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Technische Universität WienInstitut für Mechanik und Mechatronik, E 325
Abteilung für Regelungstechnik und
Prozessautomatisierung
Wiedner Hauptstr. 81040 Wien
VU 325.006, SS 2009Grundlagen der Regelungstechnik
2. Übungseinheit: Funktionsbeschreibung, Laplace-Transformation
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2
Überblick
• Organisatorisches
• Zusammenfassung der relevanten Inhalte– Laplace-Transformation– Funktionsbeschreibung
• Rechenaufgaben– A1: Laplace-Transformation – Funktionsbeschreibung– A2: Übertragungsfunktion – Differentialgleichung – A3: Laplace-Transformation – Rücktransformation
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3
Organisatorisches
• Nächste RU– MI, 22.04.2009– Nächste Woche: Vorlesung!
• 1.Hausübung– Angabe:
• bis spätestens Ende der Woche im TUWEL
– Abgabe: • bis spätestens DI, 21.04.2009 • ausschließlich über TUWEL• korrekt• vollständig (Rechenweg!) • gut lesbar (gute Scans, keine Fotos)
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4
Aufgabe1: Laplace-Trafo, Funktionsbeschreibung
Geg: Funktionsverlauf u(t)
Aufgaben:
a)Funktionsbeschreibung von u(t) im Zeitbereich
b)Laplace-Transformierte U(s) von u(t)
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5
Funktionsbeschreibung
• Einheitssprung (t)– Definition:
– Anwendungsbeispiel:
1)(:0
0)(:0
tt
tt
t
u(t)
(t)1
t
u(t)
2
1
)1(2)( ttu
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6
Funktionsbeschreibung
• Einheitsrampe (t)– Definition:
– Anwendungsbeispiel:
ttt
tt
)(:0
0)(:0
)(2
1)( ttu
t
u(t) (t)
1 1=k
1
t
u(t)
1 12
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7
Funktionsbeschreibung
• Exponentialfunktion
t
u(t)
1
ate
ate
)1( ate
T
)(t)(t
)(t
atetu )(ateatu )(
Tatu
1)0(
T
t
etuT
a
)(1
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Aufgabe 1a)
8
2
3
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• Anwendung in der Regelungstechnik
• Definition L-Transformation:
• Rücktransformation:
Laplace-Transformation
9
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Aufgabe 1b)
• Korrespondenztabelle der Laplace-Transformation
10
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Aufgabe 1b)
• Zeitverschiebungssatz der Laplace-Transformation
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Aufgabe 1b)
• Korrespondenztabelle der Laplace-Transformation
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Zusammenfassung Aufgabe 1
• Funktionsbeschreibung– Zerlegung in einfache Teilsignale– Ablesen der Parameter der Teilsignale
• Sprunghöhen• Rampen- bzw. Tangentensteigungen• Totzeitzeiten
– Sicherstellen, dass Signale vor Einsatzzeitpunkt = 0!• Gegebenenfalls Multiplikation mit Einheitssprung!
• Laplace-Transformation– Transformation der einzelnen Teilsignale– Verwendung der Korrespondenztabelle– Verwendung der Zeitverschiebungssatzes– Direkte Berechnung aus der Definition der L-Trafo
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Aufgabe 2: Übertragungsfunktion – Differentialgl.
Geg: Übertragungsfunktion mit Totzeit
Aufgabe:• Berechnung der Eingangs-/Ausgangs-DGL
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Aufgabe 2
• Übertragungsfunktion G(s)– Systemgleichung (DGL)
– Verschwindende Anfangsbedingungen– Definition von G(s)
• Repräsentation des Übertragungssystems:
15
U(s) Y(s) G(s)
Bild 4.1
Y(s) G(s)U(s)
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16
Zusammenfassung Aufgabe 2
• Differentialgleichung aus Übertragungsfunktion– Herstellen des Zusammenhangs zwischen
• Übertragungsfunktion • Ein- & Ausgängen
– Ausmultiplizieren– Rücktransformation der einzelnen Glieder
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17
Aufgabe 3: Laplace-Trafo - Rücktransformation
Geg: Einmassenschwinger
Aufgaben:a) L-Trafo, X(s) mit f(t) = -e-at
b) x(0+), x(t ∞) mit Endwertsätzenc) x(t) durch Rücktransformation mithilfe von
– Partialbruchzerlegung– Faltungssatz
d) Direkte Lösung des Anfangswertproblems (optional)
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Aufgabe 3a) + b)
• Differentiationssatz der Laplace-Transformation
• Grenzwertsätze der Laplace-Transformation
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Aufgabe 3c)
• Korrespondenztabelle der L- Trafo
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Aufgabe 3c)
• Limesmethode zur Partialbruchzerlegung– Einfache reelle Pole:
– 2-fache reelle Pole:
– Konjugiert komplexe Pole:
20
))((lim pssXAps
)()(
lim psds
sdXR
ps
))()((lim 2111
pspssXCBspsps
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Aufgabe 3c)
• Faltungssatz der Laplace-Transformation
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Zusammenfassung Aufgabe 3
• L-Trafo– Beachtung der Anfangsbedingungen!
• Endwerte– Berechnung möglich ohne Kenntnis der Funktion im
Zeitbereich
• Rücktransformation– Partialbruchzerlegung
• Koeffizientenvergleich• Limesmethode
– Intelligenter Einsatz der Korrespondenztabelle– Faltungssatz
• Direkte Lösung der DGL zum Vergleich
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Nächste RU: 22.04.2009