Download - Tesis Doctoral Eugenio Seguin

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

ESCUELA DE INGENIERIA

TORSIÓN EN SISTEMAS AISLADOS

SÍSMICAMENTE CON DISPOSITIVOS

ELASTOMÉRICOS

CARLOS EUGENIO SEGUIN RUIZ

Tesis para optar al grado de

Doctor en Ciencias de la Ingeniería

Profesor Supervisor:

JUAN CARLOS DE LA LLERA MARTÍN

Santiago de Chile, Diciembre, 2007

© 2007, Carlos Eugenio Seguin

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

ESCUELA DE INGENIERIA

TORSIÓN EN SISTEMAS AISLADOS SÍSMICAMENTE CON DISPOSITIVOS

ELASTOMÉRICOS


Tesis presentada a la Comisión integrada por los profesores:

JUAN CARLOS DE LA LLERA M.

RAFAEL RIDDELL C.

CARL LÜDERS SCH.

PETER DECHENT A.

ARTURO TENA COLUNGA

SEBASTIÁN RÍOS M.

Para completar las exigencias del grado de

Doctor en Ciencias de la Ingeniería

Santiago de Chile, Diciembre, 2007

iii

DEDICATORIA

A mi esposa e hijas por su amor y

comprensión.

A la memoria de mi entrañable padre.

A mi madre y a mi madre política.

iv

AGRADECIMIENTOS

Emprender una tarea como la que hoy culmina involucra una serie de duras decisiones y

cambios en la vida que afecta a muchas personas; en mi caso personal nada menos que a

mi propia familia: Silvana, mi esposa; y mis hijas, Victoria y Agustina de quienes he

recibido todo y a quienes expreso mi mas profundo agradecimiento y amor.

A mis padres Enrique y Susana que siempre secundaron mis inquietudes; en especial a

mi padre, que quedó en el camino de esta gran aventura que es la vida, y a quien debo el

gusto de disfrutar la búsqueda del conocimiento.

A mi profesor guía, Juan Carlos de la Llera, de quien recibí gran apoyo a nivel personal,

gran cantidad de conocimientos, desafíos y oportunidades.

Un párrafo muy especial para mi gran amigo, José Luis Almazán, ayer un alumno y hoy

un profesor de la Escuela de Ingeniería que siempre ha estado a mi lado, aportando

muchas ideas e invaluable e incondicional apoyo personal.

A profesores, personal administrativo y de laboratorio de la querida Escuela de

Ingeniería, siempre dispuestos a atender cualquier inquietud, y entre ellos especiales

agradecimientos a Carl Lüders, Jorge Vásquez y Pedro Hidalgo.

Especial agradecimiento para mi querida Universidad Nacional de San Juan, a todo su

personal docente y de apoyo universitario y en particular al personal del Instituto de

Investigaciones Antisísmicas “Ing. Aldo Bruschi”, donde aprendí a hacer investigación.

Finalmente a todo el pueblo de Chile, que siempre me recibió con los brazos abiertos y

me hizo sentir como en casa, mitigando el sinsabor de la distancia de mi tierra y mi

familia.

v

INDICE GENERAL Pág.

DEDICATORIA .............................................................................................................. iii

AGRADECIMIENTOS ....................................................................................................iv

INDICE GENERAL ..........................................................................................................v

INDICE DE TABLAS .......................................................................................................x

INDICE DE FIGURAS....................................................................................................xii

RESUMEN................................................................................................................... xviii

ABSTRACT.....................................................................................................................xx

I. INTRODUCCIÓN .........................................................................................................1

II. TORSION ACCIDENTAL............................................................................................9

II.1 Resumen ...............................................................................................................9

II.2. Introducción..........................................................................................................9

II.3 Modelo considerado............................................................................................11

II.4 Análisis de la respuesta.......................................................................................14

II.5. Variabilidad de la rigidez en aisladores elastoméricos.......................................18

II.6 Análisis de medias y varianzas ...........................................................................22

II.6.1 Análisis del valor medio...................................................................................24

II.6.2 Análisis de la varianza .....................................................................................24

II.7 Simulación de Monte Carlo ................................................................................28

II.8 Resultados obtenidos ..........................................................................................29

II.8.1 Espectro de desplazamientos constante ...........................................................29

II.8.2 Espectro de desplazamientos seudovelocidad constante..................................32

vi

II.9 Significado para los Códigos ..............................................................................35

II.10 Conclusiones.......................................................................................................39

III INTERACCIÓN DINAMICA AISLAMIENTO –

SUPERESTRUCTURA ...............................................................................................41

III.1 Resumen .............................................................................................................41

III.2 Introducción........................................................................................................42

III.3 Modelo estructural y ecuaciones de movimiento ...............................................46

III.4 Problema de interacción base-superestructura....................................................51

III.5 Modelo de masa corregida..................................................................................53

III.6 Modelo cuasi-estático .........................................................................................54

III.7 Estimación espectral de la interacción superestructura-aislamiento ..................62

III.8 Estimación de la respuesta rotacional de la base aislada....................................67

III.8.1 Caso bidimensional ..........................................................................................70

III.8.2 Caso tridimensional..........................................................................................77

III.9 Ejemplos de diseño .............................................................................................81

III.9.1 Espectro de la Norma NCh 2745 .....................................................................83

III.9.2 Espectro del registro de melipilla (1985) .........................................................85

III.11 Conclusiones.......................................................................................................89

IV CONTROL TORSIONAL SUPERESTRUCTURA ..........................................92

IV.1 Resumen .............................................................................................................92

IV.2 Introducción........................................................................................................92

IV.3 Sistema considerado y ecuaciones de movimiento.............................................94

vii

IV.3.1 Ecuaciones exactas del movimiento.................................................................95

IV.3.2 Modelo cuasi-estático ..................................................................................97

IV.4 Control de la respuesta de la superestructura ...................................................100

IV.4.1 Paso 1: Cálculo de la matriz de covarianza de aceleración total................102

IV.4.2 Paso 2: cálculo de la matriz de covarianza de desplazamientos de la

superestructura ...........................................................................................................105

IV.4.2.1 Rotación mínima ................................................................................106

IV.4.2.2 Balance torsional (control torsional débil) .........................................108

IV.4.2.3 Control torsional fuerte ......................................................................108

IV.5 Control torsional usando información espectral ...............................................109

IV.6 Resultados obtenidos (Control torsional fuerte) ...............................................111

IV.6.1 El coeficiente de correlación ν .....................................................................111

IV.6.2 Excentricidades óptimas del aislamiento .......................................................113

IV.6.3 Reducción de la respuesta torsional ...............................................................118

IV.7 Metodología de diseño propuesta .....................................................................121

IV.8 Aplicación a estructuras de múltiples pisos......................................................122

IV.9 Conclusiones.....................................................................................................127

V CONSTITUTIVA NO-LINEAL PARA APOYOS ESLASTOMÉRICOS...............129

V.1 Resumen ...........................................................................................................129

V.2 Introducción......................................................................................................129

V.3 Comportamiento histerético de los elastómeros ...............................................131

V.4 Modelo propuesto de relación constitutiva.......................................................135

V.4.1 Componente disipativa...................................................................................138

viii

V.4.2 Componente conservativa hiperelástica.........................................................140

V.4.3 Componente envolvente.................................................................................142

V.5 Identificación de parámetros para la constitutiva propuesta.............................144

V.5.1 Parámetros de la componente conservativa hiperelástica ..............................146

V.5.2 Parámetros de la etapa disipativa de Bouc-Wen modificada .........................147

V.5.3 Parámetros de la componente envolvente ......................................................148

V.6. Identificación de parámetros con datos experimentales ...................................149

V.7 Extensión al campo bidimensional ...................................................................156

V.7.1 Componente disipativa...................................................................................157

V.7.2 Etapa envolvente ............................................................................................158

V.7.3 Componente conservativa ..............................................................................158

V.7.4 Disipadores actuando en paralelo...................................................................160

V.8 Ejemplo de aplicación.......................................................................................161

V.9 Conclusiones.....................................................................................................165

VI TORSION EN RANGO NO LINEAL .............................................................167

VI.1 Resumen ...........................................................................................................167

VI.2 Introducción......................................................................................................167

VI.3 Sistema considerado y ecuaciones de movimiento...........................................169

VI.3.1 Modelo de fuerzas no-lineales .......................................................................172

VI.3.2 Sistema lineal equivalente..............................................................................173

VI.3.3 Parámetros considerados................................................................................175

VI.3.4 Condiciones de diseño del sistema de aislamiento ........................................176

ix

VI.4 Efecto del número de aisladores .......................................................................178

VI.5 Respuestas consideradas y resultados obtenidos ..............................................180

VI.5.1 Sistema de aislamiento...................................................................................181

VI.5.2 Superestructura...............................................................................................186

VI.6. Ejemplos de aplicación .....................................................................................188

VI.6.1 Estructura de un piso......................................................................................190

VI.6.2 Estructura de múltiples pisos .........................................................................194

VI.7 Conclusiones.....................................................................................................202

VII RESUMEN FINAL Y CONCLUSIONES .......................................................204

VII.2 Conclusiones........................................................................................................207

VIII ANEXOS ..........................................................................................................213

Anexo A Meseta de desplazamiento constante .........................................................213

Anexo B Desplazamientos para seudovelocidad constante.......................................216

Anexo C Reducción de sistemas de múltiples pisos a sistemas de un piso...............220

Anexo D Aceleración modal total .............................................................................221

Anexo E Esperanza de aceleración máxima .............................................................222

Anexo F Coeficiente de correlación de desplazamientos .........................................223

Anexo G Rotación mínima como cociente de distribuciones gaussianas..................224

Anexo H Determinación del coeficiente de correlación ν~ ......................................228

Anexo I Balance torsional.......................................................................................233

Anexo J Algoritmo de integración de la constitutiva ...............................................234

BIBLIOGRAFIA ...........................................................................................................237

x

INDICE DE TABLAS Pág.

Tabla II.1. Parámetros estadísticos de los aisladores ensayados............................... 19

Tabla II.2 Características estadísticas de los compuestos.......................................... 21

Tabla III.1 Variación del periodo de la estructura en función de γ ............................ 43

Tabla III.2 Registros de aceleraciones empleados en el análisis ............................... 60

Tabla III.3 Amplificaciones máximas en los bordes según la zona del espectro....... 76

Tabla III.4 Primeros modos de la estructura con base fija y del aislamiento............. 83

Tabla III.5 Respuesta de los bordes de la superestructura – Espectro NCh 2745...... 85

Tabla III.6 Respuesta en los bordes de la superestructura – Espectro Melipilla........ 87

Tabla IV.2 Cracterísticas de la estructura analizada. ............................................... 122

Tabla IV.2 DEa y DEs máximas y promedio, Registro El Centro........................... 124

Tabla IV.3 DEa y Des máximas y promedio, Registro Sylmar. .............................. 124

Tabla IV.4 DEa y DEs máximas y promedio, Registro Kobe. ................................ 125

Tabla V.1 Características mecánicas de la goma natural. Comparación con acero. 132

Tabla V.2 Identificación de parámetros de la goma. Compuestos H5 y H8............ 150

Tabla V.3 Registros para la determinación del efecto deriva para la relación

constitutiva de Bouc-Wen. Bouc-Wen................................................................. 155

Tabla V.4 Frecuencias y amortiguamientos. Modelo lineal equivalente ................. 164

Tabla VI.1 – Características de registros empleados en el análisis.......................... 174

Tabla VI.2 – Características de sistemas lineales equivalentes y parámetros no-

lineales considerados en el análisis. ..................................................................... 178

xi

Tabla VI.3 Ubicación y resistencias aisladores sistema de múltiples pisos............. 195

Tabla VI.4 Comparación de deformación de entrepiso con aislamiento simétrico y

asimétrico ............................................................................................................. 200

Tabla VI.5 mejora en el control del comportamiento torsional de la

superestructura para el diseño propuesto ............................................................. 200

Tabla VI.6 Efecto del control de la superestructura en el comportamiento torsional

del aislamiento ..................................................................................................... 201

xii

INDICE DE FIGURAS

Pág.

Figura 2.1 Planta del sistema de aislamiento considerado...............................................12

Figura 2.2 Espectro de desplazamiento de diseño para distintas normas – Suelo

tipo II, 05.0=ζ . ..........................................................................................................16

Figura 2.3 Dispersión y valores medios de los compuestos 5H y 8H . ...........................20

Figura 2.4 Distribución de frecuencias de los aisladores ensayados. Compuesto

5H . ...............................................................................................................................21

Figura 2.5 Distribución de frecuencias de los aisladores ensayados. Compuestos

8H . ...............................................................................................................................22

Figura 2.6 Desviación estándar de desplazamiento para el compuesto H5. Sd

constante.......................................................................................................................30

Figura 2.7 Desviación estándar de desplazamiento para el compuesto H8. Sd

constante.......................................................................................................................31

Figura 2.8 Desviación estándar de desplazamiento para el compuesto H5. Sv

constante.......................................................................................................................33

Figura 2.9 Desviación estándar de desplazamiento para el compuesto H8. Sv

constante.......................................................................................................................34

Figura 2.10 Esperanza de amplificación máxima (95%) compuesto 5H . Sv

constante.......................................................................................................................36

xiii

Figura 2.11 Esperanza de amplificación máxima (95%) compuesto 5H . Sd

constante.......................................................................................................................37

Figura 3.1 Rigidez; módulo G secante y amortiguamiento ζ...........................................43

Figura 3.2 Sistema superestructura – aislamiento considerado y grados de libertad

relativos (Caso general: superestructura, sistema de aislamiento y

subestructura). ..............................................................................................................47

Figura 3.3 Representación del cuadro de flujo de la interacción dinámica. ....................53

Figura 3.4 FRF para el techo, deformación de entrepiso y aceleración...........................56

Figura 3.5 Comparación de MEX, MMC, y MCE deformaciones de entrepiso y

aceleraciones de techo. .................................................................................................57

Figura 3.6 Comparación entre la respuesta del MEX y el MMC; frecuencias

modales y amortiguamientos........................................................................................59

Figura 3.7 Predicción media del error MMC y MCE para un edificio de 6 pisos. ..........61

Figura 3.8 Errores obtenidos usando superposición modal MCE con 2 espectros

de diseño.......................................................................................................................66

Figura 3.9 Frecuencias y factores de participación modal L. Sistema acoplado. ............69

Figura 3.10 Influencia media de la flexibilidad de la superestructura. ............................69

Figura 3.11 Amplificación rotacional aislamiento. Distintas excitaciones......................72

Figura 3.12 Amplificación rotacional para el espectro del UBC. ....................................73

Figura 3.13 Amplificaciones máximas en los bordes rígido y flexible del

aislamiento. ..................................................................................................................75

xiv

Figura 3.14 Excentricidad bidimensional en planta.........................................................78

Figura 3.15 Amplificación en los bordes. Caso tridimensional. ......................................80

Figura 3.16 Planta y elevación de la estructura de 6 pisos del ejemplo...........................81

Figura 3.17 Comparación de la historia de desplazamientos en el borde flexible y

rígido de la base............................................................................................................84

Figura 3.18 Comparación de la historia de desplazamientos en el borde flexible y

rígido de la base............................................................................................................86

Figura 3.19 Espectro de seudo desplazamientos para el registro N00E Melipilla,

(Chile 1985)..................................................................................................................88

Figura 4.1 Sistema superestructura – aislamiento considerado. ......................................95

Figura 4.2 Aislamiento sísmico como filtro pasa-banda. Ampliación zona ZPA............98

Figura 4.3 Integración dinámica - modelo cuasi-estático. Registro El Centro ................99

Figura 4.4 Respuesta ideal de una superestructura asimétrica.......................................101

Figura 4.5 Varianza de rotación. Curvas de nivel para El Centro. ................................107

Figura 4.6 Espectro de pseudo-desplazamiento para distintas excitaciones. .................112

Figura 4.7 Coeficiente de correlación ν entre aceleraciones de traslación y torsión

total.............................................................................................................................112

Figura 4.8 Excentricidades óptimas empleando el criterio de rotación mínima. ...........114

Figura 4.9 Excentricidades óptimas empleando el criterio de balance torsional. ..........116

Figura 4.10 Curvas de nivel y regiones de control de rotaciones para la

superestructura. Criterio a). ........................................................................................119

xv

Figura 4.11- Regiones de control de la torsión para la superestructura. Criterios a)

y b)..............................................................................................................................120

Figura 4.12 Ejemplo: estructura excéntrica de 6 pisos. Marcos de hormigón

armado. .......................................................................................................................123

Figura 4.13 Respuesta edificio de múltiples pisos sin optimizar y optimizada; El

Centro. ........................................................................................................................125

Figura 5.1 Resultados experimentales de leyes fuerza-deformación para

elastómeros.................................................................................................................133

Figura 5.2 Resultados experimentales para un aislador con núcleo de plomo...............133

Figura 5.3 Envolvente experimental de ciclos de histéresis para un aislador...............135

Figura 5.4 Ley fuerza – deformación y representación normalizada.............................136

Figura 5.5 Efecto del parámetro δ en la forma de la relación constitutiva

propuesta. ...................................................................................................................139

Figura 5.6 Ley conservativa hiperelástica controlada por una envolvente. ...................141

Figura 5.7 Puntos característicos para la identificación de parámetros. ........................144

Figura 5.8 Ajuste entre constitutivas: ensayo - propuesta. Compuestos 5H y 8H . ......153

Figura 5.9 Modelo analítico y ensayo. Comparación para un sismo real (F-x). ............154

Figura 5.10 Comparación entre modelo propuesto y ensayo para un registro real

(F-t). ...........................................................................................................................154

Figura 5.11 Estimación del error por deriva de la constitutiva de Bouc-Wen...............156

Figura 5.12 Respuesta bidimensional del modelo constitutivo propuesto.....................159

Figura 5.13 Trayectoria de desplazamientos prescritos. ................................................160

xvi

Figura 5.14 Estructura aislada excéntrica de 6 pisos considerada. ................................162

Figura 5.15 Respuesta despl.-t de los aisladores. Registro Sylmar, caso

unidimensional. ..........................................................................................................163

Figura 5.16 Respuestas F-x de los aisladores. Registro Sylmar para acción

unidireccional. ............................................................................................................163

Figura 5.17 Historia de desplazamientos para excitación bidireccional. .......................163

Figura 5.18 Historias Fx-x, Fy-y. Aisladores 1 y 3, excitación bidireccional................164

Figura 6.1 Esquema del modelo empleado ....................................................................170

Figura 6.2 Comparación entre el análisis no lineal y el modelo lineal equivalente.......174

Figura 6.3 Influencia del número de aisladores en la respuesta no lineal del

modelo. .......................................................................................................................179

Figura 6.4 Comparación entre la respuesta no lineal y lineal equivalente.....................182

Figura 6.5 Comparación entre el factor de amplificación torsional medio....................184

Figura 6.6 Espectros de respuesta para: a)- registro El Centro; b)- registro

Melipilla. ....................................................................................................................185

Figura 6.7 Espectros de desplazamientos promedio de 11 registros y suavizado

propuesto. ...................................................................................................................185

Figura 6.8 Combinación de excentricidades para análisis no-lineal. 7.0)(0 =Ω s . ............186

Figura 6.9 Combinación de excentricidades para análisis no-lineal y lineal

equivalente. ................................................................................................................187

Figura 6.10 ábacos de diseño. Espectro registro de Newhall, Northridge, 1994. ..........192

xvii

Figura 6.11 Espectros de desplazamientos de Newhall normalizado ( ga máx 4.0= )

y del proceso envolvente considerado........................................................................192

Figura 6.12 Respuesta de la base y la superestructura al registro de Newhall...............193

Figura 6.13 Ejemplo. Estructura de 6 pisos de marcos de hormigón armado................195

Figura 6.14 Espectros de diseño norma NCH 2745 y del registro compatible

empleado. ...................................................................................................................196

Figura 6.15 Aislamiento simétrico, deformación de entrepiso. .....................................197

Figura 6.16 Ábacos de diseño. Espectro norma NCH 2745. .........................................198

Figura 6.17 Aislamiento asimétrico 20.0)( =bsxê . Deformación de entrepiso en la

estructura. ...................................................................................................................199

xviii

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL Y GEOTÉCNICA

TORSIÓN EN SISTEMAS AISLADOS SISMICAMENTE CON DISPOSITIVOS

ELASTOMÉRICOS

Tesis enviada a la Dirección de Investigación y Postgrado en cumplimiento parcial de los requisitos para el grado de Doctor en Ciencias de la Ingeniería.


RESUMEN

El objetivo de los sistemas pasivos de aislamiento sísmico es mitigar los efectos

destructivos de los terremotos introduciendo una interfaz flexible y disipativa que se

dispone entre la estructura y el suelo de fundación o bien entre dos partes de una

estructura. Numerosas investigaciones realizadas en los últimos veinte años han logrado

importantes avances en el control de la respuesta sísmica mediante el uso sistemas de

aislamiento. Sin embargo, el comportamiento acoplado lateral-torsional de estas

estructuras aún presenta diversas interrogantes que deben ser investigadas. Algunas de

estas interrogantes forman parte de la esencia de esta tesis Doctoral.

En esta investigación se postula primero una ecuación cerrada para determinar la

amplificación torsional máxima de los desplazamientos debido a la incertidumbre en el

valor de la rigidez de los aisladores sísmicos, calibrada a partir de numerosos ensayos

realizados en el Laboratorio de Control de Vibraciones de la Escuela de Ingeniería de la

Pontificia Universidad Católica de Chile. A continuación, se investiga la formulación

general de la dinámica de las estructuras aisladas como un problema de interacción entre

el sistema de aislamiento y la superestructura en rango lineal. Como resultado, se

obtienen métodos simplificados para el estudio de la dinámica de estructuras aisladas. A

partir de estos modelos simplificados se aborda el estudio del control de la respuesta

acoplada lateral-torsional de la superestructura. Aplicando técnicas probabilísticas a este

xix

modelo se obtienen curvas de diseño para seleccionar los parámetros de excentricidad y

flexibilidad rotacional del aislamiento que permiten controlar la respuesta de la

superestructura minimizando y balanceando su respuesta torsional respecto del

aislamiento. Además, se postula un modelo constitutivo bidimensional para dispositivos

elástoméricos mediante el desarrollo de dos constitutivas, una disipativa no-lineal basada

en el modelo de Bouc – Wen y una conservativa que representa el fenómeno de

hiperelasticidad. Con este modelo, se extiende el estudio del control de la respuesta

acoplada lateral-torsional de la superestructura al rango no-lineal del aislamiento.

Mediante simulaciones numéricas con una serie de registros de movimientos sísmicos se

demuestra que los métodos de control del comportamiento acoplado lateral-torsional

obtenidos para la superestructura en rango lineal del aislamiento pueden extrapolarse sin

mayores dificultades al rango no-lineal.

Miembros de la Comisión de Tesis Doctoral Juan Carlos de la Llera M. Rafael Ridell C. Carl Lüders Sch. Peter Dechent A. Arturo Tena Colunga Sebastián Ríos M. Santiago, Septiembre, 2007

xx

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ESTUCTURAL Y GEOTÉCNICA

TORSION IN SEISMIC ISOLATED SYSTEMS WITH ELASTOMERIC DEVICES

Thesis submitted to the Office of Research and Graduate Studies in partial

fulfillment of the requirements for the Degree of Doctor in Engineering Sciences by

C. EUGENIO SEGUIN

ABSTRACT

The main objective of passive seismic isolation systems is to reduce drastically the

earthquake risk by means of a flexible and dissipative layer placed between the

foundation and the structure, or in an intermediate level. In the last 20 years many

investigations have obtained significant advances in the lateral control of structures with

seismic isolation. However, several questions related to the lateral-torsional coupling of

isolated structures remain without clear answers.

Furthermore, the aim of this doctoral thesis is to give answers to some of these

questions. First, the accidental torsion problem in isolated structures is investigated.

Assuming that the isolator stiffness is the only source of uncertainty, a closed form

equation is obtained to estimate the torsional displacement amplification at the edges.

This equation was calibrated using values of shear modulus and lateral stiffness

measured in many tests carried on the Vibrations Control Laboratory of Catholic

University of Chile. The three dimensional response of asymmetric buildings is cast

under a dynamic base-superstructure interaction formulation. Two simplified models

were selected and used to investigate the torsional amplification of the edge

displacements. Furthermore, the accuracy and range of applicability of both methods is

investigated for different system parameters and ground motions. Symbolic expressions

are derived to compute the edge response by using a pseudo-static method. Based on this

model, the optimum control of the torsional superstructure response is studied. Using the

minimum and torsional balance concepts, design expressions are obtained to select

xxi

optimum values of isolation eccentricity. As a result, the torsional control of the

superstructure improves considerably when the isolation system is torsionally flexible,

and the center of stiffness of the isolation and superstructure are closed to each other.

Next, a new bidimensional non-linear constitutive model is developed for elastomeric

isolators. It consists of a hysteretic Bouc-Wen model, plus a hiper-elastic back-bone

model. This model shows excellent agreement with experimental results. Finally, using

this model, the lateral torsional response of linear asymmetric structures with non-linear

isolation devices is studied. By means of numerical simulations using ground records, it

is concluded that the results obtained for the linear isolation models can also be extended

to the non-linear range almost without change.

Members of the Doctoral Thesis Committee: Juan Carlos de la Llera M. Rafael Ridell C. Carl Lüders Sch. Peter Dechent A. Arturo Tena Colunga Sebastián Ríos M. Santiago, September, 2007

I. INTRODUCCIÓN

1

I. INTRODUCCIÓN Los sistemas pasivos de aislamiento sísmico se emplean con el objeto de controlar el

efecto destructivo de los terremotos en las construcciones mediante una interfaz flexible

capaz de disipar energía dispuesta entre éstas y el suelo o en sus pisos intermedios.

Entre la variedad de dispositivos existentes, el sistema de aislamiento sísmico basado en

apoyos elastoméricos es el más antiguo (Kelly, 1997) y ampliamente difundido en el

mundo. Estos apoyos están constituidos por capas de goma de aproximadamente 10 mm

de espesor alternadas con placas se acero de 3 a 5 mm de espesor. Poseen gran

flexibilidad lateral y alta rigidez vertical, la altura y diámetro resultante son variables de

acuerdo a las necesidades de flexibilidad y máxima deformación transversal.

Un aspecto relevante en estas estructuras es su comportamiento torsional tanto desde el

punto de vista del sistema de aislamiento, como del control torsional de la

superestructura. El acoplamiento lateral-torsional en estas estructuras se produce como

resultado de asimetrías accidentales o naturales en planta tanto en la superestructura

como en el sistema de aislamiento. En tanto la superestructura se comporta

esencialmente en rango lineal, el sistema de aislamiento lo hace, en general, en rango

no-lineal de magnitud variable. Sin embargo el uso de modelos lineales equivalentes que

representan el comportamiento de su constitutiva es particularmente muy usado en la

estimación de la respuesta dinámica durante el diseño del sistema de aislamiento. Los

modelos lineales equivalentes son frecuentemente usados en la fase de elección del

sistema de aislamiento por que ellos capturan la parte esencial de su respuesta sísmica.

Estos modelos se justifican por la pequeña variación del período propio del modo

aislado para un amplio rango de desplazamientos. Así, en aisladores elastoméricos, para

valores de distorsión angular γ variable entre el %75 y el %250 la variación del

periodo propio del modo aislado se mantiene en un rango de %5+ a %5.2− respecto del

periodo de diseño ( %150=γ ). Con base en ésta observación la primera parte de esta

investigación (Capítulos II a IV) se desarrolla en el campo lineal.

En el Capítulo II se trata la torsión accidental producida por la variación en la rigidez de

los dispositivos de aislamiento. En este sentido numerosos países como EEUU (UBC,

2

1997), Japón, Nueva Zelanda y recientemente Chile (NCh 2745, 2003), México (Tena,

2005) han desarrollado criterios de control de calidad para estos sistemas con el objeto

de acotar su influencia. Estos criterios tienden a minimizar la variabilidad en la

distribución de rigidez de los dispositivos respecto del valor nominal empleado para su

diseño. Se hace notar que si estos criterios de aceptación son demasiado estrictos

conducen al encarecimiento de los sistemas de aislamiento, sin embargo la relajación de

estos criterios puede conducir a sistemas de aislamiento menos confiables. Por lo tanto,

resulta de gran interés determinar cual es el grado de influencia real de esta variabilidad

en el comportamiento torsional del sistema. En trabajos anteriores, de la Llera y Chopra

(1994) estudiaron el problema de la excentricidad accidental en estructuras

convencionales. Posteriormente de la Llera e Inaudi (1994) analizaron el mismo

problema en sistemas de aislamiento, enfocando su estudio en la metodología de análisis

de la norma UBC para tener en cuenta este efecto. Más recientemente Shenton III y

Holloway (2000) propusieron expresiones analíticas aproximadas basadas en análisis

modal espectral para estimar el efecto de la variabilidad de la rigidez de los aisladores

en: (i) la respuesta torsional del sistema de aislamiento, (ii) la respuesta traslacional de

su centro de masas y (iii) en el esfuerzo de corte basal de la superestructura. En su

análisis estudian sólo sistemas de aislamiento torsionalmente rígidos y asumen

erróneamente que el primer modo aislado es determinante en la respuesta acoplada del

aislamiento. Además, como se demuestra en el Capítulo IV de esta investigación los

sistemas de aislamiento torsionalmente flexibles permiten controlar la respuesta

torsional de la superestructura en forma óptima. Por otra parte, en estos trabajos

anteriores y ante la ausencia de información experimental, se ha supuesto una

variabilidad de rigidez arbitraria en los dispositivos de aislamiento. En este Capítulo, se

analiza en primer término la variabilidad de la rigidez de apoyos elastoméricos de un

gran número de ensayos realizados en el Laboratorio de Control de Vibraciones del

Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica de la Pontificia Universidad

Católica de Chile. Posteriormente, se desarrolla una ecuación exacta para sistemas mono

simétricos de un piso basada en análisis modal espectral teniendo en cuenta los dos

3

modos aislados relevantes para el comportamiento acoplado lateral-torsional del sistema

de aislamiento. Esta ecuación se compara luego con 2000 simulaciones de Monte Carlo

(Hammersley y Handscomb, 1965). Finalmente, y aplicando los resultados

experimentales ya señalados, se determina la influencia real de la variabilidad de la

rigidez en la respuesta torsional del aislamiento y se compara con las disposiciones de

códigos actuales (UBC, 1997; NCh2745 2003).

En el Capítulo III se analiza el comportamiento torsional del sistema de aislamiento y la

interacción entre éste y la superestructura. En trabajos anteriores se ha concluido que las

estructuras aisladas conducen al control natural de los efectos torsionales (Pan y Kelly,

1983; Lee, 1980; Nakamura et al., 1988). Sin embargo, todos ellos se concentran en el

sistema de aislamiento y tienen en cuenta solo sistemas torsionalmente rígidos. Por otra

parte, y aunque restringido a muy pequeñas amplitudes de movimiento en un trabajo de

Papagorgiou y Lin (1989) las mediciones de desplazamiento efectuadas durante el

terremoto de Redlands (1985) en el edificio de Law and Justice Center (Rancho

Cucamonga) muestran amplificaciones torsionales en el sistema de aislamiento

contradiciendo las conclusiones obtenidas hasta ese momento; motivados por esta

observación Nagarajaiah et al. (1993), estudiaron en forma numérica la repuesta de

edificios multipiso. Incluyen en su estudio distintas relaciones de flexibilidad torsional y

excentricidades en la superestructura con el objeto de establecer su influencia en el

sistema de aislamiento; también toman en consideración distintas razones de flexibilidad

torsional y excentricidades en el sistema de aislamiento. Su conclusión es que en

determinadas circunstancias los sistemas de aislamiento amplifican sustancialmente la

respuesta de sus bordes. En la misma línea de investigación Tena y Gómez (2002)

estudian la influencia de la excentricidad de la masa de la superestructura en el

comportamiento torsional del aislamiento para edificios multipiso y para un amplio

rango de periodos del sistema de aislamiento, sus conclusiones coinciden con las de

Nagarajaiah et al. (1993), pero observan que las amplificaciones torsionales máximas

dependen de varios factores y no obedecen a una regla simple. Por su parte, Ryan y

Chopra (2002) desarrollaron algunos métodos simplificados en rango lineal para estudiar

4

los efectos de la torsión en el sistema de aislamiento de estructuras aisladas con

acoplamiento lateral-torsional. Kulkarni y Jangrid (2002) evaluaron la influencia de la

flexibilidad de la superestructura considerando distintos tipos de aisladores lineales y no-

lineales, y concluyen que la respuesta del sistema de aislamiento no se ve mayormente

afectada por la flexibilidad de la superestructura. Posteriormente Tena y Zambrana

(2005) estudian el efecto en el comportamiento acoplado lateral-torsional de sistemas de

aislamiento con excentricidad en el sistema aislado, sus conclusiones en este caso son

muy similares a las obtenidas por Tena y Gómez (2002). Finalmente, Tena y Escamilla

(2006) estudian los efectos de la torsión en el sistema aislamiento debidas a asimetrías

de masa y rigidez en la superestructura. Tienen en cuenta edificios multipiso y distintos

periodos para la superestructura considerada con base fija y para el sistema aislado

además de distintas relaciones de flexibilidad torsional para la superestructura, entre

algunas de sus conclusiones confirman las tendencias observada en el trabajo de Tena y

Gómez (2002) sin embargo las amplificaciones en el sistema de aislamiento resultan

significativamente reducidas y constantes para asimetrías de masa en la superestructura

cuando se verifican relaciones entre el periodo del sistema aislado (Ti) y el de la

superestructura con base fija (Ts) superiores a 8, en este caso la influencia de la

excentricidad en rigidez de la superestructura resulta despreciable en el comportamiento

torsional del sistema aislado. La investigación llevada a cabo en este Capítulo, a

diferencia de los mencionados precedentemente, se basa en el análisis y la

interpretación de la interacción dinámica entre el sistema de aislamiento y la

superestructura. La comprensión de esta interacción permite explicar los resultados

aparentemente contradictorios de trabajos previos en un único marco teórico, desarrollar

métodos simplificados para predecir la respuesta del sistema de aislamiento y de la

superestructura y sentar las bases para obtener el control pasivo de la torsión de la

superestructura minimizando y balanceando su respuesta torsional respecto del

aislamiento actuando en rango lineal.

Con base en los resultados obtenidos en el Capítulo III y para finalizar el estudio lineal,

en el Capítulo IV se presenta una metodología de análisis para identificar los parámetros

5

óptimos que debe poseer el sistema de aislamiento para reducir el acoplamiento lateral-

torsional de la superestructura. Las investigaciones realizadas en los últimos años han

asumido que la mejor solución para el problema torsional de los sistemas aislados es

aquella que evita la torsión en el sistema de aislamiento (Tena y Escamilla (2006); Tena

y Zambrana (2005); Tena y Gómez (2002); Nagarajaiah, 1993; Pan y Kelly, 1983; Zayas

et al., 1987). Sin embargo, este criterio está en contradicción con el objetivo

fundamental del aislamiento sísmico basal que debe concebirse como un sistema de

protección para la superestructura y ha conducido a que, hasta la actualidad no se han

desarrollado criterios de diseño que permitan controlar eficientemente el

comportamiento torsional de esta última. Para desarrollar estos criterios de control, en

esta parte de la investigación interpretamos el efecto del sistema de aislamiento como la

aplicación de un filtro pasa banda que por una parte atenúa la intensidad de las

aceleraciones y por otra modifica la excitación que percibe la superestructura. Además,

en el Capítulo III y en coincidencia con algunos investigadores (Tena y Escamilla

(2006); Nagarajaiah et al., 1993; Pan y Kelly, 1983; Singh, 1983; Kulkarni y Jangrid,

2002) se ha establecido que para estructuras con aislamiento basal la dinámica de la

superestructura interfiere muy poco en la respuesta del sistema de aislamiento, sin

embargo, la dinámica del aislamiento si modifica en forma importante el

comportamiento de la superestructura. Estas dos observaciones permiten estudiar los

sistemas aislados como un sistema en cascada, donde el primer bloque es la estructura

completa, considerada como un cuerpo rígido, cuyas aceleraciones totales constituyen la

excitación para el segundo bloque: la superestructura. En estas condiciones el primer

bloque es equivalente a un filtro de Kanai – Tajimi (1957; 1960) cuya frecuencia y

amortiguamiento son las del sistema de aislamiento. Este filtro es capaz de modificar las

aceleraciones traslacionales e introducir componentes rotacionales, cuya adecuada

combinación permite controlar el comportamiento acoplado lateral-torsional de la

superestructura en forma óptima, minimizando su rotación y balaceando la respuesta de

los bordes respecto del aislamiento para superestructuras asimétricas. La aplicación de

técnicas probabilísticas a este modelo permiten encontrar las condiciones del aislamiento

6

que controlan en forma óptima la respuesta torsional de la superestructura para una

excitación tipo ruido blanco, las que posteriormente y sin ninguna dificultad se

extienden al análisis modal espectral empleando tanto espectros de diseño como de

sismos reales. Los resultados obtenidos son generalizados para edificios de múltiples

pisos y aplicados a algunos ejemplos.

En los Capítulos V y VI se incursiona en el campo de las estructuras con acoplamiento

lateral-torsional aisladas con dispositivos elastoméricos en rango no-lineal. Debido a que

la goma natural posee bajo amortiguamiento ( %2 ), estos dispositivos solían estar

acompañados de disipadores histeréticos actuando en paralelo. La tecnología actual, sin

embargo, ha desarrollado gomas de alto amortiguamiento y con módulo de rigidez

transversal G variable que paulatinamente han reducido la necesidad del uso de estos

disipadores histeréticos. Estas gomas de alto amortiguamiento y módulo de rigidez

variable se obtienen mediante el agregado de distintos componentes en variadas

proporciones. Los elastómeros se caracterizan por el módulo G y el amortiguamiento

lineal equivalente ζ (por ej. %12;/5 2 =ζ= cmkgG ).

La relaciones constitutivas fuerza-deformación para cada compuesto presentan

características distintas, con algunos rasgos comunes, tales como el fenómeno de

hiperelasticidad, caracterizado por un aumento de rigidez a partir de deformaciones

relativamente elevadas y el efecto de ''scragging'' que se manifiesta como una pérdida de

rigidez muy importante después del primer ciclo de carga y que se atenúa en ciclos

posteriores. Respecto a este último fenómeno, algunos estudios indican que para

deformaciones específicas transversales γ del orden del %150 y luego de 4 meses de

reposo la goma recupera el %98 de su rigidez inicial (Kulak y Hughes, 1995). Sin

embargo, para deformaciones mayores se ha reportado que la pérdida de rigidez es

permanente.

Varios investigadores han propuesto distintos modelos matemáticos para describir este

comportamiento fuerza-deformación, sin embargo, la mayoría de ellos no modelan la

hiperlasticididad ni el efecto de ''scragging'' (Tsopelas et al., 1994; Forni et al., 1995;

Naeim y Kelly, 1999; Salomón et al., 2000). Recientemente algunos modelos (Hwang et

7

al, 2002) han conseguido representar adecuadamente este comportamiento observado en

las gomas, sin embargo su manejo es complicado y solamente tienen en cuenta el

comportamiento unidireccional. En el Capítulo V se propone un modelo matemático

fenomenológico para representar el comportamiento de las gomas ante la aplicación de

cargas cíclicas transversales. Esta constitutiva emplea tres etapas, una envolvente para

modelar el comportamiento virgen de la goma, una conservativa para la etapa

hiperelástica y finalmente una etapa disipativa. La constitutiva desarrollada permite

también, la inclusión de una o más etapas aditivas para modelar el comportamiento de

disipadores histeréticos actuando en paralelo. Además, se presenta la metodología de

identificación de sus parámetros basada en resultados de ensayos. Los modelos

obtenidos se comparan con ensayos reales, ante la aplicación de ciclos de

desplazamiento armónicos y de registros de desplazamientos de terremotos reales.

Debido a que la etapa disipativa de la relación constitutiva propuesta se basa en una

versión modificada del modelo de Bouc-Wen (1975) se propone su extensión al campo

bidimensional mediante el modelo de Park et al. (1986). Por último se presentan los

resultados obtenidos de modelar una estructura sometida a registros de terremotos reales

unidireccionales y bidireccionales.

En rango lineal es posible establecer las características que debe tener el aislamiento

para optimizar la respuesta rotacional de la superestructura mediante la minimización de

su rotación relativa a la base y el balance de la respuesta de sus bordes. Sin embargo, los

sistemas de aislamiento desarrollados en los últimos veinte años funcionan en campo

definidamente no-lineal. En el Capítulo VI se investigan los parámetros del sistema de

aislamiento no-lineal que permiten alcanzar el control pasivo de la respuesta acoplada de

la superestructura. No todos los sistemas de aislamiento permiten controlar el

comportamiento torsional de la superestructura; entre aquellos que si lo permiten se

encuentran todos los dispositivos que poseen componentes restitutivas independientes de

la distribución instantánea de cargas verticales, tales como los dispositivos elastoméricos

o los que emplean resortes (Kelly, 1997; Nawrotzky, 2000). El ejemplo más destacado

entre los que no permiten el control torsional de la superestructura está dado por el

8

péndulo friccional (FPS) (Zayas et al., 1987). El presente trabajo de investigación se

enfoca en los dispositivos de aislamiento elastoméricos, pero sus resultados pueden

extenderse sin dificultad a otros dispositivos. En esta etapa de la investigación se usa la

constitutiva desarrollada en el Capítulo V que respeta adecuadamente el comportamiento

de los apoyos de goma de alto amortiguamiento y de goma natural con corazón de

plomo (Seguin y de la Llera, 2003). Con el objeto de comparar los resultados obtenidos

en el campo lineal con el no-lineal, se identifica el sistema de aislamiento lineal

equivalente mediante la aplicación de técnicas probabilísticas así, el sistema de

aislamiento no-lineal se diseñó de manera que en el sistema lineal equivalente se

mantengan constantes los parámetros de control de la respuesta de la superestructura.

Por otra parte, debido a que la flexibilidad rotacional y excentricidad del aislamiento

pueden obtenerse con un número variable de apoyos no-lineales, se investigó la

influencia del número de aisladores en la respuesta acoplada del aislamiento. Además, a

efectos de evaluar tendencias generales de comportamiento en el campo no-lineal, se

obtuvo el promedio de la respuesta acoplada de la superestructura y del aislamiento

resultante de la aplicación de 11 registros de terremotos históricos para distintas razones

de flexibilidad rotacional y excentricidades tanto en el aislamiento como en la

superestructura. De los resultados obtenidos se observa un fuerte paralelismo entre el

comportamiento lineal y no-lineal, sin embargo los parámetros del aislamiento que

controlan la respuesta de la superestructura ya no se basan en la rigidez de los aisladores

sino en las fuerzas no lineales de éstos, a pesar de esto, se comprueba que los resultados

obtenidos en campo lineal pueden extenderse sin ninguna dificultad al campo no-lineal.

Finalmente, se aplican los resultados obtenidos a algunos ejemplos lográndose un

excelente control de la respuesta torsional de la superestructura.

Por último, en el Capítulo VII se presenta un resumen de las conclusiones finales y de

las recomendaciones para obtener el control torsional óptimo de la superestructura sin

afectar sensiblemente el comportamiento torsional del aislamiento.

II. TORSIÓN ACCIDENTAL

9

II. TORSION ACCIDENTAL II.1 Resumen A pesar del control de calidad que existe en la producción de aisladores eslatoméricos, la

inherente variabilidad en las propiedades mecánicas del elastómero se transmite a las

propiedades mecánicas del aislador. Esta variabilidad accidental produce habitualmente

asimetría en planta en el sistema de aislamiento, lo que induce torsión accidental del

sistema aún cuando la superestructura pueda ser nominalmente simétrica. A la fecha

existen en la literatura algunos trabajos que han abordado el problema y obtenido

conclusiones desde un enfoque teórico, sin precisar el orden de magnitud real existente

en variabilidad de rigidez de los apoyos. Este trabajo de investigación se enfoca a

establecer la influencia que tiene la variabilidad en rigidez de los apoyos elastoméricos

en la respuesta acoplada lateral-torsional del sistema de aislamiento utilizando datos

experimentales para dicha variabilidad. Estos datos se han obtenido de numerosos

ensayos dinámicos realizados en aisladores elastoméricos en el Laboratorio de Control

de Vibraciones del Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica de la Pontificia

Universidad Católica de Chile. Se desarrolla además, una expresión analítica, basada en

análisis modal espectral, que establece la influencia de esta variabilidad en el

desplazamiento de los bordes del sistema de aislamiento.

II.2. Introducción Es inevitable que los aisladores elastoméricos presenten variabilidad en sus propiedades

mecánicas. Dicha variabilidad proviene de fuentes tales como el compuesto elastomérico

a raíz del proceso de mezclado, la calidad del material base, la dosificación de aditivos,

o del mismo proceso de fabricación del aislador atribuible a variaciones geométricas del

mismo, el tiempo de curado, la presión y temperatura aplicada, y el mecanismo propio

de curado. Toda esta variabilidad se resume en los cambios de las propiedades

mecánicas globales de rigidez y amortiguamiento interno de los aisladores, que tienen

una relevancia significativa en la respuesta sísmica de la estructura. Consecuentemente y

10

con el propósito de acotar los valores de deformación y esfuerzo de corte de diseño en

estructuras aisladas sísmicamente, los códigos existentes (e. g. UBC, NCh2745)

establecen el uso de valores extremos para la rigidez y disipación de energía de los

aisladores. Es por lo tanto muy relevante en el diseño conocer la variabilidad que

presentan estas propiedades mecánicas en los aisladores y evaluar el impacto que dicha

variabilidad puede tener en la respuesta de la estructura.

En un estudio anterior de la Llera y Chopra (1994) establecieron un modelo

probabilístico para evaluar el problema de excentricidad accidental en estructuras

convencionales como resultado de la variabilidad en rigidez, masas, excitación torsional,

y otros factores. Las conclusiones más relevantes de dicho estudio fueron que: (1) es

posible expresar el efecto de variabilidad en la respuesta a través de una amplificación

de la deformación de los bordes de la estructura y considerar el efecto a través del

concepto de torsión accidental; (2) El factor de amplificación puede ser expresado como

una función de la razón de flexibilidad torsional 0Ω ; (3) la amplificación es máxima

para estructuras nominalmente simétricas; (4) La incertidumbre en la distribución de

masa domina por sobre el resto de las fuentes de incertidumbre, lo que justifica el uso de

una excentricidad accidental; (5) el efecto accidental no puede ser evaluado

estáticamente en estructuras con 10 <Ω ; (6) el incremento de la respuesta en los bordes

debido a excitación torsional es pequeño para estructuras con periodo fundamental de

vibración traslacional > 0.5seg; (7) el efecto de la variabilidad de la rigidez decrece con

el aumento de la cantidad de planos resistentes; (8) los edificios con longitud

perpendicular al movimiento mucho mayor que la longitud en la dirección del

movimiento muestran el mayor incremento en la respuesta debido a la torsión accidental.

Posteriormente de la Llera e Inaudi (1994) extrapolan el procedimiento de análisis del

mismo problema de torsión accidental con sistemas de aislamiento sísmico, comparando

sus resultados con el requerimiento de la norma UBC (1991) en cuanto a considerar un

5% de excentricidad accidental en el diseño de sistemas aislados. Encuentran que la

amplificación real es menor que la que se obtiene de aplicar este criterio.

11

Más recientemente Shenton y Holloway (2000) proponen expresiones analíticas

aproximadas basadas en análisis modal espectral para estimar el efecto de la variabilidad

en rigidez de los aisladores en la respuesta del centro de masas, los bordes del sistema de

aislamiento, y en el esfuerzo de corte basal de la superestructura. Su análisis se

concentra sólo en sistemas de aislamiento torsionalmente rígidos y asume que el primer

modo aislado determina la respuesta acoplada del sistema de aislamiento. Además, los

trabajos anteriores descritos suponen una variabilidad de rigidez arbitraria en los

aisladores.

Por esta razón esta investigación considera en primer término la variabilidad en rigidez

de aisladores elastoméricos observada en un gran número de ensayos realizados entre los

años 1997 y 2003 en el Laboratorio de Control de Vibraciones del Departamento de

Ingeniería Estructural y Geotécnica de la Pontificia Universidad Católica de Chile. La

base de datos considera aisladores elastoméricos que fueron ensayados antes de ser

ubicados en tres importantes edificios en Chile (de la Llera et al. 2004). Esta

investigación se limita sólo a evaluar la influencia de la variabilidad en rigidez de los

aisladores, dejando de lado la influencia del amortiguamiento.

Se propone adicionalmente una expresión exacta para sistemas monosimétricos de un

piso basada en análisis modal espectral teniendo en cuenta ambos modos aislados

relevantes en el comportamiento acoplado lateral-torsional del sistema de aislamiento.

Los resultados se comparan con simulaciones de Monte Carlo, en distintos sistemas

(Hammersley y Handscomb, 1965). Finalmente aplicando los resultados experimentales

y analíticos disponibles, se determina la influencia de la variabilidad de la rigidez en la

respuesta torsional del sistema de aislamiento.

Para todos los análisis se considera que la superestructura se vincula rígidamente al

sistema de aislamiento.

II.3 Modelo considerado La estructura considerada es monosimétrica y se muestra esquemáticamente en la Figura

2.1. Para efectos del análisis que se realiza a continuación la superestructura se supone

12

y

x

2a

2a1

2c

2c1

1 2 … n

1m

… θ

rígida y con masa )(sm , la planta del sistema de aislamiento se supone rectangular y con

masa )(bm . Se supone que las masas están distribuidas de forma uniforme en altura de

modo que su radio de giro resulta 12/)1(2 2,l

bs ra +=ρ , con acrl /= , donde a2 es el

ancho y c2 la profundidad de la planta.

Figura 2.1 Planta del sistema de aislamiento considerado

El sistema se considera apoyado sobre dispositivos ubicados de forma simétrica según

una grilla rectangular con n líneas de aisladores simétricos que están ubicados en

dirección x en una longitud aa 22 1 ≤ y m líneas en dirección y de profundidad

cc 22 1 ≤ , tal que el sistema tiene nmN ×= aisladores. Se consideran dos grados de

libertad, uno traslacional en la dirección y y otro rotacional θ . La aceleración del

terreno en dirección y es gyu&& .

Suponemos que los aisladores son circulares y con rigidez ik en todas las direcciones.

Se supone que la rigidez de cada aislador es distinta.

13

Considerando que la superestructura se encuentra rígidamente vinculada al aislamiento

la Ecuación de movimiento lateral se expresa como:

gt

N

iiii

N

iii

N

iii

N

ii

t

t

umy

yxkxk

xkkym

m&&

&&&&

)(

1

22

1

112)(

)(

01

)(00

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∑∑

∑∑

==

==

θθρ (2.1)

donde: )()()( bst mmm += es la masa total por sobre el sistema de aislamiento, )(sm es la

masa traslacional total de la superestructura; )(bm la masa traslacional de la base; ix , jy

son las coordenadas de los aisladores medidas desde el centro de masas (CM). Notar que

por definición ∑∑==

=N

ii

N

iii kexk

11, en que e es la excentricidad estática entre el centro de

rigidez (CR) y el centro de masas CM, Además es posible expresar

( )∑∑ +=+=

N

iiii

N

ii keyxk 2222

1

)( κ , donde κ se define como el radio de giro de rigidez

respecto al CR.

Definiendo ρeê = (excentricidad normalizada), ρκωωθ ==Ω

yo

o es la razón de

frecuencia torsional a lateral desacoplada o también la razón de flexibilidad torsional,

Capítulo III, podemos rescribir la Ecuación (2.1) en forma normalizada como:

gyyo uy

êêêy

&&&&&&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+Ω−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡011

22 ρθω

θρ (2.2)

Observe que en el caso en que todos los aisladores son iguales, ni kk = la Ecuación (2.2)

se transforma en la ecuación:

gn uyy

&&&&

&&⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ω

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡01

001

20

2

ρθω

θρ (2.3)

14

Donde 0Ω es la razón de flexibilidad torsional del sistema nominalmente simétrico.

