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Tema 6. FuncionesTema 6. Funciones1. Tipos de funciones:1. Funciones Polinómicas
1.1. Lineales1.2. Parabólicas1.3. Otros grados
2. Funciones Racionales2.1. Hipérbolas
3. Funciones Radicales4. Funciones exponenciales5. Funciones logarítmicas
Aspectos a estudiar1. Dominio2. Cortes con los ejes3. Asíntotas4. Monotonía y curvatura
2. Límites, asíntotas y continuidad3. Derivadas
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1. Funciones lineales
● Son polinomios de grado 0 ó 1:● La representación gráfica siempre es una recta● Dominio: en las polinómicas, si el contexto del problema no impone ninguna
restricción, el dominio es ℝ● Corte en el eje X:● Corte en el eje Y:● Asíntotas: las funciones ● Monotonía: m es la inclinación de la recta
● Si m = 0, la función es constante● Si m > 0, la función es creciente● Si m < 0, la función es decreciente
● Curvatura: la función es recta
y=f (x )=mx+n
Dom(f )=ℝ
y=0 → x=−nm
x=0 → y=n
polinómicas no tienen
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2. Funciones parabólicas
● Son polinomios de grado 2:● La representación gráfica siempre es una parábola● Dominio: en las polinómicas, si el contexto del problema no impone ninguna
restricción, el dominio es ℝ● Corte en el eje X:
● Corte en el eje Y:● Asíntotas: las funciones
● Monotonía: Vértice:
● Si a > 0, decreciente en (-∞ , v1) y creciente en (v1 , +∞)
● Si a < 0, creciente en (-∞ , v1) y decreciente en (v1 , +∞)
● Curvatura:● Si a > 0 , convexa● Si a > 0 , cóncava
y=f (x )=ax2+bx+c
Dom(f )=ℝ
y=0 → x={x1
x2
se resuelve laecuación
x=0 → y=c
polinómicas no tienen
v1=−b2a
; v2 : se sustituye v1 en la función
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Ejemplos
x: altura ; y: temperatura. Expresión analítica:● Dominio: [0 , 800]● Corte en eje X: y = 0 ; x = 1800 Se sale del dominio● Corte en eje Y: x = 0 ; y = 10● Asíntotas: no tiene (polinómica)● Monotonía: decreciente (m < 0)● Tabla de valores:
y=10−1
180x
x y
0 10800 5,6
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Ejemplos
t (x): horas abierta ; N (y): clientes.● Dominio: [0 , ?]● Corte en eje X: y = 0 ; x1 = 0 ; x2 = 8 . Dominio = [0 , 8]
● Corte en eje Y: x = 0 ; y = 0● Asíntotas: no tiene (polinómica)● Monotonía: Vértice: v1 = 4 ; v2 = 160
● Creciente: (0 , 4)● Decreciente: (4 , 8)
● Cóncava (a < 0)● Tabla de valores:
x y
0 08 0
4 160
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3. Otras polinómicas● Polinomios de grado >2:● Dominio: en las polinómicas, si el contexto del problema no impone ninguna
restricción, el dominio es ℝ● Corte en el eje X:
● Corte en el eje Y:● Asíntotas: las funciones polinómicas no tienen.
● Tendencias:
● Monotonía:
●
●
● Curvatura:
● ●
Dom(f )=ℝ
y=0 → x : se resuelve laecuación . Factor común ,bicuadrada , Ruffini , ...
