gitterpunkten durchgefiihrt.

i§ 1, K - I i* l , K i§ K§

0 .o ~ - I i,K i,k.l

Abb. 3. Der Differenzenstern

Wir erhalten ffir die Randbedingungen 3.2:

A u o =- A v o = A w o = O, (3.6)

A u~+l ~ A wiv+l = O, A vjv+l = h.

Fernerhin folgt aus Gleiehung (3.3) mit Hilfe yon Beziehung (3.2) und (3.6):

A w e - - 4 A w ~ = O.

Berficksichtigt man die Randbedingungen 3.6, so stellen die Beziehungen (3.5) und (3.6) 3N d-1 lineare Gleichungen ffir ebensoviel Unbekannte in N Gitter- punkten der Zeile i Jr i dar. Dieses System von G]eiehungen kann daher nach bekannten Methoden der Algebra, etwa mit einem GauBsehen Eliminations- verfahren~ gelSst werden. Auf die dabei auftretenden numerisehen Sehwierigkeiten wird im nachfolgenden Abschnitt eingegangen.

4. ~Numerische Details

Die wesentliche Schwierigkeit bei der L6sung des Gleichungssystems 3.5 und 3.7 wird durch die groBe Anzahl der Gitterpunkte verursacht. 30--40 Gitter- punkte in Querrichtung werden bei den durchgefiihrten Rechnungen als notwendig erachtet, um weiterreichende Genauigkeit bei der Rechnung zu erreichen. Eine solche Anzahl bedingt, dab bei der Aufl6sung des Systems umfangreiche Matrizen bearbeitet werden miissen. NaturgemaB treten daher bei der Anwendung yon Datenverarbeitungsanlagen durch die besehr~nkte Anzahl der zur Verffigung stehenden Speicherpl~tze und die begrenzte Schnelligkeit der Maschine Engpgsse auf. Als besonders vorteithaft erweist sieh in diesem Zusammenhang, dag die Matrix des Gleichungssystems nur schwaeh besetzt ist. Durch Umbesetzung der Unbekannten kann eine Matrixbesetzung geschaffen werden, die einen einfaehen

106 U. M~LL~:

EliminationsprozeB gestattet . Die urspriingliehe Besetzung ist in Abb. 4 sehematisch dargestellt. Entscheidend bei dieser Anordnung ist, dab im wesentlichen nur die besetzten Elemente der ~ a t r i x gespeichert werden brauehen. Beim Eliminations- prozeg selbst kann eine einfaehe Pivotisierung unter Berficksichtigung der be- sonderen Elementeigenschaften durehgefiihrt werden, um die Rundungsfehler in Sehranken zu hMten.

\ % \ 1 \ \ \ -I % \ \ 1

,iv. .,u. .,w. p

Abb. 4. Das Besetzungsschema der ~atrix eines Gleichungssystems fiir die Unbekannten Auj, Avj, Awj

Zur Kontrolle der Genauigkeit der numerischen Ergebnisse wurden zun~tchst Reehnungen fiir das entspreehende symmetrisehe Problem durehgefiihrt, tIierbei handelt es sieh um zwei gleichsinnig und mit gleicher Frequenz umlaufende Seheiben. Dabei konnte fiir die Unbekannten Zustandsgr6Ben bei 30 Gitterpunkten eine Ubereinstimmung in den ersten 6 bis 8 Stellen der berechneten Werte recbts und links der Symmetrielinie erzielt werden. Es wurde mit insgesamt 13 Stellen ge- reehnet. Die Ergebnisse s t immten augerdem mit den Ergebnissen von M. C. ~BREITER und K. P O L g A v s ~ [3] fiberein. Zur weiteren Kontrolle wurde ferner f/Jr jeder~ Rechenschritt in l~adiMriehtung der Durchfiug bereehnet. Die Schrittweite wurde dabei so gew/~hlt, dag der DurehfiuB 2 aueh fiir groBe Radienverhgltnisse (r ~ 5) nieht mehr Ms 1% vom Anfangswert differierte. Dabei sind Schrittweiten yon 10 -2 bis 0,4 �9 10 -2 erforderlieh, je naehdem bis zu welehem Radiusverhgltnis gereehnet wird. Es hat sich weiterhin Ms zweckm/tNg erwiesen, die Anfangssehrittweite in der Umgebung yon x = 0 noch sehr vim kleiner als die oben erw/~hnten Werte, etwa 10 -4, zu w/ihlen, bis sich ein anfangs auftretender numerischer Startvorgang eingespiclt hat. Die Masehinenzeit zur Bereehnung eines Beispiels sehwankt bei Benutztmg einer Masehine vom Typ Elektrologiea X8 je nach l~adienverh~ltnis und Schrittweiten zwisehen 30 und 300 Minuten. Um wait in I~adiMriehtung reiehende Ergebnisse zu erhalten, ist die Stabilit~t des numerischen Verfahrens yon groger Wiehtigkeit. Es hat sich gezeigt, dab bei fester Reynolds-Zahl yon einem best immten Radiusverhgltnis ab die numerisehen Werte pl6tzlieh stark und unregelm/~Big anwaehsen. Das sind Anzeiehen einer auftretenden nume-

