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Trabajo Práctico Nº2
FISIOLOGÍA CUANTITATIVA
ARTERIAL - PULMONAR
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Contenidos
2
1
2
3
Simulink
Cómo trabajar con ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, y sistemas de ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
Introducción a simulink, diagramas, biblioteca de bloques
Implementación de WK2 y WK3Ejemplo
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Contenidos
3
1
2
3
Simulink
Cómo trabajar con ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, y sistemas de ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
Introducción a simulink, diagramas, biblioteca de bloques
Implementación de WK2 y WK3Ejemplo
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Modelado y simulación de sistemas
Sistema Modelo Diagrama de bloques Simulink
Sistemas biológicos
Creación de diagrama de simulación
Implementación de diagrama y simulación
Ecuaciones diferencialesEtapa 1 Etapa 3
Etapa 2 Etapa 4
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¿Qué es Simulink?
● Herramienta interactiva para modelar, simular y analizar sistemas dinámicos
● Producto de Mathworks, integrado a MATLAB
● Entorno gráfico que permite la selección y conexión de bloques
● Mayor concentración en la estructura del problema
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¿Qué es Simulink?
● Simulación de sistemas para comprender su comportamiento:
○ Creación de un modelo del sistema a ser simulado (Editor de Simulink)
○ Simular el comportamiento del sistema
● Sistemas: lineales, no lineales, discretos o de múltiples entradas/salidas
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Características de Simulink
● Facilidad para crear bloques personalizados.● Estructura jerárquica de modelos ilimitada.● Conexiones escalares y vectoriales.● Simulaciones interactivas con visualización en vivo.● Se pueden realizar fácilmente análisis hipotéticos cambiando los parámetros
del modelo.● La biblioteca de bloques de Simulink puede ser ampliada con conjuntos de
bloques de propósito especial.● Se pueden crear bloques personalizados y bibliotecas de bloques utilizando
iconos propios e interfaces de usuario de MATLAB®, FORTRAN o código C.
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¿Cómo inicializar Simulink?
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¿Cómo inicializar Simulink?
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Diagramas en Bloque
Representación gráfica de sistemas de ecuaciones diferenciales usando operaciones matemáticas básicas tales como constantes, ganancias, sumadores, integradores, etc.
++
+
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Bloques, entradas y salidas
● Bloque: símbolo que representa una operación matemática
● Señal de entrada (al bloque): es operada para general la señal de salida (del bloque)
● Señal: representada por una flecha
OperadorSeñal de entrada
Señal de salida
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Bloques, entradas y salidas
● Bloque: símbolo que representa una operación matemática
● Señal: representada por una flecha
● Señal de entrada (al bloque): es operada para general la señal de salida (del bloque)
OperadorSeñal de entrada
Señal de salida
![Page 13: Trabajo Práctico Nº2 - eva.interior.udelar.edu.uy](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012520/619475eb125d3c1c314e103c/html5/thumbnails/13.jpg)
Bloques, entradas y salidas
OperadorSeñal de entrada
Señal de salida● La entrada es típicamente una
señal de fuerza (sólo depende del tiempo)
● La salida es típicamente la solución a la ecuación diferencial.
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Bloques, entradas, salidas y dimensiones
integradorvelocidad Posición
v x
Ganancia A señal Señal
amplificada
x Ax
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Biblioteca de bloques de simulink
Simulink proporciona un navegador que permite seleccionar bloques dentro de bibliotecas de bloques estándar
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Biblioteca de bloques de simulink
“Sources”Bloques que generan señales. Tienen solamente salidas
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Biblioteca de bloques de simulink
“Sinks”Bloques que muestran o escriben la salida del bloque. Tienen solo entrada
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Biblioteca de bloques de simulink
“Discrete”Bloques que describen componentes en tiempo discreto
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Biblioteca de bloques de simulink
“Continuous”Bloques que describen funciones en tiempo continuo
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Biblioteca de bloques de simulink
“Math”Bloques que describen funciones matemáticas generales
![Page 21: Trabajo Práctico Nº2 - eva.interior.udelar.edu.uy](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012520/619475eb125d3c1c314e103c/html5/thumbnails/21.jpg)
Biblioteca de bloques de simulink
“Funciones definidas por el usuario”
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Biblioteca de bloques de simulink
“Look up tables”
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Biblioteca de bloques de simulink
“Signal Routing”Bloques que permiten multiplexar, demultiplexar, implementar entrada/salida, pasar datos a otras partes del modelo, crear subsistemas y realizar otras funciones
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Biblioteca de bloques de simulink
“Operadores Lógicos y de bits”
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Biblioteca de bloques de simulink
“Dashboard”Bloques que permiten visualizar e interactuar con el modelo de tableros.