II.4 Análisis de la respuesta En esta sección obtenemos la respuesta de la estructura mediante análisis modal

espectral. Resolviendo el problema de valores y vectores propios determinado por la

Ecuación (2.3), las frecuencias y modos normalizados de vibración están dados por

(Capítulo III)

[ ]222, 4)1(

21ˆ Ω−Ω−= ssignstr mω (a) (2.4)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

=ê

êd r

r

1ˆ1ˆ1

2

2

ωω

Φ (b)

en que tr ,ω son las frecuencias rotacional y traslacional normalizadas a yoω ,

221 es +Ω+= y 222 )1ˆ( êd r +−= ω . El signo menos en la Ecuación (2.4a) se asocia al

modo rotacional y el positivo al traslacional. La función sign se emplea sólo para ser

consecuente con el ordenamiento de los modos en la Ecuación (2.4b). Notar que la

función sign se define en este caso tal que 1)0( =sign .

Las ecuaciones de movimiento en coordenadas generalizadas o modales iΨ se escriben

como:

grryor udê&&&& −=Ψ+Ψ 22 ωω (a) (2.5)

gr

ttyot ud

&&&& 1ˆˆ2

22 −−=Ψ+Ψ

ωωω (b)

para el modo rotacional y traslacional, respectivamente. Definiendo como grados de

libertad los desplazamientos en los bordes del sistema de aislamiento los modos se

escriben como:

15

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−++−−−

=êaaêêaaê

d rr

rre ~)1ˆ()1ˆ(~

~)1ˆ()1ˆ(~122

22

ωωωω

Φ (2.6)

donde ρaa =~ . Los factores de participación modal están dados por:

dd

ê rtr

1ˆ;

2 −==

ωLL (2.7)

Consecuentemente, usando superposición modal espectral CQC (Der Kiureghian, 1981),

los factores de amplificación del centro de masas ( q ) y de los desplazamientos del borde

izquierdo y derecho del aislamiento ( eq ) se obtienen de

2242

ˆˆˆ2ˆ1

1ˆ ttrr DDDDq +++

= εμεε

(2.8)

2222222

ˆ)~1(ˆˆ)~1)(~(2ˆ)~(1

1ˆ ttrre DaDDaaDaq εεεεμεεε

±+±++

= mm (2.9)

donde:

d

tdt

d

rdr

r SS

DSS

Dê==

Ω+Ω+−ΩΩ+Ω

=−

= ˆ;ˆ;)1(4)1(

)1(8;1ˆ 2222

2/32

2 ζζμ

ωε (2.10)

y tdrd SS y son los desplazamientos espectrales de vibradores de un grado de libertad

correspondientes a las frecuencias del modo rotacional y traslacional ( ryoryo ωωωω ˆ,ˆ ),

respectivamente, μ el coeficiente de correlación entre ellos (Der Kiureghian, 1981) y

dS el desplazamiento del centro de masas del sistema simétrico ( yoω ). En la Ecuación

16

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

20

25

30

35

40

Periodo T (seg)

desp

laza

mie

ntos

(cm

)

Espectro UBCEspectro NCh2745Espectro Eurocode 8

(2.9) el signo de la línea superior del radicando corresponde al borde izquierdo y el

inferior al derecho.

No sólo el valor absoluto de la coordenada espectral es importante si no también su

forma. El espectro de diseño utilizado varía dependiendo del código de diseño adoptado.

Figura 2.2 Espectro de desplazamiento de diseño para distintas normas – Suelo tipo II, 05.0=ζ .

Por ejemplo, en tanto la norma americana UBC (1997) define un espectro de

desplazamientos asociado a seudovelocidad constante; la norma Chilena NCH 2745

(2003) y el Eurocode 8 (1994) establecen espectros de desplazamientos con una meseta

de desplazamiento constante a partir de cierto periodo de vibración (Figura 2.2). Es

evidente que en los casos de la NCh2745 y el Eurocode 8 las estructuras aisladas

sísmicamente se encuentran generalmente ubicadas sobre la meseta de desplazamiento

constante.

17

Analizamos el problema para ambos tipos de espectro. En el caso en que las frecuencias

acopladas del sistema se encuentran ubicadas sobre la meseta de desplazamiento

constante los factores de amplificación son 1ˆˆ == tr DD , por lo que reemplazando estos

valores en las Ecuaciones (2.8) y (2.9), se aprecia que las amplificaciones dependerán

solo de las características de la estructura sin encontrarse influenciada por la entrada. Sin

embargo en el caso en que los desplazamientos idS provienen de un espectro de

seudovelocidad constante se tiene que (UBC, 1997)

iD

VDid B

gCSωπ2

= (2.11)

donde DB es el factor de reducción de respuesta que establece el código UBC (1997)

por mayor amortiguamiento en el sistema de aislamiento, VDC es un coeficiente

espectral que depende de la zona sísmica, y iω la frecuencia del modo i.

Resulta así que los factores de amplificación tr DyD ˆˆ , quedan expresados en este caso

para ambos modos por las expresiones:

t

tr

r DDωω ˆ1ˆ;

ˆ1ˆ == (2.12)

Contrariamente al caso de meseta de desplazamiento constante, si se reemplazan estos

valores en las ecuaciones (2.8) y (2.9) se aprecia que las amplificaciones no dependen

sólo del aislamiento, sino que se encuentran influenciadas por el espectro de diseño

considerado.

En la siguiente sección realizamos el análisis de la variabilidad de la rigidez de los

aisladores elastoméricos.

18

II.5. Variabilidad de la rigidez en aisladores elastoméricos Esta sección caracteriza la variabilidad en rigidez de aisladores elastoméricos que fueron

ensayados entre los años 1997 a 2003 (de la Llera et al. 2004). Los compuestos

considerados en el presente análisis corresponden a las denominaciones 5H y 8H cuyos

módulos de corte G objetivos, para una deformación transversal máxima de %150=γ ,

son 5 y 7.5 kg/cm², respectivamente. Sin embargo, el estudio se presenta también para

otras deformaciones transversales %100y50,25=γ . No se consideran deformaciones

mayores debido a que %150=γ ha sido el límite de diseño escogido para estos

compuestos. En cualquier caso el análisis indicado puede ser extrapolado a cualquier

nivel de deformación.

Se supone en la determinación de los parámetros estadísticos de los aisladores que sus

dimensiones reales son las nominales y que los ensayos fueron realizados bajo

condiciones de temperatura similares. Por lo tanto, las variaciones indicadas de rigidez

se deben únicamente a variaciones en el módulo de corte G. Si bien esto no es

estrictamente correcto el mecanizado de las planchas y la incertidumbre de los procesos

involucrados en la fabricación del aislador es mucho menor que la existente en la

fabricación del compuesto elastomérico. Bajo estos supuestos el coeficiente de variación

del compuesto se extrapola directamente a la rigidez lateral de los aisladores, ya que

[ ] [ ] [ ] [ ]22

2 GEHAkEyGE

HAkE latlat ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== (2.13)

El espacio muestral considerado en este estudio corresponde a 36 aisladores con

compuesto 5H y 304 aisladores con compuesto 8H .

En la Tabla II.1 se consignan los valores medios (G ), desviaciones estándar ( Gσ ) y

coeficientes de variación ( GV Gk /σ= ) obtenidos para cada compuesto para

%150100,50,25 y=γ y en la Figura 2.3 se representan las dispersiones de G y sus

valores medios G .

19

Tabla II.1 Parámetros estadísticos de los aisladores ensayados.

COMPUESTO H5 H8 γ (%)

G (kgf/cm2) σG (kgf/cm2) VG G (kgf/cm2) σG (kgf/cm2) VG

25 8.66 4.29 0.49 11.13 1.11 0.1 50 6.81 1.8 0.26 9.41 0.95 0.1

100 5.36 0.84 0.16 7.71 0.68 0.09 150 5.06 0.58 0.11 7.64 0.58 0.08

Allí puede apreciarse que el módulo G resulta inversamente proporcional a γ, en tanto

que el coeficiente de variación en todos los casos es mayor para deformaciones menores

%50y25=γ , que para deformaciones mayores que %100=γ . Así mismo, los

coeficientes de variación obtenidos para el compuesto 5H resultan mayores que los del

8H . Sin embargo, este efecto puede tener su origen en el menor tamaño de la muestra

considerada para el compuesto 5H o bien en la mayor variabilidad que se presenta como

resultado del “scragging” del aislador y estabilización de propiedades mecánicas que

ocurre en ciclos pequeños.

En cualquier caso es posible caracterizar el primer y segundo momento de ambos

compuestos para las deformaciones angulares que superan el 50%, la que se considera

como una deformación mínima de trabajo para solicitaciones sísmicas significativas.

20

Variación G - γ, Compuesto H5

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

0.0 50.0 100.0 150.0 200.0

γ (%)

G (k

gf/c

m2)

Variación G - γ, Compuesto H8

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

0.0 50.0 100.0 150.0 200.0

γ (%)

G (K

gf/c

m2)

Figura 2.3 Dispersión y valores medios de los compuestos 5H y 8H .

Por lo tanto, utilizando el valor promedio del coeficiente de variación, media y

desviación estándar se obtiene:

21

Distribución de Frecuencias H5 G(25%)

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

G (kgf/cm2)

Frec

uenc

ias

Diagrama de Frecuencias H5 G(100%)

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

G (kgf/cm2)

Frec

uenc

ias

Distribución de Frecuencias H5 G(50%)

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

G(kgf/cm2)

Frec

uenc

ias

Tabla II.2 Características estadísticas de los compuestos

COMPUESTO μG σG VG H5 5.74 1.07 0.18 H8 8.25 0.74 0.09

A continuación, en las Figuras 2.4 y 2.5 se presentan las distribuciones de frecuencias

para el módulo de corte G para cada compuesto y para cada nivel de distorsión γ

Figura 2.4 Distribución de frecuencias de los aisladores ensayados. Compuesto 5H . Módulo de corte ( )γG para %150100,50,25 y=γ .


0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22G (kgf/cm2)

Frec

uenc

ias

22


0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

G (kgf/cm2)

Frec

uenc

ias


0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

G (kgf/cm2)

Frec

uenc

ias


0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

G (kgf/cm2)

Frec

uenc

ias


0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

G (kgf/cm2)

Frec

uenc

ias

Figura 2.5 Distribución de frecuencias de los aisladores ensayados. Compuestos 8H . Módulo de corte ( )γG para %150100,50,25 y=γ .

En la sección siguiente se determinan las ecuaciones que permiten evaluar la influencia

de la variabilidad de la rigidez en la respuesta torsional del sistema de aislamiento.

II.6 Análisis de medias y varianzas Se considera que la rigidez del aislador es una variable aleatoria con distribución

normal, cuya media es igual a la rigidez nominal de diseño nk y su coeficiente de

variación es nkki kV σ= . Sin embargo, como la media de la rigidez es ( ) GHA y la

varianza es ( ) 22GHA σ , el coeficiente de variación resulta

Gki VV = (2.14)

23

En los apartados anteriores se establecen las relaciones funcionales entre la respuesta del

sistema de aislamiento ( eqq ˆ,ˆ ) y la rigidez ik del i-ésimo aislador. Como ik es una

variable aleatoria también lo son eqyq ˆˆ si se supone que la entrada es determinística.

Así, la media y varianza de los desplazamientos del sistema de aislamiento pueden

establecerse en función de la media y varianza de la rigidez de los aisladores o bien de

los parámetros que caracterizan al sistema (de la Llera y Chopra, 1994).

Consideremos en primer término la respuesta del centro de masas del aislamiento.

Expandiendo la respuesta para q (Ecuación (2.8)) en serie de Taylor alrededor de su

valor medio ∑ ==

n

i iNn kk1

1 se tiene que (de la Llera y Chopra, 1994):

L

LL

+∂∂

∂−−

+∂∂

−+====

==

= =

==

∑∑

∑

nkjknkik

jinjn

N

i

N

ji

nkik

N

i ininNnnN

kkq

kkkk

kq

kkkkkkkkqkkkq

ˆ)()(

21

ˆ)(),,,(ˆ),,,(ˆ

2

1 1

12121

(2.15)

en que todas las sensibilidades ikq ∂∂ ˆ se evalúan en el valor medio nk . Despreciando

los términos de orden superior al lineal, la aproximación de primer orden del valor

medio está dada por

[ ] ),,,(ˆˆ 21 nNnn kkkkkkqqE ===≈ L (2.16)

y la aproximación de primer orden de la varianza por:

)()(ˆˆ

)(ˆ

)ˆ( ,

2

1

2jiji

jiji

N

ii

i

kkkq

kq

kkq

q σσυ∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ

∂∂

=σ≠=

∑∑∑ (2.17)

donde )( ikσ es la desviación estándar de la rigidez ik y ji,υ el coeficiente de

correlación entre ik y jk . El coeficiente de correlación entre los procesos aleatorios de

cada aislador puede tener un coeficiente de correlación muy elevado, alcanzando la

unidad si se trata del mismo grupo de aisladores, sin embargo el proceso de selección de

24

los mismos para cada realización corresponde a un delta de Dirac y por lo tanto la

probabilidad de que en el proceso de selección todos los aisladores tengan características

idénticas o muy similares es nula. Con base en esta observación el problema debe

tratarse bajo la condición de que la correlación entre individuos de la misma población

es nula y por lo tanto esto conduce despreciar el segundo término de la Ecuación (2.17).

En forma similar se pueden obtener las expresiones para eq .

II.6.1 Análisis del valor medio De acuerdo a la Ecuación (2.16) y aplicando la definición de excentricidad estática

resulta para ni kk =

[ ]n

N

iin

N

ii

N

iii

kN

xk

k

xkEeE

∑

∑

∑=

=

= =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= 1

1

1 (2.18)

se obtienen así las frecuencias y modos del sistema de aislamiento nominal y aplicando

las ecuaciones (2.4) a (2.10) resulta

(2.19)

II.6.2 Análisis de la varianza El cálculo de las varianzas requiere conocer las siguientes sensibilidades para el centro

de masas y los bordes:

nkik

i

enkik

i kq

kq

== ∂∂

∂∂ ˆ

;ˆ

(2.20)

[ ] [ ] 1ˆ;1ˆ == eqEqE

25

y para ambos espectros propuestos. Para el primer caso (meseta de desplazamiento

constante) se tiene (Anexo A):

1)1(~2ˆ

0ˆ

20 −Ω

−±=

∂∂

=∂∂

=

=

n

innkik

i

e

nkiki

kNxa

kq

kq

ρμ

(2.21)

En la que nμ es el coeficiente de correlación entre los modos traslacional y rotacional

del sistema nominalmente simétrico. Notar que en este caso la varianza para la traslación

de planta resultará nula. De la Ecuación (2.17) escribiendo la varianza )ˆ(2eqσ en función

del coeficiente de variación se tiene que:

∑∑== ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−Ω−

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−Ω−

=N

jink

n

nN

jink

n

ne xkV

kNaxkV

kNaq

1

22

2

201

22

2

20

2 )(1

)1(~2)(1

)1(~2)ˆ(ρ

μρ

μσ (2.22)

donde N es el número total de dispositivos de aislamiento.

Por otra parte de acuerdo a la distribución de dispositivos de aislamiento adoptado

(Figura 2.3), las coordenadas de cada dispositivo puede expresarse como (Shenton y

Holloway, 2000):

)(,,1,

1)1(2

)(,,1,1

)1(2

1

1

bmjm

jcy

aniniax

j

i

L

L

=−−

=

=−−

= (2.23)

donde n es el número de columnas y m el número de filas de dispositivos del sistema

de aislamiento; 12a y 12c son las longitudes de distribución según x e y,

26

respectivamente y que verifican la relación 11 / acrl = . Sustituyendo la Ecuación (2.23a)

en la Ecuación (2.22), y resolviendo se tiene la siguiente desviación estándar de la

respuesta en los bordes del aislamiento:

31

)1(~~4)ˆ(20

1 naaN

Vq nke −Ω

−=

μσ (2.24)

donde ρ/~11 aa = y )1/()1( −+= nnn .

En la Ecuación (2.24) se observa que la solución depende también del coeficiente de

correlación μ entre los modos predominantemente traslacional y rotacional

Para el caso del espectro de seudovelocidad constante propuesto por el UBC (1997), se

tiene (Anexo B):

)(

)1()(~41

21ˆ

)(2

1ˆ

2200

0 bxakNk

q

akNk

q

in

nkk

i

e

nkk

i

ni

ni

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−ΩΩ−Ω

−=∂∂

−=∂∂

=

=

ρμ

m

(2.25)

A partir de estas ecuaciones se pueden calcular las desviaciones estándar de la respuesta

del centro de masas y de los bordes del sistema de aislamiento, sustituyendo la Ecuación

(2.25a) en la Ecuación (2.17) se tiene

)(2

)ˆ( aN

Vq k=σ (2.26)

por otro lado, sustituyendo la Ecuación (2.25b) en la Ecuación (2.17) y resolviendo para

la Ecuación (2.23a) se tiene la desviación estándar para la amplificación en los bordes

del sistema de aislamiento

)()1(3

)()~~8(12

)ˆ( 220

20

20

21 bnaa

NVq nk

e −ΩΩ−Ω

+=μσ (2.27)

27

Las ecuaciones (2.26a y b) son expresiones cerradas para el cálculo de la influencia de la

incertidumbre de la respuesta del centro de masas y de los bordes del aislamiento dado

un coeficiente de variación para la distribución de rigidez en los dispositivos de apoyo.

Las expresiones propuestas por Shenton y Holloway (2000) para un espectro de

seudovelocidad constante están dadas por:

)(2

)ˆ( aN

Vq k=σ (2.28)

[ ] )()1()1(

121

2)ˆ(

22b

nmn

N

Vq k

e −+γ−+=σ

donde )1/()1( −+= mmm .

En las ecuaciones (2.27a y b) los aisladores dispuestos según x se distribuyen en el

ancho total a2 y los dispuestos según y en la profundidad total c2 . Supongamos ahora

que las longitudes de distribución son 12a , 12c y se encuentran ligadas a las a y c por

medio de la constante 1≤dr

cc

aard

11 == (2.29)

La Ecuación (2.27b) se puede escribir en los términos de la Ecuación (2.26b) como:

220

21

)1(3)~~(81

2)ˆ(

−Ω+=

naaN

Vq keσ (2.30)

Observe que la Ecuación (2.26a) que entrega la desviación estándar del desplazamiento

en el centro de masa es coincidente con la (2.27a) e independiente de la distribución de

aisladores, por el contrario las Ecuaciones (2.27b) y (2.29) no resultan coincidentes. Por

28

ejemplo la Ecuación (2.27b) toma en consideración el coeficiente de correlación nμ y,

arroja un valor finito para )ˆ( eqσ cuando 10 =Ω , sin embargo la Ecuación (2.30) es

independiente de nμ y tiende a infinito para esta relación de frecuencias. Se puede

demostrar que en la Ecuación (2.27b) la relación de frecuencias 0Ω está dada por la

expresión

2

2

0 1 γγ

++

=Ωmnrd (2.31)

y, asumiendo que 1=dr , alcanza la unidad solo cuando ∞→mn, debido a que

111lím

11lím

m=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

∞→∞→ mm

nn

n (2.32)

y resulta que para todo otro valor de 1y 0 >Ω⇒mn por lo que la Ecuación propuesta

por Shenton y Holloway (2000) considera el problema solo en forma parcial.

La sección siguiente presenta la metodología empleada para verificar y contrastar los

resultados obtenidos.

II.7 Simulación de Monte Carlo A efectos de verificar las ecuaciones propuestas se comparan sus resultados con

evaluaciones numéricas empleando la técnica de Monte Carlo (Hammersley y

Handscomb, 1965). Para este análisis tenemos en cuenta también la solución propuesta

por Shenton y Holloway (2000). Las comparaciones se realizan considerando ambos

modos en el cálculo de la respuesta empleando superposición modal espectral CQC (Der

Kiureghian, 1981). Para el análisis empleamos tanto espectros de desplazamiento

constante (NCh 2745, 2003), como el espectro de seudo velocidad constante de la norma

UBC (1997), normalizando en este último caso por la respuesta del sistema nominal.

29

Las simulaciones se realizan para distintas configuraciones del sistema de aislamiento,

incluyendo distintas relaciones de aspecto 4/1;2/1;1=lr , con un número de aisladores

N variable entre 4 y 225 y para rangos de flexibilidad torsional 0Ω variable entre 0.4 y

2.

Para cada caso considerado se realizan 2000 simulaciones. Asumimos que la

distribución probabilística de rigidez es normal y que los coeficientes de variación son

los obtenidos en el apartado 2.

II.8 Resultados obtenidos Presentamos los resultados gráficamente y para cada espectro considerado. Para cada

uno de éstos se agrupan por tipo de compuesto ( 85 , HH ), para distintas relaciones de

lados ( 4/1;2/1;1=lr ) y para un número variable de aisladores

( 225;100;64;36;16;4=N ). En todos los casos se grafica la desviación estándar de la

variable obtenida respecto de la relación de frecuencias del sistema nominal

( 24.00 a=Ω ). Para el análisis de los resultados se considera que el sistema de aislamiento

posee amortiguamiento 15.0=ζ . Notar que los resultados obtenidos pueden extenderse a

cualquier tipo de estructura, sea ésta aislada o convencional.

II.8.1 Espectro de desplazamientos constante En esta sección se presentan los resultados para un espectro de desplazamiento

constante. Se analizará solamente la desviación estándar de la respuesta en las esquinas

del aislamiento respecto al CM, obtenidas mediante la Ecuación (2.24), ya que en este

caso, no existe desviación estándar para el desplazamiento del CM. En las Figuras 2.6 y

2.7 se presentan los resultados obtenidos para los compuestos 5H ( 18.05 =kV ) y

8H ( 09.08 =kV ), respectivamente; en línea llena se presentan los resultados obtenidos con

la Ecuación (2.24), con círculos los resultados obtenidos mediante simulación de Monte

Carlo (Hammersley y Handscomb, 1965).

30

En estas gráficas puede apreciarse la excelente concordancia que se obtiene entre la

Ecuación propuesta y la simulación de Monte Carlo.

Figura 2.6 Desviación estándar de desplazamiento para el compuesto H5. Sd constante.

( 18.05 =kV – Desplazamiento en los bordes).

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

σ qe

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

Ω0

^

1=lr

2/1=lr

4/1=lr N= 4, 16, 36, 64, 100, 225

31

Tal como obtuvieran de la Llera y Chopra (1994), la desviación estándar disminuye con

el aumento del número de aisladores y aumenta en forma inversamente proporcional a la

relación de lados lr .

Notar que para la misma distribución de aisladores la desviación estándar )ˆ( eqσ es la

misma para valores recíprocos de 0Ω .

Figura 2.7 Desviación estándar de desplazamiento para el compuesto H8. Sd constante. ( 09.08 =kV – Desplazamientos en los bordes).

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0

0.02

0.04

0.06

0.08

σ qe

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.02

0.04

0.06

0.08

Ω0

^

1=lr

2/1=lr

4/1=lr N= 4, 16, 36, 64, 100, 225

32

Este fenómeno puede explicarse fácilmente a partir del análisis de la Ecuación (2.24).

Allí puede apreciarse que la variación de ésta se encuentra definida por el término

1

)1(~~420

1

−Ω−

=Δ naa μ (2.33)

Teniendo en cuenta que para una relación de frecuencias o su inversa el coeficiente de

correlación nμ no varía y recordando las ecuaciones (2.29) y (2.31) se puede demostrar

que para valores recíprocos de 0Ω

12

0

0

−Ω

Ω=Δ cte (2.34)

Ecuación en la que resulta trivial comprobar que se obtiene el mismo resultado para 0Ω

que para 0/1 Ω . Los máximos valores corresponden al máximo de la función Δ ,

controlada por el coeficiente de correlación nμ y la relación de frecuencias 0Ω .

II.8.2 Espectro de desplazamientos seudovelocidad constante Se presentan ahora las desviaciones estándar obtenidas para un espectro de

seudovelocidad constante. Como en el caso anterior trataremos solamente los resultados

obtenidos para la dispersión de la respuesta obtenida en las esquinas del sistema de

aislamiento. Las dispersiones para el CM no revisten gran interés ya que más allá del

valor que se use para kV la ecuación hallada (2.26a) resulta formalmente idéntica ala

hallada por Shenton y Holloway (2000).

En las Figuras 2.8 y 2.9 se presentan los resultados obtenidos para los compuestos

5H ( 18.05 =kV ) y 8H ( 09.08 =kV ) respectivamente. En línea sólida se grafican los

resultados obtenidos por aplicación de la Ecuación (2.26b) propuesta en la presente

investigación. En línea de trazos los obtenidos mediante la Ecuación (2.30) tomada del

trabajo de Shenton y Holloway (2000) y puesta en los términos empleados en esta

33

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

σ qe

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.05

0.1

0.15

0.2

Ω0

investigación, con círculos se presentan los resultados obtenidos mediante las

simulaciones de Monte Carlo.

En estas gráficas puede apreciarse la excelente concordancia entre los resultados de la

Ecuación (2.26b) propuesta en la presente investigación y los obtenidos mediante

técnicas probabilísticas.

Figura 2.8 Desviación estándar de desplazamiento para el compuesto H5. Sv constante.

( 19.05 =kV – Desplazamientos en los bordes).

^

1=lr

2/1=lr

4/1=lrN= 4, 16, 36, 64, 100, 225

S-Hpropuesta

34

Sin embargo se aprecia una notable diferencia con los resultados obtenidos por Shenton

y Holloway (Ecuación (2.30)) (2000), sobre todo en el entorno de las relaciones de

frecuencia 10 =Ω en que la desviación estándar de la amplificación en las esquinas del

aislamiento tiende a infinito.

Figura 2.9 Desviación estándar de desplazamiento para el compuesto H8. Sv constante.

( 09.08 =kV – Desplazamientos en los bordes).

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

σ qe

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Ωo

1=lr

2/1=lr

4/1=lrN= 4, 16, 36, 64, 100, 225

S-Hpropuesta

^

35

Estas diferencias se deben a la hipótesis adoptada por los autores respecto a que el

primer modo domina la respuesta del sistema, despreciando la existencia del segundo

modo y la correlación entre los mismos debido al acoplamiento del sistema.

Se destaca que los resultados de la Ecuación (2.26b) no presenta la misma particularidad

de la Ecuación (2.24) analizada en el apartado anterior es decir, la igualdad de las

desviaciones estándar obtenidas para valores recíprocos de 0Ω , fenómeno asociado al

predominio del término indicado en la Ecuación (2.33), a menos del coeficiente de

correlación nμ . Por el contrario las dispersiones obtenidas para aislamientos

torsionalmente flexibles son siempre menores que las obtenidas para aislamientos

torsionalmente rígidos, obteniéndose los mínimos valores en el entorno de 9.00 =Ω tal

como obtuvieron numéricamente de la Llera y Chopra (1994). Nuevamente se aprecia en

este caso que las dispersiones crecen en proporción inversa a la relación de lados lr y al

número de aisladores N .

II.9 Significado para los Códigos Comparamos en esta sección las amplificaciones máximas que se obtienen por

aplicación de las ecuaciones propuestas y las establecidas en distintos códigos tales

como el UBC (1997) y la NCh 2745 (2003). La ecuación propuesta por ambos códigos

en términos de la notación empleada en esta investigación está dada por:

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=224

121

bae

xqq eCMe (2.35)

En la que ex es la distancia entre el aislador considerado y el CR, e es la excentricidad

natural más la accidental. Esta última para un sistema estructural nominalmente

simétrico está dada, en general por el 5 % de la máxima dimensión perpendicular a la

dirección de la acción sísmica considerada. Sustituyendo ( )aeaxe 205.0y == resulta

36

1

1.1

1.2

1.3

1

1.1

1.2

1.3

E[ qe

] 95%

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 21

1.1

1.2

1.3

Ω0

21

3.01ˆlCM

ee rq

qq

++== (2.36)

Figura 2.10 Esperanza de amplificación máxima (95%) compuesto 5H . Sv constante. Comparación con la amplificación máxima esperada por el UBC.

En las Figuras 2.10 y 2.11 se grafica la Ecuación (2.36) para el espectro del UBC (1997)

y de la NCh2745 (2003) respectivamente, para una probabilidad de excedencia del 5% y

^

UBC

UBC

UBC

1=lr

2/1=lr

4/1=lrN= 4, 16,36, 64, 100, 225

37

considerando 4/1;2/1;1=lr , para el coeficiente de variación del compuesto 8H y para

225100;64;36;16;4 y=N .

Figura 2.11 Esperanza de amplificación máxima (95%) compuesto 5H . Sd constante. Comparación con la amplificación máxima esperada por la NCh 2745.

1

1.1

1.2

1.3

1

1.1

1.2

1.3

E[ qe

] 95%

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 21

1.1

1.2

1.3

Ω0

^

NCh 2745

NCh 2745

NCh 2745

1=lr

2/1=lr

4/1=lrN= 4, 16,36, 64, 100, 225

38

Se observa que, a menos de la variabilidad del CM no considerada en este análisis

ambas expresiones resultan muy conservadoras para relaciones lr bajas, aun para las

menores cantidades de aisladores, hecho que se encuentra explícitamente reconocido en

la norma NCh2745 (2003).

39

II.10 Conclusiones En esta investigación se han presentado desviaciones estándar reales de rigidez

obtenidas en un gran número de aisladores ensayados en el Laboratorio de Control de

Vibraciones del Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica de la Pontificia

Universidad Católica de Chile, hallándose que el coeficiente de variación kV para el

módulo G se encuentra comprendido entre el 9% y el 18%. Por otra parte se ha

desarrollado una expresión exacta que permite determinar la desviación estándar de la

respuesta en las esquinas de un sistema de aislamiento y, a partir de ella la esperanza de

amplificación para un nivel de confiabilidad del 95%. El análisis de los resultados

obtenidos en ésta investigación permite la obtención de las siguientes conclusiones:

1. Se ha determinado que el coeficiente de variación kV en aisladores elastoméricos

ensayados poseen valores %185 =kV y %98 =kV para los compuestos 5H y 8H

respectivamente.

2. El coeficiente de variación tiende a disminuir con el aumento del tamaño de la

muestra.

3. Se ha desarrollado una expresión exacta que vincula la dispersión en los bordes de un

sistema de aislamiento con el coeficiente de variación kV en los apoyos del aislamiento.

4. Se ha comprobado que la ecuación propuesta por Shenton y Holloway sobreestima la

dispersión en los bordes de un sistema de aislamiento, sobre todo en el entorno de la

razón de flexibilidad torsional 10 =Ω , valor muy usado en este tipo de sistemas de

protección sísmica.

40

5. La amplificación esperada en los bordes de un sistema de aislamiento real para un 5%

de probabilidad de excedencia es muy inferior al predicho por las normas actuales, a

menos de las excentricidades de masa que puedan presentarse.

6. La expresión analítica para determinar la amplificación torsional accidental que se

propone en la presente investigación se encuentra en excelente concordancia con los

resultados obtenidos mediante simulaciones de Monte Carlo.

7. La desviación estándar en la respuesta en el borde del sistemas de aislamiento es

menor para diseños que consideran un espectro de desplazamientos constante que para

aquellos que consideran un espectro de desplazamiento para seudovelocidad constante.

8. Las desviaciones estándar en los bordes de un sistema de aislamiento son

sustancialmente menores a los coeficientes de variación de los aisladores. Esta

consideración se encuentra vinculada al número de aisladores a disponer en un proyecto

determinado y al tipo de espectro de desplazamientos considerado.

9. Los sistemas torsionalmente flexibles ( 10 <Ω ) poseen menor dispersión que los

sistemas torsionalmente rígidos para espectros de seudovelocidad constante.

10. Los sistemas torsionalmente flexibles ( 10 <Ω ) presentan la misma sensibilidad a la

variación de rigidez de los aisladores que sus recíprocos ( 1/1 0 <Ω ) torsionalmente

rígidos para los espectros de desplazamiento constante.

III. INTERACCIÓN DINÁMICA AISLAMIENTO-SUPERESTRUCTURA

41

III INTERACCIÓN DINAMICA AISLAMIENTO –

SUPERESTRUCTURA III.1 Resumen En el presente estudio se investiga la respuesta sísmica de estructuras lineales con

aislamiento basal que poseen acoplamiento lateral-rotacional. Se pone el énfasis en el

desarrollo de procedimientos simplificados para estimar el desplazamiento de los bordes

de la superestructura y del sistema de aislamiento. Se modela la respuesta de sistemas

tridimensionales con la formulación de interacción aislamiento-estructura. Entre las

múltiples posibilidades de representar esta interacción, se seleccionan dos modelos

simplificados. El primer modelo toma en cuenta la interacción aislamiento-

superestructura a través de una corrección de la matriz de masas de la superestructura,

mientras que el segundo supone la respuesta seudo estática de la superestructura sujeta a

una distribución de tres fuerzas laterales de inercia. Cada distribución se origina en cada

uno de los tres modos de largo periodo del aislamiento. Además, se investiga la

precisión y el rango de aplicabilidad para ambos modelos para distintos parámetros y

movimientos del suelo. Se derivan expresiones simplificadas para calcular la respuesta

en los bordes del aislamiento y de la superestructura. Estas expresiones muestran mayor

precisión que las establecidas en los códigos actuales. Los resultados muestran que las

amplificaciones medias de desplazamiento raramente exceden 1.5, aunque se encuentran

valores mayores para movimientos particulares. Finalmente, se usa un modelo de

estructura asimétrica de 6 pisos como ejemplo para mostrar el procedimiento propuesto,

se comparan sus resultados con los valores máximos de respuesta reales obtenidos por

integración directa en ambos bordes.

42

III.2 Introducción El acoplamiento lateral-rotacional en estructuras con aislamiento sísmico ocurre como

resultado de asimetrías en planta, tanto en la superestructura como en el aislamiento.

Además, dado que las ecuaciones de movimiento del aislamiento y de la superestructura

se encuentran acopladas, cualquier asimetría en planta presente en cualquiera de los dos

subsistemas crea acoplamiento lateral-torsional en la estructura completa. Este

acoplamiento conduce a una demanda de desplazamiento irregular en la planta del

edifico, causando que algunos aisladores y algunos miembros de la superestructura

experimenten deformaciones y esfuerzos mayores que otros. Debido a que la experiencia

indica que el aislamiento sísmico puede emplearse en conjunto con estructuras

asimétricas, resulta de gran importancia obtener expresiones de diseño para estimar las

amplificaciones torsionales esperadas en el borde del aislamiento y de la superestructura.

Este capítulo se concentra en la respuesta torsional de la base y deja los efectos en la

superestructura para el Capítulo IV.

A pesar que la mayoría de los dispositivos de aislamiento presentan comportamiento no-

lineal de diferente magnitud, los modelos lineales equivalentes se usan frecuentemente

para representar el comportamiento de su constitutiva y estimar las tendencias del

comportamiento sísmico durante el diseño de una construcción en particular. Los

modelos lineales equivalentes son muy usados en la etapa de selección del aislador

debido a que éstos capturan la parte esencial de la respuesta sísmica. Esto se justifica en

la pequeña variación del periodo aislado para un amplio rango de desplazamientos (De

la Llera et al., 2004). Por ejemplo, en la Tabla III.1 se muestra la variación del periodo

propio de un sistema aislado, asumiendo como nivel de distorsión angular de diseño para

aisladores elastoméricos %150=γ . La Figura 3.1a muestra un ensayo típico de éste tipo

de aisladores, en la Figura 3.1b se muestra la variación del módulo G y del

amortiguamiento lineal equivalente ζ de un aislador típico versus la variación de la

distorsión angular máxima alcanzada en los aisladores. En la Tabla III.1 se aprecia que

para valores %250100 →=γ la variación del periodo propio del sistema aislado se

mantiene en un rango de +3 % a -2.5% respecto del periodo nominal. En esta tabla Δ es

43

0 5 10 15 20 25 30.0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

Deformacion (cm)

Cor

te (

MN

)

0 25 50 75 100 125 150 175.04

.06

.08

.10

.12

.14

.04

.06

.08

.10

.12

.14

γ (%)

G (

Mpa

)

ξ(%

)

ba

( )γG

( )γζ

la distorsión aplicada y ΔT la variación de periodo propio del aislamiento respecto del

correspondiente a γ = 100%. Con base en ésta observación en esta investigación se

considera un modelo lineal equivalente para los apoyos elastoméricos.

Tabla III.1 Variación del periodo de la estructura en función de γ Ensayo

γ = 50 % γ = 100 % γ = 150 % γ = 200 % γ = 250 % Muestra Δ

(cm) F

(ton) ΔT (%)

Δ (cm)

F (ton)

ΔT (%) Δ (cm) F

(ton) ΔT (%)

Δ (cm)

F (ton)

ΔT (%)

Δ (cm)

F (ton)

ΔT (%)

Cmed_04 8.00 19.95 10.70 16.00 34.41 2.80 24.00 48.86 0.00 32.00 63.32 -1.40 40.00 77.78 -2.30Cmed_09 8.00 15.98 6.20 16.00 29.25 1.60 24.00 42.52 0.00 32.00 55.79 -0.80 40.00 69.06 -1.30Cmed_28 8.00 27.72 11.00 16.00 47.62 2.90 24.00 67.53 0.00 32.00 87.43 -1.50 40.00 107.34 -2.30Cmed_38 8.00 29.47 11.40 16.00 50.38 3.00 24.00 71.29 0.00 32.00 92.20 -1.50 40.00 113.10 -2.40

Figura 3.1 Rigidez; módulo G secante y amortiguamiento ζ. Valores determinados para γ = 25, 50, 100, 150 y 175 %. Valores equivalentes obtenidos

experimentalmente. a) Fuerza-deformación y b) G(γ); ζ(γ).

En uno de los primeros trabajos sobre el tema Pan y Kelly (1983), concluyen que las

estructuras aisladas conducen al control natural del comportamiento acoplado lateral-

rotacional. Este estudio considera superestructura rígida y razón de flexibilidad torsional

dada por el cociente entre la frecuencia rotacional y la lateral 1)( =Ω b . Lee (1980)

también llega a una conclusión similar considerando superestructura rígida, con planta

rectangular, soportada por aisladores no-lineales, y sujeta a la acción de registros de

sismos reales. Como en el caso anterior, estudia un modelo con razón de flexibilidad

44

torsional 1)( =Ω b , en el que las masas y los dispositivos de aislamiento y disipación se

concentran en las esquinas de la planta. Posteriormente Nakamura et al. (1988), obtienen

esta misma conclusión mediante estudios experimentales en mesa vibratoria. Ellos

incluyen la superestructura con el objeto de medir su influencia en el sistema de

aislamiento, considerando modelos asimétricos de un solo piso ante la acción de algunos

sismos típicos, sin embargo los modelos empleados resultan muy escasos para

generalizar conclusiones. Contrariamente en el trabajo Papagorgiou y Lin (1989) se

observan amplificaciones en el sistema de aislamiento en mediciones de muy pequeños

movimientos realizadas en el edificio aislado del Law and Justice Center en Rancho

Cucamonga durante el sismo de Redlands (1985). A partir de este antecedente

Nagarajaiah et al. (1993), estudian en forma numérica la repuesta de edificios de

múltiples pisos montados sobre sistemas de aislamiento no lineales ante la acción de

algunos registros de terremotos. Incluyen en su estudio distintas relaciones de

flexibilidad rotacional y excentricidades en la masa de la superestructura con el objeto

de establecer su influencia en el sistema de aislamiento; también toman en consideración

distintas razones de flexibilidad torsional y excentricidades en el sistema de aislamiento.

Concluyen que en determinadas circunstancias la excentricidad de la superestructura

induce importantes amplificaciones en los bordes del sistema de aislamiento. A la

misma conclusión llegan Tena y Gómez (2002) en un estudio realizado bajo condiciones

similares. Posteriormente, Tena y Zambrana (2005) obtienen las mismas conclusiones al

estudiar sistemas de aislamiento asimétricos. Por otra parte, Kulkarni y Jangrid (2002)

evaluaron la influencia de la flexibilidad de la superestructura considerando distintos

tipos de aisladores lineales y no-lineales, concluyendo que la respuesta del sistema de

aislamiento no se ve mayormente afectada por la flexibilidad de la superestructura. Sin

embargo, la influencia es más significativa en la respuesta de aceleración total de los

entrepisos, tanto más cuanto mayor sea el periodo fundamental de base fija de la

estructura, y mayor la capacidad resistente (fluencia o fricción) del sistema de

aislamiento. Por su parte, Tena y Escamilla (2006) reportan que estas conclusiones son

aplicables sólo cuando el periodo propio del sistema aislado es 8 veces superior respecto

45

del periodo de la superestructura considerada con base fija. Finalmente, en una línea de

trabajo distinta Ryan y Chopra (2002) desarrollaron algunos métodos simplificados en

rango lineal para estudiar los efectos de la torsión en el sistema de aislamiento debido a

asimetrías en la planta de la superestructura.

Aunque con el mismo objetivo, el enfoque dado a esta investigación es diferente al

usado en investigaciones previas. El presente trabajo se basa en el análisis y la

interpretación de la interacción dinámica entre el aislamiento y la superestructura. La

comprensión de esta interacción nos permite explicar los resultados obtenidos por estos

investigadores en un único marco conceptual. Además, se avanza en el concepto del

control pasivo del acoplamiento lateral-torsional del sistema de aislamiento mediante el

uso de aislamiento lineal. Aunque la formulación de las ecuaciones de movimiento

basada en coordenadas relativas es bien conocido (Nagarajaiah et al., 1993), el énfasis

en este estudio se pone en la interpretación de la interacción dinámica que se produce

entre el aislamiento y la superestructura y en como la superestructura percibe el

movimiento de la base y viceversa. Debido a la formulación en coordenadas relativas, la

extensión de la formulación aquí presentada al caso no-lineal es directa.

Debido a que el interés consiste en la obtención de procedimientos simples para estimar

la amplificación de desplazamiento de los bordes del aislamiento, las soluciones

numéricas se mencionan solamente, mientras que el énfasis se pone en los

procedimientos modales y estáticos simples. Estos procedimientos se aplican

primeramente a estructuras monosimétricas y se extienden posteriormente a estructuras

totalmente asimétricas. Como ocurre habitualmente en estudios sobre torsión en

edificios, el control de la respuesta torsional se obtiene mediante el control de los

desplazamientos en los bordes de la planta del edificio. Este capítulo concluye con la

aplicación del procedimiento simplificado propuesto para estimar la amplificación

torsional a un ejemplo de estructura de múltiples pisos con aislamiento sísmico.

46

III.3 Modelo estructural y ecuaciones de movimiento El sistema estructural de múltiples pisos considerado en esta investigación se muestra

esquemáticamente en la Figura 3.2. La estructura se encuentra sujeta a dos componentes

traslacionales de movimiento del suelo, denotada como [ ]Tgygxg uu &&&&&& =u . Se definen tres

grados de libertad, dos traslacionales y uno rotacional, en el centro de masas (CM) de

cada piso de la estructura. Las losas de cada piso se asumen rígidas en el plano del

diafragma e infinitamente flexibles fuera de su plano. El caso estructural mas general

que puede considerarse corresponde a un edificio dividido por el sistema de aislamiento

en una superestructura y una subestructura. El uso de sistemas de aislamiento en pisos

intermedios se presenta frecuentemente en la práctica en estructuras con varios

subterráneos, en las cuales el sistema de aislamiento se dispone en la parte superior de

éstos. Esta disposición del sistema de aislamiento es más económica que aquellos con

aislamiento a nivel de fundación, ya que se elimina la necesidad de ejecutar un foso y

una losa adicional.

El enfoque de interacción dinámica que se presenta en esta investigación hace que las

coordenadas relativas sean las más ventajosas. Estas coordenadas se definen para un

edificio y se muestran en la Figura 3.2. Los desplazamientos de la subestructura relativas

al suelo se denotan como x, mientras que los desplazamientos del sistema de aislamiento

relativa a la subestructura se denotan como q, y los desplazamientos de la

superestructura respecto del plano de aislamiento como u.

Las matrices de colocación se definen como )(33

)(33

)(33 y,, s

Nbi

M ××× rrr , en las que M es el

número de subterráneos y N el número de pisos de la superestructura. Estas matrices de

colocación representan las configuraciones de desplazamientos estáticos en la parte

inmediata superior de la estructura. Por ejemplo )( ir representa el desplazamiento que se

produce en la subestructura como resultado de un desplazamiento unitario en el suelo; )( br representa los desplazamientos que se producen en el aislamiento como resultado

de un desplazamiento unitario de la subestructura; y )( sr son los desplazamientos que se

47

verifican en la superestructura como resultado de un desplazamiento unitario en el


Figura 3.2 Sistema superestructura – aislamiento considerado y grados de libertad relativos (Caso general: superestructura, sistema de aislamiento y subestructura).

Entonces, el desplazamiento total de la superestructura en formato anidado se expresa

como

superestructura

aislamiento

subestructura

48

( )[ ]gibst urxrqruu )()()()( +++= (3.1)

La relación entre las coordenadas relativas y totales puede escribirse mediante la

siguiente matriz triangular superior de transformación cinemática

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

g

i

ibb

ibsbss

tg

t

t

t

uxqu

I000rI00

rrrI0rrrrrrI

uxqu

)(

)()()(

)()()()()()(

)(

)(

)(

)(

(3.2)

Partiendo de las ecuaciones usuales de movimiento de la estructura escrita en

coordenadas relativas al suelo, se puede usar esta transformación para rescribir las

ecuaciones en coordenadas relativas. El uso de esta transformación conduce al siguiente

sistema de ecuaciones de movimiento:

( )( ) ( )

( )( )

gi

ibbssTsTb

bbssTs

bss

i

b

s

(i)

(b)

(s)

ibbssTsTbbssTsTbsTsTb

bbssTsbssTssTs

bsssss

urmrmrmrr

rmrmrrrm

xqu

k000k000k

xqu

c000c000c

xqu

mrmrmrrmrmrrmrrrmrmrmrmrmr

rrmrmm

&&

&

&

&

&&

&&

&&

)(

)()()()()()()(

)()()()()(

)()()(

)(

)(

)(

)()()()()()()()()()()()()()()(

)()()()()()()()()()()(

)()()()()()(

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++

(3.3)

Los desplazamientos relativos de la superestructura y de la subestructura en la Ecuación

(3.3) pueden también expresarse en términos de coordenadas modales Ψ , aplicando las

transformaciones de coordenadas )()()()( ; iiss ΨΦxΨΦu == a las Ecuaciones (3.2) y (3.3)

conduciendo a:

49

(3.4)

Este sistema puede resolverse sin ninguna dificultad, sin embargo para efectos de esta

investigación y con el objeto de facilitar su comprensión, se restringe al caso en que sólo

existen dos sistemas interactuando esto es, superestructura y aislamiento.

Todos los grados de libertad se definen en el centro de masas (CM) de cada piso. Se

asume por simplicidad que los centros de masa de todos los pisos se encuentran

alineados por una vertical y que la interacción entre la superestructura y el aislamiento

se produce solo a través de movimientos laterales y rotacionales. La extensión del

análisis al caso en que los CM tienen posiciones arbitrarias es muy simple. Por otra parte

la interacción lateral asumida funciona muy bien para aisladores elastoméricos cuyas

fuerzas restauradoras son poco sensitivas a acciones verticales.

La deformación del piso j-ésimo de la superestructura se define como:

[ ]Tjjy

jx

j uuu )()()()(θ=u con Nj L1= ; medidos en forma relativa al aislamiento con la

coordenada rotacional normalizada como ρθ=θ)()( s

jju , donde 12/)(2 22 ca +=ρ es el

radio de giro de las masas de una planta rectangular (Figura 3.2).

