Download - Teoria lui Ramsey
![Page 1: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/1.jpg)
Teoria lui Ramsey
ianuarie 2015
Teoria lui Ramsey
![Page 2: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/2.jpg)
Introducere
Teoria lui Ramsey = teorie referitoare la studiul obiectelorcombinatoriale si a conditiilor care se ocupa cu distributiasubmultimilor de elemente ale unei multimi.
Numita dupa matematicianul si filozoful englez Frank P.Ramsey (1903-1930).Rezultate semnificative au fost descoperite ulterilor de P.Erdos.In prezent: tema activa de cercetare ın TGC: numeroaseprobleme nerezolvate ınca.
Problema grupului de persoane ıntrunite:Care este numarul minim R(m, n) de persoane care trebuieinvitate la o ıntrunire, pentru a fi siguri ca una din urmatoareleconditii are loc:
1 ori exista un grup de m persoane care se cunosc toate ıntre ele2 ori exista un grup de n persoane ın care nimeni nu se cunoaste
cu nimeni.
Teoria lui Ramsey
![Page 3: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/3.jpg)
Notiuni preliminare
O 2-colorare a muchiilor unui graf G este o functie careatribuie o culoare din o multime de 2 culori la toate muchiilelui G .
Exemplu (O 2-colorare a lui K5)•
••
••
Pentru doua numere pozitive date p si q, numarul Ramsey (clasic)R(p, q) asociat lor este cel mai mic ıntreg n astfel ıncat orice2-colorare a lui Kn cu rosu si albastru sa contina un subgraf Kp
rosu, sau un subgraf Kq albastru.
Intrebare: care este valoarea lui R(1, 3)?Raspuns: 1 . . . de ce?Intrebare: care este valoarea lui R(1, q)?
Teoria lui Ramsey
![Page 4: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/4.jpg)
Notiuni preliminare
O 2-colorare a muchiilor unui graf G este o functie careatribuie o culoare din o multime de 2 culori la toate muchiilelui G .
Exemplu (O 2-colorare a lui K5)•
••
••
Pentru doua numere pozitive date p si q, numarul Ramsey (clasic)R(p, q) asociat lor este cel mai mic ıntreg n astfel ıncat orice2-colorare a lui Kn cu rosu si albastru sa contina un subgraf Kp
rosu, sau un subgraf Kq albastru.
Intrebare: care este valoarea lui R(1, 3)?
Raspuns: 1 . . . de ce?Intrebare: care este valoarea lui R(1, q)?
Teoria lui Ramsey
![Page 5: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/5.jpg)
Notiuni preliminare
O 2-colorare a muchiilor unui graf G este o functie careatribuie o culoare din o multime de 2 culori la toate muchiilelui G .
Exemplu (O 2-colorare a lui K5)•
••
••
Pentru doua numere pozitive date p si q, numarul Ramsey (clasic)R(p, q) asociat lor este cel mai mic ıntreg n astfel ıncat orice2-colorare a lui Kn cu rosu si albastru sa contina un subgraf Kp
rosu, sau un subgraf Kq albastru.
Intrebare: care este valoarea lui R(1, 3)?Raspuns: 1 . . . de ce?
Intrebare: care este valoarea lui R(1, q)?
Teoria lui Ramsey
![Page 6: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/6.jpg)
Notiuni preliminare
O 2-colorare a muchiilor unui graf G este o functie careatribuie o culoare din o multime de 2 culori la toate muchiilelui G .
Exemplu (O 2-colorare a lui K5)•
••
••
Pentru doua numere pozitive date p si q, numarul Ramsey (clasic)R(p, q) asociat lor este cel mai mic ıntreg n astfel ıncat orice2-colorare a lui Kn cu rosu si albastru sa contina un subgraf Kp
rosu, sau un subgraf Kq albastru.
Intrebare: care este valoarea lui R(1, 3)?Raspuns: 1 . . . de ce?Intrebare: care este valoarea lui R(1, q)?
Teoria lui Ramsey
![Page 7: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/7.jpg)
Numere RamseyExemplu: R(2, 4)
Fapt: R(2, 4) = 4.Demonstratie. Conform definitiei, R(2, 4) ≥ 2.R(2, 4) ≥ 4 deoarece existenta urmatoarelor 2-colorari de muchiiindica faptul ca R(2, 4) 6∈ {2, 3}.