![Page 26: Trabajo Práctico Nº2 - eva.interior.udelar.edu.uy](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012520/619475eb125d3c1c314e103c/html5/thumbnails/26.jpg)
Se implementa añadiendo bloques de diferentes bibliotecas al espacio de trabajo y uniéndolos: a este conjunto de bloques y uniones se le llama diagrama de bloques
¿Cómo implementar un modelo en Simulink?
*
![Page 27: Trabajo Práctico Nº2 - eva.interior.udelar.edu.uy](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012520/619475eb125d3c1c314e103c/html5/thumbnails/27.jpg)
¿Cómo implementar un modelo en Simulink?
*
Un diagrama de bloques de Simulink es un modelo pictórico de un sistema
dinámico
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Los bloques representan sistemas dinámicos elementales que Simulink sabe simular. Un bloque comprende:
● Un conjunto de entradas● Un conjunto de estados● Un conjunto de salidas
¿Cómo implementar un modelo en Simulink?
*
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¿Cómo implementar un modelo en Simulink?
*
Para introducir bloques en el modelo, se elige el bloque de la biblioteca, se hace click en él y se arrastra hacia el
área de trabajo.
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¿Cómo implementar un modelo en Simulink?
*
Haciendo doble click sobre el bloque se pueden modificar los parámetros del mismo
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¿Cómo implementar un modelo en Simulink?
1. Se selecciona un bloque de entrada
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¿Cómo implementar un modelo en Simulink?
1. Se selecciona un bloque de entrada2. Se selecciona un bloque operador
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¿Cómo implementar un modelo en Simulink?
1. Se selecciona un bloque de entrada2. Se selecciona un bloque operador3. Se selecciona un bloque de salida
![Page 34: Trabajo Práctico Nº2 - eva.interior.udelar.edu.uy](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012520/619475eb125d3c1c314e103c/html5/thumbnails/34.jpg)
¿Cómo implementar un modelo en Simulink?
1. Se selecciona un bloque de entrada2. Se selecciona un bloque operador3. Se selecciona un bloque de salida4. Se conectan los bloques con señales
![Page 35: Trabajo Práctico Nº2 - eva.interior.udelar.edu.uy](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012520/619475eb125d3c1c314e103c/html5/thumbnails/35.jpg)
¿Cómo implementar un modelo en Simulink?
1. Se selecciona un bloque de entrada2. Se selecciona un bloque operador3. Se selecciona un bloque de salida4. Se conectan los bloques con señales5. Se setean los parámetros de los bloques
![Page 36: Trabajo Práctico Nº2 - eva.interior.udelar.edu.uy](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012520/619475eb125d3c1c314e103c/html5/thumbnails/36.jpg)
¿Cómo implementar un modelo en Simulink?
1. Se selecciona un bloque de entrada2. Se selecciona un bloque operador3. Se selecciona un bloque de salida4. Se conectan los bloques con señales5. Se setean los parámetros de los bloques6. Se configuran los parámetros
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¿Cómo implementar un modelo en Simulink?
1. Se selecciona un bloque de entrada2. Se selecciona un bloque operador3. Se selecciona un bloque de salida4. Se conectan los bloques con señales5. Se setean los parámetros de los bloques6. Se configuran los parámetros7. Se corre la simulación
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1
Contenidos
38
2
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Simulink
Cómo trabajar con ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, y sistemas de ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
Introducción a simulink, diagramas, biblioteca de bloques
Implementación de WK2 y WK3Ejemplo
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Consideremos el siguiente problema:
Resolución de una ecuación diferencial
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Solución:
Consideremos el siguiente problema:
Resolución de una ecuación diferencial
![Page 41: Trabajo Práctico Nº2 - eva.interior.udelar.edu.uy](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012520/619475eb125d3c1c314e103c/html5/thumbnails/41.jpg)
Solución:
Consideremos el siguiente problema:
Resolución de una ecuación diferencial
Vamos a modelar la solución como:
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Resolución de una ecuación diferencial
Modelado:
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Resolución de una ecuación diferencial
Modelado:
Diagrama de bloques (esquemático):
entrada salida
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Resolución de una ecuación diferencial
Modelado:
Diagrama de bloques (esquemático):
Modelo en Simulink:
Integrador
entrada salida
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Resolución de una ecuación diferencial
1. Tomar el término con la derivada de mayor orden y ponerlo del lado izquierdo de la igualdad
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Resolución de una ecuación diferencial
1. Tomar el término con la derivada de mayor orden y ponerlo del lado izquierdo de la igualdad
2. Hacer que el término de la izquierda sea la salida de un bloque sumador
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Resolución de una ecuación diferencial
1. Tomar el término con la derivada de mayor orden y ponerlo del lado izquierdo de la igualdad
