Download - Teorija grešaka geodetskih
Univerzitet u Beogradu – Građevinski fakultet
www.grf.bg.ac.rs
Studijski program: GEODEZIJA I GEOINFORMATIKA
Modul: GEODEZIJA
Godina/Semestar: I godina / 2 semestar
Naziv predmeta (šifra): Teorija grešaka geodetskih merenja (B2G1TG)
Nastavnik: Branko Božić
Naslov predavanja: Osnove teorije verovatnoćeDatum : 10.03.2021 .
Sva autorska prava autora prezentacije i/ili video snimaka su zaštićena. Snimak ili prezentacija se mogu koristiti samo za nastavu na daljinu studenta Građevinskog fakulteta
Univerziteta u Beogradu u školskoj 2020/2021 i ne mogu se koristiti za druge svrhe bez pismene saglasnosti autora materijala.
SADRZAJ
• STATISTIČKE RASPODELE
Raspodele diskretnih slučajnih promenljivih
- Binomna
- Poasonova
- Hipergeometrijska
Raspodele kontinuiranih slučajnih promenljivih
- Normalna raspodela
- Studentova raspodela
- Hi-kvadrat raspdela
- Fišerova raspodela
RASPODELE DISKRETNE
SLUČAJNE PROMENLJIVE
Raspodele diskretnih slučajnih promenljivih – Binomna
raspodela
Osnovni priblem glasi – koliko puta će se neki događaj dogoditi u n nezavisnih pokušaja, a da pri svakom pokušaju
verovatnoća pojave događaja A bude ista, P(A) = p. Funkcija gustina verovatnoća binomne ili Bernulijeve raspodele
glasi
xnxqpx
nxf
)(
Srednja vrednost binomne raspodele glasi pn
n - broj nezavisnih pokušaja, a X = x označava da se događaj A dogodio x puta, a
q = 1 - p
Varijansa je jednaka qpn 2
Raspodele diskretnih slučajnih promenljivih –
Poasonova raspodela
Poasonova raspodela je posledica graničnog slučaja binomne raspodele
Funkcija gustine verovatnoća glasi
e
xxf
!)(
3
Srednja vrednost i varijansa su jednaki2
Raspodele diskretnih slučajnih promenljivih –
Hipergeometrijska raspodela
RASPODELE KONTINUIRANE
SLUČAJNE PROMENLJIVE
Raspodele kontinuirane slučajne promenljive – Normalna raspodela
Slucajna promenljiva X pripada normalnoj raspodeli sa parametrima i 2, u oznaci X N(, 2), ukoliko je njena
funkcija gustine f(x) definisana sa
xзаe
2
1)x(f
2
2
2
)x(
Osnovne osobine f(x):
1. f(x) simetricna u odnosu na srednju vrednost;
2. Srednja vrednost = moda = medijana;
3. Prevojne tacke za udaljene od srednje vrednosti;
4. f(x) se asimptotski priblizava 0 kada n tezi
5. Verovatnoca da X bude u intervalu od x1 do x2 definisana je krivom raspodele, osom x i granicama intervala x=x1 i x=x2.
9973.033
9545.022
6827.0
xxx
xxx
xxx
xP
xP
xP
(31)
x1 x2 x3
STATISTIČKE RASPODELE – Normalna (Gausova) raspodela
24
2
2
2y
yx
dx
yd
1
xy
dx
yd2
2
22
2
Ako u (31) za = 0, f(x) = y diferenciramo po x
2
2
22
2
1
x
ex
dx
dy
yx
dx
dy2
Drugi izvod od (31) glasi
222
2y
dx
dyx
dx
yd
2
1y
(32)
(33)
Standardizovana slučajna promenlljiva
xx/)X(Z
2
2
2
110
z
e),;z(f
2
2
2
2
1x
x )x(
x
e)x(f
Funkcija raspodele standardizovane slučajne promenlljivedze),;z(Fx z
2
2
2
110
Koristi se pri:
- otkrivanju grubih grešaka
- definisanju intervala
srednje vrednosti
- testiranju na saglasnost
srednjih vrednosti,...
Za
(34)
(35)
Funkcija gustine standardizovane slučajne
promenlljive
STATISTIČKE RASPODELE – Normalna (Gausova) raspodela
Verovatnoća da slučajna promenljiva Z bude manja od x),;z(F)xZ(P 10
)a(F)b(F)bZa(P Verovatnoća da Z bude izmedju a i b
)t(F)t(F)tZ(P za - a = b = t
Kao posledica simetričnosti
)tZ(P)tZ(P
kako je ukupna verovatnoća pojave Z jednaka 1, tada
)t(F)t(F1 1)t(F2)tZ(P
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
Greška sa verovatnoćom pojave od 50%
)t(F75.0
)t(F25.1
1)t(F25.0)tZ(P
6745.0E50
Greška sa verovatnoćom pojave od 95%
)t(F975.0
)t(F295.1
1)t(F295.0)tZ(P
96.1E95
Tabela D1: Kvantili (procentne tačke) funkcije standardizovane promenljive
normalne raspodele (izraz 11), deo tabele D1 – jednostrana funkcija 1.96
97.5%
dze),;z(Fx z
2
2
2
110
PRIMER 1: Srednja vrednost duzine merene n puta iznosi
d=15.00 m i ocenjena je sa standardnim odstupanjem
s=3.00 cm. Kolika je verovatnoća da će se pojedini rezultat
merenja naći u intervalu između 14.98 m i 15.02 m.