• • • •
•
K2 K3
Orice colorare rosu-albastru a lui K4 contine fie un K2 rosu sau unK4 albastru deoarece:
Daca exista o muchie rosie, exista un subgraf K2 rosu.
Altfel, toate muchiile sunt albastre, deci graful ınsusi este unsubgraf K4 albastru.
Teoria lui Ramsey
![Page 8: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/8.jpg)
Exercitii
1 Cate 2-colorari diferite (modulo simetrii) are K3? K4? K5?K10?
2 Dati o demonstratie simpla a faptului ca R(1, k) = 1 pentrutoti ıntregii pozitivi k.
3 Dati o demonstratie simpla a faptului ca R(2, k) = k pentrutoti ıntregii k ≥ 2.
4 Explicati de ce, pentru totii ıntregii pozitivi p si q are locR(p, q) = R(q, p).
5 Daca 2 ≤ p′ ≤ p si 2 ≤ q′ ≤ q, demonstrati caR(p′, q′) ≤ R(p, q). Mai mult, egalitatea R(p′, q′) = R(p, q)are loc ın acest caz daca si numai daca p′ = p si q′ = q.
Teoria lui Ramsey
![Page 9: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/9.jpg)
O problema Ramsey clasica
Cate persoane trebuiesc invitate la o petrecere a.ı. sa existecel putin un grup de 3 persoane care se cunosc toti ıntre ei,sau un grup de 3 persoane ın care nimeni nu se cunoaste cunimeni?
Sau, ın teoria lui Ramsey: Care este valoarea minima a lui na.ı. orice colorare rosu-albastru a muchiilor lui Kn sa continafie un K3 rosu sau un K3 albastru?
. Altfel spus, care este valoarea lui R(3, 3)?
Teoria lui Ramsey
![Page 10: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/10.jpg)
O problema Ramsey clasica
Cate persoane trebuiesc invitate la o petrecere a.ı. sa existecel putin un grup de 3 persoane care se cunosc toti ıntre ei,sau un grup de 3 persoane ın care nimeni nu se cunoaste cunimeni?
Sau, ın teoria lui Ramsey: Care este valoarea minima a lui na.ı. orice colorare rosu-albastru a muchiilor lui Kn sa continafie un K3 rosu sau un K3 albastru?
. Altfel spus, care este valoarea lui R(3, 3)?
Teoria lui Ramsey
![Page 11: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/11.jpg)
O problema Ramsey clasica
Cate persoane trebuiesc invitate la o petrecere a.ı. sa existecel putin un grup de 3 persoane care se cunosc toti ıntre ei,sau un grup de 3 persoane ın care nimeni nu se cunoaste cunimeni?
Sau, ın teoria lui Ramsey: Care este valoarea minima a lui na.ı. orice colorare rosu-albastru a muchiilor lui Kn sa continafie un K3 rosu sau un K3 albastru?
. Altfel spus, care este valoarea lui R(3, 3)?
Teoria lui Ramsey
![Page 12: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/12.jpg)
O problema Ramsey clasica
Teorema
R(3, 3) = 6.
Demonstratie. R(3, 3) > 5 deoarece 2-colorarea lui K5 de mai jos nucontine nici un K3 rosu si nici un K3 albastru.
K5:
•
••
••
K6:
v
x
y
z
•
•
Subcazul 1: toate muchiile (x,y),(x,z),(y,z) sunt albastre
⇒ exista un K3 albastru
Subcazul 2: cel putin una din muchiile (x,y),(x,z),(y,z) este rosie
⇒ exista un K3 rosu
Fie o colorare rosu-albastru a muchiilor lui K6, si v unul din noduri.
I v este incident la 5 muchii.I Conform Principiului Porumbelului, fie v este incident la ≥ 3 muchiirosii, fie v este incident la ≥ 3 muchii albastre.
Putem presupune ca, ın general, v este incident la 3 muchii rosii (v , x),
(v , y), (v , z).
Teoria lui Ramsey
![Page 13: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/13.jpg)
O problema Ramsey clasica
Teorema
R(3, 3) = 6.
