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Rapido excursus storicosullarte del costruire
da The Science of Structural Engineeringdi Jacques Heyman
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Contenuti
Breve introduzione Architetti e ingegneri
Teorie pre-scientifiche
Archi, cupole e volte
Tensioni e deformazioni
Flessione e svergolamento La Teoria delle Strutture
Il Calcolo Plastico
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Contenuti
Breve introduzione Architetti e ingegneri
Teorie pre-scientifiche
Archi, cupole e volte
Tensioni e deformazioni
Flessione e svergolamento La Teoria delle Strutture
Il Calcolo Plastico
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Il problema del tavolino
Si tratta di determinare in che modo laforza passa dal piano a terra
Comefareste
voi?
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E un tipico problemaper il progettista
Procedura:Vanno calcolate le forze che finiscono nelle
zampe
Vanno proporzionate le zampe in modo dasopportare le forze
Entrambi questi passi possonopresentare una certa difficolt
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Momento di una forzarispetto ad un asse
E dato dalla forza per la distanza(ortogonale) dallasse
M=F dF
d
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Equazioni di equilibrio
Sono di due tipi Equilibrio alla traslazione (F= 0)
Nel piano, secondo 2 direzioni
Nello spazio, secondo 3 direzioni
Equilibrio alla rotazione (M= 0)
Nel piano, intorno ad 1 asse Nello spazio, intorno a 3 assi.
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Equazioni di equilibrio
Se voglio trovare come la forza sidistribuisce sui tre vertici (altezze h)
Cio voglio le reazioniRA,RB eRC
A
B
C
hAB
hBC
hAC
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Equazioni di equilibrio
F=FRARBRC= 0 MBC=F dBCRA hBC= 0
MAC=F dACRB hAC= 0
MAB =F dABRC hAB = 0
dAB dBC
dACFA
B
C
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Equazioni di equilibrio
F=FRARBRC= 0 MBC=F dBCRA hBC= 0
MAC=F dACRB hAC= 0
MAB =F dABRC hAB = 0 Si noti che, se il triangolo equilatero,
sommando le ultime 3 trovo:
F (dBC+ dAC+ dAB) (RA + RB + RC) h = 0 (dBC+ dAC+ dAB) h = 0
dBC+ dAC+ dAB = h
che una propriet del triangolo equilatero.
Solo 2 sonoindipendenti
}
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Equazioni di equilibrio
RA =F dBC/ h RB =F dAC/ h
RC=F dAB / h
dAB dBC
dACFA
B
C
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Nel caso ci siano 4 zampe
In questo caso il tavolo si diceiperstatico
La
soluzione pi
complessa
enecessitadi uno
schema di
calcolo
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Ogni progetto si fonda su
La Teoria delle Strutture Cio lo studio degli schemi di calcolo
La Teoria della Resistenza dei Materiali
Cio il dimensionamento degli elementi
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Per complicare il quadro
Pu accadere che il tavolino balli, cioche una delle 4 zampe non tocchi terra
Questa
non portaalcun peso
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Per complicare il quadro
Per evitare che balli, si pu mettere untappo di sughero sotto quella zampa
Questaadesso
poggia suun
elementoflessibile
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Come si fa ?
a calcolare le forze nelle zampe seognuna di queste pu:
Poggiare su un piano rigido
Non poggiare affatto
Poggiare su un piano flessibile
La risposta
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Il Calcolo Plastico
Consente di progettare una struttura(come il tavolo a 4 zampe) il cui statoesatto non pu essere determinato
Tutte le strutture, tranne le pisemplici, sono di questo tipo
Trascurare questo fatto pu portare a
valutare situazioni che non esistononella realt.
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Contenuti
Breve introduzione Architetti e ingegneri
Teorie pre-scientifiche
Archi, cupole e volte
Tensioni e deformazioni
Flessione e svergolamento La Teoria delle Strutture
Il Calcolo Plastico
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Architetti e ingegneri quando avvenuto il bivio?