Las deformaciones del aislamiento están dadas por: [ ]Tyx qqq θ=q y se miden en

forma relativa al suelo con la rotación normalizada definida como )( bq θρ=θ . El suelo

puede experimentar aceleraciones laterales y rotacionales, las que se encuentran

( )( ) ( )[ ]

( )( )[ ]

gb

ibbssTsTbTi

bbssTs

bssTs

i

s

iiTi

b

ssTs

i

s

iiTi

b

ssTs

i

s

iibbssTsTbTibssTsTbTisTsTbTi

bbssTsbssTssTs

bssTsssTsssTs

ur

mrmrmrrΦ

rrm

rrmΦ

Ψ

q

Ψ

ΦkΦ

k

ΦkΦ

Ψ

q

Ψ

ΦΦ

ΦΦ

Ψ

q

Ψ

ΦmmmΦmmΦmΦ

rmrmrmrmrmr

rrmΦrmΦΦmΦ

mr

000000

c000c000c

rrrrrrrrr

&&

&

&

&

&&

&&

&&

)(

)()()()()()()()(

)()()()()

)()()()(

)(

)(

)()()(

)(

)()()(

)(

)(

)()()

)(

)()()(

)(

)(

)()()()()()()()()()()()()()()()()()()

)()()()()()()()())()(

)()()()()()()()()()(

(

(

(

(

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++

50

contenidas en el vector gu&& . Entonces, la ecuación general de movimiento de la estructura

en coordenadas relativas está dada por (Nagarajaiah et. al., 1993):

g(b)

(t)

(s)(s)

(b)

(s)

(b)

(s)

(t)(s)T(s)

(s)(s)(s)

urm

rmqu

k00k

qu

c00c

qu

mmrrmm

&&&

&

&&

&&⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ (3.5)

Donde (b)N

j

(s)j

(b)(s)(s)T(s)(t) mmmrmrm +=+= ∑=1

representa la masa sísmica total de la

estructura; [ ]T(s)333333

~~~×××= IIIr L es la transformación cinemática entre el movimiento

de la base y de la superestructura; [ ]33

~×= Ir (b) es la transformación cinemática de cuerpo

rígido entre el movimiento del suelo y del aislamiento, con [ ]ρ= 11~

diagI ;

33)()(

×= Im jj m , con bsj ,= , en la que esta última matriz es un bloque genérico de la

matriz de masas normalizada para el piso j-ésimo, donde )( jm es la masa traslacional e

33×I , la matriz identidad de orden 3; )( sk y )( sc son las matrices de rigidez y

amortiguamiento de la superestructura (base fija); y )( bk y )( bc , las correspondientes

matrices para el aislamiento.

Debido al uso de coordenadas relativas y el desacoplamiento lateral y vertical de la

superestructura y del aislamiento, la determinación de las matrices de amortiguamiento

no-clásico correspondientes para el sistema es muy simple, esto es:

)()()()()()( sTsssTss mΦcΦmc = (3.6)

)()()()()()( tTbbbTtb mΦcΦmc =

donde )( bΦ son los modos del par )()( ; bb mk ; [ ] )3:1(/2 )()()()( Nim si

si

si

s =ωζ=diagc y

[ ] ( )3:12 )()()()( =ωζ= jm bj

bj

bj

b diagc ; son las matrices de amortiguamiento modal de la

superestructura y de la base ; )()()()( ssTss ΦmΦm = y )()()()( bbTbb ΦmΦm = las

correspondientes matrices de masa modal, )(siζ , )(s

iω , )(bkζ , y )(b

kω son las cantidades de

amortiguamiento y las frecuencias acopladas de la superestructura con base fija y los del

51

sistema de aislamiento con la superestructura actuando como cuerpo rígido. Se suponen

amortiguamientos constantes del 5% y 15% para la superestructura y el aislamiento,

respectivamente.

Note que esta formulación se puede extender sin mayor dificultad al caso usual en que el

sistema de aislamiento se encuentra en la parte superior de los subterráneos, esto es,

entre los subterráneos y la superestructura. Se pueden encontrar muchos tipos de

ejemplos de construcciones con este tipo de solución en la práctica Chilena (De la Llera

et al., 2004). También puede ser convenientemente extendido para incluir sistemas con

no-linealidad elástica y geométrica (Junemman, 2006).

III.4 Problema de interacción base-superestructura Una aproximación para entender la respuesta tridimensional de una estructura

sísmicamente aislada es rescribir las Ecuaciones (3.5) como un problema de interacción

de dos subsistemas simplemente moviendo al lado derecho de la ecuación los términos

acoplados de la matriz de masas

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡umrurmurrmqrm

qu

k00k

qu

c00c

qu

m00m

&&&&

&&&&

&

&

&&

&&(s)T(s)

g(b)(t)

g(b)(s)(s)(s)(s)

(b)

(s)

(b)

(s)

(t)

(s)

(3.7)

Así, resulta evidente que la interacción dinámica entre los dos subsistemas puede ser

representado por los términos de inercia. Para una estructura aislada típica con una

buena separación entre los periodos aislados y los de base fija (Tena y Escamilla, 2006),

se puede obtener una buena aproximación para la respuesta dinámica asumiendo que la

superestructura es rígida (Kulkarni y Jangrid, 2002).

Si imponemos matemáticamente esta suposición, implica que 0u =&& en el lado derecho

de la Ecuación (3.7), la interacción entre los dos subsistemas desaparece, llevando la

ecuación desacoplada de la base a la forma

52

gurmqkqcqm &&&&& )()()()()( btbbt −=++ ∞∞∞ (3.8)

Sin embargo, una observación obvia es que la Ecuación (3.7) muestra explícitamente

que las características laterales-torsionales de la superestructura no son esenciales dado

que la interacción de la superestructura sobre el aislamiento disminuye en la medida en

que la superestructura es más rígida.

Contrariamente, los efectos de interacción del aislamiento en la superestructura son

siempre importantes y nos permitirán en la mayoría de los casos controlar los efectos del

acoplamiento lateral torsional en la superestructura cambiando las propiedades del

sistema de aislamiento (Capítulo IV). A continuación presentamos una estrategia del

tipo predictor-corrector para integrar en forma exacta el sistema de Ecuaciones (3.7).

Mediante la integración de la Ecuación (3.8) obtenemos una primera aproximación de la

aceleración relativa del aislamiento q&& . Introduciendo esta aproximación en la primera de

las Ecuaciones (3.7) obtenemos una primera aproximación del vector de aceleraciones

de la superestructura u&& . Introduciendo la estimación del vector de aceleraciones u&& en la

segunda de las Ecuaciones (3.8) se obtiene una estimación corregida de las aceleraciones

del aislamiento q&& . La iteración continúa entonces alternando entre los dos bloques de las

Ecuaciones (3.8). Esta estrategia de integración de tipo predictor-corrector funciona

extremadamente bien y converge a la respuesta exacta en unas pocas iteraciones.

Denotamos a éste como Modelo EXacto (MEX) en la Figura 3.3 y se corresponde con

las variables 1321 =α=α=α .

El lector puede preguntar por que es necesario aplicar este procedimiento particionado

en lugar de integrar directamente las Ecuaciones (3.7) como un único bloque de

ecuaciones. No es la intención de los autores propiciar el uso de este esquema

particionado, sin embargo éste permite la separación de la modelación estructural de la

superestructura y del aislamiento, y por lo tanto, considerar distintos niveles de

aproximación, consideraciones de modelación estructural para ambos sistemas, diferente

software y explorar diferentes soluciones para el aislamiento sin afectar el diseño

53

umrurmqkqcqm &&&&&&& (s)(s)1

(b)(t)(b)(b)(t) Tg α−−=++

gu&&

u&&

qq,&

)( (b)(b)1(t)(s)(s)(s)(s)3

(s)2 qcqkmrmukucum &&&& +=+α+α

−~ u,u&

convencional de la superestructura. En efecto, representa una forma gruesa de realizar un

procesamiento en paralelo para el diseño práctico de estructuras aisladas.

Figura 3.3 Representación del cuadro de flujo de la interacción dinámica. Sistema aislamiento-superestructura; los tres valores de α1, α2 y α3, conducen a los tres

modelos considerados y presentados en la tabla.

III.5 Modelo de masa corregida La interacción dinámica entre la base y la superestructura presente en la Ecuación (3.7)

puede interpretarse en forma algo diferente. Antes de usar estos resultados para evaluar

los distintos niveles de aproximación obtenidos mediante los diferentes niveles de

flexibilidad asumidos para la superestructura, es de mucha utilidad resolver la segunda

de las Ecuaciones (3.7) para la aceleración q&& y sustituir su valor en la primera de las

Ecuaciones (3.7). Esta sustitución conduce a una representación exacta de la respuesta

de la superestructura en términos de los desplazamientos q y velocidades q& del

aislamiento

Modelo Exacto

Modelo de Masa Corregida

Modelo Cuasi-Estático

α1 1 0 0 α2 1 1 0 α3 1 1 0

54

( ) t(s)(s)(b)(b)(t)(s)(s)(s)(s)(s)∞

− =+=++ qrmqkqcmrmukucum &&&&&& 1~ (3.9)

Donde ( )(s)T(s)(t)(s)(s)(s)(s) mrmrmmm 1~ −−= se puede interpretar como la matriz de masas

corregida de la superestructura; y ( )qkqcmq )()(1)( bbtt += −∞

&&& es la entrada para la

superestructura y puede interpretarse como la aceleración total asociada con la

superestructura rígida. Si se considera una superestructura rígida para determinar q y q&

, estamos introduciendo un modelo aproximado y este Modelo de Masa Corregida

(MMC) se obtiene con los parámetros 1;0 321 =α=α=α en la Figura (3.3). Dos

observaciones acerca de la Ecuación (3.9). Primero, la superestructura percibe la

interacción dinámica entre base y superestructura como una reducción de su masa

dinámica (interacción inercial), y segundo, la excitación para la superestructura )( t∞q&& ,

estará controlada por tres largos periodos correspondientes al movimiento del

aislamiento. Además, este movimiento estará controlado por frecuencias )( bjω ,y por los

modos del aislamiento correspondientes a superestructura rígida, )( bΦ . Esto tiene varias

implicancias en la eventual respuesta inelástica de la superestructura sísmicamente

aislada sujeta a una excitación compuesto por pulsos largos, pero este aspecto se

encuentra más allá del alcance de este estudio.

III.6 Modelo cuasi-estático Debido a que la excitación de la superestructura se encuentra dominado por los tres

modos fundamentales de largo periodo del aislamiento y teniendo en cuenta que el

efecto de interacción implica una disminución de la masa de la superestructura y por lo

tanto un aumento de sus frecuencias fundamentales, resulta intuitivamente atractivo

proponer un modelo simplificado que desprecie la respuesta dinámica de la

superestructura y que asuma que el problema se reduce a una acción estática en su base.

Este Modelo Cuasi-Estático (MCE) posee parámetros 0321 =α=α=α en la Figura

(3.3) y puede interpretarse como la relación algebraica estática

55

t(s)(s)(s)∞= qrmuk && (3.10)

Advierta que en esta ecuación el término t(s)(s)∞qrm && son las fuerzas de inercia en los

distintos pisos de la superestructura para un campo de aceleraciones del tipo de cuerpo

rígido.

En el diagrama de bloques de la Figura (3.3) se describen los tres modelo estructurales,

el modelo exacto (MEX), el modelo de masa corregida (MMC) y el modelo cuasi

estático (MCE) representado por distintos valores de los parámetros 321 ααα ,, . Las

flechas en este diagrama indican el flujo de las variables de entrada y salida para ambos

bloques de la Ecuación (3.7). Se podrían introducir varias aproximaciones para integrar

las ecuaciones de movimiento en este punto; sin embargo, las tres aproximaciones

resultan significativas en términos de su interpretación física. Definiendo como razón de

flexibilidad torsional al cuociente entre la frecuencia rotacional y la traslacional del

sistema nominalmente simétrico de la superestructura y del sistema de aislamiennto )(

0)(

0)(

0s

yss ωω=Ω θ y )(

0)(

0)(

0b

ybb ωω=Ω θ , respectivamente, comparamos a continuación los

tres modelos en términos de su exactitud numérica y rango de aplicabilidad.

Consideremos las funciones de respuesta en frecuencia (FRF) de un edificio de 6 pisos

con una relación de lados 5.0== acrl para una componente sísmica unidireccional

)(tu gy mostradas en la Figura (3.4). El periodo, amortiguamiento, excentricidad de

rigidez y razón de flexibilidad torsional son sT s 4.0)( = , 05.0)( =ζ s , ρ= 25.0)( ssxe , y

21.)s( =Ω para la estructura de base fija y sT b 5.2)( = , 15.0)( =ζ b , 0)( =bsxe , y 2.1)( =Ω b

para el aislamiento con superestructura rígida. Comparamos en las Figuras 3.4a y 3.4b

los módulos de las FRF para la deformación de entrepiso )( ωjH drift y aceleración

)( ωjH acc del techo en sus bordes rígido y flexible, obtenidas para los tres modelos

considerados.

56

a) Deformación de entrepiso en los bordes del techo

b) Aceleración en los bordes del techo

Figura 3.4 FRF para el techo, deformación de entrepiso y aceleración. Obtenidas en los bordes de un edificio de 6 pisos ( 5.0=ac , sT s 4.0)( = , ρ= 25.0)( s

sxe , 2.1)(

0 =Ω s , 05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , 0)( =bsxe , 1)(

0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b ) para una excitación unidireccional )(tu gy .

Es evidente que los modelos MEX y MMC son esencialmente idénticos para todo el

rango de frecuencias considerado en el análisis. Esto implica que la corrección de masa

incluida en el MMC captura extremadamente bien la interacción dinámica entre la base

y la superestructura.

0.1 1 10 100

10−6

10−4

10−2

|Hdr

ift(jω

)|Flexible edge

Frequency (hz)

EXMMCMQSM

0.1 1 10 100

Stiff edge

Frequency (hz)

0.1 1 10 10010

−3

10−2

10−1

100

101

|Hac

c(jω)|

Flexible edge

Frequency (hz)

EXMMCMQSM

0.1 1 10 100

Stiff edge

Frequency (hz)

MEX MMC MCE

MEX MMC MCE

Frecuencia (hz) Frecuencia (hz)

Frecuencia (hz) Frecuencia (hz)

Borde flexible Borde rígido


57

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Fle

xibl

e ed

gero

of a

ccel

erat

ion

(g)

Maximum (g): EXM=0.122, MCM=0.128, QSM=0.114

Minimum (g): EXM=−0.116, MCM=−0.116, QSM=−0.096

EXMMCMQSM

0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Time(s)

Stif

f edg

ero

of a

ccel

erat

ion

(g)

Maximum (g): EXM=0.123, MCM=0.124, CSM=0.114

Minimum (g): EXM=−0.104, MCM=−0.105, CSM=−0.096

−1

−0.5

0

0.5

1

Fle

xibl

e ed

gero

of d

rift (

cm)

Maximum (cm): EXM=0.71, MCM=0.71, QSM=0.68

Minimum (cm): EXM=−0.8, MCM=−0.83, QSM=−0.82

EXMMCMQSM

0 2 4 6 8 10 12 14 16−1

−0.5

0

0.5

1

Time(s)

Stif

f edg

ero

of d

rift (

cm)

Maximum (cm): EXM=0.29, MCM=0.29, QSM=0.29

Minimum (cm): EXM=−0.35, MCM=−0.35, QSM=−0.34

Máximo (cm): MEX=0.71; MMC=0.71, MCE=0.68

Mínimo (cm): MEX=-0.8; MMC=-0.83, MCE=-0.82

Máximo (cm): MEX=0.29; MMC=0.29, MCE=0.29

Mínimo (cm): MEX=-0.35; MMC=-0.35, MCE=-034

MEX MMC MCE

MEX MMC MCE

Máximo (g): MEX=0.122, MMC=0.128, MCE=0.114

Máximo (g): MEX=0.123, MMC=0.124, MCE=0.114

Mínimo (g): MEX=-0.116; MMC=-0.116, MCE=-0.096

Mínimo (g): MEX=-0.104; MMC=-0.105, MCE=-0.096

Bor

de fl

exib

le

Def

orm

ació

n de

l tec

ho (c

m)

Bor

de rí

gido

D

efor

mac

ión

del t

echo

(cm

) B

orde

flex

ible

A

cele

raci

ón d

el te

cho

(g)

Bor

de rí

gido

A

cele

raci

ón d

el te

cho

(g)

Tiempo (s)

Tiempo (s)

a) Deformación de entrepiso en los bordes del techo

b) Aceleración en los bordes del techo Figura 3.5 Comparación de MEX, MMC, y MCE deformaciones de entrepiso y

aceleraciones de techo. Obtenidas para un edificio de 6 pisos ( 5.0=ac , sT s 4.0)( = , ρ= 25.0)( s

sxe , 2.1)(0 =Ω s ,

05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , 0)( =bsxe , 1)(

0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b ) y sujeto a una excitación bidireccional.

58

Contrariamente el modelo sin corrección de masa, pero en formato idéntico al MMC, es

significativamente peor en términos de exactitud numérica. Por otro lado, para las

respuestas con contenido amplio de frecuencias, esto es de 2 a 3 Hz., el MCE da una

razonable aproximación, especialmente en términos de deformaciones de entrepiso de la

superestructura.

Como era de esperarse, dada la gran participación de las armónicas de alta frecuencia en

las aceleraciones del techo mostradas en la Figura 3.4b, el rango de exactitud numérica

del MCE disminuye en este caso, pero permanece bastante amplio. Note finalmente que

las deformaciones de entrepiso y aceleraciones se encuentran dominadas en este ejemplo

por la frecuencia fundamental aislada de 0.4 Hz.

Se presentan en la Figura 5 la deformación de entrepiso y la aceleración a nivel de techo

para los bordes rígido y flexible de la estructura de 6 pisos descrita previamente. Las

líneas: sólida, de trazos y puntos, y de trazos, corresponden a la respuesta de los modelos

MEX, MMC y MCE respectivamente. Los dos modelos aproximados, MMC y MCE

son capaces de predecir con precisión la historia de desplazamientos de entrepiso, las

que difieren en un factor de 2 entre bordes como consecuencia del acoplamiento lateral-

torsional presente en la superestructura. A pesar que no se presenta en la Figura, la

precisión de la respuesta predicha para el aislamiento es siempre mejor que para la

superestructura.

En este caso, el error predicho por el MCE obtenido en el instante de la máxima

deformación de entrepiso es menor que el 4.5% y ocurre para el borde flexible. Por otra

parte, el error en la predicción del MCE tiende a incrementarse cuando se consideran las

aceleraciones en los bordes y las máximas discrepancias son claramente, para la línea

de trazos mostrada en la parte b) de la Figura 5 como resultado de la contribución de los

modos superiores que son filtrados por el MCE. Solo como referencia, el error del

modelo MCE en el instante del máximo de aceleraciones en los dos bordes es menor que

el 7%. Además, el MMC muestra excelente precisión para los desplazamientos de

entrepiso y aceleraciones de la superestructura.

59

0 5 10 15 2010

−1

100

101

102

Fre

quen

cy (

hz)

Mode number

EXMMCM

0 5 10 15 200

2

4

6

8

10

12

14

16D

ampi

ng (

%)

Mode number

EXMMCM

MEX MMC

MEX MMC

Am

ortig

uam

ient

o(%

)

Frec

uenc

ia (h

z)

Número de Modo Número de Modo

Comparamos en la Figura 3.6 las 21 frecuencias modales y amortiguamientos de la

estructura de 6 pisos aislada del edificio considerado previamente. Estos valores se han

obtenido para los modelo MEX y MMC para una estructura con sT s 4.0)( = , 05.0)( =ζ s ,

ρ= 25.0)( ssxe , y 2.1)(

0 =Ω s , sT b 5.2)( = , 15.0)( =ζ b , 0)( =bsxe , y 1)(

0 =Ω b . Las frecuencias

modales y amortiguamientos para el MMC corresponden al sistema descrito por la

Ecuación (3.5) donde despreciamos, o igualamos a cero el término fuera de la diagonal

del segundo bloque de las ecuaciones ( )T)s(T)s( mr . Notar que el MMC es capaz de

representar con precisión las frecuencias modales del modelo exacto, lo que enfatiza la

importancia de tener en cuenta el término de corrección de la matriz de masas de la

superestructura.

Figura 3.6 Comparación entre la respuesta del MEX y el MMC; frecuencias modales y amortiguamientos.

Obtenidas para un edificio de pisos aislado con 5.0=ac , sT s 4.0)( = , ρ= 25.0)( ssxe ,

2.1)(0 =Ω s , 05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , 0)( =b

sxe , 1)(0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b .

Sin embargo, el MMC subestima levemente el amortiguamiento de los modos de la

superestructura. Esta reducción en el amortiguamiento explicará a continuación por que

el MMC conduce a una estimación conservativa de la respuesta del aislamiento y de la

superestructura.

60

Tabla III.2 Registros de aceleraciones empleados en el análisis

Grupo Registro Dirección MAS (g)

MVS (cm/s)

MDS (cm)

Suelo II Melipilla N00E -0.687 34.289 13.300 Suelo II Llo Lleo N10E -0.713 -40.295 -10.786 Suelo III Viña del Mar S20W 0.363 30.742 -5.534 Suelo III Arleta N00E 0.344 40.360 8.880 Suelo II Corralitos N00E 0.630 -55.200 12.030 Suelo I El Centro N00E -0.348 -33.450 -12.360 Suelo II Kobe N00E 0.822 81.300 -17.690 Suelo II Sylmar N00E 0.843 -128.880 -30.670

Suelo I: Vs>900m/s Suelo II: 400 m/s< Vs <900 m/s Suelo III: Vs < 400 m/s

Se presenta en la Figura 7 el análisis para un amplio rango de respuestas de edificios de

6 pisos en términos de espectro de error de los distintos modelos. Los resultados se

presentan para excitación bidireccional y corresponden a valores medios obtenidos para

los 8 registros de movimiento indicados en la Tabla III.2.

La abcisa representa la razón entre el periodo de base fija y aislado de la estructura, )()( bs TT , y las ordenadas el error obtenido en la respuesta máxima. Las propiedades

geométricas y dinámicas de la estructura de 6 pisos aislada son 5.0=ac , sT s 4.0)( = ,

ρ= 20.0)( ssxe , 05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , 0)( =b

sxe , 1)(0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b . Consideramos tres

casos para la superestructura 2.1,0.1,8.0)(0 =Ω s , rango que cubre desde estructuras

torsionalmente flexibles a rígidas. La primera columna de figuras muestra el error de

considerar la superestructura como cuerpo rígido respecto del MEX en la deformación

de entrepiso en los bordes flexible y rígido de la base respectivamente, la segunda y

tercera columna muestran el error medio en la deformación de entrepiso en el techo de la

superestructura en los bordes flexible y rígido, respectivamente.

61

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Ts/T

b

Mod

el e

rror

Base deformation error at both edges

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5T

s/T

b

Roof drift error at flexible edge

Ωs=0.8

Ωs=1.0

Ωs=1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5T

s/T

b

Roof drift error at stiff edge

borde flexible

borde rígido

MMC

MCE

MMC

MCE

a) b) c)

Er

ror

Error de deformación en la base. Error en el techo. Borde flexible. Error en el techo. Borde rígido.

Figura 3.7 Predicción media del error MMC y MCE para un edificio de 6 pisos.

5.0=ac , sT s 4.0)( = , ρ= 20.0)( ssxe , 05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , 0)( =b

sxe , 1)(0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b ;

sujeto a 8 registros de movimientos: a) deformación en la base en ambos bordes y deformación de entrepiso en el techo b) borde flexible, y c) borde rígido.

En general, los errores aumentan con el incremento de la razón de periodos )b()s( TT (Tena y Escamilla, 2007) y mientras que el MMC tiende a sobreestimar la

respuesta del aislamiento y de la superestructura, esto es del lado conservativo, el MCE

tiende a subestimar esta respuesta. Además, la predicción del error de los modelos tiende

a ser mayor para superestructuras torsionalmente flexibles que para las torsionalmente

rígidas.

La predicción de error en los modelos para las deformaciones de entrepiso del

aislamiento son menores para el borde rígido, y para los dos bordes es menor que el 10%

si la razón de periodos de la estructura 4.0)()( <bs TT . Mientras que los errores en las

deformaciones de entrepiso del techo son menores en el borde flexible para el MCE, el

MMC es mas preciso en la estimación de la deformación de entrepiso en el borde rígido.

62

La región de error menor o igual al 10% para el MMC y la deformación de entrepiso del

borde flexible requiere de estructuras con razón de periodo 3.0)()( <bs TT , y para la

deformación de entrepiso del borde rígido del MCE estructuras con razón de periodos

1.0)()( <bs TT

III.7 Estimación espectral de la interacción superestructura-aislamiento Debido al comportamiento dominante de los modos aislados en la respuesta dinámica de

la estructura, y teniendo en cuenta el buen nivel de aproximación obtenido usando las

Ecuaciones (3.9) y (3.10), resulta posible estimar la respuesta de la superestructura y de

la base mediante un análisis modal simplificado.

Comenzamos asumiendo que la descomposición modal de la ecuación de movimiento

del aislamiento (Ecuación (3.8)) es de la forma ( ) ( )tt bb )()( ΨΦ=q , donde )( bΦ es la

matriz modal de 33× de la estructura aislada con superestructura rígida y )( bΨ son las

coordenadas modales correspondientes. Una descomposición similar se presenta para

( )tu en la Ecuación (3.9) esto es, ( ) ( )tt ss )()( ΨΦ=u done )( sΦ es la matriz modal de la

superestructura y )( sΨ las correspondientes coordenadas modales.

Se puede expresar la respuesta de la base en coordenadas modales asumiendo

superestructura rígida (Ecuación (3.8)) como:

g

bbbbt ukcm &&&&& (b)L−=++ )()()()()( ~~~ ΨΨΨ (3.11)

Donde )()()()(~ btTbt ΦΦ mm = , )()()()(~ bbTbb ΦΦ cc = , y )()()()(~ bbTbb ΦΦ kk = son las matrices

de masa, amortiguamiento y rigidez modal para el aislamiento con superestructura

rígida; )()()()( btTbb rmΦ=L es el vector de participación modal; y )( bΦ son los modos que

resultan del problema 2)()()()()( bbtbb ΛΦΦ mk = , donde [ ]2)(3

2)(2

2)(1

bbb ωωω=)( diagΛ 2b .

Suponiendo amortiguamiento clásico, la Ecuación (3.11) es un conjunto de tres

63

ecuaciones diferenciales de movimiento desacopladas. Cada una de las cuales se puede

expresar como:

3,2,1,~2 )(2)()()()()( =−=Ψω+Ψωζ+Ψ kum g

bk

bk

bk

bk

bk

bk &&&&&

(b)k

(b)kL (3.12)

Repitiendo la descomposición modal para la ecuación aproximada de la superestructura

(Ecuación (3.9)) y dejando de lado la velocidad en el aislamiento

Njmm

bs

jbTs

jsj

sj

sj

sj

sj

sj ×==−=Ψω+Ψωζ+Ψ 3,,1,~~2 )(

)()()()(2)()()()()( L&&& Ψ

Ψφ(s)j

(s)j

LJ (3.13)

donde N es el número de pisos y JTsj

sj

)()( φ=L , con J determinado como:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=2(b)(b)

2(b)(b)

ΛΦm

ΛΦmJ

)(

)(1

sN

s

M (3.14)

y definido por ( ) )()(1)()()( bbtss ΦkmrmJ −= . Como puede apreciarse de la Ecuación

(3.14), cada bloque columna de la matriz ( )Nii ×= 3,,1)( LJ representa las fuerzas de

inercia que se aplican en la superestructura como resultado de cada modo de vibración

de la base. El valor esperado del máximo de ( )tbk

)(Ψ es:

( )( )[ ] )()(

)(max bdkt

k

bk S

mtE

(b)kL=Ψ (3.15)

Y tomando el máximo y el valor esperado en la Ecuación (3.13) para cada modo de la

base,

( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ]tEutE bk

sj

n

jkjkk

)()(

1

0 maxmax Ψ== ∑=

φur (3.16)

( ) ( ) 3,2,10

1

)(0

1

)(0)(

)()(

=Ψ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== ∑∑

==

kuum

Sk

n

j

sjkj

n

j

sjkjt

k

bdk

bk φφ

L

donde ( ) ( )( ) )(

,3)(0 ~/ s

jkNTs

jkj mu Jφ= y 0kΨ es el máximo valor de la coordenada modal k-

ésima de la base. El término correspondiente a la entrada en la Ecuación (3.9) puede

64

escribirse como )()( tbΨJ ; este resultado se emplea en el miembro derecho de la

Ecuación (3.13). Por lo tanto, el término (b)Ψφ JTsj

)( en la Ecuación (3.13) representa la

excitación del aislamiento proyectado en la base modal de la superestructura. Este

resultado es muy intuitivo y permite realizar una interpretación física del problema de

interacción que puede expresarse como sigue:

Postulado: La respuesta ante la acción de un terremoto de una superestructura aislada

estará controlada principalmente por la respuesta dinámica del aislamiento. Así, la

combinación de las respuestas modales del aislamiento constituye la excitación de

movimiento en la base de la superestructura. Por lo tanto, la respuesta elástica e

inelástica de la superestructura estará condicionada por los movimientos de baja

frecuencia del aislamiento, esto es, para las altas frecuencias de la superestructura, este

movimiento se percibirá como una excitación estática.

De acuerdo con el postulado el movimiento del aislamiento constituye un excitación de

baja frecuencia para la superestructura. Por lo tanto, se puede proponer una

aproximación estática para la respuesta dinámica de la estructura ignorando los términos

dinámicos en la Ecuación (3.13). Esto conduce a la aproximación para la

superestructura:

I

stssst Rfqrmku )()()(1)()( −=−= ∞− && (3.17)

Donde )s(f representa la flexibilidad de la superestructura y tss

I ∞= qrmR &&)()(

el vector

de fuerzas de inercia debidas a la aceleración total t∞q&& . Sustituyendo la Ecuación (D.6)

(ver Anexo D), la anterior puede expresarse como,

( ) ( ) tk

kk

kk tt ∞

==∑∑ == ΨΦuu &&

3

1

3

1

(3.18)

Donde 0)()()(k

sssk ΦrmfΦ −= y ( ) t

kkk t ∞= ΨΦu && representan la distribución de fuerzas de

inercia y la deformada de la estructura como resultado del k-ésimo modo de vibración

del aislamiento respectivamente.

65

Entonces la Ecuación (3.16) permite estimar los máximos modales a través de

[ ] [ ] ( )[ ])(2)())(())(( )()()()(2)( ttmáxEtmáxEtmáxE b

kb

kb

kb

kb

kkt

kkkk Ψωζ+Ψω=Ψ== ∞&&& ΦΦur

( 3.19)

Lo que muestra que la respuesta de la superestructura se obtiene por la superposición

escalada de las respuestas en el tiempo de la base multiplicadas por los seudo modos de

vibración de la superestructura jΦ . También se puede apreciar que el único término que

depende del tiempo son las coordenadas modales del aislamiento ( )tbk

)(Ψ , ( )tbk

)(Ψ& .

La Ecuación (3.19), asumiendo movimiento estacionario y de acuerdo al anexo E,

podemos escribirla como

kkkb

dkbk

bkb

kb

kkk ASm

Γ=ωζ+= ΦΦr )()(

)(2)(2)(

~41L (3.20)

Donde )b(dkS es el desplazamiento espectral correspondiente a la frecuencia k-ésima de la

base, )()()()( btTbk

bk rmφ−=L es el factor de participación modal k-ésimo del aislamiento,

)()( ~ bk

bkk mL=Γ y )(2)(2)(41 b

dkb

kb

kk SA ωζ+= . Consecuentemente la máxima respuesta 0R del

edificio empleando la regla convencional CQC (Der Kiureghian, 1981), usando notación

indexada:

( )[ ] ( ) 3,2,1,,max 2/1,0 =μ==

τ≤qptE qpqpt

RRRR (3.21)

donde qp ,μ es el coeficiente de correlación de las respuestas modales de la base.

En la Figura 3.8 se muestra la comparación de la estimación de errores obtenidos para la

base y para la deformación relativa techo-base para un edificio de tres pisos aislado

empleando superposición modal MCE (Ecuación (3.21)) y el MEX, y como función de

la razón )()( bs TT . Dado que la excitación se encuentra representada por los espectros

de diseño del UBC (1997) y de la NCh 2745 (2003) (Chile), la respuesta para el MEX, el

que tiene amortiguamiento no-clásico como resultado del sistema de aislamiento, se

66

(a) Código UBC

(b) NCh 2745

Figura 3.8 Errores obtenidos usando superposición modal MCE con 2 espectros de diseño.

Para a) UBC 1997, y b) NCh 2745. Dos estructuras sujetas a excitación bidireccional 5.0=ac , ρ= 20.0)( s

sxe , 05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , 0)( =bsxe , 1)(

0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b .

−0.05

−0.025

0

0.025

0.05

Bas

e de

form

atio

nQ

SM

err

or

Flexible edge

Ωs=0.8

Ωs=1.0

Ωs=1.2

Stiff edge

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Ts/T

b

Roo

f−to

−bas

e de

form

atio

nQ

SM

err

or

Flexible edge

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5T

s/T

b

Stiff edge

Def

orm

ació

n de

la b

ase

erro

r MC

E D

efor

mac

ión

tech

o-ba

se

erro

r MC

E



−0.05

−0.025

0

0.025

0.05

Bas

e de

form

atio

nQ

SM

err

or

Flexible edge

Ωs=0.8

Ωs=1.0

Ωs=1.2

Stiff edge

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Ts/T

b

Roo

f−to

−ba

se d

efor

mat

ion

QS

M e

rror

Flexible edge

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5T

s/T

b

Stiff edge

Def

orm

ació

n de

la b

ase

erro

r MC

E D

efor

mac

ión

tech

o-ba

se

erro

r MC

E



67

computó usando la regla CQC extendida a amortiguamiento no clásico (Sinha e Igusa,

1996).

Las propiedades del sistema de aislamiento considerado son 5.0=ac , ρ= 20.0)( ssxe ,

05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , 0)( =bsxe , 1)(

0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b . Además, se consideraron tres

valores de razones de flexibilidad torsional para la superestructura 2.1,0.1,8.0)(0 =Ω s .

Para la mayoría de las relaciones )()( bs TT , el MCE junto con la Ecuación (3.21)

conduce a respuestas para la superestructura y la base con errores en el rango de + 10%.

El error del modelo tiende a ser mayor en la respuesta del borde rígido y se incrementa

con el aumento de la razón )()( bs TT y decrece con )(0

sΩ .

Además, el procedimiento aproximado puede ser aplicado a toda razón 5.0)()( <bs TT si

12.1)(0 >=Ω s y a 2.0)()( <bs TT si 18.0)(

0 <=Ω s ; en el rango intermedio de )(0

sΩ , la razón

límite de aplicabilidad puede considerase que varía linealmente entre 0.2 y 0.5. Mientras

que el error en la respuesta a los espectros de los códigos UBC y NCh 2745 muestra

algunas notorias similitudes, la estimación del error de la deformación en ambos bordes

con la NCh 2745 tiende a ser mayor que los obtenidos con el UBC. La mayores

diferencias entre ambos códigos es notable para 2.0)()( <bs TT .

III.8 Estimación de la respuesta rotacional de la base aislada Si las ecuaciones de movimiento de la base (Ecuación (3.8)) se aplican al caso de

estructuras con asimetría en planta, se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones

paramétricas muy conocidas (Hejal y Chopra, 1987)

gb

xb

xb

xb

y

bx

by

yb

eeeee

e

murqqcq &&&&& (b)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ρ−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+α+Ωα−

α−αω+

ρ+ ∞∞∞

00010001

ˆˆˆˆˆ10

ˆ0~1

2)(2)(220

)()(

)(

)(

20

)( (3.22)

68

Donde [ ]TbyxN qq )(θρ=q es el nuevo vector de grados de libertad; mk b

yy)(2

0 =ω es la

frecuencia lateral desacoplada en la dirección y; 20

20 yx ωω=α es la relación de

frecuencias laterales al cuadrado desacopladas; ρ= )()(ˆ bx

bx ee y ρ= )()(ˆ b

yb

y ee son las

excentricidades estáticas normalizadas en las direcciones x e y; y000 ωω=Ω θ es la razón

de flexibilidad torsional desacoplada, en la que la rigidez rotacional se ha calculado

respecto al centro de rigidez de la base; ρ es el radio de giro de la masa total de la

construcción; y )(~ bc corresponde a la matriz de amortiguamiento normalizado de la base )( bc , en la que la tercera columna se ha dividido en ρ .

A pesar que es un aspecto conocido, es importante refrescar en este punto el concepto de

frecuencia predominantemente rotacional y traslacional. La frecuencia normalizada

predominantemente traslacional en la dirección y se define como yy 0ωω . Cuando esta

frecuencia normalizada es mayor que 1 en tanto 10 <Ω , menor que 1 en tanto que

10 ≥Ω , se la denota como predominantemente traslacional. Para la frecuencia

normalizada predominantemente rotacional y0ωωθ se usa la definición opuesta. Los

valores de las dos frecuencias de un sistema acoplado de un piso, normalizadas respecto

de la frecuencia desacoplada y0ω , y los correspondientes factores de participación

modal se presentan en la Figura 3.9 en función de la excentricidad normalizada de la

base )(ˆ bsxe y para tres valores de flexibilidad torsional 2.10.1,8.0 y)( =Ω b

o .

En esta Figura, la frecuencia predominantemente rotacional se identifica con líneas

sólidas, mientras que las traslacionales por líneas de trazos

En la medida que )(ˆ bsxe aumenta, las frecuencias varían principalmente en forma lineal con

la excentricidad y se separan una de otra para el mismo valor )( boΩ . El aspecto

importante a notar es que mientras una de las frecuencias es mayor que 0ω , la otra es

menor.

69

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.5 1 1.50

0.25

0.5

0.75

1

L(b)

)(ˆ bsxe )(ˆ b

sxe

rotacional traslacional

2.10.18.0

)(0

)(0

)(0

=Ω=Ω=Ω

b

b

b

0 0.4 0.8 1.2 1.60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.4 0.8 1.2 1.60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.4 0.8 1.2 1.60

0.5

1

1.5

2

2.5

3borde rígido borde flexible

bxê bxê bxê

8.0s =Ω 0.1s =Ω 2.1s =Ω

Figura 3.9 Frecuencias y factores de participación modal L. Sistema acoplado. Frecuencias predominantemente traslacional y rotacional en presencia de excentricidad

estática )(ˆ bsxe en el aislamiento.

Este aspecto tiene implicancias en la respuesta dinámica de una estructura aislada,

debido a la variación del espectro de diseño en la vecindad de 0ω . Como es de esperarse,

para 0ˆ )( =bsxe , la frecuencia normalizada traslacional converge a 1, y la frecuencia

normalizada rotacional a )( boΩ . Además, los factores de participación modal son siempre

mayores para el modo predominantemente traslacional, con excepción del caso en que

8.0)( =Ω bo y 6.0ˆ )( ≥b

sxe .

Figura 3.10 Influencia media de la flexibilidad de la superestructura.

Se aprecia como el espesor de las líneas solidas y de trazos para 8 registros de movimiento; 5.0=ac , ρρ−= 5.1a5.1)( s

sxe , 05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , ρ= 5.1a0)( bsxe , 1)(

0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b .

70

En la siguiente sección se analizará la respuesta acoplada de los bordes flexible y rígido

del sistema de aislamiento. Estos resultados se presentan primero para estructuras

monosimétricas, para un amplio rango de excentricidades )(ˆ bsxe y razones de frecuencia

)(0

bΩ variables entre 0.8 y 1.2.

Debido a que el efecto de los parámetros de la superestructura en el sistema de

aislamiento es menor en la medida en que la relación )()( bs TT es menor (Figura 3.10)

el análisis se limitará a considerar superestructuras rígidas. Esta Figura se ha obtenido

para los siguientes parámetros 5.0=ac , ρρ−= 5.1a5.1)( ssxe , 05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = ,

ρ= 5.1a0)( bsxe , 1)(

0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b ; el eje )(ˆ ssxe es perpendicular al plano q , )( b

sxe , la

influencia de la superestructura esta dada por el espesor de las líneas sólidas para el

borde flexible y las de trazos para el borde rígido. Posteriormente se analizará el caso

tridimensional.

III.8.1 Caso bidimensional Se analizará primero la respuesta de un sistema de aislamiento con un plano vertical de

simetría en la dirección x. La consideración fundamental en el análisis es que la

superestructura se considera rígidamente vinculada a la base de aislamiento. La

respuesta rotacional se medirá comparando la respuesta de los bordes opuestos en la

dirección y de la planta del edificio, también llamados bordes rígido y flexible. La

frecuencia de vibración de la estructura (Hejal y Chopra, 1987) se ordenan de forma tal

que la primera frecuencia obtenida de la Ecuación (3.22) sea la predominantemente

rotacional

[ ]20

20

2, 41(

21 Ω−Ω−=ω ssignstr m

) (3.23)

y los modos de vibración son

71

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−ω−ω

=sxr

rsxb

ee

d ˆ1ˆ1ˆˆ1

2

2)(Φ (3.24)

donde 220 ˆ1 sxes +Ω+= , rω es la frecuencia rotacional acoplada normalizada; y

22

2 ˆ1ˆsxr ed +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −ω= es el factor de normalización de los modos. Notar que cuando 10 =Ω ,

se define 1)0( =sign , haciendo que ambas frecuencias resulten iguales para 0ˆ =sxe .

Además, los factores de participación modal del sistema de ecuaciones normalizado para

una componente de excitación traslacional en la dirección y son:

dd

e rbt

sxbr

1ˆ,

ˆ 2)()( −ω== LL (3.25)

y, por lo tanto, las respuestas modales de la Ecuación (3.12) son:

( ) ( )ttdsx

trrdsx

r Sd

eS

de

ξω=Ψξω=Ψ ∞∞ ,ˆ

,,ˆ

(3.26)

donde ( )trtrdS ,, ,ξω son los desplazamientos espectrales correspondientes a los modos

aislados rotacional y traslacional. Basado en los resultados anteriores, la deformación

modal en los bordes se puede obtener a través de la siguiente expresión

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ζω⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −ωρ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −ωζω

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −ωρ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ζω⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −ωρ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −ωζω

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −ωρ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

ttdrsxr

rrdrsxsx

ttdrsxr

rrdrsxsx

tr

Sd

ead

Sd

ead

e

Sd

ead

Sd

ead

e

,1ˆˆ1ˆ

,1ˆˆˆ

,1ˆˆ1ˆ

,1ˆˆˆ

2

222

2

22

2

222

2

22

qq

(3.27)

Con el objeto de estimar la respuesta máxima, la contribución modal de la Ecuación

(3.27) puede combinarse mediante el uso de la regla CQC (Der Kiureghian, 1981) con el

72

c)- Promedio de 8 registros d)- Espectro probabilístico

0

1

2

3

Nor

mal

ized

edg

e di

spla

cem

ent

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

1

2

3

Nor

mal

ized

edg

e di

spla

cem

ent

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

borde rígido borde flexible

2.10.18.0

)(0

)(0

)(0

=Ω=Ω=Ω

b

b

b

)(ˆ bsxe )(ˆ b

sxe

a)- Registro El Centro b)- Registro Melipilla

Des

plaz

amie

nto

nor

mal

izad

o de

l bo

rde

Des

plaz

amie

nto

nor

mal

izad

o de

l bo

rde

coeficiente de correlación ( ) ( )[ ] 002

02

030

2 2428 Ω−Ω+ζΩ+Ω+Ωζ=μ sssrt (Anexo F)

para igual cantidad de amortiguamiento en ambos modos aislados.

La amplificación lineal máxima de los desplazamientos de los bordes se normaliza

respecto al caso aislado nominalmente simétrico, esto es, ( ) ( )ζω= ,ˆ 0,0, ydfrfr Sqq . La

aplicación de la Ecuación (3.27) en este caso particular conduce a

( ) ( ) ( )( ) ( )2

222222

0, 1

ˆ~ˆˆ~~12ˆ~1ˆ

ε+

ε±ε+ε±εεμ+ε= ttrrtr

fr

DaDDaaDaq

mm (3.28)

donde ( ) sxr e1ˆ 2 −ω=ε , ρ=aa~ , ( ) ( )ζωζω= ,,ˆ0 ydrrdr SSD , ( ) ( )ζωζω= ,,ˆ

0 ydttdt SSD , el

signo superior en la Ecuación (3.28) se asigna a rq y el inferior a fq .

Figura 3.11 Amplificación rotacional aislamiento. Distintas excitaciones. Para: a)- Registro de El Centro; b)- Registro Melipilla; c)- Promedio de 8 registros; d)-

Espectro probabilístico envolvente al promedio de 8 espectros.

73

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

0.4

0.8

1.2

1.6

2

2.4

2.8

3.2

3.6

4

Nor

mal

ized

edg

e di

spla

cem

ent

borde rígido borde flexible

2.10.18.0

)(0

)(0

)(0

=Ω=Ω=Ω

b

b

b

estático UBC

)(bsxe

Des

plaz

amie

nto

norm

aliz

ado

del b

orde

Los resultados de las amplificaciones en los bordes de la construcción se presentan en la

Figuras 3.11 y 3.12 para un conjunto de registros de terremotos y el espectro de

desplazamientos del UBC respectivamente. Las partes a) y b) de la Figura 3.11 muestran

la amplificación del borde rígido y flexible del aislamiento para los registros de El

Centro (EEUU, 1940) y Melipilla (Chile, 1985).

Resulta evidente que la amplificación del borde flexible tiende a incrementarse con la

excentricidad y es considerablemente alto para el registro de Melipilla cuyos valores se

acercan a 3 para altas excentricidades. Sin embargo, las amplificaciones medias para el

borde flexible raramente exceden de 1.5 para un amplio rango de excentricidades y

registros.

Figura 3.12 Amplificación rotacional para el espectro del UBC. Desplazamiento normalizado en los bordes )(ˆ bq versus excentricidad en la base. La

amplificación del borde flexible es inversamente proporcional a )(0

bΩ , el borde rígido amplifica para pequeñas excentricidades y 1)(

0 <Ω b . Las amplificaciones del borde rígido y flexible han sido obtenidas por análisis modal usando el espectro del UBC. La curva

estática para el UBC se obtuvo para 1)(0 =Ω b .

74

Además, estos resultados también se han validado mediante amplificaciones derivadas

de análisis probabilístico. Otra observación es que la amplificación de desplazamientos

es moderadamente sensitiva al valor de la razón de flexibilidad torsional, a excepción

del registro de Melipilla para el cual un menor 0Ω conduce a una gran amplificación.

El efecto de 0Ω es claramente mayor para el borde rígido de la planta; la rigidización

rotacional de la planta disminuye éste factor de amplificación. Para 8.00 =Ω y pequeños

valores de excentricidad, los desplazamientos del borde rígido se amplifican a un

máximo de 1.2.

Por el contrario, la amplificación de desplazamientos en el borde rígido es usualmente

menor que 1 (reducción) y decrece cuando la excentricidad del aislamiento se

incrementa. En la Figura 3.11 se muestra una comparación entre el análisis dinámico y

estático del código UBC. La amplificación estática se obtiene de la bien conocida

fórmula del código UBC (1997) 21 ρ+= xeq sxe y las amplificaciones dinámicas se han

computado a partir de la Ecuación (3.22) empleando el espectro de desplazamientos del

UBC (1997).

Aunque suavizadas, las amplificaciones de desplazamientos en el borde flexible y en el

rígido siguen un patrón similar a las amplificaciones presentadas en la Figura 3.11, en

particular, con el registro de Melipilla fenómeno que se explica a partir del espectro de

este registro. Esta expresión no reconoce el efecto de la razón de frecuencias rotacional a

traslacional, simplemente por que en la derivación de esta ecuación, se asume que 0Ω

es uno. Una ecuación mejor y capaz de reconocer este efecto esta dada por 2)(1 b

sxe xeq κ+= , donde )()( bb kk θ=κ es el radio de giro de rigidez. De esta forma, la

fórmula del código supone que ρ=κ , con el radio de giro de la rigidez igual al radio de

giro de las masas. Dado que ρκ=Ω 0 ambas condiciones resultan idénticas.

La respuesta de la base aislada dependerá de los valores del espectro, recordemos que

tr ω<ω para 10 <Ω y que tr ω>ω para 10 >Ω .

75

0.8 0.9 1 1.1 1.20.8

1.2

1.6

2

2.4

2.8

3.2

3.6

Nor

mal

ized

edg

e di

spla

cem

ent

Borde rígido Borde flexible

rampa intermedio techo

D

T

)b(0Ω

Figura 3.13 Amplificaciones máximas en los bordes rígido y flexible del aislamiento.

Obtenidas para distintas zonas de un espectro de diseño, ρρ−= 5.1a5.1ˆ )( bsxe sT b 5.2)( = y

15.0)( =ζ b .

El efecto de la forma del espectro de desplazamientos en la amplificación de

desplazamientos del los bordes rígido y flexible de la planta de la construcción se

analiza en la Figura 3.13 para )(0

bΩ variando entre 0.8 y 1.2. Para el caso en que la

frecuencia del sistema nominalmente simétrico ( y0ω ) y la menor frecuencia ( rω ) para

10 <Ω y tω para 10 >Ω ) se ubican en la zona del espectro de desplazamiento constante la

amplificación máxima del borde flexible se obtiene para la máxima excentricidad y su

valor máximo es constante e igual a 1.5, cualquiera sea el valor de 0Ω . Note que para

bajas excentricidades el borde flexible de los sistemas con 10 >Ω alcanzan

amplificaciones mayores que los que tienen 10 <Ω (Figura 3.11a, c y d). Si por el

contrario la frecuencia más flexible y y0ω se ubican en una rampa del espectro, las

amplificaciones en el borde flexible son mucho mayores, en este caso los sistemas con

10 <Ω amplifican mas que los que tienen 10 >Ω (Figura 3.11b). El valor máximo de la

76

amplificación será mayor cuanto mayor sea la pendiente de la rampa del espectro,

entendiendo que una mayor pendiente implica alcanzar el mismo desplazamiento

espectral para una frecuencia mayor. Téngase en cuenta que en este caso la frecuencia

y0ω cae en una zona del espectro con menor desplazamiento, por lo que una mayor

amplificación no implica un mayor desplazamiento del borde flexible, por el contrario

este resulta menor o a lo sumo igual al caso en que la frecuencia flexible y y0ω caen

sobre la meseta de desplazamiento constante.

Contrariamente en el borde rígido las amplificaciones máximas se verifican cuando la

frecuencia más rígida ( tω para 10 <Ω y rω para 10 >Ω ) se ubica sobre la meseta de

desplazamiento constante. Note que en este caso y0ω se encuentra siempre sobre la

meseta de desplazamiento constante del espectro. La máxima amplificación corresponde

a sistemas con 10 <Ω , su valor es de 1.35 y se alcanza para excentricidades 5.0)( <bê . En

la Tabla III.3 se indican los valores máximos de amplificación de los bordes ( )0,ˆ frq para

todas las condiciones de try ωωω y,0 . En ella se consignan las amplificaciones

máximas y mínimas para las relaciones de frecuencias extremas 2.1a8.00 =Ω , y cuya

variación puede asumirse lineal sin mayor error. Finalmente, es importante evaluar el

efecto en las deformaciones del aislamiento como consecuencia de una excentricidad de

masa en la superestructura. En el caso considerado de una superestructura rígida, el

único efecto de una superestructura asimétrica en masa se refleja en un corrimiento del

CM de la base aislada y una modificación de su inercia rotacional efectiva.

Tabla III.3 Amplificaciones máximas en los bordes según la zona del espectro

Máximo Mínimo Zona espectral

Ω Borde rígido Borde flexible Ω Borde rígido Borde flexible

Meseta 0.8 1.33 1.47 1.2 1 1.47

Rampa 0.8 1.22 3.5 1.2 1 2.5

Intermedio 0.8 1.22 1.43 1.2 1 1.43

77

Entonces, si la masa de la superestructura tiene una excentricidad )( smje relativa al CM de

la base en la dirección j-ésima, la nueva ubicación del CM de la base en esa dirección es )()()( tss

mjb

mj mmee = , donde )( tm y )( sm son la masa traslacional total y de la

superestructura, respectivamente. Por otra parte, el nuevo radio de giro de la base aislada

estará dado por ( ) )(2)()(2)()()( tssssb mmm ρ+ρ=ρ . Con esta redefinición del CM y de la

inercia rotacional, son aplicables los mismos resultados presentados en las Figuras 11,

12 y 13.

III.8.2 Caso tridimensional Las amplificaciones rotacionales del aislamiento derivadas de la Ecuación (3.22) para el

caso tridimensional conducen a una expresión que es más grande algebraicamente. En

los sistemas aislados se verifica en general que 1=α , en estas condiciones las

frecuencias fundamentales y los modos pueden expresarse como

( )[ ]20

20

2, 41

21 Ω−Ω−=ω ssignstr m (3.29)

12 =ωd

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−εθε−θθ−

θεθθ=

10cossincossincossin

1)( dd

dbΦ (3.30)

donde 220 ˆ1 bes +Ω+= , θ es el ángulo entre la horizontal y la línea que une el CM con el

CR (Figura 3.14), 21 ε+=d , ( ) br eˆ1 2ω−=ε y 22 ˆˆˆ bybxb eee += . Estas expresiones son

válidas solo en presencia de excentricidad según y, y colapsan a las Ecuaciones (3.23) y

(3.24) cuando 0ˆ =bye .

78

x

y

x1

y1

θ CM

CRe(b)

ey ex

1 2

34

Note que el segundo modo de vibración es siempre diagonal, con frecuencia nominal

y0ω y cuyas componentes están alineadas con la dirección definida por la recta que une

el CM y CR (Figura 3.14) y su perpendicular (Ryan y Chopra, 2002).

Si adoptamos este eje ( 1x ) y uno ortogonal a él ( 1y ) como ejes principales, el sistema de

tres grados de libertad se comporta como un sistema monosimétrico en el que la

excitación forma un ángulo θ con los ejes principales. La excentricidad normalizada en

éste caso resulta igual a )(ˆ be .

Figura 3.14 Excentricidad bidimensional en planta. El sistema coordenadas x, y es el habitual, el sistema x1, y1 es el sitema principal. El

modo diagonal corresponde a la dirección del eje x1. El sistema tridimensional se reduce a uno monosimérico con excenricidad )( bê . En el sistema x, y los modos se determinan a

partir de la proyección de los modos expresados en el sistema x1, y1.

Además, los factores de participación modal del sistema de ecuaciones normalizado son

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ρ−θε−θεθθ

ρεθ−θ=

cossin0sincos

cossin1 ddd

L (3.31)

y por lo tanto, a partir de la Ecuación (3.12) las respuestas modales para una acción, por

ejemplo, según y son:

79

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttttddddrrdr Sd

SSd

ζωθε−

=Ψζωθ=Ψζωθ−

=Ψ ∞∞∞ ,cos

,,sin,,cos (3.32)

donde ( )( )),,(,, , tdrtdrdS ζω son los valores de desplazamientos espectrales

correspondientes a los modos aislados rotacional, diagonal y traslacional. Basado en los

resultados anteriores, las deformaciones modales en los bordes flexible y rígido en

planta de la construcción pueden obtenerse a través de las siguientes expresiones

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ζω⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ θβρ

+θ

ζω⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ θβρ

−θ

=

rrd

rrd

r

Sd

ad

Sd

ad

,coscos

,coscos

22

2

22

2

q (3.33)

( ) ( )( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ζωθζωθ

=ddd

dddd S

S,sin,sin

2

2

q

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ζω⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ θβρ

−θβ

ζω⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ θβρ

+θβ

=

ttd

ttd

t

Sd

ad

Sd

ad

,coscos

,coscos

22

22

22

22

q

Si se escriben las ecuaciones en los ejes 11, yx se tienen las mismas frecuencias que las

dadas en la Ecuación (3.29) y los modos de vibración quedan expresados por:

( )

( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−ω−ω−

ω−+

ω−+=

br

rb

rb

rb

b

ee

e

e ˆ0ˆ1ˆ10ˆ

0ˆ1ˆ0

ˆ1ˆ1

2

2

222

222

)(Φ (3.34)

Resulta simple verificar que proyectando estos modos en los ejes x, y se obtienen los

modos expresados en la Ecuación (3.30).

80

Los resultados de las amplificaciones de desplazamiento en los bordes de la

construcción se presentan en la Figura 3.15 para el promedio de un conjunto de registros

de movimiento. Estos resultados muestran un comportamiento idéntico al señalado para

el caso monosimétrico. Notar que la amplificación en ambos bordes no supera el

máximo que para el caso monosimétrico aunque, obviamente se aprecia un aumento de

la amplificación en torno a 0)( =bsxe para 0)( ≠b

sye . En este caso existe distinta

amplificación para cada esquina del aislamiento.

Figura 3.15 Amplificación en los bordes. Caso tridimensional.

2.18.0 y)(0 =Ω b . Factores de amplificación obtenidos para el promedio de 8 registros.

El factor de amplificación para cada esquina se define como el cuociente entre el

módulo del máximo desplazamiento de la esquina respecto al módulo del

desplazamiento máximo del CM del aislamiento nominalmente simétrico. La

numeración de las esquinas es la indicada en la Figura 3.14. Notar que con esta

−1.6 −1.2 −0.8 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.60.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Nor

mal

ized

edg

e di

spla

cem

ent

−1.6 −1.2 −0.8 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.60.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

−1.6 −1.2 −0.8 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.60.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Nor

mal

ized

edg

e di

spla

cem

ent

−1.6 −1.2 −0.8 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.60.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

)b(sxê )b(

sxê

)b(sxê )b(

sxê

2.1

8.0)(

0

)(0

=Ω

=Ωb

b

4.02.00.0

)(

)(

)(

===

bsy

bsy

bsy

eee

1 2

4 3

Des

plaz

amie

nto

nor

mal

izad

o de

l bor

de

Des

plaz

amie

nto

nor

mal

izad

o de

l bor

de

81

definición, para 0)( =bsye el desplazamiento de algunas esquinas será mayor, debido a que

se tiene en cuenta el desplazamiento según la dirección x, sin embargo este fenómeno se

ve compensado por el correspondiente aumento del desplazamiento de referencia, esto

es del CM, resultando la amplificación menor que para el caso monosimétrico.

III.9 Ejemplos de diseño Consideremos el ejemplo de una estructura de hormigón armado asimétrica de 6 pisos,

aislada con dispositivos de goma lineales. La estructura es un sistema de marcos

tridimensionales con una carga gravitacional de 2/1 mton .

c

1

2

3

4

a b

braces

6@30

00

3@50

00

2@5000

braced

unbraced

50x50 50x50

50x5050x50

70x30

70x30

70x30

70x30

30x70

30x70 30x70

30x70

30x70 30x70

30x50

30x50

30x50

30x50

30x50

30x5030x50

30x50

30x50

30x50

30x50

30x50

x

y

Figura 3.16 Planta y elevación de la estructura de 6 pisos del ejemplo.

La elevación representa esquemáticamente el sistema de riostras de los ejes 2, 3 y b, en tanto que los ejes 1,4, a y c no poseen riostras. 3/2=ac , ρ−= 25.0)( s

sxe , sT S 68.0)( = , y 8.0)(

0 =Ω s 05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , ρ= 20.0)( bsxe , 9.0)(

0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b .

Las vigas y columnas se encuentran simétricamente distribuidas en la superestructura

respecto del CM; sin embargo, existe excentricidad en rigidez en la superestructura

como resultado de un conjunto de riostras diagonales de acero.

no arriostrado

arriostrado

riostra

82

En la Figura 3.16 se presenta un esquema de la estructura. La estructura tiene una

excentricidad estática normalizada 25.0ˆ )( −=ssxe , la relación de frecuencias desacopladas

rotacional a traslacional es 8.0)( =Ω s , y con amortiguamiento modal constante

05.0)( =ζ s . En la Tabla III.4 se presentan los periodos propios de la superestructura

original para los cinco primeros modos y los modos y periodos del aislamiento.

El sistema de aislamiento esta caracterizado por una frecuencia traslacional desacoplada

π=ω 8.0)(0

by , razón de flexibilidad torsional 9.0)( =Ω b , excentricidad normalizada

2.0ˆ )( =be , y cantidad de amortiguamiento 15.0)( =ζ b . La relación de aspecto de la

estructura es 32 y las frecuencias de vibración fundamentales y modos para el sistema

aislado se presentan en la Tabla III.4.

El procedimiento paso a paso para estimar el desplazamiento de diseño en los bordes

rígido y flexible de la planta de la estructura es el siguiente (1) determine las frecuencias

de vibración y modos de la base mediante la Ecuación (3.23) y (3.24) (Tabla III.5); (2)

determine los factores de participación modal mediante la Ecuación (3.25); (3) evalúe

las ordenadas espectrales dkS y dkb

kb

k SA 2)()( ω= a partir del espectro de diseño y reducirlo

debido al mayor amortiguamiento de la base 15.0)( =ζ b ; (4) evalúe los desplazamientos

en los bordes rígido y flexible del aislamiento fq y rq mediante la Ecuación (3.28); (5)

proyecte los grados de libertad de la superestructura empleando la expresión 0)()()(k

sssk ΦrmfΦ −= y transfórmela geométricamente a los bordes ; y (6) evalúe los

desplazamientos en los bordes de la superestructura fu y ru mediante las Ecuaciones

(3.20) y (3.21). Se presentan a continuación los pasos descritos precedentemente.

Primero sustituimos 85.12.09.011 222)(2)(0 =++=+Ω+= b

sxb ês , la etapa (1) conduce al

siguiente sistema de frecuencias y modos

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

==57.0823.0823.057.0

/68.212.2 )( bT ysrad Φω

Note que las frecuencias normalizadas son [ ]Tk 07.184.0ˆ =ω . Además, usando la

Ecuación (3.25), encontramos los factores de participación modal [ ]T823.057.0 −=L .

83

Tabla III.4 Primeros modos de la estructura con base fija y del aislamiento

Número de Modo 1 2 3 4 5 Nivel

Ts 0.6807 0.4735 0.2158 0.1512 0.1185 y 0.5827 -0.5945 -0.5459 -0.5252 0.4666

6 q 0.0020 -0.0018 -0.0018 0.0006 0.0015 y 0.5323 -0.5309 -0.1890 -0.1871 -0.2526

5 q 0.0018 0.0006 -0.0006 0.0002 -0.0008 y 0.4523 -0.4432 0.2389 0.2158 -0.5502

4 q 0.0015 0.0005 0.0008 -0.0003 -0.0017 y 0.3444 -0.3360 0.5210 0.5065 -0.0932

3 q 0.0012 0.0004 0.0017 -0.0006 -0.0002 y 0.2165 -0.2167 0.5237 0.5430 0.4851

2 q 0.0003 0.0002 0.0017 -0.0006 0.0016 y 0.0842 -0.0925 0.2576 0.3019 0.4144

1 q 0.0003 0.0001 0.0008 -0.0003 0.0013 Tb 2.9640 2.3629 - - - y -0.5696 -0.8219 - - - Base q -0.8219 0.5696 - - -

III.9.1 Espectro de la Norma NCh 2745 Dado que el espectro de diseño de la norma NCh 2745 (2003) para 05.0=ζ es constante

para sTb 2≥ e igual a 30cm, la etapa (3) conduce para 05.0=ζ a ordenadas de aceleración

espectral [ ] 22)()( 0.2169.134 scmSA dkb

kb

k =ω= . Estos valores y los desplazamientos

espectrales dkS deben ser reducidos por el amortiguamiento del aislamiento 15.0)( =ζ bk .

Usando la expresión para el coeficiente de reducción kB contenido en la norma NCh

2745, esta resulta ser constante e igual a 67.1=kB . Por lo tanto, los correspondientes

desplazamientos espectrales y aceleraciones están dados por cmS dk 95.1767.130 == , y

[ ] 2)(2)( /9.1343.84/41 scmBAA kb

kb

kk =ζ+= .

El coeficiente de correlación resulta:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 615.09.09.0285.115.09.0485.19.0285.19.015.08 2232 =−×+×+×+=μ rt

47.12.0/)184.0( 2 =−−=ε , ( )( ) 347.012321 2 =+=ρ y 44.1347.0/5.0~ ==a

84

Finalmente los desplazamientos del borde rígido y flexible se calculan, mediante la

Ecuación (3.28), como

( ) ( ) ( )( ) ( )cmq fr 87.17

01.2196.17

47.1112.247.112.247.112.2162.0212.21

ˆ2

2222

0, =×+

±+±×+=

mm

Consecuentemente, los factores de amplificación obtenidos para el borde rígido y

flexible con respecto al desplazamiento del sistema simétrico son ( ) 17.167.1/30/01.21 = y

( ) 99.067.1/30/87.17 = , respectivamente. Como puede apreciarse para estructuras

torsionalmente flexibles, este resultado indica que la mayor amplificación de

desplazamientos ocurre en el borde rígido. Es interesante notar que la fórmula estática

del código UBC (1997) predice una amplificación de 1.33 en el borde flexible y un

factor de reducción de 0.75 para el borde rígido, resultado que no es solo numéricamente

incorrecto, sino conceptualmente equivocado. Este simple ejemplo muestra que la

fórmula del código UBC no captura la dinámica real del sistema.

Figura 3.17 Comparación de la historia de desplazamientos en el borde flexible y rígido

de la base. (Valores máximos obtenidos por la Ecuación 3.28 propuesta para el edificio de 6 pisos del ejemplo sujeto a un movimiento compatible con el espectro del código NCh 2745

para suelo firme).

0 10 20 30 40 50 60−20

−10

0

10

20

30

Time (s)

Bas

e di

spla

cem

ent (

cm)

Borde rígido borde flexible

13.46UBC21.01;28.3Eq.21.94;THA:(cm)máximoValor ===

86.32UBC17.94;28.3Eq.17.58;THA:(cm)máximoValor ===

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

de la

bas

e (c

m)

85

En la Figura 3.17 se muestra la historia de desplazamientos para un registro compatible

con el espectro de la NCh 2745. En ella se consignan los desplazamientos de ambos

bordes. Se indican también el resultado obtenido manualmente del párrafo anterior.

Advierta que los valores de respuesta máximos predichos por la Ecuación (3.28)

constituyen una muy buena aproximación a los valores máximos de respuesta obtenidos

para ambos bordes por integración directa del MEX y debería ser empleada en lugar de

la ecuación estática del código UBC, la que se basa en una primitiva ecuación estática,

sobrestimando el desplazamiento del borde flexible y subestimando significativamente

el desplazamiento del borde rígido. Para la superestructura y con los datos anteriores, se

resumen los pasos 5 y 6 en la Tabla III.5. Los desplazamientos obtenidos por

integración directa desde el piso 1 al 6 para el registro compatible se consignan en la

Tabla III.5 entre paréntesis. De la comparación de resultados se observa un error

máximo del orden del 6 % en defecto, lo que constituye una muy buena aproximación.

Tabla III.5 Respuesta de los bordes de la superestructura – Espectro NCh 2745 LI= 0.5696 LII= -0.8219 AI= 84.3 AII= 134.9 ρ= 0.615

Proyección Proyección Modo I Izquierdo Derecho Modo II Izquierdo Derecho r1i r1d r2i r2d Izq. Der.

y 0.002533 0.0151 -0.0100 -0.009264 0.0050 -0.0236 0.724 -0.481 -0.558 2.612 0.61 2.66θ -0.000017 -0.000019 (0.63) (2.83)y 0.002236 0.0139 -0.0094 -0.008538 0.0048 -0.0219 0.666 -0.451 -0.534 2.428 0.56 2.47θ -0.000016 -0.000018 (0.57) (2.60)y 0.001878 0.0120 -0.0082 -0.007413 0.0043 -0.0191 0.576 -0.396 -0.476 2.120 0.49 2.16θ -0.000013 -0.000016 (0.49) (2.24)y 0.001048 0.0090 -0.0069 -0.005857 0.0034 -0.0151 0.434 -0.333 -0.377 1.676 0.38 1.69θ -0.000011 -0.000012 (0.39) (1.76)y 0.001044 0.0063 -0.0042 -0.003901 0.0021 -0.0099 0.303 -0.203 -0.238 1.103 0.26 1.12θ -0.000007 -0.000008 (0.25) (1.15)y 0.000531 0.0027 -0.0017 -0.001655 0.0007 -0.0041 0.130 -0.079 -0.083 0.450 0.11 0.46θ -0.000003 -0.000003 (0.11) (0.47)

Piso

GD

L

1

2

3

4

5

6

Resp. TotalModo Borde I Modo Borde II Resp. Modo I Resp. Modo II

III.9.2 Espectro del registro de melipilla (1985) Dado que el espectro de un sismo real varía con el amortiguamiento, en este caso

obtenemos los valores de seudo desplazamiento para el amortiguamiento 15.0=ζ y las

frecuencias determinadas en el apartado anterior. Se determinan así, los siguientes

86

0 10 20 30 40 50 60 70 80−20

−10

0

10

20

time (sec.)

disp

lace

men

t (cm

)

fexible edgerigid edgeborde rígido

borde flexible

36.8UBC;42.0128.3Eq.;52.9A:(cm)máximoValor ===HT

83.41UBC;77.4128.3Eq.;85.31:(cm)máximoValor ===AHT

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

de la

bas

e (c

m)

valores [ ] [ ]cmSS dtdr 46.973.14= , Para el sistema nominalmente simétrico se obtiene un

desplazamiento espectral de cmS dn 15.11= , la etapa (3) conduce para el mismo

amortiguamiento ζ a ordenadas de aceleración espectral 2)(2)(41 bk

bkkA ωζ+=

[ ] 2/94.7012.69 scmS dk = . El coeficiente de correlación es el mismo determinado para el

apartado anterior 615.0=μ rt , al igual que los valores 47.1=ε , 347.0=ρ y 44.1~=a . Como

en el caso anterior los desplazamientos del borde rígido y flexible se calculan, mediante

la Ecuación (3.28), como

( ) ( ) ( )( ) ( )

cm

q fr

77.1442.10

47.1146.912.247.146.973.1412.247.112.2162.0273.1412.21

ˆ2

222222

0,

=

+

×±+××±×+×=

mm

Consecuentemente, los factores de amplificación obtenidos para el borde rígido y

flexible con respecto al desplazamiento del sistema simétrico son 93.015.11/42.10ˆ ==rq y

32.115.11/77.14ˆ ==fq , respectivamente.

Figura 3.18 Comparación de la historia de desplazamientos en el borde flexible y rígido

de la base. Registro de Melipilla (Chile, 1985). Valores máximos obtenidos por la Ecuación (3.28) propuesta para el edificio de 6 pisos del ejemplo sujeto al movimiento de la componente

N00E.

87

LI= 0.5696 LII= -0.8219 AI= 69.12 AII= 70.94 ρ= 0.615Proyección Proyección

Modo I Izquierdo Derecho Modo II Izquierdo Derecho r1i r1d r2i r2d Izq. Der.y 0.002533 0.0151 -0.0100 -0.009264 0.0050 -0.0236 0.594 -0.395 -0.293 1.374 0.47 1.17θ -0.000017 -0.000019 (0.79) (1.26)y 0.002236 0.0139 -0.0094 -0.008538 0.0048 -0.0219 0.546 -0.370 -0.281 1.277 0.43 1.09θ -0.000016 -0.000018 (0.70) (1.15)y 0.001878 0.0120 -0.0082 -0.007413 0.0043 -0.0191 0.472 -0.324 -0.250 1.115 0.37 0.95θ -0.000013 -0.000016 (0.58) (1.00)y 0.001048 0.0090 -0.0069 -0.005857 0.0034 -0.0151 0.356 -0.273 -0.198 0.881 0.28 0.74θ -0.000011 -0.000012 (0.42) (0.78)y 0.001044 0.0063 -0.0042 -0.003901 0.0021 -0.0099 0.249 -0.166 -0.125 0.580 0.20 0.50θ -0.000007 -0.000008 (0.26) (0.51)y 0.000531 0.0027 -0.0017 -0.001655 0.0007 -0.0041 0.107 -0.065 -0.043 0.236 0.09 0.20θ -0.000003 -0.000003 (0.10) (0.21)

Piso

GD

L

1

2

3

4

5

6

Resp. TotalModo Borde I Modo Borde II Resp. Modo I Resp. Modo II

Como puede apreciarse en este caso y a diferencia de un espectro de diseño, para una

estructura torsionalmente flexible la mayor amplificación de desplazamientos ocurre en

el borde flexible.

Note en este caso que la predicción de la fórmula estática del código UBC (1997) es

correcta para el borde flexible y continúa subestimando la del borde rígido.

En la Figura 3.18 se comparan los resultados obtenidos por la metodología propuesta, la

ecuación estática del UBC y por integración directa ante la acción de la componente

N00E del registro de Melipilla (Valparaíso, Chile, 1985).

En ella se consignan los desplazamientos de ambos bordes. Se indican también el

resultado obtenido manualmente. Advierta que los valor máximos de respuesta

predichos por la Ecuación (3.28) continúan siendo una muy buena aproximación a los

valores máximos de respuesta obtenidos para ambos bordes por integración directa del

MEX y confirma la observación realizada en el ejemplo anterior en cuanto a que debería

emplearse en lugar de la ecuación estática del código UBC, debido a lo errático de sus

resultados. Para la superestructura y con los datos anteriores, se resumen los pasos 5 y 6

en la Tabla III.6. Los valores obtenidos por integración directa para la componente

N00E del registro de Melipilla se consignan en la misma Tabla III.6 entre paréntesis. De

la comparación de resultados se observa un error máximo del orden del 7 % en defecto

en el borde flexible, lo que constituye una muy buena aproximación, en tanto que para el

borde rígido se obtienen errores superiores al 10 %, lo que resulta compatible con la

observación hecha en el apartado 3.6.

Tabla III.6 Respuesta en los bordes de la superestructura – Espectro Melipilla

88

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

20

25

30

35

40

T (s)

Sd

(cm

)

ζ = 0.05ζ = 0.15

Sin embargo debe tenerse en cuenta que el espectro del registro empleado dista mucho

de ser similar a uno de diseño, tal como se muestra en la Figura 3.19.

Figura 3.19 Espectro de seudo desplazamientos para el registro N00E Melipilla, (Chile

1985) En efecto allí puede observarse que, a pesar que el registro empleado es una realización

del proceso que da origen al espectro de la Norma NCh 2745, este espectro no presenta

una meseta de desplazamientos constantes. Además, de la comparación de las Figuras

3.17 y 3.18 y de las tablas III.5 y III.6 se aprecia que los desplazamientos máximos

obtenidos en los bordes de la superestructura y de aislamiento para el registro de

Melipilla son sustantivamente menores que los obtenidos para el espectro de diseño de

la NCh 2745.

89

III.11 Conclusiones Esta investigación emplea la interacción dinámica entre la base y la superestructura para

estudiar el comportamiento sísmico de construcciones con asimetría en planta. Como

resulta convencional, se ha estudiado este comportamiento en términos de la

amplificación de desplazamientos de los bordes rígido y flexible de la planta de la

estructura. Como resultado de esta parte de la investigación se han obtenido las

siguientes conclusiones:

1- Se ha demostrado que las amplificaciones en la superestructura se pueden

calcular en forma conservadoramente aproximada por un modelo que incluye

corrección de masa (MMC) que tiene en cuenta la interacción dinámica entre el

aislamiento y la superestructura. Conceptualmente, el MMC desprecia el término

de acoplamiento aislamiento-superestructura en la ecuación de movimiento

asociada al movimiento de la base, pero incluye este término en la estimación del

movimiento de la superestructura.

2- Debido a que el MMC es capaz de reproducir muy exactamente las frecuencias

de vibración de la superestructura, y subestima el amortiguamiento en los modos

que determinan las deformaciones de la superestructura, conduce a una

conservadora estimación de la respuesta de la construcción.

3- Adicionalmente, se ha derivado un modelo cuasi estático muy simple (MCE)

para aproximar la respuesta de la superestructura. La justificación física de este

modelo se basa en la usualmente pequeña razón entre los periodos de la

superestructura con base fija y el sistema de aislamiento. Así, para un amplio

rango de configuraciones estructurales, la superestructura percibe el movimiento

de la base como una acción estáticamente aplicada. Esto permite al ingeniero de

diseño estimar los desplazamientos de la superestructura mediante la

consideración de tres vectores de fuerzas de inercia, cada uno correspondiente a

cada modo del sistema de aislamiento.

4- Con base en este principio se ha presentado una propuesta de procedimiento de

análisis modal espectral basado solo en los modos de la base, según se ha

90

demostrado mediante la aplicación de ejemplos numéricos, este procedimiento

permite tener una estimación muy aceptable del comportamiento de la

superestructura. Los resultados para la base muestran que los desplazamientos

estimados de acuerdo al procedimiento que se ha presentado en esta

investigación conducen usualmente a un error máximo del 10%. Por el contrario,

los desplazamientos estimados con la fórmula estática del UBC sobreestiman

groseramente las amplificaciones torsionales dinámicas del aislamiento,

especialmente para razones de flexiblidad torsional menores que uno.

5- Los resultados numéricos han demostrado que la fórmula del código UBC,

basada en una aproximación estática, no conduce a precisas ni conservadoras

aproximaciones de los bordes del aislamiento. Además, para sistemas de

aislamiento torsionalmente flexibles, esto es 1)(0 <Ω b , y excentricidades en la

base 7.0ˆ )( ≤be , la máxima amplificación de la respuesta se produce en el borde

rígido y es usualmente menor que 1.5. Por otro lado, para sistemas de

aislamiento torsionalmente rígidos 1)(0 ≥Ω b , la amplificación máxima se produce

en el borde flexible.

6- La expresión cerrada desarrollada para análisis modal de la base ha demostrado

que conduce a resultados precisos y se propone para reemplazar la fórmula del

código UBC. Esta expresión se ha aplicado al ejemplo de una construcción de 6

pisos y muestra la simplicidad para estimar la amplificación en los bordes del

aislamiento, aspecto que resulta crucial durante el diseño de sistemas de

aislamiento sísmico. La utilidad de esta formulación reside, no sólo en la

simplicidad numérica, sino en la comprensión conceptual del comportamiento

tridimensional de estructuras aisladas asimétricas en planta. Esto resultará

evidente en el Capítulo IV que trata del control de la respuesta acoplada lateral-

torsional de la superestructura. Un resultado intuitivo importante se obtiene de la

observación que el acoplamiento aislamiento-superestructura tiene un efecto

despreciable en la respuesta del aislamiento, y por lo tanto, resulta posible ajustar

91

los parámetros del aislamiento para controlar la respuesta torsional de la

superestructura manteniendo el balance en la respuesta del aislamiento.

IV. CONTROL TORSIONAL SUPERESTRUCTURA

92

IV CONTROL TORSIONAL SUPERESTRUCTURA IV.1 Resumen El objetivo de los sistemas pasivos de aislamiento sísmico es reducir los efectos

destructivos de los terremotos mediante una interfaz flexible dispuesta entre la estructura

y el suelo. Numerosas investigaciones realizadas en los últimos veinte años han

demostrado su gran eficacia en el control de la respuesta traslacional. Sin embargo, hasta

el presente no se han desarrollado reglas de diseño explícitas para controlar el

comportamiento torsional de la superestructura, reduciendo y balanceando esta respuesta

respecto del aislamiento. En éste capítulo se desarrolla una metodología de diseño que

permite controlar este comportamiento en forma óptima. Para ello se asume que el

sistema aislamiento-superestructura puede descomponerse en dos subsistemas en

cascada. El primero es la estructura completa considerada como cuerpo rígido, cuyas

aceleraciones totales constituyen una excitación cuasi-estática para el segundo, la

superestructura. Esta simplificación ha demostrado excelentes resultados en la

estimación de la respuesta del sistema, y se ha usado en este capítulo para obtener

fórmulas explícitas para seleccionar los parámetros de excentricidad y flexibilidad

rotacional del aislamiento que optimizan la respuesta lateral-torsional de la

superestructura. Los resultados obtenidos por medio de conocidas técnicas

probabilísticas, muestran que la respuesta de la superestructura mejora sustancialmente

cuando el sistema de aislamiento es torsionalmente flexible y cuando posee

excentricidad en la misma dirección y del mismo orden que la superestructura.

IV.2 Introducción Los sistemas pasivos de aislamiento sísmico se emplean con el objetivo fundamental de

reducir el efecto destructivo de los terremotos en los edificios y su contenido.

Numerosas investigaciones en los últimos veinte años han logrado crecientes resultados

en este sentido. Sin embargo, cuando la superestructura es asimétrica es usual privilegiar

93

la protección del aislamiento de un eventual comportamiento torsional, relegando a un

segundo plano, o simplemente ignorando, los efectos torsionales en la superestructura.

Las investigaciones realizadas en los últimos años se han enfocado al estudio del

comportamiento torsional del sistema de aislamiento, asumiendo que la mejor solución

es aquella que evita la torsión de éste (Pan y Kelly, 1983; Zayas et al., 1987;

Nagarajaiah, et al., 1993; Tena y Gómez, 2002; Tena y Zambrana, 2005 y Tena y

Escamilla, 2006 ).

El criterio antes señalado está en contradicción con el objetivo del aislamiento basal que

debe diseñarse como "elemento de sacrificio" para proteger a la superestructura. Como

resultado de ello no se conocen actualmente criterios que permitan al diseñador controlar

eficientemente el comportamiento torsional de la superestructura.

Cuando se aíslan estructuras nuevas es posible distribuir la rigidez en la planta de modo

que resulte lo mas simétrica posible. Sin embargo esto no es tan evidente cuando se

realizan rehabilitaciones de estructuras con aislamiento sísmico en estructuras existentes,

sobre todo en edificios de elevado valor histórico o arquitectónico (Moka et. al, 1993).

Un camino posible para tratar el problema es usar herramientas de optimización, sin

embargo esto no permite entender y explicar la naturaleza del comportamiento torsional

de la superestructura.

Tradicionalmente se considera al efecto de aislamiento como un corrimiento de la

frecuencia fundamental de la estructura hacia zonas dónde las seudoaceleraciones

espectrales son sustancialmente menores. Esto implica una demanda importante de

desplazamientos en el aislamiento, por lo que es usual agregar disipación de energía con

el objeto de controlar tales desplazamientos y reducir aún más la respuesta en

aceleraciones (Pan y Kelly, 1983; Moka et al, 1993; Nagarajaiah, et al., 1993).

Sin embargo el efecto del aislamiento puede interpretarse también, como la aplicación

de un filtro pasa banda que atenúa sustancialmente la intensidad de las aceleraciones que

percibe la superestructura.

94

Por otra parte, algunos investigadores (Pan y Kelly, 1983; Nagarajaiah, et al., 1993;

Kulkarni y Jangrid, 2002; Tena y Escamilla, 2006), han observado que la dinámica de la

superestructura interfiere muy poco en la respuesta del sistema de aislamiento.

Una investigación muy reciente (Seguin et al., 2007) demuestra que es posible estudiar

los sistemas aislados como un sistema en cascada, donde el primer bloque es la

estructura completa considerada como un cuerpo rígido, cuyas aceleraciones totales

constituyen la excitación para el segundo bloque, la superestructura (Capítulo III). En

estas condiciones el primer bloque es equivalente a un filtro de Kanai – Tajimi (1957;

1960) con parámetros bω , bζ , frecuencia fundamental y amortiguamiento del sistema

de aislamiento, respectivamente, capaz de modificar las aceleraciones traslacionales e

introducir componentes rotacionales, cuya adecuada combinación permite controlar en

forma óptima la respuesta acoplada de superestructuras asimétricas.

Para comprender el problema y proponer metodologías de diseño, se adopta inicialmente

un sistema estructural de dos pisos, el inferior representativo del aislamiento y el

superior de la superestructura. La aplicación de conocidas técnicas probabilísticas a este

modelo permiten encontrar las condiciones del aislamiento que optimizan la respuesta

torsional de la superestructura sometida a excitación de tipo ruido blanco, las que

posteriormente se extienden al análisis espectral. Finalmente los resultados obtenidos

son generalizados para edificios de múltiples pisos.

IV.3 Sistema considerado y ecuaciones de movimiento La verificación del diseño de los sistemas aislados con acoplamiento torsional requiere

del uso de herramientas de análisis en el rango no lineal de los materiales. Sin embargo,

se observa que la variación del período fundamental del sistema aislado en un amplio

rango de desplazamientos es relativamente baja, permitiendo su estudio y diseño en

rango lineal (Capítulo III). El sistema considerado se muestra en la Figura 4.1, donde el

piso superior representa la superestructura y el inferior el sistema de aislamiento (base),

2a y 2c son el ancho y la profundidad de la planta respectivamente. Se supone que los

95

centros de masas (CM) se encuentran ubicados sobre una misma vertical, y que cada

piso tiene un centro de rigidez (CR) que puede variarse en forma independiente.

Figura 4.1 Sistema superestructura – aislamiento considerado. Grados de libertad relativos para la superestructura y el sistema de aislamiento.

IV.3.1 Ecuaciones exactas del movimiento La ecuación del movimiento puede escribirse de la siguiente manera (Nagarajaiah et al.,

1993), donde los superíndices (s) y (b) se refieren a la superestructura y la base

respectivamente:

gb)

(t)

(s)(s)

(b)

(s)

(b)

(s)

(t)s(s)T

(s)(s)(s)

urm

rmqu

k00k

qu

c00c

qu

mmrrmm (

)(&&

&

&

&&

&&⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ (4.1)

donde [ ]Tθyx uuu=u y [ ]Tθyx qqq=q son los vectores de grados de libertad

(GDL) de la superestructura respecto a la base y de la base respecto al suelo,

respectivamente, )(su θρθ = y )(bq θρθ = , donde 12/)(2 22 ca +=ρ es el radio de giro

96

de la masa, (b)(s)(s)T(s)(t) mrmrm += es la matriz de masa total, con Im (s)m=(s) y

Im )( b(b) m= , siendo I la matriz identidad de orden 3; )( sm y )( bm la masa traslacional de

la superestructura y del aislamiento respectivamente; y Irr == (b)(s) son las matrices de

colocación de la excitación [ ]Tggg yx &&&&&& ,=u .

Considerando el caso monosimétrico con excitación en la dirección y solamente, las

submatrices de rigidez de la superestructura y del aislamiento están dadas por:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+Ω= 2)(2)(

0)(

)()( 1

sss

ss(s)

êêê

kk (4.2)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+Ω= 2)(2)(

0)(

)()( 1

bbb

bb(b)

êêê

kk (4.3)

donde )(sk y )(bk son la rigideces traslacionales; )(sê y )(bê las excentricidades

normalizadas al radio de giro ρ ; y )(0

sΩ , )(0

bΩ son las relaciones de flexibilidad torsional

de la superestructura con base fija y del sistema de aislamiento, respectivamente:

ρ

κωωθ

)(

)(

)()(

0

s

sy

ss ==Ω (4.4)

ρ

κ=ω

ω=Ω θ

)(

)(

)()(

0

b

by

bb (4.5)

donde )()( y by

sy ωω son las frecuencias traslacionales, mientras que )( s

θω y )( bθω son las

frecuencias rotacionales; )()( y bs κκ son los radios de giro de la rigidez de la

superestructura con base fija y del aislamiento, respectivamente, tomando como

referencia sus respectivos centros de rigidez.

La matrices de rigidez presentadas en la Ecuaciones (4.2) y (4.3) corresponden a una

falta de alineamiento entre CM y CR, existen otras formas de introducir excentricidad

97

(Annigieri et al., 1996), que conducen a diferentes formas de las Ecuaciones (4.2) y

(4.3), sin embargo este aspecto es puramente formal y no afecta los resultados finales.

Las submatrices de amortiguamiento de la superestructura y el aislamiento se

construyen a partir de

(s)T(s)(s)(s)(s)(s) mcmc φφ ~= ; (t)T(b)(b(b)(t)(b) mcmc ) φφ ~= (4.6)

donde [ ])(2

)()(1

)(, 22~ ssssb)(s ωζωζ=c son las matrices diagonales de amortiguamiento, )( sφ

y )( bφ son las formas modales, )( sζ y )( bζ los amortiguamientos y )(2,1

sω y )(2,1

bω las

frecuencias acopladas de la estructura con base fija y de la base asumiendo

superestructura infinitamente rígida, respectivamente.

En este capítulo hemos considerado el caso general en que el amortiguamiento es

variable para cada modo, particularizando los ejemplos para el caso de amortiguamiento

constante tanto para los modos aislados como para los de la superestructura con base

fija.

IV.3.2 Modelo cuasi-estático El sistema acoplado de Ecuaciones (4.1) puede aproximarse (Capítulo III) por medio del

siguiente par de ecuaciones:

( ) (b)

(a)

t(s)(s)(s)

g(b)(t)(b)(b)(t)

∞−=

−=++

qrmuk

urmqkqcqm

&&

&&&&& (4.7)

donde

( ) ( ))()(1

)( t(b)

t(b)(t)

g(b)

tt qkqcmurqq +−=+=

−

∞&&&&& (4.8)

98

0.01 0.1 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

normalized structure period

pseu

doac

cele

ratio

ns (

%)

El Centro

Sylmar

Llo Lleo

Kobe

Melipilla

Seud

oace

lera

cion

es (

%)

Periodo normalizado de la superestructura

es el vector de aceleración total del sistema aislado, considerando la estructura completa

como cuerpo rígido. En la Figura 4.2 se muestran los espectros de seudoaceleración para

05.0)( =ζ s correspondientes a los registros históricos indicados en la Tabla IV.1

normalizados a aceleración máxima unitaria, y filtrados con un filtro de Kanai - Tajimi

con parámetros .5.2)( segT b = y 15.0)( =ζ b . El eje de abscisas ( tf ) es el periodo de la

superestructura )( sT normalizado por el período del filtro )( bT . Puede apreciarse que el

efecto de filtrado produce una importante ampliación de la llamada "zona de aceleración

de período cero" (ZPA) (Salmonte, 1982; Singh, 1983; Gupta, 1987; Gupta, 1990) hasta

aproximadamente 3.0=tf , límite práctico de aplicación de los sistemas aislados.

Figura 4.2 Aislamiento sísmico como filtro pasa-banda. Ampliación zona ZPA. Espectros ( aS ) de piso normalizados para la base ( sT b 5.2)( = ; 15.0)( =ζ b ), para la

aplicación cinco registros de sismos históricos (Tabla V.I).

99

−4

−2

0

2

4

left

edge

0 2.5 5 7.5 10 12.5 15−4

−2

0

2

4

right

edg

e

time (sec)

Bor

de iz

quie

rdo

Bor

de d

erec

ho

tiempo (s)

b)

−2

−1

0

1

2

left

edge

0 2.5 5 7.5 10 12.5 152

−1

0

1

2

right

edg

eB

orde

izqu

ierd

o B

orde

der

echo

a) modelo exacto modelo cuasi-estático

Tabla IV.1 Caracterización de registros empleados. Grupo Registro Dirección AMS (g) VMS (cm/s) DMS (cm)

Suelo II Melipilla NS -0.687 34.289 13.300 Suelo II Llo Lleo N10E -0.713 -40.295 -10.786 Suelo III Viña del Mar S20W 0.363 30.742 -5.534 Suelo III Arleta N00E 0.344 40.360 8.000 Suelo II Corralitos N00E 0.630 -55.200 8.880 Suelo I El Centro N00E -0.348 -33.450 -12.360 Suelo II Kobe N00E 0.822 81.300 -17.690 Suelo II Sylmar N00E 0.843 -128.880 -30.670

Suelo I: Vs>900m/s Suelo II: 400 m/s< Vs <900 m/s Suelo III: Vs < 400 m/s

Figura 4.3 Integración dinámica - modelo cuasi-estático. Registro El Centro π=ω 8.0)( b ; 2.0)( =ζ b ; 05.0)( =ζ s ; 7.0)(

0 =Ω b ; 2.1)(0 =Ω s ; 0)( =bê ; 3.0)( =sê . a) π=ω 4)( s ; b)

π=ω 67.2)( s .

100

Para mostrar la buena aproximación que se obtiene con base en éstas hipótesis, se

presenta la Figura 4.3.

En ella se comparan los desplazamientos en los bordes de la superestructura obtenidos

mediante integración directa del sistema de Ecuaciones (4.1) y mediante la aplicación de

las Ecuaciones (4.7) para el registro de El Centro. Los parámetros considerados para la

superestructura y el aislamiento son los siguientes: a) π=ω 4)( s (arriba) y b) π=ω 67.2)( s

(abajo); 05.0)( =ζ s ; 3.0)( =sê ; π=ω 8.0)( b ; 2.0)( =ζ b ; 0.0)( =bê , ambos amortiguamientos

constantes para todos los modos y con razones de flexibilidad torsional 7.0)(0 =Ω b y

2.1)(0 =Ω s . Las dimensiones de la planta son .0.5 ma= ; .5.2 mc= Se aprecia un excelente

ajuste entre ambas respuestas para π=ω 4)( s , con un pequeño desfase debido al

amortiguamiento de la superestructura que el modelo cuasi-estático propuesto

obviamente no considera. Para π=ω 67.2)( s el ajuste todavía es aceptable.

IV.4 Control de la respuesta de la superestructura El objetivo de esta sección es obtener expresiones explícitas aproximadas que permitan

controlar el comportamiento torsional de la superestructura en forma óptima.

Podemos definir el control del comportamiento torsional de una estructura desde dos

puntos de vista. El primero, que podemos denominar control fuerte, implica desacoplar

físicamente los movimientos torsionales de los traslacionales. Este es un fenómeno bien

conocido en dinámica estructural y se obtiene en un sistema de un piso cuando coincide

el centro de masas con el de rigidez. El segundo, que denominaremos control débil, se

obtiene cuando los planos resistentes equidistantes del centro geométrico experimentan

la misma demanda de desplazamiento (de la Llera et al., 2005)

En un sistema aislado de un piso, dada la condición de aplicación cuasi-estática de la

excitación, es teóricamente posible alcanzar la condición de control fuerte. Para ello

bastaría con concentrar la rigidez en un solo dispositivo de aislamiento y ubicarlo bajo el

centro de rigidez de la superestructura. Esto tiene un efecto equivalente a desplazar el

101

0 2.5 5 7.5 10 12.5 15−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

disp

lace

men

t (cm

)

time (sec)

Borde izquierdo Borde derecho

tiempo (s)

desp

laza

mie

ntos

(cm

) centro de masa hacia el centro de rigidez. Nótese, sin embargo, que en este caso el

aislamiento es asimétrico e infinitamente flexible torsionalmente.

En la Figura 4.4 se presenta el caso de una superestructura con período propio

sT s 3.0)( = ; 05.0)( =ζ s y 30.0)( =sê montada sobre un sistema de aislamiento con

5.2)( =bT , 20.0)( =ζ b en el que se ha supuesto 30.0)()( == sb êê y 1.0)(0 =Ω b . Se puede

observar que el comportamiento torsional de la superestructura prácticamente se anula.

Figura 4.4 Respuesta ideal de una superestructura asimétrica.

Sistema sometido al registro El Centro empleando las ecuaciones exactas. ( sT s 3.0)( = ; 0.1)(

0 =Ω s ; 05.0)( =ζ s ; 3.0)( =sê ; sT b 5.2)( = ; 1.0)(0 =Ω b ; 2.0)( =ζ b ; 3.0)( =bê ).

Aunque en estructuras aisladas reales no es posible concentrar la rigidez en un solo

dispositivo, los resultados mostrados en la Figura 4.4 indican que, dando adecuadas

condiciones de excentricidad y flexibilidad torsional al aislamiento, es posible minimizar

el comportamiento torsional de la superestructura.

Nótese que de la Ecuación estática (4.7b) se obtiene el corte y el momento de torsión

que actúan sobre la superestructura. Resulta evidente que si la resultante de corte

instantánea pasa siempre por el centro de rigidez de la superestructura, ésta no

experimentará torsión. Se puede demostrar (Anexo G) que la distancia desde el CM al

punto de paso de esta resultante corresponde a una distribución de Cauchy, cuya

mediana debe coincidir con la distancia del centro de masa al centro de rigidez de la

superestructura ( )( sCR ) si se desea minimizar su respuesta torsional. En otras palabras la

102

condición para minimizar la torsión en la superestructura es que la resultante de la

aceleración absoluta pase por el entorno del centro de rigidez.

Desarrollamos a continuación una metodología probabilística para obtener los

parámetros del aislamiento que optimizan la respuesta torsional de la superestructura.

IV.4.1 Paso 1: Cálculo de la matriz de covarianza de aceleración

total

En esta sección obtenemos la matriz de covarianza ( )[ ]Ttt∞∞ qqE &&&& de las aceleraciones

totales medidas en el CM del sistema de aislamiento, asumiendo que la masa de la

superestructura se encuentra rígidamente vinculada a él. Comenzamos definiendo la

siguiente descomposición modal:

)()( bb ΨΦq= (4.9)

donde )( bΦ son los modos de vibración asociados a la Ecuación (4.7a) y

[ ]Tb21

)( ΨΨ=Ψ el correspondiente vector de coordenadas modales. Premultiplicando la

Ecuación (4.8) por T(b)Φ , y utilizando la Ecuación (4.9) se obtiene:

(t)(t)2(t) (b)2(b)(b)(b)(b)(b) ΨΨqΦ ωωζυ −−== ∞&&&&& tT (4.10)

donde υ&& es el denominado vector de aceleración modal total.

Las frecuencias propias normalizadas a la frecuencia traslacional desacoplada y las

formas modales normalizadas a masa modal se obtienen con las siguientes expresiones

(Capítulo III)

( )[ ] )(4121 2)(

02)(

02)(

, assigns bbbtr Ω−Ω−=ω m

103

)(1ˆ

1ˆ1)(2)(

2)()()( b

êê

d bbr

br

bb

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−ω−ω

=Φ (4.11)

siendo ( ) 2)(22)( 1 bbr êd +−ω= ; 2)(2)(

01 bb ês +Ω+= ; donde el subíndice r (rotacional

dominante) se asocia al signo negativo en la Ecuación (4.11a) y el t (traslacional

dominante) al positivo (Capítulo III). Notar que la función sign en la Ecuación (4.11a) se

incluye para que la frecuencia rotacional dominante sea la primera en la secuencia, de

acuerdo con el ordenamiento de las formas modales de la Ecuación (4.11b). Adviértase

que cuando 1)(0 =Ω b en la Ecuación (4.11a) se produce una singularidad, la que se salva

asumiendo 1)0( =sign .

La matriz de covarianza de la aceleración modal total se calcula como:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] (b)(b)Tbb(b)(b)Tbb(b)(b)

(b)Tbb(b)(b)(b)Tbb(b)(b)

bt

bt

br

br

EE

EEsym

E

ωζωωωζ

ωωωζωζυυ

)()(22)()(

2)()(2)()(

)(4

)(4

)(4

)(4

22

4~

