Download - U2 ECS DIFERENCIALES.pdf
TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS
- 26 -
UNIDAD II. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR.
2.1 Definición de ecuación diferencial de orden n.
Es frecuente, en numerosos problemas de mecánica o teoría de circuitos eléctricos, que las
ecuaciones que rigen los procesos sean de orden mayor que uno. Por lo tanto, será necesario
trabajar con ecuaciones diferenciales de orden superior.
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es una ecuación que liga la variable independiente
x, una función incógnita y = y(x) y sus derivadas sucesivas y’, y’’, …,y(n), es decir, es una expresión de la forma:
xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa on
n
nn
n
n
11
1
1 ....
2.2 Problema del valor inicial.
Un problema de valor inicial para una ecuación diferencial general de orden n, es resolver:
xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa on
n
nn
n
n
11
1
1 ....
sujeta a: )1(00
)1(0000 ,...,')(', nn yxyyxyyxy ,
donde )1(000 ,...,', nyyy son constantes arbitrarias.
Los valores especificados )1(00
)1(0000 ,...,')(', nn yxyyxyyxy se llaman condiciones
iniciales. Se busca una solución en algún intervalo I que contenga a x0.
2.3 Teorema de existencia y unicidad de solución única.
Sean )( )(),( ),...,(),( 011 xgyxaxaxaxa nn continuas en un intervalo I, y sea 0)( xan para todo x
en dicho intervalo. Si x=x0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una solución y(x)
del problema de valor inicial en el intervalo y es única.
2.4 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
Una ecuación diferencial lineal de orden n de la forma
0.... 11
1
1
yxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa on
n
nn
n
n
se dice que es homogénea, mientras que
TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS
- 27 -
0.... 11
1
1
yxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa on
n
nn
n
n
en donde g(x) no es idénticamente igual a cero, recibe el nombre de no homogénea.
2.4.1 Principio de superposición.
La suma o superposición de dos o más soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea
también es una solución.
Teorema: Sean kyyy ,...,, 21 soluciones de la ecuación diferencial lineal de orden n, en un
intervalo I. Entonces la combinación lineal:
),(...)()( 2211 xycxycxycy kk
en donde las k1,2,...,i , ic son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo.
Ejemplo:
a) Las funciones 2
1 xy y xlnxy 2
2 son soluciones de la ecuación homogénea de tercer
orden en el intervalo (0,∞). Por el principio de superposición la combinación lineal
xlnxcxcy 2
2
2
1 es también una solución de la ecuación en el intervalo.
b) Las funciones xey 1 , xey 2
2 y xey 3
3 satisfacen la ecuación homogénea
061162
2
3
3
ydx
dy
dx
yd
dx
yd en (-∞, ∞). De acuerdo con el principio de superposición otra
solución es 3xe3
2
21 cececy xx .
2.5 Dependencia e independencia lineal, wronskiano.
Interesa determinar cuándo n soluciones ny,...,y,y 21 , de la ecuación diferencial homogénea son
linealmente independientes. Esto se puede establecer mediante un determinante denominado
wronskiano. Una condición necesaria y suficiente para la independencia lineal es que el
wronskiano de un conjunto de n soluciones no se anule en un intervalo I.
Supongamos que cada una de las funciones )x(f),...,x(f),x(f n21 posee al menos n-1 derivadas,
el determinante:
TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS
- 28 -
)x(f...)x(f)x(f
)x(f...)x(f)x(f
)x(f...)x(f)x(f
))x(f),...,x(f),x(f(W
)n(
n
)n()n(
n'''
n
n
11
2
1
1
21
21
21
en donde las primas representan las derivadas, se llama wronskiano de las funciones.
Sean ny,...,y,y 21 soluciones de la ecuación diferencial lineal, homogénea y de orden n, en un
intervalo de I. Entonces, el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y sólo si
021 )y,...,y,y(W n para toda x en el intervalo.
Ejemplo:
a) La ecuación de segundo orden 09 y"y cuenta con dos soluciones, xey 3
1 y xey 3
2
.
Puesto que:
063333
3333
33
3333
xxxx
xx
xx
xx eeeeee
ee)e,e(W , para todo valor de x, entonces
1y y 2y forman un conjunto fundamental de soluciones en (-∞, ∞). La solución general de la
ecuación diferencial en el intervalo es xx ececy 3
2
3
1
.
b) Las funciones xey 1 , xey 2
2 y xey 3
3 satisfacen la ecuación de tercer orden
061162
2
3
3
ydx
dy
dx
yd
dx
yd. Puesto que:
02
94
32 6
32
32
32
32 x
xxx
xxx
xxx
xxx e
eee
eee
eee
)e,e,e(W , para todo valor de x, entonces 1y , 2y y 3y
forman un conjunto fundamental de soluciones en (-∞, ∞). Se concluye quexxx ecececy 3
3
2
21 es la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo.
