Download - Teorie Algebra Bac
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
1/25
1
SINTEZE DE ALGEBR(teorie)
Prof . Claudia Horvat
Cuprins
I) Funciielementare-grafic i proprieti.......................................................3
1.Funcia de gradul al doilea ..3
2.Funcia exponenial.8
3.Funcia logaritmic9
4.Funcia sinus..10
5.Funcia cosinus.11
6.Funcia arcsinus12
7.Funcia arccosinus..13
8.Funcia tangent14
9.Funcia arctangent...15
10.Funcia cotangent..16
11.Funcia arccotangent.17
II)Progresii aritmetice i geometrice 18
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
2/25
2
III)Elemente de combinatoric19
1.Permutri...19
2.Aranjamente .19
3.Combinri.19
4.Binomul lui Newton .20
5.Identiti in calculul cu combinri.20
IV)Mulimea numerelor complexe .21
1.Forma algebrica numerelor complexe.21
2.Numere complexe conjugate.21
3.Modulul unui numr complex...22
4.Numere complexe sub formtrigonometric..23
5.Operaii cu numere complexe scrise sub formtrigonometric..23
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
3/25
3
I) Funciielementare- grafic i proprieti
1. Funcia de gradul al doilea
:
,
(
) =
+
+
,
,
,
,
.
Graficul funciei de gradul al doilea1)punctul de intersecie al graficului cu axa Oy este(0,f(0))
2)determinarea interseciei dintre graficul funciei i axa Ox
ax +bx+c=0 ,= 4,dac> 0, atunci graficul intersecteazaxa Ox in doupuncte (,0)i (,0)dac= 0, atunci graficul intersecteazaxa Ox intr-un punct ,0.dac< 0, atunci graficul nu intersecteazaxa Ox3)vrful parabolei este punctul , Axa de simetrie a parabolei este dreapta verticalde ecuaie: = Alura graficului in cele ase situaii posibile ,dupcum sunt a i :
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-2 0 2 4 6
y
x
Functia de gradul II ,a>0,delta>0
Series1
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
4/25
4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
-2 -1 0 1 2 3 4
y
x
Functia de gradul II ,a>0,delta=0
Series1
Series2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -2 0 2 4
y
x
Functia de gradul II ,a>0,delta
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
5/25
5
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
0 2 4 6
y
x
Functia de gradul II ,a0
Serie
s1Serie
s2
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0 2 4 6
y
x
Functia de gradul II ,a
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
6/25
6
Mulimea valorilor funciei degradul al doilea =f(R)={f(x)|x R}.Aceastmulime reprezintimaginea funciei i se mai noteaz.I) Daca>0 , atunci f(R)=
,+
)
II) Daca 0 i x,xsuntrdcinileecuaiei ataate funciei,
atuncif(x)are semnul lui ain afara rdcinilor,semn contrar lui ain intervalul dintre rdcini.
)< 0x +
f(x) semnul lui a
)= x +f(x) semnul lui a 0 semnul lui a
)>0x +f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
7/25
7
Intervalele de monotonie ale funciei de gradul al doilea
Teorem
Fief:R
R, f(x) = ax +bx+c, a,b,c
R, a
0.
I) Daca>0, atunci f este strict descresctoare pe (, if este strict cresctoare pe ,+).
II) Daca a0
x +f(x)
minim
Cazul : a
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
8/25
8
2.Funcia exponenial
f : R(0,+), f(x)= , a>0 ,a 1.Cazul I: a>1 (baz supraunitar)
f strict cresctoare ()
, ,
< < .
f mrginit inferior, f nemrginit superior: inf f(x)=0, x ; sup f(x)=+, x .f nu este periodic.f este convex pe R.
f bijectiv ()y(0,+),()! a. =y . > 0 > 1 < 0 0 < < 1Cazul II : 0 1 > 0 0 < < 1
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
9/25
9
3.Funcia logaritmic
f : (0,) , f(x)=log , a>0 , a 1Cazul I. a>1 (bazsupraunitar)
f strict cresctoare (), (0,), < log 0Cazul II. 0 0 (1,) log < 0
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
10/25
10
4.Funcia sinus
sin:R [1,1]t sint = y = ordonatapunctuluiM C= cercul trigonometricProprieti:1) sin este periodic, cuperioadele2k, k Z:sin(x+2k) = sin(x),()x R,()k Z. =2 = perioada principal2)sin este impar sin(x) = sinx()x R.Graficul este simetric fade origine.