z

2 Als dimensionsloser Durchflul~ DF wird das Integral DF ~ f u(z, r)r dz definiert. 0

tJber die laminaro Str6mung in einer inkompressiblen Flfissigkeit 107

risehen Instabilit/~t. Bei numerisehen Experimenten stellt sieh heraus, dab der Beginn der Instabilit/~t nur yon der Reynolds-Zahl und der Sehrittweite in Querriehtung abMngt , w/~hrend die Sehrittweite in I~adialriehtung keinen Einflug hat, und zwar versehiebt sieh der ELesetzpt~nkt zu h6heren r-Werten mit kleiner werdenden Sehrittweiten und kleLeer werdenden geynolds-Zahlen. Die Weehselwirkung zwisehen einsetzender Instabilit/~t einerseits und den Gr6gen k und Re andererseits soll in plausibler Weise kttrz dargelegt werden. Wit betraehten dazu die vereinfaehte Navier-Stokes-Gleiehung (2.3 a). Sie ist vom para- bolisehen Typ. Die den Charakter bestimmenden Terme der Gleiehung sind der

ou undderD/~mpfungsterm 1 . 02u .WaehsendeKermzahlen Fortsehri t ts term u 0-7 /~e 0 7

Re haben offenbar die Wirkung, dab der Dgmpfungsterm an ELeflug ver]iert,

~u der GMchung, der Anfaehungsterm genannt werden soll, w/ihrend der Term w - 7

an ELefluB gewLent. Soll eine Kompensationsm6gliehkeit zwisehen diesen Termen bestehen, so muB offenbar

w ~ O~l ~ 1 (4.~)

sein a,4. Nehmen wir an, dab alle Gesehwindigkeiten etwa yon der Gr6Benordnung 1 sind, was die vollzogenen Grenzschiehtvereinfachungen nahelegen, so folgt, wenn ~z durch k ersetzt wird,

1 /c ~ R--~" (4.2)

Das bedeutet, dal~ die Schrittweite quer zu den Plat ten umgekehrt proportional zur Reynolds-Zahl gewghlt werden muB. Unsere qualitativen Kenntnisse durch numerisches Experimentieren finden wir hier besti~tigt.

5. Ergebnisse

Bei der Berechnung der Beispiele nach den im Abschnitt 3 aufgezeigten nume- risehen Methoden sollen zwei Ziele erreieht werden. Einerseits gilt es die Ge- schwindigkeits- und Druckverh~ltnisse im Einlauf der Anordaung bei versehie- denen Anfangswertvorgaben kennenzulernen, andererseits sollen die Geschwindig- keitsprofile ffir groBe Radienverh/fltnisse untersucht werden. Es ist eLeleuehtend, dat~ bei Anwendung numeriseher L6sungsmethoden zuverl/~ssige Aussagen nur mit einer Vielzahl yon Reehenbeispielen gewonnen werden k6nnen. I m nach- folgenden werden wir eine Auswahl soleher Beispiele n~her erl~utern.

In Abb. 5 sind Scharen yon l~adialkomponenten u und Azimutalkomponenten v ffir versehiedene Anfangswertvorgaben dargestellt. I m Beispiel 5a sled die An- fangswerte parabelf6rmige Profile. In den Beispielen 5b und 5e wurden die Anfangsprofile reehteekig gew/~hlt, wobei im Beispiel 5 e die Azimutalkomponente anfangs versehwindet. In allen F/fllen ist der Durehflug D F = 1 und die Rey- nolds-Zahl Re = 4. Ein Vergleieh zeigt, dab unabh~ngig yon den Anfangs- werten alle Profile bis zu einem I{adienverh/iltnis yon 1,5 ineLeander fibergehen.