~~~~

ΨΨΨΨ

ΨΨΨΨT

&&

&&&&&&

++

+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

λ

λλνλ=

(4.12)

donde )(4

~ brλ y )(

4~ b

tλ son las varianzas de aceleración total de los modos rotacional y

traslacional dominantes respectivamente y ν~ el coeficiente de correlación entre ellas.

Las matrices de covarianza asociadas a las coordenadas modales de velocidad y

desplazamiento fueron obtenidas por Der Kiureghian (1981) para excitación tipo ruido

blanco.

Los términos de la ecuación anterior expresados en función de los parámetros del

sistema de aislamiento, y suponiendo excitación tipo ruido blanco de intensidad W , son

las siguientes (Anexo H):

104

( )r

b

r

rrb

br d

êWd

ê42

2)(2

2

2)()(

4 441~

λζ

ζωλ =+

= (a) 4.13

( ) ( ) ( )t

bt

t

ttb

tbt d

Wd 42

22)(2

2

22)()(

41

4411~

λω

ζζωω

λ−

=+−

= (b)

( )[ ]

( )( )( ) ( )( )rttrttrrtrtrtr

trrttrrttrtrtrtr

ωζωζωζωζωωωωζζ

ωζωζωιζωζωωζζωωζζν

+++−++

+++=

44141

48~22222

33

(c)

donde r4λ y t4λ son las varianzas de aceleración total de vibradores de un grado de

libertad con frecuencias )()( ˆ br

br ωωω = y )()( ˆ b

tb

t ωωω = , y amortiguamientos rζ y tζ ,

respectivamente. Expresiones simplificadas de ν~ pueden consultarse en el Anexo H.

Luego, combinando las ecuaciones (4.8), y (4.10) a (4.13) se obtiene la matriz de

covarianza de aceleraciones totales para ruido blanco:

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

λλλνλ=∞∞ )(

4

)(4

)(4

)(4

bt

bt

br

brtt

symE Tqq &&&& (a) (4.14)

( ) ( )[ ]tb

rrtb

rb

rbb

t êêd 4

42)(44

22)(2)(4

4)(4

)(4 1ˆ~1ˆ21 λ−ω+λλν−ω+λ=λ (b)

( ) ( )ttrr

br

bbr d

ê44444

22)(2)()(

4~2

1ˆλ+λλν−λ

−ω=λ (c)

( ) ( )[ ] ( ) rb

rtrbb

rrb

br

bbr

bt êê

dê

422)(

442)(22)(

42)(

4

2)()()(

4)(

4 1ˆ~1ˆ1ˆλ−ω−λλν−−ω+λ

−ω=λλν (d)

105

donde )(4btλ y )(

4brλ son las varianzas de aceleración total traslacional y rotacional

respectivamente en el aislamiento, y ν su coeficiente de correlación. Notar que estas

expresiones dependen tanto del aislamiento (filtro pasa banda) como de la excitación.

Obtenida la matriz de covarianza de aceleraciones totales del aislamiento, es posible

ahora calcular la matriz de covarianza de las deformaciones de la superestructura, y a

partir de ésta, obtener finalmente las condiciones para controlar su comportamiento

torsional.

IV.4.2 Paso 2: cálculo de la matriz de covarianza de

desplazamientos de la superestructura A partir de la Ecuación (4.7b), y llamando:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+Ω

Ωω==

−

11

)(

)(2)(2)(0

2)(0

2)(

1

s

sss

ss(s)(s)

êêê

mkJ (4.15)

la matriz de covarianza de desplazamientos de la superestructura se obtiene a partir de:

[ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

λ

λλμλ== ∞∞ (s)

r0

(s)r0

(s)t0

(s)t0

symEE TTtt JqqJuu T &&&& (a) (4.16)

( ) ( )[ ])(4

2)()(4

)(4

2)(2)(0

)()(4

22)(2)(04)(

04)(

)(0 21 b

rsb

rbt

sssbt

ssss

st êêêê λ+λλν+Ω−λ+Ω

Ωω=λ (b)

( ) )(4

)(4

)(4

)()(4

2)(4)(

04)(

)(0 21 b

rbr

bt

sbt

sss

sr êê λ+λλν−λ

Ωω=λ (c)

106

( )[

])(4

)(4

2)(0

)(4

2)(0

)(4

)()(4

)(4

2)()(4

3)(4)(

04)(

)(0

)(0 21

br

bt

s

bt

sbr

sbt

br

sbt

sss

st

sr êêê

λλνΩ−

λΩ+λ+λλν−λΩω

=λλμ (d)

donde )(0stλ y )(

0srλ son las varianzas de desplazamiento y rotación de la superestructura

respecto al aislamiento, y μ su coeficiente de correlación.

A partir de estas Ecuaciones es posible finalmente encontrar las condiciones para

optimizar la respuesta torsional de la superestructura, para lo cual se definen los dos

criterios que se describen a continuación.

IV.4.2.1 Rotación mínima Bajo la aproximación cuasi-estática, la rotación de la superestructura depende de los

parámetros )( bê y )(0

bΩ . Sin embargo según se observó en la sección IV.4 (Figura 4.4), a

medida que 0)(0 →Ω b se favorece el control torsional de la superestructura, por lo que

nos centraremos en la búsqueda del parámetro )( bê óptimo para )(0

bΩ conocidos.

Entonces, la mínima rotación de la superestructura se obtiene derivando la Ecuación

(4.16c) respecto de )(bê . Sin embargo, analizando las Ecuaciones (4.11) a (4.14), se

observa que sus relaciones funcionales están fuertemente acopladas, de manera que no

es posible encontrar relaciones simples. Se plantea entonces la necesidad de encontrar un

procedimiento alternativo que pueda conducir a una expresión simple.

Así, asumiendo que el proceso considerado es ergódico, resulta simple estimar

numéricamente la Ecuación (4.16c) para una realización dada, para un valor de )(0

bΩ

conocido y para todo el rango de excentricidades teóricas )( sê y )( bê . La Figura 4.5

muestra las curvas de nivel de )(0srλ normalizadas con (s)

rmáx0λ para el registro de El Centro

y 7.0(b)0 =Ω . Se puede apreciar que para un valor )( sê conocido (situación real) el valor

de )( bê que minimiza la rotación es igual al que se obtendría en la situación contraria; es

decir, asumiendo que )( bê es conocido y derivando respecto a )( sê . Los resultados

mostrados en la Figura 4.5 son muy similares a los obtenidos para otros registros

sísmicos, y en general para valores de 0.1(b)0 <Ω

107

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

ê(s)

ê(b)

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

0.3

0.3

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.4

0.6

0.6 0.6

0.6

0.8

0.8

Basándonos en esta observación y teniendo en cuenta que en las Ecuaciones (4.16) )( sê

es una variable independiente debido a la aproximación cuasi-estática empleada,

obtengamos de la Ecuación (4.16c) la excentricidad óptima )( bê de la siguiente manera:

0:)(

)(0

)(

=∂

λ∂s

sr

bom

êaSujeto

êBuscar (4.17 a)

Esta expresión puede escribirse alternativamente como:

)(

4

)(4

)(4)(

)(

:bt

br

bts

om

bom

êaSujeto

êBuscar

λ

λλν=

(4.17 b)

donde (s)omê es la excentricidad de la superestructura que minimiza su propia rotación para

una excentricidad )( bê conocida.

Esta expresión resulta muy fácil de aplicar con fines de diseño.

Figura 4.5 Varianza de rotación. Curvas de nivel para El Centro.

Varianza (s)r0λ normalizadas con (s)

rmáx0λ para 7.0)(0 =Ω b , asumiendo proceso ergódico.

108

IV.4.2.2 Balance torsional (control torsional débil) Según recientes trabajos de de la Llera, Almazán y Vial (2005) la condición de balance

torsional de una estructura con acoplamiento lateral-torsional se alcanza anulando el

coeficiente de correlación entre desplazamientos y rotaciones en el centro geométrico de

la estructura, coincidente en éste caso particular con el CM. La excentricidad que

permite balancear la respuesta torsional de la superestructura está dada entonces por la

raíz real de la Ecuación (4.16d):

( )[] 0

21:

)(4

)(4

2)(

)(4

2)(0

)(4

)()(4

)(4

2)()(4

3)(4)(

04)(

)(

=⎟⎟⎠

⎞λλνΩ−

⎜⎜⎝

⎛λΩ+λ+λλν−λ

Ωωbr

bt

so

bt

sbr

sbr

bt

sbt

sss

bob

êêêaSujeto

êBuscar

(4.18)

Es evidente que ambos criterios no resultan necesariamente iguales. Esta condición se

verificará en el exclusivo caso en que la excentricidad óptima dada por la Ecuación

(4.17b) anule la Ecuación (4.16d).

