Universidade Federal de Sao CarlosDepartamento de Engenharia de Producao
Topicos Avancados em PCSP
Otimizacao Contınua e Discreta
PPGEP - Semestre 01/2018Prof. Dr. Pedro Munari ([email protected])
Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Otimizacao Contınua e Discreta (Prof. Pedro Munari, [email protected])
Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Objetivos da aula de hoje
I Aprofundar nosso estudo em dualidade;
I Compreender o conceito de interpretacao economica;
I Estudar as condicoes de otimalidade;
I Introducao ao metodo simplex.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Aula anterior...
I Notacao matricial, forma padrao e metodo grafico;
I Teoria: Hiperplano e semi-espaco; poliedro e politopo; raio e raio de
subida/descida; funcao convexa, conjunto convexo e envoltorio
convexo;
I Dualidade: Problema dual, tabela de conversao e teoria Lagrangiana;
I Teoremas fundamentais em dualidade:
I Dualidade fraca e forte;
I Teorema das folgas complementares;
I Lema de Farkas.
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Aula anterior...
I Notacao matricial, forma padrao e metodo grafico;
I Teoria: Hiperplano e semi-espaco; poliedro e politopo; raio e raio de
subida/descida; funcao convexa, conjunto convexo e envoltorio
convexo;
I Dualidade: Problema dual, tabela de conversao e teoria Lagrangiana;
I Teoremas fundamentais em dualidade:
I Dualidade fraca e forte;
I Teorema das folgas complementares;
I Lema de Farkas.
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Aula anterior...
I Notacao matricial, forma padrao e metodo grafico;
I Teoria: Hiperplano e semi-espaco; poliedro e politopo; raio e raio de
subida/descida; funcao convexa, conjunto convexo e envoltorio
convexo;
I Dualidade: Problema dual, tabela de conversao e teoria Lagrangiana;
I Teoremas fundamentais em dualidade:
I Dualidade fraca e forte;
I Teorema das folgas complementares;
I Lema de Farkas.
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I Notacao matricial, forma padrao e metodo grafico;
I Teoria: Hiperplano e semi-espaco; poliedro e politopo; raio e raio de
subida/descida; funcao convexa, conjunto convexo e envoltorio
convexo;
I Dualidade: Problema dual, tabela de conversao e teoria Lagrangiana;
I Teoremas fundamentais em dualidade:
I Dualidade fraca e forte;
I Teorema das folgas complementares;
I Lema de Farkas.
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I Notacao matricial, forma padrao e metodo grafico;
I Teoria: Hiperplano e semi-espaco; poliedro e politopo; raio e raio de
subida/descida; funcao convexa, conjunto convexo e envoltorio
convexo;
I Dualidade: Problema dual, tabela de conversao e teoria Lagrangiana;
I Teoremas fundamentais em dualidade:
I Dualidade fraca e forte;
I Teorema das folgas complementares;
I Lema de Farkas.
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I Notacao matricial, forma padrao e metodo grafico;
I Teoria: Hiperplano e semi-espaco; poliedro e politopo; raio e raio de
subida/descida; funcao convexa, conjunto convexo e envoltorio
convexo;
I Dualidade: Problema dual, tabela de conversao e teoria Lagrangiana;
I Teoremas fundamentais em dualidade:
I Dualidade fraca e forte;
I Teorema das folgas complementares;
I Lema de Farkas.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Exercıcios - Lista 1. Exercıcio 8
Coloque na forma padrao, os seguintes problemas de programacao linear:
(a) max f(x1, x2, x3) = −5x1 − 3x2 + 7x3
s.a 2x1 + 4x2 + 6x3 ≥ 7
3x1 − 5x2 + 5x3 ≤ 5
x1 ≥ 0, x2 ≥ 2, x3 livre
(b) max f(x1, x2, x3) = 2x1 − 3x2 + 7x3
s.a 2x1 + 4x2 + 6x3 = 7
3x1 − 5x2 + 3x3 ≤ 5
−4x1 − 9x2 + 4x3 ≤ −4
x1 ≥ −2, 0 ≤ x2 ≤ 4, x3 ≥ 0
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Exercıcios - Lista 1. Exercıcio 8(a)
(a) max f(x1, x2, x3) = −5x1 − 3x2 + 7x3
s.a 2x1 + 4x2 + 6x3 ≥ 7
3x1 − 5x2 + 5x3 ≤ 5
x1 ≥ 0, x2 ≥ 2, x3 livre
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Exercıcios - Lista 1. Exercıcio 8(a)
Substituindo x2 = x′2 + 2, x3 = x+3 − x−3 e adicionando xa
1 e xa2 :
−min 5x1 + 3x′2 − 7x+3 + 7x−3 + 6
s.a −2x1 − 4x′2 − 6x+3 + 6x−3 + xa
1 = 1
3x1 − 5x′2 + 5x+3 − 5x−3 + xa
2 = 15
x1, x′2, x
+3 , x
−3 , x
a1 , x
a2 ≥ 0.
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Exercıcios - Lista 1. Exercıcio 8(b)
(b) max f(x1, x2, x3) = 2x1 − 3x2 + 7x3
s.a 2x1 + 4x2 + 6x3 = 7
3x1 − 5x2 + 3x3 ≤ 5
−4x1 − 9x2 + 4x3 ≤ −4
x1 ≥ −2, 0 ≤ x2 ≤ 4, x3 ≥ 0
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Exercıcios - Lista 1. Exercıcio 8(b)
Substituindo x1 = x′1 − 2 e adicionando xa2 , xa
3 , xa4 :
−min −2x′1 + 3x2 − 7x3 + 4
s.a 2x′1 + 4x2 + 6x3 = 11
3x′1 − 5x2 + 3x3 + xa2 = 11
4x′1 + 9x2 − 4x3 − xa3 = 12
x2 + xa4 = 4
x′1, x2, x3, x3, xa2 , x
a3 , x
a4 ≥ 0.
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Exercıcios - Lista 2. Exercıcio 2(a)
Determine o problema dual e encontre a solucao otima dual usando
solucao grafica.
min f(x1, x2) = 2x1 + x2
s.a −2x1 + 3x2 ≥ 9
3x1 + 2x2 ≥ 12
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
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Exercıcios - Lista 2. Exercıcio 2(a)
Determine o problema dual e encontre a solucao otima dual usando
solucao grafica.
min f(x1, x2) = 2x1 + x2
s.a −2x1 + 3x2 ≥ 9
3x1 + 2x2 ≥ 12
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
max g(p1, p2) = 9p1 + 12p2
s.a −2p1 + 3p2 ≤ 2
3p1 + 2p2 ≤ 1
p1 ≥ 0, p2 ≥ 0.
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Exercıcios - Lista 2. Exercıcio 2(a)
max g(p1, p2) = 9p1 + 12p2
s.a −2p1 + 3p2 ≤ 2
3p1 + 2p2 ≤ 1
p1 ≥ 0, p2 ≥ 0.
λ1
λ2
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Exercıcios - Lista 2. Exercıcio 2(a)
max g(p1, p2) = 9p1 + 12p2
s.a −2p1 + 3p2 ≤ 2
3p1 + 2p2 ≤ 1
p1 ≥ 0, p2 ≥ 0.
λ1
λ2
-1
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Exercıcios - Lista 2. Exercıcio 2(a)
max g(p1, p2) = 9p1 + 12p2
s.a −2p1 + 3p2 ≤ 2
3p1 + 2p2 ≤ 1
p1 ≥ 0, p2 ≥ 0.
λ1
λ2
-1
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Exercıcios - Lista 2. Exercıcio 2(a)
max g(p1, p2) = 9p1 + 12p2
s.a −2p1 + 3p2 ≤ 2
3p1 + 2p2 ≤ 1
p1 ≥ 0, p2 ≥ 0.
λ1
λ2
-1
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Exercıcios - Lista 2. Exercıcio 2(a)
max g(p1, p2) = 9p1 + 12p2
s.a −2p1 + 3p2 ≤ 2
3p1 + 2p2 ≤ 1
p1 ≥ 0, p2 ≥ 0.
λ1
λ2
-1
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Exercıcios - Lista 2. Exercıcio 2(a)
max g(p1, p2) = 9p1 + 12p2
s.a −2p1 + 3p2 ≤ 2
3p1 + 2p2 ≤ 1
p1 ≥ 0, p2 ≥ 0.
λ1
λ2
-1
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Exercıcios - Lista 2. Exercıcio 2(a)
max g(p1, p2) = 9p1 + 12p2
s.a −2p1 + 3p2 ≤ 2
3p1 + 2p2 ≤ 1
p1 ≥ 0, p2 ≥ 0.
p∗=
[0
0.5
]
g(p∗) = 6
λ1
λ2
-1
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Exercıcios - Lista 2. Exercıcio 2(a)
max g(p1, p2) = 9p1 + 12p2
s.a −2p1 + 3p2 ≤ 2
3p1 + 2p2 ≤ 1
p1 ≥ 0, p2 ≥ 0.
p∗=
[0
0.5
]
g(p∗) = 6
λ1
λ2
-1
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Exercıcios - Lista 2. Exercıcio 2(b)
A partir da solucao otima dual encontrada no item anterior, determine
uma solucao otima para o problema primal (sem resolve-lo diretamente).
min f(x1, x2) = 2x1 + x2
s.a −2x1 + 3x2 ≥ 9
3x1 + 2x2 ≥ 12
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
max g(p1, p2) = 9p1 + 12p2
s.a −2p1 + 3p2 ≤ 2
3p1 + 2p2 ≤ 1
p1 ≥ 0, p2 ≥ 0.
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Exercıcios - Lista 2. Exercıcio 2(b)
Teorema: Folgas Complementares.
I Sejam x e p solucoes factıveis dos problemas primal e dual, respect.
Os vetores x e p sao solucoes otimas dos respectivos problemas se, e
somente se,
(i) pi(ATi x− bi) = 0, i = 1, . . . ,m;
(ii) (cj − pT aj)xj = 0, j = 1, . . . , n.
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Exercıcios - Lista 2. Exercıcio 2(b)
I Pelo Teorema das folgas complementares, temos que:
p1(9− (−2x1 + 3x2)) = 0
p2(12− (3x1 + 2x2)) = 0
(2− (−2p1 + 3p2))x1 = 0
(1− (3p1 + 2p2))x2 = 0
I Sabemos que a solucao otima dual e p∗ = (0, 0.5). Assim, devemos ter
12− (3x1 + 2x2) = 0. Alem disso, substituindo essa solucao nas duas
ultimas equacoes, obtemos:
(2− 1.5)x1 = 0 ⇒ x1 = 0
(1− 1)x2 = 0 ⇒ x2 ≥ 0
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Exercıcios - Lista 2. Exercıcio 2(b)
I Pelo Teorema das folgas complementares, temos que:
p1(9− (−2x1 + 3x2)) = 0
p2(12− (3x1 + 2x2)) = 0
(2− (−2p1 + 3p2))x1 = 0
(1− (3p1 + 2p2))x2 = 0
I Logo, juntando esses resultados, obtemos:
12− (3 ∗ 0 + 2x2) = 0 ⇒ 12− 2x2 = 0 ⇒ x2 = 6;
I Portanto, x∗ = (0, 6) e uma solucao otima do problema primal.
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Dualidade
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade
Problema primal Problema dual
min f(x) = cTx
s.a Ax = b
x ≥ 0
max g(p) = bTp
s.a ATp ≤ c
(p livre)
Propriedades:
1. Se um tem solucao otima, o outro tambem tem e ambos tem o mesmo
valor otimo;
2. Se um e ilimitado, o outro e infactıvel;
3. Se um e infactıvel, o outro e ou ilimitado ou infactıvel;
4. O dual do dual e o primal.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade
I Considere que o seguinte problema possua solucao otima x∗:
min f(x) = cTx
s.a Ax = b
x ≥ 0
I Existe um vetor p∗ ∈ Rm tal que o seguinte problema e equivalente:
min cTx+ (p∗)T (b−Ax)
s.a x ≥ 0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade
I Para um vetor p ∈ Rm arbitrario, temos uma relaxacao:
f(x∗) = minx≥0{cTx | Ax = b}
= minx≥0{cTx+ pT (b−Ax) | Ax = b}
≥ minx≥0{cTx+ pT (b−Ax)}.
I Seja g(p) o valor otimo deste problema relaxado (em funcao de p), i.e.
g(p) = minx≥0{cTx+ pT (b−Ax)}.
I Para qualquer p ∈ Rm, temos g(p) ≤ f(x∗). Assim, temos um limitante
inferior para o valor otimo do problema original.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade
Surgem entao as questoes:
I Qual sera o vetor p∗ ∈ Rm que resulta no melhor limitante inferior?
I Sera que podemos garantir que g(p∗) = f(x∗)?
Melhor limitante:
g(p∗) = maxp∈Rm
g(p)
= maxp∈Rm
minx≥0{cTx+ pT (b−Ax)}.
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Dualidade
Surgem entao as questoes:
I Qual sera o vetor p∗ ∈ Rm que resulta no melhor limitante inferior?
I Sera que podemos garantir que g(p∗) = f(x∗)?
Melhor limitante:
g(p∗) = maxp∈Rm
g(p)
= maxp∈Rm
minx≥0{cTx+ pT (b−Ax)}.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade
Temos que para p ∈ Rm arbitrario:
g(p) = minx≥0{cTx+ pT (b−Ax)}
= minx≥0{cTx+ pT b− pTAx}
= pT b+ minx≥0{cTx− pTAx}
= pT b+ minx≥0{(cT − pTA)x}
= pT b+ minx≥0
{n∑
j=1
(cj − pT aj)xj
}
= pT b+
n∑j=1
minxj≥0
(cj − pT aj)xj .
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade
Observe que para cada j = 1, . . . , n, temos:
minxj≥0
(cj − pT aj)xj =
−∞, se (cj − pT aj) < 0, (xj →∞)
0, c.c. (xj = 0)
I Sempre que essa expressao resulta em −∞, temos um limitante trivial;
(lembre-se que estamos buscando o limitante maximo)
I Assim, queremos evitar esse tipo de limitante;
I Basta restringirmos p t.q. cj − pT aj ≥ 0, j = 1, . . . , n;
I Dessa forma, minxj≥0
(cj − pT aj)xj = 0.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade
Continuando a expressao para g(p), temos que:
g(p) = pT b+
n∑j=1
minxj≥0
(cj − pT aj)xj
= pT b
para todo p ∈ Rm t.q. cj − pT aj ≥ 0, j = 1, . . . , n.
Portanto,
g(p∗) = maxp∈Rm
g(p)
= maxp∈Rm
{g(p) | AT p ≤ c}
= maxp∈Rm
{pT b | AT p ≤ c}.
(problema dual)
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Dualidade
Continuando a expressao para g(p), temos que:
g(p) = pT b+
n∑j=1
minxj≥0
(cj − pT aj)xj
= pT b
para todo p ∈ Rm t.q. cj − pT aj ≥ 0, j = 1, . . . , n. Portanto,
g(p∗) = maxp∈Rm
g(p)
= maxp∈Rm
{g(p) | AT p ≤ c}
= maxp∈Rm
{pT b | AT p ≤ c}.
(problema dual)
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Dualidade
Problema primal Problema dual
min f(x) = cTx
s.a Ax = b
x ≥ 0
max g(p) = bTp
s.a ATp ≤ c
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Dualidade. Lista 2 - Exercıcio 1
Usando a teoria Lagrangiana, determine o problema dual do seguinte
problema de programacao linear (sem usar a forma padrao):
min f(x1, x2, x3) = c1x1 + c2x2 + c3x3
s.a a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 ≤ b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3
x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x3 livre.
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Dualidade. Tabela de conversao primal-dual
Primal min ⇒ Dual max
Variavel Restricao Restricao Variavel
primal dual primal dual
≥ 0 ⇒ ≤ ≥ ⇒ ≥ 0
≤ 0 ⇒ ≥ ≤ ⇒ ≤ 0
livre ⇒ = = ⇒ livre
Primal max ⇒ Dual min
Variavel Restricao Restricao Variavel
primal dual primal dual
≥ 0 ⇒ ≥ ≥ ⇒ ≤ 0
≤ 0 ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≥ 0
livre ⇒ = = ⇒ livre
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Dualidade. Interpretacao economica
Uma fabrica produz dois tipos de ligas metalicas. Cada liga e composta de proporcoes
diferentes de Cobre, Zinco e Chumbo, os quais estao disponıveis em quantidades li-
mitadas em estoque. Deseja-se determinar quanto produzir de cada liga metalica, de
modo a maximizar a receita bruta, satisfazendo-se as seguintes composicoes das ligas e
a disponibilidade de materia-prima em estoque:
Materia-prima Liga 1 Liga 2 Estoque
Cobre 50% 30% 3 ton
Zinco 10% 20% 1 ton
Chumbo 40% 50% 3 ton
Preco venda 3 mil 2 mil (R$ por ton)
Outra fabrica, do mesmo segmento, esta interessada em comprar todo o estoque de
Cobre, Zinco e Chumbo da empresa. Ha o interesse da empresa no negocio, desde
que a receita obtida com a venda do material seja pelo menos igual a receita que seria
obtida com a venda das ligas. Para garantir o negocio, a outra fabrica deseja oferecer
um preco justo, mas que seja o menor possıvel. Qual deve ser a proposta de precos?
