Traitement du signal -Électronique des Systèmesd’AcquisitionTransformée de Laplace
Germain PHAM & Chadi [email protected] 2020
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Application des transformées
La transformée de Laplace (TL)
Principales applications de la TL
2/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
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Objectifs de cette leçon
(Re)voir la définition des transformées• Prendre du recul et comprendre comment s’incrit la transformée de
Laplace dans cet univers
Comprendre à quoi ça sert A
Manipuler ces objets dans le contexte de l’électronique et destélécommunications
Une bonne nouvelle pour commencer B
Nous ne parlerons pas (ou alors très peu) de : projections sur deshyperplans, ni de spectre d’un opérateur linéaire, ni de valeurs propres, ni deconvergence d’intégrale, ni de distributions. . .
A. Il paraît que ça guérrit de la maladie Covid-19B. enfin... sauf pour les amoureux de l’analyse fonctionnelle !
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Sources
Les transparents de ce cours sont très inspirés des diapos de MarcChaumont (MdC à l’Université de Nîmes) :Le traitement du signal - La transformée de Fourier, la transformée deFourier discrète et la transformée en cosinus discret (janvier 2008) A
A. Lui même inspiré par des supports de Joël Le Roux (Univ. Nice) et Paul Bourke(Univ. West. Australia)
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Application des transforméesJoseph Fourier et sa transforméeLe développement des transforméesSignaux physiques et modèles théoriquesDifférents signaux(espaces), différentes TFRetour sur les applications "Signaux temporels"Conclusion
La transformée de Laplace (TL)
Principales applications de la TL
5/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Joseph Fourier et sa transformée
Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)• Mathématicien et physicien français
Théorie de la chaleur• Le premier a avoir déterminé, par le calcul,
la diffusion de la chaleur en utilisant ladécomposition d’une fonction quelconque ence qu’on appelle aujourd’hui une série deFourier.
A. Images : Le journal du CNRS, BNF
6/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Les grandes applications dela transformée de Fourier
Applications monodimensionnelles• Signaux temporels• Fonction de transfert• Radiodiffusion, transmissions• Sons
Applications multidimensionnelles• Images• Propagation d’ondes• Interférométrie, holographie• Imagerie médicale
A. Voir le cours de Marc Chaumont pour des illustrations détailléesA. Joseph Fourier transforme toujours la science, Le journal du CNRS
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La propriété fondamentale
8/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Le développement des transformées
Transformée de Fourier
Transformée Inverse
Transformée de Laplace
Extension aux signaux échantillonés
Invention de l’algorithme de transformée de fourier rapide (FFT) :Cooley, Tuckey (IBM,1965)
Extension aux signaux multidimensionnels
Ondelettes
9/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Signaux physiques et modèles théoriques
Image d’un processus physique• énergie bornée• amplitude bornée• amplitude continue• spectre (quasi-)borné
Modèles théoriques• fonction mathématique, qui dépend de la variable temps par
exemple• souvent judicieux d’utiliser des modèles commodes mais non
physiques
Exemples• Signal sinusoïdal• Distribution de Dirac et peigne
A. Plus de détails dans Chapitre 2, Théorie et traitement des signaux Frédéric deCoulon (Presses polytechniques,1998) (soit dit en passant, ce livre est une merveille !)