Ejercicio.
1. Determine si las funciones dadas son linealmente independientes o dependientes en (-∞, ∞).
a) 2
3
2
21 34 xxxf,xxf,xxf c) xsenxf,xcosxf,xf 2
3
2
21 5
b) xexf,xxf,xf 321 0 d) 3
21 1 xxf,xxf
TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS
- 29 -
2. Verificar que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la
ecuación diferencial en el intervalo indicado. Forme la solución general.
a) ) ,(- e e 012 4x-3x ,,;y'y"y b) ) ,(- 2x e 2x e 052 xx ,sen,cos;y'y"y
c) ) ,(- xee 044 2x
2x
,,;y'y"y d) ) ,0( x x x,0446 2-223 ,lnx,;y'xy''yx'''yx
e) ) ,0( x0126 432 ,x,;y'xy"yx f) ) ,(- xsen x,cos x,1, 04 ,;''yy )(
2.6 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
2.6.1 Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.
Una ecuación diferencial de la forma 011
1
1
yadx
dya....
dx
yda
dx
yda on
n
nn
n
n en donde las
n,...,,i,ai 10 son constantes, es una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n con
coeficientes constantes.
2.6.2.1 Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de orden dos.
2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales y distintas, raíces reales e iguales, raíces complejas conjugadas).
Una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de orden dos
0 cy'by´´ay , se resolverá considerando una solución de la forma mxey , entonces mxme'y y mxem''y 2 . De tal forma que la ecuación se convierte en
02 mxmxmx cebmeeam ó bien 02 cebmeamemx
La ecuación cuadrática 02 cebmeam se llama ecuación auxiliar o ecuación característica de la ecuación diferencial. Se considerarán tres casos, según las raíces obtenidas de la ecuación
auxiliar.
Caso I. Raíces reales diferentes (m1≠m2).
Si tiene dos raíces reales diferentes m1 y m2, se encuentran dos soluciones xmey 1
1 y xmey 2
2 ,
se deduce entonces que la solución general será xmxm ececy 21
21
Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial.
0352 y'y''y
1. Sustituir mxey , mxme'y y mxem''y 2 .
TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS
- 30 -
0352 2 mxmxmx emeem
2. Factorizar mxe .
0352 2 mmemx
3. Identificar ecuación característica y encontrar las raíces.
0352 2 mm Ecuación característica.
2
1m
2
1
4
2
4
75
3m 34
12
4
75
4
75
4
495
4
24255
22
32455
2
4
22
11
2
2
m
m
m
m
m
)(
))(()()(m
a
acbbm
m1≠m2 , por lo tanto son raíces reales diferentes.
4. Expresar solución general de acuerdo con el tipo de raíces.
Raíces reales diferentes: xmxm ececy 21
21
Solución general:
xx ececy 2
1
2
3
1
Caso II. Raíces reales repetidas(m1=m2).
Si tiene dos raíces reales repetidas m1 y m2, se encuentran dos soluciones xmey 1
1 y xmxey 2
2
y la solución general será xmxm xececy 21
21 .
TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS
- 31 -
Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial.
02510 y'y''y
1. Sustituir mxey , mxme'y y mxem''y 2 .
025102 mxmxmx emeem
2. Factorizar mxe .
025102 mmemx
3. Identificar ecuación característica y encontrar las raíces.
025102 mm Ecuación característica.
Factorizando:
055 )m)(m(
5m 05
5m 05
2
1
)m(
)m(
m1= m2 , por lo tanto son raíces reales repetidas.
4. Expresar solución general de acuerdo con el tipo de raíces.
Raíces reales repetidas: xmxm xececy 21
21
Solución general: xx xececy 5
2
5
1
Caso III. Raíces complejas conjugadas (m1=+βi y m2=-βi).
Si m1 y m2 son raíces complejas, se encuentran dos soluciones xmey 1
1 y xmey 2
2 , se deduce
entonces que la solución general será: xsencxcoscexsenecxcosecy xxx 2121 .
Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial.
0 y'y''y
1. Sustituir mxey , mxme'y y mxem''y 2 .
TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS
- 32 -
02 mxmxmx emeem
2. Factorizar mxe .
012 mmemx
3. Identificar ecuación característica y encontrar las raíces.
012 mm Ecuación característica.