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Dualidade. Interpretacao economica
Uma fabrica produz dois tipos de ligas metalicas. Cada liga e composta de proporcoes
diferentes de Cobre, Zinco e Chumbo, os quais estao disponıveis em quantidades li-
mitadas em estoque. Deseja-se determinar quanto produzir de cada liga metalica, de
modo a maximizar a receita bruta, satisfazendo-se as seguintes composicoes das ligas e
a disponibilidade de materia-prima em estoque:
Materia-prima Liga 1 Liga 2 Estoque
Cobre 50% 30% 3 ton
Zinco 10% 20% 1 ton
Chumbo 40% 50% 3 ton
Preco venda 3 mil 2 mil (R$ por ton)
Outra fabrica, do mesmo segmento, esta interessada em comprar todo o estoque de
Cobre, Zinco e Chumbo da empresa. Ha o interesse da empresa no negocio, desde
que a receita obtida com a venda do material seja pelo menos igual a receita que seria
obtida com a venda das ligas. Para garantir o negocio, a outra fabrica deseja oferecer
um preco justo, mas que seja o menor possıvel. Qual deve ser a proposta de precos?
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Dualidade. Interpretacao economica
I A empresa pode vender a materia-prima em estoque:
3 ton de Cobre, 1 ton de Zinco e 3 ton de Chumbo;
I Qual deve ser o preco unitario de cada material?
I pi : preco a ser cobrado por unidade do material i = 1, 2, 3;
pi e o preco de oportunidade (preco sombra, preco dual)
I Receita total com a venda do material: 3p1 + 1p2 + 3p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 1: 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 2: 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3.
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Dualidade. Interpretacao economica
I A empresa pode vender a materia-prima em estoque:
3 ton de Cobre, 1 ton de Zinco e 3 ton de Chumbo;
I Qual deve ser o preco unitario de cada material?
I pi : preco a ser cobrado por unidade do material i = 1, 2, 3;
pi e o preco de oportunidade (preco sombra, preco dual)
I Receita total com a venda do material: 3p1 + 1p2 + 3p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 1: 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 2: 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3.
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Dualidade. Interpretacao economica
I A empresa pode vender a materia-prima em estoque:
3 ton de Cobre, 1 ton de Zinco e 3 ton de Chumbo;
I Qual deve ser o preco unitario de cada material?
I pi : preco a ser cobrado por unidade do material i = 1, 2, 3;
pi e o preco de oportunidade (preco sombra, preco dual)
I Receita total com a venda do material: 3p1 + 1p2 + 3p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 1: 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 2: 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Interpretacao economica
I A empresa pode vender a materia-prima em estoque:
3 ton de Cobre, 1 ton de Zinco e 3 ton de Chumbo;
I Qual deve ser o preco unitario de cada material?
I pi : preco a ser cobrado por unidade do material i = 1, 2, 3;
pi e o preco de oportunidade (preco sombra, preco dual)
I Receita total com a venda do material: 3p1 + 1p2 + 3p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 1: 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 2: 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3.
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Dualidade. Interpretacao economica
I A empresa pode vender a materia-prima em estoque:
3 ton de Cobre, 1 ton de Zinco e 3 ton de Chumbo;
I Qual deve ser o preco unitario de cada material?
I pi : preco a ser cobrado por unidade do material i = 1, 2, 3;
pi e o preco de oportunidade (preco sombra, preco dual)
I Receita total com a venda do material:
3p1 + 1p2 + 3p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 1: 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 2: 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3.
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Dualidade. Interpretacao economica
I A empresa pode vender a materia-prima em estoque:
3 ton de Cobre, 1 ton de Zinco e 3 ton de Chumbo;
I Qual deve ser o preco unitario de cada material?
I pi : preco a ser cobrado por unidade do material i = 1, 2, 3;
pi e o preco de oportunidade (preco sombra, preco dual)
I Receita total com a venda do material: 3p1 + 1p2 + 3p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 1: 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 2: 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3.
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Dualidade. Interpretacao economica
I A empresa pode vender a materia-prima em estoque:
3 ton de Cobre, 1 ton de Zinco e 3 ton de Chumbo;
I Qual deve ser o preco unitario de cada material?
I pi : preco a ser cobrado por unidade do material i = 1, 2, 3;
pi e o preco de oportunidade (preco sombra, preco dual)
I Receita total com a venda do material: 3p1 + 1p2 + 3p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 1:
0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 2: 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3.
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Dualidade. Interpretacao economica
I A empresa pode vender a materia-prima em estoque:
3 ton de Cobre, 1 ton de Zinco e 3 ton de Chumbo;
I Qual deve ser o preco unitario de cada material?
I pi : preco a ser cobrado por unidade do material i = 1, 2, 3;
pi e o preco de oportunidade (preco sombra, preco dual)
I Receita total com a venda do material: 3p1 + 1p2 + 3p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 1: 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 2: 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3.
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Dualidade. Interpretacao economica
I A empresa pode vender a materia-prima em estoque:
3 ton de Cobre, 1 ton de Zinco e 3 ton de Chumbo;
I Qual deve ser o preco unitario de cada material?
I pi : preco a ser cobrado por unidade do material i = 1, 2, 3;
pi e o preco de oportunidade (preco sombra, preco dual)
I Receita total com a venda do material: 3p1 + 1p2 + 3p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 1: 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 2:
0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3.
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Dualidade. Interpretacao economica
I A empresa pode vender a materia-prima em estoque:
3 ton de Cobre, 1 ton de Zinco e 3 ton de Chumbo;
I Qual deve ser o preco unitario de cada material?
I pi : preco a ser cobrado por unidade do material i = 1, 2, 3;
pi e o preco de oportunidade (preco sombra, preco dual)
I Receita total com a venda do material: 3p1 + 1p2 + 3p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 1: 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3.
I Receita (proporcional) obtida com a venda dos materiais que compoem 1
ton da liga 2: 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3.
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Dualidade. Interpretacao economica
I Precisamos garantir que a receita obtida com a venda do material que
seria usado na composicao de cada liga seja maior que o preco de venda
da liga.
I Para a Liga 1, terıamos como receita R$ 3 por unidade vendida. Logo, so
vale a pena vender o material estoque se 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3 ≥ 3;
I Para a Liga 2, terıamos como receita R$ 2 por unidade vendida. Logo, so
vale a pena vender o material estoque se 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3 ≥ 2;
I Como determinar os precos yi tal que a receita obtida com a venda dos
materiais seja pelo menos igual a receita obtida com a venda das ligas
(produto final)? min 3p1 + 1p2 + 3p3.
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Dualidade. Interpretacao economica
I Precisamos garantir que a receita obtida com a venda do material que
seria usado na composicao de cada liga seja maior que o preco de venda
da liga.
I Para a Liga 1, terıamos como receita R$ 3 por unidade vendida. Logo, so
vale a pena vender o material estoque se
0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3 ≥ 3;
I Para a Liga 2, terıamos como receita R$ 2 por unidade vendida. Logo, so
vale a pena vender o material estoque se 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3 ≥ 2;
I Como determinar os precos yi tal que a receita obtida com a venda dos
materiais seja pelo menos igual a receita obtida com a venda das ligas
(produto final)? min 3p1 + 1p2 + 3p3.
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Dualidade. Interpretacao economica
I Precisamos garantir que a receita obtida com a venda do material que
seria usado na composicao de cada liga seja maior que o preco de venda
da liga.
I Para a Liga 1, terıamos como receita R$ 3 por unidade vendida. Logo, so
vale a pena vender o material estoque se 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3 ≥ 3;
I Para a Liga 2, terıamos como receita R$ 2 por unidade vendida. Logo, so
vale a pena vender o material estoque se 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3 ≥ 2;
I Como determinar os precos yi tal que a receita obtida com a venda dos
materiais seja pelo menos igual a receita obtida com a venda das ligas
(produto final)? min 3p1 + 1p2 + 3p3.
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Dualidade. Interpretacao economica
I Precisamos garantir que a receita obtida com a venda do material que
seria usado na composicao de cada liga seja maior que o preco de venda
da liga.
I Para a Liga 1, terıamos como receita R$ 3 por unidade vendida. Logo, so
vale a pena vender o material estoque se 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3 ≥ 3;
I Para a Liga 2, terıamos como receita R$ 2 por unidade vendida. Logo, so
vale a pena vender o material estoque se
0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3 ≥ 2;
I Como determinar os precos yi tal que a receita obtida com a venda dos
materiais seja pelo menos igual a receita obtida com a venda das ligas
(produto final)? min 3p1 + 1p2 + 3p3.
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Dualidade. Interpretacao economica
I Precisamos garantir que a receita obtida com a venda do material que
seria usado na composicao de cada liga seja maior que o preco de venda
da liga.
I Para a Liga 1, terıamos como receita R$ 3 por unidade vendida. Logo, so
vale a pena vender o material estoque se 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3 ≥ 3;
I Para a Liga 2, terıamos como receita R$ 2 por unidade vendida. Logo, so
vale a pena vender o material estoque se 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3 ≥ 2;
I Como determinar os precos yi tal que a receita obtida com a venda dos
materiais seja pelo menos igual a receita obtida com a venda das ligas
(produto final)? min 3p1 + 1p2 + 3p3.
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Dualidade. Interpretacao economica
I Precisamos garantir que a receita obtida com a venda do material que
seria usado na composicao de cada liga seja maior que o preco de venda
da liga.
I Para a Liga 1, terıamos como receita R$ 3 por unidade vendida. Logo, so
vale a pena vender o material estoque se 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3 ≥ 3;
I Para a Liga 2, terıamos como receita R$ 2 por unidade vendida. Logo, so
vale a pena vender o material estoque se 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3 ≥ 2;
I Como determinar os precos yi tal que a receita obtida com a venda dos
materiais seja pelo menos igual a receita obtida com a venda das ligas
(produto final)?
min 3p1 + 1p2 + 3p3.
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Dualidade. Interpretacao economica
I Precisamos garantir que a receita obtida com a venda do material que
seria usado na composicao de cada liga seja maior que o preco de venda
da liga.
I Para a Liga 1, terıamos como receita R$ 3 por unidade vendida. Logo, so
vale a pena vender o material estoque se 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3 ≥ 3;
I Para a Liga 2, terıamos como receita R$ 2 por unidade vendida. Logo, so
vale a pena vender o material estoque se 0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3 ≥ 2;
I Como determinar os precos yi tal que a receita obtida com a venda dos
materiais seja pelo menos igual a receita obtida com a venda das ligas
(produto final)? min 3p1 + 1p2 + 3p3.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Interpretacao economica
Logo, para determinar o preco a ser proposto, de modo que as fabricasfiquem satisfeitas com o negocio, resolvemos o modelo:
min 3p1 + 1p2 + 3p3
s.a 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3 ≥ 3
0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3 ≥ 2
p1, p2, p3 ≥ 0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Interpretacao economica
Qual a relacao entre esses dois problemas?
max f(x1, x2) = 3x1 + 2x2
s.a 0,5x1 + 0,3x2 ≤ 3
0,1x1 + 0,2x2 ≤ 1
0,4x1 + 0,5x2 ≤ 3
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
min g(p1, p2, p3) = 3p1 + 1p2 + 3p3
s.a 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3 ≥ 3
0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3 ≥ 2
p1, p2, p3 ≥ 0
Temos um par primal-dual!
x? ≈ (4,62, 2,3) p? ≈ (5,37, 0, 0,78)
f(x?) ≈ 18,46 g(p?) ≈ 18,46
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Dualidade. Interpretacao economica
Qual a relacao entre esses dois problemas?
max f(x1, x2) = 3x1 + 2x2
s.a 0,5x1 + 0,3x2 ≤ 3
0,1x1 + 0,2x2 ≤ 1
0,4x1 + 0,5x2 ≤ 3
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
min g(p1, p2, p3) = 3p1 + 1p2 + 3p3
s.a 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3 ≥ 3
0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3 ≥ 2
p1, p2, p3 ≥ 0
Temos um par primal-dual!
x? ≈ (4,62, 2,3) p? ≈ (5,37, 0, 0,78)
f(x?) ≈ 18,46 g(p?) ≈ 18,46
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Dualidade. Interpretacao economica
Qual a relacao entre esses dois problemas?
max f(x1, x2) = 3x1 + 2x2
s.a 0,5x1 + 0,3x2 ≤ 3
0,1x1 + 0,2x2 ≤ 1
0,4x1 + 0,5x2 ≤ 3
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
min g(p1, p2, p3) = 3p1 + 1p2 + 3p3
s.a 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3 ≥ 3
0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3 ≥ 2
p1, p2, p3 ≥ 0
Temos um par primal-dual!
x? ≈ (4,62, 2,3) p? ≈ (5,37, 0, 0,78)
f(x?) ≈ 18,46 g(p?) ≈ 18,46
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Dualidade. Interpretacao economica
Qual a relacao entre esses dois problemas?
max f(x1, x2) = 3x1 + 2x2
s.a 0,5x1 + 0,3x2 ≤ 3
0,1x1 + 0,2x2 ≤ 1
0,4x1 + 0,5x2 ≤ 3
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
min g(p1, p2, p3) = 3p1 + 1p2 + 3p3
s.a 0,5p1 + 0,1p2 + 0,4p3 ≥ 3
0,3p1 + 0,2p2 + 0,5p3 ≥ 2
p1, p2, p3 ≥ 0
Temos um par primal-dual!
x? ≈ (4,62, 2,3) p? ≈ (5,37, 0, 0,78)
f(x?) ≈ 18,46 g(p?) ≈ 18,46
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Interpretacao economica
I Logo, o valor otimo desses problemas corresponde ao ponto de equilıbrio
entre as decisoes dos dois problemas;
I Essa interpretacao economica da dualidade mostra que a melhor decisao
(solucao) para o problema primal esta relacionada com a melhor decisao
(solucao) para o problema dual;
I Assim, uma solucao factıvel so pode ser otima para o problema primal, se
a solucao dual correspondente tambem for otima para o problema dual.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Interpretacao economica
I Logo, o valor otimo desses problemas corresponde ao ponto de equilıbrio
entre as decisoes dos dois problemas;
I Essa interpretacao economica da dualidade mostra que a melhor decisao
(solucao) para o problema primal esta relacionada com a melhor decisao
(solucao) para o problema dual;
I Assim, uma solucao factıvel so pode ser otima para o problema primal, se
a solucao dual correspondente tambem for otima para o problema dual.
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Dualidade. Interpretacao economica
I Logo, o valor otimo desses problemas corresponde ao ponto de equilıbrio
entre as decisoes dos dois problemas;
I Essa interpretacao economica da dualidade mostra que a melhor decisao
(solucao) para o problema primal esta relacionada com a melhor decisao
(solucao) para o problema dual;
I Assim, uma solucao factıvel so pode ser otima para o problema primal, se
a solucao dual correspondente tambem for otima para o problema dual.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Propriedades
Teorema: Dualidade fraca.
I Se x e uma solucao factıvel para o problema primal e p e uma
solucao factıvel para o problema dual, entao bT p ≤ cTx.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Propriedades
Corolario 1:
1. Se o problema primal e ilimitado, entao o dual e infactıvel;
2. Se o problema dual e ilimitado, entao o primal e infactıvel.
Corolario 2:
1. Sejam x e p solucoes factıveis dos problemas primal e dual, respect.,
tais que bT p = cTx. Entao, x e p sao solucoes otimas dos problemas
primal e dual, respect.
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Dualidade. Propriedades
Corolario 1:
1. Se o problema primal e ilimitado, entao o dual e infactıvel;
2. Se o problema dual e ilimitado, entao o primal e infactıvel.
Corolario 2:
1. Sejam x e p solucoes factıveis dos problemas primal e dual, respect.,
tais que bT p = cTx. Entao, x e p sao solucoes otimas dos problemas
primal e dual, respect.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Propriedades
Teorema: Dualidade forte.
I Se um problema de programacao linear tem solucao otima, entao
seu dual tambem tem, e os respectivos valores otimos sao iguais.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Propriedades
Teorema: Folgas complementares.
I Sejam x e p solucoes factıveis dos problemas primal e dual, respect.
Os vetores x e p sao solucoes otimas dos respectivos problemas se, e
somente se,
(i) pi(ATi x− bi) = 0, i = 1, . . . ,m;
(ii) (cj − pT aj)xj = 0, j = 1, . . . , n.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Propriedades
Teorema: Lema de Farkas.