3 ~ bedeutet kleiner oder yon der gleichen Gr6Benordnung. 4 Dieses Ergebnis geht auf eine Diskussion mit tterrn Dr. Sc~6~Aus~ zurtick.

108 U. Mt~LL~:

1,6

U

1,2

o.8

o,4

1,6

U

1,2

0,8

q4

1,6

U

1,2

0,8

q4

0

Radialkomp.

0,2 0,4 0,6 O,8 z/d 1,0

1,6 t Azimulalkomp.

V Re =4 DF= 1

1,2

0,8

0,2

/

J Jy

o,4 o,s o,a I,o Z/d

(7

Radia/komp.

< o,2 0.4 o,,e O, a zl d 1,o

Azimutelkomp. I Re-- 4 J DF= 1

rsl, O

0,2 0,4

/

o,e i

0,8 Zld 1,0 b

1,6 Radiolkomp.

Re-- 4 V DF= 1

I - / \1,01 ~ " ~ ' ! , 1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 zld 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 Zld 1,0

c

Abb. 5a, b, c. Radial- und Azimutalgeschwindigkei tsprof i le fiir verschiedene Rad ien und verschiedene Anfangswer tvorgaben ; Pa rame te r : R e = 4 , D F = 1;

Anfangswertprof i le : a) parabelf6rmig flit u und v, w verschwinde t b) rechteckig ffir u und v, w verschwinde t c) rechteckig fiir u, v und w verschwinden

Uber die ]aminare StrSmung in einer inkompressiblen Fliissigkei~ 109

J~hnliche Ergebnisse finder man ffir andere Reyno~ds-Zahlen. Dabei wird aller- dings mi~ wachsenden Werten R e der Radius grS~er, bei dem ~bereinstim- mung zwischen den Geschwindigkeitsprofflen erreicht wird. Das Verhalten der Axialkomponente w der Geschwindigkeit wird dutch die Abb. 6a und 6b wieder- gegeben. W/~hrend Abb. 6 a im wesentlichen den Umbau des Rechteckprofils zu

o, lo l

-o, os!

Axiatkomp.

I # e =

D F = 1

-0,I0~ q 2 0,4 0,6 0,8 Z/d 0

b O,06

W

0,05

0,04

qo3

r = 1,07 A xialkomp. Re= 4

D F = 1

o, oi

o,o~ o o,2 o,4 o,~ o,e Z/d 1,0

Abb. 6a, b. Axialkomponente der Geschwindigkeit im Einlaufbereich fiir verschiedene Radien und verschiedene Anfangswertvorgaben; Parameter: R e ~ 4 , .DF = 1

Anf~ngswertproi:ile: a) rechteckig fiir u, v und w verschwinden b) parabelfSrmig ffir u und v, w verschwindet

110 U. Mi)Lr,~:

einem der Geometrie angepagten u-Profil deutlieh maeht, wird in Abb. 6 b vor Mlem der Massentransport yon der ruhenden zur bewegten Seheibe siehtbar. Die Gesehwindigkeitskomponenten w yon Abb. 6 b entspreehen den parabelf6rmigen Anfangswerten yon Abb. 5a. Um den Anpassungsvorgang der Anfangsprofile in Abh/tngigkeit yon der Reynolds-Zahl zu verdeutliehen, sind in Abb. 7 ffir

~ SI Rodialk~omp. U DF= I ~ , ~

o, i !

0 o,25 0,50 qT'~ z/c1 I,o

Abb. 7. I~adialkomponenten der Geschwindigkeit fiir versehiedene Werte Re mit DF = 1 uM r = 1,04

Anfangswertvorgaben: rechteckig flit u und v, w verschwindet

r = 1,04 bei einem reehteekf6rmigen Anfangsprofil die l~adialkomponenten der Gesehwindigkeit tfir versehiedene Werte Re atffgetragen. W/~hrend ffir Re = 1

der Anpassungsvorgang wakt iseh abgeschlossen ist, hat er fiir Re = 100 kaum begormen. U m diesen Anpassungsvorgang aueh quanti ta t iv zu fassen, definieren wit eine sogenamlte Anpassungsstreeke xa. Darunter wollen wit jenes Radien- verhil tnis verstehen, bei dem im Rahmen graphischer Darstellungen Uberein- s~immung zwischen zwei yon versehiedenen Anfangswertprofilen herrfihrenden Gesehwindigkeitsprofilen erreieht wird. In den hier behandelten Beispielen wurden Reehteek, Linear- und Parabelprofile als Anfangswerte gew/~hlt. Ffir den