Nel XV secolo si incrin la tradizione, duratapi di 2000 anni, di progettare in base ainumeri
Da Ezechiele (Antico Testamento) Vitruvio (ordinatio, quantitas, )
Le pratiche segrete delle Logge Massoniche
Si trasmettevano oralmente le stesse regole digenerazione in generazione, dimenticandone la genesi
Le complicate Regole Gotiche Non si poteva pensare di progettare una costruzione
senza esperienza pratica ed un lungo apprendistato.
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Il De Re Aedificatoria
Il testo dellAlberti (1485), favoritodallavvento della stampa, diffuse regolesemplici ed illustrate per il corretto
proporzionamento degli edifici Un uomo colto poteva divenire architetto
senza dover imparare a costruire
Storia ed estetica iniziarono a separarsi dallatecnica, in modo impensabile per un mastromedievale, che sapeva come impiegare i materialiper dare un senso architettonico alledificio.
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Il bivio
Larchitetto inizi a concentrarsi sulleregole di proporzione contenute nelleteorie del costruire
Lingegnere inizi ad esplorare le regolescientifiche contenute nella pratica del
costruire.
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Nel XVIII secolo
Quattro grandi problemi assillavanoarchitetti ed ingegneri:
La resistenza delle travi
La resistenza delle colonne
La spinta degli archi
La spinta dei terreni
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Charles Coulomb
Quando fu inviato come ufficialedellesercito francese in Martinica percostruire delle fortificazioni, si accorse
che non esisteva alcuna teoria perquesti quattro problemi
Nel 1773, dopo 9 anni di permanenza,rientr in patria e present le suesoluzioni allAcadmie
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Il primo articolo scientifico diCharles Coulomb (1773)
Come si puvalutare il carico dirottura di una
mensola inflessa,se si conosce laresistenza del
materiale a trazionee a compressione?
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Contenuti
Breve introduzione Architetti e ingegneri
Teorie pre-scientifiche
Archi, cupole e volte
Tensioni e deformazioni
Flessione e svergolamento La Teoria delle Strutture
Il Calcolo Plastico
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Ars sine scientia nihil est
Il termine scienzaoggi implica: Compiere delle osservazioni
Costruire delle ipotesi
Realizzare esperimenti per avvalorare osmentire le ipotesi
Eseguire valutazioni matematiche
Definire una teoria, che: Spieghi le osservazioni
Predica nuovi risultati.
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La prima scienza ?
Lastronomia babilonese, fra 1000 e 500 a.C. Eseguiva accurate osservazioni giornaliere della
posizione del sole, della luna e dei pianeti
Costruiva tavole numeriche da cui predire le futureposizioni dei corpi celesti
Mancava per il perch
Bisogner attendere pi di 2000 anni peravere la Teoria della Gravitazione Universaledi Newton.
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La scientiadel costruire
Nel Medioevo lapproccio era lo stesso: Le nuove costruzioni si basavano sulla
conoscenza, o teoria, acquisita dalla
pratica La teoria consisteva in una serie di regole
dedotte da costruzioni del passato Raccolte in testi custoditi da logge massoniche
Tutte le grandi realizzazioni che oggivediamo vengono da questo approccio
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Il primo esempio di regole
Nella Bibbia, Cap. 40-41-42 (Ezechiele)c un antesignano di un manuale per icostruttori del 600 a.C.
Vengono riportate le misure di ingressi,cortili, vestiboli, celle, pilastri, ecc. di un
grande tempio vidi un uomo che teneva una corda di lino intrecciato edunasta per misurare e quellasta era sei cubiti inlunghezza
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I materiali
Oggi riesce difficile credere che le costruzionidi allora dipendessero da regole numerichebasate sulle proporzioni fra le varie parti
Il fatto per che tali costruzioni esistanoancora oggi, suggerisce che questo sialapproccio giusto per la muratura/pietra
Ci confermato dalla Teoria delle Strutturedel XX secolo.