I Sejam A uma matriz m× n e b ∈ Rm. Entao, exatamente uma das
afirmacoes a seguir e valida:
1. Existe algum x ≥ 0 tal que Ax = b;
2. Existe algum vetor p ∈ Rm tal que pTA ≥ 0 e pT b < 0.
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Dualidade. Lema de Farkas: Ilustracao
a1 a2a3
a4
I Representacao vetorial das colunas de A = [a1, a2, a3, a4];
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Dualidade. Lema de Farkas: Ilustracao
a1 a2a3
a4
I Representacao vetorial das colunas de A = [a1, a2, a3, a4];
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Dualidade. Lema de Farkas: Ilustracao
a1 a2a3
a4 cone: combinações lineares não-negativas
das colunas de A
I Cone formado pelas colunas a1, a2, a3, a4;
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Lema de Farkas: Ilustracao
a1 a2a3
a4 cone: combinações lineares não-negativas
das colunas de A
b
I Caso 1: b pertence ao cone (i.e., pode ser escrito como uma
combinacao linear positiva das colunas de A);
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Dualidade. Lema de Farkas: Ilustracao
a1 a2a3
a4 cone: combinações lineares não-negativas
das colunas de A
b
I Caso 2: b nao pertence ao cone (i.e., nao pode ser escrito como
uma combinacao linear positiva das colunas de A);
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Dualidade. Lema de Farkas: Ilustracao
a1 a2a3
a4
b
p
I Caso 2: Entao existe p
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Dualidade. Lema de Farkas: Ilustracao
a1 a2a3
a4
b
p
pT z=0
I Caso 2: Entao existe p tal que ptz = 0 e hiperplano separador ;
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Dualidade. Lema de Farkas: Ilustracao
a1 a2a3
a4
b
p
pT z=0
pT z > 0
pT z < 0
I Caso 2: Entao existe p tal que ptz = 0 e hiperplano separador
(i.e., pTai ≥ 0 e pT b < 0);
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Dualidade. Lema de Farkas: Ilustracao
a1 a2a3
a4
b
p
I Caso 2: Entao existe p tal que ptz = 0 e hiperplano separador
(i.e., pTai ≥ 0 e pT b < 0);
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Dualidade. Lema de Farkas: Ilustracao
a1 a2a3
a4
b
p
pT z=0
I Caso 2: Entao existe p tal que ptz = 0 e hiperplano separador
(i.e., pTai ≥ 0 e pT b < 0);
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Dualidade. Lema de Farkas: Ilustracao
a1 a2a3
a4
b
I Caso 1: b pertence ao cone e, logo, nao existe hiperplano separador.
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Dualidade. Propriedades
Teorema: Lema de Farkas.
I Sejam A uma matriz m× n e b ∈ Rm. Entao, exatamente uma das
afirmacoes a seguir e valida:
1. Existe algum x ≥ 0 tal que Ax = b;
2. Existe algum vetor p ∈ Rm tal que pTA ≥ 0 e pT b < 0.
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Dualidade. Propriedades
Teorema: Lema de Farkas. (Forma 2)
I Sejam A uma matriz m× n e b ∈ Rm. Entao, exatamente uma das
afirmacoes a seguir e valida:
1. Existe algum x ≥ 0 tal que Ax = b;
2. Existe algum vetor p ∈ Rm tal que pTA ≤ 0 e pT b > 0.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Lema de Farkas: Interpretacao
I Se existe p ∈ Rm tal que pTA ≤ 0 e pT b > 0, entao p pode ser um
raio de subida no espaco dual; (dual ilimitado se for factıvel)
Definicao: Raio.
I Considere o poliedro S = {p ∈ Rm|AT p ≤ c}. O vetor r ∈ S e chamado
de raio quando satisfaz p+ εr ∈ S, para todo p ∈ S e escalar ε ≥ 0.
Definicao: Raio de subida.
I Considere o poliedro S = {p ∈ Rm|AT p ≤ c} contendo um raio r ∈ S.
Seja g : S → R um funcional linear arbitrario. Se g(p+ εr) > g(p), para
todo p ∈ S e escalar ε ≥ 0, entao r e chamado de raio de subida de g.
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Dualidade. Propriedades
Teorema: Lema de Farkas. (Forma 3)
I Sejam A uma matriz m× n e b ∈ Rm. Entao, exatamente uma das
afirmacoes a seguir e valida:
1. Existe algum r ∈ Rn tal que Ar = 0, cT r < 0 e r ≥ 0;
2. Existe algum p ∈ Rm tal que AT p ≤ c.
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Dualidade. Condicoes de otimalidade
Teorema: Folgas Complementares.
I Sejam x e p solucoes factıveis dos problemas primal e dual,
respectivamente. Os vetores x e p sao solucoes otimas dos
respectivos problemas se, e somente se,
(i) pi(ATi x− bi) = 0, i = 1, . . . ,m;
(ii) (cj − pT aj)xj = 0, j = 1, . . . , n.
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Dualidade. Condicoes de otimalidade
Teorema: Folgas Complementares.
I Sejam x e p solucoes factıveis dos problemas primal e dual,
respectivamente. Os vetores x e p sao solucoes otimas dos
respectivos problemas se, e somente se,
(i) pi(ATi x− bi) = 0, i = 1, . . . ,m;
(ii) (cj − pT aj)xj = 0, j = 1, . . . , n.
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Dualidade. Condicoes de otimalidade
I Considere o problema primal na forma padrao;
(sem perda de generalidade)
I Vamos reescrever o Teorema das Folgas Complementares:
I Sejam x e p solucoes factıveis dos problemas primal e dual,
respectivamente. Os vetores x e p sao solucoes otimas dos
respectivos problemas se, e somente se,
(i) pi(ATi x− bi) = 0, i = 1, . . . ,m;
(ii) (cj − pT aj)xj = 0, j = 1, . . . , n.
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Dualidade. Condicoes de otimalidade
I Considere o problema primal na forma padrao;
(sem perda de generalidade)
I Vamos reescrever o Teorema das Folgas Complementares:
I Sejam x e p solucoes factıveis dos problemas primal e dual,
respectivamente. Os vetores x e p sao solucoes otimas dos
respectivos problemas se, e somente se,
(i) pi(ATi x− bi) = 0, i = 1, . . . ,m;
(ii) (cj − pT aj)xj = 0, j = 1, . . . , n.
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Dualidade. Condicoes de otimalidade
I Considere o problema primal na forma padrao;
(sem perda de generalidade)
I Vamos reescrever o Teorema das Folgas Complementares:
I Sejam x e p solucoes factıveis dos problemas primal e dual,
respectivamente. Os vetores x e p sao solucoes otimas dos
respectivos problemas se, e somente se,
(i) pi(ATi x− bi) = 0, i = 1, . . . ,m;
(ii) (cj − pT aj)xj = 0, j = 1, . . . , n.
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Dualidade. Condicoes de otimalidade
I Considere o problema primal na forma padrao;
(sem perda de generalidade)
I Vamos reescrever o Teorema das Folgas Complementares:
I Sejam x ∈ Rn e p ∈ Rm tais que
Ax = b
x ≥ 0
AT p ≤ c
Os vetores x e p sao solucoes otimas dos respectivos problemas se, e
somente se,
(i) pi(ATi x− bi) = 0, i = 1, . . . ,m;
(ii) (cj − pT aj)xj = 0, j = 1, . . . , n.
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Dualidade. Condicoes de otimalidade
I Considere o problema primal na forma padrao;
(sem perda de generalidade)
I Vamos reescrever o Teorema das Folgas Complementares:
I Sejam x ∈ Rn e p ∈ Rm tais que
Ax = b
x ≥ 0
AT p ≤ c
Os vetores x e p sao solucoes otimas dos respectivos problemas se, e
somente se, (cj − pTaj)xj = 0, j = 1, . . . , n.
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Dualidade. Condicoes de otimalidade
I Considere o problema primal na forma padrao;
(sem perda de generalidade)
I Vamos reescrever o Teorema das Folgas Complementares:
Os vetores x ∈ Rn e p ∈ Rm sao solucoes otimas dos problemas
primal e dual, respectivamente, se e somente se, satisfazem
Ax = b
AT p ≤ c
(cj − pTaj)xj = 0, j = 1, . . . , n,
x ≥ 0
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Dualidade. Condicoes de otimalidade
I Considere os problemas primal e dual na forma padrao;
(sem perda de generalidade)
I Vamos reescrever o Teorema das Folgas Complementares:
Os vetores x ∈ Rn, p ∈ Rm e s ∈ Rn sao solucoes otimas dos
problemas primal e dual, respectivamente, se e somente se,
satisfazem
Ax = b
AT p + s = c
sjxj = 0, j = 1, . . . , n
x, s ≥ 0
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Dualidade. Condicoes de otimalidade
I Com isso, nos acabamos de deduzir um dos principais resultados em
Otimizacao (linear e nao-linear):
Condicoes KKT (Karush-Kuhn-Tucker)
Ax = b
AT p + s = c
sjxj = 0, j = 1, . . . , n
x, s ≥ 0
I Em programacao linear, temos que as condicoes KKT sao
necessarias e suficientes para otimalidade;
I Para problemas de otimizacao em geral, sao condicoes necessarias
apenas (e podem exigir algumas condicoes a mais).
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Dualidade. Condicoes de otimalidade
I Com isso, nos acabamos de deduzir um dos principais resultados em
Otimizacao (linear e nao-linear):
Condicoes KKT (Karush-Kuhn-Tucker)
Ax = b
AT p + s = c
sjxj = 0, j = 1, . . . , n
x, s ≥ 0
I Em programacao linear, temos que as condicoes KKT sao
necessarias e suficientes para otimalidade;
I Para problemas de otimizacao em geral, sao condicoes necessarias
apenas (e podem exigir algumas condicoes a mais).
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Dualidade. Condicoes de otimalidade
I Com isso, nos acabamos de deduzir um dos principais resultados em
Otimizacao (linear e nao-linear):
Condicoes KKT (Karush-Kuhn-Tucker)
Ax = b
AT p + s = c
sjxj = 0, j = 1, . . . , n
x, s ≥ 0
I Em programacao linear, temos que as condicoes KKT sao
necessarias e suficientes para otimalidade;
I Para problemas de otimizacao em geral, sao condicoes necessarias
apenas (e podem exigir algumas condicoes a mais).
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Dualidade. Condicoes de otimalidade
I Com isso, nos acabamos de deduzir um dos principais resultados em
Otimizacao (linear e nao-linear):
Condicoes KKT (Karush-Kuhn-Tucker)
Ax = b
AT p + s = c
sjxj = 0, j = 1, . . . , n
x, s ≥ 0
I Em programacao linear, temos que as condicoes KKT sao
necessarias e suficientes para otimalidade;
I Para problemas de otimizacao em geral, sao condicoes necessarias
apenas (e podem exigir algumas condicoes a mais).
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I Com isso, nos acabamos de deduzir um dos principais resultados em
Otimizacao (linear e nao-linear):
Condicoes KKT (Karush-Kuhn-Tucker)
Ax = b
AT p + s = c
sjxj = 0, j = 1, . . . , n
x, s ≥ 0
I Em programacao linear, temos que as condicoes KKT sao
necessarias e suficientes para otimalidade;
I Para problemas de otimizacao em geral, sao condicoes necessarias
apenas (e podem exigir algumas condicoes a mais).
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Dualidade. Condicoes KKT
“When Kuhn and Tucker proved the Kuhn-Tucker theorem in 1950 they
launched the theory of non-linear programming. However, in a sense this
theorem had been proven already: In 1939 by W. Karush in a master’s
thesis, which was unpublished; in 1948 by F. John in a paper that was at
first rejected by the Duke Mathematical Journal; and possibly earlier by
Ostrogradsky and Farkas.”
Kjeldsen, T.H. A Contextualized Historical Analysis of the Kuhn-Tucker
Theorem in Nonlinear Programming: The Impact of World War II. Historia
Mathematica 27(4), 331–361, 2000.
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Dualidade. Condicoes KKT
Considere o problema de Otimizacao (geral)
min f(x1, . . . , xn)
s.a h1(x1, . . . , xn) = 0...
hl(x1, . . . , xn) = 0
g1(x1, . . . , xn) ≤ 0...
gm(x1, . . . , xn) ≤ 0
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Dualidade. Condicoes KKT
Considere o problema de Otimizacao (geral)
min f(x)
s.a h(x) = 0
g(x) ≤ 0
(1)
com f : Rn → R, h : Rn → Rl e g : Rn → Rm.
Definimos a funcao Lagrangiana do problema:
L(x, p, s) = f(x) + pTh(x) + sT g(x)
com sT ≥ 0.
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Dualidade. Condicoes KKT
Considere o problema de Otimizacao (geral)
min f(x)
s.a h(x) = 0
g(x) ≤ 0
(1)
com f : Rn → R, h : Rn → Rl e g : Rn → Rm.
Definimos a funcao Lagrangiana do problema:
L(x, p, s) = f(x) + pTh(x) + sT g(x)
com sT ≥ 0.
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Dualidade. Condicoes KKT
Teorema: Condicoes necessarias de primeira ordem (condicoes KKT).
I Suponha que x seja um otimo local do problema de otimizacao (1),
que as funcoes f , g e h sejam continuamente diferenciaveis e que
certas condicoes de qualificacao sejam validas. Entao existe um
vetor de multiplicadores de Lagrange (p, s) tal que as seguintes
condicoes sao satisfeitas:
∇xL(x, p, s) = 0
hk(x) = 0, k = 1, . . . , l
gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . ,m
sjgj(x) = 0, j = 1, . . . ,m
sj ≥ 0, j = 1, . . . ,m
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Dualidade. Condicoes KKT
Teorema: Condicoes necessarias de primeira ordem (condicoes KKT).
I Suponha que x seja um otimo local do problema de otimizacao (1),
que as funcoes f , g e h sejam continuamente diferenciaveis e que
certas condicoes de qualificacao sejam validas. Entao existe um
vetor de multiplicadores de Lagrange (p, s) tal que as seguintes
condicoes sao satisfeitas:
∇xL(x, p, s) = 0
hk(x) = 0, k = 1, . . . , l
gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . ,m
sjgj(x) = 0, j = 1, . . . ,m
sj ≥ 0, j = 1, . . . ,m
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Dualidade. Condicoes KKT
Teorema: Condicoes necessarias de primeira ordem (condicoes KKT).
I Suponha que x seja um otimo local do problema de otimizacao (1),
que as funcoes f , g e h sejam continuamente diferenciaveis
e que
certas condicoes de qualificacao sejam validas. Entao existe um
vetor de multiplicadores de Lagrange (p, s) tal que as seguintes
condicoes sao satisfeitas:
∇xL(x, p, s) = 0
hk(x) = 0, k = 1, . . . , l
gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . ,m
sjgj(x) = 0, j = 1, . . . ,m
sj ≥ 0, j = 1, . . . ,m
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Dualidade. Condicoes KKT
Teorema: Condicoes necessarias de primeira ordem (condicoes KKT).
I Suponha que x seja um otimo local do problema de otimizacao (1),
que as funcoes f , g e h sejam continuamente diferenciaveis e que
certas condicoes de qualificacao sejam validas.
Entao existe um
vetor de multiplicadores de Lagrange (p, s) tal que as seguintes
condicoes sao satisfeitas:
∇xL(x, p, s) = 0
hk(x) = 0, k = 1, . . . , l
gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . ,m
sjgj(x) = 0, j = 1, . . . ,m
sj ≥ 0, j = 1, . . . ,m
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Dualidade. Condicoes KKT
Teorema: Condicoes necessarias de primeira ordem (condicoes KKT).
I Suponha que x seja um otimo local do problema de otimizacao (1),
que as funcoes f , g e h sejam continuamente diferenciaveis e que
certas condicoes de qualificacao sejam validas. Entao existe um
vetor de multiplicadores de Lagrange (p, s) tal que as seguintes
condicoes sao satisfeitas:
∇xL(x, p, s) = 0
hk(x) = 0, k = 1, . . . , l
gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . ,m
sjgj(x) = 0, j = 1, . . . ,m
sj ≥ 0, j = 1, . . . ,m
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Dualidade. Condicoes KKT
Teorema: Condicoes necessarias de primeira ordem (condicoes KKT).
I Suponha que x seja um otimo local do problema de otimizacao (1),
que as funcoes f , g e h sejam continuamente diferenciaveis e que
certas condicoes de qualificacao sejam validas. Entao existe um
vetor de multiplicadores de Lagrange (p, s) tal que as seguintes
condicoes sao satisfeitas:
∇xL(x, p, s) = 0
hk(x) = 0, k = 1, . . . , l
gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . ,m
sjgj(x) = 0, j = 1, . . . ,m
sj ≥ 0, j = 1, . . . ,m
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Dualidade. Condicoes KKT
Teorema: Condicoes necessarias de primeira ordem (condicoes KKT).
I Suponha que x seja um otimo local do problema de otimizacao (1),
que as funcoes f , g e h sejam continuamente diferenciaveis e que
certas condicoes de qualificacao sejam validas. Entao existe um
vetor de multiplicadores de Lagrange (p, s) tal que as seguintes
condicoes sao satisfeitas:
∇xL(x, p, s) = 0
hk(x) = 0, k = 1, . . . , l
gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . ,m
sjgj(x) = 0, j = 1, . . . ,m
sj ≥ 0, j = 1, . . . ,m
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Dualidade. Condicoes KKT
Teorema: Condicoes necessarias de primeira ordem (condicoes KKT).
I Suponha que x seja um otimo local do problema de otimizacao (1),
que as funcoes f , g e h sejam continuamente diferenciaveis e que
certas condicoes de qualificacao sejam validas. Entao existe um
vetor de multiplicadores de Lagrange (p, s) tal que as seguintes
condicoes sao satisfeitas:
∇xL(x, p, s) = 0
hk(x) = 0, k = 1, . . . , l
gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . ,m
sjgj(x) = 0, j = 1, . . . ,m
sj ≥ 0, j = 1, . . . ,m
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Dualidade. Condicoes KKT
Teorema: Condicoes necessarias de primeira ordem (condicoes KKT).