Fall eines Durehflusses D F = 1 ist in Abb. 8 die Anpassungsstreeke xa fiber ]/Ree aufgetragen, und zwar ffir die Radial- und die Azimutalkomponente der Ge- sehwindigkeit. Es ist zu erkelmen, dab die Abhgngigkeit im wesentliehen linear ist. Ferner ist zu sehen, dab die Anpassungsstreeke ffir die l~adialkomponente u kleiner ist als Ifir die AzimutMkoml0onente v. Weitergehende Untersuehnngen haben gezeigt, dab eine :Erh6hnng des Durehflusses D F die Anpassungsstreeke vergr6Bert. Es erhebt sieh in diesem Zusammenhang die Frage, inwieweit dieses Ergebnis mit den Voraussetzungen ffir die vereinfaehten Gleiehungen (2.3) ver- trgglieh ist. Es wurde bei der Ilerleitung dieser Gleiehungen

d I i 1

Uber die ]~min~re Str6mung in einer inkompressiblen Flfissigkeit 111

~ngenommen. Ffihren wir diese Beziehung in die von uns ermittel te Gesetzm/~l~ig- keit ein, so folgt

xa ~-~ ]/-~e = d v l ~ ~ l . (5.1)

Das bedeute t : Die lineare Beziehung nach Abb. 8 besitzt nu t solange Allgemein- g01tigkeit, wie die Gr56enordnungsbeziehung (5.1) richtig ist.

Von groger Bedeutung for tech~lischc Anwendungen ist der Verl~uf des Druck- gradienten im Sp~lt zwischen den Scheiben. Die graphischen Darstel lungen for

diesen Gradienten d-2-P bei Durchflfissen 0,5 und 1 sind in Abb. 9 einander geger~- dr

D F = 1

zo / / / /Z'.

~, s / Z

/ z . ~ . i . # _ g , 1 , o , t ~ j~ , ,~

Abb. 8. Anlaufstrecken als Funktion der Reynolds-Zah] l~dialkomponente der Gesehwindigkeit ( ) Azimu~alkomponente der Geschwindigkeit ( - - -

b 4 Druckgrad.

F OF= I

2

J

. . . .

F

2

Re = 45

0 "---~--J - "9

f ~4

- 2

-4, !

-6

Oruckgrad. OF = 0,5

J f

Re = 25 f f 0 f . _

"4

"6

I0 / I,o

91

4 z

J J

Abb. 9. Der Druckverlauf f/Jr verschiedene Reynolds-Zahlen 'Anfangswertprofile: rechteckig fiir u und v, w verschwindet; Parameter: a) DF ~ 0,5;

b) DP = 1

~2 ~4 1,s ~sr/R~o ~2 ~4 ~e ~8r/R~o

112 U. ~t~LL~:

fibergestellt. Das wesentliche Verhalten des Druekgradienten ffir hShere l~ey- nolds-Zahlen gestaltet sieh bereits im Bereich des Einlaufs. Nur ffir R e = 1

erfolgt ein gleiehm/iBiger Anstieg des Druekgradienten fiber eine gr6Bere Streeke, w/~hrend dieser Anstieg sieh bei den fibrigen Werten R e auf die unmittelbare Um- gebung des Einlaufs besehrgnkt und dann fast konstant bleibt. Dabei kann der Gradient auch positive Werte annehmen. Diese letztere Eigenschaft ist wesentlich mi t dem Auftreten m6glicher Rfickstr6mungen in der Umgebung der ruhenden Wand verkn~pft, die wir sps noeh kennenlernen. Die Abb. 10 zeigt eine Eigen- schaft der StrSmung, die in unmit telbarem Zusammenhang mit der Asymmetrie der StrSmungsverh~ltnisse steht. Aus Abb. 10 ist die Verschiebnng der Ext rema des Gesehwindigkeitsprofils ftir wachsende Kennzahlen R e in Richtung der be- wegten Seheibe zu ersehen. Ffir R e = 49 ist bereits eine Rfickstr6mung zu er- kennen. Die Abh/ingigkeit der Lage des Profi lmaximums vom DurchfluB ist in Abb. 11 dargestellt. Um vergleiehbare Kurven zu erhalten, wurde hier der Mu6-

1,5

U

1,o

o,5

R a d i a l k o m p .