10/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Signaux déterministes/aléatoires
Signaux
Déterministes
Périodiques
Sinusoïdaux
Périodiques composites
Pseudo-aléatoires
Non-Périodiques
Quasi-périodiques
Transistoires
Aléatoires
Stationnaires
Ergodiques
Non-ergodiques
Non-stationnaires Classification spéciale
11/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Signaux déterministes/aléatoires (2)Pseudo-aléatoires
Signaux périodiques dont l’évolution est proche d’un signal aléatoire(ex : signal cardiaque)
Quasi-périodiques
Sommes de sinusoides de périodes incommensurables (ex : multi-tons)
Stationnaires
Moments statistiques invariants dans le temps(ex : bruit blanc ; contre-ex : sinus bruité)
Ergodiques
Moyenne statistique égale à la moyenne temporelle(ex : sinus à phase aléatoire ; contre-ex : sinus à offset aléatoire)
Interprétation de l’espérance et de la variance A :E
X (t)2 = E X (t)2 + σ2X(t) → Ptot = PDC + PAC
A. Section 2.4.1 de Processus Aléatoires L. Deneire & I. Aliferis, Polytech’Nice So-phia,2009
12/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Énergie et puissance
Électrotechnique• Puissance instantannée
([W] = [V]·[A])
p(t) = u(t) · i(t) (1)
• Énergie sur un intervalle de temps([J] = [W]·[s])
E =
∫ t2
t1
p(t)dt (2)
• Puissance moyenne sur l’intervalle([W])
Pm =1
t2 − t1
∫ t2
t1
p(t)dt (3)
Traitement du signal• Énergie (normalisée) sur un
intervale de temps
Ex =
∫ t2
t1
x2(t)dt (4)
• Puissance moyenne (normalisée)sur l’intervalle
Px,m =1
t2 − t1
∫ t2
t1
x2(t) dt (5)
• Énergie et puissance pour unerésistance de 1 Ω
• On peut prendre les limitest1 → −∞ et t2 →∞
13/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Classification énergétique
Signaux à énergie finie∫ +∞
−∞|x(t)|2 dt <∞ (6)
Signaux à puissance moyenne finie (non nulle)
0 < limT→∞
1T
∫ T2
− T2
|x(t)|2 dt <∞ (7)
Remarque• Un signal d’énergie finie a une puissance moyenne nulle
– signal physiquement réalisable• Un signal de puissance moyenne finie a une énergie infinie
– pas de réalité physique
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Signaux continus et discretsAmplitude
Continue Discrète
Nat
ure
dute
mps Continu
Discret
Énergie totale du signal échantillonné : Wxe =∑
x2(tk ) ·∆tÉnergie du signal numérique (∆t = 1) : Wxn =
∑x2(tk )
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Transformées de Fourier, Laplace, en Z, eten temps discret
Nature de la variable exponentielle
Complexe purep = jω
Complexe quelconquep = σ + jω
Nat
ure
dute
mps Continu
TFF(ω) =
∫f (t) e−jωt
dtTL
F(p) =∫
f (t) e−ptdt
Discretf (t) ·
∑n δ (t − nT )
TFTDFTD(ν) =
∑f [n] e−j2πnνy
TFD
FD[k ] =N−1∑n=0
f [n] e−j2πnk/N
TZF(z) =
∑f [n]z−n
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Retour sur les applications "Signaux tem-porels"
Équation différentielles et filtrage (RLC)
Transmissions analogiques et numériques de base
Interprétation de l’échantillonage des signaux en vue dutraitement numérique
Analyse, synthèse et reconnaissance de la parole
Analyse en fréquence des sons, de la musique et compressionde données
Identification des caractéristiques d’un système linéaire• Suppression d’échos• sismographie• cardiologie
Transmissions numériques : OFDM
A. Source : Le traitement du signal - La TF, la TFD et la TCD M. Chaumont (2008)
17/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Conclusion
Vaste champ d’application• Grâce au traitement numérique• Grâce à l’algorithme de FFT
Les transformées sont un outil essentiel pour les technologies
18/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
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Application des transformées
La transformée de Laplace (TL)Définition mathématiqueLa transformée de Laplace généralise la TFPropriétés de la TLExercice 1 : TL d’un triangle
Principales applications de la TL
19/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
La transformée de Laplace généralise la TFLa transformée de Laplace est une extension de la transformée deFourier au plan complexe complet.