x=0 → y=c (término independiente)
f ' (x)=0 . Se resuelve la ecuación y se calculan los intervalos de monotonía y los extremos (máximos y mínimos)
f ' (x)>0 → f creciente
f ' (x )<0 → f decreciente
f ' ' (x )=0 . Se resuelve la ecuación y se calculan los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión
f ' ' (x )>0 → f convexa
f ' ' (x )<0 → f cóncava
limx→+∞
f (x ) , limx→−∞
f (x )
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Ejemplos● Dominio: ℝ● Corte en eje X: y = 0 ; x1 = 0 ; x2 = +3,46 ; x3 = -3,46
● Corte en eje Y: x = 0 ; y = 0● Asíntotas: no tiene (polinómica). ● Monotonía:
f (x)=x3−12 x
f ' (x )=3 x2−12 ; f '=0 → x=±2
-2 2f'
+ +-
-2 2f
● Creciente: (-∞ , -2) , (2 , +∞)● Decreciente: (-2 , 2)● Máximo: (-2 , 16)● Mínimo: (2 , -16)
● Curvatura:
limx→+∞
f (x)=+∞ ; limx→−∞
f (x)=−∞
f ' ' (x )=6 x f ' '=0 → x=0
0f’'
- +
f0
● Cónvava: (-∞ , 0)● Convexa: (0 , +∞)● Punto de inflexión: (0 , 0)
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4. Funciones hiperbólicas
● Son fracciones entre dos lineales ● La gráfica siempre es una hipérbola● Dominio:
f (x )=ax+bcx+d
; c≠0
cx+d=0 → x=−dc
→ Dom=ℝ−{−dc
}
● Corte en X: y=0 → ax+b=0 → x=−ba
● Corte en Y: x=0 → y=bd
● Asíntotas: Siempre tienen dos● Vertical: lim
x→−dc
f (x)=±∞ → Asíntota vertical en x=−dc
● Horizontal: limx→±∞
f (x)=ac
→ Asíntota horizontal en y=ac
● Se puede hacer una tabla de valores si se considera conveniente● Monotonía: Siempre creciente, o bien, siempre decreciente● Curvatura: Siempre cóncava hasta la asíntota vertical y convexa
a partir de ella, o bien al revés
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Ejemplos
● Dominio:
f (x)=x−3
2 x−1
● Creciente: (-∞ , 1/2) , (1/2 , +∞)● Máximos o mínimos no tiene
● Corte en X:
limx→+∞
f (x )=12
; limx→−∞
f (x )=12
● Convexa: (-∞ , 1/2)● Cóncava: (1/2 , +∞)● Punto de inflexión: no tiene
2 x−1=0 → x=12
→ Dom(f )=ℝ−{12
}
y=0 → x−3=0 → x=3● Corte en Y: x=0 → y=3● Asíntota Horizontal: Asínt Hor en y=1
2
limx→
12
−f (x)=+∞ ; lim
x→12
+f (x )=−∞● Asíntota Vertical: Asínt Ver en x=
12
● Con esto ya podemos hacer la gráfica:
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Ejemplos
● Se trata de una hipérbola: T (x)=4 x+12x
● Dominio: x es el número de intentos, por tanto: DomT (x)=(0,+∞)
● Corte en X: y=0 → x=−3 → Nohay punto de corte● Corte en Y: x=0 → No hay punto de corte
limx→+∞
f (x )=4● Asíntota Horizontal: Asínt Hor en y=4
limx→0+
f (x )=+∞● Asíntota Vertical: Asínt Ver en x=0
x y
1 1610 5,2
● Tabla de valores ● Decreciente: (0 , +∞)● Máximos o mínimos no tiene● Convexa: (0 , +∞)● Punto de inflexión: no tiene
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Ejemplo 1:
5. Otras racionales● Son fracciones entre dos polinomios
f (x )=x
x2−4
x2−4=0 → x=±2 → Dom=ℝ−{±2}● Corte en X: y=0 → x=0● Corte en Y: x=0 → y=0● Asíntotas Hor.:
limx→−2
f (x )=(−20 )=±∞ → Asíntota vertical en x=−2
limx→±∞
f (x)=0 → Asíntota horizontal en y=0
● Monotonía:
● Dominio:
● Asíntotas Ver.:
limx→2
f (x )=( 20 )=±∞ → Asíntota vertical en x=2
f ' (x )=−x2−4
(x2−4)
2; f '=0 → x=∄
-2 2f'
- --
-2 2f
● Decreciente: (-∞ , -2) , (2 , +∞) , (-2 , 2)
● Máximo o mínimos: No tiene
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● Curvatura:f ' ' (x )=
2 x3+24 x
(x2−4)
3; f ' '=0 → x=0
-2 2f’'
- ++
-2 2f
0
0
-● Cónvava: (-∞ , -2) , (0 , 2)● Convexa: (-2 , 0) , (2 , +∞)● Punto de inflexión: (0 , 0)
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Ejemplo 2: f (x )= 2 x2
x2+4
x2+4=0 → x=∄ → Dom=ℝ● Corte en X: y=0 → x=0● Corte en Y: x=0 → y=0● Asíntotas Hor.:
No tiene
limx→±∞
f (x)=2 → Asíntota horizontal en y=2
● Monotonía:
● Dominio:
● Asíntotas Ver.:
f ' (x )=16 x
(x2+4)
2 ; f '=0 → x=0
0f'
- +
f
● Decreciente: (-∞ , 0)● Creciente: (0 , +∞ )● Mínimo: (0 , 0)
0
f ' ' (x )=−48 x2
+64
(x2+4)
3 ; f ' '=0 → x=±√ 43
-√4/3f’'
- -+
f
● Cónvava: (-∞ , -√4/3) , (√4/3 , + ∞)● Convexa: (-√4/3 , √4/3)● Puntos de inflexión: (-1,15 ; 0,5) y
(1,15 ; 0,5 )
● Curvatura:
√4/3
-√4/3 √4/3
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6. Funciones radicales
Ejemplo:
● Aparecen raíces. Lo principal es estudiar bien el dominio
f (x )=√4−x
4−x=0 → x=4 → Dom=(−∞ ,4 ]
● Corte en X: y=0 → x=4● Corte en Y: x=0 → y=2● Asíntotas Hor.:
limx→4
f (x )=0 → Punto cerrado (4 ,0)
limx→−∞
f (x)=+∞ → Rama infinita
● Monotonía:
● Dominio:
● Asíntotas Ver.:
f ' (x )=−1
2√4−x; f '=0 → x=∄
f'
f
● Decreciente: (-∞ , 4)● Mínimo: (4 , 0)
4
+ -
4
-
4
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● Curvatura: f ' ' (x )=
−14 (4−x)√4−x
; f ' '=0 → x=∄
f'’
f
4
-
4
● Cóncava: (-∞ , 4)● Puntos inflexión: No tiene
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7. Funciones exponenciales
Ejemplo:
● Base constante, exponente variable.