I Suponha que x seja um otimo local do problema de otimizacao (1),
que as funcoes f , g e h sejam continuamente diferenciaveis e que
certas condicoes de qualificacao sejam validas. Entao existe um
vetor de multiplicadores de Lagrange (p, s) tal que as seguintes
condicoes sao satisfeitas:
∇xL(x, p, s) = 0
hk(x) = 0, k = 1, . . . , l
gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . ,m
sjgj(x) = 0, j = 1, . . . ,m
sj ≥ 0, j = 1, . . . ,m
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Dualidade. Condicoes KKT
Teorema: Condicoes necessarias de primeira ordem (condicoes KKT).
I Suponha que x seja um otimo local do problema de otimizacao (1),
que as funcoes f , g e h sejam continuamente diferenciaveis e que
certas condicoes de qualificacao sejam validas. Entao existe um
vetor de multiplicadores de Lagrange (p, s) tal que as seguintes
condicoes sao satisfeitas:
∇xL(x, p, s) = 0
hk(x) = 0, k = 1, . . . , l
gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . ,m
sjgj(x) = 0, j = 1, . . . ,m
sj ≥ 0, j = 1, . . . ,m
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Condicoes KKT
I No caso particular de programacao linear, temos:
f(x) = cTx;
h(x) = b−Ax;
gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;
L(x, p, s) = cTx + pT (b−Ax)− sT (x)
⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s
I Alem disso, as condicoes de qualificacao sao sempre satisfeitas;
I Pela dualidade forte, as condicoes sao tambem suficientes.
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Dualidade. Condicoes KKT
I No caso particular de programacao linear, temos:
f(x) =
cTx;
h(x) = b−Ax;
gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;
L(x, p, s) = cTx + pT (b−Ax)− sT (x)
⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s
I Alem disso, as condicoes de qualificacao sao sempre satisfeitas;
I Pela dualidade forte, as condicoes sao tambem suficientes.
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Dualidade. Condicoes KKT
I No caso particular de programacao linear, temos:
f(x) = cTx;
h(x) = b−Ax;
gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;
L(x, p, s) = cTx + pT (b−Ax)− sT (x)
⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s
I Alem disso, as condicoes de qualificacao sao sempre satisfeitas;
I Pela dualidade forte, as condicoes sao tambem suficientes.
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Dualidade. Condicoes KKT
I No caso particular de programacao linear, temos:
f(x) = cTx;
h(x) =
b−Ax;
gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;
L(x, p, s) = cTx + pT (b−Ax)− sT (x)
⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s
I Alem disso, as condicoes de qualificacao sao sempre satisfeitas;
I Pela dualidade forte, as condicoes sao tambem suficientes.
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Dualidade. Condicoes KKT
I No caso particular de programacao linear, temos:
f(x) = cTx;
h(x) = b−Ax;
gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;
L(x, p, s) = cTx + pT (b−Ax)− sT (x)
⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s
I Alem disso, as condicoes de qualificacao sao sempre satisfeitas;
I Pela dualidade forte, as condicoes sao tambem suficientes.
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Dualidade. Condicoes KKT
I No caso particular de programacao linear, temos:
f(x) = cTx;
h(x) = b−Ax;
gj(x) =
− xj , j = 1, . . . , n;
L(x, p, s) = cTx + pT (b−Ax)− sT (x)
⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s
I Alem disso, as condicoes de qualificacao sao sempre satisfeitas;
I Pela dualidade forte, as condicoes sao tambem suficientes.
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Dualidade. Condicoes KKT
I No caso particular de programacao linear, temos:
f(x) = cTx;
h(x) = b−Ax;
gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;
L(x, p, s) = cTx + pT (b−Ax)− sT (x)
⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s
I Alem disso, as condicoes de qualificacao sao sempre satisfeitas;
I Pela dualidade forte, as condicoes sao tambem suficientes.
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Dualidade. Condicoes KKT
I No caso particular de programacao linear, temos:
f(x) = cTx;
h(x) = b−Ax;
gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;
L(x, p, s) =
cTx + pT (b−Ax)− sT (x)
⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s
I Alem disso, as condicoes de qualificacao sao sempre satisfeitas;
I Pela dualidade forte, as condicoes sao tambem suficientes.
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Dualidade. Condicoes KKT
I No caso particular de programacao linear, temos:
f(x) = cTx;
h(x) = b−Ax;
gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;
L(x, p, s) = cTx + pT (b−Ax)− sT (x)
⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s
I Alem disso, as condicoes de qualificacao sao sempre satisfeitas;
I Pela dualidade forte, as condicoes sao tambem suficientes.
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Dualidade. Condicoes KKT
I No caso particular de programacao linear, temos:
f(x) = cTx;
h(x) = b−Ax;
gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;
L(x, p, s) = cTx + pT (b−Ax)− sT (x)
⇒ ∇xL(x, p, s) =
c−AT p− s
I Alem disso, as condicoes de qualificacao sao sempre satisfeitas;
I Pela dualidade forte, as condicoes sao tambem suficientes.
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Dualidade. Condicoes KKT
I No caso particular de programacao linear, temos:
f(x) = cTx;
h(x) = b−Ax;
gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;
L(x, p, s) = cTx + pT (b−Ax)− sT (x)
⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s
I Alem disso, as condicoes de qualificacao sao sempre satisfeitas;
I Pela dualidade forte, as condicoes sao tambem suficientes.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Condicoes KKT
I No caso particular de programacao linear, temos:
f(x) = cTx;
h(x) = b−Ax;
gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;
L(x, p, s) = cTx + pT (b−Ax)− sT (x)
⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s
I Alem disso, as condicoes de qualificacao sao sempre satisfeitas;
I Pela dualidade forte, as condicoes sao tambem suficientes.
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Dualidade. Condicoes KKT
I No caso particular de programacao linear, temos:
f(x) = cTx;
h(x) = b−Ax;
gj(x) = − xj , j = 1, . . . , n;
L(x, p, s) = cTx + pT (b−Ax)− sT (x)
⇒ ∇xL(x, p, s) = c−AT p− s
I Alem disso, as condicoes de qualificacao sao sempre satisfeitas;
I Pela dualidade forte, as condicoes sao tambem suficientes.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Condicoes KKT
Teorema: Condicoes necessarias de primeira ordem (condicoes KKT).
I Suponha que x seja um otimo local do problema de otimizacao (1),
que as funcoes f , g e h sejam continuamente diferenciaveis e que
certas condicoes de qualificacao sejam validas. Entao existe um
vetor de multiplicadores de Lagrange (p, s) tal que as seguintes
condicoes sao satisfeitas:
∇xL(x, p, s) = 0
hk(x) = 0, k = 1, . . . , l
gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . ,m
sjgj(x) = 0, j = 1, . . . ,m
sj ≥ 0, j = 1, . . . ,m
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Condicoes KKT
I Assim, a teoria dos multiplicadores de Lagrange e a base da teoria
de dualidade;
I Que por sua vez e a base das condicoes KKT;
I Que por sua vez sao a base dos metodos de solucao em otimizacao.
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Dualidade. Condicoes KKT
I Assim, a teoria dos multiplicadores de Lagrange e a base da teoria
de dualidade;
I Que por sua vez e a base das condicoes KKT;
I Que por sua vez sao a base dos metodos de solucao em otimizacao.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Condicoes KKT
I Assim, a teoria dos multiplicadores de Lagrange e a base da teoria
de dualidade;
I Que por sua vez e a base das condicoes KKT;
I Que por sua vez sao a base dos metodos de solucao em otimizacao.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Dualidade. Condicoes KKT: Metodos de solucao
Ax = b (2)
AT p + s = c (3)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)
x, s ≥ 0 (5)
I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares (sao nao-lineares);
I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem
xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem
disso, a particao deve garantir:
I Metodo primal simplex: x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);
I Metodo dual simplex: s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).
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Dualidade. Condicoes KKT: Metodos de solucao
Ax = b (2)
AT p + s = c (3)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)
x, s ≥ 0 (5)
I Onde esta a dificuldade?
Nas folgas complementares (sao nao-lineares);
I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem
xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem
disso, a particao deve garantir:
I Metodo primal simplex: x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);
I Metodo dual simplex: s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).
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Dualidade. Condicoes KKT: Metodos de solucao
Ax = b (2)
AT p + s = c (3)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)
x, s ≥ 0 (5)
I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares
(sao nao-lineares);
I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem
xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem
disso, a particao deve garantir:
I Metodo primal simplex: x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);
I Metodo dual simplex: s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).
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Dualidade. Condicoes KKT: Metodos de solucao
Ax = b (2)
AT p + s = c (3)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)
x, s ≥ 0 (5)
I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares (sao nao-lineares);
I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem
xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem
disso, a particao deve garantir:
I Metodo primal simplex: x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);
I Metodo dual simplex: s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).
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Dualidade. Condicoes KKT: Metodos de solucao
Ax = b (2)
AT p + s = c (3)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)
x, s ≥ 0 (5)
I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares (sao nao-lineares);
I Metodos tipo simplex:
particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem
xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem
disso, a particao deve garantir:
I Metodo primal simplex: x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);
I Metodo dual simplex: s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).
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Dualidade. Condicoes KKT: Metodos de solucao
Ax = b (2)
AT p + s = c (3)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)
x, s ≥ 0 (5)
I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares (sao nao-lineares);
I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N
(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem
xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem
disso, a particao deve garantir:
I Metodo primal simplex: x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);
I Metodo dual simplex: s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).
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Ax = b (2)
AT p + s = c (3)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)
x, s ≥ 0 (5)
I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares (sao nao-lineares);
I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}).
Para garantir (4), impoem
xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem
disso, a particao deve garantir:
I Metodo primal simplex: x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);
I Metodo dual simplex: s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).
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Ax = b (2)
AT p + s = c (3)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)
x, s ≥ 0 (5)
I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares (sao nao-lineares);
I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem
xj = 0, ∀j ∈ N ,
e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem
disso, a particao deve garantir:
I Metodo primal simplex: x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);
I Metodo dual simplex: s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).
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Ax = b (2)
AT p + s = c (3)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)
x, s ≥ 0 (5)
I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares (sao nao-lineares);
I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem
xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B.
(2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem
disso, a particao deve garantir:
I Metodo primal simplex: x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);
I Metodo dual simplex: s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).
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Ax = b (2)
AT p + s = c (3)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)
x, s ≥ 0 (5)
I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares (sao nao-lineares);
I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem
xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos.
Alem
disso, a particao deve garantir:
I Metodo primal simplex: x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);
I Metodo dual simplex: s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).
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Ax = b (2)
AT p + s = c (3)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)
x, s ≥ 0 (5)
I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares (sao nao-lineares);
I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem
xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem
disso, a particao deve garantir:
I Metodo primal simplex: x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);
I Metodo dual simplex: s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).
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Ax = b (2)
AT p + s = c (3)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)
x, s ≥ 0 (5)
I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares (sao nao-lineares);
I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem
xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem
disso, a particao deve garantir:
I Metodo primal simplex:
x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);
I Metodo dual simplex: s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).
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Ax = b (2)
AT p + s = c (3)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)
x, s ≥ 0 (5)
I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares (sao nao-lineares);
I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem
xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem
disso, a particao deve garantir:
I Metodo primal simplex: x ≥ 0
(factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);
I Metodo dual simplex: s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).
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Dualidade. Condicoes KKT: Metodos de solucao
Ax = b (2)
AT p + s = c (3)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)
x, s ≥ 0 (5)
I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares (sao nao-lineares);
I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem
xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem
disso, a particao deve garantir:
I Metodo primal simplex: x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);
I Metodo dual simplex: s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).
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Dualidade. Condicoes KKT: Metodos de solucao
Ax = b (2)
AT p + s = c (3)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)
x, s ≥ 0 (5)
I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares (sao nao-lineares);
I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem
xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem
disso, a particao deve garantir:
I Metodo primal simplex: x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);
I Metodo dual simplex:
s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).
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Ax = b (2)
AT p + s = c (3)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)
x, s ≥ 0 (5)
I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares (sao nao-lineares);
I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem
xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem
disso, a particao deve garantir:
I Metodo primal simplex: x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);
I Metodo dual simplex: s ≥ 0
(factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).
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Dualidade. Condicoes KKT: Metodos de solucao
Ax = b (2)
AT p + s = c (3)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (4)
x, s ≥ 0 (5)
I Onde esta a dificuldade? Nas folgas complementares (sao nao-lineares);
I Metodos tipo simplex: particionam as variaveis em dois conjuntos, B e N(i.e. B ∩ N = ∅ e B ∪ N = {1, 2, . . . , n}). Para garantir (4), impoem
xj = 0, ∀j ∈ N , e sj = 0, ∀j ∈ B. (2) e (3) sao sempre satisfeitos. Alem
disso, a particao deve garantir:
I Metodo primal simplex: x ≥ 0 (factibilidade primal, busca-se s ≥ 0);
I Metodo dual simplex: s ≥ 0 (factibilidade dual, busca-se x ≥ 0).
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Dualidade. Condicoes KKT: Metodos de solucao
I Metodos de pontos interiores:
Perturbam a dificuldade do sistema KKT:
Ax = b (6)
AT p+ s = c (7)
sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)
para µ > 0. Baseiam-se na direcao do metodo de Newton para determinar
direcoes de busca, tais que iterativamente o valor de µ e estritamente
reduzido e, assim, µ→ 0. Alem disso:
I Metodo primal-dual: usa (6)–(8) para calcular as direcoes de busca.
E chamado factıvel quando (6) e (7) devem ser satisfeitos em toda
iteracao. Caso contrario, o metodo e chamado infactıvel.
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Dualidade. Condicoes KKT: Metodos de solucao
I Metodos de pontos interiores: Perturbam a dificuldade do sistema KKT:
Ax = b (6)
AT p+ s = c (7)
sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)
para µ > 0. Baseiam-se na direcao do metodo de Newton para determinar
direcoes de busca, tais que iterativamente o valor de µ e estritamente
reduzido e, assim, µ→ 0. Alem disso:
I Metodo primal-dual: usa (6)–(8) para calcular as direcoes de busca.
E chamado factıvel quando (6) e (7) devem ser satisfeitos em toda
iteracao. Caso contrario, o metodo e chamado infactıvel.
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Dualidade. Condicoes KKT: Metodos de solucao
I Metodos de pontos interiores: Perturbam a dificuldade do sistema KKT:
Ax = b (6)
AT p+ s = c (7)
sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)
para µ > 0.
Baseiam-se na direcao do metodo de Newton para determinar
direcoes de busca, tais que iterativamente o valor de µ e estritamente
reduzido e, assim, µ→ 0. Alem disso:
I Metodo primal-dual: usa (6)–(8) para calcular as direcoes de busca.
E chamado factıvel quando (6) e (7) devem ser satisfeitos em toda
iteracao. Caso contrario, o metodo e chamado infactıvel.
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I Metodos de pontos interiores: Perturbam a dificuldade do sistema KKT:
Ax = b (6)
AT p+ s = c (7)
sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)
para µ > 0. Baseiam-se na direcao do metodo de Newton para determinar
direcoes de busca, tais que iterativamente o valor de µ e estritamente
reduzido e, assim, µ→ 0.
Alem disso:
I Metodo primal-dual: usa (6)–(8) para calcular as direcoes de busca.
E chamado factıvel quando (6) e (7) devem ser satisfeitos em toda
iteracao. Caso contrario, o metodo e chamado infactıvel.
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I Metodos de pontos interiores: Perturbam a dificuldade do sistema KKT:
Ax = b (6)
AT p+ s = c (7)
sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)
para µ > 0. Baseiam-se na direcao do metodo de Newton para determinar
direcoes de busca, tais que iterativamente o valor de µ e estritamente
reduzido e, assim, µ→ 0. Alem disso:
I Metodo primal-dual: usa (6)–(8) para calcular as direcoes de busca.
E chamado factıvel quando (6) e (7) devem ser satisfeitos em toda
iteracao. Caso contrario, o metodo e chamado infactıvel.
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I Metodos de pontos interiores: Perturbam a dificuldade do sistema KKT:
Ax = b (6)
AT p+ s = c (7)
sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)
para µ > 0. Baseiam-se na direcao do metodo de Newton para determinar
direcoes de busca, tais que iterativamente o valor de µ e estritamente
reduzido e, assim, µ→ 0. Alem disso:
I Metodo primal-dual:
usa (6)–(8) para calcular as direcoes de busca.
E chamado factıvel quando (6) e (7) devem ser satisfeitos em toda
iteracao. Caso contrario, o metodo e chamado infactıvel.
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I Metodos de pontos interiores: Perturbam a dificuldade do sistema KKT:
Ax = b (6)
AT p+ s = c (7)
sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)
para µ > 0. Baseiam-se na direcao do metodo de Newton para determinar
direcoes de busca, tais que iterativamente o valor de µ e estritamente
reduzido e, assim, µ→ 0. Alem disso:
I Metodo primal-dual: usa (6)–(8) para calcular as direcoes de busca.
E chamado factıvel quando (6) e (7) devem ser satisfeitos em toda
iteracao. Caso contrario, o metodo e chamado infactıvel.