Demonstratie. R(3, 3) > 5 deoarece 2-colorarea lui K5 de mai jos nucontine nici un K3 rosu si nici un K3 albastru.
K5:
•
••
••
K6:
v
x
y
z
•
•
Subcazul 1: toate muchiile (x,y),(x,z),(y,z) sunt albastre
⇒ exista un K3 albastru
Subcazul 2: cel putin una din muchiile (x,y),(x,z),(y,z) este rosie
⇒ exista un K3 rosu
Fie o colorare rosu-albastru a muchiilor lui K6, si v unul din noduri.
I v este incident la 5 muchii.I Conform Principiului Porumbelului, fie v este incident la ≥ 3 muchiirosii, fie v este incident la ≥ 3 muchii albastre.
Putem presupune ca, ın general, v este incident la 3 muchii rosii (v , x),
(v , y), (v , z).
Teoria lui Ramsey
![Page 14: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/14.jpg)
O problema Ramsey clasica
Teorema
R(3, 3) = 6.
Demonstratie. R(3, 3) > 5 deoarece 2-colorarea lui K5 de mai jos nucontine nici un K3 rosu si nici un K3 albastru.
K5:
•
••
••
K6:
v
x
y
z
•
•
Subcazul 1: toate muchiile (x,y),(x,z),(y,z) sunt albastre
⇒ exista un K3 albastru
Subcazul 2: cel putin una din muchiile (x,y),(x,z),(y,z) este rosie
⇒ exista un K3 rosu
Fie o colorare rosu-albastru a muchiilor lui K6, si v unul din noduri.
I v este incident la 5 muchii.I Conform Principiului Porumbelului, fie v este incident la ≥ 3 muchiirosii, fie v este incident la ≥ 3 muchii albastre.
Putem presupune ca, ın general, v este incident la 3 muchii rosii (v , x),
(v , y), (v , z).
Teoria lui Ramsey
![Page 15: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/15.jpg)
O problema Ramsey clasica
Teorema
R(3, 3) = 6.
Demonstratie. R(3, 3) > 5 deoarece 2-colorarea lui K5 de mai jos nucontine nici un K3 rosu si nici un K3 albastru.
K5:
•
••
••
K6:
v
x
y
z
•
•
Subcazul 1: toate muchiile (x,y),(x,z),(y,z) sunt albastre
⇒ exista un K3 albastru
Subcazul 2: cel putin una din muchiile (x,y),(x,z),(y,z) este rosie
⇒ exista un K3 rosu
Fie o colorare rosu-albastru a muchiilor lui K6, si v unul din noduri.
I v este incident la 5 muchii.I Conform Principiului Porumbelului, fie v este incident la ≥ 3 muchiirosii, fie v este incident la ≥ 3 muchii albastre.
Putem presupune ca, ın general, v este incident la 3 muchii rosii (v , x),
(v , y), (v , z).
Teoria lui Ramsey
![Page 16: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/16.jpg)
O problema Ramsey clasica
Teorema
R(3, 3) = 6.
Demonstratie. R(3, 3) > 5 deoarece 2-colorarea lui K5 de mai jos nucontine nici un K3 rosu si nici un K3 albastru.
K5:
•
••
••
K6:
v
x
y
z
•
•
Subcazul 1: toate muchiile (x,y),(x,z),(y,z) sunt albastre
⇒ exista un K3 albastru
Subcazul 2: cel putin una din muchiile (x,y),(x,z),(y,z) este rosie
⇒ exista un K3 rosu
Fie o colorare rosu-albastru a muchiilor lui K6, si v unul din noduri.
I v este incident la 5 muchii.I Conform Principiului Porumbelului, fie v este incident la ≥ 3 muchiirosii, fie v este incident la ≥ 3 muchii albastre.
Putem presupune ca, ın general, v este incident la 3 muchii rosii (v , x),
(v , y), (v , z).
Teoria lui Ramsey
![Page 17: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/17.jpg)
Alta problema Ramsey
Teorema
R(3, 4) = 9.
Demonstratie. 2-colorarea lui K8 de mai jos nu contine nici un K3
rosu si nici un K4 albastru, deci R(3, 4) > 8.