f (x )=2x−3
● Corte en X: y=0 → x=log2 0 → x=∄
● Corte en Y: x=0 → y=18
● Asíntotas Hor.:
No tiene
limx→+∞
f (x)=+∞ → Rama infinita
● Monotonía:
● Dominio: Si no hay problemas en el exponente Dom = ℝ
● Asíntotas Ver.:
f ' (x )=2x−3 · ln 2 ; f '=0 → x=∄
f'
f
● Creciente: ℝ● Máximos o mínimos: No hay
+
f (x)=ax
Dom(f )=ℝ
limx→−∞
f (x)=0 → Asínt Hor y=0
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● Curvatura: f ' ' (x )=2x−3 ·( ln 2)2 ; f ' '=0 → x=∄
f’'
f
● Convexa: ℝ● Punto inflexión: No hay
+
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8. Funciones logarítmicas
Ejemplo:
● f (x )=log5(x−1)
● Corte en X: y=0 → x−1=50=1 → x=2● Corte en Y: x=0 → ∄
● Asíntotas Hor.: limx→+∞
f (x)=+∞ → Rama infinita
● Monotonía:
● Dominio:
● Asíntotas Ver.:
f ' (x )=1
(x−1)· ln 5; f '=0 → x=∄
f'
f
● Creciente: (1 , +∞)● Máximos o mínimos: No hay
+
f (x)=loga x
limx→−∞
f (x)= ∄
x−1=0 → x=1 → Dom=(1 ,+∞)1
- +
limx→1+
f (x )=−∞ → As . Vert . x=1
1
1
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● Curvatura: f ' ' (x )=−1
( x−1)2· ln5
; f ' '=0 → x=∄
f’'
f
● Cóncava: (1 , +∞)● Puntos inflexión: No hay
-
1
1
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9. Derivadas9. Derivadasf (x)=k f ' (x )=0
f (x )=x f ' (x )=1
f (x)=xn f ' (x )=nxn−1
f (x )=un f ' (x )=nun−1 ·u '
f (x)=kx f ' (x )=k
f (x )=k·u f ' (x )=k·u '
f (x)=ex f ' (x )=ex
f (x )=eu f ' (x )=eu ·u '
f (x)=√x (=x12 ) f ' (x )=
12√x
f (x )=√u f ' (x )=u '
2√u
f (x)=ax f ' (x )=ax · ln a
f (x )=au f ' (x )=au · u ' · lna
Ejemplos
f (x )=3 x f ' (x )=3
f (x )=3( x−3) f ' (x )=3
f (x )=x4 f ' (x )=4 x3
f (x )=(5−x )3
f ' (x )=3(5−x)2 ·(−1)=−3(5−x)2
f (x )=√x3+2 x f ' (x )=3 x2+2
2√x3+2 x
f (x)=ex2−1 f ' (x )=ex2
−1 ·2 x
f (x )=32−x2
f ' (x )=32−x2
·(−2 x)· ln 3
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Ejemplosf (x )=ln x f ' (x )=
1x
f (x )=lnu f ' (x )=u 'u
f (x )=u·v f ' (x )=u ' · v + u · v '
f (x )=uv
f ' (x )=u ' · v − u · v '
v2
f (x )=ln (4 x+x3) f ' (x )=4+3 x2
4 x+x3
f (x )=(x−x2)· ex
f ' (x )=(1−2 x)· ex+(x−x2)· ex=
=(1−x−x2)· ex
f (x )=x−1x−5
f ' (x )=1 ·(x−5) − (x−1) ·1
(x−5)2 =
=−4
( x−5)2
f (x )=1v
f ' (x )=−v '
v2 f (x )=1
x2f ' (x )=
−2 x
x4 =−2
x3
f (x )=logau f ' (x )=u '
u·ln af (x )=log3(−3 x) f ' (x )=
−3−3 x·ln3
=
=1
x·ln3