2
3
2
1
2
3
2
1
2
31
2
31
2
411
12
11411
2
4
2
1
2
2
im
im
im
m
m
)(
))(()()(m
a
acbbm
m1 y m2 son raíces complejas conjugadas.
4. Expresar solución general de acuerdo con el tipo de raíces.
Raíces reales conjugadas: xsencxcoscexsenecxcosecy xxx 2121
Solución general:
xsencxcoscexsenecxcosecyxx
x
2
3
2
3
2
3
2
321
2
1
2
1
21
2
1
TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS
- 33 -
Ejercicio:
1. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada.
a) 04 'y''y f) 036 y''y
b) 06 y'y''y g) 023 y'y''y
c) 01682
2
ydx
dy
dx
yd h) 0105
2
2
ydx
dy
dx
yd
d) 02512 y'y''y i) 028 y'y''y
e) 036 y''y j) 0432 y'y''y
2.7 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.
Para resolver una ecuación diferencial de orden n:
011
1
1
yadx
dya....
dx
yda
dx
yda on
n
nn
n
n ,
donde las a1=0,1,…,n, son constantes reales, se debe resolver la ecuación algebraica de grado n
01
1
1
yama....mama o
n
n
n
n .
Ejemplo:
Resolver 043 y''y'''y
1. Sustituir mxey y sus derivadas.
043 23 mxmxmx eemem
2. Factorizar mxe .
043 23 )mm(emx
3. Identificar ecuación característica y encontrar las raíces.
La ecuación auxiliar es 043 23 mm .
La técnica algebraica de la división sintética es útil para encontrar las raíces racionales.
TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS
- 34 -
Los divisores del valor constante serán p y los divisores del coeficiente de la variable con mayor
grado serán q.
421 ,,:p
1:q
Las posibles raíces están dada por q
p.
En consecuencia las posibles raíces racionales de la ecuación auxiliar son:
4- 4, 22 111
421,,,,
,,:
q
p
Probando cada uno de estos valores por división sintética, se encuentra que:
0 4 4 1
4 4 1
1 4- 0 3 1 L
En consecuencia m1=1 es una raíz, ya que el residuo de la división sintética es cero.
Ahora con los nuevos coeficientes del cociente 1, 4y 4 se pueden expresar como:
0442 mm
Resolviendo con la fórmula cuadrática se obtiene:
2
04
2
04
2
16164
12
41444
2
4
2
2
m
m
m
)(
))(()()(m
a
acbbm
2
2
3
2
m
m
TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS
- 35 -
Así, la solución general es:
xxx xecececy 2
3
2
21
Ejercicio:
1. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada.
a) 044 'y''y'''y
b) 0935 y'y''y'''y
c) 02
2
3
3
4
4
dx
yd
dx
yd
dx
yd
d) 0510252
2
3
3
4
4
5
5
ydx
dy
dx
yd
dx
yd
dx
yd
dx
yd
e) 0812722
2
3
3
4
4
5
5
dx
yd
dx
yd
dx
yd
dx
yd
2.8 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.
Una ecuación diferencial de la forma
)x(gy)x(adx
dy)x(a....
dx
yd)x(a
dx
yd)x(a on
n
nn
n
n
11
1
1 en donde g(x) no es nula, es una
ecuación diferencial lineal no homogénea de orden n.
2.8.1 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.
La solución general de la ecuación diferencial homogénea es pc yyy , donde yc es la solución complementaria y yp la solución particular.
2.8.2 Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas (coeficientes
indeterminados, método de la superposición, método de operador anulador).
Coeficientes indeterminados-enfoque superposición.
Para obtener la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea deben llevarse
a cabo dos cosas:
i) Hallar la función complementaria yc. ii) Encontrar cualquier solución particular yp de la ecuación no homogénea.
TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS
- 36 -
Caso I. Ninguna función que se suponga como solución particular es una solución de la
ecuación diferencial homogénea asociada.
Resolver 63x2x2y4y''y' 2
1. Resolver la ecuación homogénea asociada 02y4y''y' .
Se encuentra que la ecuación auxiliar es 024mm2 . Resolviendo por la fórmula general se
obtiene que 621 m y 622 m . Con estas raíces se expresa la función
complementaria: xx
c ececy 62
2
62
1
2. Como la función g(x) es un polinomio cuadrático, se supone una solución particular que
tiene también la forma de un polinomio cuadrático:
CBxAxy p 2 .