•
••
•
•
••
•
Vom demonstra ca R(3, 4) ≤ 9 stiind ca R(2, 4) = 4 si R(3, 3) = 6.Sa presupunem ca muchiile lui G = Kn (n ≥ 9) au fost colorate curosu-albastru, si fie v un nod al lui G . Distingem 3 cazuri:
(vezi slide-urile urmatoare.)
Teoria lui Ramsey
![Page 18: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/18.jpg)
Teorema: R(3, 4) = 9Demonstratia cazului 1: v este incident la ≥ 4 muchii rosii
Fie S := multimea nodurilor incidente la v cu o muchie rosie.
•v
•
•
•
•
R(2, 4) = 4 si |S | ≥ 4⇒ fie S are un K2 rosu sau un K4 albastru.Prima posibilitate implica faptul ca G are un K3 rosu, iar a douaimplica faptul ca G are un K4 albastru.
Teoria lui Ramsey
![Page 19: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/19.jpg)
Teorema: R(3, 4) = 9Demonstratia cazului 2: v este incident la ≥ 6 muchii albastre
Fie T :=multimea nodurilor incidente la v cu o muchie albastra.
•v
••••••
|T | = 6 si R(3, 3) = 6⇒ T contine un K3 rosu sau albastru.Primul caz implica faptul ca G are un K3 rosu. In cazul al doileaavem situatia ilustrata mai jos ⇒ G contine un K4.
•v
•
•
••••
Teoria lui Ramsey
![Page 20: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/20.jpg)
Teorema: R(3, 4) = 9Demonstratia cazului 3: v este incident la < 4 muchii rosii si la < 6 muchii albastre
Fie T :=multimea nodurilor incidente la v cu o muchie albastra.Deoarece presupunem ca G are ≥ 9 noduri, trebuie ca G sa aibeexact 9 noduri ⇒ v este incident la 3 muchii rosii si 5 albastre.Deoarece v a fost ales arbitrar, putem presupune ca aceastaproprietate are loc pentru toate nodurile lui G .
⇒ subgraful rosu al lui G are 9 noduri, si fiecare nod are gradul3. Aceasta situatie este imposibila deoarece orice graf are unnumar par de noduri cu grad impar.
Teoria lui Ramsey
![Page 21: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/21.jpg)
Numere Ramsey
Mai jos sunt indicate toate valorile cunoscute de numere Ramsey:
R(1, k) = 1,R(2, k) = k ,
R(3, 3) = 6,R(3, 4) = 9,R(3, 5) = 14,R(3, 6) = 18,R(3, 7) = 23,R(3, 8) = 28,R(3, 9) = 36,
R(4, 4) = 18,R(4, 5) = 25.
In general, determinarea valorilor exacte ale numerelor Ramseyeste extrem de dificila.
Teoria lui Ramsey
![Page 22: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/22.jpg)
Limite cunoscute
Teorema (Erdos si Szekeres)
Daca p ≥ 2 si q ≥ 2 atunci R(p, q) ≤ (p + q − 2)!
(p − 1)!(q − 1)!.
Teorema
Daca p ≥ 2 si q ≥ 2, atunci R(p, q) ≤ R(p − 1, q) + R(p, q − 1).
Teorema
Pentru orice q ≥ 3, R(3, q) ≤ q2 + 3
2.
Teorema (Erdos)
Daca p ≥ 3 atunci R(p, p) > b2n/2c.
Teoria lui Ramsey
![Page 23: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/23.jpg)
Exercitii
1 Sa se demonstreze ca R(3, 5) ≥ 14. Graful urmator esteextrem de util.
K13
••
•
•
•
•• •
•
•
•
•
•
2 Folositi a doua teorema de pe slide-ul precedent ın combinatiecu rezultatul din exercitiul precedent pentru a demonstra caR(3, 5) = 14.
3 Folositi a doua teorema de pe slide-ul precedent pentru ademonstra teorema a treia.
Teoria lui Ramsey
![Page 24: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/24.jpg)
Teoria lui Ramsey pentru grafuri
Generalizare a teoriei clasice a lui Ramsey.
