Download - Teoria de Conjuntos y Proposiciones
-
TEORIA DE CONJUNTOSEsp.. Gloria Alejandra Rubio Vanegas
-
CONJUNTO conjunto se puede entender como una
coleccin o agrupacin bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto
NOTACION Se representa con las letras del alfabeto
en Mayscula y los elementos entre llaves {} y en minscula
Ejemplo:
L={a,b,c.,z}
-
EXPRESIN DE CONJUNTOS
EXTENSION Cuando se nombran todos sus elementos
Ejemplo:
A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
COMPRENSIN Cuando se nombra una propiedad o regla
o caractersticas de los elementos del conjunto
Ejemplo:
A: { x N / x >0 y x
-
DEFINICION DE CONJUNTOS
CONJUNTOSINFINITOS
A={x R / 0 x < 9}
B={ x N / x es par}
CONJUNTOSFINITOS
A= { x / x es una letra del alfabeto}
B= { x / x son impares hasta el 20}
-
DEFINICION DE CONJUNTOS
CONJUNTOSINFINITOS
A={x R / 0 x < 9}
B={ x N / x es par}
CONJUNTOSFINITOS
A= { x / x es una letra del alfabeto}
B= { x / x son impares hasta el 20}
-
GRAFICO DE CONJUNTOSDIAGRAMA DE VENN
-
Nmeros Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}
Nmeros Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}
Nmeros Racionales (Q)
Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}
Nmeros Irracionales ( I ) I={...; ;....}2; 3;
Nmeros Reales ( R )
R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3
1
2
1
5
1
2
4
3
Nmeros Complejos ( C )
C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2; 31
2
CONJUNTOS NUMRICOS
-
CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTOUNIVERSAL
Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situacin particular, generalmente se le representa por la letra U
U
-
CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTOVACIO
Es un conjunto que no tiene elementos, tambin se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los smbolos: o { }
A = o A = { } se lee: A es el conjunto vaco o A es el conjunto nulo
U
A
-
CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTOUNITARIO
Es el conjunto que tiene un solo elemento
Ejemplo: F = { x / 2x + 6 = 0 } G = { x / x es un nmero primo}
U
A
-3
-
RELACION ENTRE CONJUNTOS
INCLUSIN
Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,s y slo s, todo elemento de A es tambin elemento de B, NOTACIN :
Se lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de B, A esta contenido en B , A es parte de B.
A B
B
A
-
EJEMPLO DE INCLUSION DE CONJUNTOS
-
RELACION ENTRE CONJUNTOS
DIFERENTES
Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.
-
OPERACIN ENTRE CONJUNTOS
UNION Si A y B son dos conjuntos no vacos, se define la unin entre A y
B como el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Simblicamente la unin se define as:
AUB = {x / xA, v , x B}, donde el smbolo v se lee o.
U
A B
-
EJEMPLO UNION DE CONJUNTOS
-
OPERACIN ENTRE CONJUNTOS
INTERSECCION Se define la interseccin entre dos conjuntos A y B como el
conjunto formado por todos los elementos que pertenecen simultneamente al conjunto A y al conjunto B. Simblicamente la interseccin se expresa as:
A B = {x / x A, ^ , x B} el smbolo se lee interseccin y el smbolo ^ se lee i.
U
A B
-
EJEMPLO INTERSECCION DE CONJUNTOS
-
OPERACIN ENTRE CONJUNTOS
DIFERENCIA Si A y B son dos conjuntos no vacos, entonces se
define la diferencia entre A y B as
Es decir son los elementos que posee el primer conjuntos que no pertenecen al segundo conjunto
U
A B
-
EJEMPLO DIFERENCIA DE CONJUNTOS
-
OPERACIN ENTRE CONJUNTOS
DIFERENCIASIMETRICA
Se define la diferencia simtrica entre dos conjuntos no vacos A y B, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, pero no pertenecen simultneamente a ambos conjuntos.
U
A B
-
EJEMPLO DIFERENCIA SIMETRICA DE CONJUNTOS
-
OPERACIN ENTRE CONJUNTOS
COMPLEMENTO
Si A es un conjunto no vaco, el complemento de A, simbolizado por A, est formado por todos los elementos que no pertenecen al conjunto A, es decir,
U
A B
-
EJEMPLO COMPLEMENTO DE CONJUNTOS
-
PROPOSICIONES Una proposicin lgica es un enunciado lingstico que
debe cumplir con la condicin de ser susceptible de poder ser verdadero o falso. Ejemplo:
Hoy es mircoles 21 de marzo
Puede ser verdadero o falso
V F
Las proposiciones se representa en letras minsculas como p,q,r,s,q Ejemplo:
p= Hoy es mircoles
q= Es de Noche
Ms. Carmen Emilia Rubio V.
-
p : Hoy es Jueves q : es de Noche
p ^ q
p v q
p
q
p q
p q
Esp. Alejandra Rubio V.
PROPOSICIONES
Proposicin Atmica o Simple
Proposicin Compuesta
Es cuando no posee
conectores lgicos
Es una o mas proposiciones
atmicas unidad con trminos de
enlace o conectores lgicos
-
EJERCICIOS RESUELTOS DE PROPOSICIONES
7415 es un numero par
RTA: SI es una proposicin puesto que el 7415 no es un numero par, por lo tanto tiene una valor de verdad FALSO
Que hora es?