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I Metodos de pontos interiores: Perturbam a dificuldade do sistema KKT:
Ax = b (6)
AT p+ s = c (7)
sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)
para µ > 0. Baseiam-se na direcao do metodo de Newton para determinar
direcoes de busca, tais que iterativamente o valor de µ e estritamente
reduzido e, assim, µ→ 0. Alem disso:
I Metodo primal-dual: usa (6)–(8) para calcular as direcoes de busca.
E chamado factıvel quando (6) e (7) devem ser satisfeitos em toda
iteracao.
Caso contrario, o metodo e chamado infactıvel.
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Dualidade. Condicoes KKT: Metodos de solucao
I Metodos de pontos interiores: Perturbam a dificuldade do sistema KKT:
Ax = b (6)
AT p+ s = c (7)
sjxj = µ, j = 1, . . . , n (8)
para µ > 0. Baseiam-se na direcao do metodo de Newton para determinar
direcoes de busca, tais que iterativamente o valor de µ e estritamente
reduzido e, assim, µ→ 0. Alem disso:
I Metodo primal-dual: usa (6)–(8) para calcular as direcoes de busca.
E chamado factıvel quando (6) e (7) devem ser satisfeitos em toda
iteracao. Caso contrario, o metodo e chamado infactıvel.
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Metodo simplex
I Vamos agora estudar o metodo (primal) simplex;
I Metodo iterativo para resolver problemas de programacao linear;
I Em media, menos de 3m iteracoes para obter a solucao otima
(embora tenha complexidade nao-polinomial);
I Proposto em 1947 por George B. Dantzig;
I 2000: reconhecido como um dos 10 algoritmos mais importantes do
seculo 20 (IEEE);
I 2012: ”The algorithm that runs the world”(NewScientist).
Otimizacao Contınua e Discreta (Prof. Pedro Munari, [email protected])
Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
I Vamos agora estudar o metodo (primal) simplex;
I Metodo iterativo para resolver problemas de programacao linear;
I Em media, menos de 3m iteracoes para obter a solucao otima
(embora tenha complexidade nao-polinomial);
I Proposto em 1947 por George B. Dantzig;
I 2000: reconhecido como um dos 10 algoritmos mais importantes do
seculo 20 (IEEE);
I 2012: ”The algorithm that runs the world”(NewScientist).
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
I Vamos agora estudar o metodo (primal) simplex;
I Metodo iterativo para resolver problemas de programacao linear;
I Em media, menos de 3m iteracoes para obter a solucao otima
(embora tenha complexidade nao-polinomial);
I Proposto em 1947 por George B. Dantzig;
I 2000: reconhecido como um dos 10 algoritmos mais importantes do
seculo 20 (IEEE);
I 2012: ”The algorithm that runs the world”(NewScientist).
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
I Vamos agora estudar o metodo (primal) simplex;
I Metodo iterativo para resolver problemas de programacao linear;
I Em media, menos de 3m iteracoes para obter a solucao otima
(embora tenha complexidade nao-polinomial);
I Proposto em 1947 por George B. Dantzig;
I 2000: reconhecido como um dos 10 algoritmos mais importantes do
seculo 20 (IEEE);
I 2012: ”The algorithm that runs the world”(NewScientist).
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
I Vamos agora estudar o metodo (primal) simplex;
I Metodo iterativo para resolver problemas de programacao linear;
I Em media, menos de 3m iteracoes para obter a solucao otima
(embora tenha complexidade nao-polinomial);
I Proposto em 1947 por George B. Dantzig;
I 2000: reconhecido como um dos 10 algoritmos mais importantes do
seculo 20 (IEEE);
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Metodo simplex
I Vamos agora estudar o metodo (primal) simplex;
I Metodo iterativo para resolver problemas de programacao linear;
I Em media, menos de 3m iteracoes para obter a solucao otima
(embora tenha complexidade nao-polinomial);
I Proposto em 1947 por George B. Dantzig;
I 2000: reconhecido como um dos 10 algoritmos mais importantes do
seculo 20 (IEEE);
I 2012: ”The algorithm that runs the world”(NewScientist).
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
In putting together this issue of Computing in Science & Engineering, we knew three things:it would be difficult to list just 10 algorithms;it would be fun to assemble the authors andread their papers; and, whatever we came upwith in the end, it would be controversial. We
tried to assemble the 10 algorithms with the greatestinfluence on the development and practice of scienceand engineering in the 20th century. Following is ourlist (here, the list is in chronological order; however,the articles appear in no particular order):
• Metropolis Algorithm for Monte Carlo• Simplex Method for Linear Programming• Krylov Subspace Iteration Methods• The Decompositional Approach to MatrixComputations• The Fortran Optimizing Compiler• QR Algorithm for Computing Eigenvalues• Quicksort Algorithm for Sorting• Fast Fourier Transform• Integer Relation Detection• Fast Multipole Method
With each of these algorithms or approaches, thereis a person or group receiving credit for inventing ordiscovering the method. Of course, the reality is thatthere is generally a culmination of ideas that leads to amethod. In some cases, we chose authors who had a
hand in developing the algorithm, and in other cases,the author is a leading authority.
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Monte Carlo methods are powerful tools for evalu-ating the properties of complex, many-body systems,as well as nondeterministic processes. Isabel Beichl andFrancis Sullivan describe the Metropolis Algorithm.We are often confronted with problems that have anenormous number of dimensions or a process that in-volves a path with many possible branch points, eachof which is governed by some fundamental probabilityof occurence. The solutions are not exact in a rigorousway, because we randomly sample the problem. How-ever, it is possible to achieve nearly exact results using arelatively small number of samples compared to theproblem’s dimensions. Indeed, Monte Carlo methodsare the only practical choice for evaluating problems ofhigh dimensions.John Nash describes the Simplex method for solv-ing linear programming problems. (The use of theword programming here really refers to scheduling orplanning—and not in the way that we tell a computerwhat must be done.) The Simplex method relies onnoticing that the objective function’s maximum mustoccur on a corner of the space bounded by the con-straints of the “feasible region.”Large-scale problems in engineering and science of-ten require solution of sparse linear algebra problems,such as systems of equations. The importance of iter-ative algorithms in linear algebra stems from the sim-ple fact that a direct approach will require O(N3) work.The Krylov subspace iteration methods have led to amajor change in how users deal with large, sparse, non-symmetric matrix problems. In this article, Henk vander Vorst describes the state of the art in terms of
�������� �� ������� ���������
JACKDONGARRA
University of Tennessee and Oak Ridge National Laboratory
FRANCIS SULLIVAN
IDA Center for Computing Sciences
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Otimizacao Contınua e Discreta (Prof. Pedro Munari, [email protected])
Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
NewScientist, 2012: ”You might not have heard of the algorithm that
runs the world.
Few people have, though it can determine much that
goes on in our day-to-day lives: the food we have to eat, our schedule at
work, when the train will come to take us there. Somewhere, in some
server basement right now, it is probably working on some aspect of your
life tomorrow, next week, in a year’s time.”
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
NewScientist, 2012: ”You might not have heard of the algorithm that
runs the world. Few people have, though it can determine much that
goes on in our day-to-day lives:
the food we have to eat, our schedule at
work, when the train will come to take us there. Somewhere, in some
server basement right now, it is probably working on some aspect of your
life tomorrow, next week, in a year’s time.”
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Metodo simplex
NewScientist, 2012: ”You might not have heard of the algorithm that
runs the world. Few people have, though it can determine much that
goes on in our day-to-day lives: the food we have to eat, our schedule at
work, when the train will come to take us there.
Somewhere, in some
server basement right now, it is probably working on some aspect of your
life tomorrow, next week, in a year’s time.”
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Metodo simplex
NewScientist, 2012: ”You might not have heard of the algorithm that
runs the world. Few people have, though it can determine much that
goes on in our day-to-day lives: the food we have to eat, our schedule at
work, when the train will come to take us there. Somewhere, in some
server basement right now,
it is probably working on some aspect of your
life tomorrow, next week, in a year’s time.”
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Metodo simplex
NewScientist, 2012: ”You might not have heard of the algorithm that
runs the world. Few people have, though it can determine much that
goes on in our day-to-day lives: the food we have to eat, our schedule at
work, when the train will come to take us there. Somewhere, in some
server basement right now, it is probably working on some aspect of your
life tomorrow, next week, in a year’s time.”
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
I Metodos tipo simplex se baseiam em particoes B e N ;
I xj = 0, ∀j ∈ N , enquanto sj = 0, ∀j ∈ B;
I Precisamos nos preocupar com Ax = b, AT p + s = c e x, s ≥ 0;
I Surgem entao as questoes:
I Qual a particao otima?
I E viavel testarmos todas as particoes possıveis?
I Se tivermos uma particao qualquer, como detectar se ela e otima?
I Se nao for otima, e sempre possıvel determinar uma melhor?
I Para enumerar todas as particoes: combinar os n ındices, m a m;
I Isso exigiria avaliar aten!
m!(n−m)!particoes!
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Metodo simplex
I Metodos tipo simplex se baseiam em particoes B e N ;
I xj = 0, ∀j ∈ N , enquanto sj = 0, ∀j ∈ B;
I Precisamos nos preocupar com Ax = b, AT p + s = c e x, s ≥ 0;
I Surgem entao as questoes:
I Qual a particao otima?
I E viavel testarmos todas as particoes possıveis?
I Se tivermos uma particao qualquer, como detectar se ela e otima?
I Se nao for otima, e sempre possıvel determinar uma melhor?
I Para enumerar todas as particoes: combinar os n ındices, m a m;
I Isso exigiria avaliar aten!
m!(n−m)!particoes!
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Metodo simplex
I Metodos tipo simplex se baseiam em particoes B e N ;
I xj = 0, ∀j ∈ N , enquanto sj = 0, ∀j ∈ B;
I Precisamos nos preocupar com Ax = b, AT p + s = c e x, s ≥ 0;
I Surgem entao as questoes:
I Qual a particao otima?
I E viavel testarmos todas as particoes possıveis?
I Se tivermos uma particao qualquer, como detectar se ela e otima?
I Se nao for otima, e sempre possıvel determinar uma melhor?
I Para enumerar todas as particoes: combinar os n ındices, m a m;
I Isso exigiria avaliar aten!
m!(n−m)!particoes!
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Metodo simplex
I Metodos tipo simplex se baseiam em particoes B e N ;
I xj = 0, ∀j ∈ N , enquanto sj = 0, ∀j ∈ B;
I Precisamos nos preocupar com Ax = b, AT p + s = c e x, s ≥ 0;
I Surgem entao as questoes:
I Qual a particao otima?
I E viavel testarmos todas as particoes possıveis?
I Se tivermos uma particao qualquer, como detectar se ela e otima?
I Se nao for otima, e sempre possıvel determinar uma melhor?
I Para enumerar todas as particoes: combinar os n ındices, m a m;
I Isso exigiria avaliar aten!
m!(n−m)!particoes!
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Metodo simplex
I Metodos tipo simplex se baseiam em particoes B e N ;
I xj = 0, ∀j ∈ N , enquanto sj = 0, ∀j ∈ B;
I Precisamos nos preocupar com Ax = b, AT p + s = c e x, s ≥ 0;
I Surgem entao as questoes:
I Qual a particao otima?
I E viavel testarmos todas as particoes possıveis?
I Se tivermos uma particao qualquer, como detectar se ela e otima?
I Se nao for otima, e sempre possıvel determinar uma melhor?
I Para enumerar todas as particoes: combinar os n ındices, m a m;
I Isso exigiria avaliar aten!
m!(n−m)!particoes!
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
I Metodos tipo simplex se baseiam em particoes B e N ;
I xj = 0, ∀j ∈ N , enquanto sj = 0, ∀j ∈ B;
I Precisamos nos preocupar com Ax = b, AT p + s = c e x, s ≥ 0;
I Surgem entao as questoes:
I Qual a particao otima?
I E viavel testarmos todas as particoes possıveis?
I Se tivermos uma particao qualquer, como detectar se ela e otima?
I Se nao for otima, e sempre possıvel determinar uma melhor?
I Para enumerar todas as particoes: combinar os n ındices, m a m;
I Isso exigiria avaliar aten!
m!(n−m)!particoes!
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
I Metodos tipo simplex se baseiam em particoes B e N ;
I xj = 0, ∀j ∈ N , enquanto sj = 0, ∀j ∈ B;
I Precisamos nos preocupar com Ax = b, AT p + s = c e x, s ≥ 0;
I Surgem entao as questoes:
I Qual a particao otima?
I E viavel testarmos todas as particoes possıveis?
I Se tivermos uma particao qualquer, como detectar se ela e otima?
I Se nao for otima, e sempre possıvel determinar uma melhor?
I Para enumerar todas as particoes: combinar os n ındices, m a m;
I Isso exigiria avaliar aten!
m!(n−m)!particoes!
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
I Metodos tipo simplex se baseiam em particoes B e N ;
I xj = 0, ∀j ∈ N , enquanto sj = 0, ∀j ∈ B;
I Precisamos nos preocupar com Ax = b, AT p + s = c e x, s ≥ 0;
I Surgem entao as questoes:
I Qual a particao otima?
I E viavel testarmos todas as particoes possıveis?
I Se tivermos uma particao qualquer, como detectar se ela e otima?
I Se nao for otima, e sempre possıvel determinar uma melhor?
I Para enumerar todas as particoes: combinar os n ındices, m a m;
I Isso exigiria avaliar aten!
m!(n−m)!particoes!
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
I Metodos tipo simplex se baseiam em particoes B e N ;
I xj = 0, ∀j ∈ N , enquanto sj = 0, ∀j ∈ B;
I Precisamos nos preocupar com Ax = b, AT p + s = c e x, s ≥ 0;
I Surgem entao as questoes:
I Qual a particao otima?
I E viavel testarmos todas as particoes possıveis?
I Se tivermos uma particao qualquer, como detectar se ela e otima?
I Se nao for otima, e sempre possıvel determinar uma melhor?
I Para enumerar todas as particoes: combinar os n ındices, m a m;
I Isso exigiria avaliar aten!
m!(n−m)!particoes!
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
I Metodos tipo simplex se baseiam em particoes B e N ;
I xj = 0, ∀j ∈ N , enquanto sj = 0, ∀j ∈ B;
I Precisamos nos preocupar com Ax = b, AT p + s = c e x, s ≥ 0;
I Surgem entao as questoes:
I Qual a particao otima?
I E viavel testarmos todas as particoes possıveis?
I Se tivermos uma particao qualquer, como detectar se ela e otima?
I Se nao for otima, e sempre possıvel determinar uma melhor?
I Para enumerar todas as particoes: combinar os n ındices, m a m;
I Isso exigiria avaliar aten!
m!(n−m)!particoes!
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Exemplo
Problema das ligas metalicas na forma padrao:
min −3x1 − 2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5
s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
Otimizacao Contınua e Discreta (Prof. Pedro Munari, [email protected])
Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Exemplo
min f(x) = −3x1 − 2x2
s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
x =
x1
x2
x3
x4
x5
, c =
−3
−2
0
0
0
, A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
, b =
3
1
3
Ax = b
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Exemplo
min f(x) = −3x1 − 2x2
s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
x =
x1
x2
x3
x4
x5
, c =
−3
−2
0
0
0
, A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
, b =
3
1
3
Ax = b
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Exemplo
min f(x) = −3x1 − 2x2
s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
x =
x1
x2
x3
x4
x5
,
c =
−3
−2
0
0
0
, A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
, b =
3
1
3
Ax = b
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Exemplo
min f(x) = −3x1 − 2x2
s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
x =
x1
x2
x3
x4
x5
, c =
−3
−2
0
0
0
, A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
, b =
3
1
3
Ax = b
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Metodo simplex. Exemplo
min f(x) = −3x1 − 2x2
s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
x =
x1
x2
x3
x4
x5
, c =
−3
−2
0
0
0
,
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
, b =
3
1
3
Ax = b
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Metodo simplex. Exemplo
min f(x) = −3x1 − 2x2
s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
x =
x1
x2
x3
x4
x5
, c =
−3
−2
0
0
0
, A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
, b =
3
1
3
Ax = b
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Metodo simplex. Exemplo
min f(x) = −3x1 − 2x2
s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
x =
x1
x2
x3
x4
x5
, c =
−3
−2
0
0
0
, A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
,
b =
3
1
3
Ax = b
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Exemplo
min f(x) = −3x1 − 2x2
s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
x =
x1
x2
x3
x4
x5
, c =
−3
−2
0
0
0
, A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
, b =
3
1
3
Ax = b
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Exemplo
min f(x) = −3x1 − 2x2
s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
x =
x1
x2
x3
x4
x5
, c =
−3
−2
0
0
0
, A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
, b =
3
1
3
Ax = b
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
0,5
0,1
0,4
x1
+
0,3
0,2
0,5
x2 +
1
0
0
x3 +
0
1
0
x4 +
0
0
1
x5 =
3
1
3
a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 = b
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
0,5
0,1
0,4
x1 +
0,3
0,2
0,5
x2
+
1
0
0
x3 +
0
1
0
x4 +
0
0
1
x5 =
3
1
3
a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 = b
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Metodo simplex. Restricoes primais
0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
0,5
0,1
0,4
x1 +
0,3
0,2
0,5
x2 +
1
0
0
x3
+
0
1
0
x4 +
0
0
1
x5 =
3
1
3
a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 = b
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
0,5
0,1
0,4
x1 +
0,3
0,2
0,5
x2 +
1
0
0
x3 +
0
1
0
x4
+
0
0
1
x5 =
3
1
3
a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 = b
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
0,5
0,1
0,4
x1 +
0,3
0,2
0,5
x2 +
1
0
0
x3 +
0
1
0
x4 +
0
0
1
x5
=
3
1
3
a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 = b
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
0,5
0,1
0,4
x1 +
0,3
0,2
0,5
x2 +
1
0
0
x3 +
0
1
0
x4 +
0
0
1
x5 =
3
1
3
a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 = b
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
0,5
0,1
0,4
x1 +
0,3
0,2
0,5
x2 +
1
0
0
x3 +
0
1
0
x4 +
0
0
1
x5 =
3
1
3
a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 = b
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
Para uma dada particao B = {3, 2, 5}, N = {1, 4} :
1 0,3 0
0 0,2 0
0 0,5 1
x3
x2
x5
+
0,5
0,1
0,4
x1 +
0
1
0
x4 =
3
1
3
ABxB + a1x1 + a4x4 = bB := AB
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
Para uma dada particao B = {3, 2, 5}, N = {1, 4} :
1 0,3 0
0 0,2 0
0 0,5 1
x3
x2
x5
+
0,5
0,1
0,4
x1 +
0
1
0
x4 =
3
1
3
BxB + a1x1 + a4x4 = bB := AB
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
Para uma dada particao B = {3, 2, 5}, N = {1, 4} :
1 0,3 0
0 0,2 0
0 0,5 1
x3
x2
x5
=
3
1
3
−
0,5
0,1
0,4
x1 −
0
1
0
x4
BxB = b− a1x1 − a4x4
B := AB
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
Como deixar apenas o vetor (x3, x2, x5) do lado esquerdo?