Definitie
Numarul Ramsey R(G ,H) asociat la doua grafuri G si H estevaloarea minima a lui n a.ı. orice colorare rosu-albastru a muchiilorlui Kn contine fie o copie rosie a lui G sau o copie albastra a lui H.
Remarca
In acest context, numarul Ramsey clasic R(p, q) coincide cuR(Kp,Kq).
Teorema
Daca G este un graf de ordin p iar H un graf de ordin q, atunciR(G ,H) ≤ R(p, q).
Demonstratie. Evident.
Teoria lui Ramsey
![Page 25: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/25.jpg)
Teoria lui Ramsey pentru grafuriO margine inferioara pentru R(G ,H)
Numarul cromatic χ(G ) al unui graf G este cel mai mic numark astfel ıncat G este k-colorabil. Acest lucru ınseamna ca:
I folosim k culori pentru nodurile lui G .I nodurile adiacente ın G au culori diferite.
C (H) = ordinul (adica numarul de noduri) al celei mai maricomponente conexe a grafului H.
Teorema urmatoare indica o relatie ıntre R(G ,H), numarulcromatic χ(G ) al lui G , si marimea C (H) a celei mai maricomponente conexe a lui H:
Teorema
R(G ,H) ≥ (χ(G )− 1)(C (H)− 1) + 1.
Teoria lui Ramsey
![Page 26: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/26.jpg)
O margine inferioara pentru R(G ,H)
Teorema
R(G ,H) ≥ (χ(G )− 1)(C (H)− 1) + 1.
Demonstratie. Fie m = χ(G )− 1 si n = C (H)− 1. Fie S graful Km·nformat din m copii ale lui Kn toate muchiile posibile ıntre copii. Apoi secoloreaza albastru muchiile din fiecare copie a lui Kn, si rosu toatecelelalte muchii.
S :
Kn
Kn
Kn
Kn
Nu exista copie albastra a lui C(H) ın S fiindca C(H) aren + 1 noduri si nu intra ın nici un Kn⇒ nu poate exista o copie albastra a lui H ın S.
Nu exista nici o copie rosie a lui G ın S fiindcadaca coloram fiecare copie a lui Kn ın S cu o culoare diferitaatunci producem o m-colorare a lui G .Dar G nu este m-colorabil deoarece χ(G) = m + 1.
S este prea mic: avem nevoie de
p > |S | = m · n = (χ(G )− 1)(C (H)− 1) noduri pentru a garanta
existenta unei copii albastre a lui H sau a unei copii rosii a lui G ın Kp.
Teoria lui Ramsey
![Page 27: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/27.jpg)
O margine inferioara pentru R(G ,H)
Teorema
R(G ,H) ≥ (χ(G )− 1)(C (H)− 1) + 1.
Demonstratie. Fie m = χ(G )− 1 si n = C (H)− 1. Fie S graful Km·nformat din m copii ale lui Kn toate muchiile posibile ıntre copii. Apoi secoloreaza albastru muchiile din fiecare copie a lui Kn, si rosu toatecelelalte muchii.
S :
Kn
Kn
Kn
Kn
Nu exista copie albastra a lui C(H) ın S fiindca C(H) aren + 1 noduri si nu intra ın nici un Kn⇒ nu poate exista o copie albastra a lui H ın S.
Nu exista nici o copie rosie a lui G ın S fiindcadaca coloram fiecare copie a lui Kn ın S cu o culoare diferitaatunci producem o m-colorare a lui G .Dar G nu este m-colorabil deoarece χ(G) = m + 1.
S este prea mic: avem nevoie de
p > |S | = m · n = (χ(G )− 1)(C (H)− 1) noduri pentru a garanta
existenta unei copii albastre a lui H sau a unei copii rosii a lui G ın Kp.
Teoria lui Ramsey
![Page 28: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/28.jpg)
O margine inferioara pentru R(G ,H)
Teorema
R(G ,H) ≥ (χ(G )− 1)(C (H)− 1) + 1.
Demonstratie. Fie m = χ(G )− 1 si n = C (H)− 1. Fie S graful Km·nformat din m copii ale lui Kn toate muchiile posibile ıntre copii. Apoi secoloreaza albastru muchiile din fiecare copie a lui Kn, si rosu toatecelelalte muchii.