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I materiali
Fino a poco pi di un secolo fa iprincipali materiali disponibili per lecostruzioni erano:
La pietra Il legno
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La pietra e il legno
Grandi differenze La pietra si usa in elementi di piccole o
medie dimensioni Eccezione: i grandi architravi dei Greci, che non
facevano uso dellarco
Il legno si trova in natura come elementi
anche di grande estensione Le propriet meccaniche riflettono la propria
origine organica: un albero deve resistere al
proprio peso e allazione di forze trasversali
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La pietra e il legno
Grandi differenze La pietra assemblata a blocchi non resiste
a trazione I singoli blocchi hanno buona resistenza Gli assemblaggi sono a secco o con malta, che
ha scarsa resistenza a trazione
Il legno ha buona resistenza a flessione,che implica una buona resistenza atrazione e compressione.
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La pietra
Situazione Ideale Carico centrato
Compressione uniforme
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La pietra
Situazione Compatibile Carico eccentrico
Sezione compressa
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La pietra
Situazione Limite Sezione parzializzata
Resistenza superata
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La pietra
Situazione Instabile Risultante esterna allappoggio
Ribaltamento
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La stabilitsi ottiene mediante
la compressione
Si verifica lequilibrioGeometria e distribuzione
delle masse garantiscono il correttoflusso delle forze nelle sezioni resistenti
Si verifica la resistenzaAzioni ed effetti nelle sezioni resistenti
devono esser compatibili con la resistenza
dei materiali
La pietra
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ROMA: Orti Liciniani - Tempio Di Minerva Medica. (IV d.C.)
OSTIA: Domus di Amore e Psiche
(IV d.C.)
OSTIA: Domus
Fortuna Annonaria
(IV d.C.)
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La pietra
La trazione produce fessurazione neigiunti e separazione della fabbrica
E difficile immaginare una colonna di
mattoni appesa dallalto
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La pietra
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La pietra
La trazione produce fessurazione neigiunti e separazione della fabbrica E difficile immaginare una colonna di
mattoni appesa dallalto La compressione trasferita per
contatto
Le quattro colonne di una cattedralepossono portare le 10.000 tonnellate delpeso della torre sovrastante.
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La pietra
Le cattedrali gotiche
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La pietra
In effetti la tensione di compressione neiblocchi di una cattedrale molto bassarispetto alla loro resistenza
Ad es., qual la massima altezza che puavere una torre senza schiacciarsi sotto ilproprio peso? Se in pietra arenaria: 2 km
Se in granito: 10 km Le pi alte cattedrali gotiche: 50 m
Per portano, oltre al proprio, il peso delle volte,
del tetto, la forza del vento, ecc.
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La pietra
In termini moderni, il coefficiente disicurezza enormemente elevato
La tensione media, rispetto alla
resistenza a schiacciamento delmateriale: Nelle colonne intorno a 1/10
Nei contrafforti intorno a 1/100 Nelle pareti intorno a 1/1000
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La pietra: il ruolo dellattrito
La compressione, anche se bassa, essenziale alla stabilit delle costruzioniin muratura
I piccoli blocchi di pietra sonocompattati dalla gravit secondo laforma attribuita dallarchitetto
La forma si mantiene se i blocchi nonscorrono luno rispetto allaltro
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La pietra: il ruolo dellattrito
In assenza di intagli o chiavi, la tensione dicompressione consente lo sviluppo di forze diattrito, che vincolano i blocchi rispetto alloscorrimento
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Le costruzioni a blocchi
Sono quindi caratterizzate da: Bassa resistenza a trazione
Basse tensioni di compressione
Forze di attrito che mantengono la forma Possono quindi essere usati materiali a
bassa resistenza Tufo (carbonato di calcio poroso)Adobe (fango essiccato con paglia)
ecc.