Se sustituyen yp y sus derivadas en la ecuación diferencial dada:
A''y
BAx'y
CBxAxy
p
p
p
2
2
2
63x2x2(-B)4(2Ax2A
63x2x2y4y''y'
2
2
2
)CBxAx
Resolviendo y agrupando:
63x2x242282-
63x2x222-B48Ax2A
2
2
2
2
CBAxx)BA(Ax
CBxAx
Se igualan los coeficientes de potencias semejantes de x:
6242
328
22
CBA
BA
A
Resolviendo el sistema de ecuaciones se encuentran los siguientes valores:
A=-1, B=-5/2 y C=-9. Por lo tanto la solución particular es:
TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS
- 37 -
92
52 xxy p
3. Se expresa la solución general pc yyy .
92
5262
2
62
1 xxececy xx
En la siguiente tabla se ilustran algunos ejemplos específicos de g(x) junto con la forma correspondiente de la solución particular.
g(x) Forma de yp
1. Cualquier constante. A
2. 5x + 7 Ax+B
3. 3x2-2 Ax2+Bx+C
4. x3-x+1 Ax3+Bx2+Cx+D 5. sen 4x A cos 4x + B sen 4x
6. cos 4x A cos 4x + B sen 4 x 7. e5x Ae5x
8. (9x-2)e5x (Ax+B)e5x
9. x2e5x (Ax2+Bx+C)e5x
10. e3x sen 4x Ae3x cos 4x + Be3x sen 4x
11. 5x2 sen 4x (Ax2+Bx+C)cos 4x + (Dx2+Ex+F)sen 4x 12. xe3xcos 4x (Ax+B)e3xcos 4x+ (Cx+D)e3x sen 4x
Ejemplo:
Determinar la forma de una solución particular de:
a) xexe 75x25y8y''y' 3
Solución. Se puede escribir x3 7)e(5xg(x) . Usando como modelo el dato 9 de la tabla, se
supone una solución particular de la forma (Ax3+Bx2+Cx+D)e-x.
b) x4 cosxy''y
Solución. xcos g(x) x . Usando como modelo el dato 11 de la tabla, se supone una solución
particular de la forma (Ax+B)cos x + (Cx+E)sen x.
c) xxexy'y''y 265432
TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS
- 38 -
Solución. En este caso se identifican dos tipos de funciones, 5-4x(x)g1 , que es polinomial y 2x
2 6xe(x)g que es exponencial. Por lo tanto la solución particular estará dada por
21py pp yy .
BAxy p 1
y xx
p DeCxey 22
2
Entonces xx DeCxeBAx 22
py
Caso II. Una función en la solución particular propuesta es también una solución de
la ecuación diferencial homogénea.
Resolver x8e4y'-5y'y'
1. Resolver la ecuación homogénea asociada 04y'-5y'y' .
Se encuentra que la ecuación auxiliar es 045m-m2 . Resolviendo por la fórmula general se
obtiene que 41 m y 12 m . Con estas raíces se expresa la función complementaria: xx
c ececy 2
4
1
2. Como la función g(x) tiene la forma Aex, se supone otra solución particular: x
p Axey .
Se sustituyen yp y sus derivadas en la ecuación diferencial dada:
xx
p
xx
p
x
p
AeAxe''y
AeAxe'y
Axey
2
xexAxe)xAexAxe(xAexAxe 8452
x8e4y'-5y'y'
Resolviendo y agrupando:
xexAe
xexAxexAexAxexAexAxe
83
84552
x8e4y'-5y'y'
TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS
- 39 -
Se igualan los coeficientes con funciones semejantes de x:
83 A
Resolviendo la ecuación se encuentran que A=-8/3. Por lo tanto la solución particular es:
x
p xey3
8
3. Se expresa la solución general pc yyy .
xxx xeececy3
82
4
1
Ejercicios.
1. Resuelva la ecuación diferencial dada por coeficientes indeterminados con enfoque de superposición.
a) 623 y'y''y f) xcosy'y''y 2344
b) 3302510 xy'y''y g) xex'y''y 2522
c) xxexy'y''y 26100208 2 h) xsen)x(y''y 234 2
d) xseny''y 234 i) 642255 23 xxxy'y''y
e) 1594 y''y j) xcos'y'''y 36
Coeficientes indeterminados- método del operador anulador.
Operadores diferenciales.
El símbolo Dn se usa en cálculo para designar la derivada enésima de una función:
n
nn
dx
ydyD .
Por lo tanto una ecuación diferencial con coeficientes constantes puede escribirse como:
)x(gyaDya...yDayDa n
n
n
n
01
1
1 o bien )x(gyaDa...DaDa n
n
n
n
01
1
1 . La
expresión 01
1
1 aDa...DaDa n
n
n
n
se llama operador diferencial lineal de orden n.