3)Reducerea la primul cadran:
II I : sin = sin( ) ,() ( ,)III I : sin = sin( ),( ) ,IV I : sin = sin(2 ) ,() ( ,2)4)sin este strict cresctoare pe intervalele de forma : +2,+ +2 ,
sin este strict descresctoare pe intervalele : +2 , +2 , Studiulfunciei sinuspeintervalul[0,2]
X0 2sinx 0 1 0 -1 0
Graiculfunciei sinuspeintervalul[0,2]
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
11/25
11
5.Funcia cosinus
cos:R [1,1]t cost = x = abscisa punctuluiM C=cercul trigonometricProprieti1)coseste periodic,cuperioadele 2k , k Z
cos(x+2k) = cos(x),()x R,()k Z. = 2 =perioada principal.2) cos este par: () = (),() .Graicul estesimetricfa deoy.3)Reducerea la primul cadran
II I: cos = cos( ), () ,III I: cos = cos( ), () (, )IV I: cos = cos(2 ), () ( ,2)4) cos este strict cresctoare pe intervalele de forma : [ +2 ,2 +2],
cos este strict descresctoare pe intervalele : [0+2 , +2], Studiul funciei cosinus pe intervalul [0,2]
X 0
2
cosx 1 0 -1 0 1Graficul funciei cosinus pe intervalul [0,2]
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
12/25
12
6.Funcia arcsinus
Fi restricia sn ,afunciei sin,laintervalul[ ,], : , [1,1],snx=sinx ()x [ ,].Tabelul
de
variaieal
restricieilui
sinus
la
[
,
]:
X - - - 0 sinx -1 -
0 1sn este bijectiv sn inversabil ()(sn) = arcsin.arcsin [1,1] [
2,2
]arcsin
=
sin
=
Proprieti.1)arcsin(x) = arcsinx()x [1,1]2) sin(arcsinx) = x,()x [1,+1]3) arcsin(sinx) = x,()x ,+ 4) arcsin este strict cresctoare ()x,x [1,+1],x < x arcsin(x) < (x)
5) Graficele funciilor i arcsin sunt simetrice fade prima bisectoare.
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
13/25
13
7.Funcia arccosinus
Fierestricia cos afunciei coslaintervalul [0,],cos :[0,] [1,1]cos
x= cosx
(
)x
[0,
].
Tabeluldevariaie alrestriciei luicosinusla[0,]X 0 cosx 1 0 - -1
Funcia cos este bijectiv cos inversabil ()(cos) = arccosarccos:[1,1] [0,]arccos = cos = Proprieti1)arccos(x) = arccosx ()x [1,1]2)cos(arccosx) = x,()x [1,+1]3)arccos(cosx) = x,()x [0,+]4)arccos este strict descresctoare ()x ,x[1,+1], x < x arccos(x) > (x)5)Graicele funciilor cos i arccos sunt simetrice fade prima bisectoare.
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
14/25
14
8.Funcia tangent
tg:R +kkZ R , tgx= Proprieti
1)tgesteperiodic ,cuperioadele k ,k Z:tg(x+k) = tg(x),()x R +kkZ,()k ZT = =perioada principal.2)tg esteimpar tg(x) = tgx ( )x R +kkZ .3) tgstrict cresctoare pe intervalele: +k,+ +k,k Z.4)Studiulfunciei tangent peintervalul ,
X - - 0 tgx /- 3 -1 - 0 1 3 /
5) Graficul funciei tangentpe intervalul ,
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
15/25
15
9.Funcia arctangent
Fi restricia tg afunciei tg,laintervalul , , : , ,tg x=tgx ()x ,.Tabelul de variaie al restriciei funciei tangentla
,
x ( - - 0 )tgx /- 3 -1 - 0 1 3 /
Funcia tg este bijectiv tg inversabil ()(tg ) = arctgarctg:R
2,2
arctgx = y
tg
y = x
Proprieti1)arctg(x) = arctgx,()x R.2)tg(arctgx) = x,()x R3)arctg(tgx) = x,()x ,+4) arctg este strict cresctoare (),R , < arctg
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
16/25
16
10.Funcia cotangent
ctg R {k|kZ} R , ctgx= Proprieti
1)ctg este periodic, cu perioadelek,kZ
:
ctg(x+k) = ctgx,()x R {k|k Z},()k ZT = = perioadaprincipal.2)ctgesteimpar ctg(x) = ctgx()x R {k|k Z}.Graficul e simetric fade origine.