Fourier Laplace
σ=0←−−−−−−p=jω
F
(p = (σ, jω)
)=
∫f (t) e−σt
e−jωt
dt (8)
Le facteur e−σt est un facteur de convergence que la transformée deFourier ne possède pas.
20/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Propriétés de la TLLinéarité
L
n∑
i=1
aixi (t)
=
n∑i=1
ai L
xi (t)
(9)
Translation temporelle
L
x (t − α) u (t − α)
= e−αpX (p) (10)
• Le module de la TF n’est pas modifié !
Transformée d’une dérivée temporelle
Ld
dtx(t)
= p · X (p)− x
(0−)
(11)
Transformée d’une intégrale sur le temps
L
t∫
0−
x (τ) dτ
=X (p)
p(12)
21/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Propriétés de la TL(2)Produit de convolution et transformée de Laplace
Soit y(t) = x ? h (t) A
y(t) =
∫ ∞−∞
x(τ)h(t − τ)dτ (13)
Sa transformée de Laplace est :
Y (p) = X (p) · H(p) (14)
Transformée d’un produit (simple) de fonctions
La transformée de Laplace du produit z(t) = v(t) · w(t) est :
Z (p) = V ?W (p) (15)
A. Attention, le symbole de la convolution peut changer, des fois il est noté x ∗ h(t)
22/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Transformée de Laplace de signaux usuelsImpulsion de Dirac δ(t)
Lδ(t)
=
∞∫0
δ(t) e−tpdt = e
−tp|t=0 = 1 (16)
Impulsion de Dirac décalée δ(t − τ)
Lδ(t − τ)
=
∞∫0
δ(t − τ) e−tpdt = e
−tp|t=τ = e
−τp (17)
Échelon unité (Heaviside) u(t)
L
u(t)
=
∫ ∞0
e−tp
dt =
[−1
pe−tp]∞
0=
1p
pour <(p) > 0 (18)
Signal sinusoïdal complexe (causal) s(t) = ejω0t , ω0, t ∈ R+
L
s(t)
=
∫ ∞0
ejω0t
e−tp
dt =1
−p + jω0
[exp
((−p + jω0)t
)]∞0
(19)
=1
p + jω0pour <(p) > 0 (20)
23/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Exercice 1 : TL d’un triangle
1
21
g(t)
1. Démontrer que la fonction g(t) peut s’écrire sousg(t) = t · u(t)− 2(t − 1) · u(t − 1) + (t − 2) · u(t − 2)
2. Calculer la transformée de Laplace G(p) de g(t)
3. En déduire sa transformée de Fourier G(jω)
24/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Solution : Ex1
1- Démontrer que la fonction g(t) peut s’écrire sous
g(t) = t · u(t)− 2(t − 1) · u(t − 1) + (t − 2) · u(t − 2)
La fonction g(t) peut être exprimée par la somme de 3 fonctionsg1(t), g2(t) et g3(t) :
sur l’intervalle ]−∞ ; 0[ : g1(t) = 0, g2(t) = 0 et g3(t) = 0sur l’intervalle [0 ; 1[ : g1(t) = t , g2(t) = 0 et g3(t) = 0sur l’intervalle [1 ; 2[ : g1(t) = t , g2(t) = −2(t − 1) et g3(t) = 0sur l’intervalle [2 ; +∞[ : g1(t) = t , g2(t) = −2(t − 1) etg3(t) = (t − 2)
=⇒ g1(t) = t · u(t) ; g2(t) = −2(t − 1) · u(t − 1) ;g3(t) = (t − 2) · u(t − 2).