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Il calcestruzzo
I Romani producevano una mistura di: Pozzolana (cenere vulcanica)
Limo
Inerti vari (pietre, ghiaia)Anche il calcestruzzo pu essere visto
come un materiale di analoghe
propriet, anche se monolitico Bassa resistenza a trazione
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Alcune cupole
Pantheon (120 d.C.) Calcestruzzo
S. Maria del Fiore Muratura
S. Pietro Pietra
Tutte presentano estese fessurazioni incorrispondenza delle zone in trazione
Gli appunti di
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Gli appunti di
Villard de Honnecourt (1235)
Rimangono 33pagine dischizzi (1235)
su edifici,orologi emacchinari
Gli appunti di
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Gli appunti di
Villard de Honnecourt (1235)
Vengono descritti anche animali fantasiosi
Gli appunti di
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Gli appunti di
Villard de Honnecourt (1235)
Si pone il problema, come gi Vitruvio,di raddoppiare larea di un quadrato (come fareste voi?)
100 m2200 m2
10 m ? m102 m
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Numeri irrazionali
Il problema banale, ma pone unafondamentale difficolt matematica Non possibile segnare 2 su unasta di
misura
La dimostrazione di Pitagoradellirrazionalit di 2 sopravvissuta
per pi di 2000 anni Ma per gli architetti medievali era un
problema da risolvere Lucio Russo, La rivoluzione dimenticata.
G. Feltrinelli Editore, Milano 1997.
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0 1 2 3
Numeri irrazionali
Bisogner attendere la notazionedecimale dedotta dagli Arabi per potermisurare 2 con un grado di
accuratezza sufficiente per leapplicazioni pratiche e segnare ilcorrispondente punto su unasta
decimale2
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Contenuti
Breve introduzione Architetti e ingegneri
Teorie pre-scientifiche
Archi, cupole e volte Tensioni e deformazioni
Flessione e svergolamento
La Teoria delle Strutture
Il Calcolo Plastico
Due tipi di ponte usati negli
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Due tipi di ponte usati negli
ultimi 6000 anni
Il ponte sospeso
GiapponePeriodo Iitsu:
Ponte sospeso fra
Hida ed Etchu"
Due tipi di ponte usati negli
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Due tipi di ponte usati negli
ultimi 6000 anni
Il ponte ad arco
Frontespizio diWilliam Hogarth aDr. Brook Taylor'sMethod of
Perspective(1754)
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Il ponte ad arco
Nato forse in Mesopotamia nel 4000 a.C. I mattoni venivano cotti al sole
Qualche secolo dopo anche in Egitto
Nel 3000 a.C. le prime pietre sagomate
Gli Etruschi tagliavano le pietre a cuneo
Gi nel 500 a.C. i Romani costruivanoponti ad arco di grande luce.
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Il Pont du Gard (20-10 a.C.)
E letteralmente una pila di pietre,senza cemento n malta (luci 20-27 m)
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Vitruvio e larco
Vitruvio (ca. 30 a.C.) non fornisceregole per il progetto dellarco
Il problema : come portare la porzione
di parete sovrastante unapertura?Si deve scaricare il carico della parete
mediante archi composti da conci con i
giunti che convergono verso il centro
Quasi tutti gli archi romani sono infattisemicircolari con i giunti centrati.
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Larco semicircolare
Il termine centina, che denota la casseraturausata per la costruzione fino alla posa del concio dichiave, deriva da questa impostazione.
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Il Pontefice Massimo
La teoria e la pratica della costruzionedei ponti furono affidate ad unaistituzione a carattere religioso, il
Collegium Pontifices, che aveva ilcontrollo di strade e ponti
A capo di questa istituzione era ilPontifex Maximus, che ancora uno deititoli del Papa.
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I Fratres Pontifices
Certamente non calcolavano le forze
Ma erano sicuramente consapevoli dicome un arco si comporti in maniera
opposta rispetto ad un ponte sospeso Larco spinge sulle imposte
Il ponte sospeso tira gli ancoraggi
Una delle maggiori difficolt progettare imposte adeguate a resisterea tale spinta.