RTA: NO es una proposicin puesto que a una oracin interrogativa no se le puede determinar un valor de verdad.
!Pare por favor!
RTA: No es una proposicin, puesto que una oracin admirativa, no se le puede determinar un valor de verdad.
El atardecer en la playa es romntico
RTA: No es una proposicin, puesto que es un enunciado Ambiguo por lo cual no se puede determinar un valor de verdad.
La edad de Diana es 17 aos
RTA: SI es una proposicin, puesto que el enunciado tiene un solo valor de verdad, o es verdadero o es falso para Diana
-
EJERCICIOS RESUELTOS DE PROPOSICIONES
45+18
RTA: NO es una proposicin es un enunciado incompleto
El amanecer es bello
RTA: NO es una proposicin puesto que es un enunciado Impreciso
+ + =
RTA: NO es una proposicin, puesto que es una oracin en la cual no se precisa el valor de x, por lo cual no se precisa el valor de verdad
El sabor del color es dulce
RTA: NO es una proposicin, puesto que es una oracin ambigua.
Disparen al ladrn
RTA: Es una oracin que indica una orden, la cual no tiene un valor de verdad por lo tanto NO es una proposicin
Mi banca es Gris
RTA: SI es una proposicin, puesto que es una oracin Afirmativa.
Esp. Alejandra Rubio V.
-
VALOR DE VERDAD Es la cualidad de veracidad que describe
apropiadamente a una proposicin , esta puede ser verdadera o falsa.
Esp. Alejandra Rubio V.
TABLA DE VERDAD Es una representacin de los posibles
valores de Verdad que podra tomar una proposicin
-
CONECTIVOS
Esp. Alejandra Rubio V.
-
CONJUNCIN ^
Esp. Alejandra Rubio V.
p ^ qp :Las peras son rojasq: las peras son frutas
Las peras son rojas Y son frutasF ^ V = F
p q p ^ qV V V
V F F
F V F
F F F
-
DISYUNCIN v
Esp. Alejandra Rubio V.
p v qp : Las peras son rojas q: las peras sonfrutas
Las peras son rojas o son frutasF v V = V
p q p v qV V V
V F V
F V V
F F F
-
NEGACIN
Esp. Alejandra Rubio V.
pp : Las peras son rojas
Las peras no son rojasV = F
p pV F
F V
-
CONDICIONAL
Esp. Alejandra Rubio V.
p qp : Las peras son rojas q: las peras sonfrutas
Si las peras son rojas entonces las peras son frutas
F V = Vp q p qV V V
V F F
F V V
F F V
-
BICONDICIONAL
Esp. Alejandra Rubio V.
p qp : Las peras son rojasq: las peras son frutas
Las peras son rojas si y solo si las peras son frutas
F V = F
p q p qV V V
V F F
F V F
F F V
-
TABLAS DE VERDAD
Esp. Alejandra Rubio V.
Se construyen de acuerdo al nmero deproposiciones que tiene el ejercicio.Es decir 2n, donde n es el nmero deproposicionesEJEMPLO:p
p p
V F
F V
-
TABLAS DE VERDAD
Esp. Alejandra Rubio V.
EJEMPLO:pvq
p q p pvq
V V F V
V F F v
F V V V
F F V V
-
TABLAS DE VERDAD
Esp. Alejandra Rubio V.
EJEMPLO:p^ q
p q q p^q
V V F F
V F V v
F V F F
F F V F
-
TABLAS DE VERDAD
Esp. Alejandra Rubio V.
EJEMPLO:
pqp q p pq
V V F V
V F F V
F V V V
F F V F
-
TABLAS DE VERDAD
Esp. Alejandra Rubio V.
EJEMPLO:p q
p q q p q
V V F F
V F V V
F V F V
F F V F
-
TAUTOLOGIAS Son las llamadas proposiciones compuestas
EJEMPLO: [(p v q) p]
Esp. Alejandra Rubio V.
p q q (p v q) p [(p v q) p]
V V
V F
F V
F F
-
TAUTOLOGIASProposiciones Equivalentes
Dos proposiciones compuestas se consideran lgicamente equivalentes, si tienen los mismos valores de verdad para cada caso en su tabla de verdad. Ejemplo Demostrar que las proposiciones p q y la proposicin p v q son lgicamente equivalentes:
Esp. Alejandra Rubio V.
-
TAUTOLOGIASDoble Negacin
Esp. Alejandra Rubio V.
-
TAUTOLOGIASDoble Negacin
Consideremos la proposicin simple:
p: Hoy es Jueves
p: Hoy no es Jueves
(p): Hoy es Jueves
Esp. Alejandra Rubio V.
-
TAUTOLOGIASImplicacin Directa, Contraria, Recproca y Contrarecproca
Esp. Alejandra Rubio V.
-
TAUTOLOGIASImplicacin Directa, Contraria, Recproca y Contrarecproca
EJEMPLO: Dadas las proposiciones p: Las Ballenas son mamferos q: Viven en el marImplicacin Directa : Implicacin Contraria:Implicacin Recproca: Implicacin Contrarecproca:
Si las ballenas son mamferos viven en el marSi las ballenas no son mamferos no viven en el mar
Si vive en el mar entonces es ballenano vive en el mar entonces no es ballena