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May 3, 2023
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
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ESTADISTICA GENERAL
Si el único propósito del investigador es describir los resultados de un experimento concreto, los métodos analizados anteriormente pueden considerarse suficientes. No obstante, si lo que se pretende es utilizar la información obtenida para extraer conclusiones generales sobre todos aquellos elementos del tipo de los que han sido estudiados, entonces estos métodos constituyen sólo el principio del análisis, y debe recurrirse a métodos de inferencia estadística, los cuales implican el uso inteligente de la teoría de la probabilidad.
Introducción
Nociones de probabilidad Todos los días nos hacemos preguntas sobre probabilidad. E
incluso quienes no han visto mucho de esta materia en cursos anteriores, tienen una idea intuitiva lo suficientemente correcta para lo que necesitamos de ella en este curso.
¿Cuál es la probabilidad de ganar la
Tinka ?
¿Cuál es la probabilidad de aprobar el
curso?
¿Cuál es la probabilidad de que mi
hijo sea varón?
¿Es baja la probabilidad de tener
un accidente?
Conceptos básicos de probabilidad
El cálculo de probabilidades nos suministra las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, constituyendo la base para la estadística inductiva o inferencial.
En general, llamaremos experimento, al conjunto de acciones reales o imaginarias, realizadas con la finalidad de obtener resultados.
Se denominan experimentos determinísticos, aquellos que realizados de una misma forma y bajo las mismas condiciones iniciales, ofrecen siempre el mismo resultado (Se conoce el resultado del experimento antes de realizarlo).Diremos que un experimento es aleatorio (ξ), si se verifican las siguientes condiciones:Puede repetirse indefinidamente, siempre en las mismas condiciones; Antes de realizarlo, no puede predecirse el resultado que se va a obtener; El resultado que se obtenga, Wi, pertenece a un
conjunto de resultados posibles, previamente conocido. A este conjunto de resultados posibles, se denomina espacio muestral y lo denotaremos mediante la letra Ω. Los elementos del espacio muestral se denominan puntos muestrales.
Conceptos básicos de probabilidad
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Es decir, un experimento aleatorio es todo proceso que se puede repetir de manera indefinida, obteniéndose resultados imprevisibles (los resultados del experimento no pueden predecirse con exactitud antes de realizar el experimento).
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Conceptos básicos de probabilidad
Además, un experimento es aleatorio, si su resultado se desconoce, pero puede conocerse los posibles resultados del mismo. En este caso, las condiciones experimentales determinan solamente el comportamiento probabilístico (distribución probabilística) de los resultados observables
No sabemos qué resultado se obtendrá, pero sí qué valores puede tomar.
Conceptos básicos de probabilidad
La probabilidad es una medida de la incertidumbre
• La empresa AB S.A, tiene una oportunidad de 50% de superar esta crisis.
• El cliente tiene 80% de posibilidades de cancelar su deuda de crédito hipotecario.
¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara al lanzar una moneda?.
¿Cuál es la probabilidad de obtener un “tres” al lanzar un dado?.
Conceptos básicos de probabilidad
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número del 1 al 6 al lanzar un dado?
¿Cuál es la probabilidad de obtener un “siete” al lanzar un dado?
Conceptos básicos de probabilidad
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ESPACIO MUESTRAL Dado un experimento aleatorio ξ, se llama espacio muestral de ξ, denotado por , al conjunto de todos los resultados posibles del experimento.
ξ Ω = w1, w2, ........, wn, ........
ξ Ω =1, 2, 3, 4, 5, 6 , ó ξ Ω =w ε N / 1≤ w ≤ 6
n(Ω) = 6En este caso, cada wi es un punto muestral, que corresponde a un resultado del experimento
Ej. Consideremos un experimento aleatorio tal que: ξ : Lanzamiento de un dado y el registro del número que aparece en la cara superior
Conceptos básicos de probabilidad
SUCESO O EVENTO Un suceso o evento de un experimento aleatorio ξ, es cualquier subconjunto del espacio muestral correspondiente a ξ.