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La spinta degli archi
Analogia con il cavo teso
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La spinta degli archi
Analogia con il cavo teso
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Archi in muratura
Il primo testo sul calcolo delle imposte degliarchi fu pubblicato nel 1717 da Gautier, cheaffront 5 temi fondamentali:1. Lo spessore delle imposte
2. Lo spessore delle pile interne in rapporto allaluce degli archi
3. Lo spessore dellarco
4. La forma dellarco
5. Le dimensioni dei muri di sostegno
Il problema 1 necessita di conoscere laspinta dellarco, la quale dipende da 3 e 4.
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Robert Hooke
In realt il problema era gi statoaffrontato e in parte risolto da Hookenel 1675
Il clima competitivo fra gli scienziatidellepoca lo obblig a nascondere lesue scoperte fra anagrammi:
Ut pendet continuum flexile, sic stabitcontiguum rigidum inversum
Riconobbe la corrispondenza matematicafra il ponte sospeso e larco in muratura.
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La catenaria
Risolvendo il difficile problema dellacatenaria, si sarebbe risolto anche il problemadellarco
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La catenaria
Risolvendo il difficile problema dellacatenaria, si sarebbe risolto anche il problemadellarco che per la verit Leibniz, Huygens e Bernoulli
avevano gi risolto, tenendolo per segreto
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Hooke su Giove (!?!)
siconsolscoprendola macchia
sullasuperficiedi Giove
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Lintuizione di Gregory (1697)
In un testo aperto dice: e quando un arco di forma qualsiasi si
tiene in piedi, perch nel suo spessore si formata una qualche catenaria
Questa affermazione contiene ilteorema fondamentale della meccanicastrutturale, che deve attendere il XXsecolo per la dimostrazione matematica! E sufficiente provare che una strutturapu
stare in piedi; se pu farlo, lo far.
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La funicolare dei carichi
E linverso della catenaria Rappresenta il percorso delle forze di
compressione che si trasmettono
attraverso i conci fino alle imposte
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Larco a tre cerniere
Quando la funicolare cadefuori dal terzo medio, i concisi aprono Perch la malta ha scarsa
resistenza a trazione
Questo pu accadere, ades., quando, per la spinta
laterale dellarco, le impostesi allontanano, oppure inarchi di spessore ridotto.
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Larco a tre cerniere
Larco comunque stabile
Conoscendo la posizionedelle cerniere, la funicolare nota.
cerniere
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La funicolare dei carichi
La funicolare di muove fra due estremi
Minima spinta se larco si apre
Massima spinta se larco si chiude
Minima spinta
Massima spinta
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Cupole La forma pi semplice di cupola si ottiene
ruotando un arco intorno al suo asse centrale Un arco semicircolare genera una cupola
emisferica
Altre curve (es. parabole) generano cupoledifferenti
La cupola tridimensionale molto diversa
dallarco bidimensionale, in termini di: Comportamento strutturale
Procedure costruttive.
Procedure costruttive
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Arco Nella costruzione di un arco, la presenza della
centinatura essenziale I conci scivolerebbero verso linterno
Ipotesi di John Fitchen sulla
centinatura del Pont du Gard
Completato larco con la messa inopera del concio di chiave, iltrasferimento dei carichi dalla
centina allarco avveniva tramitela progressiva rimozione di cunei
di legno inseriti allinterfaccia.
Procedure costruttive
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Cupola
La costruzione di una cupola pi semplice Un anello completato, essendo virtualmente
incompressibile, non pu scivolare su quellosottostante verso linterno.
Procedure costruttive
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Cupola
La costruzione avviene per anelli successivi
Non esiste il concetto di concio di chiave.
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Il funzionamento delle cupole
Analogie S: arco corda sospesa
No: cupola membrana sospesa
In termini matematici: Un arco una figura sviluppabile
Si pu ottenere da un foglio di carta
La cupola no Non si pu ottenere da un foglio di carta
A meno di tagliare ed incollare
Dopo di che, la cupola risulta rigida.