25/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Solution : Ex1
2- Calculer la transformée de Laplace G(p) de g(t).On peut facilement démontrer en utilisant l’intégration par partie et leschangements de variables que la fonction G(p) est donnée par :
G(p) =1p2 − 2
e−p
p2 +e−2p
p2 =1− 2e−p + e−2p
p2 =(1− e−p)2
p2
3-En déduire sa transformée de Fourier G(jω)Pour déduire la transformée de Fourier G(jω), il suffit de remplacer ppar jω dans l’expression de G(p) :
=⇒ G(jω) =(1− e−jω)2
(jω)2 =e−jω
(jω)2 (e+jω
2 − e−jω
2 )2 = e−jωsinc2(ω
2)
26/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
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Application des transformées
La transformée de Laplace (TL)
Principales applications de la TLTransformée de Laplace inverseAnalyse de la stabilité d’un systèmeRésolution d’équations différentielles linéairesExercice 2 : étude d’un filtre
27/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Transformée de Laplace inverseDeux méthodes pour obtenir l’inverse d’une transformée deLaplace X (p)
Si c’est une fraction rationnelle :• Décomposer en éléments simple et inverser chaque élément
obtenu en les identifiant à des TL connues.Sinon, si X (p) respecte certaines conditions A
• Formule de Bromwich B C :
x(t) =1
j2πlimω→∞
∫ σ0+jω
σ0−jωX (p) ept
dp
v. courte=1
j2π
∫ σ0+j∞
σ0−j∞X (p) ept
dp
où σ0 est choisi de sorte que l’intégrale soit convergente.– Expression pas très pratique !
A. Holomorphie et une certaine décroissance et sommabilitéB. Cette formule a pleins de noms : Bromwich-Wagner, Bromwich-Mellin, formule
inverse de Mellin, intégrale de Bromwich, intégrale de Fourier–MellinC. Démos : Transformées de Laplace des fonctions et des distributions J-L Raim-
bault (Polytechnique,2008), ou Chapitre 9 Transformation de Laplace, J-B Zuber (Jus-sieux,2013)
28/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Transformée de Laplace inverse (2)
Le résultat à garder en tête : l’inverse par les résidus
En applicant le théorème des résidus A à l’intégrale de Bromwich, onobtient B :
x(t) =∑pi∈A
Res
X (p)ept ; pi
(21)
A est l’ensemble des pôles de X (p)
Res
F (p); a
est le résidu de F (p) au point a C
A. Que l’on passe sous silence ici, mais lisible dans le poly ou bien Chapitre 12 -Théorème des résidus et applications Analyse avancée pour ingénieurs, B. Dacorogna& C. Tanteri (Presses Polytechniques, 2002)
B. Théorème VI.4.9, Analyse complexe et équations différentielles Luís Barreira(EDP Sciences, 2011)
C. Définition et calcul : IV.4 Résidus, Analyse complexe et équations différentiellesLuís Barreira (EDP Sciences, 2011)
29/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Analyse de la stabilité d’un système
DéfinitionsPhysiquement, on parle de système stable au voisinage d’un point(ou d’une trajectoire) donné lorsque de faibles perturbationsentraînent de faibles écarts par rapport à ce point (ou à cettetrajectoire) A.
Systèmes libres (entrée nulle mais cond. init. non nulles)• Il faut décrire le système par réprésentation d’état
– Stabilité au sens de Ljapunov (Non-traité ici)
• Cadre utile pour les oscillateurs
Systèmes forcés (entrée non nulle et cond. init. nulles)• DÉF. : Un système (forcé) est stable si, pour toute entrée bornée, la
sortie l’est aussi.• C’est ce qu’on appelle la stabilité au sens EBSB (ou BIBO en
anglais)
A. Source : Performances d’un système asservi (Ed. Techniques Ingénieur,1984)
30/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Stabilité EBSB pour les SLIPremier résultat : Stabilité EBSB d’un SLI causalOn montre que pour un SLI causal de réponse impulsionnelle h(t) :
Stabilité EBSB ⇔∫ ∞
0|h (t)|dt <∞ (22)
Deuxième résultat (toujours pour les SLI A)Si h(t) ∈ L1(R), alors H(p) = Lh(t) est définie pour ∀p tel que <(p) > 0.On peut alors démontrer que B C :
Stabilité EBSB ⇔tous les pôles de H(p) sont à partie réelle strictement
négative et que l’ordre de son dénominateurest supérieur ou égal à celui du numérateur
(23)A. pas forcément causauxB. Nécessite de passer par les fonctions holomorphes et méromorphes ; Section 2.2,
Performances s’un systeme asserviC. Les fonctions méromorphes incluent les fractions rationnelles mais aussi d’autres
fonctions31/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Stabilité et pôles : illustrations
Les systèmes comme lesoscillateurs dont un ouplusieurs poles d’ordre 1ont une partie nulle, sontdits stable au sens large.