2. Hacer que el término de la izquierda sea la salida de un bloque sumador 3. Convertir los términos de la derecha en una entrada a un bloque sumador
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Resolución de una ecuación diferencial
1. Tomar el término con la derivada de mayor orden y ponerlo del lado izquierdo de la igualdad
2. Hacer que el término de la izquierda sea la salida de un bloque sumador 3. Convertir los términos de la derecha en una entrada a un bloque sumador4. A partir del sumador, se agregan tantos bloques integradores como sea necesario para
reducir las derivadas de mayor orden a la variable de salida
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Resolución de una ecuación diferencial
1. Tomar el término con la derivada de mayor orden y ponerlo del lado izquierdo de la igualdad
2. Hacer que el término de la izquierda sea la salida de un bloque sumador 3. Convertir los términos de la derecha en una entrada a un bloque sumador4. A partir del sumador, se agregan tantos bloques integradores como sea necesario para
reducir las derivadas de mayor orden a la variable de salida5. ¿La salida del sumador tiene un coeficiente? → Agregar un bloque de ganancia
(multiplicador) para eliminar el coeficiente
![Page 50: Trabajo Práctico Nº2 - eva.interior.udelar.edu.uy](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012520/619475eb125d3c1c314e103c/html5/thumbnails/50.jpg)
Resolución de una ecuación diferencial
1. Tomar el término con la derivada de mayor orden y ponerlo del lado izquierdo de la igualdad
2. Hacer que el término de la izquierda sea la salida de un bloque sumador 3. Convertir los términos de la derecha en una entrada a un bloque sumador4. A partir del sumador, se agregan tantos bloques integradores como sea necesario para
reducir las derivadas de mayor orden a la variable de salida5. ¿La salida del sumador tiene un coeficiente? → Agregar un bloque de ganancia
(multiplicador) para eliminar el coeficiente6. Agregar condiciones iniciales a los integradores
![Page 51: Trabajo Práctico Nº2 - eva.interior.udelar.edu.uy](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012520/619475eb125d3c1c314e103c/html5/thumbnails/51.jpg)
Resolución de una ecuación diferencial
1. Tomar el término con la derivada de mayor orden y ponerlo del lado izquierdo de la igualdad
2. Hacer que el término de la izquierda sea la salida de un bloque sumador 3. Convertir los términos de la derecha en una entrada a un bloque sumador4. A partir del sumador, se agregan tantos bloques integradores como sea necesario para
reducir las derivadas de mayor orden a la variable de salida5. ¿La salida del sumador tiene un coeficiente? → Agregar un bloque de ganancia
(multiplicador) para eliminar el coeficiente6. Agregar condiciones iniciales a los integradores7. ¿Alguna señal retroalimenta al sumador? → Conectar las señales integradas con bloques
de ganancia para crear las señales necesarias
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Ecuación diferencial de primer orden
Resolver:
Tomar el término con la derivada de mayor orden y ponerlo del lado izquierdo de la igualdad
Hacer que el término de la izquierda sea la salida de un bloque sumador
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Ecuación diferencial de primer orden
¿Alguna señal retroalimenta al sumador?
![Page 54: Trabajo Práctico Nº2 - eva.interior.udelar.edu.uy](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012520/619475eb125d3c1c314e103c/html5/thumbnails/54.jpg)
Ecuación diferencial de primer orden
Convertir los términos de la derecha en una entrada a un bloque sumador
A partir del sumador, se agregan tantos bloques integradores como sea necesario para reducir las derivadas de mayor orden a la variable de salida
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Ecuación diferencial de primer orden
¿Alguna señal retroalimenta al sumador?→ Conectar las señales integradas con bloques de ganancia para crear las señales necesarias
-
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Ecuación diferencial de primer orden
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Ecuación diferencial de primer orden
![Page 58: Trabajo Práctico Nº2 - eva.interior.udelar.edu.uy](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012520/619475eb125d3c1c314e103c/html5/thumbnails/58.jpg)
Resolver
Elegir uno:
●
●
●
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Ecuación diferencial de segundo orden
Asumimos que se puede escribir la ecuación como:
En bloques:
entrada salida
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Ecuación diferencial de segundo orden
En bloques:
entrada salida
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Ecuación diferencial de segundo orden
Resolver:
Tomar el término con la derivada de mayor orden y ponerlo del lado izquierdo de la igualdad
Hacer que el término de la izquierda sea la salida de un bloque sumador
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Ecuación diferencial de segundo orden
Convertir los términos de la derecha en una entrada a un bloque sumador
A partir del sumador, se agregan tantos bloques integradores como sea necesario para reducir las derivadas de mayor orden a la variable de salida
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Ecuación diferencial de segundo orden
Alguna señal retroalimenta al sumador?