3) ctg este strict descresctoare pe intervalele (0+k, +k),k Z.4)
Studiulfunciei ctgpeintervalul(0,)
X 0 ctgx /+3 1 0 -13-/
4) Graficul funciei cotangent pe intervalul (0,) :
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
17/25
17
11.Funcia arccotangent
S consider restricia ctg afunciei ctg,laintervalul(0,), ctg :(0,) Rctgx= ctgx ()x(0,).
Tabelul
de
variaieal
restricieictg
, a funciei ctg, la intervalul (0,
)
X 0 ctgx /+3 1 0 -1 3 -/
Funcia ctgestebijectiv ctg inversabil ()(ctg) = arcctgarcctg:R (0,)arcctgx = y ctgy = xProprieti:
1)arcctg(x) = arcctgx ()x R.2) ctg(arcctgx)=x , ()x R3) arcctg(ctgx)=x, ()x (0,)4) arcctg este strict descresctoare (),R ,x < x arcctg>arcctg5) arcctg este concavpe (,0)i convexpe (0,+).6) Graficele funciilor ctg i arcctg sunt simetrice fade prima bisectoare.
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
18/25
18
II) 1.Progresii aritmetice
Fie ()un ir de numere(N,Z,Q,R,C).irul () s.n. progresie aritmetic a = a +r,()k 2. Notm .P1) Dac , atunci = +( 1) ,() 1.P2)a a = , ()n 2.P3) Fie numerele a,a,,a.Dac a,a,,a suntinprogresiearitmetic,atunci a +a = a +a()k = 1,n .P4) Dac a inotm S = a +a + .a,atunci S
=
( )
sau S
=
[()]
.
P5) = ()() 2.Sunt adevrate egalitile:
1+2+3++n=()
;1 +2+3 + +n = ()() ;1 +2 + +n = () ;1 +2 +3 +
+
= ()()()
.
II)2.Progresii geometrice
Fie () un ir de numere ,(N , Z , Q , R ,C) cu 0.irul(a)s.n.progresiegeometric a = a q , ()k2 , q0 .P1) Dac (a)este progr.geometric curaia q,atuncia = aq ()n 1.P2) Fie (
)
,
,
> 0. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente:
(a)este progresiegeometric a = a a, ()n2 .P3)Dac(a)este progr.geometric inotm S = a +a + +a,
atunci S = a n , dac q=1.S = a 1 q1 q ,dac q 1.
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
19/25
19
III) Elemente de combinatoric
1.Permutri
Fie A o mulime finitnevidcu n elemente. Se numete ordine pe A , o funcie
bijectivf: {1,2,,n}
,
(
) =
.
S.n. mulime ordonat(formatcu elementele mulimii A), mulimea A luat
impreun cu o ordine pe A. Se noteaz (f(1),f(2),,f(n)).
S.n. permutare a mulimii A,oricare dintre mulimile ordonate formate cu cele n
elemente ale lui A.
Numrul permutrilor lui A se noteaz cu .P) Fie A mulime finitnevidcu n elemente. Atunci P
= n!
,n
1.
Convenie: 0!=1.
Definiie. n!=1 2 , n1 .2.Aranjamente
Fie A o mulime finitnevidcu n elemente i fie kN , 0kn...aranjamentedenelementeluatectek,submulimile ordonate de k elementeale lui A. Numrul lor se noteaz cu.
1)
=
(
1)(
2) ..(
+1) , (
)n,k
N , 0
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
20/25
20
4.Binomul lui Newton
Teorem
()a,b Ci()n N(a+b) = Ca +Cab ++C
ab +
+C
ab +
+C
b.