IV.4.2.3 Control torsional fuerte En razón de los resultados alcanzados en las secciones anteriores, resulta de gran interés

analizar si es posible alcanzar el control fuerte de la respuesta torsional de la

superestructura, esto es minimizar y balancear la rotación en forma simultánea. Para

satisfacer ambas condiciones la excentricidad )( sê de la Ecuación (4.17b) debe ser raíz de

la Ecuación (4.16d). Realizando esta sustitución obtenemos la condición (Anexo I):

1=ν (4.19)

condición que corresponde a 0(b)0

(s)(b) =Ω= yêê . Aunque físicamente imposible de

alcanzar, esta condición nos indica que la solución óptima se obtiene haciendo que ν

109

resulte lo más próximo posible a la unidad, esto es equivalente a hacer 0)(0 →Ω b , lo que

es consistente con los resultados mostrados en la Figura 4.4.

Los ecuaciones obtenidas en ésta sección son válidas sólo para el caso de ruido blanco,

por lo que resulta de gran interés práctico extenderlas al análisis modal espectral, lo que

se desarrolla en la siguiente sección.

IV.5 Control torsional usando información espectral En esta sección se extienden las condiciones de control obtenidas para ruido blanco al

análisis modal espectral.

Resulta un hecho conocido que (Der Kiureghian, 1981)

[ ] 2/12

)(xi

imáx pxE λ= (4.20)

donde p es el factor de máximo asociado a la desviación estándar 2/12 xiλ , x es una variable

aleatoria; e )(i denota el orden de derivación respecto al tiempo.

Reemplazando ésta última expresión en ambos miembros en las Ecuaciones (4.14) se

obtiene:

( ) ( )[ ]242)(22)(2)(24)(4

2)( 1ˆ~1ˆ21t

brtr

br

br

bbt SSSêSê

dS −ω+ν−ω+= 4.21(a)

( ) ( )22

4

22)(2)(2)( ~2

1ˆttrr

br

bb

r SSSSd

êS +ν−

−ω= (b)

( ) ( )[ ] ( ) 242)(2)(22)(24)(

4

22)(2)()()( 1ˆ~1ˆ1ˆ

tb

rtrbb

rrb

br

bb

rb

t SSSêSêd

êSS −ω−ν−−ω+

−ω=ν (c)

110

donde )( btS y )( b

rS son las esperanzas de aceleración total máxima en el aislamiento, rS

y tS las esperanzas de aceleración total máxima de vibradores de 1 GDL con

frecuencias rω y tω , respectivamente ν~ es el coeficiente de correlación de

aceleraciones modales totales suponiendo la aproximación de ruido blanco (Ecuación

4.13c). En las Ecuaciones (4.21) rS y tS se pueden obtener a partir de las

seudoaceleraciones espectrales rS y tS y de los amortiguamientos modales rζ y tζ tal

como se indica en el Anexo I. Por lo tanto, la Ecuación (4.17) se puede escribir en

términos de esperanzas de aceleraciones máximas como:

)(

)(

2)(

)()()(

)(

: bt

br

bt

bt

brs

om

bom

SS

SSSêasujecto

êBuscar

νν==

(4.22)

Esta importante Ecuación indica que la excentricidad )( sê para la cual se minimiza la

respuesta torsional de la superestructura, está dada por el cuociente entre los valores

esperados de aceleración total máxima de rotación y traslación del aislamiento,

ponderado por el coeficiente de correlación ν . En otras palabras, cuando )( sê coincide

con el punto de paso más probable de la resultante instantánea de aceleración

traslacional total tq ∞&& (Anexo G).

Por otra parte, sustituyendo la Ecuación (4.20) en la Ecuación (4.16d), la condición de

balance se obtiene como la raíz real de la ecuación:

( ) 02: )()(2)(0

2)(2)(0

2)()()()(2)(2)(3)(

)(

=Ω−Ω++− br

bt

sbt

sbr

sbr

bt

sbt

s

bob

SSSSêSSêSêasujecto

êBuscar

νν

(4.23)

111

Al igual que para ruido blanco, la condición de mínima rotación expresada por la

Ecuación (4.22) es simultáneamente condición de balance torsional sólo si 1=ν . En este

caso el problema se vuelve determinístico.

Por otra parte, obsérvese en las Ecuaciones (4.14) y (4.21) que ν depende de las

características del aislamiento y de la excitación, resulta por lo tanto de gran interés

analizar los valores que alcanza ν para distintos tipos de excitaciones.

IV.6 Resultados obtenidos (Control torsional fuerte) En ésta sección analizaremos bajo qué condiciones se obtiene el control fuerte de la

torsión en la superestructura. En una primera etapa obtendremos los parámetros óptimos

del sistema de aislamiento para luego cuantificar la reducción de la respuesta torsional

que podemos obtener. Se emplearán las excitaciones mostradas en la Tabla IV.1 y los

espectros de pseudo-desplazamiento que se muestran en la Figura 4.6.

IV.6.1 El coeficiente de correlación ν En las secciones anteriores se aprecia que el coeficiente de correlación ν es

determinante en el control de la respuesta torsional de la superestructura, obteniendo la

condición de balance cuando este parámetro es igual a uno. En la Figura 4.7 graficamos los valores de ν obtenidos para distintas excentricidades y

relaciones de frecuencia )(0

bΩ y para La excitaciones: (i)- ruido blanco ( WN ); (ii)-

espectro probabilístico (PS) envolvente al promedio de 8 registros históricos (Tabla

IV.1); (iii)- espectro del registro de El Centro (EC) y (iv)- espectro del UBC (1997),

todos éstos representados en la Figura 4.6.

112

−1

−0.5

0

0.5

1

ν

Ruido blanco Espectro UBC

Ω0(b)= 0.2

Ω0(b)= 0.6

Ω0(b)= 0.8

Ω0(b)= 1.0

Ω0(b)= 1.4

0 0.5 1 1.5 2−1

−0.5

0

0.5

1

ν

Espectro El Centro

ê(b)0 0.5 1 1.5 2

Espectro Probabilistico

ê(b)

4.1,0.1,8.0,6.0,2.0)(0 =Ω b 4.1,0.1,8.0,6.0,2.0)(

0 =Ω b

4.1,0.1,8.0,6.0,2.0)(0 =Ω b 4.1,0.1,8.0,6.0,2.0)(

0 =Ω b

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

ω

disp

lace

men

ts

espectro

espectro El

espectro

espectro promedio de 8 registros

Des

plaz

amie

ntos

(cm

)

Figura 4.6 Espectro de pseudo-desplazamiento para distintas excitaciones.

Figura 4.7 Coeficiente de correlación ν entre aceleraciones de traslación y torsión total. Obtenido para: π=ω 8.0)( b ; 2.0)( =ζ b , Observe que ν es inversamente proporcional a

(b)0Ω y fuertemente dependiente de la excitación

113

Allí puede apreciarse en todos los casos que ν es inversamente proporcional a )(0

bΩ , y

alcanza valores en el entorno de la unidad para 2.0)(0 =Ω b en todos los casos. Para los

espectros PS y EC esta situación se mantiene aún para valores de 8.0)(0 =Ω b . Por el

contrario, para las excitaciones WN y UBC, ν disminuye rápidamente con el

incremento de )(0

bΩ .

Este fenómeno se explica considerando que la seudoaceleración espectral S queda

expresada en términos del espectro de desplazamientos ( dS ) como: dSS 2ω= . Observe

que los espectros de desplazamientos PS y EC poseen una meseta aproximadamente

constante en el rango de frecuencias tr ωω y (Figura 4.6). Por lo tanto, cuando 1)(0 <Ω b

se verifica que rt ω>ω y en consecuencia rt SS >> y resulta que la aceleración

traslacional total resultante tiende a desplazarse hacia el borde rígido del aislamiento.

Contrariamente, cuando el espectro de desplazamientos resulta inversamente

proporcional a la frecuencia, como en el caso de las excitaciones WN y UBC, este

efecto se atenúa y el coeficiente ν se aleja de la unidad.

Asimismo, cuando 1)(0 >Ω b ( tr ω>ω ), predominan las aceleraciones rotacionales y por

lo tanto la resultante de traslación tiende a desplazarse hacia el borde flexible, haciendo

que ν resulte en todos los casos muy inferior a la unidad, y llega a cambiar de signo en

casos extremos ( 4.1)(0 =Ω b ).

IV.6.2 Excentricidades óptimas del aislamiento A continuación se presentan en las Figuras 4.8 y 4.9 las combinaciones de

excentricidades óptimas que permiten minimizar la rotación y obtener el control débil de

la torsión en la superestructura.

Para su construcción se siguieron las etapas enumeradas a continuación: (1) para una

frecuencia aislada )( bω , amortiguamiento )( bζ y razón de flexibilidad torsional )(0

bΩ ,

adoptamos distintos valores de )( bê y, por aplicación de las Ecuaciones (4.11)

obtenemos las frecuencias rω y tω y las formas modales asociadas (b)rφ y (b)

tφ ; (2) con

114

−0.25

0

0.5

1

1.5

2

ê(s)

Ruido blanco Espectro UBC

0 0.5 1 1.5 2−0.25

0

0.5

1

1.5

2

ê(s)

ê(b)

Espectro El Centro

0 0.5 1 1.5 2

Espectro Probabilistico

ê(b)

2.0,6.0,8.0,0.1,4.1)(0 =Ω b

2.0,6.0,8.0,0.1,4.1)(0 =Ω b

2.0,6.0,8.0,0.1,4.1)(0 =Ω b 2.0,6.0,8.0,0.1,4.1)(

0 =Ω b

los datos anteriores y aplicando la Ecuación (4.13c) obtenemos ν ; (3) aplicando las

Ecuaciones (4.13a y b) para ruido blanco ó a partir de un espectro de pseudo-

aceleraciones (Anexo E), obtenemos r4λ , t4λ ó rS , tS , respectivamente; (4) por

aplicación las Ecuaciones (4.14) ó (4.21) obtenemos )(4brλ , )(

4btλ y )(

4)(

4bt

br λλν , ó 2)( b

rS ,

2)( btS y )()( b

tb

r SSν , para ruido blanco ó para un espectro, respectivamente; (5) la raíz de

la Ecuaciones (4.16d) ó (4.23) y la aplicación de las Ecuaciones (4.17) ó (4.22) permiten

obtener )( sobê y )( s

omê control débil y torsión mínima en la superestructura, respectivamente.

Advierta que (s)obê depende de la razón de flexibilidad torsional )(

0sΩ ; (6) finalmente,

graficamos los pares de valores )( somê , )( bê y )( s

obê , )( bê que minimizan y balancean la

respuesta torsional de la superestructura para .)(0 cteb =Ω

Figura 4.8 Excentricidades óptimas empleando el criterio de rotación mínima. π=ω 8.0)( b ; π=ω 4)( s ; 05.0)( =ζ s ; 2.0)( =ζ b .

115

Para la obtención de estas Figuras se han considerado valores de )(0

bΩ comprendidos

entre 0.2 y 1.4 y las excitaciones definidas precedentemente. En la Figura 4.9 se presenta

la influencia de )(0

bΩ en la minimización torsional de la superestructura que, como se

determinó en la sección anterior, se encuentra íntimamente vinculada a ν . Por lo tanto,

de su análisis resulta claro que aislamientos con relaciones de flexibilidad torsional

1)(0 <Ω b (torsionalmente flexibles) permiten un mejor control torsional de la

superestructura que aquellas con 1)(0 >Ω b (torsionalmente rígidas). Por otra parte, para

excitaciones del tipo PS y EC la excentricidad en el aislamiento que minimiza la torsión

en la estructura para 1)(0 <Ω b es del mismo orden que la excentricidad de la

superestructura, en tanto que para excitaciones tipo WN y UBC esta excentricidad de

control es sensiblemente superior o simplemente imposible de obtener.

Para 1)(0 >Ω b la excentricidad necesaria en el aislamiento para minimizar la respuesta de

la superestructura es sensiblemente superior para todas las excitaciones consideradas.

En la Figura 4.10 se presentan las combinaciones de excentricidades )( sobê , )( bê que

permiten el control débil de la torsión en la superestructura. Debido a que las Ecuaciones

(4.16d) y (4.23) dependen de la razón de flexibilidad torsional de la superestructura, se

contemplan aquellos casos en que a) 7.0)(0 =Ω s y b) 4.1)(

0 =Ω s .

Para 7.0)(0 =Ω s y 1)(

0 <Ω b se observa que el rango de excentricidades donde se alcanza el

control débil de la superestructura es inversamente proporcional a )(0

bΩ . Para 1)(0 >Ω b la

posibilidad de alcanzar este control en la superestructura es más restringida y se limita a

valores )( sê muy pequeños (Figura 4.9).

Por el contrario para 4.1)(0 =Ω s , con 1)(

0 <Ω b el rango de excentricidades en que se puede

obtener el control débil de la superestructura es prácticamente el mismo que para

minimizar la rotación. En este caso las combinaciones de excentricidad son

prácticamente coincidentes y se puede alcanzar el control fuerte (Figuras 4.8 y 4.9).

116

−0.25

0

0.5

1

1.5

2

ê(s)

Ruido blanco

Ω0(s) = 0.7

Espectro UBC

0 0.5 1 1.5 2−0.25

0

0.5

1

1.5

2

ê(s)

ê(b)

Espectro El Centro

0 0.5 1 1.5 2

Espectro probabilistico

ê(b)

2.0;6.0;8.0;0.1;4.1)(0 =Ω b 2.0;6.0;8.0;0.1;4.1)(

0 =Ω b

2.0;6.0;8.0;0.1;4.1)(0 =Ω b 2.0;6.0;8.0;0.1;4.1)(

0 =Ω b

−0.25

0

0.5

1

1.5

2

ê(s)

Ruido blanco

Ω0(s)= 1.4

Espectro UBC

0 0.5 1 1.5 2−0.25

0

0.5

1

1.5

2

ê(s)

ê(b)

Espectro El Centro

0 0.5 1 1.5 2

Espectro probabilistico

ê(b)

2.0;6.0;8.0;0.1;4.1)(0 =Ω b

2.0;6.0;8.0;0.1;4.1)(0 =Ω b 2.0;6.0;8.0;0.1;4.1)(

0 =Ω b

2.0;6.0;8.0;0.1;4.1)(0 =Ω b

Figura 4.9 Excentricidades óptimas empleando el criterio de balance torsional.

π=ω 8.0)( b ; π=ω 4)( s ; 05.0)( =ζ s ; para 2.0)( =ζ b ; a) 7.0)(0 =Ω S ; b) 4.1)(

0 =Ω b .

117

Para estructuras con 1)(0 =Ω b se observa que es posible alcanzar el control débil en un

rango de excentricidades menor. Esto se debe al descenso de ν ya que no se verifica el

predominio de ninguno de los modos aislados en la respuesta del aislamiento. En este

caso, no se puede alcanzar el control torsional fuerte de la superestructura.

Para el caso en que 4.1)(0

)(0 =Ω=Ω bs se observa qu no es posible alcanzar el control débil

de la superestructura para pequeñas excentricidades. Para ésta rigidez torsional del

aislamiento, se observa que en algunos casos el signo de la excentricidad debe ser

contrario al de la superestructura. La excitación tipo WN constituye el caso extremo

para esta combinación de relaciones de flexibilidad torsional.

Resulta claro que la mayor rigidez torsional de la superestructura resulta determinante

para el control débil de la superestructura. Esto puede explicarse considerando que para

un instante cualquiera t es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+Ω

Ωω=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡(t)(t)

11

(t)(t)

tθ

ty

(s)

(s)2(s)2(s)0

2(s)0

2(s)θ

y

qq&&

&&

êêê

uu

(4.24)

Operando con la ecuación anterior resulta que:

( )[ ](t)(t)(t)1(t) ty

(s)tθ

(s)ty

2(s)02(s)

02(s)y qqq &&&&&& êêu −−ΩΩω

= (4.25)

( )(t)(t)1(t) ty

(s)tθ2(s)

02(s)θ qq &&&& êu −Ωω

= (4.26)

Por lo que finalmente:

(t)(t)1(t) θ(s)t

y2(s)y uêu −ω

= q&& (4.27)

118

Del análisis de la Ecuación (4.27) resulta evidente que si )(0

sΩ es pequeño, el segundo

término (torsional) prevalece marcadamente sobre el primero (traslacional), haciendo

que )(tu y y )(tu θ estén fuertemente correlacionados, situación que dificulta el control

débil. Contrariamente, si )(0

sΩ es grande ambas variables tienden a descorrelacionarse

naturalmente.

Hemos establecido las condiciones y posibilidades de minimizar el giro y balancear la

respuesta de la superestructura, sin embargo resta aún cuantificar la reducción de la

respuesta total que se logra mediante este control. En la siguiente sección realizamos

este análisis.

IV.6.3 Reducción de la respuesta torsional Como establecimos previamente, la minimización y el balance torsional de la

superestructura no implican ausencia de torsión. En esta sección cuantificamos la

reducción de la respuesta en los bordes de la superestructura para un diseño óptimo del

aislamiento.

Las deformaciones en los bordes de la superestructura se calculan a partir de la

expresión:

uu ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρρ−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

/1/1

uu

ed

ei

aa

e (4.28)

Donde eu es el vector de desplazamientos relativos entre los bordes de la

superestructura. Definimos a continuación el parámetro:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

de

de

ie

ie

i,de uu

uu

u ~;~maxˆ (4.29)

119

Donde dieu

, son los desplazamientos relativos al aislamiento del borde izquierdo y

derecho de la superestructura aislada, y dieu

,~ los desplazamientos relativos al suelo del

borde correspondiente de la superestructura con base fija. Por lo tanto, eu es el factor de

reducción de respuesta en los bordes del sistema aislado con respecto del sistema de

base fija.

En ésta sección se evalúa el coeficiente de reducción eu mediante análisis probabilístico

dinámico, para ello se determinaron las esperanzas de las respuestas en los bordes de la

superestructura. Se supuso que el sistema aislado se encontraba sometido a la acción de

un ruido coloreado por los filtros de Kanai-Tajimi (1957, 1960) y Penzien (Clough y

Penzien, 1993) tal que el espectro de respuesta de este proceso resultara envolvente al

promedio de 8 espectros elásticos de registros históricos (Figura 4.7, Tabla IV.1). Los

parámetros adoptados para los filtros fueron: 11

96.13 −=ω segg , 65.01 =ζ g , 12

79.2 −=ω segg

y 00.12 =ζ g . La densidad de potencia espectral W se calibró para una esperanza de

aceleración máxima del suelo g4.0 . La duración de la fase estacionaria del ruido blanco

se calculó mediante la integral de Arias (1970) ( s5.23a =τ ), tomando como referencia el

registro de El Centro. La tasa media de cruces por cero se estimó con el parámetro 1gω .

La magnitud de eû se evaluó de acuerdo a los siguientes criterios: a) La esperanza del

desplazamiento normalizado máximo [ ]aeûE es igual a la que se verifica en el centro de

masas de una estructura aislada simétrica (0.10) y b) [ ] [ ]aeb uEE 5.1u e < .

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

ê(s)

ê(b)

0.050.1 0.10.1

0.2

0.2

0.3

0.15

0.15

0.15

Ω0(b) = 0.7

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

ê(s)

0.05

0.1 0.1

0.1

0.2

0.2

0.3

0.15

0.15 0.15

Ω0(b) = 1.0

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

ê(s)

0.05

0.1

0.1

0.2

0.20.3

0.15

0.15

0.15

Ω0(b) = 1.5

Figura 4.10 Curvas de nivel y regiones de control de rotaciones para la superestructura.

Criterio a).

120

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

ê(s)

ê(b)

Ω0(b) = 0.7

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

ê(s)

Ω0(b) = 1.0

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

ê(s)

Ω0(b) = 1.5

En la Figura 4.10 se presenta el criterio a) [ ] 10.0e ≤ûE , para 7.0)(0 =Ω s y

5.1y0.1,7.0(b)0 =Ω , y las curvas de nivel de la esperanza de amplificación máxima del

borde derecho de la superestructura aislada [ ]deuE ˆ . Las correspondientes al borde

izquierdo, resultan punto simétricas de las del borde derecho respecto al origen.

Figura 4.11- Regiones de control de la torsión para la superestructura. Criterios a) y b).

Mínima rotación ( ) y balance torsional ( 7.0)(0 =Ω s ; 4.1)(

0 =Ω s ) obtenidas por análisis dinámico para espectro probabilístico.

En esta Figura se aprecia que: (i) es posible encontrar regiones en las que el control de la

torsión es equivalente al control traslacional y (ii) la región en la que es posible

controlar la torsión de la superestructura decrece con el aumento de (b)0Ω . Estas

regiones de control resultan amplias para 7.0(b)0 =Ω y prácticamente inexistentes para

5.1(b)0 =Ω .

En la Figura 4.11 se superponen las regiones de control para los criterios a) y b)

considerando los mismos parámetros que para la Figura 4.10. En esta Figura la zona más

oscura corresponde al criterio a) y la más clara al criterio b). También se representa en

línea sólida la combinación de excentricidades )( sê , )( bomê que minimiza la torsión para el

espectro de seudoaceleraciones probabilístico, y en línea segmentada y de puntos las

combinaciones )( sê , )( bobê de balance torsional (control débil) para 4.17.0 y(s)

0 =Ω ,

respectivamente. En esta Figura puede apreciarse que: (i) una pequeña relajación del

criterio de control torsional en la superestructura genera regiones de control mucho mas

amplias; (ii) la combinación de excentricidades )( sê , )( bomê que minimizan la torsión se h

121

ubica en el centro de las regiones de control determinadas con los criterios a) y b); (iii) la

combinación de excentricidades )( sê , )( bobê que permiten el balance torsional de la

superestructura (control débil) es coincidente con la condición de torsión mínima cuando

la superestructura es torsionalmente rígida; (iv) El control fuerte de la torsión sólo se

alcanza con sistemas de aislamiento torsionalmente flexibles 0.1(b)0 ≤Ω ; (v) la reducción

de respuesta torsional que se alcanza en la superestructura aislada con la metodología

desarrollada, es equivalente a la reducción de respuesta que se alcanza en sistemas

aislados puramente traslacionales.

IV.7 Metodología de diseño propuesta A continuación, se propone una metodología de diseño para definir las características del

aislamiento que optimizan el comportamiento torsional de la superestructura. El

procedimiento se resume a los siguientes pasos: (1) con la metodología descrita en la

sección IV.6.2 se obtienen figuras similares a las 4.8 y 4.9 para el valor )(0sΩ de la

superestructura a controlar; (2) de las figuras anteriores, con la excentricidad )(sê y

seleccionando una razón de frecuencias )(0bΩ para el aislamiento, se obtienen las

excentricidades )(bomê y )(b

obê que minimizan y balancean la respuesta torsional de la

superestructura; (3) alternativamente dados )( sê y )(0

sΩ se adopta )(0

bΩ y empleando las

Ecuaciones 4.22 y 4.23 se determinan )( bomê y )( b

obê .

Se destaca que las menores demandas de )( bomê y )( b

obê se obtienen para valores de 1)(0 <Ω b

según se discutió en las secciones IV.4 y IV.6, para estos valores de )(0

bΩ la demanda de

excentricidad en el aislamiento para minimización y balance resulta muy similar, y

prácticamente se alcanza el control torsional fuerte de la superestructura. Este control

mejora dramáticamente si la superestructura es rígida torsionalmente ( 1)(0 >Ω s ), en este

caso se obtienen curvas de diseño para )( bobê prácticamente idénticas que para )( b

omê .

En el apartado siguiente se presenta la aplicación de la metodología de diseño propuesta

para sistemas de múltiples pisos.

122

IV.8 Aplicación a estructuras de múltiples pisos En esta sección presentamos la extensión de la metodología de optimización del

comportamiento torsional propuesta a estructuras de múltiples pisos.

Consideremos una estructura asimétrica de marcos de hormigón armado de 6 pisos

(Figura 4.12). La distribución de columnas es simétrica, lográndose la excentricidad

estructural mediante la disposición de arriostres diagonales de acero que trabajan en

tracción y compresión en distintos planos.

En todos los niveles se ha considerado un peso sísmico de 1 t/m². La estructura posee

una frecuencia fundamental desacoplada π=ω 4)( s , amortiguamiento constante

05.0)( =ζ s en todos los modos y se encuentra montada sobre un sistema de aislamiento

cuyos parámetros son π=ω 8.0)( b y 2.0)( =ζ b . La relación de lados para la estructura y el

aislamiento es 2/3. A pesar que la metodología se ha desarrollado para sistemas de un

piso, puede extenderse a estructuras de múltiples pisos mediante una condensación de

sus grados de libertad tal como se describe en el Anexo C.

Para el presente caso se obtuvieron los siguientes parámetros equivalentes: 25.0)( −=sê y

8.0)(0 =Ω s . Del análisis de las curvas de la Figura 4.8, obtenidos para PS, se puede

apreciar que los mejores resultados se obtienen para 8.0~7.0)(0 =Ω b , por lo que se adopta

un sistema de aislamiento torsionalmente flexible con 8.0)(0 =Ω b , al que le corresponde

una excentricidad en el sistema de aislamiento para minimizar la torsión de la

superestructura del orden de 25.0)( −=bomê , e interpolando entre las Figuras 4.9a y 4.9b, se

obtiene la excentricidad para balancear la respuesta de sus bordes 19.0)( −=bobê por lo que

se adopta como excentricidad óptima para el aislamiento el valor medio entre la

excentricidad de minimización y la de balance 22.0)( −=boê .

123

Figura 4.12 Ejemplo: estructura excéntrica de 6 pisos. Marcos de hormigón armado. La elevación representa esquemáticamente el sistema de riostras de los ejes 2, 3 y b, en

tanto que los ejes 1,4, a y c no poseen riostras. A efectos de realizar comparaciones entre las respuestas de los bordes de la

superestructura se define como índice de balance al parámetro:

( )

mínemáxe

mínemáxeb ûû

ûûI

+

−=

2 (4.30)

que en el caso de un sistema simétrico alcanza el valor 0=bI .

En las Tablas IV.2, IV.3 y IV.4 se presenta la comparación entre el comportamiento de

la superestructura y del sistema de aislamiento con aislamiento nominalmente simétrico

y con la excentricidad óptima calculada para los registros de El Centro (Imperial Valley

- EEUU, 1940), Sylmar (Northridge – EEUU, 1994) y Kobe (Kobe - Japón, 1995),

respectivamente.

c

1

2

3

4

a b

braces

6@30

00

3@50

00

2@5000

braced

unbraced

50x50 50x50

50x5050x50

70x30

70x30

70x30

70x30

30x70

30x70 30x70

30x70

30x70 30x70

30x50

30x50

30x50

30x50

30x50

30x5030x50

30x50

30x50

30x50

30x50

30x50

arriostrados

no arriostrados

riostras

124

A manera de ejemplo se presenta en la Figura 4.13 la historia de deformaciones de

entrepiso en los bordes del aislamiento (DEa) y del último piso de la superestructura

(DEs) sometidas al registro de El Centro para el caso nominalmente simétrico y

optimizado, respectivamente.

Tabla IV.2 DEa y DEs máximas y promedio, Registro El Centro.

Aislamiento y superestructura. .51.0 sTs = ; 8.0)(

0 =Ω s ; 25.0)( −=sê ; .5.2)( sT b = ; 8.0)(0 =Ω b ; 22.0)( −=bê .

Excentricidades

êb = 0.00 êb =-0.22 Estructura Nivel Borde

izquierdo Borde

derecho Ib Borde izquierdo

Borde derecho Ib

Aislamiento 0 16.91 17.68 0.04 15.01 21.63 0.36 1 0.32 0.13 0.88 0.19 0.23 0.20 2 0.47 0.13 1.13 0.29 0.29 0.00 3 0.42 0.12 1.13 0.26 0.25 0.05 4 0.34 0.11 1.01 0.22 0.21 0.02 5 0.25 0.10 0.85 0.17 0.17 0.03 Su

pere

stru

ctur

a

6 0.16 0.08 0.64 0.11 0.12 0.12 Promedio superestructura 0.94 Promedio superestructura 0.07

Tabla IV.3 DEa y DEs máximas y promedio, Registro Sylmar.

Aislamiento y superestructura. .51.0 sTs = ; 8.0)(

0 =Ω s ; 25.0)( −=sê ; .5.2)( sT b = ; 8.0)(0 =Ω b ; 22.0)( −=bê .

Excentricidades

êb = 0.00 êb =-0.22 Estructura Nivel Borde

izquierdo Borde

derecho Ib Borde izquierdo

Borde derecho Ib

Aislamiento 0 20.59 20.99 0.02 20.02 21.87 0.09 1 0.37 0.15 0.83 0.25 0.25 0.02 2 0.54 0.18 1.03 0.36 0.31 0.16 3 0.50 0.17 1.00 0.32 0.28 0.14 4 0.40 0.16 0.86 0.26 0.25 0.06 5 0.29 0.14 0.70 0.19 0.20 0.03 Su

pere

stru

ctur

a


125

−25

−12.5

0

12.5

25

drift

(cm

)

left edgeright edge

−2

−1

0

1

2

drift

(cm

)

base

superestructura


Def

orm

ació

n de

ent

repi

so (c

m)

Def

orm

ació

n de

ent

repi

so (c

m)

a)

−25

−12.5

0

12.5

25

drift

(cm

)

left edgeright edge

0 5 10 15−2

−1

0

1

2

drift

(cm

)

time (sec.)

base

superestructura


Def

orm

ació

n de

ent

repi

so (c

m)

Def

orm

ació

n de

ent

repi

so (c

m)

Tiempo (s)

b)

Tabla IV.4 DEa y DEs máximas y promedio, Registro Kobe. Aislamiento y superestructura.

.51.0 sTs = ; 8.0)(0 =Ω s ; 25.0)( −=sê ; .5.2)( sT b = ; 8.0)(

0 =Ω b ; 22.0)( −=bê . Excentricidades

êb = 0.00 êb =-0.22 Estructura Nivel Borde Borde Ib Borde Borde Ib

Aislamiento 0 15.31 15.57 0.02 16.11 17.35 0.07 1 0.29 0.11 0.90 0.21 0.19 0.09 2 0.42 0.11 1.14 0.29 0.23 0.22 3 0.39 0.11 1.15 0.26 0.21 0.21 4 0.32 0.10 1.05 0.21 0.18 0.13 5 0.23 0.09 0.90 0.15 0.15 0.02

Supe

rest

ruct

ura


Figura 4.13 Respuesta edificio de múltiples pisos sin optimizar y optimizada; El Centro.

a) simétrica π=ω 8.0)( b ; π=ω 4)( s ; 2.0)( =ζ b ; 05.0)( =ζ s ; 0)( =bê b) optimizada; 22.0)( −=bê ; 25.0)( −=sê .

126

Para el registro de El Centro (Tabla IV.2), se observa un dramático aumento en el

balance de la deformación de entrepiso promedio, éste resulta 13.4 veces mejor en el

caso de superestructura con sistema de aislamiento asimétrico que con aislamiento

simétrico, en tanto que el sistema de aislamiento ha experimentado un incremento de

desplazamiento máximo de sólo el 22%, aumentando su bI de 0.04 a 0.36. Esta

observación puede corroborarse observando las Figuras 4.13a y b. Para el registro de

Sylmar (Tabla IV.3) esta mejora en el balance es de 9 veces, y para el caso de Kobe

(Tabla IV.4) alcanza un valor de 7.4 veces, en ambos casos el aumento del índice de

balance de la respuesta del sistema de aislamiento es de 0.02 a 0.09 en el primer caso y

de 0.02 a 0.07 en el segundo. Se aprecia también una importante disminución en la DEs

con aislamiento asimétrico.

127

IV.9 Conclusiones Mediante la aplicación del método cuasi-estático se han encontrado expresiones que

permiten, dada una excentricidad y una relación de frecuencias en el aislamiento,

obtener la excentricidad y la relación de frecuencias óptima que debe poseer la

superestructura a fin de minimizar y balancear su comportamiento torsional para el caso

de ruido blanco.

Estas expresiones pueden extenderse sin dificultad al análisis modal espectral, y se

obtienen curvas de diseño en función de )( bω , )( bζ , )(0

bΩ , )(0

sΩ y de las excentricidades )( sê y )( bê . Por otra parte se ha demostrado (Ecuación 4.27) que la rigidez de la

estructura controla el nivel de desplazamiento en sus bordes y mejora su balance

torsional, en tanto que su comportamiento acoplado torsional está gobernado por el

aislamiento (Ecuación (4.17a y b)). A partir de la aplicación de las Ecuaciones (4.22),

(4.23) y del Anexo G llegamos a las siguientes conclusiones:

1- La minimización de la respuesta torsional de la superestructura requiere que la

mediana de la distancia a la resultante de aceleración traslacional de la base

medida desde el CM común, sea coincidente con el CR de la superestructura.

2- El balance de la respuesta acoplada torsional de la estructura depende de los

parámetros del sistema de aislamiento, de la excitación y de la razón de

flexibilidad torsional ( )(0

sΩ ) de la superestructura (Ecuación 4.23).

3- Los sistemas de aislamiento con 1)(0 ≤Ω b permiten, además de minimizar,

balancear la respuesta de la superestructura en condiciones óptimas alcanzando

el control fuerte.

4- Los sistemas de aislamiento torsionalmente rígidos no permiten optimizar la

respuesta torsional de la superestructura.

128

5- El espectro de diseño del UBC, como todos aquellos basados en filtros del tipo

Kanai-Tajimi, demandan excentricidades en el aislamiento de 3 a 4 veces la

excentricidad de la superestructura para minimizar y balancear el

comportamiento torsional de la superestructura. Esto se debe a que no presentan

una meseta definida en la zona de bajas frecuencias. Así el coeficiente de

correlación de aceleraciones ν resulta menor que 0.5 para 8.0)(0 =Ω b y conduce

a predicciones de excentricidad óptima poco conservadoras.

V. CONSTITUTIVA NO-LINEAL PARA AISLADORES ELASTOMÉRICOS

129

V CONSTITUTIVA NO-LINEAL PARA APOYOS

ESLASTOMÉRICOS V.1 Resumen En la literatura reciente se han propuesto numerosos modelos para representar el

comportamiento de aisladores sísmicos, sin embargo la mayoría de ellos captan

parcialmente sus características altamente no-lineales e hiperelásticas. Por lo tanto, se

hace necesario desarrollar modelos que se ajusten adecuadamente al comportamiento

experimental observado en ensayos. En esta parte del trabajo se presenta un modelo

matemático fenomenológico para representar el comportamiento de dispositivos con

goma de alto amortiguamiento equivalente y que puede extenderse a aisladores elásticos

de goma natural con disipadores actuando en paralelo. El modelo uniaxial se basa en el

uso de plasticidad asociada; se propone también una extensión al caso biaxial. Junto con

el modelo de la relación constitutiva, se presenta la metodología para la identificación de

sus parámetros a partir de numerosos ensayos realizados en el Laboratorio de Control de

Vibraciones del Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica de la Pontificia

Universidad Católica de Chile. Los resultados muestran un buen ajuste con los ciclos

obtenidos experimentalmente. Finalmente, se presentan dos ejemplos de aplicación para

una estructura sometida a acciones sísmicas uni- y bi-direccionales.

V.2 Introducción El sistema de aislamiento sísmico basado en apoyos elastoméricos es el más antiguo y

ampliamente difundido en el mundo (Kelly, 1997). Estos apoyos están constituidos por

láminas de goma de espesor entre 5 y 10 mm típicamente, alternadas con placas de acero

de 3 a 5 mm de espesor. El aislador posee gran flexibilidad lateral y una rigidez vertical

del orden de 1000 veces su rigidez horizontal. La altura de goma y diámetro resultantes

para un diseño en particular son variables del diseño.

Debido a que la goma natural posee un bajo amortiguamiento equivalente (2%, de la

Llera et al., 2004), los aisladores pueden estar acompañados de sistemas paralelos de

130

disipación. Sin embargo, la tecnología actual en la manufactura, ha desarrollado

elastómeros de alto amortiguamiento equivalente compatibles con diversas rigideces

transversales G ; lo que ha reducido paulatinamente la necesidad del uso de disipadores

histeréticos.

Estos elastómeros de alto amortiguamiento equivalente y módulo de rigidez variable se

obtienen mediante el agregado de distintos componentes y en proporciones variables,

dando lugar a distintos compuestos de goma caracterizados por el valor del módulo de

corte G. Así, por ejemplo un compuesto H8 implica que la goma posee un módulo de

corte 2/8 cmkgG= para una distorsión %150=γ .

Las leyes constitutivas fuerza-deformación para cada compuesto presentan

características comunes, tales como el fenómeno de hiperelasticidad caracterizado por

un aumento de rigidez a partir de deformaciones relativamente elevadas y el efecto de

degradación de rigidez que se manifiesta como una pérdida de rigidez muy importante

después del primer ciclo de carga y que se atenúa en ciclos posteriores.

Como resultado de algunas investigaciones, se han propuesto distintos modelos

matemáticos para describir este comportamiento fuerza-deformación. Sin embargo, la

mayoría de ellos no modela la hiperelasticidad ni el efecto de degradación de rigidez

(Forni et al., 1995; Naeim y Kelly, 1999; Salomón et al., 2000; Tsopelas et al., 1994).

Recientemente, algunos modelos (Hwang et al., 2002) han conseguido representar

adecuadamente este comportamiento observado en los elastómeros. Sin embargo, su

manejo es poco práctico ya que usan muchos parámetros y tienen en cuenta solo la

componente unidireccional.

En esta parte de la investigación se propone un modelo matemático para representar el

comportamiento de los elastómeros ante la aplicación de cargas cíclicas de corte. La

constitutiva propuesta emplea tres componentes; una envolvente que busca modelar el

comportamiento virgen del elastómero; una componente conservativa elástica no lineal

para la etapa hiperelástica; y finalmente una componente disipativa. Se pueden agregar

además, una o mas componentes paralelas para modelar el comportamiento de

disipación histerética.

131

Inicialmente se presenta la formulación general de la fuerza no-lineal del apoyo

elastomérico, para posteriormente desarrollar la formulación matemática de cada una de

las componentes de la constitutiva propuesta. Luego se lleva a cabo la identificación de

los parámetros de la constitutiva para finalmente, proponer la extensión al campo

bidimensional. Además, los modelos obtenidos se comparan con resultados de ensayos

reales, tanto ante la aplicación de ciclos de desplazamiento armónicos como de registros

de desplazamientos de terremotos reales. Por último, se presentan los resultados

obtenidos de aplicar este modelo a los aisladores de una estructura real sometida a la

acción de registros de terremotos unidireccionales y bidireccionales.

V.3 Comportamiento histerético de los elastómeros La goma natural es una sustancia perteneciente a la clase de los altos polímeros como la

celulosa, seda, resinas y plásticos. En su estado natural su uso es muy limitado, debiendo

pasar por un proceso de vulcanización en la que los compuestos de goma reciben una

serie de aditivos, algunos necesarios para la vulcanización, otros para acelerar este

proceso y otros para proteger, rigidizar, ablandar, modificar sus características

disipativas, colorear ó simplemente facilitar el proceso de mezclado. Como

consecuencia de este proceso, la goma adquiere ciertas propiedades mecánicas tales

como rigidez, resistencia y comportamiento histerético que han sido objeto de

numerosos estudios experimentales.

La histéresis de un compuesto de goma aumenta proporcionalmente con las cargas de

compresión. Para grandes deformaciones transversales ( %600≈γ ) los ciclos de histéresis

resultan mucho mayores como resultado de la cristalización debida a la deformación (de

la Llera et al., 2004). Sin embargo, la repetición rápida de estos ciclos genera una

importante cantidad de energía histerética que debe ser disipada principalmente en forma

de calor. Este aumento de temperatura conduce a la degradación de la goma, tal como

ocurre en el caso del reventón de un neumático inflado a baja presión. A raíz de esto es

habitual que en la mayoría de las aplicaciones se empleen gomas de baja histéresis. De

hecho, los compuestos elastoméricos en la ingeniería sísmica son aquellos que poseen

132

propiedades indeseables desde el punto de vista, por ejemplo, de la industria de

neumáticos. En el caso de la ingeniería sísmica se busca alta disipación de energía ya

que la cantidad de ciclos con grandes deformaciones son relativamente escasos.

Resulta de interés conocer las propiedades físicas de este material, particularmente su

módulo de elasticidad, coeficiente de Poisson, resistencia, amortiguamiento, resistencia

a la temperatura y durabilidad. Para deformaciones de unos pocos centímetros, la

relación constitutiva de la goma es aproximadamente lineal (Forni et al., 1995). Para este

rango de deformaciones las características mecánicas principales se especifican en la

Tabla V.1.

Tabla V.1 Características mecánicas de la goma natural, comparación con el acero

Característica Mecánica Goma s/refuerzo Goma c/refuerzo Acero

IRHD 45 65 100

σt MPa 28 21 420

σu MPa 680 420 420

E MPa 1.9 5.9 210000

G MPa 0.54 1.37 81000

κ MPa 1000 1200 176000

ν 0.4997 0.4997 0.29

Resiliencia % 80 60 100

Vs m/s 37 37 5000

donde IRHD es la dureza superficial, tσ la resistencia a tracción, uσ la resistencia a

compresión, E el módulo de elasticidad; G el módulo de corte, κ el módulo de

compresibilidad, ν el coeficiente de Poisson y sV la velocidad de transmisión de la onda

de compresión.

El módulo de corte G del elastómero decrece en la medida que la deformación

transversal γ aumenta hasta valores del orden del %100al%50 dependiendo de la

máxima deformación alcanzada en el ciclo (de la Llera et al., 2004). Para deformaciones

mayores, la rigidez de la goma aumenta debido a que sus cristales se alinean en la

dirección de la deformación (Figura 5.1), dando lugar al fenómeno conocido como

133

hiperelasticidad. Esta cristalización es la responsable de la relativamente alta resistencia

de la goma a tracción (14 a 28 Mpa), y de su resistencia a compresión que es aún más

elevada, 420 a 680Mpa.

Figura 5.1 Resultados experimentales de leyes fuerza-deformación para elastómeros. (de la Llera et al., 2004) Elastómeros con alto amortiguamiento. (a) Compuesto H5,

25 cm/kgG = para %150=γ ); y (b) Compuesto H8, %150para/8 2 == γcmkgG .

Figura 5.2 Resultados experimentales para un aislador con núcleo de plomo. (de la Llera et al., 2004), (a) aislador de goma con núcleo de plomo; y (b) ley

constitutiva fuerza-deformación para distintos valores de γ .

Por otra parte, su elevado coeficiente de Poisson de 0.4997, lo convierte en un material

prácticamente incompresible.Los aisladores de goma se construyen intercalando láminas

de goma que varían entre 5 y 10mm de espesor típicamente y placas de acero de 3 a

a) b)

0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

60

70

displacement (cm)

forc

e (t

on)

γ = 25%γ = 50%γ = 100%γ = 150%

0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

60

70

displacement (cm)

γ = 25%γ = 50%γ = 100%γ = 150%

fuer

za (

ton)

desplazamientos (cm) desplazamientos (cm)

0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

60

displacemments (cm)

forc

es (

ton)

γ = 25%γ = 50%γ = 100%γ = 125%

Núcleo de plomo

Capa elastomérica

Placa de acero

a) b)

desplazamientos (cm)

fuer

zas

(ton)

134

5mm de espesor, las que proveen el confinamiento del elastómero. Resulta así un

dispositivo de elevada rigidez vertical -del orden de las 1000 veces la horizontal- y baja

rigidez transversal, ideales para lograr flexibilidad lateral en el sistema aislado.

La goma natural posee un bajo nivel de amortiguamiento equivalente, que usualmente

no supera el %2 del crítico (de la Llera et al., 2004), por lo que en general, es necesario

disponer disipadores de energía que actúan en paralelo. Los disipadores utilizados son

usualmente metálicos y su principio de funcionamiento se basa en la capacidad de

disipación histerética.

Una variante de disipador de energía muy empleada es el núcleo de plomo. El plomo es

un material muy dúctil y que posee la capacidad de recristalizar de forma instantánea a

temperatura ambiente, manteniendo su capacidad de disipación de energía prácticamente

invariante (Figura 5.2).

Actualmente existen, sin embargo, elastómeros de alto amortiguamiento que poseen

lazos de histéresis amplios y estables. Durante los primeros ciclos de carga,

especialmente en gomas con aditivos de refuerzo, la estructura cristalina se rompe

parcialmente de manera que en ciclos posteriores la goma es más blanda, generando la

degradación de rigidez que se produce esencialmente durante los primeros ciclos de

carga a un nivel de deformaciones dado. Sin embargo, algunos estudios indican que para

deformaciones γ del orden del %150 y luego de 4 meses de reposo la goma recupera el

%98 de su rigidez inicial (Kulak y Hughes, 1995). Para deformaciones mayores, sin

embargo, la pérdida de rigidez es permanente.

135

Figura 5.3 Envolvente experimental de ciclos de histéresis para un aislador.

Espécimen Cmed-Vul-2700, 2.16,60 == gn HcmD , compuesto 8H . Edificio Centro médico Universidad Católica de Chile (de la Llera et al., 2004).

En la Figura 5.3 se presenta un ensayo de un aislador de 60cm de diámetro nominal que

pone de relieve este comportamiento típico. Allí, se aprecia que la resistencia del

aislador se encuentra controlada por una envolvente.

En un primer ciclo de deformación el espécimen muestra un determinado nivel de

rigidez, en tanto que en ciclos posteriores la rigidez es marcadamente inferior. El

espécimen retoma el nivel de resistencia del primer ciclo para excursiones de

deformación en zona virgen. Además, en este ejemplo y para deformaciones

transversales %35≥γ la rigidez de la goma se incrementa, mostrando un marcado efecto

de hiperelasticidad.

V.4 Modelo propuesto de relación constitutiva En esta sección proponemos un modelo matemático constitutivo para la relación fuerza-

deformación unidimensional de los elastómeros. Es usual en los sistemas aislados

mantener a la superestructura en el rango lineal, en tanto que el sistema de aislamiento

0 10 20 30 40 500

10

20

30

40

γ (%)

shea

r (to

n)Envolvente

cort

e (t

on)

γ (%)

136

F y

q y

fr(x)

x

1

1

W(v)

v

a) b)

incursiona en rango inelástico. Por lo tanto esta parte de la investigación se limita a la

formulación basada en fuerzas restauradoras inelásticas del sistema de aislamiento. La

fuerza restauradora rf en un dispositivo inelástico cualquiera puede escribirse en la

forma:

( )[ ] ( ) [ ])(),(1)()(),( tqtqftqktqtqf nir && η−+η= (5.1) donde ik es la rigidez inicial en el dispositivo; q y q& el desplazamiento y velocidad

actual en el dispositivo, respectivamente; η la razón entre la rigidez lineal de post-

fluencia y la inicial; y nf es la fuerza inelástica en el dispositivo.

En la sección 5.2 se observó que los resultados de ensayos (Figuras 5.1 a 5.3) muestran

tres características fundamentales de las relaciones fuerza deformación de los

elastómeros: (i) poseen importante capacidad de disipación de energía; (ii) presentan una

marcada hiperelasticidad a partir de cierta deformación γ y (iii) se encuentran

gobernadas por una envolvente. A partir de estas observaciones se propone modelar el

comportamiento de los apoyos de goma a través de constitutivas independientes capaces

de describir estos tres aspectos y que permitan en conjunto expresar el comportamiento

observado.

Figura 5.4 Ley fuerza – deformación y representación normalizada. (a) relación fr-x para un material inelástico; y (b) relación W-v para dominio normalizado

137

En primer término, es conveniente normalizar la representación de la relación fuerza-

deformación. En la Figura 5.4 se presenta la relación constitutiva fuerza-deformación

para un material inelástico cualquiera. Ya sea que la fuerza yF y el desplazamiento yq

de fluencia tengan sentido físico o simplemente respondan a una convención, se pueden

realizar las siguientes normalizaciones:

yy

ny

r

qq

vFf

ZFf

W === ;; (5.2)

donde W y Z representan la fuerza total y la inelástica normalizadas a la fuerza de

fluencia, respectivamente; y v el desplazamiento actual q normalizado al

desplazamiento de fluencia yq . Resulta claro que a partir de Z , W y v las fuerzas y

desplazamientos reales se obtienen empleando yF y yq como factores de escala. El

parámetro v se conoce tradicionalmente en la jerga de los ingenieros como la

''ductilidad'' del sistema. La ventaja de esta representación consiste en que al normalizar,

los parámetros que definen la relación Z - v son constantes para cualquier geometría del

dispositivo. Esto se puede apreciar a partir de:

( )[ ] ( ) [ ]

( ) [ ]y

y

ny

y

nir

FFtqtqftq

qF

tqtqftqktqtqf

)(),(1)(

)(),(1)()(),(

&

&&

η−+η

=η−+η=

( )[ ] ( ) [ ]

( ) ( ) ( )vvZvvvW

Ftqtqf

qtq

Ftqtqf

yn

yyr

&&

&&

,1,

)(),(1

)()(),(

η−+η=

=η−+η=

(5.3)

Resulta interesante destacar que todo sistema que tenga la misma constitutiva

normalizada y en el que se alcance el mismo par de valores iZ - iv tendrán la misma

cantidad de amortiguamiento lineal equivalente, independientemente de los valores yF , yq que se emplearon para su normalización, hecho que simplifica notablemente el

138

planteo de modelos lineales equivalentes, de gran utilidad en la etapa de diseño. En las

siguientes secciones se presentan las componentes empleadas para modelar el

comportamiento unidimensional de los apoyos de goma de alto amortiguamiento.

V.4.1 Componente disipativa En esta sección se presenta el modelo matemático empleado para representar el

comportamiento disipativo unidimensional de la constitutiva desarrollada. La relación

constitutiva de Bouc-Wen (1975) es un modelo adecuado para describir la disipación de

las gomas por dos motivos: (1) Es una constitutiva ampliamente difundida en la práctica

y validada experimentalmente y (2) gracias al trabajo de Park, Wen y Ang (1986), este

modelo puede extenderse al caso bidimensional teniendo en cuenta los efectos de

interacción biaxial.

La constitutiva cuadrática original propuesta por Bouc y Wen (1975) está dada por: ( ) ( )[ ] vZvsignZAZ www &&& τ+β−=

2 (5.4) Para representar adecuadamente el comportamiento de los elastómeros se propone

modificar esta relación constitutiva mediante la introducción de un término lineal

adicional, esto es:

( ) ( ) vZ

ZvsignZAZw

www &&&

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ δ+τ+β−=2 (5.5)

donde δτβ y,,A son parámetros que se identifican a partir de ensayos, wZ es el

valor absoluto del parámetro wZ y el operador sign es la función signo.

Asumiendo en la Ecuación (5.4) que 1=A y que 1=τ+β , para un ciclo de carga positivo

esta ecuación se puede expresar como:

( )21 ww

Zdv

dZ −= (5.6)

139

cuya integral puesta en función de v está dada por: )tanh(vZ w = (5.7) que es una función acotada al valor máximo 1=w

máxZ . Claramente se aprecia en la

Ecuación (5.6) que cuando 1→wZ , la pendiente de la ley fuerza-deformación

normalizada 0/ →νddZ w . Por otra parte, en la Ecuación (5.4) para wZ positivo y v&

negativo los parámetros β y τ definen la pendiente de descarga. Así para 1=β y 0=τ la

pendiente inicial de descarga en la relación constitutiva normalizada dk resulta igual a

2 . Además, para wZ negativo y v& negativo la relación constitutiva se comporta igual

que en el ciclo positivo de carga, pero para valores de wZ negativo.

Los parámetros β y τ permiten obtener pendientes de descargas variables, las que

pueden resultar muy elevadas si 0>β y 0<τ , bajo la condición de que su suma sea igual

a la unidad.

Figura 5.5 Efecto del parámetro δ en la forma de la relación constitutiva propuesta. Para ejemplificar esto se presentan en la Figura 5.5 relaciones fuerza-deformación

normalizadas que se obtienen con el modelo de Bouc-Wen modificado para parámetros

1=A , 15=β , 15.15−=τ , y 90.015.1,5.2,10 y=δ para un desplazamiento armónico. Se

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

normalized displacement v

norm

aliz

ed fo

rce

Zw

δ = 10.0δ = 2.50δ = 1.15δ = 0.90

fuer

za n

orm

aliz

ada

Zw

desplazamiento normalizado v

140

La introducción del parámetro wZ/δ en la Ecuación (5.5) no afecta el comportamiento

global de la constitutiva ya que cuando 1→wZ se comporta de forma análoga a la

original de Bouc-Wen (1975); sin embargo, la adición de este parámetro permite

controlar el nivel de resistencia y, por lo tanto, de disipación en esta etapa de la

constitutiva. observa que el nivel de resistencia y disipación resulta inversamente

proporcional al valor de este parámetro.