1 0,3 0
0 0,2 0
0 0,5 1
−1
1 0,3 0
0 0,2 0
0 0,5 1
x3
x2
x5
=
3
1
3
−
0,5
0,1
0,4
x1 −
0
1
0
x4
B−1 (BxB = b− a1x1 − a4x4)
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
Como deixar apenas o vetor (x3, x2, x5) do lado esquerdo?
1 0,3 0
0 0,2 0
0 0,5 1
−1
1 0,3 0
0 0,2 0
0 0,5 1
x3
x2
x5
=
3
1
3
−
0,5
0,1
0,4
x1 −
0
1
0
x4
B−1 (BxB = b− a1x1 − a4x4)
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
Como deixar apenas o vetor (x3, x2, x5) do lado esquerdo?
x3
x2
x5
=
1 0,3 0
0 0,2 0
0 0,5 1
−1 3
1
3
− 1 0,3 0
0 0,2 0
0 0,5 1
−1 0,5
0,1
0,4
x1−
1 0,3 0
0 0,2 0
0 0,5 1
−1 0
1
0
x4
xB = B−1b−B−1a1x1 −B−1a4x4
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
Como deixar apenas o vetor (x3, x2, x5) do lado esquerdo?
x3
x2
x5
=
1 −1,5 0
0 5 0
0 −2,5 1
3
1
3
− 1 −1,5 0
0 5 0
0 −2,5 1
0,5
0,1
0,4
x1−
1 −1,5 0
0 5 0
0 −2,5 1
0
1
0
x4
xB = B−1b−B−1a1x1 −B−1a4x4
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
Como deixar apenas o vetor (x3, x2, x5) do lado esquerdo?
x3
x2
x5
=
1,5
5
0,5
− 0,35
0,5
0,15
x1 −
−1,5
5
−2,5
x4
xB = B−1b−B−1a1x1 −B−1a4x4
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
No caso geral:
Ax = b
A(xB, xN ) = b
ABxB + ANxN = b
BxB + NxN = b
BxB +∑j∈N
ajxj = b
BxB = b−∑j∈N
ajxj
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Metodo simplex. Restricoes primais
No caso geral:
Ax = b
A(xB, xN ) = b
ABxB + ANxN = b
BxB + NxN = b
BxB +∑j∈N
ajxj = b
BxB = b−∑j∈N
ajxj
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
No caso geral:
Ax = b
A(xB, xN ) = b
ABxB + ANxN = b
BxB + NxN = b
BxB +∑j∈N
ajxj = b
BxB = b−∑j∈N
ajxj
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
No caso geral:
Ax = b
A(xB, xN ) = b
ABxB + ANxN = b
BxB + NxN = b
BxB +∑j∈N
ajxj = b
BxB = b−∑j∈N
ajxj
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
No caso geral:
Ax = b
A(xB, xN ) = b
ABxB + ANxN = b
BxB + NxN = b
BxB +∑j∈N
ajxj = b
BxB = b−∑j∈N
ajxj
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes primais
No caso geral:
Ax = b
A(xB, xN ) = b
ABxB + ANxN = b
BxB + NxN = b
BxB +∑j∈N
ajxj = b
BxB = b−∑j∈N
ajxj
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Solucao geral e solucao basica
No caso geral:
xB = B−1b−∑j∈N
B−1ajxj
(solucao geral)
Solucao particular com xN = 0:
xB = B−1b−������∑
j∈NB−1ajxj
xB = B−1b, xN = 0
(solucao basica)
(observe que usamos um traco sobre x para indicar que e uma solucao particular)
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Solucao geral e solucao basica
No caso geral:
xB = B−1b−∑j∈N
B−1ajxj (solucao geral)
Solucao particular com xN = 0:
xB = B−1b−������∑
j∈NB−1ajxj
xB = B−1b, xN = 0
(solucao basica)
(observe que usamos um traco sobre x para indicar que e uma solucao particular)
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Solucao geral e solucao basica
No caso geral:
xB = B−1b−∑j∈N
B−1ajxj (solucao geral)
Solucao particular com xN = 0:
xB = B−1b−������∑
j∈NB−1ajxj
xB = B−1b, xN = 0
(solucao basica)
(observe que usamos um traco sobre x para indicar que e uma solucao particular)
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Solucao geral e solucao basica
No caso geral:
xB = B−1b−∑j∈N
B−1ajxj (solucao geral)
Solucao particular com xN = 0:
xB = B−1b−������∑
j∈NB−1ajxj
xB = B−1b, xN = 0
(solucao basica)
(observe que usamos um traco sobre x para indicar que e uma solucao particular)
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Solucao geral e solucao basica
No caso geral:
xB = B−1b−∑j∈N
B−1ajxj (solucao geral)
Solucao particular com xN = 0:
xB = B−1b−������∑
j∈NB−1ajxj
xB = B−1b, xN = 0
(solucao basica)
(observe que usamos um traco sobre x para indicar que e uma solucao particular)
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Solucao geral e solucao basica
No caso geral:
xB = B−1b−∑j∈N
B−1ajxj (solucao geral)
Solucao particular com xN = 0:
xB = B−1b−������∑
j∈NB−1ajxj
xB = B−1b, xN = 0 (solucao basica)
(observe que usamos um traco sobre x para indicar que e uma solucao particular)
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Solucao geral e solucao basica
No caso geral:
xB = B−1b−∑j∈N
B−1ajxj (solucao geral)
Solucao particular com xN = 0:
xB = B−1b−������∑
j∈NB−1ajxj
xB = B−1b, xN = 0 (solucao basica)
(observe que usamos um traco sobre x para indicar que e uma solucao particular)
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
ATp+ s = c
0,5 0,1 0,4
0,3 0,2 0,5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
p1
p2
p3
+
s1
s2
s3
s4
s5
=
−3
−2
0
0
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
ATp+ s = c
0,5 0,1 0,4
0,3 0,2 0,5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
p1
p2
p3
+
s1
s2
s3
s4
s5
=
−3
−2
0
0
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
ATp+ s = c
0,5 0,1 0,4
0,3 0,2 0,5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
p1
p2
p3
+
s1
s2
s3
s4
s5
=
−3
−2
0
0
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
ATp+ s = c
0,5 0,1 0,4
0,3 0,2 0,5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
p1
p2
p3
+
s1
s2
s3
s4
s5
=
−3
−2
0
0
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
ATp+ s = c
0,5 0,1 0,4
0,3 0,2 0,5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
p1
p2
p3
+
s1
s2
s3
s4
s5
=
−3
−2
0
0
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
BTp+ sB = cB
NTp+ sN = cN
(B := AB, N := AN )
Para uma dada particao B = {1, 2, 3}, N = {4, 5} :
0,5 0,1 0,4
0,3 0,2 0,5
1 0 0
p1
p2
p3
+
s1
s2
s3
=
−3
−2
0
0 1 0
0 0 1
p1
p2
p3
+
s4
s5
=
0
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
BTp+ sB = cB
NTp+ sN = cN
(B := AB, N := AN )
Para uma dada particao B = {1, 2, 3}, N = {4, 5} :
0,5 0,1 0,4
0,3 0,2 0,5
1 0 0
p1
p2
p3
+
s1
s2
s3
=
−3
−2
0
0 1 0
0 0 1
p1
p2
p3
+
s4
s5
=
0
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
BTp+ sB = cB
NTp+ sN = cN
(B := AB, N := AN )
Para uma dada particao B = {1, 2, 3}, N = {4, 5} :
0,5 0,1 0,4
0,3 0,2 0,5
1 0 0
p1
p2
p3
+
s1
s2
s3
=
−3
−2
0
0 1 0
0 0 1
p1
p2
p3
+
s4
s5
=
0
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
BTp+ sB = cB
NTp+ sN = cN
(B := AB, N := AN )
Para uma dada particao B = {1, 2, 3}, N = {4, 5} :
0,5 0,1 0,4
0,3 0,2 0,5
1 0 0
p1
p2
p3
+
s1
s2
s3
=
−3
−2
0
0 1 0
0 0 1
p1
p2
p3
+
s4
s5
=
0
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
BTp+ sB = cB
NTp+ sN = cN
(B := AB, N := AN )
Para uma dada particao B = {1, 2, 3}, N = {4, 5} :
0,5 0,1 0,4
0,3 0,2 0,5
1 0 0
p1
p2
p3
+
s1
s2
s3
=
−3
−2
0
0 1 0
0 0 1
p1
p2
p3
+
s4
s5
=
0
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
BTp+ sB = cB
NTp+ sN = cN
(B := AB, N := AN )
Para uma dada particao B = {1, 2, 3}, N = {4, 5} :
0,5 0,1 0,4
0,3 0,2 0,5
1 0 0
p1
p2
p3
+
s1
s2
s3
=
−3
−2
0
0 1 0
0 0 1
p1
p2
p3
+
s4
s5
=
0
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
BTp+ sB = cB
NTp+ sN = cN
(B := AB, N := AN )
Para uma dada particao B = {3, 2, 5}, N = {1, 4} :
1 0 0
0,3 0,2 0,5
0 0 1
p1
p2
p3
+
s3
s2
s5
=
0
−2
0
0,5 0,1 0,4
0 1 0
p1
p2
p3
+
s1
s4
=
−3
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
BTp+ sB = cB
NTp+ sN = cN
(B := AB, N := AN )
Para uma dada particao B = {3, 2, 5}, N = {1, 4} :
1 0 0
0,3 0,2 0,5
0 0 1
p1
p2
p3
+
s3
s2
s5
=
0
−2
0
0,5 0,1 0,4
0 1 0
p1
p2
p3
+
s1
s4
=
−3
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
BTp+ sB = cB
NTp+ sN = cN
(B := AB, N := AN )
Para uma dada particao B = {3, 2, 5}, N = {1, 4} :
1 0 0
0,3 0,2 0,5
0 0 1
p1
p2
p3
+
s3
s2
s5
=
0
−2
0
0,5 0,1 0,4
0 1 0
p1
p2
p3
+
s1
s4
=
−3
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
BTp+ sB = cB
NTp+ sN = cN
(B := AB, N := AN )
Para uma dada particao B = {3, 2, 5}, N = {1, 4} :
1 0 0
0,3 0,2 0,5
0 0 1
p1
p2
p3
+
s3
s2
s5
=
0
−2
0
0,5 0,1 0,4
0 1 0
p1
p2
p3
+
s1
s4
=
−3
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
BTp+ sB = cB
NTp+ sN = cN
(B := AB, N := AN )
Para uma dada particao B = {3, 2, 5}, N = {1, 4} :
1 0 0
0,3 0,2 0,5
0 0 1
p1
p2
p3
+
s3
s2
s5
=
0
−2
0
0,5 0,1 0,4
0 1 0
p1
p2
p3
+
s1
s4
=
−3
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
BTp = cB − sB
NTp+ sN = cN
(B := AB, N := AN )
Para uma dada particao B = {3, 2, 5}, N = {1, 4} :
1 0 0
0,3 0,2 0,5
0 0 1
p1
p2
p3
=
0
−2
0
−s3
s2
s5
0,5 0,1 0,4
0 1 0
p1
p2
p3
+
s1
s4
=
−3
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Notacao matricial
pTB = cTB − sTB
NTp+ sN = cN
(B := AB, N := AN )
Para uma dada particao B = {3, 2, 5}, N = {1, 4} :
p1
p2
p3
T
1 0,3 0
0 0,2 0
0 0,5 1
=
0
−2
0
T
−
s3
s2
s5
T
0,5 0,1 0,4
0 1 0
p1
p2
p3
+
s1
s4
=
−3
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
pT = cTBB−1 − sTBB
−1
NTp+ sN = cN
(B := AB, N := AN )
Para uma dada particao B = {3, 2, 5}, N = {1, 4} :
p1
p2
p3
T
=
0
−2
0
T
1 −1,5 0
0 5 0
0 −2,5 1
−s3
s2
s5
T
1 −1,5 0
0 5 0
0 −2,5 1
0,5 0,1 0,4
0 1 0
p1
p2
p3
+
s1
s4
=
−3
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
pT = cTBB−1 − sTBB
−1
NTp+ sN = cN
(B := AB, N := AN )
Para uma dada particao B = {3, 2, 5}, N = {1, 4} :
p1
p2
p3
T
=
0
−10
0
T
−
s3
s2
s5
T
1 −1,5 0
0 5 0
0 −2,5 1
0,5 0,1 0,4
0 1 0
p1
p2
p3
+
s1
s4
=
−3
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Restricoes duais
pT = cTBB−1 − sTBB
−1
pTaj + sj = cj, ∀j ∈ N(B := AB, N := AN )
Para uma dada particao B = {3, 2, 5}, N = {1, 4} :
p1
p2
p3
T
=
0
−10
0
T
−
s3
s2
s5
T
1 −1,5 0
0 5 0
0 −2,5 1
[p1 p2 p3
]0,5
0,1
0,4
+ s1 = −3;[p1 p2 p3
]0
1
0
+ s4 = 0
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Metodo simplex. Restricoes duais
pT = cTBB−1 − sTBB
−1
sj = cj − pTaj, ∀j ∈ N(B := AB, N := AN )
Para uma dada particao B = {3, 2, 5}, N = {1, 4} :
p1
p2
p3
T
=
0
−10
0
T
−
s3
s2
s5
T
1 −1,5 0
0 5 0
0 −2,5 1
s1 = −3−[p1 p2 p3
]0,5
0,1
0,4
; s4 = 0−[p1 p2 p3
]0
1
0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Solucao geral e solucao basica
Assim, no caso geral, as restricoes duais resultam em:
pT = cTBB−1 − sTBB
−1
sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N
(Solucao geral dual)
Fixando sB = 0, obtemos a solucao particular:
pT = cTBB−1, sB = 0,
sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N .
(Solucao basica dual)
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Metodo simplex. Solucao geral e solucao basica
Assim, no caso geral, as restricoes duais resultam em:
pT = cTBB−1 − sTBB
−1
sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N
(Solucao geral dual)
Fixando sB = 0, obtemos a solucao particular:
pT = cTBB−1, sB = 0,
sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N .
(Solucao basica dual)
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Metodo simplex. Solucao geral e solucao basica
Assim, no caso geral, as restricoes duais resultam em:
pT = cTBB−1 − sTBB
−1
sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N
(Solucao geral dual)
Fixando sB = 0, obtemos a solucao particular:
pT = cTBB−1, sB = 0,
sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N .
(Solucao basica dual)
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Metodo simplex. Solucao geral e solucao basica
Assim, no caso geral, as restricoes duais resultam em:
pT = cTBB−1 − sTBB
−1
sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N
(Solucao geral dual)
Fixando sB = 0, obtemos a solucao particular:
pT = cTBB−1, sB = 0,
sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N .
(Solucao basica dual)
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Metodo simplex. Solucao geral e solucao basica
Assim, no caso geral, as restricoes duais resultam em:
pT = cTBB−1 − sTBB
−1
sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N
(Solucao geral dual)
Fixando sB = 0, obtemos a solucao particular:
pT = cTBB−1, sB = 0,
sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N .
(Solucao basica dual)
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Metodo simplex. Solucao geral e solucao basica
Assim, no caso geral, as restricoes duais resultam em:
pT = cTBB−1 − sTBB
−1
sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N
(Solucao geral dual)
Fixando sB = 0, obtemos a solucao particular:
pT = cTBB−1, sB = 0,
sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N .