Si E E es un evento de Ej. Sea el experimento que consiste en lanzar un dado. Considere los siguientes eventos asociados a dicho experimento:
E : El resultado es un número par, yF : El resultado es un número mayor que 4.
El espacio muestral asociado es: ξ = 1, 2, 3, 4, 5, 6 y los eventos E y F, estarán dados por: E=w є /w es par=2, 4, 6; F=w є /w > 4=5, 6
Conceptos básicos de probabilidad
Evento imposible : E = ΦEvento seguro : F = Evento simple : G1 =w1 ; G3 =w3 Evento compuesto : H = w1υw5
= w1,w5
Conceptos básicos de probabilidad
Algunos eventos especiales:
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OPERACIONES CON EVENTOS.- Sean los eventos A y B definidos en un mismo espacio muestral :a) UNIÓN: La unión o reunión de A y B, que se denota AUB, es el evento
AUB=w / wA ó wB
A B
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Operaciones con eventos
“El evento AUB ocurre, si al menos uno de los dos eventos A ó B ocurren”.
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Propiedades de la unión.-1) AU Φ = A2) AUA = A3) AU = 4) AUB = BUA5) AU(BUC) = (AUB)UC
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Operaciones con eventos
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b) INTERSECCIÓN: La intersección de A y B, que se denota A∩B, es el evento
A∩B=w / wA y wB
A B
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A∩B
Operaciones con eventos
“El evento A∩B ocurre, si los dos eventos A y B ocurren”.
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Propiedades de la intersección.-1) A∩Φ=Φ2) A∩A=A 3) A∩=A4) A∩B=B∩A5) A∩(B∩C)=(A∩B)∩C6) (AUB)∩C =(A∩C)U(B∩C)7) (A∩B)UC =(AUC)∩(BUC)
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Operaciones con eventos
May 3, 2023 17May 3, 2023
Observación.-1. Si A∩B=Φ, se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes, incompatibles ó disjuntos.
B
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A
2. Si AB=Ω, se dice que A y B son eventos colectivamente exhaustivos.
AB
Operaciones con eventos
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c) COMPLEMENTO : El complemento de A, que se denota , se define como el evento formado por los elementos de que no están en A. También se le denomina evento opuesto o contrario.
= w / w A
A
A
A
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A
Operaciones con eventos
“El evento A ocurre, si el evento A no ocurre”.
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Propiedades del complemento.-1) Φ = 2) = Φ3) A = A4) AUB = A∩B5) A∩B=AUB
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Operaciones con eventos
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Operaciones con eventosd) DIFERENCIA: La diferencia de A y B, que se denota A-B, es el evento que está formado por todos los elementos que están en A pero no en B.
A-B=w / wA y wB= A∩B
A B
A-B = A∩B
“El evento A-B ocurre, si el evento A ocurre, pero el evento B no ocurre”. Es decir, si solamente A ocurre
Operaciones con eventos
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e) DIFERENCIA SIMETRICA: La diferencia simétrica de A y B, que se denota AB, es el evento formado por todos los elementos que están en A pero no en B ó los que están en B pero no en A.
A B=w / w(A-B) ó w(B-A)= (A-B)U(B-A) = (A∩B)U(B∩A)
= (AUB) – (A∩B)
A B
A-B = A∩B
“El evento AB ocurre, si ocurren solamente A ó solamente B”.
B-A = A∩B
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Observación: Partición de un espacio muestralUna sucesión de eventos E1, E2, ….., En, forman una partición de un espacio muestral , si:1.Son mútuamente excluyentes: Ei∩Ej = Φ, i≠j, y
2.Son colectivamente exhaustivos: υEi = Ω
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E1 E2 E3 En…..
Operaciones con eventos
Ω
Eventos o Sucesos (Resumen)Ω
ΩA
A’
Ω
A
B
Ω
A
B
Ω
A
B
UNIÓN INTERSECCION
Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (Ω).
Se llama evento a un subconjunto de dichos resultados. Se llama evento contrario (complementario) de un evento
A, A’, al formado por los elementos que no están en A. Se llama evento unión de A y B, AUB, al formado por los
resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos).