Ces systèmes sont stablesau sens large mais pas ausens EBSB.
32/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Résolution d’équations différentielles linéairesLa principale force de la représentation symbolique de Laplace est deconvertir les équations intégro-différentielles qui caractérisent les systèmeslinéaires invariants en temps continu en équation algébriques.
Domaine temporel Domaine fréquentiel
Dérivationd
dtx(t)
Multiplication par pp · X(p)
Intégration∫ t
0x(u)du
Division par p1p
X(p)
Domaine temporel Impédance
Inductance
Ld
dti(t)
Multiplication par pL · p
Condensateur1C
∫ t
0i(u)du
Division par p1
C · p
Équations différentielles & circuits électriquesLes circuits RLC sont l’exemple fondamental des systèmes dont lecomportement est décrit par des équations différentielles linéaires
33/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Exercice 2 : étude d’un filtre
Vout
+
-
R2
RC
R1
VinRC
F (p) =Vout(p)
Vin(p)=−a(τ2p2 + 3τp + 1)
τ2p2 + (3− a)τp + 1
avec a = 1 +R2
R1et τ = RC
1. A quelle condition sur a, le système est stable ?2. Calculer les zéros z1,2 de F (p) en fonction de τ et expliciter F (p)
en fonction de τ1,2 = −1z1,2
.3. Tracer le diagramme asymptotique de Bode de F (jω) dans le cas
où a = 1.4. Quelle est la fonction réalisée par le système pour a = 1 ? Pour
a = 3 ?
34/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Solution : Ex21- A quelle condition sur a, le système est stable ?Pour que F (p) soit stable, il faut que ses pôles (les racines dudénominateur) aient tous une partie réelle <0. 3− a est comprisentre ]−∞; 2[. On peut montrer (en considérant les 2 cas ∆ > 0 et∆ < 0) que pour satisfaire cette condition, il faut que a ∈]1; 3[.2-Calculer les zéros z1,2 de F (p) en fonction de τ et expliciter F (p) enfonction de τ1,2 = −1
z1,2.
Les zéros ou les racines du numérateur sont donnés par
z1,2 =−3±
√5
2τ
On en déduit
τ1 =2τ
3−√
5= 2.6τ ; τ2 =
2τ3 +√
5= 0.4τ
F (p) =−a(1 + τ1p)(1 + τ2p)
τ2p2 + (3− a)τp + 1
35/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Solution : Ex23- Tracer le diagramme asymptotique de Bode de F (jω) dans le casoù a = 1.Pour a = 1, l’expression de F (p) devient :
F (p) =−a(1 + τ1p)(1 + τ2p)
(τp + 1)2
On a donc un pôle double à ω = 1τ
36/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
Solution : Ex2Quelle est la fonction réalisée par le système pour a = 1 ? Poura = 3 ?Pour a = 1, le circuit se comporte comme filtre passe bande. Poura = 3, le filtre a deux poles à partie réelle nulle ± j
τ et donc secomporte comme un oscillateur. D’ailleurs ce circuit porte le nomd’oscillateur à pont de Wien.
FIGURE: Réponse transitoire du noeud Vout . De haut en bas, a=2.9, a=3 eta=3.1
37/38 Avril 2020 COMELEC–C2S : G. Pham, C. Jabbour Traitement du signal - ESA - ELEC101 - TL
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