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Il funzionamento delle cupole Superficie sviluppabile e non sviluppabile
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Il funzionamento delle cupole Andamento delle forze normali
N nei meridiani eN nei paralleli
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Il funzionamento delle cupole Andamento delle forze normali
N nei meridiani eN nei paralleli
Paralleli
Meridiani
N
N
wa
-wa
-wa
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Il funzionamento delle cupole Andamento delle forze normali
N nei meridiani eN nei paralleli
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Il funzionamento delle cupole Le cupole hanno infatti la tendenza a
sviluppare fessure lungo i meridiani
Fessure nella cupola di S. Maria del Fiore
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Il funzionamento delle cupole Si pu ovviare irrigidendo lanello di base
Questo per introduce sollecitazioni di flessione,anche se una superficie ridotta (5%) della cupola
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Arco
Cupola
Il funzionamento delle cupole Spessore t rispetto al raggio R, in funzione
dellangolo rispetto alla verticale
Il funzionamento pi efficace di questo
l f
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Alcuni confronti Spessore/Diametro = 1/10
Pantheon, S. Maria del Fiore, S. Pietro
Spessore/Diametro = 1/100
Uovo(spessore 0.4 mm, diametro 40 mm) (luovo di Brunelleschi)Volte a ventaglio
Kings College a Cambridge
Spessore/Diametro = 1/1000 Coperture moderne in c.a.
La cupola della Cattedrale
di S i P l (1675)
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di Saint Paul (1675) E una tripla cupola
che consiste di: Una struttura esterna
leggera, in legno
ricoperta di piombo Una cupola conica in
pietra e mattoni chesostiene la lanterna
Una cupola internacon un oculo insommit.
La cupola della Cattedrale
di S i t P l (1675)
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di Saint Paul (1675) Christopher Wren nel
progetto si ispir aglistudi di Hooke
La cupola interna
segue il principiodella catenaria Il tamburo infatti
inclinato
La cupola nonpresenta alcunafessurazione.
V lt i t
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Volte in muratura
V lt b tt
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Volte a botte
Volte centinate e volte autoportanti adarchi inclinati (egiziane ed assire)
V lt i t
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Volte in muratura Gli archi, per
contenere la catenaria,devono avere unospessore di circa 1/10
del raggio Le volte a botte della
cattedrale di Amiens,di luce 14 metri,dovrebbero avere unospessore di 700 mm.
V lt i t
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Volte in muratura Un miglioramento drastico
si ebbe con lintroduzionedella volta a crociera
E una vera volta 3-D, nonuna serie di archi 2-D
Vantaggi Supporti solo agli angoli
Aperture sulle facce laterali
Spessori ridotti. Deriva dallintersezionedi due volte a botte
Costolone
Volte a crociera
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Volte a crociera
Se le volte non erano fatte in cemento,si poneva il problema del taglio dellepietre in corrispondenza delle
intersezioni (larte della stereotomia) Si prefer allora lasciare libert
allarchitetto sulla forma dei costoloni
Non erano pi necessariamente legateallintersezione di due volte a botte.
Volte a crociera
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Volte a crociera Nel tardo romanico e nel gotico, venivano prima
costruiti i costoloni come archi in pietra, mediantecentina, e poi realizzati i riempimenti in muratura,alla francese o allinglese
Volte a crociera
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Volte a crociera Nel tardo romanico e nel gotico, venivano prima
costruiti i costoloni come archi in pietra, mediantecentina, e poi realizzati i riempimenti in muratura,alla francese o allinglese Entrambi i metodi davano luogo a strutture estremamente
resistenti
Il riempimento poteva anche essere poco curato (mattonimal tagliati, malta a riempire i giunti), perch poi venivaintonacato e decorato
La struttura portante fra i costoloni era comunque quella diarchi bidimensionali.
Volte
tardo romaniche e gotiche
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tardo-romaniche e gotiche Lavorano essenzialmente come membrane
Le direzioni curve portano le tensioni maggiori Le direzioni piane portano tensioni basse
Le volte possono essere affettate in serie di archi,
a loro volta sostenuti dai costoloni.