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Ecuación diferencial de segundo orden
Alguna señal retroalimenta al sumador?→ Conectar las señales integradas con bloques de ganancia para crear las señales necesarias
--
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Resolver Elegir uno:
●
●
● Oscilador armónico simple:
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Sistema de ecuaciones diferenciales
Considerar el siguiente sistema lineal:
El mismo puede ser modelado usando dos integradores (uno por cada ecuación. Dado el acoplamiento, hay que conectar las salidas de los integradores a entradas).
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Sistema de ecuaciones diferenciales
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Sistema de ecuaciones diferenciales
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Sistema de ecuaciones diferenciales
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Sistema de ecuaciones diferenciales
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Resolver
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Contenidos
72
3
2
1Simulink
Cómo trabajar con ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, y sistemas de ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
Introducción a simulink, diagramas, biblioteca de bloques
Implementación de WK2 y WK3 y simulación para casos normales y envejecidos
Modelo de Windkessel
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(nuevo) Calendario de hitos y tareas
◎ Ecuaciones de WK2 , WK3 y WK4
15/04
◎ Implementar Cavalcanti en Simulink
03/05
◎ Cálculo de Rp Ca y Rc◎ Evaluar ajuste
◎ Implementar WK2 , WK3 y WK4 en Simulink
◎ Simular WK para individuos normales, envejecidos y
patológicos.
29/04
◎ Simular Cavalcanti al variar τ
◎ Resolver modelo de pulmón e implementarlo
10/05
◎ Simular modelo de pulmón para caso normal y patologías obstructivas
y restrictivas
13/05
73
2 3 4 51
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De cara al Hito 2
Conceptos trabajados previamente:
Cálculo de Rp, Ca y Rc
Evaluación de ajuste
Conceptos a trabajar hoy:
Simulación de arterias normales, envejecidas e hipertensas.
Implementación para los modelos de Wk2 y Wk3 en Simulink.
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Simulación a partir de Wk2 y Wk3
Para individuos normales
Se emplean los valores de Rp, Ca y Rc indicados
en la Guía para individuos normotensos
Para individuos envejecidos
Las arterias de personas envejecidas presentan
un valor de Ca disminuido
Para individuos patológicos
Las arterias de individuos hipertensos o
ateromatosos presentan una disminución de Ca y un
aumento de Rp
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La disminución en la compliancia arterial sistémica se explica por un aumento en la
rigidez de la pared arterial, que ocurre naturalmente con el envejecimiento
(debido a cambios mecánicos y estructurales en la pared vascular).
Individuos envejecidos
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Individuos envejecidos
La disminución en la compliancia arterial sistémica se explica por un aumento en la
rigidez de la pared arterial, que ocurre naturalmente con el envejecimiento
(debido a cambios mecánicos y estructurales en la pared vascular).
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Individuos envejecidos
También ocurre un engrosamiento en la pared arterial, en la túnica íntima (o interna).
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Aterosclerosis
Los efectos del envejecimiento pueden verse exacerbados por otros factores, como la presencia de placas de ateroma que disminuyen la luz arterial y producen turbulencias en el flujo sanguíneo. Adicionalmente, la aterosclerosis se asocia con una mayor rigidización de las arterias.
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Tabla 1: Presiones máximas y mínimas para distintos valores de Ca y Rp
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Aplicación
Modelo Windkessel de 2 elementos:
83
Modelo Windkessel de 3 elementos:
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Enlaces de interés
[3] Chaturvedi, D. K. (2017). Modeling and simulation of systems using MATLAB and Simulink. CRC press
[4] Cobelli, C., & Carson, E. (2019). Introduction to modeling in physiology and medicine. Academic Press.
[5] Herman, R. (2016). Solving Differential Equations Using SIMULINK. Published by RL Herman, 259-268.
[6] Enderle, J.D. (2006). Physiological Modeling: A course in Differential Equations for Biomedical Engineers. Class Notes for BME 315 ans BME 235.
[1] Jani, B. (2006). Ageing and vascular ageing. Postgraduate Medical Journal, 82(968), 357–362. doi:10.1136/pgmj.2005.036053
[2] Berger, D. S., y Li, J. K.-J. (1990) Concurrent compliance reduction and increased peripheral resistance in the manifestation of isolated systolic hypertension. The American Journal of Cardiology, 65(1), 67–71. doi:10.1016/0002-9149(90)90027-x