Se presenta a continuación la componente conservativa propuesta para la constitutiva.

V.4.2 Componente conservativa hiperelástica Se presenta en esta sección el modelo matemático empleado para representar el

comportamiento conservativo hiperelástico. Para ello, se define una curva esqueleto

unidimensional para la relación constitutiva propuesta.

Esta etapa, que constituye un aporte original, se ha obtenido a partir de la familia de los

modelos tipo ''massing'' (Chang, 1992); (Newmark y Rosenblueth, 1976), de la cual la

constitutiva de Ramberg-Osgood (1943), constituye un caso particular. Escrita en el

mismo formato que la constitutiva de Bouc-Wen analizada en la sección precedente,

toma la forma:

( )

( )v

Zcc

ZsignZcZ

h

hhh &&

221

01

−

+= (5.8)

donde 0c y 2c son parámetros que se identifican a partir de ensayos y 1c depende del

punto de reversión de carga sobre la curva virgen envolvente y está dada por la

expresión:

( )

( ) 20

2

00

22

201

1ln1

2 cc

ZcZ

ccZc

cce

ee

e +⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+ν= (5.9)

donde eZ y ev son la fuerza y el desplazamiento normalizados en el punto de reversión

de la relación constitutiva conservativa sobre la envolvente virgen de carga.

141

Al igual que en el caso de la componente disipativa, resulta claro en la Ecuación (5.8)

que el término que multiplica al parámetro v& no es otro que la pendiente instantánea de

la componente conservativa de la relación constitutiva. Se puede apreciar que para

valores de hZ pequeños y 1c elevado y positivo, la pendiente inicial de la relación

constitutiva es pequeña, creciendo en forma inversamente proporcional a 1c . Por otra

parte en la medida que hZ crece con 2c positivo la pendiente comienza a crecer,

resultando que hZ es un parámetro sin cota superior, a menos que se defina un valor

apropiado del parámetro 1c mediante la Ecuación (5.9). En la Figura 5.3 se aprecia que

la envolvente de la ley fuerza-deformación constituye la cota natural de esta etapa de la

relación constitutiva.

La Figura 5.6 presenta la componente hiperelástica obtenida por integración de la

Ecuación (5.8) para distintos niveles de desplazamientos ev , acotada por una envolvente

para distintas combinaciones de parámetros 0c y 2c .

Figura 5.6 Ley conservativa hiperelástica controlada por una envolvente.

La forma de la relación constitutiva hiperelástica resulta prácticamente insensible a la variación de los coeficientes 0c y 2c .

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

normalized displacement v

norm

aliz

ed fo

rce

Ze −

Zh

envelopec

0 = 0.30; c

2 = 0.55

c0 = 0.60; c

2 = 0.30

c0 = 0.23; c

2 = 0.80

fuer

za n

orm

aliz

ada

Ze -

Zh


envolvente

C0 = 0.30; C2 = 0.55

C0 = 0.60; C2 = 0.30

C0 = 0.23; C2 = 0.80

142

Puede apreciarse que el comportamiento del modelo representado por la Ecuación (5.8)

posee baja sensibilidad a distintas combinaciones de los parámetros 0c y 2c . En la

siguiente sección se presenta la componente envolvente, necesaria para establecer el

rango de definición del parámetro 1c dados un par de parámetros 0c y 2c .

V.4.3 Componente envolvente En esta sección se desarrolla el modelo matemático que representa la componente

envolvente unidimensional de la relación constitutiva propuesta.

Por simplicidad y sin error apreciable (Salomón et al., 2000), suponemos que la

envolvente del comportamiento de la ley fuerza-deformación mostrado en la Figura 5.3

tiene una variación aproximadamente lineal para grandes deformaciones.

A partir de la Ecuación (5.7) podemos escribir que la ecuación de la fuerza envolvente

lineal adimensional está representada por

vpvaZ e += )tanh(0 (5.10) donde 0a es una cota para la constitutiva clásica de Bouc-Wen y p la pendiente pos-

fluencia de la envolvente (Figura 5.6), parámetros que también se pueden identificar a

partir de ensayos.

La tangente instantánea de eZ se puede obtener derivando la anterior respecto del

desplazamiento adimensional v como:

[ ] pvadv

dZ e

+−= )(tanh1 20 (5.11)

Por otra parte de la Ecuación (5.10) se deduce que:

0

)(tanha

pvZv

e −= (5.12)

143

Expresión que reemplazada en la Ecuación (5.11), puesta en función de la velocidad

adimensional v& , teniendo en cuenta los cambios de signo de la velocidad y los ciclos en

que eZ es positivo o negativo, se expresa como:

( ) vpZvsignaZ

aZ gge &&&

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−=

0

2

0 (5.13)

donde vpZZ e

g −= . A partir de la Ecuación (5.13) resulta evidente que una relación constitutiva de tipo bi-

lineal con transición en la zona de fluencia puede modelarse con la Ecuación (5.13) sin

necesidad de mantener una parte lineal, tal como hacemos en la Ecuación (5.1), sin

embargo en algunos esquemas de integración particionado (Inaudi y de la Llera, 1992)

es necesario mantener una etapa lineal, por pequeña que ésta sea, a efectos de la

estabilidad del proceso de integración.

El manejo de la relación constitutiva propuesta requiere de un intercambio entre la

componente hiperelástica y la envolvente para representar el comportamiento de los

elastómeros. En la Figura 5.7 se han empleado los parámetros 43.00 =a y 12.0=p .

Un lazo de histéresis determinado de la Figura 5.1 se construye a partir de la suma de las

componentes disipativa y conservativa hiperelástica. Por su parte, la transición entre dos

lazos se lleva a cabo mediante la suma de las componentes disipativa y la envolvente.

Debe notarse que cuando se produce esta transición, la componente envolvente también

participa de la disipación de energía.

Una vez presentadas las tres componentes de la relación constitutiva propuesta, se

desarrolla a continuación la metodología para identificar los siete parámetros que

participan en ella. Primeramente identificaremos los cinco parámetros correspondientes

a las componentes conservativa hiperelástica y disipativa, para finalmente identificar los

dos correspondientes a la componente envolvente.

144

V.5 Identificación de parámetros para la constitutiva propuesta

El proceso de identificación se lleva a cabo a partir de algunos puntos característicos de

las curvas fuerza-deformación obtenidas experimentalmente.

El primer paso consiste en definir los parámetros convencionales yF y yq , éstos se

pueden estimar a partir de la primera curva de carga virgen. Alternativamente, se puede

adoptar yq resultando yF la fuerza asociada a este desplazamiento en el lazo que se

está analizando, tal como se indica en la Figura 5.7(a). Con este par de valores y

mediante la Ecuación (5.2) normalizamos los resultados de ensayo a los parámetros W -

v , tal como se indica en la Figura 5.7(b). En esta última figura se indican además, los

puntos característicos 321 y, PPP y sus respectivas pendientes, las que servirán de

apoyo para la identificación de los parámetros de las componentes de la relación

constitutiva propuesta.

Figura 5.7 Puntos característicos para la identificación de parámetros. (a) ley fuerza-deformación para un ciclo de carga de un aislador de goma de alto

amortiguamiento; (b) ley fuerza-deformación normalizada y puntos característicos para la identificación.

Las características de los puntos seleccionados que intervienen en la identificación son

i)- Valor W de la constitutiva en 0=v y su tangente 1Wk . ii)- Valor W de la constitutiva correspondiente al desplazamiento máximo mv y

sus tangentes 2Wk y 3Wk de carga y descarga respectivamente.

0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

displacements (cm)

forc

es (

ton)

0 5 10 15 20 250

1

2

3

4

5

normalized displacemments (v)

norm

aliz

ed fo

rces

(W

)

kw1

kw2 kw

3

kw4

P1

P2

P3

(a) (b)

fuer

zas

(ton)


fuer

za n

orm

aliz

ada

W


145

iii)- Valor ν de la constitutiva en 0=W en la rama de descarga y su tangente 4Wk .

Los ensayos se realizaron aplicando a una pareja de aisladores una serie de cuatro

desplazamientos controlados por una oscilación armónica sinusoidal con frecuencia

constante 10887.0 −= sf para deformaciones transversales %150100,50,25 y=γ .

Para un ensayo particular y para cada serie se identifican los parámetros 0c , 2c , β , τ y

δ . El parámetro A se asume igual a la unidad. Posteriormente se identifican los

parámetros 0a y p .

Recordando la Ecuación (5.3) se tiene que:

( ) ( ) ( )hw ZZvZvW +η−+η=η−+η= 11 (5.14) cuya tangente se expresa como la derivada de la Ecuación (5.14) respecto de v

( )dv

ZZdk

hw

w

+η−+η= )1( (5.15)

Esta última expresión, escrita en función de las componentes de la relación constitutiva

propuesta para un ciclo dado y para la rama creciente (Figura 5.7b) se escribe como:

( ) ( )( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ δ+τ+β−η−+η=

221

02 111

h

h

ww

wZcc

ZcnZ

Zk (5.16)

en tanto que para la rama decreciente se escribe como:

( ) ( )( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ δ+τ+β−−η−+η=

221

02 111

h

h

ww

wZcc

ZcnZ

Zk (5.17)

A partir de las Ecuaciones (5.16) y (5.17) se determinan a continuación los 5 parámetros

para las componentes de la relación constitutiva que representan el comportamiento

conservativo y disipativo, respectivamente.

146

V.5.1 Parámetros de la componente conservativa hiperelástica En esta sección se presenta la metodología de identificación de los parámetros de la

componente conservativa hiperelástica.

Para identificar los parámetros de esta componente se impone como condición que la

constitutiva de Bouc-Wen modificada resulte acotada a la unidad. Esto significa que

debe verificarse que 1=δ+τ+β cuando 1=wZ . Nótese que en 0=v , 0=hZ , en tanto

que 1=wZ , por lo tanto de la Ecuación (5.16) resulta que:

( )η−

η−=∴η−+η=

11

11

111W

W kc

ck (5.18)

Puede apreciarse que la rigidez lineal normalizada η debe ser más pequeña que 1Wk

para que la Ecuación (5.18) tenga sentido físico.

Por otra parte, para el desplazamiento normalizado máximo ( mv ) se verifica también que

1=wZ , y la etapa hiperelástica alcanza su valor máximo ( wmZ ) por lo que despejando 2c

de la Ecuación (5.16) y reemplazando el valor hallado de 1c , se obtiene

( ) ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡η−η−

+−η−

η−=

2

10

122 111

W

Whm

Whm k

kZc

kZc (5.19)

Por otra parte, de la Ecuación (5.14) para mv se tiene que:

11

−η−η−

= mmáxhm

vWZ (5.20)

Además tomando de la Ecuación (5.8) el término que multiplica a v& , que no es otra que

la ecuación de la tangente instantánea e integrándola respecto de v se tiene que:

( )hh

h Zccc

cc

Zc

Zcc

v 020

21

000

2 1ln12

1 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (5.21)

Remplazando en ésta última expresión en las Ecuaciones (5.18) y (5.19) se llega a:

147

( )

( )

( ) ( )( ) ( )h

W

Wh

hW

h

W

Wh

Wh

Zckk

ZcZckc

Zck

kZc

kZv

02

1022

010

02

10

1

1ln11111

2111

1

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡η−η−

+−−η−

η−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡η−η−

+−η−

η−=

(5.22)

Ecuación homogénea en 0c . Evaluando de la Ecuación (5.20) el valor máximo h

mZ y

sustituyendo su valor en la Ecuación (5.22) para el desplazamiento normalizado máximo

mvv= se puede obtener 0c como raíz de la Ecuación (5.22). Una vez determinado este

parámetro se lo sustituye en la Ecuación (5.19) y se obtiene 2c .

Finalizada la identificación de los parámetros de la etapa conservativa hiperelástica se

pueden determinar los parámetros de la etapa disipativa de Bouc-Wen modificada.

V.5.2 Parámetros de la etapa disipativa de Bouc-Wen modificada

En esta sección se desarrolla la metodología de identificación para la relación

constitutiva de Bouc-Wen modificada.

Dado que la constitutiva posee tres parámetros es necesario definir tres condiciones

independientes. La primera de ellas fue definida en la sección anterior y tiene como

objetivo acotar su valor máximo a la unidad, esto es:

1=δ+τ+β (5.23) La segunda condición se obtiene de la tangente de descarga en mvv= , puesto que en este punto se verifica que 1=wZ , por lo tanto, de la Ecuación (5.17) se obtiene

( )( )

( ) ( ) 3

2

221

0 111

1 W

Wk

hm

hm k

Zcc

Zc=δ−β+τ−η−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

+η−+η

44444 344444 21

(5.24)

11

23 −η−

−=δ−τ−β∴ WW kk

(5.25)

148

Finalmente, en el punto 3P en el que la relación constitutiva cruza por cero ( 0vv= ) y teniendo en cuenta la rama de descarga, Ecuación (5.17), se verifica la condición ( ) ( ) 01 000 =+η−+η hw ZZv (5.26) a partir de la Ecuación (5.22), evaluada ahora en 0v se puede obtener hZ 0 como su raíz y

empleando la Ecuación (5.26) obtener wZ 0 . Reemplazando los valores obtenidos en la

Ecuación (5.17), se determina la última condición para hallar los parámetros de la

constitutiva de Bouc-Wen modificada, la que se expresa como:

( ) ( ) ( )( ) η−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛η−

−

+η−−−=δ+τ+β

111

112

021

0040

20 h

h

Www

Zcc

ZckZZ (5.27)

De esta forma las Ecuaciones (5.23), (5.25) y (5.27) constituyen el sistema de

ecuaciones independientes que permiten identificar los parámetros δτβ y, de la

componente disipativa de Bouc-Wen modificada. Notar que la suma de las Ecuaciones

(5.23) y (5.25) permite obtener el parámetro β en forma inmediata.

Solo resta hallar los parámetros de la etapa envolvente, metodología que se desarrolla a

continuación.

V.5.3 Parámetros de la componente envolvente En esta sección se presenta la metodología de identificación de los parámetros de la

componente envolvente.

Esta etapa puede definirse tanto a partir del comportamiento global de la relación

constitutiva como de la etapa conservativa hiperelástica (curva esqueleto). Se opta por

esta última forma por razones de simplicidad en la implementación computacional.

Por otra parte, a partir de esta opción se evidencia que la etapa envolvente está definida

por todos los puntos de reversión de la etapa hiperelástica. Por lo tanto, obteniendo el

promedio de la rama inferior y superior para un ciclo de histéresis completo y para todas

las series del ensayo considerado (Figura 5.1), se obtiene la gráfica mostrada en la

149

Figura 5.6. Tomando dos puntos cualesquiera de reversión de la relación constitutiva

conservativa ubicados sobre la porción recta de la etapa envolvente se obtienen los

parámetros 0a y p aplicando las ecuaciones:

22012

12 ; vpZavvZZ

p mmm

−=−−

= (5.28)

Expresiones con las que queda completamente definida la relación constitutiva para un

ensayo en particular.

A continuación se presentan los resultados del procedimiento de identificación de

parámetros con datos experimentales.

V.6. Identificación de parámetros con datos experimentales Los ensayos sobre elastómeros se realizaron en el Laboratorio de Control de Vibraciones

del Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica de la Pontificia Universidad

Católica de Chile.

Estos ensayos se realizaron para deformaciones transversales %150100,50,25 y=γ y

sobre una serie de 36 parejas de aisladores a emplearse en la construcción del Hospital

San Carlos de Apoquindo de la Pontificia Universidad Católica de Chile (de la Llera et

al., 2004). De los ensayos realizados, 14 parejas corresponden a compuesto H5

( 2/5 cmkgG= ) y las 22 restantes a compuesto H8 ( 2/8 cmkgG= ). En la Tabla V.2 se

presentan 3 ejemplos de identificación para cada compuesto.

A partir de las ecuaciones anteriores se procedió a la identificación de los parámetros de

todos los aisladores ensayados. En los ejemplos presentados en la Tabla V.2 se observa

que para cada una de las etapas de la relación constitutiva se obtienen diferencias

apreciables entre los parámetros para ensayos del mismo compuesto. A continuación, se

analiza detenidamente el origen de estas diferencias.

150

Tabla V.2 Identificación de parámetros de la goma. Compuestos 5H y 8H

disipativa conservativa envolventeEnsayo D Comp. Serie 2Fy

β τ δ c0 c1 c2 v W Zh

a0 p Fy

ref

1 6.90 5.08 -6.25 2.17 -1.09 3.10 3.74 4.05 1.71 0.91 2 8.14 9.33 -10.58 2.26 -0.25 4.47 0.85 8.10 2.60 1.79 3 9.90 4.49 -4.66 1.18 -0.08 7.88 0.87 16.17 3.42 2.39

CM_04 60 H5

4 10.83 2.86 -3.62 1.76 0.24 11.77 0.58 24.27 4.35 3.31

0.56 0.11 10.17

1 - - - - - - - - 1.78 - 2 6.57 20.87 -22.10 2.23 -0.27 4.42 0.77 8.09 2.50 1.69 3 8.20 2.58 -2.73 1.15 0.09 7.64 0.30 16.18 3.48 2.55

CM_09 60 H5

4 9.45 8.22 -8.90 1.67 0.58 13.46 0.31 24.26 4.63 3.59

0.47 0.13 9.45

1 - - - - - - - - 1.79 - 2 7.67 24.95 -26.12 2.17 -0.18 4.54 0.69 8.10 2.62 1.81 3 9.08 2.74 -2.92 1.18 0.01 7.32 0.55 16.18 3.80 2.77

CM_12 60 H5

4 9.71 12.49 -12.97 1.48 0.27 10.35 0.31 24.27 5.02 3.97

0.36 0.15 10.52

1 - - - - - - - - 2.10 - 2 8.22 17.08 -18.71 2.64 -0.24 2.59 0.24 8.14 3.38 2.76 3 9.49 9.86 -11.22 2.36 -0.14 3.80 0.16 16.17 4.84 4.01

CM_20 60 H8

4 9.21 4.74 -4.83 1.10 -0.07 4.27 0.09 24.25 7.06 6.02

-0.01 0.25 9.15

1 7.42 8.04 -9.71 2.67 -0.64 2.07 0.92 4.04 2.06 1.45 2 7.77 5.88 -7.45 2.56 -0.23 2.47 0.20 8.08 3.44 2.83 3 8.24 9.15 -9.29 1.14 -0.12 3.39 0.11 16.15 5.36 4.53

CM_34 60 H8

4 8.67 4.49 -4.59 1.10 -0.07 4.27 0.09 24.23 7.11 6.06

1.46 0.19 8.67

1 - - - - - - - - 2.09 - 2 12.21 6.92 -8.65 2.74 -0.26 2.32 0.21 8.08 3.48 2.87 3 13.41 3.33 -4.98 2.65 -0.16 2.95 0.10 16.16 5.22 4.80

CM_46 70 H8

4 12.72 1.11 -1.23 1.12 -0.11 3.22 0.07 22.84 7.54 6.50

0.69 0.25 13.50

Para la componente conservativa se aprecia que los parámetros β y δ son positivos y

por el contrario, τ es negativo. De acuerdo a la premisa de identificación adoptada, la

suma de estos tres parámetros es siempre igual a la unidad, valor asumido como límite

para la componente disipativa. Estos tres parámetros en conjunto definen principalmente

la pendiente de descarga dk de la etapa disipativa. Para una excursión positiva la

pendiente de descarga resulta: δτβ −−+=1dk . Como puede apreciarse de los ensayos

(Figura 5.1), esta pendiente resulta muy elevada para el compuesto H5 y algo menor

para el H8.

La variabilidad que se observa en los resultados de la identificación (Tabla V.2) se

encuentra asociada a altas frecuencias presentes en los datos de los ensayos y que

resultan de variaciones en el control del equipo de ensayo durante la aplicación de la

historia de deformaciones. Para suavizar las curvas carga-deformación obtenidas, se

151

empleó en la identificación un filtro pasa bajo tipo “butherworth” (Oppenheim y

Willsky, 1983).

El parámetro δ permite, tal como se indicó en la sección V.3.1, controlar el nivel de

disipación de la etapa de Bouc-Wen. Por otra parte en la Tabla V.2 se aprecia que la

fuerza de fluencia yF crece con el nivel de desplazamiento máximo empleado en el

ensayo de cada lazo, sin embargo se verifica que si se emplea el valor de yF

determinado para %150=γ y se asume que δ varía de acuerdo a la expresión:

1v

vmrδ=δ (5.29)

donde rδ y mv son valores correspondientes a la deformación de diseño %150=γ y 1v

el desplazamiento máximo del lazo de histéresis actual, se obtiene un excelente ajuste

para todos los lazos de histéresis obtenidos del ensayo de una pareja de aisladores, tal

como se verá mas adelante.

A partir del análisis de los resultados obtenidos en los ensayos para las 36 parejas de

aisladores, se adoptaron como parámetros para la etapa disipativa:

(i) compuesto 5H :

)15.1,15.15,15,1 aA r =δ−=τ=β= (5.30)

(ii) Compuesto 8H : )1.1,1.5,5,1 bA r =δ−=τ=β= Para la componente conservativa hiperelástica los parámetros 210 y, ccc , definen las

pendientes y valores máximos de hZ . Sin embargo solo es necesario definir 0c y 2c

correspondientes, para ser consistente con la determinación anterior, a %150=γ . El

parámetro 1c es dependiente y se determina para cada etapa de reversión de carga sobre

la curva virgen de acuerdo a la Ecuación (5.9), según se estableció en la sección V.3.2.

152

Como se observa en la Tabla V.2, también en estos parámetros se observa gran

variabilidad como consecuencia de las altas frecuencias presentes en los resultados de

ensayo.

Para el compuesto 5H ambos parámetros, 0c y 2c son positivos, en tanto que para el

8H resulta 0c negativo y 2c positivo. Para esta componente conservativa, el

comportamiento de la constitutiva resulta poco sensible a la variación de estos

parámetros según se estableció en la sección V.3.2. Observando el valor medio de hmZ

para %150=γ es posible definir el par de parámetros 0c y 2c para cada compuesto.

Luego de analizar los 14 ensayos realizados para el compuesto 5H y los 22 para el 8H ,

se adoptaron los siguientes parámetros:

i)- Compuesto 5H :

)300.0;500.0 20 acc == (5.31)

ii)- Compuesto 8H :

)070.0;065.0 20 bcc =−= Finalmente, la componente envolvente define la curva virgen. Sus parámetros 0a y p

acotan el valor máximo hmZ que puede alcanzar la componente conservativa. Si se

adoptan parámetros representativos de los valores medios observados para esta etapa es

necesario redefinir la fuerza de fluencia yrefF para cada par de aisladores a efectos de

obtener con el modelo la misma fuerza restitutiva máxima en cada ciclo de cada ensayo.

Estos valores de referencia se consignan en la Tabla V.2. Los valores medios del par de

parámetros 0a y p adoptados para cada compuesto son:

i)- Compuesto 5H :

)125.0;5.00 apa == (5.32)

ii)- Compuesto 8H :

153

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25−60

−40

−20

0

20

40

60

displacement (cm)

forc

es (

ton)

proposed modeltest

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

displacement (cm)

forc

es (

ton)

proposed modeltest

)23.0;85.00 bpa ==

A partir de estos parámetros medios se obtienen los ajustes mostrados en la Figura 5.8

para los compuestos 5H y 8H respectivamente. Allí, se puede apreciar un excelente

ajuste entre el ensayo y el modelo constitutivo propuesto.

a) Compuesto 5H b) Compuesto 8H Figura 5.8 Ajuste entre constitutivas: ensayo - propuesta. Compuestos 5H y 8H .

Con el objeto de comprobar el comportamiento del modelo de constitutiva ante la acción

de un sismo real se sometió a una pareja de aisladores 5H a la historia de

desplazamientos del terreno del registro de Melipilla (Chile, 1985).

En las Figuras 5.9 y 5.10 se representa la ley fuerza-desplazamiento y la historia de las

fuerzas restitutivas en el tiempo, respectivamente. Nuevamente puede apreciarse que se

obtiene muy buen ajuste entre los resultados del ensayo y la integración de la relación

constitutiva propuesta a partir de los registros de velocidad y desplazamientos del

terreno.

Dado que la etapa disipativa del modelo propuesto se encuentra basada en la constitutiva

de Bouc-Wen (sección V.3.1), se presenta en la siguiente sección su extensión al caso

bidimensional (Park et al., 1986)

desplazamientos (cm) desplazamientos (cm)

fuer

zas

(cm

)

fuer

zas

(cm

)

modelo propuesto

ensayo

modelo propuesto

ensayo

154

−15 −10 −5 0 5 10 15−20

−10

0

10

20

displacement (cm)

forc

e (t

on)

proposed modeltest

Figura 5.9 Modelo analítico y ensayo. Comparación para un sismo real (F-x). La relación constitutiva propuesta representa adecuadamente la ley constitutiva fuerza-

desplazamiento registrada en los aisladores ensayados. Registro de Melipilla (Chile, 1985))

Figura 5.10 Comparación entre modelo propuesto y ensayo para un registro real (F-t). La relación constitutiva propuesta representa adecuadamente la historia de fuerzas en el

tiempo registrada en los aisladores ensayados. Registro de Melipilla (Chile, 1985). Es importante destacar que la relación constitutiva de Bouc-Wen posee cierta deriva

respecto a la solución exacta durante ciclos de descarga de pequeña magnitud, violando

el postulado de Druker (Chang, 1992; Newmark y Rosenblueth, 1976). Este fenómeno

se fundamenta en que la rigidez para el ciclo de recarga es menor que para el ciclo de

descarga.


fuer

zas

(cm

)

modelo propuesto

ensayo

−15 −10 −5 0 5 10 15 −15 −10−20

−10

0

10

20

time (sec)

forc

e (t

on)

proposed modeltest

tiempo (seg)

fuer

zas

(cm

)

modelo propuesto

ensayo

0 5 10 15 20 25 30 35 40

155

Este efecto aumenta en la medida que τ es negativo y simultáneamente se verifica que

1=τ+β .

Tabla V.3 Registros para la determinación del efecto de deriva para la relación constitutiva de Bouc-Wen.

Grupo Registro Dirección MAS (g) MVS (cm/s) MDS (cm)

Suelo II Melipilla NS -0.687 34.289 13.300

Suelo II Llo Lleo N10E -0.713 -40.295 -10.786

Suelo III Viña del Mar S20W 0.363 30.742 -5.534

Suelo III Arleta N00E 0.344 40.360 8.880

Suelo II Corralitos N00E 0.630 -55.200 12.030

Suelo I El Centro N00E -0.348 -33.450 -12.360

Suelo II Kobe N00E 0.822 81.300 -17.690

Suelo II Sylmar N00E 0.843 -128.880 -30.670

Suelo I: Vs>900m/s

Suelo II: 400 m/s< Vs <900 m/s Suelo III: Vs < 400 m/s

Sin embargo, dado que estos ciclos de descarga incompletos se presentan tanto para

desplazamientos positivos como negativos la deriva no afecta sensiblemente el valor del

desplazamiento máximo. Para enfatizar este punto se presenta la Figura 5.11 en la que se

ha evaluado la función de error debido a la deriva de pequeños ciclos para 8 registros

(Tabla V.3). Esta función se ha obtenido tomando como referencia un modelo bilineal.

El factor de error se calcula como:

100inf),(

inf),(inf),(×

−=

b

bwe xnorm

xnormxnormf (5.33)

donde wx es la respuesta obtenida con el modelo de Bouc-Wen clásico, bx la obtenida

con el modelo bilineal y inf)((.),norm es la norma infinito de la respuesta considerada.

La representación se realiza respecto a la rigidez adimensional instantánea de descarga

dk del modelo de Bouc-Wen obtenida como τ−β+= 1dk . Tal como se observa, en

todos los casos ef resulta prácticamente insensible respecto de la variación de dk .

156

Figura 5.11 Estimación del error por deriva de la constitutiva de Bouc-Wen. El error resulta despreciable frente a un modelo bilineal.

V.7 Extensión al campo bidimensional Se presenta en esta sección la extensión de la relación constitutiva propuesta al caso

bidimensional.

Los aisladores elastoméricos poseen en general planta circular lo que facilita la

comprensión del problema de la interacción biaxial. En caso de no poseer planta circular

el problema tiene igualmente solución si se lo plantea en campo normalizado (Park et

al., 1986). Para este caso particular los parámetros adimensionales xZ y yZ están dados

por la expresión:

y

dy

dyyy

dx

dxx F

FZ

FF

Z == ; (5.34)

donde dxF , dyF son las fuerzas disipativas actuales para un nivel de deformación dado en

las direcciones x e y , respectivamente y ydxF , y

dyF las correspondientes fuerzas de

fluencia reales o convencionales para la etapa disipativa solamente.

Considerando plasticidad asociada (Zienkiewicz, 1977) la relación entre el vector de

corte normalizado Z y el vector de desplazamiento elastoplástico normalizado v , está

dado por:

0 5 10 15 20 25 30−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

normalized stiffnes

erro

r fu

nctio

n (%

)

El CentroCorralitosKobeArletaSylmarLlolleoViña del MarMelipilla

rigidez normalizada

funci

ón d

e er

ror

(%)

157

vdd ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∇∇∇∇

−=φφ

φφΤ

Τ

kk

IkZ (5.35)

Expresión en la que k es la matriz de rigidez elástica inicial y φ la superficie de

fluencia asociada. Resulta claro que en el dominio normalizado la interacción es circular

y la matriz de rigidez k resulta ser simplemente la matriz identidad, por lo que

dividiendo la Ecuación (5.35) por un diferencial de tiempo dt se obtiene:

v&&⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∇∇∇∇

−=φφ

φφΤ

Τ

IZ (5.36)

A partir de esta ecuación general, proponemos a continuación la extensión al campo

bidimensional para cada una de las componentes integrantes del modelo constitutivo de

la relación fuerza-desplazamiento bidimensional.

V.7.1 Componente disipativa Se propone en esta sección la extensión de la etapa disipativa de Bouc-Wen modificada

al campo bidimensional.

Park et al. (1986) proponen extender esta relación constitutiva al campo bidimensional

en forma analítica, la que puede escribirse para la constitutiva modificada propuesta

como:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ δ+τ+β

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ δ+τ+β

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ δ+τ+β

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ δ+τ+β

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

x

x

rwyy

wy

rwxx

wy

wx

rwyy

wx

wy

rwxx

wx

wy

wx

vv

ZvsignZZvsignZZ

ZvsignZZZvsignZ

ZZ

&

&

&&

&&

&

&

ZZ

ZZI

2

2

(5.37)

158

donde I es matriz identidad de orden 22× , Z es la norma cuadrática de Z , sign es la

función signo y los parámetros β , τ y rδ son los mismos valores identificados para el

caso unidimensional.

V.7.2 Etapa envolvente

Se propone en esta sección la extensión de la etapa envolvente al campo bidimensional.

Esta componente de la constitutiva también participa de la disipación y, por lo tanto,

debe contemplar el efecto de interacción. Observando que esta componente también

proviene de la formulación de Bouc-Wen, puede escribirse en términos similares a la

anterior como:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

y

x

ygygy

xgxgxgy

ygygygx

xgxgx

ey

ex

vv

pvZsigna

ZpvZsign

aZZ

pvZsigna

ZZpvZsign

aZ

aZZ

&

&

&&

&&

&

&

0

2

0

00

2

0 I (5.38)

donde x

exgx vpZZ −= y y

eygy vpZZ −= ; y 0a y p son los mismos parámetros

identificados para el caso unidimensional.

V.7.3 Componente conservativa Se presenta en esta sección la extensión al campo bidimensional de la componente

conservativa.

Esta componente no posee efecto de interacción bidimensional debido a su naturaleza

conservativa, por lo tanto, su ecuación en el campo bidimensional esta dada por la

expresión:

159

( )( )

( )( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+−

+

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

y

x

hy

hy

hy

hx

hx

hx

hy

hx

vv

Zcc

ZsignZcZcc

ZsignZc

ZZ

&

&

221

0

221

0

10

01

(5.39)

donde el comportamiento según la dirección x resulta independiente del

comportamiento en la dirección y .

Figura 5.12 Respuesta bidimensional del modelo constitutivo propuesto. Leyes fuerza-deformación para los compuestos a) H5 y b) H8

−30 −20 −10 0 10 20 30−60

−45

−30

−15

0

15

30

45

60

x−displacement (cm)

x−fo

rce

(ton

)

−30 −20 −10 0 10 20 30−60

−45

−30

−15

0

15

30

45

60

y−displacement (cm)

y−fo

rce

(ton

)

−30 −20 −10 0 10 20 30−40

−20

0

20

40


x−fo

rce

(ton

)

−30 −20 −10 0 10 20 30−40

−20

0

20

40

y−displacement (cm)

y−fo

rce

(ton

)

a)

b)

desplazamiento x (cm) desplazamiento y (cm)

fuer

za x

(to

n)

fuer

za y

(to

n)

desplazamiento x (cm) desplazamiento y (cm)

fuer

za x

(to

n)

fuer

za y

(to

n)

160

Figura 5.13 Trayectoria de desplazamientos prescritos.

Desplazamientos empleados para la obtención las relaciones constitutivas fuerza deformación presentadas en la Figura 5.12.

Debe observarse que durante el proceso de integración existe un intercambio entre la

etapa envolvente y la conservativa, en la que una genera disipación y la otra no. En el

Anexo J se presenta el algoritmo de integración empleado para el manejo de la relación

constitutiva propuesta. En la Figura 5.12 se presenta el comportamiento del modelo para

las direcciones x e y sometido a la historia de desplazamientos presentada en la Figura

5.13.

V.7.4 Disipadores actuando en paralelo En la mayoría de los sistemas de aislamiento con apoyos elastoméricos se emplean

disipadores actuando en paralelo. Éstos pueden ser de varios tipos, tales como viscosos,

friccionales o histeréticos. Estos dispositivos pueden tenerse en cuenta en forma

simplemente aditiva, empleando para ello por ejemplo, la constitutiva clásica de Bouc-

Wen, ó la presentada en la sección V.6.2, teniendo en cuenta para el caso bidimensional,

la extensión propuesta por Park et al. (1986) ó cualquier otra ley constitutiva que

represente adecuadamente el comportamiento del disipador que se disponga, tanto para

el campo unidimensional como bidimensional.

−30 −20 −10 0 10 20 30−30

−20

−10

0

10

20

30


y−di

spla

cem

ent (

cm)

desplazamiento x (cm)

des

pla

zam

iento

y (

cm)

161

En la sección siguiente se presentan los resultados obtenidos mediante el empleo de la

relación constitutiva propuesta para la modelación de sistemas de aislamiento sometidos

a excitación sísmica uni y bidireccional.

V.8 Ejemplo de aplicación En esta sección se presentan los resultados obtenidos de aplicar la relación constitutiva

propuesta para la determinación de la respuesta de una estructura sometida a una

excitación sísmica. Se ha seleccionado para ello una estructura asimétrica de marcos de

hormigón armado de 6 pisos (Figura 5.14).

La distribución de columnas es simétrica, lográndose su excentricidad mediante la

disposición de arriostres diagonales de acero que trabajan en tracción y compresión en

distintos planos. En todos los niveles se ha considerado un peso sísmico de 21 m/t . La

superestructura, que posee una frecuencia fundamental desacoplada π=Ω 4)(0

s y

amortiguamiento constante 05.0)( =ζ s en todos los modos, se encuentra montada sobre

un sistema de aislamiento no-lineal cuyo esquema en planta es el mostrado en la Figura

5.14.

Los aisladores se encuentran tipificados por sus fuerzas, desplazamientos de fluencia

asociados a sus dimensiones y por tipo de compuesto.

Para el sistema de aislamiento se han considerado 11 aisladores, 8 de los cuales

corresponden al compuesto 5H y tres al compuesto 8H , uno de los cuales posee núcleo

de plomo.

Los datos de cada apoyo se consignan en la Tabla V.4. Esta estructura se sometió a la

componente N00E del registro de Sylmar (Northridge, EEUU - 1994) escalada a 0.4 g

de aceleración máxima.

162

Figura 5.14 Estructura aislada excéntrica de 6 pisos considerada. La elevación representa esquemáticamente el sistema de riostras de los ejes 2, 3 y b, en

tanto que los ejes 1,4, a y c no poseen riostras.

En la Figura 5.15 se representan la historia de desplazamientos obtenida en el CM del

sistema de aislamiento, en tanto que en la Figura 5.16 se presenta la relación fuerza-

deformación obtenida en el aislador 1 (compuesto 5H ) y en el aislador 3

(compuesto 8H ).

c

1

2

3

4

a b

braces

6@30

00

3@50

00

2@5000

braced

unbraced

50x50 50x50

50x5050x50

70x30

70x30

70x30

70x30

30x70

30x70 30x70

30x70

30x70 30x70

30x50

30x50

30x50

30x50

30x50

30x5030x50

30x50

30x50

30x50

30x50

30x50

2@5000

3@50

00

ba

4

3

2

1

c

compuestoH5

H8compuesto

compuestoH8 núcleo de plomo

Superstructure

Isolation Plan

Superestructura

Planta de aislamiento

riostra

no arriostrado

arriostrado

163

Figura 5.15 Respuesta despl.-t de los aisladores. Registro Sylmar, caso unidimensional.

(Sylmar N00E, Northridge EEUU 1994).

Figura 5.16 Respuestas F-x de los aisladores. Registro Sylmar para acción unidireccional.

N00E, Northridge, EEUU 1994.

Figura 5.17 Historia de desplazamientos para excitación bidireccional. Registro Sylmar, componentes N00E y N90E, Northridge, EEUU-1994.

0 5 10 15 20−30

−20

−10

0

10

20

30

time (sec)

disp

lace

men

t (cm

)

tiempo (seg)

des

pla

zam

iento

(cm

)

−30 −20 −10 0 10 20 30−60

−40

−20

0

20

40

60

displacement (cm)

forc

es (

ton)

H5 compoundH8 compound

desplazamiento (cm)

fuer

zas

(ton)

Compuesto H5

Compuesto H8

0 5 10 15 20−30

−20

−10

0

10

20

30

time (sec)

disp

lace

men

t (cm

)

x−historyy−history

tiempo (seg)

des

pla

zam

iento

(cm

)

historia s/x historia s/y

164

Finalmente, la misma estructura se sometió a la excitación simultánea de las

componentes N00E y N90E del registro de Sylmar en la direcciones x e y ,

respectivamente, escaladas a 0.4 g de aceleración máxima en la dirección x , y en forma

proporcional en la dirección y .

La Figura 5.17 representa la historia de deformaciones obtenidas para ambas

direcciones, en tanto que en las Figuras 5.18 a) y b) se presentan las relaciones fuerza-

deformación obtenidas para los mismos aisladores que en el ejemplo anterior.

En la Tabla V.4 se presentan las frecuencias traslacionales, rotacionales y

amortiguamientos del sistema lineal equivalente, se presentan además, las razones de

flexibilidad torsional para los dos casos analizados.

Figura 5.18 Historias Fx-x, Fy-y. Aisladores 1 y 3, excitación bidireccional. Registro Sylmar, componentes N00E y N90E, Northridge, EEUU-1994.

Tabla V.4 Frecuencias y amortiguamientos. Modelo lineal equivalente

Parámetro Unidimensional Bidimensional

ωtx 2.680 2.64

ωty - 2.68

ωr 3.570 2.84

Ωb 1.330 1.08

ξx 0.170 0.15

ξy - 0.17

ξr 0.200 0.18

−30 −20 −10 0 10 20 30−15

−10

−5

0

5

10

15

displacement (cm)

forc

es (

ton)

x−H5 compoundy−H5 compound

−30 −20 −10 0 10 20 30−50

−30

−10

10

30

50x−H8 compoundy−H8 compound

desplazamiento (cm) desplazamiento (cm)

fuer

zas

(ton)

Compuesto H5 s/x

Compuesto H5 s/y

Compuesto H8 s/x

Compuesto H8 s/y

165

V.9 Conclusiones

En esta parte del trabajo de investigación de ha propuesto una relación constitutiva

fuerza-deformación para aisladores elastoméricos en general llegándose a las siguientes

conclusiones:

1- Se ha demostrado que esta relación constitutiva fuerza-deformación es capaz de

modelar en forma eficiente el comportamiento observado en ensayos

unidimensionales reales.

2- Por otra parte se propone una metodología de identificación de sus parámetros en

función de características físicas susceptibles de ser medidas mediante ensayos.

3- El modelo propuesto no se limita a la modelación de elastómeros puesto que

otros dispositivos de disipación de energía que experimentan marcados

incrementos de rigidez para deformaciones moderadas tales como los ADAS,

también pueden modelarse eficientemente mediante la relación constitutiva

propuesta.

4- La metodología de análisis presentada, permite desarrollar una gran cantidad de

leyes constitutivas, pues a partir de la definición de una función carga-

deformación que se adapte al material o dispositivo cuyo comportamiento

adimensional se modela, solo es necesario obtener la expresión de la evolución

de la rigidez en el tiempo, derivándola respecto del desplazamiento a fin de

ponerla en un formato dependiente de la velocidad. Esta ecuación de primer

orden puede integrase mediante esquemas particionados en espacio de estado ó

mediante espacio de estado ampliado.

166

5- Por otra parte, la metodología aditiva seleccionada para la descripción del

comportamiento fuerza-deformación permite la fácil incorporación de

disipadores actuando en paralelo.

6- Finalmente, para tener en cuenta la interacción no-lineal en dos direcciones entre

fuerzas y desplazamientos se propone la extensión del modelo constitutivo

desarrollado al campo bidimensional. Los resultados obtenidos del modelo

deberán ser corroborados mediante ensayos.

VI. TORSIÓN EN RANGO NO-LINEAL

167

VI TORSION EN RANGO NO LINEAL

VI.1 Resumen En los Capítulos III y IV se han mostrado importantes avances en el control del

comportamiento torsional de estructuras con aislamiento lineal. Los parámetros de

control son la flexibilidad torsional )b(0Ω y la excentricidad del aislamiento )b(e . Sin

embargo, la mayoría de los sistemas de aislamiento usados en la práctica funcionan en el

rango no-lineal de los materiales. Por lo tanto, resulta de importancia crucial determinar

en qué medida los criterios para aislamiento lineal son válidos para este caso. Dado el

carácter paramétrico del estudio se define un sistema lineal equivalente de comparación.

Se investiga además la influencia del número de aisladores en la respuesta del sistema de

aislamiento. En base a los resultados obtenidos para 11 registros de terremotos históricos

se demuestra que el comportamiento del sistema de aislamiento en campo no-lineal es

muy similar a lo observado en rango lineal. Esto, permite extender la metodología de

diseño desarrollada en el capítulo IV a sistemas de aislamiento no-lineales. Se observa

que el mejor control de la respuesta rotacional de superestructuras asimétricas aisladas,

se obtiene con aislamientos torsionalmente flexibles con excentricidad en la misma

dirección que la superestructura y del mismo orden. Finalmente se verifica la

metodología desarrollada con dos ejemplos.

VI.2 Introducción En el Capítulo IV se ha presentado la solución al problema del control de la respuesta

torsional de la superestructura en rango lineal, donde es posible establecer las

características que debe tener el aislamiento para optimizar la respuesta torsional de la

superestructura, minimizando su rotación y balanceando la respuesta de sus bordes. Los

parámetros del aislamiento lineal que permiten alcanzar este control son su excentricidad

y flexibilidad torsional.

168

Sin embargo, los sistemas de aislamiento actualmente más usados (p.e. LRB, RB, FPS)

funcionan en rango definidamente no-lineal. Por lo tanto, es muy importante investigar

si es posible obtener el control óptimo en este rango y, en ese caso, establecer cuáles son

los parámetros del aislamiento que permiten alcanzarlo.

En algunos sistemas de aislamiento es posible introducir excentricidad, en tanto que en

otros no. Entre los primeros se encuentran todos aquellos dispositivos que poseen

restitución independiente de la distribución de carga vertical, tales como los dispositivos

elastoméricos o los que emplean resortes (Kelly, 1997, Nawrotzky, 2000). Entre los

segundos, el ejemplo mas destacado es el péndulo friccional (FPS) (Zayas et. al., 1987).

Este trabajo se enfoca a los dispositivos de aislamiento elastoméricos, pero sus

resultados pueden extenderse a otros dispositivos.

Se ha empleado en este caso la constitutiva desarrollada en el Capítulo V que representa

adecuadamente el comportamiento de aisladores de goma de alto amortiguamiento y de

goma natural con corazón de plomo (Seguin y de la Llera, 2003; Capítulo V).

Calibramos la misma con ensayos de aisladores a escala natural realizados en el

Laboratorio de Control de Vibraciones del Departamento de Ingeniería Estructural y

Geotécnica de la Pontificia Universidad Católica de Chile.

Por otra parte, con el objetivo de comparar los resultados obtenidos en el rango lineal

con el no-lineal se ha definido un sistema de aislamiento lineal equivalente mediante

técnicas probabilísticas. Esto permite definir la frecuencia traslacional, la excentricidad,

el amortiguamiento y la flexibilidad torsional, parámetros que resultan fundamentales,

para el control del comportamiento rotacional de la superestructura en campo lineal.

Debido a que la flexibilidad torsional y la excentricidad del aislamiento pueden

obtenerse con un número variable de aisladores no-lineales, se investiga la influencia de

su número en la respuesta del aislamiento.

Por otra parte, a diferencia de otros trabajos (Nakamura et. al., 1988) y a efectos de

evaluar tendencias generales de comportamiento en el rango no-lineal, se obtuvo el

promedio de la respuesta máxima acoplada de la estructura y del aislamiento resultante

de la aplicación de 11 registros de terremotos históricos, para distintas razones de

169

flexibilidad torsional y excentricidades, tanto en el aislamiento como en la

superestructura.

Finalmente, se obtienen criterios de optimización de la respuesta acoplada de la

superestructura que se aplica a dos estructuras, una de un piso y otra de múltiples pisos.

En ambos casos, se evalúa en qué grado se ve afectado el desempeño del aislamiento.

VI.3 Sistema considerado y ecuaciones de movimiento El sistema estructural aislado considerado se muestra en la Figura 6.1, dónde el piso

superior, que se considera en rango lineal en todos los casos analizados, representa a la

estructura y el inferior al aislamiento, a2 y c2 son el ancho y la profundidad de la planta

respectivamente. Se asume que los centros de masas (CM) se encuentran ubicados sobre

una misma vertical y que cada piso tiene un centro de rigidez (CR) que puede variarse

en forma independiente. Bajo estas condiciones y empleando coordenadas relativas, la

ecuación de movimiento puede escribirse de la siguiente manera (Nagarajaiah et. al.,

1993), donde los supra-índices (s) y (b) se refieren a la superestructura y la base

respectivamente;

gurm

rmf0

qu

k00k

qu

c00c

qu

mmrrmm

&&&

&

&&

&&(b)

(t)

(s)(s)

(b)nl

(b)

(s)

(b)

(s)

(t)(s)(s)T

(s)(s)(s)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

η+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

(6.1)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−

−

=2222

)()( 100

(j)y

(j)(j)x

(j)(j)x

(j)y

(j)

(s)x

(j)y

(j)(j)

jy

j

eαeκeeα

eeαα

kk (6.2)

donde [ ]Tyx uuu θ=u es el vector de grados de libertad (GDL) de la superestructura

respecto al sistema de aislamiento, [ ]Tyx qqq θ=q del aislamiento respecto del suelo,

con )( su θρ=θ y )( bq θρ=θ , siendo 12/)(2 22 ca +=ρ el radio de giro de la masa,

170

)()()()()( bssTst mrmrm += es la matriz de masa total; con Im )( s(s) m= y Im )( b(b) m= , en la

que I la matriz identidad de orden 3; )( sm y )( bm son la masa traslacional de la

superestructura y del aislamiento respectivamente, )( bnlf es el vector de fuerzas no

lineales en el aislamiento, que se describe en la siguiente sección, Irr == (b)(s) son las

matrices de colocación de la excitación gu&& , η es la relación entre la rigidez lineal post

fluencia y la inicial del aislador )( jα es la razón entre la rigidez según x e y ; )(,jyxe es la

excentricidades según x e y respectivamente, )( jκ el radio de giro de la rigidez

evaluado respecto del centro de rigidez para bsj ,= .

Figura 6.1 Esquema del modelo empleado

aa

structural element

structure plan

xi

kxj

θs

yj

cms

u

y

crs

kyi

x

q

cc

isolation plan

xbl

yi

θb

q

cmb

xbr

crb

xi

y

isolator

kbi

zb

zsx

u

planta aislamiento aislador

elemento estructural

planta estructura

171

En base a estos radios de giro se definen los siguientes parámetros (Annigieri et. al.,

1996; Capítulo III)

ρ

κ=ω

ω=Ω

ρκ=

ω

ω=Ω θθ

)(

)(

)()(

0

)(

)(

)()(

0 ;b

b

bb

s

s

ss (6.3)

donde )( sω , )( bω son las frecuencias traslacionales, )( sθω y )( b

θω las rotacionales del

sistema nominalmente simétrico de la superestructura y de la parte lineal del

aislamiento, respectivamente.

Las matrices de amortiguamiento para la estructura y para la parte lineal del aislamiento

se construyen con los mismos criterios empleados en el Capítulo III, esto es

( ) )()()()()()( ~ sTsssTss mΦcΦmc = (6.4)

( ) )()()()()()( ~ tTbbbTtb mΦcΦmc =

donde )( jΦ para bsj ,= son los modos de los sistemas )()( , ss mk y )()( , tb mk ;

[ ])()()()( ~2~ si

si

si

s mωζ=c )3:1( Ni= , con N número de pisos; [ ])()()()( ~2~ bj

bj

bj

b mωζ=c

)3:1( =j , son las matrices de amortiguamientos modales; Tssss )()()()( ΦmΦm =( y

Tbtbb )()()()( ΦmΦm =( son las correspondientes masas modales; )()( , jj ωζ para bsj ,= las

cantidades de amortiguamiento y frecuencias acopladas de la superestructura con base

fija y el de la base considerando a la superestructura actuando como cuerpo rígido.

Las formas modales, los amortiguamientos y las frecuencias acopladas corresponden en

este caso a la superestructura y a la parte lineal del aislamiento.

En los sistemas de aislamiento elastomérico cabe la posibilidad de considerar que el

amortiguamiento es proporcional a la rigidez, ya que el mismo dispositivo que provee

rigidez, provee también disipación con lo que el amortiguamiento del modo más flexible

resulta menor que el correspondiente al modo más rígido. Por esta razón en esta parte de

la investigación, se ha considerado el amortiguamiento proporcional a la rigidez para el

172

aislamiento lineal equivalente. Para la superestructura en cambio, se consideró

amortiguamiento modal constante.

VI.3.1 Modelo de fuerzas no-lineales En esta sección se describe la constitutiva no-lineal unidimensional desarrollada en el

Capítulo V, cuya etapa de disipación se basa en la constitutiva de Bouc-Wen (Wen,

1975; Park et. al., 1986) y los parámetros identificados a partir de ensayos para el

compuesto H5. Así mismo, se presenta la matriz que representa las fuerzas no-lineales

actuando en el aislamiento.

La fuerza no-lineal bidimensional del ésimoj− aislador, se puede expresar como

( ) jZf yjbnl Fη−=

×1)(

12 (6.5)

donde yF es la fuerza de fluencia real o convencional para el ensayo unidimensional y

[ ]Tjy

jx

j ZZ=Z es el vector adimensional que representa el comportamiento histerético

adimensional acoplado, en las direcciones x e y (Capítulo V).