DF = 1

r = 2

S q ~

Re= 49 25

qso o,75 Z/d I,o

Abb. 10. Geschwindigkeitsprofile ffir verschiedene Reynolds-Zahlen Ar~angswertprofile: reehteckig ftir u und v, w versehwindet; Parameter- D F = 1

Rad ia l komp.

R e = I

U

0,5

DF = 0,1

Z / d 0

Abb. 11. Geschwindigkeitsprofile bei r = 2 ftir verschiedene Durchfliisse DF im Mu6st~b entsprechend verzerrt; Anfangswertprofile: t~echtecksform ftir u, v und w verschwinden;

Parameter: R e = 1

?Jber die lammare StrSmung in einer inkompressibten F1/issigkeit 113

stab ffir die Geschwindigkeit stets so gewahlt, dal~ die Flache unter der Anfangs- wertkurve gleieh gro$ ist. Die Anfangswertkurven sind dabei Rechteckkurven. Das Diagramm zeigt, daft je kleiner der Durehflul] uln so st/irker die Abweiehung yon der Symmetrie ist.

Die bisherigen Darstellungen yon Gesehwindigkeitsprofilen beziehen sieh auf gadienverh/iltnisse zwisehen 1 und 2. Von groBem Interesse ist aber such das Verhalten ffir grSl~ere Radien r. Die Bildserien in Abb. 12 zeigen ffir ein recht- eckiges Einlaufprofil ohne Vordrall bei einem Durehfluft DF = 1 das Verhalten der Geschwindigkeiten u und v. Es kSnnen hier drei wesentliehe Eigensehaften aus den Kurvenscharen konstatiert werden. Die Versehiebung des Maximums der Radialkomponente und die Durchbiegung tier Azimutalkomponente nimmt mit wachsender Reynoldsscher Zahl raseh zu. Es tr i t t eine gfickstrSmung in tier N~he der ruhenden Wand ein. Sie setzt um so frtiher ein, je grSl3er die Kenn- zahl Re is~, Die tetzte Erscheinung kann in einfaeher Weise physikalisch ge-

1,6 U

1,2

O.8

O,4

O,8

O,4

4 Rodia/komp. r = ~ 04

f \ , .,.o

0 q2 o,4 o,s o,o Z/d 1,0

Azizu:a~k~

DF= I

J

o,2

r•=4,5

j '.o,,.o/I 0,4 o,6 o,8 Z/d 1,0

(2

Radialkomp. Re=4 OF= I ~

o.2 0,4 o,e q8 Z/d

Azimutolkomp. ~ . Re -- 4 5,6 DF- I :

0,2 q4 o,s o,o zld 1,0 b

Abb. 12 a, b. ~adi~l- ttad Azimutalgesehwindigkeitsprofile ffir verschiedene geynolds-Zahlen bei gleichen AnfungswerWorgaben (Rechtecksform fiir u, v und w verschwinden, P~r~meter:

DF = 1) a) R e = 1; b) R e = 4

Acta Mech. Xl / l - -2 S

114 U. MOLLER:

/,6

o.8

o,4

Radia lkomp. R e = 9 D F = I r --/1,04

/ o.2

\ J,O

0,4 0,6 0,8 zl d 1,0

Az imuto lkomp. Re-- 9 D F = I

O,2

~r= 4,5

0,4 0,6 O, e z/d 1,0

~ 6

1,2

o.8

0.4

Rad ia l komp . Re = 25

DF = I r--1,04 /

/ ~ - - I , 5

3'>"

o.2 0,4 o,s 0,~ z/o 1,0

A z i m u t a l k o m p . Re = 25 D F = I

o,2 oA o,s 0,8 z/d 1,o d

Abb. 12 c, d. Radial- und AzimutMgeschwindigkeitsprofile fiir versehiedene Reynolds-Zahlen bei gleichen Anfangswertvorgaben (Rechtecksform fiir u, v und w versehwinden, Parameter :