Terminologie;Observaii
1) Coeficienii binomiali=numereleC,C,C,,C2) In dezvoltarea (a+b), sunt(n+1)termenia) n=par,n=2k 2k+1termeni
,
,,
,,
,
b) n=impar,n=2k+1 n+1=2k+2 termeniC C ,C C
3) exponenii luiadescrescdelanla0exponenii luibcrescdela 0lan 4) Termenul general al dezvoltrii sau termenul de rang (k+1)
este:T
= C
a
b
, 0kn
5) =
.
, 0kn-1
5.Identiti in calculul cu combinri
1) Formula combinrilor complementare : = , 0 .2) Formula de recurenin calculul cu combinri :
= + ,1 1 , , 3) = ; = ; =
1 , , 4) = + + + +
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
21/25
21
5) = ; 0 1 , , 6) + +. + + = 27) + + +(1) = 08) + + + = 29) + +. + = 210) + + + + = .
IV)Numere complexe
1.Forma algebrica unui numr complexeste:z = a+b i, a,b R, i = 1 , undea=Re(z) = partea real aluizb=Im(z) = coeicientul priiimaginarealuizb i = partea imaginar aluizi = unitateimaginarNum
rul
z = b i
,b
R
,s.n.num
r
complex
pur
imaginar.
Numere complexe egalez,z C ,z = a + i b ,z = a +ib , a,a,b,b Rz = z a = ab = b.2.Numere complexe conjugateDac z C, z = a+b i,a,b R , i = 1,atunci
nr.complex
z
= a
bi
s.n.
conjugatul
lui
z.
Proprieti ale numerelor complexe conjugate
1. Dintre toate nr. complexe, numerele reale (i numai ele) sunt egale cuconjugatele lor, adic:
z C , z Rz = z
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
22/25
22
2. (z) = z,()z C3. z +z = z +z ,()z,z C4. z
z
=
z
z
,(
)z
,z
C
5. () = ,()z,z C,z 0
6. z +z =2Re(z) R , z z R7. Re(z) = , Im(z) = ,()z C
3.Modulul unui numr complex
Dacz C, z = a+i b,a,b R, i = 1,atunci numrul real pozitiv:|z| a +b, senumete modululluiz.Proprieti
1. |z| 0,()z C2. |z| = 0 z=03.
|z| = |z| = |z|,()z C4. |z z| = |z| |z|,()z,z C5. = |||| ,()z,z C,z 06. |z +z| |z| +|z|,()z,z C7. |z
z
|
|z
| +|z
|,(
)z
,z
C
8. |z| |z| |z z|,()z,z C9. |z| = z z,()z C10. R (z) |z| , Im(z) |z|, ()z C
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
23/25
23
4.Forma trigonometrica unui numr compleDac z C, z = +i y, ,y R , atunci forma trigonometrica lui zeste: z = |z| (cost+isint),unde:|z| = x +y = rt
[0,2
)
a.i.
x=rcost
i
y=rsint
t = arg(z) = argumentulredusalluiz .Arg(z) = {arg(z) +2k|k Z}= mulimea argumentelorluiz.Egalitatea numerelor complexe scrise trigonometricDac z = r(cost +isint),t = arg(z)
z = r(cost +isint),t = arg(z)Atunci
z = z
r = ri arg(z) = arg(z)
Dac z = r(cost +isint),t Arg(z)z = r(cost +isint),t Arg(z)
Atunci z = zr = ri t t = 2k, k Z
5.Operaii cu numere complexe scrise sub formtrigonometricDac z
,z
C,
z = |z| (cost +isint),t Arg(z)z = |z| (cost +isint),t Arg(z)atunci:
1. z z = |z| |z| (cos(t +t) +i sin(t +t))2. z = |z| (cosn t +isinnt)3.
=|||| (cos(t t) +i sin(t t)),z 0
Rdcinile de ordinul n ale unui numr complexFie z
C
,n
N,n
2.
Se numete rdcinde ordinul n a lui z, orice nr complex u , astfel inct: u = z.Dac z=0, singura rdcinde ordinul n este 0.TeoremDacz C,n N,n 2, z = r(cost+isint),r = |z|, t [0,2) ,Atunci z admite n rdcini distincte de ordinul n, care au forma:
z =r (co t+2kn +isint+2kn ),k =
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
24/25
24
-
8/10/2019 Teorie Algebra Bac
25/25
25