Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 1)
SpectreSpectre
Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 2)
Spectre
• Représentation de la fonction f(t) par les raies traduisant les modules (amplitudes) de Sn en fonction de F ou
• Spectre en puissance par les carrés de Sn
• Rare mais essentiel: le spectre des phases
Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 3)
Spectre fonction f(t)
• Abscisse: axe • Raies: modules de Sn • En amplitude en puissance des phases
Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 4)
Symétrie et changement de l’origine des temps
• Fonction paire: f(-t)=f(t)– Tous les bn sont nuls, il ne reste que les cosinus– On pose:
– on a: 20Tt
2
0
2
2
)cos()(4)cos()(2TT
T
n dttntfT
dttntfT
a
nn
nn
nn
aSCaCC
2
Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 5)
Fonction impulsions périodiques
2
2
0
0
)cos(2)cos()(2
dttnET
dttntfT
aTt
t
n
)sin(2T
nnEan
TEa 0
Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 6)
Spectre en amplitude
• Amplitude des harmoniques:
• Fonction sinus cardinal TnT
n
TEan
)sin(2
xxsin
Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 7)
Fonction impaire
• Alors: f(-t)=-f(t)
• Tous les an sont nuls: il n’y a que des sinus
2
0
)sin()(4T
n dttntfT
b
nn
nn
nn
bSjCbCC
2
Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 8)
Fonction dents de scie:
• intégration par partie de:
2
02
2
0
)sin(4)sin(4TT
n dttntTEdttn
TEt
Tb
ntnv
tu)cos(
Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 9)
Spectre:
• )cos(2 nnEbn k
Eb k 22
2
)12(2
12 kEb k
Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 10)
Fonction anti-périodique:
• Si:
• Pour n pair n=2k:
• Pour n impair:
• Il n’y a que des harmoniques impairs: les coefficients sont calculés sur une demi-période seulement
)()2
( tfTtf
20
0
)sin()(4Tt
t
n dttntfT
b
20
0
)cos()(4Tt
t
n dttntfT
a
00 nn baa
Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 11)
Fonction impulsions périodiques avec:
• Valeur moyenne nulle et Rapport cyclique de 0,5
...)12cos(
12)1(
...)3cos(31)cos(2)( tk
kttEtf
k
Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 12)
Décroissance des harmoniques
• On prend: t0=0 0
Sn
T
tnjT
tjnn edtf
njdtetf
TC
00
)()(21)(1
tnCn
Dérivées successives de f(t) périodiques de période T
t
dtetfnj
CT
tnjn
0
)(21
bornéedtetf tnj )(
Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 13)
Reconstitution de fonction
• Par addition des ordonnées représentatives de tous les signaux sinusoïdaux constituant le signal original avec les bonnes phases à l’origine on obtient la représentation temporelle de la fonction de départ
Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 14)
Signal carré symétrique limité à l’harmonique 3 (objet du déphasage de ou non
Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 15)
Phénomène de Gibbs
• Il traduit l’impossibilité de faire coïncider une fonction discontinue avec une fonction continue
• La fonction continue est une somme de fonctions sinus et cosinus continues
• Pour une fonction présentant une discontinuité en t=t0 , la série de Fourier représente la valeur moyenne:
apparition d’oscillations près de la discontinuité
)()(21
00 tftf
Traitement de signalChapitre 2 (Diapositive n° 16)
Fonction carré
• En t=0 il y a une discontinuité
• Développement de Fourier:
• Primitive de
12
)12sin(2)(0
ktktf
k
12
)12sin(k
tk )12cos( tk
f(t)f(t)