DF = i)

e) R e = 9 ; d) R e = 2 5

deutet werden. Die Zentrifugalkr~fte sehleudern in der N~he der rotierenden Plat te mit zunehmendem Radius immer mehr Masse naeh au6en. Aus Kontinui- t/itsgr/inden kann jedoch vom Einlauf her nur ein Tell der beschleunigten Massen ersetzt werden. Der Fehlbetrag wird bei gr56eren I~adienverh/~ltnissen durch eine einsetzende l~fiekstrSmung kompensiert. In weleher Weise sich die eben auf- geftihrten Eigenschaften bei fester Kennzahl Re und ver/~nderliehem Durch- flug D F verhalten, ist der Bfldserie 13 zu entnehmen. Ganz deutlieh ist zu er- kennen, da6 bei kleinen Werten des Durchflusses D F die RfickstrSmung sehr frfih einsetzt, wghrend grSBere DurchfluBmengen sie verzSgert. Das ist gemgB unserea friiheren Ausffihrungen fiber die physikalischen Hintergrfinde dieser Er- scheinung verstgndlieh. Es entsprieht auch den Erwartungen, die man an den Fall knfipft, wenn der Einlauf verschlossen wird. Diesen Fall hat G. K. BATCtIELOR [6] behandelt. Bei ihm treten RfickstrSmungen im gesamten Spalt auf. Die Dureh- biegung ffir das Gesehwindigkeitsprofil der Azimutalkomponente bei festen

Uber die laminare StrSmung in einer inkompressiblen Fltissigkeit 115

71 0,./5

q 1o

q05

0

Rodiolkomp. Re=9 DF-- 0,,1

r= 1,009

,.'o /

"/ 0,5

t5

V

0,5

z/d 1,o 0

Azimuto/komp.

Re= 9

DF= 0,1

o.5

/'1,o,

1.0 z/d

o

5 I Re--9 U Rodiolkomp. DF = 3

4 r-=U6

ao \ \ \ 2

N

1,2

V

qa

0.4

0 0 0,5 Z/d 1,0

//// 0.5 z/d 1.0

b Abb. 13 a, b. Radial- und AzimutMgeschwindigkeigsprofile ffir verschiedene Durchfliisse bei gleichen Anfangswertvorgaben (Reehtecksform ffir u, v und w versehwinden, Parameter:

_Re = 9)

a) D ~ = 0 , 1 ; b) D F = 3

8*

][16 U. ~r Uber die laminare StrSmung in einer inkompressiblen Flfissigkeit

Radienverh~l tn i ssen n i m m t mi t grSBer werdendem DurchfluB zu. Das is t natf i r- lieh, weft bei grSl3erem Durchflul~ l~ngere S t recken v o m s t rSmenden Medium zurfickgelegt werden, bis der Einflul~ der W a n d r e i b u n g gleiche W i r k u n g zeigt.

Der Au to r d~nkt H e r r n Prof. ZIn~EP fiir die kr i t i sche Durchs ieh t des Manu- skr ip tes und H e r r n Dr . - Ing . W. Sc~6~AvnR ffir fSrdernde Diskussionen.

Literatur

[1] K ~ I X N , T~. vow: Uber laminare und turbulente Reibung. Z. angew. Math. Mech. 1, 233--252 (1921).

[2] MELLO~, G. L., P. J. C~APPLE, and V. K. STOKES: On the flow between a rotating and a stationary disk. J. Fluid Mech. 81, 95--112 (1968).

[3] B~XlTE~, M. C., and W. POL~AUS~: Laminar flow between two parallel rotating disks. Aeronautical Research Laboratory U.S.A.F.Mar. 1962.

[4] BoY]~]), K. E., and W. RICE: Laminar inward flow of on incompressible fluid between rotating disks, with full peripheral admission. J. Appl. Mech. 1968, 230.

[5] KANTO~OWlTCE, L. W., and W. J. K~YLov: N~herungsmethoden der hSheren Analysis. Deutscher Verlag der Wissenschaften. 1956.

[6] BATe~ELOR, G. K. : Quart. Journ. Mech. and Appl. Math. 4, 29 (1951).

Dr. Ulrich Miiller Lehrstuhl /i~r Str6mungslehre

der Universitiit Karlsruhe Kaiserstrafie 12

D-75 Karlsruhe, BRD