Se llama evento intersección de A y B, A∩B ó simplemente AB, al formado por los elementos que están en A y B.
Ejemplo: Si realizamos el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire, tenemos:
Puntos muestrales Wi : 1, 2, 3, 4, 5, 6
Espacio muestral Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Φ Evento imposibleΩ Evento seguro
3 Evento simple, unitario ó elementalEventos 1,2,3 Evento compuesto 4,5 Evento compuesto 2,4,6= 1,3,5 Evento complementario
. . . . . . .
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TÉCNICAS DE CONTEO2.1. Objetivo
Determinar el numero de maneras diferentes en que puede ocurrir un experimento aleatorio o un evento sin necesidad de enumerarlo explícitamente.
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2.2. Principio de la multiplicaciónSea un experimento ξ1 que puede ocurrir de m maneras diferentes y un experimento ξ2 que puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces: en total. los dos experimentos ξ1 y ξ2 ocurrirán de m x n maneras diferentes.Ejemplos: - Una computadora se ensambla en dos etapas, para la primera se tiene disponibles 6 líneas de armado, y para la segunda 5. ¿De cuantas maneras diferentes puede moverse el producto en el proceso de armado?
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TÉCNICAS DE CONTEO
- Suponga que tiene que viajar de la ciudad A a la ciudad C, pasando por la ciudad B. Para ir de A hacia B tiene que ser por vía terrestre y tiene disponibles 7 empresas, para ir de B hacia C debe ser por vía aérea y tiene dos líneas aéreas. ¿De cuántas formas diferentes puede viajar de la ciudad A hacia la ciudad C?
TÉCNICAS DE CONTEO2.2.1. Producto cartesiano Se utiliza para describir un espacio muestral generado por un experimento de la forma ξ1 y ξ2, que ocurre de m x n maneras diferentes.
Sea ξ1 1
Sea ξ2 2 ξ = ξ1 y ξ2 = 1 x 2
Ejemplo: Se lanza una moneda 3 veces, determinar el espacio muestral generado.Por el principio de la multiplicación, este experimento ocurre de: 2 x 2 x 2 = 8 maneras; y cada resultado es una terna ordenada.Sea ξ1 1 = C,SSea ξ2 2 = C,SSea ξ3 3 = C,S
ξ = ξ1 y ξ2 y ξ3 = 1 x 2 x 3
=(C,C,C),(C,C,S),(C,S,C),(S,C,C),(C,S,S),(S,C,S),(S,S,C),(S,S,S)
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TÉCNICAS DE CONTEO
Ejemplos: - Una persona desea adquirir un artefacto que se vende en cualquiera de 4 tiendas de la zona A de la ciudad o en cualquiera de 5 tiendas de la zona B. ¿De cuantas maneras diferentes puede adquirir el artefacto?
2.3 Principio de AdiciónEn total los dos experimentos ξ1 ó ξ2 (en el sentido excluyente) ocurrirán de m+n maneras diferentes.
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- Suponga que tiene que viajar de la ciudad A a la ciudad B, y tiene 5 empresas por vía terrestre y 3 líneas aéreas. ¿De cuántas formas diferentes puede realizar dicho viaje?
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2.4 PermutacionesSon arreglos de los elementos de un conjunto tomando en cuenta el orden en que ellos se ubican. 2.4.1 Permutaciones de los n elementos de un conjunto tomados todos
TÉCNICAS DE CONTEO
!nnP n
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Ejemplos: - De cuantas maneras se puede presentar 5 libros de una colección que se compone de 5 libros.-De cuántas formas pueden ubicarse 6 personas en la cola de atención de la ventanilla de un banco?. ¿y si dos de ellas desean estar juntas?. ¿De cuántas formas, si tres de ellas no desean estar juntas?