(Solucao basica dual)
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Metodo simplex. Solucao geral e solucao basica
Assim, no caso geral, as restricoes duais resultam em:
pT = cTBB−1 − sTBB
−1
sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N
(Solucao geral dual)
Fixando sB = 0, obtemos a solucao particular:
pT = cTBB−1, sB = 0,
sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N .
(Solucao basica dual)
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Metodo simplex. Solucao geral e solucao basica
Assim, no caso geral, as restricoes duais resultam em:
pT = cTBB−1 − sTBB
−1
sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N
(Solucao geral dual)
Fixando sB = 0, obtemos a solucao particular:
pT = cTBB−1, sB = 0,
sj = cj − pTaj , ∀j ∈ N .
(Solucao basica dual)
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Solucoes basicas
I Metodos tipo simplex partem de uma particao inicial e,
iterativamente, vao modificando essa particao ate obter a otima;
I Os metodos consideram particoes basicas apenas;
I B : ındices basicos ou base;
I B = AB: matriz basica (deve ser invertıvel);
I N : ındices nao-basicos.
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Metodo simplex. Solucoes basicas
I Metodos tipo simplex partem de uma particao inicial e,
iterativamente, vao modificando essa particao ate obter a otima;
I Os metodos consideram particoes basicas apenas;
I B : ındices basicos ou base;
I B = AB: matriz basica (deve ser invertıvel);
I N : ındices nao-basicos.
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Metodo simplex. Solucoes basicas
I Metodos tipo simplex partem de uma particao inicial e,
iterativamente, vao modificando essa particao ate obter a otima;
I Os metodos consideram particoes basicas apenas;
I B : ındices basicos ou base;
I B = AB: matriz basica (deve ser invertıvel);
I N : ındices nao-basicos.
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Metodo simplex. Solucoes basicas
I Metodos tipo simplex partem de uma particao inicial e,
iterativamente, vao modificando essa particao ate obter a otima;
I Os metodos consideram particoes basicas apenas;
I B : ındices basicos ou base;
I B = AB: matriz basica (deve ser invertıvel);
I N : ındices nao-basicos.
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Metodo simplex. Solucoes basicas
I Metodos tipo simplex partem de uma particao inicial e,
iterativamente, vao modificando essa particao ate obter a otima;
I Os metodos consideram particoes basicas apenas;
I B : ındices basicos ou base;
I B = AB: matriz basica (deve ser invertıvel);
I N : ındices nao-basicos.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Exemplo
Determine a solucao otima do problema de programacao linear:
min −3x1 − 2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5
s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Exemplo
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I Essa solucao e otima?
I Como obter uma solucao melhor?
B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Exemplo
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I Essa solucao e otima?
I Como obter uma solucao melhor?
B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Metodo simplex. Exemplo
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I Essa solucao e otima?
I Como obter uma solucao melhor?
B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Metodo simplex. Exemplo
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I Essa solucao e otima?
I Como obter uma solucao melhor?
B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Metodo simplex. Exemplo
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I Essa solucao e otima?
I Como obter uma solucao melhor?
B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB
= B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Metodo simplex. Exemplo
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I Essa solucao e otima?
I Como obter uma solucao melhor?
B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b
=
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Metodo simplex. Exemplo
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I Essa solucao e otima?
I Como obter uma solucao melhor?
B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Metodo simplex. Exemplo
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I Essa solucao e otima?
I Como obter uma solucao melhor?
B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]
s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Metodo simplex. Exemplo
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I Essa solucao e otima?
I Como obter uma solucao melhor?
B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT =
cTBB−1 =
[0 0 0
]
s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Exemplo
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I Essa solucao e otima?
I Como obter uma solucao melhor?
B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]
s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Exemplo
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I Essa solucao e otima?
I Como obter uma solucao melhor?
B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]
s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Exemplo
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I Essa solucao e otima?
I Como obter uma solucao melhor?
B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 =
− 3
s2 = c2 − pT a2 =
− 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Exemplo
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I Essa solucao e otima?
I Como obter uma solucao melhor?
B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Exemplo
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I Essa solucao e otima?
I Como obter uma solucao melhor?
B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Exemplo
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I Essa solucao e otima?
I Como obter uma solucao melhor?
B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Condicoes KKT (Karush-Kuhn-Tucker)
Ax = b (9)
AT p + s = c (10)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)
x, s ≥ 0 (12)
I Toda solucao basica satisfaz (9), (10) e (11);
I Para ser otima, falta satisfazer (12);
I No metodo primal simplex, toda solucao basica deve ser primal factıvel e,
portanto, deve satisfazer x ≥ 0;
I Devemos buscar pela particao basica que tambem satisfaca s ≥ 0.
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Metodo simplex. Condicoes KKT (Karush-Kuhn-Tucker)
Ax = b (9)
AT p + s = c (10)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)
x, s ≥ 0 (12)
I Toda solucao basica satisfaz
(9), (10) e (11);
I Para ser otima, falta satisfazer (12);
I No metodo primal simplex, toda solucao basica deve ser primal factıvel e,
portanto, deve satisfazer x ≥ 0;
I Devemos buscar pela particao basica que tambem satisfaca s ≥ 0.
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Metodo simplex. Condicoes KKT (Karush-Kuhn-Tucker)
Ax = b (9)
AT p + s = c (10)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)
x, s ≥ 0 (12)
I Toda solucao basica satisfaz (9), (10) e (11);
I Para ser otima, falta satisfazer (12);
I No metodo primal simplex, toda solucao basica deve ser primal factıvel e,
portanto, deve satisfazer x ≥ 0;
I Devemos buscar pela particao basica que tambem satisfaca s ≥ 0.
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Metodo simplex. Condicoes KKT (Karush-Kuhn-Tucker)
Ax = b (9)
AT p + s = c (10)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)
x, s ≥ 0 (12)
I Toda solucao basica satisfaz (9), (10) e (11);
I Para ser otima, falta satisfazer
(12);
I No metodo primal simplex, toda solucao basica deve ser primal factıvel e,
portanto, deve satisfazer x ≥ 0;
I Devemos buscar pela particao basica que tambem satisfaca s ≥ 0.
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Metodo simplex. Condicoes KKT (Karush-Kuhn-Tucker)
Ax = b (9)
AT p + s = c (10)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)
x, s ≥ 0 (12)
I Toda solucao basica satisfaz (9), (10) e (11);
I Para ser otima, falta satisfazer (12);
I No metodo primal simplex, toda solucao basica deve ser primal factıvel e,
portanto, deve satisfazer x ≥ 0;
I Devemos buscar pela particao basica que tambem satisfaca s ≥ 0.
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Metodo simplex. Condicoes KKT (Karush-Kuhn-Tucker)
Ax = b (9)
AT p + s = c (10)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)
x, s ≥ 0 (12)
I Toda solucao basica satisfaz (9), (10) e (11);
I Para ser otima, falta satisfazer (12);
I No metodo primal simplex, toda solucao basica deve ser primal factıvel
e,
portanto, deve satisfazer x ≥ 0;
I Devemos buscar pela particao basica que tambem satisfaca s ≥ 0.
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Metodo simplex. Condicoes KKT (Karush-Kuhn-Tucker)
Ax = b (9)
AT p + s = c (10)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)
x, s ≥ 0 (12)
I Toda solucao basica satisfaz (9), (10) e (11);
I Para ser otima, falta satisfazer (12);
I No metodo primal simplex, toda solucao basica deve ser primal factıvel e,
portanto, deve satisfazer x ≥ 0;
I Devemos buscar pela particao basica que tambem satisfaca s ≥ 0.
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Metodo simplex. Condicoes KKT (Karush-Kuhn-Tucker)
Ax = b (9)
AT p + s = c (10)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)
x, s ≥ 0 (12)
I Toda solucao basica satisfaz (9), (10) e (11);
I Para ser otima, falta satisfazer (12);
I No metodo primal simplex, toda solucao basica deve ser primal factıvel e,
portanto, deve satisfazer x ≥ 0;
I Devemos buscar pela particao basica que tambem satisfaca
s ≥ 0.
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Metodo simplex. Condicoes KKT (Karush-Kuhn-Tucker)
Ax = b (9)
AT p + s = c (10)
sjxj = 0, j = 1, . . . , n (11)
x, s ≥ 0 (12)
I Toda solucao basica satisfaz (9), (10) e (11);
I Para ser otima, falta satisfazer (12);
I No metodo primal simplex, toda solucao basica deve ser primal factıvel e,
portanto, deve satisfazer x ≥ 0;
I Devemos buscar pela particao basica que tambem satisfaca s ≥ 0.
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Metodo simplex. Funcao objetivo primal
Observe que ao escrevermos a funcao objetivo primalem funcao de xN apenas, obtemos:
f(x) = cTBxB + cTNxN
f(x) = cTB
B−1b−∑j∈N
B−1ajxj
+ cTNxN
f(x) = cTBB−1b−
∑j∈N
cTBB−1ajxj + cTNxN
f(x) = cTBB−1b +
∑j∈N
(cj − cTBB
−1aj)xj
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Metodo simplex. Funcao objetivo primal
Observe que ao escrevermos a funcao objetivo primalem funcao de xN apenas, obtemos:
f(x) = cTBxB + cTNxN
f(x) = cTB
B−1b−∑j∈N
B−1ajxj
+ cTNxN
f(x) = cTBB−1b−
∑j∈N
cTBB−1ajxj + cTNxN
f(x) = cTBB−1b +
∑j∈N
(cj − cTBB
−1aj)xj
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Metodo simplex. Funcao objetivo primal
Observe que ao escrevermos a funcao objetivo primalem funcao de xN apenas, obtemos:
f(x) = cTBxB + cTNxN
f(x) = cTB
B−1b−∑j∈N
B−1ajxj
+ cTNxN
f(x) = cTBB−1b−
∑j∈N
cTBB−1ajxj + cTNxN
f(x) = cTBB−1b +
∑j∈N
(cj − cTBB
−1aj)xj
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Metodo simplex. Funcao objetivo primal
Observe que ao escrevermos a funcao objetivo primalem funcao de xN apenas, obtemos:
f(x) = cTBxB + cTNxN
f(x) = cTB
B−1b−∑j∈N
B−1ajxj
+ cTNxN
f(x) = cTBB−1b−
∑j∈N
cTBB−1ajxj + cTNxN
f(x) = cTBB−1b +
∑j∈N
(cj − cTBB
−1aj)xj
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Funcao objetivo primal
f(x) = cTBB−1b +
∑j∈N
(cj − cTBB
−1aj)xj
Em uma solucao basica, temos que xB = B−1b e pT = cTBB−1. Assim:
f(x) = cTB xB +∑j∈N
(cj − pTaj
)xj
= cTB xB +∑j∈N
sjxj
Por isso, a variavel de folga dual sj (= cj − pTaj) e conhecido como
custo relativo de xj .
Nesse contexto, p e conhecido como vetor multiplicador simplex.
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Metodo simplex. Funcao objetivo primal
f(x) = cTBB−1b +
∑j∈N
(cj − cTBB
−1aj)xj
Em uma solucao basica, temos que xB =
B−1b e pT = cTBB−1. Assim:
f(x) = cTB xB +∑j∈N
(cj − pTaj
)xj
= cTB xB +∑j∈N
sjxj
Por isso, a variavel de folga dual sj (= cj − pTaj) e conhecido como
custo relativo de xj .
Nesse contexto, p e conhecido como vetor multiplicador simplex.
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Metodo simplex. Funcao objetivo primal
f(x) = cTBB−1b +
∑j∈N
(cj − cTBB
−1aj)xj
Em uma solucao basica, temos que xB = B−1b
e pT = cTBB−1. Assim:
f(x) = cTB xB +∑j∈N
(cj − pTaj
)xj
= cTB xB +∑j∈N
sjxj
Por isso, a variavel de folga dual sj (= cj − pTaj) e conhecido como
custo relativo de xj .
Nesse contexto, p e conhecido como vetor multiplicador simplex.
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Metodo simplex. Funcao objetivo primal
f(x) = cTBB−1b +
∑j∈N
(cj − cTBB
−1aj)xj
Em uma solucao basica, temos que xB = B−1b e pT =
cTBB−1. Assim:
f(x) = cTB xB +∑j∈N
(cj − pTaj
)xj
= cTB xB +∑j∈N
sjxj
Por isso, a variavel de folga dual sj (= cj − pTaj) e conhecido como
custo relativo de xj .
Nesse contexto, p e conhecido como vetor multiplicador simplex.
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Metodo simplex. Funcao objetivo primal
f(x) = cTBB−1b +
∑j∈N
(cj − cTBB
−1aj)xj
Em uma solucao basica, temos que xB = B−1b e pT = cTBB−1.
Assim:
f(x) = cTB xB +∑j∈N
(cj − pTaj
)xj
= cTB xB +∑j∈N
sjxj
Por isso, a variavel de folga dual sj (= cj − pTaj) e conhecido como
custo relativo de xj .
Nesse contexto, p e conhecido como vetor multiplicador simplex.
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Metodo simplex. Funcao objetivo primal
f(x) = cTBB−1b +
∑j∈N
(cj − cTBB
−1aj)xj
Em uma solucao basica, temos que xB = B−1b e pT = cTBB−1. Assim:
f(x) =
cTB xB +∑j∈N
(cj − pTaj
)xj
= cTB xB +∑j∈N
sjxj
Por isso, a variavel de folga dual sj (= cj − pTaj) e conhecido como
custo relativo de xj .
Nesse contexto, p e conhecido como vetor multiplicador simplex.
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Metodo simplex. Funcao objetivo primal
f(x) = cTBB−1b +
∑j∈N
(cj − cTBB
−1aj)xj
Em uma solucao basica, temos que xB = B−1b e pT = cTBB−1. Assim:
f(x) = cTB xB +∑j∈N
(cj − pTaj
)xj
= cTB xB +∑j∈N
sjxj
Por isso, a variavel de folga dual sj (= cj − pTaj) e conhecido como
custo relativo de xj .
Nesse contexto, p e conhecido como vetor multiplicador simplex.
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f(x) = cTBB−1b +
∑j∈N
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f(x) = cTB xB +∑j∈N
(cj − pTaj
)xj
= cTB xB +∑j∈N
sjxj
Por isso, a variavel de folga dual sj (= cj − pTaj) e conhecido como
custo relativo de xj .
Nesse contexto, p e conhecido como vetor multiplicador simplex.
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Metodo simplex. Funcao objetivo primal
f(x) = cTBB−1b +
∑j∈N
(cj − cTBB
−1aj)xj
Em uma solucao basica, temos que xB = B−1b e pT = cTBB−1. Assim:
f(x) = cTB xB +∑j∈N
(cj − pTaj
)xj
= cTB xB +∑j∈N
sjxj
Por isso, a variavel de folga dual sj (= cj − pTaj) e conhecido como
custo relativo de xj .
Nesse contexto, p e conhecido como vetor multiplicador simplex.
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Metodo simplex. Funcao objetivo primal
f(x) = cTBB−1b +
∑j∈N
(cj − cTBB
−1aj)xj
Em uma solucao basica, temos que xB = B−1b e pT = cTBB−1. Assim:
f(x) = cTB xB +∑j∈N
(cj − pTaj
)xj
= cTB xB +∑j∈N
sjxj
Por isso, a variavel de folga dual sj (= cj − pTaj) e conhecido como
custo relativo de xj .
Nesse contexto, p e conhecido como vetor multiplicador simplex.
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Metodo simplex
Temos ate o momento:
I Solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj ,∀j ∈ N ;
I Toda solucao basica deve ser primal factıvel (xB ≥ 0).
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N ;
I Como saber se a particao basica atual e otima?
R: sj ≥ 0, j ∈ N .
Ainda precisamos determinar:
I Se uma solucao nao for otima, como obter uma melhor?
R: Perturbamos uma das variaveis primais nao-basicas! (por exemplo,
aquela com o melhor custo relativo!)
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Metodo simplex
Temos ate o momento:
I Solucao basica primal:
xB = B−1b, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I Toda solucao basica deve ser primal factıvel (xB ≥ 0).
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N ;
I Como saber se a particao basica atual e otima?
R: sj ≥ 0, j ∈ N .
Ainda precisamos determinar:
I Se uma solucao nao for otima, como obter uma melhor?
R: Perturbamos uma das variaveis primais nao-basicas! (por exemplo,
aquela com o melhor custo relativo!)
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Temos ate o momento:
I Solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I Toda solucao basica deve ser primal factıvel (xB ≥ 0).
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N ;
I Como saber se a particao basica atual e otima?
R: sj ≥ 0, j ∈ N .
Ainda precisamos determinar:
I Se uma solucao nao for otima, como obter uma melhor?
R: Perturbamos uma das variaveis primais nao-basicas! (por exemplo,
aquela com o melhor custo relativo!)
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Temos ate o momento:
I Solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
I Solucao basica dual:
pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I Toda solucao basica deve ser primal factıvel (xB ≥ 0).
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N ;
I Como saber se a particao basica atual e otima?
R: sj ≥ 0, j ∈ N .
Ainda precisamos determinar:
I Se uma solucao nao for otima, como obter uma melhor?
R: Perturbamos uma das variaveis primais nao-basicas! (por exemplo,
aquela com o melhor custo relativo!)
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I Solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I Toda solucao basica deve ser primal factıvel (xB ≥ 0).