Volte
gotiche
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gotiche Le volte gotiche consentono
una chiara lettura delfunzionamento strutturale
Anche se i capomastriragionavano in termini diforme e proporzioni
Bisogner attendere ilRinascimento per arrivare al
concetto di
Abside della chiesa diSt Pierre a Beauvais
(il cantiere dur dal 1225 al 1605)
Contenuti
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Contenuti Breve introduzione
Architetti e ingegneri
Teorie pre-scientifiche
Archi, cupole e volte Tensioni e deformazioni
Flessione e svergolamento
La Teoria delle Strutture Il Calcolo Plastico
Tensioni e deformazioni
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Tensioni e deformazioni I progettisti dei templi greci o delle
cattedrali gotiche non consideravano lostato tensionale Questo era talmente basso da non
produrre pericolo di rottura del materiale N tantomeno erano interessati alle
deformazioni Queste divennero di interesse pi tardi
nelle costruzioni in ferro ed acciaio.
I Discorsi di Galileo
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I Discorsidi GalileoAlla pubblicazione dei Discorsi su due nuove
scienze(1638) Galileo aveva 74 anni
5 anni prima era stato condannato per
eresia con divieto di pubblicazione di libri LOlanda era fuori della giurisdizione della
Inquisizione, e quindi i fratelli Elsevier
pubblicarono i Discorsia Leyden.
I Discorsi di Galileo
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I Discorsidi Galileo Ci sono tre interlocutori
Salviati: Galileo anziano
Sagredo: Galileo da uomo, che propone punti di vistache Galileo ha ormai rigettato
Simplicio: Galileo da giovane, istruito dagli altri due Sono organizzati su 4 giornate (una quinta fu
aggiunta postuma nel 1644) Nella 3a e nella 4a si tratta di una nuova scienza
meccanica (pre-newtoniana)
Nella 2a si tratta di problemi strutturali.
Problemi di scala
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Problemi di scala I ragionamenti di Salviati si scagliano contro il
comune pensare dellepoca, ancora basatosullimpostazione medievale del costruire in base aregole di proporzioni Se una cattedrale era stabile, lo sarebbe stata anche se
costruita pi grande di 2 o 10 volte.
Queste ossa corrispondono a dueanimali, uno dei quali tre volte ingrandezza laltro. I pesi sono dunquein rapporto 27 a 1. La larghezza delsecondo necessaria se devonoavere medesima resistenza.
Problemi di scala
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Problemi di scala Salviati dice allora:
Dunque, Sagredo, dacci la tua opinione per la qualestrutture dello stesso materiale e aventi esattamentele stesse proporzioni fra le parti saranno egualmente
disposte a resistere a forze esterne.Perch pu essere dimostrato matematicamente che icorpi pi grandi sono sempre proporzionalmentemeno resistenti di quelli pi piccoli.
Come lo dimostrereste?
Problemi di scala
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Problemi di scala Se considero due blocchi, uno con dimensioni
doppie dellaltro, soggetti al proprio peso, ho:
Area di base = A
Altezza = hPeso N = AhPressione alla base = N/A = h
Area di base = 4A
Altezza = 2hPeso N = 4A2hPressione alla base = N/4A = 2h
La resistenza delle travi
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La resistenza delle travi Salviati immagina una trave
in legno con una estremitincastrata in una parete inmuratura
La trave lavora a mensola Se si aumenta la lunghezza
dello sbalzo, la trave
raggiunger la rottura Bisogna per conoscere la
resistenza assoluta delmateriale.
Il problema di Galileo
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Il problema di Galileo Galileo affronta allora il problema
della forza di rottura (resistenza)delle travi Il test rappresentato forse non mai
stato eseguito (perch?)
Definisce il concetto di tensione
E una forza per unit di superficie
Non una grandezza misurabile La forza invece lo .