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Ejemplos: −De cuántas maneras se puede presentar 4 cuadros de una colección que se compone de 12 cuadros.−Cuántos números de 4 cifras diferentes y mayores que 5000, se pueden formar con los siguientes dígitos : 1, 3, 4, 6,7 y 9.−Cuántos números de 4 cifran pueden formarse con los dígitos 0,1,.,9 si:
o Se permite las repeticiones. o No se permite las repeticiones. o El último dígito debe ser cero y no se permite las
repeticiones.
)!(!kn
nPnk -=
2.4.2 Permutaciones de n elementos tomados k
TÉCNICAS DE CONTEO
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2.4.3 Permutaciones con ReposiciónSi un experimento ε puede ocurrir de n maneras
diferentes y se ha de repetir k veces, entonces el numero de maneras que puede ocurrir ξ en las k repeticiones es nk.Ejemplos:
-Para un análisis estadístico se debe tomar una muestra de tamaño 3 a una población de 20 elementos. ¿cuántas muestras diferentes se podrá tomar si la selección se hace con reposición?-Con los dígitos 1, 2, 3, 4 ,5 y 6 ¿Cuántos números posibles de tres cifras se pueden formar?, si i) Cada número se usa una sola vez. ii) cada número puede usarse mas de una vez.-Se lanza una moneda 3 veces, determinar el número de elementos que tiene el espacio muestral generado.
TÉCNICAS DE CONTEO
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2.4.4 Permutaciones por gruposSi un conjunto tiene n resultados agrupados en n1, n2, …..,
nk elementos similares, entonces el numero de maneras diferentes en que pueden ser ordenados es:
!n ... !n !nn!P
k21
nn,...,n,n k21
Ejemplo: -¿Cuántas palabras diferentes pueden formarse con las letras de la palabra BIOLOGIA?-En una urna se tiene: 2 bolillas rojas, 3 bolillas verdes y 4 bolillas negras. De cuántas maneras diferentes puede agrupar dichas bolillas?
TÉCNICAS DE CONTEO
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2.5 CombinacionesSon arreglos de los elementos de un conjunto sin
tomar en cuenta el orden en que ellos se ubiquen.
k)!-(n k!n!
kn
C nk
Ejemplos: -¿Cuantos grupos de 3 alumnos se pueden formar de un total de 30 alumnos?-Si en un grupo de 9 personas se encuentran 4 administradores, 3 ingenieros y 2 economistas. Determine cuántos equipos de tres personas se pueden formar. ¿Y si el equipo debe tener una persona de cada especialidad?. ¿Y si en el equipo debe haber 2 administradores?. ¿En cuentos de estos equipos se tiene por lo menos 2 administradores?
TÉCNICAS DE CONTEO
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PROBABILIDAD
Es un número entre 0 y 1 inclusive, que mide la creencia ó “posibilidad” de ocurrencia de un evento específico, que es el resultado de un experimento.
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0P[ocurra un evento]1
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Enfoques de la probabilidadProbabilidad Clásica
Ej. Se lanza un dado “legal”. Cual es la probabilidad que el resultado sea un número par.
) n(Ωn(E)
posibles casos#Edefavoracasos#P(E)
PROBABILIDAD
2
43
5 6
1 E
5.063)( EP
Concepto de Frecuencia RelativaProbabilidad de un evento (o suceso), es la frecuencia relativa, ó (%) de veces que ocurriría el evento (o suceso) al realizar un experimento repetidas veces.