z1=(14.98-15.00)/0.03= - 0.667
z2 =(15.02-15.00)/0.03=+0.667
P(-0.667 < Z < 0.667)=0.495 ili 49.5%
- 0.667 0.667
49.5 %
Standardizovana slučajna promenljiva Z Verovatnoća pojave standardizovane slučajne
promenljive Z u intervalu (- 0.667 do 0.667) =
verovatnoći pojave rezultata merenja u intervali
od 14.98 m do 15.02 m
Primer 2: Sračunati
a) P(X<=3.23) ako je N(0,1)
P(X<=3.23)=F(3.23)=0.99938
b) P(2<= X<=9)=F(9)-F(2)=
= 1-0.9772=0.0228
STATISTIČKE RASPODELE – 2 (hi-kvadrat) raspodela
X1,X2,…,Xn, - n nezavisnih slučajnih promenljivih – svaka pripada normalnoj raspodeli sa srednjom vrednošću 0 i varijansom
1
Zbir njihovih kvadrata definiše slučajnu promenljivu koja se ponaša po zakonu 2 raspodele (Pirsonov raspodela - Karl
Pearson, 1900.) sa f stepeni slobode.
2
n
2
2
2
1
2
n X...XX
Koristi se:
- pri testiranju saglasnosti dve varijanse,
- definisanju intervala ocene varijanse,
- ocene adekvatnosti funkcionalnog i stohastičkog
modela pri izravnanju,
- itd.
2
2
2
,f
~sf
T
Neka je x1, x2, …, xn sa srednjom vrednoscu i varijansom 2 uzorak
dimenzija n. Po definiciji, statistika
Kvantil 2 rasporeda uzima se iz tablica za zadati nivo poverenja α i
broj stepeni slobode f.
(41)
(42)
2
x
2
2n
n
2
n exc)x(f)(f
Funkcija gustine
STATISTIČKE RASPODELE – 2 (hi-kvadrat) rasporeda
Za f=10 i =0.05 Za f=10 i =0.95
90%
Kvantili
STATISTIČKE RASPODELE – Studentova (t) raspodela
X1,X2,…,Xn, - n nezavisnih slučajnih promenljivih – svaka pripada normalnoj raspodeli sa srednjom vrednošću 0 i
varijansom 1.
ns
xt
n
1k
kxn
1x
n
1k
2
k
2xx
1n
1spripada Studentovoj raspodeli - t raspodeli (William Sealy
Gosset,1908).
Koristi se pri:
- testiranju saglasnosti srednjih vrednosti,
- definisanju intervala poverenja ocene srednje
vrednosti,
- oceni prisustva grubih grešaka u
posmatranom uzorku, itd.
ili
f
Zt
2
Z – standardizovana promenljiva
f – broj stepeni slobode
2 slučajna promenljiva (43)
(44)
(45)
STATISTIČKE RASPODELE – Studentova (t) raspodela
За f=20 и =0.05
2.086
1- = 0.95%
Jednostrani interval
2.086
Jednostrani interval
За f=20 и =0.1 1.725
STATISTIČKE RASPODELE – Fišerova raspodela
(F raspodela)
X1,X2,…,Xm i Y1,Y2,…,Yn dva skupa nezavisnih slučajnih promenljivih normalnoj raspodeli, svaki sa srednjom
vrednošću 0 i varijansom 1.
m
1i
2
i
2
m
2
2
2
1
2
1 XX...XX
n
1i
2
i
2
n
2
2
2
1
2
2 YY...YY
Ako su 12 i 2
2 dve nezavisne slučajne promenljive koje pripadaju 2 raspodeli sa f1 i f2 stepeni slobode, tada se, po
definiciji, statistika
2
2
2
1
2
1
f
fF
ponaša po zakonu Fišerove raspodele.
Koristi se pri:
- testiranju medjusobne saglasnosti dve varijanse
- definisanju intervala poverenja količnika dve varijanse,
- testiranju raspodela, itd.
(46)
(47)
STATISTIČKE RASPODELE – Fišerova raspodela
(F raspodela)
За =0.05 и f1=10 и f2=7 F0.05,10,7 = 3.14
5%95%