Finalmente, la fuerza no-lineal total en el sistema de aislamiento se obtiene a partir de:

( ) ∑=

η−=an

j

jTj

ybnl F

1

)( 1 ZLf (6.6)

Dónde an es el número de aisladores del sistema de aislamiento; y jL es la matriz de

colocación del ésimoj− aislador de coordenadas ( )ajaj y,x dada por

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

ai

aii x

y1001

L (6.7)

Se presenta a continuación la metodología empleada para definir el sistema lineal

equivalente al comportamiento no-lineal descrito en esta sección.

173

VI.3.2 Sistema lineal equivalente Con el objeto de establecer la frecuencia y amortiguamiento equivalentes, y verificar la

razón de flexibilidad torsional del modelo no-lineal se define en esta sección un modelo

lineal equivalente.

Este modelo se postula a partir de la linearización probabilística de la respuesta no-lineal

de cada aislador para el sistema nominalmente simétrico.

Para ello se asume que el proceso aleatorio considerado es de tipo ergódico. Bajo esta

consideración resulta que la rigidez ( jke ) y el amortiguamiento ( jce ) lineal equivalente

del aislador j pueden estimarse por las expresiones (Roberts y Spanos, 1990):

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]( )( )tqStd

tqtftqkMeanec

tqStdtqtftqkMean

ek

yj

yjb

jnlyyjb

jj

yj

yj

jbnlyyj

bj

j

&

&)()(

)()(

1ˆ

1ˆ

η−+η=

η−+η=

(6.8)

donde ( )[ ] ( )∑ ⋅=⋅N

NMean1

1 es el promedio de la secuencia ( )⋅ y ( )[ ] ( )∑ ⋅=⋅ −

N

NStd1

21

1 su

desviación estándar.

Dado que es un sistema monosimétrico estimamos jek y jec solo para la dirección y.

Notar que el numerador es una estimación del valor esperado del producto entre la

fuerza no-lineal y el desplazamiento (ó velocidad) del proceso y el denominador una

estimación de la desviación estándar de desplazamiento (ó velocidad).

A partir de estos valores las matrices de rigidez y amortiguamiento lineal equivalente del

sistema de aislamiento se obtienen a partir de las ecuaciones

( )

( ) LecdiagLc

LekdiagLk

T

T

j(b)e

jb

e

ˆ

ˆˆ )(

=

=

) (6.9)

174

donde el operador diag indica matriz diagonal por bloques, en la que cada bloque es

[ ]jjj ekekdiag ˆˆˆ =ek y [ ]jjj ececdiag ˆˆˆ =ec ; y [ ]Tnaj LLLL LL1= la matriz de

colocación de los aisladores. A partir de )(ˆ bek es posible ajustar las frecuencias lineales

equivalentes para cada uno de los 11 registros empleados. Las características principales

de estos registros se muestran en la Tabla VI.1

Tabla VI.1 Características de registros empleados en el análisis

Grupo Registro Dirección MAS (g) MVS (cm/s) MDS (cm)

Suelo II Melipilla NS -0.687 34.289 13.300

Suelo II Llo Lleo N10E -0.713 -40.295 -10.786

Suelo III Viña del Mar S20W 0.363 30.742 -5.534

Suelo III Llay Llay N80W -0.475 36.710 -5.736

Suelo II San Fernando NS 0.285 -21.084 23.170

Suelo III Arleta N00E 0.344 40.360 8.880

Suelo II Corralitos N00E 0.630 -55.200 12.030

Suelo I El Centro N00E -0.348 -33.450 -12.360

Suelo II Kobe N00E 0.822 81.300 -17.690

Suelo III Newhall N00E 0.591 -94.730 28.810

Suelo II Sylmar N00E 0.843 -128.880 -30.670

Suelo I: Vs>900m/s

Suelo II: 400 m/s< Vs <900 m/s Suelo III: Vs < 400 m/s

Figura 6.2 Comparación entre el análisis no lineal y el modelo lineal equivalente Ajustado para un sistema de aislamiento nominalmente simétrico – Registro Kobe;

Terremoto de Japón, 1995. 7.0)(0 =Ω b

e , sT be 5.2)(

0 = , 17.0)( =ζ be , 0)( =b

sxê .

0 5 10 15−20

−10

0

10

20

time (sec)

disp

lace

men

t (cm

)

lineal equivalente no-lineal

tiempo (seg)

desp

laza

mie

nto

(cm

)

175

La Figura 6.2 muestra la buena concordancia obtenida entre los desplazamientos

correspondientes al modelo no-lineal y al lineal equivalente identificado para el registro

de Kobe (Japón, 1995).

VI.3.3 Parámetros considerados Los parámetros del sistema de aislamiento que controlan la repuesta acoplada de la

superestructura para los sistemas lineales son la excentricidad )( be y la razón de

flexibilidad torsional )(0

bΩ , dada por el cociente entre el radio de giro de la rigidez )( bκ y

de masa ρ respectivamente.

Evidentemente es posible usar estos parámetros para la superestructura y para la parte

lineal del aislamiento. Sin embargo para la parte no-lineal (histerética) carece de sentido

referirse a frecuencias desacopladas y radio de giro de la rigidez como parámetros. En

reemplazo del radio de giro )( bκ se propone emplear el radio de giro de las fuerzas

restitutivas no-lineales )( bλ , definida mediante la expresión

( )( )

( )( )∑

∑

=

=

η−+η

η−+η=λ

an

j

jbnlyyj

bj

an

j

bj

jbnlyyj

bj

b

fqk

xfqk

1

0)()(

1

2)(0

)()(

)(

1

1 (6.10)

donde el superíndice ( )0 indica el valor de la fuerza total en cada aislador para una

traslación pura igual al desplazamiento de diseño. La razón de flexibilidad resistente

torsional para una falta de alineamiento entre CM y centro de fuerzas (CF) queda en este

caso definida por la relación

ρ

λ=Γ)(

)(0

bb (6.11)

Tal como se verá mas adelante esto permite que las frecuencias traslacionales y

rotacionales desacopladas del sistema lineal equivalente )( beω y )( b

eθω se mantengan

176

aproximadamente constantes para una excentricidad constante )( bê y para todo el

conjunto de registros seleccionados.

Con el objeto de hacer comparables los resultados con los obtenidos en campo lineal

(Capítulos III y IV) se adoptan los siguientes parámetros para el modelo matemático: (i)

se considera la misma masa para la estructura y el aislamiento; (ii) se asumen para el

sistema simétrico frecuencias traslacionales π=Ω 4)(0

s para la estructura con base fija y

π=Ω 8.0)(0

be para el aislamiento (frecuencias nominales) ; (iii) se considera

amortiguamiento modal constante para la estructura 05.0)( =ζ s ; para el aislamiento

17.0)( =ζ be que corresponde a la frecuencia del sistema nominalmente simétrico; (iv) se

adopta la relación entre el lado menor y el mayor 5.0== acrl ; v) se considera que las

excentricidades )( sye y )( b

ye varían entre aa y− en forma independiente (Figura 6.1) y

(vi) se consideran las siguientes razones de flexibilidad en rigidez y resistencia

rotacional 5.10.1;7.0 y)(0

)(0

)(0 =Ω=Γ=Ω bbs y todas sus posibles combinaciones.

VI.3.4 Condiciones de diseño del sistema de aislamiento A efectos de que los resultados obtenidos sean comparables, es fundamental que el

sistema aislado nominalmente simétrico mantenga ciertos parámetros constantes para

cada registro.

En consecuencia, a diferencia de otras investigaciones (Nagarajaiah et. al., 1993, Tena y

Gómez, 2002; Tena y Zambrano, 2005 y Tena y Escamilla, 2006) se considera que para

obtener tendencias generales de comportamiento, es necesario que para todos los

registros considerados el sistema lineal equivalente aislado mantenga los siguientes

parámetros constantes (i) capacidad de disipación de energía, (ii) frecuencia traslacional

y (iii) razón de flexibilidad torsional. En caso contrario no se consideraría el mismo

sistema no-lineal para cada registro y por lo tanto sus resultados no serían comparables

entre si.

Por lo tanto, para el diseño de los sistemas de aislamiento se establecen las siguientes

premisas:

177

(i) La frecuencia propia del modelo lineal equivalente para la etapa mas intensa de los

registros considerados debe ser π=ω 8.0)(0

be .

(ii) Los análisis se realizan para una distorsión transversal máxima de diseño en el

dispositivo mas desfavorable %150=γ d , ya que se asume para el sismo máximo creíble

un factor de amplificación 5.1=aMCf , ( %225=γ dMC ).

(iii) Debido a que se espera acoplamiento lateral-torsional con amplificaciones máximas

en los bordes del sistema de aislamiento respecto del sistema nominalmente simétrico

del orden de 2 (Capítulo III) se ha previsto una distorsión angular específica máxima de

diseño en los aisladores para el sistema simétrico %80=γ n .

(iv) El amortiguamiento del sistema lineal equivalente nominalmente simétrico para la

etapa mas intensa de los registros se asume igual a 17.0)( =ζ be . Este amortiguamiento es

el equivalente observado en ensayos para el nivel de deformación empleado en el diseño

en el compuesto H5 (Capítulo V), adoptado para esta investigación. Este nivel de

disipación se obtiene alcanzando en todos los diseños el mismo par adimensional

ddZ v, para el sistema nominalmente simétrico.

(v) Por simplicidad se considera que todos los aisladores son del mismo compuesto de

goma (idénticos parámetros para la constitutiva). Adicionalmente, en estas condiciones,

el centro de rigidez y el centro nominal de resistencias resultan coincidentes.

(vi) Con el objeto de obtener un espectro de respuesta medio de referencia, todos los

registros se normalizan a una aceleración máxima gu gmáx 4.0= .

Los parámetros de diseño resultantes para los 11 registros considerados en la Tabla VI.1

así como los parámetros de los sistemas lineales equivalentes pueden observarse en la

Tabla VI.2. Éstos se han obtenido asumiendo que el parámetro )(0

sΩ posee muy poca

influencia en el comportamiento del sistema de aislamiento (Lee, 1980; Nagarajaiah et

al., 1993; Pan y Kelly, 1983; Kulkarni y Jangrid, 2002, Tena y Escamilla, 2006;

Capítulo III). Notar que en todos los diseños se ha obtenido el mismo par

ddZ v, . El amortiguamiento lineal equivalente oscila alrededor del %17 , para la

componente traslacional, y alrededor del %12 para la componente rotacional

178

( 7.0)(0 =Ω b

e ), con una dispersión relativamente baja, tik es la rigidez lineal equivalente

del sistema.

Por razones de brevedad en la Tabla VI.2 se ha presentado los resultados sólo para la

relación 7.0)(0 =Ω b

e .

Tabla VI.2 Características de sistemas lineales equivalentes y parámetros no-lineales considerados en el análisis 7.0)(

0 =Ω be

Registro ωye ζye ωθe ζθe Fy qy ωye/ωθe kti vd Zd El Centro 2.51 0.20 1.79 0.14 4.98 1.30 0.71 3.83 12.80 2.66 Kobe 2.51 0.18 1.78 0.13 4.69 1.15 0.71 4.10 12.76 2.67 Corralitos 2.52 0.18 1.81 0.13 2.37 0.59 0.72 3.99 12.78 2.66 Arleta 2.51 0.16 1.80 0.12 4.27 1.11 0.72 3.86 12.80 2.66 Sylmar 2.51 0.22 1.78 0.16 7.11 1.77 0.71 4.02 12.80 2.66 Newhall 2.50 0.18 1.77 0.13 6.39 1.59 0.71 4.02 12.79 2.66 Llolleo 2.52 0.14 1.79 0.10 2.27 0.56 0.71 4.04 12.78 2.66 Llay Llay 2.50 0.13 1.77 0.10 4.16 1.08 0.71 3.85 12.80 2.66 Melipilla 2.51 0.17 1.81 0.13 1.99 0.46 0.72 4.32 12.67 2.64 San Fernando 2.53 0.17 1.77 0.12 3.79 0.98 0.70 3.87 12.78 2.66 Viña del Mar 2.52 0.14 1.82 0.10 4.12 0.94 0.72 4.38 12.69 2.64 2.51 0.17 1.79 0.12 4.19 1.05 0.71 4.02 12.77 2.66

Parámetros de la constitutiva: A = 1; β = 15; τ = -15.15; δr = 1.15; c0 = 0.3; c2 = 0.55; a0 = 0.43; p = 0.12;

VI.4 Efecto del número de aisladores Se investiga en esta sección la influencia del número de aisladores en la respuesta

acoplada del sistema aislado.

A pesar que algunos autores (Nagarajaiah et. al., 1993) han investigado esta influencia,

solamente se han reportado las respuestas máximas, sin mayores detalles de la historia

en el tiempo.

En este caso se estudiaron las respuestas en el sistema de aislamiento para 4, 8, 12 y 16

aisladores. Los parámetros empleados para la constitutiva son los mismos presentados

en la Tabla VI.2, considerando una fuerza total de fluencia tonF y 98.4= y un

desplazamiento de fluencia .3.1 cmq y = El registro de aceleraciones empleado en la

179

integración de las ecuaciones corresponde al terremoto de EL Centro (Imperial Valley -

1940).

La excentricidad se introdujo mediante una falta de alineamiento entre CM y CF (CR)

para excentricidades en el sistema de aislamiento 15.0 y)( =bê . En todos los casos se

consideraron relaciones de frecuencias 7.0)(0

)(0

)(0 =Ω=Γ=Ω bbs . La superestructura se

consideró simétrica en todos los casos.

Los desplazamientos se evaluaron en los bordes de la planta del aislamiento, aunque no

hubiera aisladores en esa ubicación.

Figura 6.3 Influencia del número de aisladores en la respuesta no lineal del modelo. Parámetros: 7.0)(

0 =Ω be , sT b

e 5.2)(0 = y 17.0)( =ζ b

e ; 0.1)(0 =Ω s

, sT s 5.0)(0 = , 17.0)( =ζ b

e y 0)( =s

sxê , sometido al registro de El Centro (Imperial Valley, EEUU – 1940).

−30

−15

0

15

30

disp

lace

men

ts (

cm)

êb = 0.5

3.85 3.90 3.95 4.0020.85

20.90

20.95

0 5 10 15−30

−15

0

15

30

disp

lace

men

ts (

cm)

time (s)

êb = 1.0

4.00 4.05 4.10 4.1522.00

22.10

22.20

22.30

4 aisladores

4 aisladores

8 aisladores12 aisladores

16 aisladores

tiempo (seg)

desp

laza

mie

nto

(cm

) de

spla

zam

ient

o (c

m)

180

La Figura 6.3 muestra los resultados obtenidos en el borde izquierdo de la planta del

aislamiento bajo estudio. Para una mejor comprensión se presenta además un

acercamiento en la zona de la máxima respuesta.

En esta Figura se aprecia que el modelo mas elemental con 4 aisladores (Figuras 6.3a y

b) presenta alguna diferencia con los modelos de 8, 12 y 16 aisladores. Por otro lado las

diferencias entre los modelos de 8, 12 y 16 aisladores resultan despreciables.

En función de estos resultados se adopta para los siguientes análisis un modelo con 8

aisladores, ya que una mayor discretización en la interfaz de aislamiento no conduce a

diferencias importantes en los resultados.

VI.5 Respuestas consideradas y resultados obtenidos En esta sección se describen los resultados obtenidos tanto para el aislamiento como

para la superestructura.

Las respuestas de interés son los desplazamientos relativos a la base en los bordes de la

superestructura eu y del aislamiento eq , que se pueden calcular como:

qquu e ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

aa

aa

e 11

;11

(6.12)

donde ),1(),,1( iuiq ee corresponden al borde izquierdo del aislamiento y de la

superestructura respectivamente y ),2(),,2( iuiq ee al derecho. El parámetro que se

investigó en el aislamiento es la relación eq para cada borde, definida como el factor de

amplificación

qqnorm

q ee ~

inf),(ˆ = (6.13)

donde inf),( eqnorm y q~ son el desplazamiento máximo en el borde y en el centro de

masas del sistema de aislamiento asimétrico y nominalmente simétrico, respectivamente.

181

Para la superestructura el desplazamiento normalizado que se estudió es el factor

reducción definido por

2,1

2,12,1 ~

)(ˆ

e

ee u

unormu = (6.14)

donde )( 2,1eunorm y 2,1~

eu es el desplazamiento máximo en los bordes correspondientes

de la superestructura con iguales parámetros e igual excentricidad, aislada y con base

fija, respectivamente.

Estos factores se obtuvieron para cada uno de los registros presentados en la Tabla VI.1.

Asimismo y con el fin de obtener tendencias generales, se obtuvieron los promedios de

los factores eq y eu máximos para los 11 registros considerados. En todos los casos

estos resultados se compararon con la respuesta del sistema lineal equivalente

identificado. Téngase en cuenta que el sistema lineal equivalente se definió solo para el

caso nominalmente simétrico.

VI.5.1 Sistema de aislamiento En esta sección se presentan y discuten los resultados obtenidos para los

desplazamientos normalizados en los bordes del aislamiento.

A continuación se presentan las gráficas de los factores de amplificación eq en función

de )( bê , )( sê para las razones de flexibilidad y resistencia torsional )(0

)(0

)(0 y, bbs ΓΩΩ

definidas en 6.3.4.

En las Figura 6.4 se presentan los valores eq para distintas razones de frecuencias )(

0)(

0 , bb ΓΩ ordenadas en columnas. Para facilitar la interpretación del factor eq , se

representa su proyección en el plano ( es

x qê ˆ,)( ), en consecuencia el espesor de la línea

que representa al factor eq indica la magnitud de la influencia de la superestructura en el

sistema de aislamiento. Las excentricidades negativas corresponden a la condición de

borde derecho flexible (izquierdo rígido) y las positivas a borde derecho rígido

(izquierdo flexible). Los factores eq presentados corresponden a la falta de alineamiento

entre CR, (CF) y CM para los registros a) El Centro y b) Melipilla, ambos gráficos para

182

0

1

2

3

4

5

q e^

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50

1

2

3

4

5

q e^

ê(b)sx

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

ê(b)sx

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

ê(b)sx

a)

b)

0100 .Ω (b)(b)=Γ= 5100 .Ω (b)(b)

=Γ=

no-lineal

lineal

7000 .Ω (b)(b)=Γ=

una razón de flexibilidad torsional de la superestructura 5.1)(0 =Ω s solamente ya que ésta,

como se verá más adelante, no influye considerablemente en la torsión del aislamiento.

De su análisis se puede comentar lo siguiente:

(i) Los factores de amplificación obtenidos tanto en rango lineal como no-lineal

muestran gran coincidencia, sobre todo para valores de excentricidad 5.0)( ≤bê . Para

mayores excentricidades se observan diferencias crecientes, sobre todo para el borde

flexible, resultando para excentricidades extremas valores de amplificación en rango no-

lineal un %20 superiores a los del rango lineal. Sin embargo estas excentricidades tan

elevadas son imposibles de alcanzar en la práctica.

(ii) Los factores de amplificación obtenidos para el registro de Melipilla son

sustancialmente mayores que los obtenidos para el registro de El Centro. Este fenómeno

se debe a las características propias de cada registro.

Figura 6.4 Comparación entre la respuesta no lineal y lineal equivalente.

5.1)(0 =Ω s , para a) registro EL Centro (EEUU, 1940) y b) registro Melipilla (Chile,

1985). 7.0)(0 =Ω b

e , sT be 5.2)(

0 = y 17.0)( =ζ be ; sT s 5.0)(

0 = y 05.0)( =ζ se .

183

Los espectros de respuesta lineal de estas excitaciones pueden observarse en la Figura

6.6, donde se aprecia que el sistema nominalmente simétrico ( π=Ω 8.0)(0

be ) se encuentra

en un valle en el espectro de Melipilla en tanto que el mismo sistema se encuentra en

una cúspide en el registro de El Centro.

Esto conduce a que el valor de referencia q~ sea mucho menor para un registro que para

el otro y, aunque en el borde se alcance un desplazamiento del mismo orden, el factor de

amplificación resulta distorsionadamente alto para el registro de Melipilla.

La Figura 6.5 presenta la comparación de los factores de amplificación medios,

obtenidos como el promedio de los factores de amplificación resultantes del análisis en

el tiempo para los 11 registros presentados en la Tabla 6.1, para el campo lineal y no-

lineal, y para todas las combinaciones posibles de las razones de flexibilidad torsional )(

0sΩ , )(

0bΩ , )(

0bΓ para la estructura y el aislamiento consideradas en esta investigación.

Con el objeto de obtener un espectro de desplazamientos promedio todos los registros

fueron normalizados a una aceleración máxima de 0.4 g. El espectro de respuesta

promedio resultante puede consultarse en la Figura 6.7, se lo compara allí con un

espectro suavizado obtenido probabilísticamente.

Tal como en la Figura 6.4 el espesor de las líneas que representan a eq en las Figuras 6.5

está directamente vinculado a la influencia de la superestructura en la respuesta del


Del análisis de las gráficas correspondientes al modelo no-lineal de la Figura 6.5 se

observa que

(i) Se aprecia un importante paralelismo entre el rango no-lineal y el lineal.

(ii) Las amplificaciones máximas medias de los bordes no superan el doble del

desplazamiento del sistema de referencia, mostrando transiciones suaves. Este fenómeno

también se ha observado en los sistemas lineales y se debe a que el espectro de

desplazamientos promedio es mucho más suave que el de un registro particular (Figuras

6.6 y 6.7) y tiende a una meseta de desplazamiento constante en la zona de bajas

frecuencias. Cuando las frecuencias acopladas del sistema lineal equivalente se

encuentran sobre la meseta de desplazamientos constantes, el espectro de respuesta no

184

0

1

2

3

q e^

Ω0(b) = 0.7

Ω0(s) = 0.7

Ω0(b) = 1.0 Ω

0(b) = 1.5

0

1

2

3

q e^

Ω0(s) = 1.0

−2 −1 0 1 20

1

2

3

q e

ê(b)sx

^

Ω0(s) = 1.5

−2 −1 0 1 2

ê(b)sx

−2 −1 0 1 2

ê(b)sx

no-lineal

lineal

influye en los factores de amplificación. En este caso el valor de los factores eq se debe

solo a las características propias de la estructura (Capítulo III).

(iii) Se destaca que cuando el aislamiento posee una razón de flexibilidad )(0

bΩ ,

7.0)(0 =Γ b el comportamiento acoplado lateral-rotacional del aislamiento esta controlado

por el borde rígido para valores de 5.0≤bê , efecto también presente en sistemas lineales

(Capítulo III).

(iv) La influencia de la superestructura en el comportamiento acoplado lateral-rotacional

del sistema de aislamiento es despreciable.

Figura 6.5 Comparación entre el factor de amplificación torsional medio. Promedio de 11 registros. Se observa una importante coincidencia entre los resultados obtenidos en campo lineal y no-lineal. sT b

e 5.2)(0 = y 17.0)( =ζ b

e ; sT s 5.0)(0 = y 17.0)( =ζ b

e .

185

Estas observaciones permiten, como se verá en la siguiente sección, obtener las reglas de

control óptimo del comportamiento acoplado lateral-rotacional de la superestructura.

Figura 6.6 Espectros de respuesta para: a)- registro El Centro; b)- registro Melipilla.

Figura 6.7 Espectros de desplazamientos promedio de 11 registros y suavizado propuesto.

0 2 4 6 8 10 120

5

10

15

20

25

30

35

40

disp

lace

men

t (cm

)

ω (s−1)0 2 4 6 8 10 12

ω (s−1)

a) b)

05.0=ζ

20.0=ζ

05.0=ζ

20.0=ζ

des

pla

zam

iento

s (c

m)

ω (s-1) ω (s-1)

0 2 4 6 8 10 12 140

5

10

15

20

ω (s−1)

disp

lace

men

ts (

cm)

a)− Medium 11 recordsb)−Proposed

a)- Promedio de 11 registros b)- Propuesta

des

pla

zam

iento

s (c

m)

ω (s-1)

186

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

ê(s)sx

ê(b)

sx

0.1

0.1

0.2

0.2

0.3

0.3

0.4

0.4

0.6

Ω(b)0

= 0.7

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

ê(s)sx

0.1

0.2

0.2

0.3

0.3

0.4

0.4

0.40.6

Ω(b)0

= 1.0

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

ê(s)sx

0.1

0.2

0.2

0.3

0.3

0.4

0.4

Ω(b)0

= 1.5

VI.5.2 Superestructura

En esta sección se presentan los resultados obtenidos para los desplazamientos

normalizados en los bordes de la superestructura.

Figura 6.8 Combinación de excentricidades para análisis no-lineal. 7.0)(0 =Ω s .

La zona oscura indica la combinación de excentricidades para análisis no-lineal tal que 15.0≤eû .

En la Figura 6.8 se presentan las curvas de nivel correspondientes a la superficie de

amplificación media eu para el borde derecho de la estructura con aislamiento no-lineal

y para toda combinación posible de )()( , bsx

ssx êê , obtenidas como el promedio de los eu

máximos para los 11 registros considerados en la Tabla VI.1. Las curvas de nivel

correspondientes al borde izquierdo resultan punto simétricas de las correspondientes al

derecho. En esta misma Figura se representan las combinaciones de excentricidades )()( , b

sxs

sx êê para las que el borde derecho y el izquierdo de la superestructura poseen

simultáneamente un factor de reducción medio 15.0ˆ =eu . Allí puede apreciarse que en

tanto para 7.0)(0 =Ω b estas combinaciones definen una región amplia para 5.1)(

0 =Ω b esta

región es inexistente, resultando una situación intermedia para el caso en que 0.1)(0 =Ω b .

En la Figura 6.9 el área oscura representa las combinaciones de excentricidad de control

óptimo para el rango no-lineal, en tanto que la zona clara representa las del sistema

lineal equivalente para la misma condición.

187

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

ê(b)

sx

ê(s)sx

Ω(b)0

= 0.7

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

ê(s)sx

Ω(b)0

= 1.0

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

ê(s)sx

Ω(b)0

= 1.5

Figura 6.9 Combinación de excentricidades para análisis no-lineal y lineal equivalente. 7.0)(

0 =Ω s. La línea sólida representa la zona de control óptimo para el análisis lineal del

Capítulo IV.

La línea sólida que pasa por 0)()( == bsx

ssx êê representa la combinación de excentricidades

óptimas de la superestructura y del aislamiento lineal equivalente que minimizan la

respuesta torsional de la superestructura (Capítulo IV). En todos los casos los resultados

para el sistema lineal se han obtenido para el espectro de respuesta probabilístico

envolvente al promedio de los 11 registros considerados en este análisis (Figura 6.7).

Para la confección de estos gráficos, se han considerado los casos en que ( )(0

bΩ ,

5.10.1,7.0) y)(0 =Γ b y el caso en que 7.0)(

0 =Ω s solamente ya que, en la medida en que

la estructura es torsionalmente más rígida es más sencillo lograr su control rotacional,

según se discutió en el Capítulo IV.

Del análisis de las Figura 6.8 y 6.9 se observa que

i) los factores eu para aislamiento no-lineal muestran la misma tendencia que para el

aislamiento lineal equivalente en la medida que aumentan las excentricidades )()( , bs êê .

Los valores de reducción de respuesta obtenidos para el sistema no-lineal son levemente

mayores que los obtenidos para el sistema lineal.

ii) existe una notable concordancia en las combinaciones de excentricidad que

minimizan la respuesta torsional de la estructura en ambos campos. La curva de

excentricidades óptimas del campo lineal es representativa del no-lineal.

188

iii)- La minimización es más eficiente cuando el sistema de aislamiento es

torsionalmente flexible.

Estas observaciones demuestran que la metodología de diseño obtenida para sistemas

lineales puede extenderse al rango no-lineal.

En la siguiente sección se presentan dos ejemplos en los que se diseña el sistema de

aislamiento no-lineal para optimizar la respuesta acoplada de la estructura empleando los

parámetros del sistema lineal equivalente.

VI.6. Ejemplos de aplicación En esta sección se aplica la metodología de diseño desarrollada para sistemas lineales a

dos estructuras aisladas cuyo sistema de aislamiento se encuentra en rango no-lineal.

Para ello se asume que la masa de la estructura se encuentra rígidamente vinculada al

sistema de aislamiento (Capítulo III). Así, considerando una falta de alineamiento entre

el CM y (CR, CF) nominal del aislamiento, se obtienen mediante la siguiente ecuación

las frecuencias acopladas normalizadas a la frecuencia nominal y las formas modales del

sistema lineal equivalente, dónde los subíndices r y t denotan a las frecuencias

predominantemente rotacional y traslacional respectivamente (Capítulo III)

( )[ ] )(4121ˆ 2)(

02)(

02)(

, assigns bbbtr Γ−Γ−=ω m (6.14)

)(1ˆ

1ˆ1)(2)(

2)()()( b

êê

d bbr

br

bb

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−ω−ω

=Φ

donde: ( ) 22)(2)( 1ˆ −ω+= br

bêd y 2)(0

2)(1 bbês Γ++= .

La excentricidad óptima de la estructura )( somê que minimiza su propia respuesta torsional

viene dada, según se discutió en el Capítulo IV, por:

)(

)()(

bt

brs

om SS

êν

= (6.15)

189

donde )( brS y )( b

tS son estimaciones de la aceleración total máxima rotacional y

traslacional respectivamente, y ν es el coeficiente de correlación de aceleraciones

totales en el aislamiento.

Por otra parte la condición de balance torsional de la estructura está dada por la raíz real

de la siguiente expresión que surge de anular la correlación entre giros y

desplazamientos en el centro geométrico de la estructura, coincidente en este caso con su

CM (Capítulo IV):

( ) 02 2)(2)(0

22)(2)(23)( =νΩ−Ω++ν− rts

os

trs

rts

ts SSSSêSSêSê (6.16)

donde las aceleraciones totales )( brS y )( b

tS y el coeficiente de correlación ν se calculan

de acuerdo a las Ecuaciones (4.2.1a, b y c) del Capítulo IV. Dado que el sistema posee

amortiguamiento proporcional a la rigidez, (esto es eb

rb

r ζω=ζ )()( ˆ , eb

tb

t ζω=ζ )()( ˆ ) las

aceleraciones modales totales se obtienen, como (Anexo E):

tb

ttrb

rr SSSS 2)(2)( 41,41 ζ+=ζ+= (6.17)

donde tr SS , son seudoaceleraciones espectrales.

Según la expresión general obtenida en el Anexo H el coeficiente de correlación modal

de aceleraciones totales para amortiguamiento proporcional a la rigidez está dado por la

expresión:

( )[ ]

( )( ) ( ) ( )[ ]20

20

2)(220

2)(20

2)(

20

20

2)(20

2)(

1814141

188~

Γ+Γζ+Γ−ζΓ+ζ+

Γ++ΓζΓζ=ν

br

br

br

br

br (6.18)

Estas expresiones pueden emplearse en forma iterativa o simplemente construyendo

ábacos de diseño para el rango de excentricidades y razones de flexibilidad o resistencia

torsional ( ))(0

)(0 , sb ΩΓ que se necesite.

190

Las amplificaciones en el sistema de aislamiento debidas a su propia excentricidad

natural serán evaluadas de acuerdo a la Ecuación (3.22), Capítulo III. A continuación se

presentan dos ejemplos, en el primero de ellos se optimiza una estructura de un piso ante

la acción de un registro específico, mientras que en el segundo se optimiza una

estructura de múltiples pisos para el espectro de la norma chilena NCH 2745 (2003).

VI.6.1 Estructura de un piso La estructura considerada corresponde a la Figura 6.1, donde se ha considerado un ancho

ma 00.102 = y una profundidad mc 00.52 = . El radio de giro resultante es m23.3=ρ . La

frecuencia propia adoptada para la superestructura es π=ω 4)(0

s con un amortiguamiento

modal constante 05.0)( =ζ s . La superestructura posee una excentricidad natural

25.0)( =ssxê y una razón de flexibilidad torsional 85.0)(

0 =Ω s .

Para el sistema de aislamiento se dispusieron 8 aisladores ubicados en planta para

obtener 8.0)(0

)()0( =Ω=Γ bb , con una frecuencia nominal para el sistema lineal equivalente

simétrico π=ω 8.0)( be . El amortiguamiento nominal considerado es 20.0)( =ζ b

e . La

estructura se somete al registro de Newhall (Northridge, California 1994). Los

parámetros empleados para la constitutiva son los mismos enunciados en la Tabla VI.2

para este registro. Tanto para el aislamiento como para la estructura se ha considerado

un peso sísmico 2/0.1 mtonfw= .

Consideremos en primera instancia el aislamiento simétrico. A partir de la integración

del sistema de ecuaciones (6.1) se obtienen los siguientes resultados para el aislamiento

y la estructura: ( ) cm.,.q e 420320= ; ( ) .cm.,.u e 8180=

A efectos de comparación empleamos el índice de balance ( bI ) definido en el Capítulo

IV. Para el presente caso obtenemos 75.0=bI .Se aprecia que el sistema de aislamiento

no muestra prácticamente acoplamiento lateral-rotacional. Por el contrario, la

superestructura muestra un acoplamiento importante.

191

En la Figura 6.9, se muestran los ábacos de diseño para este sistema aislado, que son una

variante de los presentados en el Capítulo IV, obtenidos a partir de las Ecuaciones (6.15)

y (6.16). La Figura 6.9a corresponde a la condición de giro mínimo, en tanto que la

Figura 6.9b corresponde a respuesta balanceada de los bordes.

Del análisis de los gráficos se puede apreciar que las excentricidades óptimas de

minimización ( )( bomê ) y balance )( b

obê no son coincidentes, obteniéndose 18.0)( =bomê y

24.0)( =bobê .

Dando al sistema de aislamiento no-lineal la excentricidad )( bomê se obtiene:

( ) .1.25,4.23 cmq e = y ( ) .6.1,2.1 cmu e =

con 29.0=bI

Se observa que para un %25 de aumento del desplazamiento máximo del sistema de

aislamiento se obtiene una respuesta 2.6 veces más balanceada.

Si por el contrario empleamos en el sistema de aislamiento no-lineal la excentricidad )( b

obê se obtiene:

( ) .9.26,5.24 cmq e = y ( ) .5.1,3.1 cmu e =

con 14.0=bI .

Se observa ahora que, para un %35 de aumento del desplazamiento máximo del sistema

de aislamiento se obtiene una respuesta 5.4 veces más balanceada.

Una solución de compromiso consiste adoptar una excentricidad intermedia para el

sistema de aislamiento no-lineal, así para 21.0)( =bê se obtiene:

( ) .0.26,0.24 cmq e =) y ( ) .6.1,3.1 cmu e =

con un 21.0=bI .

En este caso se tiene que, para un %30 de aumento del desplazamiento máximo del

sistema de aislamiento se obtiene una respuesta 3.6 veces más balanceada, lo que

podemos considerar un buen diseño.

192

Figura 6.10 ábacos de diseño. Espectro registro de Newhall, Northridge, 1994. a) giro mínimo; b) balance de la respuesta torsional de los bordes

Figura 6.11 Espectros de desplazamientos de Newhall normalizado ( ga máx 4.0= ) y del

proceso envolvente considerado.

En la Figura 6.11 se muestra el espectro del registro de Newhall y un espectro

envolvente que consideramos representativo de este proceso.

De la Figura 6.11 se obtiene que el desplazamiento máximo del aislamiento

nominalmente simétrico del proceso envolvente es de .6.25 cm y por aplicación de la

Ecuación (3.22), Capítulo III, se habrían obtenido los siguientes factores de

amplificación reales para los tres casos analizados para:

0 0.5 1 1.50.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

ê(b)sx

Ω0(b

)

0 0.1

0.20.3 0.

4 0.5 0.6

0.7 0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0 0.5 1 1.50.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

ê(b)sx

Ω0(b

)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.250.3

0.350.40.45

a) b)

0 1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

25

30

period (s)

disp

lace

men

ts (

cm.)

Newhall

Envolvente

des

pla

zam

iento

s (c

m)

periodo (seg)

193

( )19.1,96.0ˆ18.0)( =→= eb qê

( )23.1,02.1ˆ24.0)( =→= eb qê

( )21.1,99.0ˆ21.0)( =→= eb qê

Figura 6.12 Respuesta de la base y la superestructura al registro de Newhall. a) aislamiento simétrico; b) superestructura sobre aislamiento simétrico; c) aislamiento

con 21.0)( =bê ; d) superestructura sobre aislamiento con 21.0)( =bê .

−40

−20

0

20

40

disp

lace

men

t (cm

)

left edgeright edgeleft boundright bound

0 5 10 15 20−2

−1

0

1

2

time (s)

disp

lace

men

t (cm

)

left edgerigth edge

−40

−20

0

20

40

disp

lace

men

t (cm

)

0 5 10 15 20−2

−1

0

1

2

time (s)

disp

lace

men

t (cm

)

left edgerigth edge

a)

b)

c)

d)

des

pla

zam

iento

s (c

m)

tiempo (seg)

des

pla

zam

iento

s (c

m)

des

pla

zam

iento

s (c

m)

des

pla

zam

iento

s (c

m)

tiempo (seg)



Borde izquierdo Borde derecho Límite izquierdo Límite derecho

194

Cuyos valores máximos de amplificación (19%, 23% y 21%) resultan sustancialmente

menores a los obtenidos por integración directa (25%, 35% y 30%), diferencia que se

debe a la forma del espectro en la zona de las frecuencias acopladas del sistema.

En la Figura 6.12a se presenta la respuesta en el tiempo para los bordes del sistema de

aislamiento no-lineal nominalmente simétrico y la respuesta relativa correspondiente de

los bordes de la superestructura.En la Figura 6.12b se presenta la respuesta en el tiempo

para los bordes del sistema de aislamiento no-lineal con excentricidad 21.0)( =bê y la

respuesta relativa de los bordes de la estructura para esta nueva condición.

En la misma figura se representan los límites máximos obtenidos con la Ecuación (3.22)

asumiendo el espectro envolvente de la Figura 6.11. De la comparación de las Figuras

6.12a y 6.12b se aprecia que puede lograrse un importante balance y reducción de los

giros máximos en la superestructura, optimizando su comportamiento acoplado sin

perjudicar el buen desempeño del aislamiento.

VI.6.2 Estructura de múltiples pisos En esta sección se optimiza el comportamiento acoplado lateral-rotacional de una

estructura de hormigón armado de seis pisos. Esta estructura se encuentra montada sobre

un sistema de aislamiento elastomérico no lineal y se diseñará para la acción sísmica

representada en el espectro de diseño de la norma chilena NCH 2745 (2003).

En la Figura 6.13 se presenta un esquema de la estructura de marcos considerada. Las

dimensiones en planta son ma 152 = y mc 102 = , obteniéndose una relación de lados de

32=lr y un radio de giro .21.5 m=ρ La distribución de columnas es simétrica,

lográndose la excentricidad estructural mediante la disposición de arriostres diagonales

de acero que trabajan en tracción y compresión en distintos planos. La frecuencia

nominal es π=ω 4)( s y el amortiguamiento modal constante 05.0)( =ζ s , posee una

excentricidad natural 25.0)( −=sê y su razón de flexibilidad torsional es 8.0)(0 =Ω s . Las

dimensiones geométricas de la estructura y de sus elementos estructurales se encuentran

indicadas en la Figura 6.13.

195

Figura 6.13 Ejemplo. Estructura de 6 pisos de marcos de hormigón armado. La elevación representa esquemáticamente el sistema de riostras de los ejes 2, 3 y b, en

tanto que los ejes 1,4, a y c no poseen riostras. Los modos de la estructura son los presentados en la Tabla 3.4, Capítulo III. El

aislamiento está constituido por 8 aisladores de goma de alto amortiguamiento. Los

parámetros de la constitutiva, sus coordenadas y resistencias transversales se indican en

la Tabla VI.3.

Tabla VI.3 Ubicación y resistencias aisladores sistema de múltiples pisos

Aislador x y Fy

1 -2.48 6.20 2.91 2 -2.48 2.27 13.09 3 -2.48 -2.27 13.09 4 -2.48 -6.20 2.91 5 2.48 6.20 2.91 6 2.48 2.27 13.09 7 2.48 -2.27 13.09 8 2.48 6.20 2.91

Total = 64.00 A = 1; β= 15; τ = -15.15; δr = 1.15; c0 = 0.3; c2 = 0.55;

a0 = 0.43; p = 0.12;

3@50

00

2@5000

braced

unbraced

50x50 50x50

50x5050x50

70x30

70x30

70x30

70x30

30x70

30x70 30x70

30x70

30x70 30x70

30x50

30x50

30x50

30x50

30x50

30x5030x50

30x50

30x50

30x50

30x50

30x50

2@50003@

5000

ba

4

3

2

1

c c

1

2

3

4

a b

braces

6@30

00

compuestoH5

SuperstructureIsolation PlanPlanta de aislamiento Superestructura

no arriostrado

arriostrado

riostras

196

La fuerza de fluencia total considerada en el modelo es tonfF y 64= , con un

desplazamiento de fluencia .6.13 mmq y = El sistema lineal equivalente posee una

frecuencia nominal π=ω 8.0)( be y un amortiguamiento equivalente para esta frecuencia

20.0)( =ζ be . El peso sísmico para cada nivel es 2/1 mtonfw= . La disposición y resistencia

de los aisladores se calibró para obtener razones de flexibilidad y resistencia torsional

85.0)(0

)(0 =Γ=Ω bb .

Figura 6.14 Espectros de diseño norma NCH 2745 y del registro compatible empleado.

La excitación de diseño considerado es el espectro de la norma chilena NCH 2745

(2003) y para su verificación se considera un registro de aceleraciones compatible con el

espectro de esta norma para suelo firme (Figura 6.14).

A efectos de comparación, consideramos que el sistema de aislamiento es nominalmente

simétrico, es decir 0)( =bê . Las deformaciones de entrepiso máximas obtenidos en los

bordes de los distintos pisos de la superestructura y del aislamiento se presentan en la

Tabla VI.4. En la Figura 6.15 a) se presenta la historia de desplazamientos del

aislamiento y en la 6.15 b) las deformaciones de entrepiso de los pisos pares de la

superestructura.

Se aprecia que, mientras el aislamiento no muestra acoplamiento lateral-rotacional, la

superestructura evidencia un importante acoplamiento resultando las deformaciones

relativas del borde derecho tres veces superiores a los del izquierdo ( 780.I bprom = ).

0 1 2 3 4 5 60

10

20

30

40

period (s)

disp

lace

mm

ents

(cm

)

Espectro NCh

Espectrocompatible

des

pla

zam

iento

s (c

m)

periodo (seg)

197

Figura 6.15 Aislamiento simétrico, deformación de entrepiso. Se aprecia un importante acoplamiento torsional en la estructura.

En la Figura 6.16 se presentan los ábacos de diseño para minimización y balance

torsional de la estructura obtenidos para el espectro de diseño considerado y aplicando

las Ecuaciones (6.16) y (6.17). Para el trazado de estos ábacos es necesario previamente

determinar la superestructura equivalente de un piso, de acuerdo a la metodología

establecida en el Anexo C.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−30

−20

−10

0

10

20

30

time (s)

disp

lace

men

t (cm

)

3)

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

disp

lace

men

t (cm

)

sixth floor

left edgerigth edge

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

disp

lace

men

t (cm

)

fourth floor

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

disp

lace

men

t (cm

)

second floor

time (sec)

a)

b)

des

pla

zam

iento

s (c

m)

tiempo (seg)

des

pla

zam

iento

s (c

m)

des

pla

zam

iento

s (c

m)

des

pla

zam

iento

s (c

m)

tiempo (seg)


Piso seis

Piso cuatro

Piso dos

198

0 0.5 1 1.50.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

ê(b)sx

Ω0(b

)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.7

0.8

0.91

1.1

1.2

1.3

1.4

0 0.5 1 1.50.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

ê(b)sx

Ω0(b

)

0.1

0.2

0.2

0.30.4

0.50.6

a) b)

)b(omê )b(

obê

Allí puede apreciarse que para minimizar la respuesta se necesita una excentricidad en el

sistema de aislamiento 19.0)( =bomê , y para obtener una respuesta balanceada se necesita

una excentricidad 22.0)( =bobê . Ambas excentricidades resultan muy similares por lo que

se adopta como solución de compromiso una excentricidad para el sistema de

aislamiento 20.0)( =bê , con la que se espera obtener un adecuado control torsional.

Figura 6.16 Ábacos de diseño. Espectro norma NCH 2745.

a) giro mínimo de la superestructura; b) balance torsional de la superestructura.

En la Tabla VI.4 se muestran los valores de deformación de entrepiso obtenidos en los

bordes de la superestructura y del aislamiento. En la Figura 6.16 a) se presenta la historia

de desplazamientos del aislamiento y en la 6.16 b) las deformaciones de entrepiso de los

bordes en los niveles pares de la superestructura. Tanto en la Tabla VI.4 como en la

Figura 6.16 se observa una reducción importante de giros y un mejoramiento sustancial

en el balance de las deformaciones de entrepiso, reduciendo la respuesta máxima de la

superestructura. El bI medio de la superestructura con aislamiento optimizado mejora

casi 10 veces respecto de la superestructura con aislamiento simétrico.

Por otra parte la aplicación de la Ecuación (3.22) permite prever amplificaciones

máximas del %14 para el borde superior del aislamiento respecto del sistema

199

nominalmente simétrico. El análisis dinámico confirma esta estimación tal como se

deduce de la Tabla VI.4 y de la Figura 6.16 ( cm.cm..cm. 532276191417121 =×< ).

Se obtiene, por lo tanto, un excelente control del comportamiento acoplado de la

superestructura estructura sin afectar el buen desempeño del sistema de aislamiento.

Figura 6.17 Aislamiento asimétrico 20.0)( =b

sxê . Deformación de entrepiso en la estructura.

Se aprecia una importante reducción del acoplamiento torsional en la superestructura.

−30

−20

−10

0

10

20

30

disp

lace

men

t (cm

)

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

disp

lace

men

t (cm

)

sixth floor

left edgeright edge

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

disp

lace

men

t (cm

)

fourth floor

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

disp

lace

men

t (cm

)

second floor

time (s)

a)

b)

tiempo (seg)

des

pla

zam

iento

s (c

m)


Piso seis

Piso cuatro

Piso dos

des

pla

zam

iento

s (c

m)

des

pla

zam

iento

s (c

m)

des

pla

zam

iento

s (c

m)

des

pla

zam

iento

s (c

m)

200

Tabla VI.4 Comparación de deformación de entrepiso con aislamiento simétrico y asimétrico

Excentricidades

êb = 0.00 êb = 0.20 Estructura Nivel Borde izquierdo Borde derecho Ib Borde izquierdo Borde derecho Ib

Aislamiento 0 19.45 19.76 0.08 21.71 16.59 0.27 1 0.16 0.40 0.83 0.27 0.28 0.02 2 0.16 0.56 1.09 0.34 0.39 0.14 3 0.15 0.51 1.09 0.31 0.35 0.12 4 0.14 0.41 0.98 0.27 0.29 0.08 5 0.13 0.30 0.80 0.22 0.22 0.01

Supe

rest

ruct

ura


Debido a la gran influencia de la excitación en la respuesta general de las estructuras y

en la respuesta torsional de las estructuras aisladas en particular (Tena y Escamilla,

2006), resulta de gran interés práctico evaluar la bondad del diseño obtenido sometiendo

a la estructura con aislamiento optimizado y nominalmente simétrico, respectivamente, a

distintas excitaciones o, en términos probabilísticos, a distintas realizaciones de un

mismo proceso.

Tabla VI.5 Comparación del comportamiento torsional de la superestructura para

aislamiento optimizado y nominalmente simétrico.

Registro Ib medio

(êb=0.20) Ib medio

(êb=0.00) Variación

El Centro 0.251 0.959 3.8 Kobe 0.253 0.909 3.6 Corralitos 0.212 0.957 4.5 Arleta 0.231 0.797 3.5 Sylmar 0.286 0.935 3.3 Newhall 0.207 0.862 4.2 Llolleo 0.106 0.742 7.0 Llay Llay 0.242 0.845 3.5 Melipilla 0.159 0.670 4.2 San Fernado 0.233 0.871 3.7 Viña del Mar 0.100 0.839 8.4

4.5

Para ello se presentan las Tablas VI.5 y VI.6 en la que se muestran los resultados

obtenidos en términos de bI para la superestructura y de aumento del desplazamiento

máximo en los bordes del aislamiento que resultan de someter la estructura con

201

aislamiento optimizado y nominalmente simétrico a los 11 registros históricos

mostrados en la Tabla VI.1 y que han servido de base para la investigación en este

capítulo.

Tabla VI.6 Efecto del control de la superestructura en el comportamiento torsional del aislamiento

Registro Máx. def. borde

(êb=0.20) Máx. def. borde

(êb=0.00) Variación

El Centro 17.520 17.638 1.0 Kobe 19.964 16.693 1.2 Corralitos 7.598 6.774 1.1 Arleta 15.653 14.748 1.1 Sylmar 26.559 24.818 1.1 Newhall 27.855 22.483 1.2 Llolleo 10.376 9.059 1.1 Llay Llay 17.743 15.376 1.2 Melipilla 7.175 7.339 1.0 San Fernado 12.320 13.094 0.9 Viña del Mar 15.100 14.267 1.1

1.1

En la Tabla VI.5 se presenta el bI medio para los 6 pisos de la superestructura para la

condición de aislamiento con excentricidad óptima y aislamiento simétrico. Según se

aprecia la mejora en el comportamiento torsional de la superestructura varía entre 3.3 y

8.4 veces, con una media de 4.5. Por el contrario, en la Tabla VI.6 se presenta la

influencia en los bordes del sistema de aislamiento que resulta de controlar el

comportamiento torsional de la superestructura. Esta influencia se evalúa como la

variación del desplazamiento máximo en los bordes del aislamiento respecto del sistema

nominalmente simétrico. Según se aprecia el desplazamiento máximo varía entre 0.9 y

1.2 veces con una media de 1.1 veces. Tal como puede apreciarse, la amplificación

máxima de desplazamiento en los bordes del aislamiento resulta marginal frente a la

mejora en el comportamiento torsional de la superestructura.

202

VI.7 Conclusiones

Como resultado de esta parte de la investigación se ha arribado a las siguientes

conclusiones:

1- El comportamiento acoplado lateral-rotacional de sistemas de aislamiento en

campo no lineal muestra gran similitud con el campo lineal. Esto se debe a que,

para grandes deformaciones, las frecuencias lineales equivalentes del sistema no

lineal se mantienen sensiblemente constantes (Capítulo III). Esta circunstancia

permite que el comportamiento acoplado del sistema de aislamiento en campo no

lineal sea previsible y controlable.

2- A partir de esta conclusión se puede extender la metodología de diseño del

campo lineal al no lineal permitiendo controlar el comportamiento acoplado de

la superestructura.

3- Dotando al sistema de aislamiento de razones de flexibilidad torsional menores a

la unidad y de cierta excentricidad, se ha conseguido controlar el

comportamiento acoplado lateral-torsional de la superestructura en los dos

ejemplos considerados, reduciendo su respuesta torsional relativa al aislamiento

y balanceando la respuesta relativa máxima de los bordes de la superestructura

respecto del aislamiento.

4- La flexibilidad torsional del sistema de aislamiento depende de la razón de

flexibilidad resistente torsional )(0

bΓ asociada al radio de giro nominal del

conjunto de fuerzas obtenido para una traslación pura del aislamiento

nominalmente simétrico igual al desplazamiento de diseño.

5- En este campo son también los sistemas de aislamiento torsionalmente flexibles

los que permiten el mejor control del comportamiento acoplado lateral-torsional

203

de la superestructura. Al igual que en los sistemas lineales, para minimizar y

balancear la respuesta relativa entre la estructura y el aislamiento la excentricidad

del sistema de aislamiento debe ser del mismo orden y en la misma dirección que

la excentricidad de la superestructura.