Il problema di Galileo e
la legge di Hooke
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la legge di Hooke Unaltra grandezza misurabile
labbassamento Dividendolo per la lunghezza si
ottiene la deformazione
Hooke individua proporzionalitfra tensioni e deformazioni
=E La costante di proporzionalitE
il modulo di Young.
La resistenza delle travi
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La resistenza delle travi Salviati sostiene quindi che allincastro
la mensola raggiunger la suaresistenza assoluta a trazione
Dimostra allora che il momentoresistente pari alla forzacorrispondente a tale
resistenza, moltiplicataper met altezza della trave.
La resistenza delle travi
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La resistenza delle travi La trave raggiunge una
situazione in cui tutta laresistenza viene mobilitata A questa corrisponde una
risultante S, posizionata a
met altezza La risultante S sostiene la
trave rispetto alribaltamento attorno alpunto B
Per il calcolo di W Galileous il principio della leva.
La resistenza delle travi
secondo Galileo
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secondo Galileo Chiamandof il limite di resistenza del
materiale:
T = f b h
h
b
h/2
MMRR = T h/2= (f b h) h/2
== ff bb hh22
E il momento resistentedella sezione di incastro
secondo Galileo
f
La resistenza delle travi
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La resistenza delle travi Galileo raggiunge dunque il risultato
corretto che la resistenza di una trave proporzionale alla sua larghezza ed alquadrato dellaltezza
Per il coefficiente di proporzionalitdi non corretto Lidea che tutte le fibre
si attivino raggiungendola tensione di rottura in genere sbagliata.
La teoria di Mariotte
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La teoria di Mariotte Mariotte nel 1686 ipotizz una distribuzione
lineare delle tensioni nella sezione dincastrodella trave
Galileo(tutti i pesi sono uguali)
Mariotte(i pesi variano con la distanza)
La resistenza delle travi
secondo Mariotte
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Chiamandof il limite di resistenza del
materiale:
T = f b h
h
b
2h/3
MMRR = T 2h/3= (f bh) 2h/3
==ff bb hh
22
E il momento resistentedella sezione di incastro
secondo Mariotte
f
La resistenza delle travi
secondo Mariotte 2
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Mariotte si accorse per che il casoprecedente non rispettava lequilibrioalla traslazione lungo lasse della trave
Ipotizz allora una distribuzione afarfalla, (C), avente risultante nulla
Purtroppo fece un errore aritmeticonei calcoli e abbandon lidea
Finalmente Parent nel 1713 trov lasoluzione esatta.
La resistenza delle travi
secondo Mariotte 2
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Chiamandof il limite di resistenza del
materiale:
h
b
MMRR = T h= (f bh) h
== ff bb hh22
/6/6E il momento resistentedella sezione di incastro
secondo Mariotte 2
f
T = f b h/2
h
C = T
La resistenza delle travi
secondo il calcolo plastico
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p Chiamandof il limite di resistenza del
materiale:
T = f b h/2
h
b
h/2
MMRR = T h/2= (f b h/2) h/2
== ff bb hh22
E il momento resistentedella sezione di incastro
secondo il calcolo plastico
C = T
f
La resistenza delle travi
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Lerrore di calcolo di Galileo non imped
per di svolgere considerazioni sullaresistenza relativadelle travi
Qual quella pi resistente?
La resistenza delle travi
e la sicurezza
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La teoria di Mariotte/Parent divenne la teoria
di Coulomb Parent pubblic su libri inaccessibili, mentre
Coulomb pubblic allAcadmie
Presto divenne la teoria di Navier/Coulombquando Navier nel 1826 pubblic i suoiappunti delle lezioni, corretti e integrati nel
1864 da de Saint-Venant Navier introdusse il concetto di sicurezza per cui la
massima tensione doveva essere inferiore a quelladi rottura e quindi il comportamento elastico.
Contenuti
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Breve introduzione
Architetti e ingegneri Teorie pre-scientifiche
Archi, cupole e volte
Tensioni e deformazioni
Flessione e svergolamento
La Teoria delle Strutture Il Calcolo Plastico
Il calcolo plastico
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