Los operadores diferenciales pueden ser factorizados en operadores diferenciales de orden menor y conmutarse.
Ejemplo: Expresar la ecuación diferencial 1565 y'y''y con operadores diferenciales.
15652 yDyyD
TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS
- 40 -
1523
15652
y)D)(D(
yDD
Operador anulador.
Si es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y es una función
suficientemente diferenciable tal como:
, entonces se dice que es un operador anulador de la función.
a) El operador diferencial anula a cada una de las funciones .
Ejemplo: Encuentre un operador diferencial que anule a .
Solución:
1. Identificar n-1, es el mayor exponente de las funciones .
2. Sustituir el valor de n en el operador anulador.
b) El operador diferencial (D-)n anula a cada una de las funciones ex, xe
x, x2ex,…, xn-1e
x. Ejemplo: Encuentre un operador diferencial que anule las siguientes funciones: e5x , 4e2x-6xe2x y
e-3x+xex.
Solución:
1. Identificar , que es el coeficiente de x en la función exponencial y n-1 que es el mayor exponente de las funciones x, x2,…,xn-1.
Para e5x =5 y n-1=0 → n=1
Para 4e2x-6xe2x =2 y n-1=1 → n=2 Para e-3x+xex, se determina un operador diferencial para cada término ya que son diferentes las funciones exponenciales.
1er término: =-3 y n-1=0 → n=1
2º término: =1 y n-1=1→ n=2
2. Sustituir el valor de y n en el operador anulador.
Para e5x (D-)n = (D-5) → (D-5) e5x = 0
TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS
- 41 -
Para 4e2x-6xe2x (D-)n = (D-2)2 →(D-2)2 (4e2x-6xe2x) =0
Para e-3x+xex se tiene que (D+3) (D-1)2 (e-3x+xex) =0
c) El operador diferencial [D2-2D+(2+β2)]n anula cada una de las funciones:
ex cos βx, xe
x cos βx, x2 ex cos βx,…,xn-1 e
x cos βx,
ex sen βx, xe
x sen βx, x2 ex sen βx,…,xn-1 e
x sen βx.
Ejemplo: Encuentre un operador diferencial que anule las siguientes funciones
e-xcos 2x-3e-xsen 2x, x cos x – sen x y e2xsen 3x-6xex cos 2x.
Solución:
1. Identificar , que es el coeficiente de x en la función exponencial, β que es el coeficiente de x
en la función trigonométrica y n-1 que es el mayor exponente de las funciones x, x2,…,xn-1.
Para e-xcos 2x-3e-xsen 2x se determina sólo un operador diferencial, ya que ambas funciones trigonométricas, tienen el mismo ángulo y la misma función exponencial.
=-1, β=2 y n-1=0 → n=1
2. Sustituir los valores de , β y n en el operador anulador.
[D2-2D+(2+β2)]n → [D2-2(-1)D+(-12+22)] →(D2+2D+5)
Por lo tanto (D2+2D+5)(e-xcos 2x-3e-xsen 2x )=0
Ejercicios:
1. Encuentre un operador diferencial que anule la función dada:
a) 3261 xx f) )x(x 513
b) xe271 g)
xxex 63
c) xcos 2 h) 1+senx
d) xsenxx 4913 2 i) 8x-senx+ 10 cos 5x
e) xxx exxee 22
j) xcosesenxe xx 32
2. Verificar que el operador diferencial dado aniquila la función indicada.
a) x;D 210x 34 c) 8x sen 5 -8x cos 2 ;642 )D(
b) xe);D)(D( 52x4e 52 d) 8x sen 5 -8x cos 2 ;642 )D(
TESCI MATEMÁTICAS V: APUNTES Y EJERCICIOS
- 42 -
Método de solución por coeficientes indeterminados-enfoque operador anulador.
Ejemplo:
Resolver 2
2
2
423 xydx
dy
dx
yd
1. Expresar la ecuación diferencial con operadores diferenciales.
22
22
2
2
2
423
423
423
xy)DD(
xyDyyD
xydx
dy
dx
yd
2. Se encuentra el operador diferencial que anule a la función g(x).
g(x)=4x2
n-1=2 → n=3
Dn=D3 →D3(4x2)=0
3. Multiplicar la ecuación diferencial por el operador anulador.
023
423
23
2323
y)DD(D
)x(Dy)DD(D
La ecuación auxiliar será:
023
423
23
2323
)mm(m
)x(Dy)DD(D
Con las raíces de 023mm2 (ecuación homogénea asociada) se expresa la función complementaria:
Resolviendo por la fórmula general se obtiene que 11 m y 22 m .
Por lo tanto xx
c ececy 2
21