6- Finalmente, aunque se introduzca importante excentricidad a sistemas de

aislamiento torsionalmente flexibles no se afecta sensiblemente el buen

desempeño estructural de los aisladores.

VII. RESUMEN FINAL Y CONCLUSIONES

204

VII RESUMEN FINAL Y CONCLUSIONES

VII.1 Resumen final En la presente investigación se han abordado diversos aspectos de las estructuras

sísmicamente aisladas, tanto en campo lineal como no-lineal. Como resulta

convencional, se ha estudiado este comportamiento en términos de la amplificación de

desplazamientos de los bordes rígido y flexible de la planta de la superestructura

respecto del aislamiento y del aislamiento respecto del suelo. Así, en el Capítulo II se ha

investigado la torsión accidental en sistemas lineales provocada por la variabilidad en la

rigidez de los dispositivos de apoyo inherente a su proceso de fabricación. Para ello, se

ha recurrido a la importante cantidad de ensayos realizados en el Laboratorio de Control

de Vibraciones del Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica de la Pontificia

Universidad Católica de Chile. A partir de éstos, se han encontrado los valores del

coeficiente de variación del módulo G para los compuestos 5H y 8H , respectivamente.

Además, se han desarrollado expresiones analíticas cerradas para distintos tipos o zonas

del espectro de desplazamientos especificados en los códigos de diseño. Estas

expresiones permiten, para ciertas condiciones geométricas del aislamiento, determinar

la desviación estándar de la respuesta en las esquinas del sistema de aislamiento en

forma exacta como lo demuestra la excelente concordancia obtenida entre sus resultados

y las simulaciones de Monte Carlo llevadas a cabo.

En el Capítulo III, se emplea el concepto de interacción dinámica entre la base y la

superestructura para estudiar el comportamiento sísmico de construcciones con asimetría

en planta. En éste, se ha demostrado que las amplificaciones en la superestructura se

pueden calcular en forma conservadoramente aproximada por un modelo que incluye

corrección de masa (MMC) que tiene en cuenta la interacción dinámica entre el

aislamiento y la superestructura. Conceptualmente, el MMC desprecia el término de

acoplamiento aislamiento-superestructura en la ecuación de movimiento asociada a la

base, pero incluye este término en la estimación del movimiento de la superestructura.

205

Debido a que el MMC es capaz de reproducir muy exactamente las frecuencias de

vibración de la superestructura, y subestima levemente el amortiguamiento en los modos

que determinan las deformaciones de la misma, conduce a una estimación conservadora

de la respuesta de la construcción. Se ha derivado además, un modelo cuasi-estático

(MCE) muy simple para aproximar la respuesta de la superestructura. La justificación

física de este modelo se basa en la usualmente pequeña razón entre los periodos de la

superestructura con base fija y el sistema de aislamiento. Esto, permite al ingeniero de

diseño estimar los desplazamientos de la superestructura mediante la consideración de

tres vectores de fuerzas de inercia, cada uno correspondiente a cada modo del sistema de

aislamiento. La utilidad de esta formulación reside, no solo en la simplicidad numérica,

sino en la comprensión conceptual del comportamiento tridimensional de estructuras

aisladas asimétricas en planta. Un resultado intuitivo importante se obtiene de la

observación que el acoplamiento aislamiento-superestructura tiene un efecto

despreciable en la respuesta del aislamiento, y por lo tanto, resulta posible ajustar los

parámetros del aislamiento para controlar la respuesta torsional de la superestructura sin

causar una respuesta no balanceada en el sistema de aislamiento.

En el Capítulo IV, mediante la aplicación del método cuasi-estático desarrollado en el

Capítulo III, se han encontrado expresiones que permiten, dada una excentricidad y una

relación de frecuencias en la superestructura, obtener la excentricidad y la relación de

frecuencias óptima que debe poseer el aislamiento a fin de minimizar y balancear el

comportamiento torsional de la superestructura para el caso de ruido blanco. Estas

expresiones se extienden sin dificultad al análisis modal espectral usando espectros de

diseño o de respuesta para sismos reales. Se obtienen así, curvas de diseño en función de )( bω , )( bζ , )(

0bΩ , )(

0sΩ y de las excentricidades )( sê y )( bê .

En el Capítulo V, se ingresa en el comportamiento en campo no lineal del aislamiento y

se propone una ley constitutiva fuerza-deformación de tipo fenomenológico para

aisladores elastoméricos. A partir de numerosos ensayos realizados en el Laboratorio de

Control de Vibraciones del Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica de la

Pontificia Universidad Católica de Chile, se observa que este complejo fenómeno puede

206

modelarse a partir de tres componentes. Una primera componente de disipación, basada

en una modificación del modelo de Bouc-Wen, una segunda componente conservativa,

basada en modelos tipo “massing” que representa en forma muy eficiente el

comportamiento hiperelástico observado en ensayos unidimensionales, la que interactúa

con una tercera componente envolvente que modela el comportamiento de la curva de

carga virgen. Las predicciones de este modelo se contrastaron con resultados de ensayos

de aisladores sometidos tanto a excitaciones armónicas como a movimientos producidos

por sismos reales, obteniéndose excelentes resultados. Por otra parte, la metodología de

análisis presentada en este Capítulo, permite desarrollar una gran cantidad de leyes

constitutivas a partir del conocimiento de la función analítica carga-deformación del

material o dispositivo cuyo comportamiento no lineal se desea modelar. Conocida esta

función, solo es necesario determinar la expresión de la evolución de la rigidez en el

tiempo, obteniendo su derivada respecto a la deformación a fin de rescribirla como una

función dependiente de la velocidad. Esta ecuación de primer orden puede integrase

fácilmente mediante esquemas particionados ó mediante espacio de estado ampliado.

Además, la metodología aditiva seleccionada para la descripción del comportamiento

fuerza-deformación, permite la fácil incorporación de disipadores actuando en paralelo.

Finalmente, en el Capítulo VI se aplica la relación constitutiva desarrollada en el

Capítulo V a efectos de determinar los parámetros del aislamiento no lineal que

controlan la respuesta torsional de la superestructura. Se parte de la observación

realizada en el Capítulo III respecto a que el comportamiento acoplado lateral-torsional

de sistemas de aislamiento en campo no lineal muestra gran similitud con el campo

lineal. Esto se debe a que para grandes deformaciones, las frecuencias lineales

equivalentes del sistema no-lineal se mantienen sensiblemente constantes. Esta

circunstancia permite que el comportamiento acoplado del sistema de aislamiento en

campo no lineal sea previsible y controlable. A partir de esto se comprueba que la

metodología de control de la respuesta torsional de la superestructura se puede extender

sin ninguna dificultad a sistemas con aislamiento no lineal. Así, con los adecuados

parámetros de flexibilidad torsional y excentricidad en el sistema de aislamiento, se

207

consigue mejorar sustancialmente el comportamiento torsional de la superestructura. Es

interesante notar que aunque se introduzca excentricidad en sistemas de aislamiento

torsionalmente flexibles en campo no lineal, no se afecta su buen desempeño estructural.

Finalmente, se aplicó la metodología de control desarrollada a dos ejemplos

obteniéndose mejoras sustanciales en el balance torsional con disminuciones importantes

de giro debido a torsión y consecuentemente, notables reducciones en la respuesta

relativas respecto al aislamiento de los bordes de la superestructura.

VII.2 Conclusiones

Se presentan a continuación las conclusiones finales obtenidas en este trabajo de

investigación.

Como resultado del análisis de la influencia de la variabilidad de la rigidez en los

aisladores (Capítulo II), se obtienen las siguientes conclusiones:

(i) Los coeficientes de variación del módulo de corte G de los elastómeros

obtenidos a partir de numerosos ensayos para los compuestos 85 y HH

resultan iguales a %185 =kV y %98 =kV , respectivamente.

(ii) Se ha obtenido una ecuación basada en análisis modal espectral que predice

muy eficientemente la desviación estándar de la respuesta en el borde del

sistema de aislamiento. Esta expresión está en función de la relación de lados

de la planta del sistema de aislamiento, de la distribución en planta de los

aisladores, de la relación de frecuencias )(0

bΩ , del coeficiente de correlación

entre desplazamientos μ , y del coeficiente de variación de la rigidez de los

aisladores.

(iii) La desviación estándar máxima de la respuesta en el borde del sistema de

aislamiento para espectros de diseño que presentan una meseta de

desplazamiento constante es un 30% menor respecto de aquellos que

provienen de un espectro de seudo velocidad constante.

208

(iv) Las expresiones analíticas obtenidas en esta investigación demuestran que la

ecuación propuesta por Shenton y Holloway (2000) sobreestima la

desviación estándar de la amplificación en los bordes del sistema de

aislamiento. Estas últimas predicen una desviación estándar de la

amplificación tendiente a infinito para una razón de flexibilidad torsional

10 =Ω , en tanto que mediante simulaciones de Monte Carlo y la expresión

analítica propuesta en esta investigación se demuestra que la amplificación

torsional es mínima en torno a esta usual relación de frecuencias. Este

resultado coincide con lo obtenido anteriormente por de la Llera y Chopra

(1994).

(v) La máxima amplificación esperada en los bordes de un sistema de

aislamiento para el 5% de probabilidad de excedencia es muy inferior

respecto del valor predicho por las normas actuales. Este resultado no incluye

la influencia de la excentricidad de masa.

(vi) La desviación estándar de la amplificación en los bordes de un sistema de

aislamiento es entre el 60% y 3% menor que el coeficiente de variación de

los aisladores. Esta disminución, se encuentra directamente vinculada a la

relación de lados, al número de aisladores y al tipo de espectro de

desplazamientos considerado.

(vii) Los sistemas torsionalmente flexibles ( 10 <Ω ) poseen menor desviación

estándar de amplificación de la respuesta en los bordes que los sistemas

torsionalmente rígidos para espectros de seudo velocidad constante.

(viii) En el caso de espectros con meseta de desplazamiento constante los sistemas

torsionalmente flexibles ( 10 <Ω ) presentan la misma sensibilidad a la

variación de rigidez de los aisladores que sus recíprocos ( 1/1 0 >Ω )

torsionalmente rígidos.

Considerando el modelo dinámico desacoplado en cascada aislamiento-superestructura

(Capítulo III), se obtienen las siguientes conclusiones:

209

(ix) Los resultados de la aplicación de la metodología presentada en esta parte de

la investigación muestran que los desplazamientos estimados para la base

mediante la ecuación (3.28) comparados con análisis de historia de respuesta

en el tiempo conducen usualmente a un error máximo del 10%.

(x) Para sistemas con aislamiento torsionalmente flexibles, esto es 1)(0 <Ω b , y

excentricidades en la base 7.0ˆ )( ≤be , la esperanza de la máxima

amplificación de la respuesta se produce en el borde rígido y es usualmente

menor que 1.5.

(xi) Para sistemas de aislamiento torsionalmente rígidos 1)(0 ≥Ω b , la esperanza de

la amplificación máxima se produce en el borde flexible. Para la máxima

excentricidad teórica la amplificación máxima en este borde es del orden de

2, en tanto que en el borde rígido son siempre menores que 1.

(xii) Los desplazamientos estimados con la fórmula estática del UBC

sobreestiman las amplificaciones torsionales dinámicas del aislamiento por

factores de hasta 2, especialmente para razones de flexibilidad torsional

1)(0 <Ω b . Los resultados numéricos demuestran que la fórmula del código

UBC, basada en una aproximación estática, no conduce a aproximaciones

precisas de la respuesta de los bordes del aislamiento.

(xiii) La expresión cerrada desarrollada para análisis modal de la base y que se

propone para reemplazar la fórmula del código UBC, ha demostrado que

conduce a resultados precisos.

(xiv) Las amplificaciones máximas obtenidas para espectros de diseño en los

bordes del sistema de aislamiento y para el rango de excentricidades

considerado que incluye los valores extremos, no superan el 50% del

desplazamiento obtenido en el sistema nominalmente simétrico.

(xv) La aplicación al ejemplo de una construcción de 6 pisos, muestra la

simplicidad de esta expresión para estimar la amplificación en los bordes del

210

aislamiento, aspecto que resulta crucial durante el diseño de sistemas de

aislamiento sísmico.

(xvi) Para un rango de relaciones de períodos entre la superestructura con base fija

y el período aislado ( 4.0<as TT , Capítulo III), la superestructura percibe el

movimiento de la base como una acción estáticamente aplicada.

(xvii) Se propone una metodología de análisis modal espectral basada sólo en los

modos de la base. El error en la estimación de los desplazamientos relativos

máximos entre los bordes de la superestructura y el aislamiento resultan

menores al 10% para la relación de periodos establecida en (xv).

A partir del control acoplado lateral-torsional de la superestructura (Capítulo IV), se

obtienen las siguientes conclusiones:

(xviii) La rigidez de la estructura controla el nivel de desplazamiento en sus bordes

y mejora su balance torsional, en tanto que su comportamiento acoplado

lateral-torsional está gobernado por las propiedades del sistema de

aislamiento.

(xix) La minimización de la respuesta torsional de la superestructura requiere que

la mediana de la distancia entre el CM y la resultante de aceleración

traslacional de la base sea coincidente con la distancia entre el CM y el CR

de la superestructura, donde el CR se define para un sistema equivalente de

un piso (Anexo C). Esto se consigue dando excentricidad )( bê al sistema de

aislamiento en la misma dirección y magnitud que la excentricidad actual )( sê de la superestructura.

(xx) El balance de la respuesta acoplada lateral-torsional de la superestructura

depende de los parámetros del sistema de aislamiento, de la excitación y de la

razón de flexibilidad torsional ( )(0sΩ ) de la superestructura. El efecto total de

esta combinación es capturada por el coeficiente de correlación ν entre

aceleraciones traslacionales y rotacionales totales del aislamiento.

211

(xxi) El análisis del parámetro ν permite determinar que los sistemas de

aislamiento torsionalmente flexibles ( 1)(0 ≤Ω b ) permiten, además de

minimizar, balancear la respuesta torsional de la superestructura en

condiciones óptimas, entendiendo por tal, el control fuerte de la torsión en la

superestructura. Por otra parte, los sistemas de aislamiento torsionalmente

rígidos ( 1)(0 ≥Ω b ) no permiten controlar la respuesta torsional de la

superestructura.

Respecto de la relación constitutiva presentada en esta investigación (Capítulo V), se

obtienen las siguientes conclusiones:

(xxii) Las distintas componentes de la relación constitutiva propuesta capturan en

conjunto el comportamiento disipativo, el aumento de la rigidez para

desplazamientos moderadamente elevados y el efecto de “scragging” propio

de los elastómeros.

(xxiii) Ésta relación requiere de 7 parámetros y su identificación es función de

características físicas que se obtienen a partir de ensayos. Se ha realizado la

determinación de estos parámetros en numerosos aisladores y resultan ser

constantes asociadas al tipo de compuesto.

(xxiv) El modelo de constitutiva propuesto no se limita a modelar el

comportamiento de los elastómeros, ya que algunos dispositivos de

disipación de energía tales como los ADAS también presentan aumento de su

rigidez para desplazamientos moderados y pueden modelarse

adecuadamente.

(xxv) La componente de disipación y la envolvente de la relación constitutiva se

basan en el modelo de Bouc-Wen, por lo que se propone su extensión al

campo bidimensional mediante la metodología propuesta por Park et al. Ésta

deberá ser corroborada mediante ensayos.

212

Finalmente, los análisis llevados a cabo en rango no-lineal (Capítulo VI), permiten

obtener las siguientes conclusiones:

(xxvi) El comportamiento acoplado lateral-torsional de sistemas de aislamiento en

campo no lineal muestra gran similitud con la del campo lineal.

(xxvii) La flexibilidad torsional del sistema de aislamiento en campo no-lineal

depende del parámetro )b(oΓ asociado al radio de giro nominal del conjunto de

fuerzas del aislamiento obtenido para una traslación pura igual al

desplazamiento de diseño del sistema de aislamiento (Ecuaciones 6.10 y

6.11).

(xxviii)En el rango no lineal, al igual que en el lineal, los sistemas de aislamiento

torsionalmente flexibles son los que permiten el mejor balance de la

deformación de torsión de la superestructura respecto del aislamiento.

(xxix) Al igual que en los sistemas lineales, el control acoplado lateral-torsional de

la superestructura se logra dando excentricidad )( bê al sistema de aislamiento

en la misma dirección y magnitud que la excentricidad )( sê que posee la

superestructura.

VIII. ANEXOS

213

VIII ANEXOS

Anexo A Meseta de desplazamiento constante

Se presenta la determinación de las sensibilidades de la amplificación de los bordes a

una variación de la rigidez de los apoyos de un sistema aislado y su evaluación para la

determinación de varianzas para un espectro de desplazamiento constante. En este caso

se debe evaluar la función:

nkik

iinkik

i kf

kf

kf

== ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂μ∂

μ∂∂

+∂

ε∂ε∂

∂=

∂∂ ˆˆˆ

(A.1)

donde: eqqf ˆ;ˆˆ = y cuyas expresiones están dadas por las Ecuaciones (2.9) y (2.10).

A.1 Respuesta en el CM

0)1(

)(2)1(

2ˆ

02

3

22

0 =ε+

εμ+ε+

ε+

ε−=

ε∂∂

== nkiknkik H

Hq (A.2)

0)1(

ˆ

02

2

=ε+

ε=μ∂

∂== nkiknkik H

q (A.3)

0ˆ

=∂∂

= nkikik

q (A.4)

214

A.2 Respuesta en el borde

)1(~)1(2

1)1(

2ˆ1

1222

1nnkiknkik

e aH

H

Hqμ−±=

ε∂∂

ε++

ε+

ε−=

ε∂∂

== (A.5)

0)1(

)~1()~(ˆ

12

2

=ε+

ε±εε=

μ∂∂

== nkiknkike

Haaq m (A.6)

n

inkik

i

r

rinkik

i kNx

kke

ek ρ−Ω=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ω∂

ω∂ε∂+

∂∂

∂ε∂=

∂ε∂

== )1(ˆ

ˆˆ

ˆ 20

(A.7)

n

innkik

i

e

kNxa

kq

ρ−Ω

μ−±=

∂∂

= )1()1(~ˆ

20

(A.8)

donde:

01ˆ =

−ω=ε == nkik

rnkik

ê (A.9)

112 240 =+εμ+ε= == nkiknkikH (A.10)

1)~1()~1()~(2)~( 22221 =ε±+ε±εεμ+εε= == nkiknkik aaaaH mm (A.11)

1

11ˆ

120

2 −Ω=

−ω=

∂ε∂

== nkikr

nkikê (A.12)

215

( )

( ) n

inkik

i

iiii

nkiki

kiixik

nkiki kN

x

k

xkkxkk

êρ

=ρ

−=

∂∂

ρ=

∂∂

===

∑∑ ∑∑

21 (A.13)

( ) 01ˆ

ˆ22 =

−ωω

−=∂

ε∂== nkik

r

rnkik

i

êk

(A.14)

216

Anexo B Desplazamientos para seudovelocidad constante

Se presenta la determinación de las sensibilidades de la amplificación de los bordes a

una variación de la rigidez de los apoyos de un sistema aislado y su evaluación para la

determinación de varianzas para un espectro de seudovelocidad constante. En este caso

se debe evaluar la función:

nkik

i

t

ti

r

riiinkik

i kf

kf

kk

kf

kf

kf

kf

== ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂ω∂

ω∂∂

+∂ω∂

ω∂∂

+∂∂

∂

∂+

∂μ∂

μ∂∂

+∂

ε∂ε∂

∂=

∂∂ ˆ

ˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ (B.1)

Donde: eqqf ˆ,ˆˆ = y cuyas expresiones también están dadas por las Ecuaciones (2.9) y

(2.10).

B.1 Respuesta en el CM

( ) ( )

012

11

2ˆ 0

0222

0 =ε∂

∂

ε++

ε+

α−=

ε∂∂

== nkiknkik

L

Lkk

Lq (B.2)

0ˆˆ)1(

ˆ

02

2

=ωωε+

ε=μ∂

∂== nkik

tr

nkikLk

q (B.3)

( ) 21

)1(2

ˆ22/3

0 −=ε+

−=∂

∂== nkiknkik

k

L

kq (B.4)

0ˆˆˆ)1(

1ˆˆ

2

2

3

4

02

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ωωεμ

−ωε−

ε+=

ω∂∂

== nkiktrr

nkikr Lk

q (B.5)

217

1ˆ)1(2

1ˆˆ

02

=ωε+

=ω∂∂

== nkik

t

nkikt Lk

q (B.6)

( )

nnkik

i

nkNik

nkiki kNkk

k 1=∂

∂=

∂∂

==

∑ (B.7)

0ˆˆˆ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂ω∂

+∂

Ω∂Ω∂ω∂

=∂ω∂

== nkiki

t

i

tnkik

i

t

kê

êkk (B.8)

n

nkiki kNk

q2

1ˆ−=

∂∂

= (B.9)

donde:

nkik

ttrrnkikL == ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ω+

ωωεμ

+ωε=

2

2

2

4

0 ˆ1

ˆˆ2

ˆ (B.10)

0ˆˆ4

ˆ4

2

30 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωωεμ

+ωε

=ε∂

∂== nkik

trrnkik

L (B.11)

( ) [ ] 0

)21()1()1(2)1(22

1)1(2)1()1,1(1ˆ222

22

=Ω−−Ω−Ω+Ω+

−−ΩΩ+Ω−−Ω−Ω=

Ω∂ω∂

== nkiknkikt

signsign

signsignsign (B.12)

En la que 0)1,1( 0 =−Ωsign para todo número real.

04

)1(21ˆˆ

21ˆ

22

2

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Ω−

−Ω+=

∂∂

∂ω∂

=∂ω∂

=∂ω∂

==== nkiknkikt

nkikt

nkikt ê

s

ssignês

sêê (B.13)

218

B.2 Respuesta en los bordes

0

01

1222

1 )(~

)1(21

)1(

2ˆΩ

μ−Ω±=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ε∂∂

ε++

ε+

ε−=

ε∂∂

==n

nkiknkike aL

Lkk

Lq (B.14)

( )( )( )

0ˆˆ12

~1~2ˆ

12

2

=ωωε+

εε±ε=

μ∂∂

== nkik

tr

nkike

Lk

aaq m (B.15)

( ) 2

112

ˆ22/3

1 −=ε+

−=∂

∂== nkiknkik

e

k

L

k

q (B.16)

( )

0ˆ12

1ˆˆ

1

12

=ω∂

∂

ε+=

ω∂∂

== nkikr

nkikr

c L

Lk

q (B.17)

de acuerdo a la Ecuación (B.1) no es necesario evaluar nkikt

eq=ω∂

∂

ˆ

ˆ por otra parte nkikik =∂

ε∂ y

nkikikk

=∂∂ se determinaron en las ecuaciones (A.1) y (B.1), por lo que finalmente:

( )( ) n

in

nnkik

i

e

kNxa

kNkq

ρ−ΩΩ

μ−Ω±−=

∂∂

= 1

~

21ˆ

200

0' (B.18)

Donde:

( ) ( )( ) ( )nkik

ttrrnkk

aaaaL ==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ωε±

+ωω

ε±εεμ+

ωεε

= 2

22

2

22

11 ˆ

~1ˆˆ

~1~2ˆ

~ mm (B.19)

219

( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( )( ) ( )0

02

2

2

21

~

ˆ

~~12ˆˆ

~~~1~22ˆ

~2~2

Ωμ−Ω

±=⎭⎬⎫

ω±ε±

⎩⎨⎧

+ωω

±εε+ε±εμ+

ωεεε

=ε∂

∂

=

=

nnkik

t

trrnkik

aaa

aaaaaaL mmmm

1== nkikk (B.20)

(B.21)

( ) ( )( )nkik

rtrnkik

r

aaaL==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ωωε±εεμ

−ω

εε−=

ω∂

2

2

3

221

ˆˆ

~1~2ˆ

~2ˆ

mm (B.22)

220

Anexo C Reducción de sistemas de múltiples pisos a sistemas de un piso

Obtenidos los valores y vectores propios del sistema múltiples pisos definimos una

estructura monosimétrica de un piso equivalente a partir de sus modos fundamentales:

[ ]nIInI φφΦ= (C.1)

donde [ ]Tinrnt φφ=niφ , en la que n indica el último nivel de la estructura, t traslacional

y r rotacional. El sistema equivalente de un piso tendrá una matriz de rigidez:

1n

2nnee Δmk −= ΦΦ (C.2)

donde ek es la matriz de rigidez equivalente y su masa equivalente esta dada por (s)(s)T(s) rmrm e = .

A partir de ek y em estimamos los parámetros de la estructura equivalente )( sê y )(

0sΩ por simple identificación de sus términos.

221

Anexo D Aceleración modal total

( )qkqcmq )()(1)( bbto +−= − &&& (D.1)

qΦΨΨΦq 1)()( −=→= bb (D.2)

[ ]( )

[ ]( )[ ]( )LL

LL

LL

)()()()()()(

)(2)()()()(

)()()()(

2ˆ

ˆ

ˆ

tk

bk

bk

bbTb

tk

bk

bbTb

ktbtTb

mdiag

mdiag

mdiag

ωζ==

ω==

==

cΦcΦ

kΦkΦ

mΦmΦ

(D.2-a, b, c)

de la Ecuación (D.2-a) 1)()()()( ˆ −− = tbtTb mΦmΦ (D.3) luego de las Ecuaciones (D.2-b, c) se obtiene

1)()()(

1)()()(

ˆ

ˆ

−−

−−

=

=

bTbb

bTbb

ΦcΦc

ΦkΦk (D.4-a, b)

reemplazando (D.3) en (D4-a, b) se obtiene:

1)()()()()(

1)()()()()(

~

~

−

−

=

=

bbbtb

bbbtb

ΦcΦmc

ΦkΦmk (D.5-a, b)

y finalmente, reemplazando (D.5-a, b) en (D1) se obtiene

( ) ( )

∑=

−−−

Ψ==

+−=+−=

n

kk

bk

b

bbbbbbbbbbtt

1

0)(0)(0

)()()()()(1)()(1)()()()(1)(0 ~~~~

&&&&&&

&&&&

φΨΦq

ΨcΨkΦqΦcqΦkΦmmq (D.6)

donde )()()()(0 ~~ bbbb ΨcΨkΨ &&& −−= es el vector de aceleración modal total.

222

Anexo E Esperanza de aceleración máxima

Para un vibrador de 1 gdl, la aceleración absoluta se calcula por la expresión:

qqz 2002 ω−ωζ−= &&& (E.1)

Donde guqz += , con q coordenada relativa y gu desplazamiento de terreno.

Aplicando el operador esperanza se obtiene que:

qqqqz y 02020

402

20

24 4 λωλλωλωζλ =+= (E.2)

Por lo que:

( ) qz 040

24 41 λωζλ += (E.3)

Y con base en la Ecuación (4.20), resulta:

( ) ( ) 240

22

22

2

240

22

2

4141 dqqq

q

q

dq

z

z SSypS

pS

pS ωζωζ =+=+= (E.4)

donde dqS es la ordenada espectral de desplazamientos relativos y qS la

seudoaceleración espectral de q y zS la seudoaceleración total del vibrador de un grado

de libertad.

223

Anexo F Coeficiente de correlación de desplazamientos

Para aquellos sistemas de dos pisos considerados, existen las siguientes relaciones entre

los parámetros del aislamiento

srt =ω+ω 22 ˆˆ (F.1)

( ) 2)(2222 4ˆˆ brt s Ω−=ω−ω

)(4ˆˆ brt Ω=ωω

( ) ( ) 2)(2)(2 1ˆˆ bbrt ê++Ω=ω+ω

dado que se emplea en el método CQC, el coeficiente de correlación modal con igual

amortiguamiento en todos su modos queda dado por

( ) ( )( ) ( )22222

23

2

4

ˆˆ8

trtrtr

trtr

ω+ωωωζ+ω−ω

ωωωωζ=μ (F.2)

reemplazando el conjunto de Ecuaciones (F.1) en la (F.2) se obtiene el coeficiente de

correlación en función de los parámetros del aislamiento,

( )

( )[ ]002

02

030

2

2428

Ω−Ω+ξΩ+

Ω+Ωξ=μ

sss

rt (F.3)

para extender esta expresión al caso de amortiguamiento proporcional a la rigidez basta

con considerar que:

r

t

r

ta ζ

ζ=

ωω

=Ωˆˆ

(F.4)

y la Ecuación (F.2) se transforma en:

( )( ) ( )22222

222

181

18

aara

aar

Ω+Ωζ+−Ω

Ω+Ωζ=μ (F.5)

224

Anexo G Rotación mínima como cociente de distribuciones gaussianas

El objetivo del presente anexo es la interpretación probabilística de la expresión que

minimiza la rotación de la superestructura. Para ello escribamos la expresión de la

excentricidad dinámica e(t) en el sistema de aislamiento:

)(

)()()()(

2

tqmtm

tVtTte

&&

&&θρ== (G.1)

expresión en la que: =)(tT momento de torsión en el instante t

=)(tV esfuerzo de corte en el instante t

=m masa total de la estructura

=ρ radio de giro de la masas

=θ grado de libertad rotacional

=q grado de libertad traslacional

de la expresión (G.1) resulta que:

)()(

)(tqtq

tê&&

&&θ= (G.2)

donde ρθθ =q&&

supongamos que las variables )(tq θ&& y )(tq&& son variables aleatorias con distribución

normal

)0,()();0,()( 44 ===≈ qqqq mNtqmNtq &&&&&&&& λλ

θθθ (G.3)

225

expresión en la que i4λ es la varianza y im es la media. Normalizando las variables

aleatorias respecto de la desviación estándar se tiene que:

qq

tqQtqtQ&&&&

&&&&&&&&

44

)(;)()(λλ

θ

θθ == (G.4)

la distribución de probabilidad conjunta de estas variables normalizadas se puede

escribir como:

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ν−

ν−−

ν−π= θθθ

2222

2)1(2

1exp121),( QQQQQQf &&&&&&&&&&&& (G.5)

a partir de las (G.4) escribamos la excentricidad a partir de las variables normalizadas

como:

04

4 )()(

)()(

)(ê

têtê

tQtQ

tÊq

q=

λ

λ==

θ

θ

&&

&&

&&

&& (G.6)

expresión en la que la variable 0ê es una excentricidad de referencia. La función de

densidad de probabilidad de )(tÊ se obtiene como:

( )( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ν−

ν−ν−π

== ∫∞

∞−θ 2

2

2

111

1,,)(Ê

QdQQQÊQQfÊf &&&&&&&&&&&& (G.7)

conocida como función de densidad de probabilidad generalizada de Cauchy y cuya

mediana se encuentra dada por ν . Así la mediana de ê(t) está dada por:

226

[ ]q

qm êtÊêmedianêmedianê

&&

&&

4

400 )()(

λ

λνν θ==== (G.8)

expresión idéntica la obtenida y que expresa que para minimizar la respuesta torsional

de la superestructura su centro de rigidez debe coincidir con el punto de paso mas

probable de la resultante de aceleración total del sistema de aislamiento, dado por la

mediana de la distribución de probabilidad de la expresión (G.2).

Así para el caso considerado en el apartado IV.4 Figura 4.4 se obtiene la siguiente

distribución de frecuencias de excentricidad instantánea.

Figura G.1 Distribución de frecuencias de la excentricidad instantánea. El Centro. Distribución generalizada de Cauchy asociada. Aislamiento: πω 8.0)( =b ; πω 4)( =s ;

2.0)( =bζ ; 05.0)( =sζ ; 1.0)(0 =Ω b ; 7.0)(

0 =Ω s ; 3.0)()( == sb êê .

En la Figura G.1 se presenta el histograma de la distancia desde el CM al punto de paso

de la resultante de aceleraciones traslacionales ( rê ) normalizado a la máxima frecuencia

−200 −150 −100 −50 0 50 100 150 200

0

0.5

1

structure width (m.)

frec

uenc

ies

ancho de estructura (m)

frec

uen

cias

227

y la distribución de Cauchy asociada. Se observa que la mediana de las distancias a la

resultante se ubica ahora sobre la posición del CR de la superestructura ( 3.0=rê ).

228

Anexo H Determinación del coeficiente de correlación ν~

El objetivo del presente anexo consiste en la determinación de la matriz de covarianzas

de aceleraciones absolutas de un sistema de dos grados de libertad.

Dada la ecuación diferencial de un sistema monosimétrico:

gurmxkxcxm &&&&& −=++ (H.1)

En la que

m es la matriz de masas, c la matriz de amortiguamiento, k la matriz de rigidez,

[ ]01=Tr la matriz de colocación de la excitación traslacional, gu&& la aceleración del

suelo y [ ]θ= yTx los grados de libertad del sistema.

Supongamos que la excitación Wg =u&& , en la que W es ruido blanco y supongamos

realizar la sustitución:

ηΦ=x (H.2)

ecuación en la que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡φφφφ

=2,21,2

2,11,1Φ (H.3)

son los modos del sistema de vibración y:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

=2

1Ψ (H.4)

Son las coordenadas modales del sistema. En estas condiciones la Ecuación (H.1) puede

escribirse en la forma

229

W⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡φφ

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ωω

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΨΨ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ωζ

ωζ+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΨΨ

2,1

1,1

2

122

21

2

1

22

11

2

1

00

00

2&

&

&&

&& (H.5)

las matrices de espacio de estado en tiempo continuo pueden escribirse como:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ωζ−ω−ωζ−ω−

=

2222

1121

20002010000100

A ;

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

φ−φ−

=

2,1

1,1

00

B (H.6)

la ecuación de Lyapunov se escribe entonces como:

0BWBXAAX =++T (H.7)

Ecuación en la que X es la matriz de covarianzas y esta dada por:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

σ

σσρσ

σσρσσρσ

σσρσσρσσρσ

Ψ

ΨΨΨΨΨ

ΨΨΨΨΨΨΨΨΨ

ΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨ

22

121,22

1

222,2121,22

2

212,1111,1212,12

1

&

&&&&&

&&&&

&&&&

Sym (H.8)

sustituyendo las Ecuaciones (H.6) y (H.8) en la (H.7) y resolviendo, se obtienen los

siguientes resultados:

311

21,12

1 4 ωζ

φ=σ Ψ

W; 3

22

22,12

2 4 ωζ

φ=σ ψ

W (H.9)

11

21,12

1 4 ωζ

φ=σ

Ψ

W& ;

22

22,12

2 4 ωζ

φ=σ

Ψ

W& (H.10)

02,21, =ρ=ρΨΨΨΨ && (H.11)

230

)()(4)(

)()(8

122122112122

122

22112/3

21212,1 ωζ+ωζωζ+ωζωω+ω−ω

ωζ+ωζωωζζ=ρ ΨΨ (H.12)

)()(4)(

)()(8

122122112122

122

12212/3


ωζ+ωζωωζζ=ρ

ΨΨ && (H.13)

)()(4)(

)(4

122122112122

122

1221121

22


ωωζωζω−ω−=ρ

ΨΨ & (H.14)

)()(4)(

)(4

122122112122

122

2221121

22


ωωζωζω−ω=ρ

ΨΨ& (H.15)

Rescribiendo la Ecuación (H.1) para ruido blanco, podemos decir que:

xkmxcmWrx 1-1 (t) −−−=+ &&& (H.16)

llamando:

)()()( ttt Wrxz += &&&& (H.17)

y recordando que:

TΦωΦ 21 =− km (H.18)

TΦωΦ 21 2ζcm =− (H.19)

haciendo la sustitución ΨΦ=x , con modos normalizados a masa modal unitaria, y

sustituyendo la (H.17) en la (H.16) se tiene que:

ΨωΦΨωζΦ 22)( TTt −−= &&&z (H.20)

231

Por lo que finalmente podemos escribir la (H.20) como:

ΨωΨωζυΦ 22(t))( −−== &&&&& tT z (H.21)

que podemos definir como la aceleración absoluta modal de los grados de libertad del

sistema. Aplicando el operador esperanza a la Ecuación (H.21) obtenemos:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ωζΨΨωωΨΨζωωΨΨωζωΨΨζωυυ T22T2T2TT 224 &&&&&&&& EEEEE +++= (H.22)

Ecuación en las que las matrices ζ y ω son diagonales por lo que la matriz y su

transpuesta son idénticas. En la Ecuación (H.22) todos los términos esperanza son

conocidos, por lo que operando con ellos se obtiene la matriz de covarianzas de

aceleraciones totales modales, cuyos términos principales están dados por:

W1

211

21,1

1 4)41(

ζ

ζ+ωφ=σ υ&& (H.23)

W2

222

22,1

1 4)41(

ζ

ζ+ωφ=σ υ&& (H.24)

[ ]

[ ])()(4)()41()41(

)(48~

122122112122

122

22

21

312

321122122112211

ωζ+ωζωζ+ωζωω+ω−ωζ+ζ+

ωζ+ωζ+ωζ+ωζωζωζωζωζ=ν (H.25)

Las ecuaciones (H.23) y (H.24) son conocidas para vibradores de un grado de libertad a

menos del término modal que los premultiplica y la Ecuación (H.25) es el coeficiente de

correlación de aceleraciones modales totales o absolutas.

232

Para amortiguamiento constante en todos los modos de vibración la Ecuación (H.25) se

puede escribir como:

[ ]

[ ]221

221

221

22

2

31

321221

221

2

)(4)()41()(48~

ω+ωζωω+ω−ωζ+

ω+ω+ω+ωωωζωωζ=ν (H.26)

Si realizamos la sustitución expresada en la Ecuación (F.4), se llega a:

( )[ ]

( )( ) ( ) ( )[ ]222)(222)(22)(

222)(22)(

1814141

188~

aab

rab

rab

r

aab

rab

r

Ω+Ωζ+Ω−ζΩ+ζ+

Ω++ΩζΩζ=ν (H.27)

233

Anexo I Balance torsional

Si asumimos que la condición expresada por la Ecuación (4.17) es raíz de la Ecuación

(4.18) se tiene la siguiente expresión:

0

21

)(4

)(4

2)(0)(

4)(

42)(

0

)(4

)(4

)(4

)(4

)(4

)(4

)(4

)(4

3

)(4

)(4

)(4

)(4

3

2)(0

2)(

=⎥⎥⎦

⎤λλνΩ−λλνΩ

⎢⎢⎣

⎡+

λ

λλλν+

λ

λλλν−

λ

λλλν

Ωωbt

br

sbt

br

s

bt

bt

br

br

bt

bt

br

br

bt

bt

br

br

ss

(I.1)

Resulta claro que la única forma en que la Ecuación (F.1) sea nula es cuando se

verifique que 1=ν . Otra solución posible es que 0=ν , situación que se alcanza cuando

la aceleración total traslacional y rotacional se encuentran totalmente descorrelacionadas

y de la Ecuación (4.17) esta situación se corresponde con el caso trivial en que tanto la

superestructura como el sistema de aislamiento son simétricos.

234

Anexo J Algoritmo de integración de la constitutiva

Se presenta en esta sección el algoritmo de integración empleado para la constitutiva en

la etapa de intercambio entre la etapa envolvente y conservativa hiperelástica.

Definimos:

=xu Desplazamiento normalizado máximo s/x.

=yu Desplazamiento normalizado máximo s/y.

=ru Desplazamiento normalizado total máximo.

=máxd Desplazamiento normalizado máximo obtenido de ensayo, para la máxima distorsión γ .

→=1dxc se integra sobre la envolvente.

→=0dxc se integra sobre la conservativa hiperelástica.

Así, para un aislador:

[ ]( )2,)(v)(vv kknorm yxk = Para la dirección x

( )xx ukabsif >)(v

1=dxc

)(v ku xx = else

))1(v())(v( −≠ ksignksignif xx && 1=dxcif

235

0=dxc

))(( kZabsZ ex

hx =

( ) ( ) 0

2

00

22201 1ln

12 c

cZc

ZccZcucc h

x

hx

hxxx +

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

end

end end idem para la dirección y nivel de disipación

( )rx ukif >)(v

→= )(v kur aumento de disipación

( )2>kif ))1(v)(v())2(v)1(v( −−≠−−− kksignkksignif xxxx 0))1(v)(v( >−− kksignif xx →−= )1(v ku xr disminución de disipación end

end

end end

r

máxr u

dδδ =

236

Definidos los parámetros de integración se aplican las ecuaciones (5.37) y (5.38) y

posteriormente se evalúan:

( )( ) →

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+=−+=

dyhxdy

ey

hey

dxhxdx

ex

hex

cZcZZcZcZZ

11

,

,

&&&&&&

a rutina de integración

Las integraciones de la etapa disipativa de la goma y de disipadores actuando en paralelo

son aditivas al resultado anterior.

BIBLIOGRAFÍA

237

BIBLIOGRAFIA

Annigieri, S., Mittal, A. K., Jain, A. K. (1996),"Uncoupled frequency ratio in

asymmetric buildings". Earth. Engrg. Struc. Dyn., 25(), 871 - 881.

Arias, A. (1970). “A measure of earthquake intensity”. R. J. Hansen, ed. Seismic Design

for Nuclear Power Plants: MIT Press, Cambridge, Massachussets, pp. 438-483.

Chang, D-Y. (1992). ''Parsimonious modeling of inelastic structures''. Report Nº EERL

92-02. Earthquake Research Laboratory. California Institute of Technology.

Clough, Ray W., and Penzien Joseph. (1993). "Dynamics of structures". Mac Graw -

Hill, Inc. 2nd. Ed. Chap. 25, pp. 600.

De la Llera, J. C. and Inaudi, J. A. (1992). ''Dynamic analysis of nonlinear structures

using state-space formulation and partitioned integration schemes''. UCB/EERC-92/18.

Earthquake Research Center, University of California at Berkeley.

De la Llera J. C., Chopra A. K. (1994) "Accidental torsion in buildings due to stiffness

uncertainty". Eatrh. Engrg. Struc. Dyn.; 23(2): 117 - 136.

De la Llera J. C., Chopra A. K. (1994) "Accidental torsion in buildings due to base

rotation excitation". Eatrh. Engrg. Struc. Dyn.; 23(9): 1003 - 10021.

De la Llera J. C., Inaudi J. A. (1994). "Analysis of base-isolated buildings considering

stiffness uncertainty in the isolation system". Proceedings of the Fifth National

Conference on Earthquake Engineering. Vol I.: 623-632.

238

De la Llera J. C., Chopra A. K. (1995). "Estimation of accidental torsion effects for

seismic design buildings". Journal of Structural Engineering, 21(1), 102-114.

De la Llera, J. C., Lüders, C., Leigh, P., Sady, H. (2004). "Analysis, testing and

implementation of seismic isolation of buildings in Chile". Earth. Engrg. Struc. Dyn.,

Vol.33(5), 543 - 574.

De la Llera, J. C., Almazán, J. L., Vial, I. J. (2005). "Torsional balance of plan-

asymmetric structures with frictional dampers: analytical results". Earth. Engrg. Struc.

Dyn., Vol.34(9), 1089 – 1108.

Der Kiureghian, A. (1981). "A response spectrum method for random vibration analysis

of MDF systems". Earth. Engrg. Struc. Dyn., Vol.9, 419 - 435.

Eurocode 8 (1994). Design Provisions for Earthquake Resistance of Structures, Part 1:

General Rules. ENV 1993-2, Comité Europeen de Normalization, Brussels.

Forni, M., Martelli, A., Bettinalli, F. and Dusi, A. (1995). ''Finite elements models of

rubber bearings and guidelines development for isolated nuclear facilities in Italy''.

International Post-Smirt Conference Seminar on Seismic Isolation, Passive Energy

Dissipation and Active Control of Vibration Structures - Santiago, Chile, August 21 to

23.

Gupta, A. K. (1984). "Modal combination in response spectrum method". Proc. 8 World

Conference on Earthquake Engineering. San Francisco.

Gupta, A. K. (1990)."Response spectrum method in seismic analysis and design of

structures". Blackwell Scientific Publications. Boston - Oxford - London Edinburg

Melbourne. pp 40-49.

239

Hammersley, J.M. y Handscomb, D.C. (1965) Monte Carlo Methods. Chapman and

Hall, Londres.

Hejal, R., Chopra, A. K. (1987). "Earthquake response of rotationally-coupled

buildings". Report Nº UCB/EERG-87/20. EERC. Berkeley, California.

Hwang, J. S., Wu, J. D., Pan, T-C., Yang, G. (2002). “A mathematical hysteretic model

for elastomeric isolation bearing”. Eatrh. Engrg. Struc. Dyn., 4, pp. 771-789.

Inaudi, J. A., De la Llera, J. C. (1992). “Dynamic analysis of non linear structures using

state-space formulation and partitioned integration schemes”. Report Nº UCB/EERC-

92/18, Earthquake Engineering Research Center. University of California at Berkeley.

Junemman, R., De la Llera, J. C., Besa, J., Almazán, J. L. (2006). "Three dimensional

behavior of a self-centering rolling precast prestressed pile". Earth. Engrg. Struc. Dyn.

To be submitted July 2007.

Kanai, K. (1957). "Semi empirical formula for the seismic characteristics of the ground".

University of Tokyo, Bull. Earthquake Research Institute, Vol. 35, pp. 309 -325.

Kelly, James. M. (1997). Earthquake-Resistant Design with Rubber. 2nd ed. Berlin and

New York: Springer-Verlag.

Kulak, R. F. and Hughes, T. H. (1995). ''Mechanic behavior of a suite of elastomers used

for seismic base isolation''. Reactor Engineering Division Argonne National Laboratory,

Argonne Illinois. U. S. Government, Contract Nº W-31-109-ENG-38.

240

Kulkarni J. A. and Jangrid R. S. (2002). "Rigid body response of base-isolated

structures". Journal of Structural Control, 9: 171-188.

Lee, D. M. (1980). "Base isolation for torsion reduction in asymmetric structures under

earthquake loading". Earth. Engrg. Struc. Dyn., 8(3), 349 -359.

Moka, A.s S., Navichandra, A., Constantinou, M. C., Zayas, V. (1996). "Seismic

isolation retrofit of large historic building". J. Struc. Engrg. Div., ASCE, 122(3),298-

308.

Naeim, F. and Kelly, J. M. (1999). ''Design of seismic isolated structures - from theory

to practice''. John Wiley \& Sons. N. Y.

Nagarajaiah, S., Reinhorn, A. H., and Constantinou, H. C. (1993). "Torsion in base-

isolated structures with elastomeric isolation systems”. J. Struc. Engrg. Div., ASCE, 119

(10), 2932 - 2951.

Nakamura, T., Suzuki, T., Okada, H., and Takeda, T. (1988). "Study on base isolation

for rotational response in asymmetric structures under earthquake motions". Proc. Ninth

World. Conf. on Earthquake Engrg., Int. Assoc. of Earthquake Engrg., Tokyo, Japan, V,

675 - 680.

Nawrotzky, P. (2000). ''Some strategies or the reduction of seismic structural responses''.

The First International Conference Stability and Dynamics, December 7-9, Taipei,

Taiwan.

NCh 2745. Of. 2003. “Análisis y diseño de edificios con aislación sísmica”. Instituto

Nacional de Normalización. Chile - Ed. 2003.

241

Newmark, N. M., Rosenblueth, E. (1976), “Fundamentos de Ingeniería sísmica”.

México, Editorial Diana.

Oppenheim, A. V., and Willsky, A. S. (1983). “Señales y Sistemas”. Prentice Hall

Hispanoamericana S. A., Englewood Cliffs, México.

Osgood, W. R., Ramberg, W. (1943). “Description of stress-strain curves by three

parameters”. NACA Technical Note 902, National Bureau of Standards, Washington.

Pan, T. C., and Kelly, J. M. (1983). "Seismic response of rotationally coupled base

isolated structures". Earth. Engrg. Struc. Dyn., 11(6), 749 - 770.

Papagorgiou, A. S., and Lin, B. C. (1989). "Study of the earthquake response of the

base-isolated law and justice center in Rancho Cucamonga". Earth. Engrg. Struc. Dyn.,

18(4), 1189 - 1200.

Park, Y. J., Wen, Y. K., Ang A. H-S. (1986). ''Random vibration of hysteretic systems

under bi-directional ground motions''. Eatrh. Engrg. Struc. Dyn., 14, pp. 543-557.

Ryan, Keri L., and Chopra, Anil K. (2002). "Approximate analysis methods for

asymmetric plan base-isolated buildings". Earth. Engrg. Struc. Dyn., 31, 33 - 54.

Salmonte, A. J. (1982). "Considerations on the residual contribution in modal analysis".

Earth. Engrg. Struc. Dyn., Vol. 10, 295-304.

Salomon, O. M., Oller, S., Barbat, A. H. (2000). ''Simulación numérica de elastómeros

multifase en estiramientos principales''. Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en

Ingeniería, 16 (1), pp.115-144

242

Sandler, I. S. (1978). ''On the uniquenes and stability of endochronic theories of material

behavior''. Journal of Applied Mechanics, ASME, vol. 45, Nº 2, pp. 263-266.

Seguin, C. E., De la Llera, J. C. (2003). “Propuesta de constitutiva no-lineal para

aisladores elastoméricos”. XI Seminario Iberoamericano de Ingeniería Sísmica y 6 -

EIPAC - 2003., Mendoza, Argentina 28 de Agosto de 2003

Seguin, C. E., De la Llera, J. C., Almazán, J. L. (2007). “Base-structure interaction of

linearly isolated structures with lateral-torsional coupling”. Engineering Structures, 30(2

2008)p.p. 110-125 doi: 10.1016/jengstruct.2007.02.019

Seguin, C. E., Almazán, J. L., De la Llera, J. C. “Torsional balance of seismically

isolated asymmetric structures”. Engineering Structures. To be submitted. July 2007.

Shenton III H. W., Holloway E. S. (2000). "Effect of stiffness variability on the response

of isolated structures". Earth. Engrg. ans Struc. Dyn.; 29(1): 19 - 36.

Sinha, R., Igusa, T. (1996). "CQC and SRSS methods for non-classically damped

structures". Earth. Engrg. Struc. Dyn., 24, 615 - 619.

Singh, M. P. (1983). "Seismic design response by an alternative SRSS rule". Earth.

Engrg. Struc. Dyn., Vol. 11, 771-783.

Tajimi, H. (1960). "A statistical method of determining the maximum response of a

building structure during an earthquake". Proc. 2nd World Conference on Earthquake

Engineering, Tokyo and Kyoto, Vol. II, pp. 781 -798.

Tena-C, A., Gómez-S., L. (2002) “Torsional response of base-isolated structures due to

asymmetries in the superstructure”, Engineering Structures.

243

Tena-C., A, Zambrana-R., C. (2005). “Dynamic torsional amplifications of base-isolated

structures with an eccentric isolation system”. Engineering Structures 28, 72-83, doi:

10.1016/j.engstruct.2005.07.003.

Tena-C., A. (2005). “Development of guidelines for the seismic design of base-isolated

structures in Mexico”. 9th World Seminar on Seismic Isolation, Energy Dissipation and

Active Vibration Control of Structures, Kobe, Japan.

Tena-C., A., Escamilla-C., J. L. (2006). “Torsional amplifications in asymmetric base-

isolated structures”. Engineering Structures 29, 237-247, doi: 10.1016/j.engstruct.

2006.03.036.

Tsopelas, P. C., Constantinou, M. C., and Reinhorn, A. M. (1994). ''3D-Basis-ME:

computer program for nonlinear dynamic analysis of seismically isolated single and

multiple structures and liquid storage thanks''. Report Nº NCEER-94-0010, National

Center for Earthquake Engineering Research, Buffalo. N. Y.

Uniform Building Code. (1997). “Earthquake regulations for seismic isolated

structures”. Whittier C.A.

Wen Y. K. (1975). ''Approximate method for nonlinear random vibration''. J. Engrg.

Mech. Div., ASCE, 101(EM4), 389-401.

Zayas, V. A., Low, S. S., Mahin, S. A. (1987), “The FPS earthquake resisting system:

experimental report”, Report Nº UCB/EERC-87/01, Earthquake Engineering Research

Center, University of California at Berkeley, Berkeley, CA.

Download - Tesis Doctoral Eugenio Seguin

Top Related