PROBABILIDADEnfoques de la probabilidad
Estudiantes según Carrera - FACEE – URP -
Facultad fj hj(%)
Administración 44944,90
%
Contabilidad 38738,70
%
Economía 16416,40
%
T o t a l 1000100,00
%nflimhlimP(E) E
nEn
Probabilidad Subjetiva• Es asignado en base a cualquier información que se
disponga.• La probabilidad refleja el grado de seguridad (creencia)
de que un evento ocurra
PROBABILIDADEnfoques de la probabilidad
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Axiomas de probabilidad
( ) 0P E ( ) 1P
( ) ( ) ( ) :P EU F P E P F si E F
4) Si E1, E2, E3, E4,...,En, es una sucesión de eventos disjuntos dos a dos, entonces:
n
i
n
i
EiPEiP11
)()(
PROBABILIDAD
3)
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1)
2)
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Teoremas de Probabilidad
2)
0 ( ) 1P E
( ) ( ) ( ) ( )P EU F P E P F P E F
( ) 1 ( )cP E P E
( ) ( ) ( )P E F P E P E F
( ) ( )Si E F P E P F
PROBABILIDAD
3)4)5)6)
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1)0) P(Φ
Probabilidad del Complemento
100601)(
10060100)(
AP
AP
En un salón de 100 alumnos, 60 son mayores de edad ¿Cuál es la probabilidad de escoger al azar un estudiante que no sea mayor de edad?En este caso:El experimento ξ: Seleccionar al azar un estudiante , y el evento A, es tal que: A : El estudiante seleccionado es mayor de edad
6040A
A
n(Ω)=100
4.010040)( AP
O, según el teorema:
4.010040
100601
)()(1)(1)(
n
AnAPAP
Si además en el aula hay 50 estudiantes hombres, de los que 25 son mayores de edad; ¿cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un estudiante que sea mayor de edad o mujer?
Probabilidad de la Unión
Sea el evento B: la estudiante seleccionada es una mujer
15
75.0100
75
100
155352
)n(
n(AUB)P(AUB)
A
B
35
2525
Probabilidad de la Unión
P(AB)=P(A)+P(B)–P(AB)
A
B50
60
35
75.010075
10035
10050
10060
(AUB) P
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un estudiante que no sea mayor de edad ó no sea mujer?
)(1)()( BAPBAPBAP
65.035.01)( BAP
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un estudiante que no sea ni mayor de edad ni mujer?
)(1)()( BAPBAPBAP
25.075.01)( BAP
Probabilidad con leyes de Morgan
PROBABILIDAD DE UN EVENTOESPACIOS MUESTRALES FINITOS
Sea ξ Ω=w1, w2, ........, wn y sea E ⊂ Ω, un evento de Ω P(E)= ?Pueden darse las siguientes situaciones:A. Si E está constituido por un solo elemento (Evento simple):
E = wi; i = 1, 2, ......, n.A cada evento elemental E=wi le asignamos un número real pi=Pwi, llamado probabilidad del evento wi, que satisface:
i) pi ≥ 0 ; i = 1,2, ....., n
ii)p1 + p2 + ... + pn = 1
n
1i ιp
B. Si E está constituido por k resultados (1 ≤ k ≤ n), digamos E = wj1, wj2, ........, wjk; j1. j2, .... ,jk, representa cualquier índice k de 1 á n.De modo que:P(E) = P(wj1, wj2, ........, wjk); es decir:P(E) = P(wj1wj2 ........ wjk)
P(E) = P(wj1)+P(wj2 )+ ........ +P(wjk); de donde:
P(E) = pj1+pj2+...+pjk
PROBABILIDAD DE UN EVENTOESPACIOS MUESTRALES FINITOS
n1i jip
Ejemplo: Suponga que un experimento tiene sólo 3 resultados posibles (w1, w2 y w3). Suponga además que la ocurrencia de W1 es dos veces mas probable que la de W2, la cual es tres veces mas probable que w3. Hallar pi=P(wi) ; i=1, 2, 3.En este caso:
ξ Ω = w1, w2, w3, además:p1 = 2p2 y p2 = 3p3, Pero como: p1 + p2 + p3 = 1, se tiene que: 6p3 + 3p3 + p3 = 1; de modo que:p1 = 6/10; p2 = 3/10 y p3 = 1/10
ESPACIOS MUESTRALES FINITOSPROBABILIDAD DE UN EVENTO
Suposición frecuente: Todos los resultados son igualmente probablesSea: E =wj1, wj2, ........, wjk un evento de Ωentonces ocurre que:
P(Ω) = P(w1, w2, ........, wn)=1 = P(w1)+ P(w2)+....+
P(wn)=1ó, lo que es lo mismo: p1+p2+... +pn=1Pero, si ocurre que: p1 = p2= .... = pn = p; entonces se tiene que: np = 1 es decir: p = 1/n ; i =1, 2, ..., nDe modo que: P(E) = P(wj1, wj2, ........, wjk)
= p1+p2+......+pk=kpEs decir: P(E) = k/n
PROBABILIDAD DE UN EVENTOESPACIOS MUESTRALES FINITOSResultados igualmente probables
Probabilidad CondicionalSe lanza un dado ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor de 4 SI sabemos que el número que ha salido es par?