S :
Kn
Kn
Kn
Kn
Nu exista copie albastra a lui C(H) ın S fiindca C(H) aren + 1 noduri si nu intra ın nici un Kn⇒ nu poate exista o copie albastra a lui H ın S.
Nu exista nici o copie rosie a lui G ın S fiindcadaca coloram fiecare copie a lui Kn ın S cu o culoare diferitaatunci producem o m-colorare a lui G .Dar G nu este m-colorabil deoarece χ(G) = m + 1.
S este prea mic: avem nevoie de
p > |S | = m · n = (χ(G )− 1)(C (H)− 1) noduri pentru a garanta
existenta unei copii albastre a lui H sau a unei copii rosii a lui G ın Kp.
Teoria lui Ramsey
![Page 29: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/29.jpg)
O margine inferioara pentru R(G ,H)
Teorema
R(G ,H) ≥ (χ(G )− 1)(C (H)− 1) + 1.
Demonstratie. Fie m = χ(G )− 1 si n = C (H)− 1. Fie S graful Km·nformat din m copii ale lui Kn toate muchiile posibile ıntre copii. Apoi secoloreaza albastru muchiile din fiecare copie a lui Kn, si rosu toatecelelalte muchii.
S :
Kn
Kn
Kn
Kn
Nu exista copie albastra a lui C(H) ın S fiindca C(H) aren + 1 noduri si nu intra ın nici un Kn⇒ nu poate exista o copie albastra a lui H ın S.
Nu exista nici o copie rosie a lui G ın S fiindcadaca coloram fiecare copie a lui Kn ın S cu o culoare diferitaatunci producem o m-colorare a lui G .Dar G nu este m-colorabil deoarece χ(G) = m + 1.
S este prea mic: avem nevoie de
p > |S | = m · n = (χ(G )− 1)(C (H)− 1) noduri pentru a garanta
existenta unei copii albastre a lui H sau a unei copii rosii a lui G ın Kp.
Teoria lui Ramsey
![Page 30: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/30.jpg)
Teoria lui Ramsey pentru grafuri
Teorema
Daca Tm este arbore cu m noduri atunci R(Tm,Kn) = (m−1)(n−1) + 1.
Demonstratie. Rezultatul are loc pt. m = 1 sau n = 1. De acumıncolo presupunem m ≥ 2 si n ≥ 2.Afirmatia A. R(Tm,Kn) ≥ (m − 1)(n − 1) + 1.
Km−1
Km−1
Km−1
Km−1
Pt. a demonstra acest lucru, fie K(m−1)(n−1) format din n − 1 copii rosiiale lui Km−1, si toate muchiile posibile dintre copii colorate albastru.Nu poate exista nici un Tm rosu si nici un Kn albastru⇒ Are locafirmatia A.Afirmatia B. R(Tm,Kn) ≤ (m − 1)(n − 1) + 1.
O demonstratie a acestei afirmatii este ın [Harris et al. 2008]Teoria lui Ramsey
![Page 31: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/31.jpg)
Teoria lui Ramsey pentru grafuri
Teorema
Daca Tm este un arbore de ordin m si daca m − 1 divide n − 1atunci R(Tm,K1,n) = m + n − 1.
In teorema de mai jos, mK2 reprezinta graful format din m copii ale lui
K2, iar n K2 are o semnificatie similara.
Teorema
Daca m ≥ n ≥ 1 atunci R(mK2, n K2) = 2m + n − 1.
Teoria lui Ramsey
![Page 32: Teoria lui Ramsey](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/586f6ec71a28ab66058bf1cb/html5/thumbnails/32.jpg)
Exercitii
1 Sa se calculeze R(P3,P3).
2 Sa se calculeze R(P3,C4).
3 Sa se calculeze R(C4,C4).
4 Demonstrati ca R(K1,3,K1,3) = 6.
5 Demonstrati ca R(2K3,K3) = 8.
Reamintim ca
Cn reprezinta ciclul cu n noduri.
Km,n este graful bipartit complet dintre doua multimi X si Ycu cardinalitatile |X | = m, |Y | = n. Multimea de muchii aacestui graf este E = {(x , y) | x ∈ X , y ∈ Y }.Pn este o cale prin n noduri.
Teoria lui Ramsey