¿Entre cuántos puntos muestrales se debe escoger?
A: obtener un número parB: obtener un número menor de 4. P(B/A)
31
2
46
AB
5
24
63
5
1A
B
y, si dividimos el numerador y denominador por n(Ω), obtenemos:
Sólo entre tres: el número de puntos del evento A
Probabilidad Condicional
31)/( ABP
)()()/(
AnABnABP
Pero:
)()(
)()()/(
APBAP
APABPABP
Probabilidad de Intersección¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par Y menor de 4?A: obtener un número parB: obtener un número menor de 4.
P(AB)
24
63
5
1A
B
3/16/36/1
)()()/(
APBAPABP
y además:
61)( BAP
Que es idéntico al resultado obtenido en el caso anterior
De lo anterior.....
P(B/A)= P(BA)P (A)
P(A/B)= P(AB)P (B )
P( AB ) = P(A)P(B/A)= P(B)P(A/B)
MULTIPLICACION DE PROBABILIDADES
Probabilidad condicionalSe llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que ocurrió B:
)()()|(
BPBAPBAP
“tam
año”
de
uno
resp
ecto
al
otro
Error muy frecuente:- No confundir probabilidad condicionada con
intersección.- En ambos medimos efectivamente la intersección,
pero…• En P(A∩B) con respecto a P(Ω)=1• En P(A|B) con respecto a P(B)
A
E espacio muestral
B
Intuir la probabilidad condicionada
B
A
P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,10
B
A
¿Probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B?P(A|B)=1 P(A|B)=0,8
P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,08
Intuir la probabilidad condicionada
A
B
A
B
¿Probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B?P(A|B)=0,05 P(A|B)=0
P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,005
P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0
Cualquier problema de probabilidad puede resolverse en teoría, mediante aplicación de los axiomas. Sin embargo, es más cómodo conocer algunas reglas de cálculo:
– P(A’) = 1 - P(A)– P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)– P(AB) = P(A) P(B|A)
= P(B) P(A|B)Probabilidad que ocurran los eventos A y B, es igual a
la probabilidad que ocurra A y que también ocurra B, sabiendo que ocurrió A.
Algunas reglas de cálculo prácticas
• Dos eventos son independientes si el que ocurra uno, no añade información sobre el otro. Es decir, la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia del otro.
• A es independiente de B P(A|B) = P(A) P(AB) = P(A) P(B)
Independencia de eventos
• Si A y B son dos eventos independientes definidos en un mismo espacio muestral, entonces se cumple que:
i) P(A∩B) = P(A) P(B)Además, son independientes también los siguientes
eventos:ii)A y B’ P(A∩B’) = P(A) P(B’) iii)A’ y B P(A’∩B) = P(A’) P(B) iv)A’ y B’ P(A’∩B’) = P(A’) P(B’)
Ejemplo (I)
• Se ha repetido en 1000 ocasiones el experimento de elegir a una estudiante mujer de la población de estudiantes de la FACEE-URP. El resultado está en la tabla.
• ¿Cuál es la probabilidad de que una estudiante mujer sea estudiante de Economía?– P(E)=64/1000=0,064=6,4%– Noción frecuentista de probabilidad
NO SIADMINISTRACION 189 280 469CONTABILIDAD 108 359 467ECONOMIA 6 58 64
TOTAL 303 697 1000
CLASIFICACION MAYOR DE 21 AÑOS TOTAL
Ejemplo (II)
¿Probabilidad de estudiar Contabilidad o EconomíaP(CUE)=467/1000+64/1000=0,531
Estudiar Contabilidad y estudiar Economía son eventos disjuntos Es decir: C∩E=ɸ
P(C∩E) = 0¿Probabilidad de estudiar Economía o ser mayor de 21 años?
P(EUM)=64/1000+697/1000-58/1000=0,703 Estudiar Economía y ser mayor de 21 años No son eventos
disjuntos Es decir: E∩M≠ɸ ¿Probabilidad que una mujer estudie Administración?
P(A)=469/1000=0,469P(A)=1-P(A’)=1-P(CUE) =1-0,531=0,469
NO SIADMINISTRACION 189 280 469CONTABILIDAD 108 359 467ECONOMIA 6 58 64
TOTAL 303 697 1000
CLASIFICACION MAYOR DE 21 AÑOS TOTAL
Ejemplo (III)
Si es mayor de 21 años… ¿probabilidad de estudiar economía?P(E|M)=58/697=0,098
¿Probabilidad de ser mayor de 21 años y estudiar Economía?P(M∩E) = 58/1000=0,058
Otra forma:P(M∩E)= P(M)xP(E/M)
NO SIADMINISTRACION 189 280 469CONTABILIDAD 108 359 467ECONOMIA 6 58 64
TOTAL 303 697 1000
CLASIFICACION MAYOR DE 21 AÑOS TOTAL
058,01000
58
697
58*
1000
697
Ejemplo (IV)
¿Son independientes mayor de 21 años y estudiante de Economía?Una forma:
P(E)=64/1000=0,064P(E/M)=58/697=0,098
La probabilidad de estudiar economía es mayor si ha ocurrido que la persona es mayor de 21 años. En este caso, se añade información extra, luego ¡ No son independientes!
NO SIADMINISTRACION 189 280 469CONTABILIDAD 108 359 467ECONOMIA 6 58 64
TOTAL 303 697 1000
CLASIFICACION MAYOR DE 21 AÑOS TOTAL
Otra forma:P(M∩E)=58/1000 = 0,058P(M)xP(E)=(697/1000)x(64/1000) = 0,045
La probabilidad de la intersección no es igual al producto de probabilidades, luego, ¡No son independientes!.
Sistema exhaustivo y excluyente de eventos
Son una colección de eventos:
A1, A2, A3, A4…Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas.¿Recuerda cómo son los intervalos en tablas de frecuencias?
A1 A2
A3 A4
Eventoseguro
A1
A2
A3
A4
Divide y vencerás
A1 A2
A3 A4
B
Todo evento B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema.B = (B∩A1)U(B∩A2)U(B∩A3)U(B∩A4)
Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples. Es cierto, Funciona.
Eventoseguro
A1
A2
A3
A4
B
B
B
B
Teorema de la probabilidad totalA1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de eventos, entonces podemos calcular la probabilidad de B.
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + P(B∩A3) + P(B∩A4) =P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ …
Eventoseguro
A1
A2
A3
A4
B
B
B
B
P(A1)P(A2)P(A3)
P(A4)
P(B|A1)
P(B|A2)
P(B|A3)
P(B|A4)
Ejemplo (I): En una aula, el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%.
•¿Qué porcentaje de fumadores hay?– P(F) = P(M∩F) + P(H∩F)
= P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)=0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2
= 0,13 13%
T. Prob. Total.Hombres y mujeres forman un sistema exhaustivo y excluyente de eventos
Estudiante
MujerNo fuma
Hombre
Fuma
No fuma
Fuma
0,70,1
0,20,3
0,8
0,9
Las rutas a través de nodos representan intersecciones. Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.
Teorema de Bayes
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de eventos, entonces……si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.
donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:
P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 ) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …
P(B))AP(B /B)P(A i
i
Ejemplo (II): En esta aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.¿Qué porcentaje de fumadores hay?
P(F) = =0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 = 0,13 (Resuelto antes)Se elije a un individuo al azar y es… fumador¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?
No fuma
Fuma
Estudiante
MujerNo fuma
HombreFuma
0,7
0,1
0,20,3
0,8
0,9
46,013,0
2,03,0)(
)|()()(
)()|(
FP
HFPHPFP
FHPFHP