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N ;
I Como saber se a particao basica atual e otima?
R: sj ≥ 0, j ∈ N .
Ainda precisamos determinar:
I Se uma solucao nao for otima, como obter uma melhor?
R: Perturbamos uma das variaveis primais nao-basicas! (por exemplo,
aquela com o melhor custo relativo!)
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I Solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I Toda solucao basica deve ser primal factıvel (xB ≥ 0).
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N ;
I Como saber se a particao basica atual e otima?
R: sj ≥ 0, j ∈ N .
Ainda precisamos determinar:
I Se uma solucao nao for otima, como obter uma melhor?
R: Perturbamos uma das variaveis primais nao-basicas! (por exemplo,
aquela com o melhor custo relativo!)
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I Solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I Toda solucao basica deve ser primal factıvel (xB ≥ 0).
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N ;
I Como saber se a particao basica atual e otima?
R: sj ≥ 0, j ∈ N .
Ainda precisamos determinar:
I Se uma solucao nao for otima, como obter uma melhor?
R: Perturbamos uma das variaveis primais nao-basicas! (por exemplo,
aquela com o melhor custo relativo!)
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I Solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I Toda solucao basica deve ser primal factıvel (xB ≥ 0).
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N ;
I Como saber se a particao basica atual e otima?
R: sj ≥ 0, j ∈ N .
Ainda precisamos determinar:
I Se uma solucao nao for otima, como obter uma melhor?
R: Perturbamos uma das variaveis primais nao-basicas! (por exemplo,
aquela com o melhor custo relativo!)
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Metodo simplex
Temos ate o momento:
I Solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I Toda solucao basica deve ser primal factıvel (xB ≥ 0).
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N ;
I Como saber se a particao basica atual e otima?
R: sj ≥ 0, j ∈ N .
Ainda precisamos determinar:
I Se uma solucao nao for otima, como obter uma melhor?
R: Perturbamos uma das variaveis primais nao-basicas! (por exemplo,
aquela com o melhor custo relativo!)
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Temos ate o momento:
I Solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I Toda solucao basica deve ser primal factıvel (xB ≥ 0).
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N ;
I Como saber se a particao basica atual e otima?
R: sj ≥ 0, j ∈ N .
Ainda precisamos determinar:
I Se uma solucao nao for otima, como obter uma melhor?
R: Perturbamos uma das variaveis primais nao-basicas! (por exemplo,
aquela com o melhor custo relativo!)
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Metodo simplex
Temos ate o momento:
I Solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I Toda solucao basica deve ser primal factıvel (xB ≥ 0).
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N ;
I Como saber se a particao basica atual e otima?
R: sj ≥ 0, j ∈ N .
Ainda precisamos determinar:
I Se uma solucao nao for otima, como obter uma melhor?
R: Perturbamos uma das variaveis primais nao-basicas! (por exemplo,
aquela com o melhor custo relativo!)
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Metodo simplex
Temos ate o momento:
I Solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I Toda solucao basica deve ser primal factıvel (xB ≥ 0).
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N ;
I Como saber se a particao basica atual e otima?
R: sj ≥ 0, j ∈ N .
Ainda precisamos determinar:
I Se uma solucao nao for otima, como obter uma melhor?
R: Perturbamos uma das variaveis primais nao-basicas!
(por exemplo,
aquela com o melhor custo relativo!)
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Metodo simplex
Temos ate o momento:
I Solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I Toda solucao basica deve ser primal factıvel (xB ≥ 0).
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N ;
I Como saber se a particao basica atual e otima?
R: sj ≥ 0, j ∈ N .
Ainda precisamos determinar:
I Se uma solucao nao for otima, como obter uma melhor?
R: Perturbamos uma das variaveis primais nao-basicas! (por exemplo,
aquela com o melhor custo relativo!)
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Perturbacao da variavel primal nao-basica
Para o exemplo anterior, com B = {3, 2, 5} e N = {1, 4}, se x1 for escolhido
para ser perturbado, qual o maior valor possıvel dessa perturbacao?
xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
x3
x2
x5
=
1,5
5
0,5
− 0,35
0,5
0,15
x1 −
−1,5
5
−2,5
x4
Maior valor para x1: min
{1,5
0,35,
5
0,5,
0,5
0,15
}
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Metodo simplex. Perturbacao da variavel primal nao-basica
Para o exemplo anterior, com B = {3, 2, 5} e N = {1, 4}, se x1 for escolhido
para ser perturbado, qual o maior valor possıvel dessa perturbacao?
xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
x3
x2
x5
=
1,5
5
0,5
− 0,35
0,5
0,15
x1 −
−1,5
5
−2,5
x4
Maior valor para x1: min
{1,5
0,35,
5
0,5,
0,5
0,15
}
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Perturbacao da variavel primal nao-basica
Para o exemplo anterior, com B = {3, 2, 5} e N = {1, 4}, se x1 for escolhido
para ser perturbado, qual o maior valor possıvel dessa perturbacao?
xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
x3
x2
x5
=
1,5
5
0,5
− 0,35
0,5
0,15
x1 −
−1,5
5
−2,5
x4
Maior valor para x1: min
{1,5
0,35,
5
0,5,
0,5
0,15
}
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Perturbacao da variavel primal nao-basica
Para o exemplo anterior, com B = {3, 2, 5} e N = {1, 4}, se x1 for escolhido
para ser perturbado, qual o maior valor possıvel dessa perturbacao?
xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
x3
x2
x5
=
1,5
5
0,5
− 0,35
0,5
0,15
x1 −
−1,5
5
−2,5
x4
Maior valor para x1: min
{1,5
0,35,
5
0,5,
0,5
0,15
}
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Perturbacao da variavel primal nao-basica
Para o exemplo anterior, com B = {3, 2, 5} e N = {1, 4}, se x1 for escolhido
para ser perturbado, qual o maior valor possıvel dessa perturbacao?
xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
x3
x2
x5
=
1,5
5
0,5
− 0,35
0,5
0,15
x1 −
−1,5
5
−2,5
x4
Maior valor para x1:
min
{1,5
0,35,
5
0,5,
0,5
0,15
}
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Perturbacao da variavel primal nao-basica
Para o exemplo anterior, com B = {3, 2, 5} e N = {1, 4}, se x1 for escolhido
para ser perturbado, qual o maior valor possıvel dessa perturbacao?
xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
x3
x2
x5
=
1,5
5
0,5
− 0,35
0,5
0,15
x1 −
−1,5
5
−2,5
x4
Maior valor para x1: min
{1,5
0,35,
5
0,5,
0,5
0,15
}
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Perturbacao da variavel primal nao-basica
Para o exemplo anterior, com B = {3, 2, 5} e N = {1, 4}, se x1 for escolhido
para ser perturbado, qual o maior valor possıvel dessa perturbacao?
xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
x3
x2
x5
=
1,5
5
0,5
− 0,35
0,5
0,15
x1 −
−1,5
5
−2,5
x4
Maior valor para x1: min
{xB10,35
,xB20,5
,xB30,15
}
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Perturbacao da variavel primal nao-basica
Para o exemplo anterior, com B = {3, 2, 5} e N = {1, 4}, se x1 for escolhido
para ser perturbado, qual o maior valor possıvel dessa perturbacao?
xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
xB = xB − yx1 − (B−1a4)x4
x3
x2
x5
=
1,5
5
0,5
− 0,35
0,5
0,15
x1 −
−1,5
5
−2,5
x4
Maior valor para x1: min
{xB1y1
,xB2y2
,xB3y3
}, com y = B−1a1.
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Metodo simplex. Perturbacao da variavel primal nao-basica
Para o exemplo anterior, com B = {3, 2, 5} e N = {1, 4}, se x1 for escolhido
para ser perturbado, qual o maior valor possıvel dessa perturbacao?
xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
x3
x2
x5
=
1,5
5
0,5
− 0,35
0,5
0,15
x1 −
−1,5
5
−2,5
x4
Maior valor para x4:
min
{×, 5
5,×}
= 1
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Metodo simplex. Perturbacao da variavel primal nao-basica
Para o exemplo anterior, com B = {3, 2, 5} e N = {1, 4}, se x1 for escolhido
para ser perturbado, qual o maior valor possıvel dessa perturbacao?
xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
x3
x2
x5
=
1,5
5
0,5
− 0,35
0,5
0,15
x1 −
−1,5
5
−2,5
x4
Maior valor para x4: min
{×, 5
5,×}
= 1
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Metodo simplex. Perturbacao da variavel primal nao-basica
Para o exemplo anterior, com B = {3, 2, 5} e N = {1, 4}, se x1 for escolhido
para ser perturbado, qual o maior valor possıvel dessa perturbacao?
xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
xB = xB − (B−1a1)x1 − yx4
x3
x2
x5
=
1,5
5
0,5
− 0,35
0,5
0,15
x1 −
−1,5
5
−2,5
x4
Maior valor para x4: min
{×, xB2
y2,×}
, com y = B−1a4.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Perturbacao da variavel primal nao-basica
Para o exemplo anterior, com B = {3, 2, 5} e N = {1, 4}, se x1 for escolhido
para ser perturbado, qual o maior valor possıvel dessa perturbacao?
xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
x3
x2
x5
=
1,5
5
0,5
− 0,35
0,5
0,15
x1 −
−1,5
5
−2,5
x4
Maior valor para xk:
mini=1,...,m
{xBiyi, yi > 0
}, com y = B−1ak.
Este calculo e chamado de teste da razao.
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Metodo simplex. Perturbacao da variavel primal nao-basica
Para o exemplo anterior, com B = {3, 2, 5} e N = {1, 4}, se x1 for escolhido
para ser perturbado, qual o maior valor possıvel dessa perturbacao?
xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
x3
x2
x5
=
1,5
5
0,5
− 0,35
0,5
0,15
x1 −
−1,5
5
−2,5
x4
Maior valor para xk: mini=1,...,m
{xBiyi
, yi > 0
}, com y = B−1ak.
Este calculo e chamado de teste da razao.
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Metodo simplex. Perturbacao da variavel primal nao-basica
Para o exemplo anterior, com B = {3, 2, 5} e N = {1, 4}, se x1 for escolhido
para ser perturbado, qual o maior valor possıvel dessa perturbacao?
xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
x3
x2
x5
=
1,5
5
0,5
− 0,35
0,5
0,15
x1 −
−1,5
5
−2,5
x4
Maior valor para xk: mini=1,...,m
{xBiyi, yi > 0
},
com y = B−1ak.
Este calculo e chamado de teste da razao.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Perturbacao da variavel primal nao-basica
Para o exemplo anterior, com B = {3, 2, 5} e N = {1, 4}, se x1 for escolhido
para ser perturbado, qual o maior valor possıvel dessa perturbacao?
xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
x3
x2
x5
=
1,5
5
0,5
− 0,35
0,5
0,15
x1 −
−1,5
5
−2,5
x4
Maior valor para xk: mini=1,...,m
{xBiyi, yi > 0
}, com y = B−1ak.
Este calculo e chamado de teste da razao.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Perturbacao da variavel primal nao-basica
Para o exemplo anterior, com B = {3, 2, 5} e N = {1, 4}, se x1 for escolhido
para ser perturbado, qual o maior valor possıvel dessa perturbacao?
xB = B−1b− (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
xB = xB − (B−1a1)x1 − (B−1a4)x4
x3
x2
x5
=
1,5
5
0,5
− 0,35
0,5
0,15
x1 −
−1,5
5
−2,5
x4
Maior valor para xk: mini=1,...,m
{xBiyi, yi > 0
}, com y = B−1ak.
Este calculo e chamado de teste da razao.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
Com isso, temos tudo o que precisamos:
I Solucao basica primal factıvel: xB = B−1b ≥ 0, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N , e indicam qual
variavel perturbar;
I O teste da razao determina a maior perturbacao possıvel para um dado
xk, k ∈ N , tal que x continue factıvel (x ≥ 0) apos a perturbacao;
I A variavel xk perturbada se torna nao-nula e assim k deve entrar em B;
I A variavel xBi que se torna nula pode sair de B;
I Esse processo e chamado de troca de base, o que determina uma iteracao
do metodo simplex.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
Com isso, temos tudo o que precisamos:
I Solucao basica primal factıvel:
xB = B−1b ≥ 0, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N , e indicam qual
variavel perturbar;
I O teste da razao determina a maior perturbacao possıvel para um dado
xk, k ∈ N , tal que x continue factıvel (x ≥ 0) apos a perturbacao;
I A variavel xk perturbada se torna nao-nula e assim k deve entrar em B;
I A variavel xBi que se torna nula pode sair de B;
I Esse processo e chamado de troca de base, o que determina uma iteracao
do metodo simplex.
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Metodo simplex
Com isso, temos tudo o que precisamos:
I Solucao basica primal factıvel: xB = B−1b ≥ 0, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N , e indicam qual
variavel perturbar;
I O teste da razao determina a maior perturbacao possıvel para um dado
xk, k ∈ N , tal que x continue factıvel (x ≥ 0) apos a perturbacao;
I A variavel xk perturbada se torna nao-nula e assim k deve entrar em B;
I A variavel xBi que se torna nula pode sair de B;
I Esse processo e chamado de troca de base, o que determina uma iteracao
do metodo simplex.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
Com isso, temos tudo o que precisamos:
I Solucao basica primal factıvel: xB = B−1b ≥ 0, xN = 0;
I Solucao basica dual:
pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N , e indicam qual
variavel perturbar;
I O teste da razao determina a maior perturbacao possıvel para um dado
xk, k ∈ N , tal que x continue factıvel (x ≥ 0) apos a perturbacao;
I A variavel xk perturbada se torna nao-nula e assim k deve entrar em B;
I A variavel xBi que se torna nula pode sair de B;
I Esse processo e chamado de troca de base, o que determina uma iteracao
do metodo simplex.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
Com isso, temos tudo o que precisamos:
I Solucao basica primal factıvel: xB = B−1b ≥ 0, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N , e indicam qual
variavel perturbar;
I O teste da razao determina a maior perturbacao possıvel para um dado
xk, k ∈ N , tal que x continue factıvel (x ≥ 0) apos a perturbacao;
I A variavel xk perturbada se torna nao-nula e assim k deve entrar em B;
I A variavel xBi que se torna nula pode sair de B;
I Esse processo e chamado de troca de base, o que determina uma iteracao
do metodo simplex.
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Metodo simplex
Com isso, temos tudo o que precisamos:
I Solucao basica primal factıvel: xB = B−1b ≥ 0, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N , e indicam qual
variavel perturbar;
I O teste da razao determina a maior perturbacao possıvel para um dado
xk, k ∈ N , tal que x continue factıvel (x ≥ 0) apos a perturbacao;
I A variavel xk perturbada se torna nao-nula e assim k deve entrar em B;
I A variavel xBi que se torna nula pode sair de B;
I Esse processo e chamado de troca de base, o que determina uma iteracao
do metodo simplex.
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Metodo simplex
Com isso, temos tudo o que precisamos:
I Solucao basica primal factıvel: xB = B−1b ≥ 0, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N , e indicam qual
variavel perturbar;
I O teste da razao determina a maior perturbacao possıvel para um dado
xk, k ∈ N ,
tal que x continue factıvel (x ≥ 0) apos a perturbacao;
I A variavel xk perturbada se torna nao-nula e assim k deve entrar em B;
I A variavel xBi que se torna nula pode sair de B;
I Esse processo e chamado de troca de base, o que determina uma iteracao
do metodo simplex.
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Metodo simplex
Com isso, temos tudo o que precisamos:
I Solucao basica primal factıvel: xB = B−1b ≥ 0, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N , e indicam qual
variavel perturbar;
I O teste da razao determina a maior perturbacao possıvel para um dado
xk, k ∈ N , tal que x continue factıvel (x ≥ 0) apos a perturbacao;
I A variavel xk perturbada se torna nao-nula e assim k deve entrar em B;
I A variavel xBi que se torna nula pode sair de B;
I Esse processo e chamado de troca de base, o que determina uma iteracao
do metodo simplex.
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Metodo simplex
Com isso, temos tudo o que precisamos:
I Solucao basica primal factıvel: xB = B−1b ≥ 0, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N , e indicam qual
variavel perturbar;
I O teste da razao determina a maior perturbacao possıvel para um dado
xk, k ∈ N , tal que x continue factıvel (x ≥ 0) apos a perturbacao;
I A variavel xk perturbada se torna nao-nula e assim k deve entrar em B;
I A variavel xBi que se torna nula pode sair de B;
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do metodo simplex.
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Metodo simplex
Com isso, temos tudo o que precisamos:
I Solucao basica primal factıvel: xB = B−1b ≥ 0, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N , e indicam qual
variavel perturbar;
I O teste da razao determina a maior perturbacao possıvel para um dado
xk, k ∈ N , tal que x continue factıvel (x ≥ 0) apos a perturbacao;
I A variavel xk perturbada se torna nao-nula e assim k deve entrar em B;
I A variavel xBi que se torna nula pode sair de B;
I Esse processo e chamado de troca de base, o que determina uma iteracao
do metodo simplex.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
Com isso, temos tudo o que precisamos:
I Solucao basica primal factıvel: xB = B−1b ≥ 0, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N , e indicam qual
variavel perturbar;
I O teste da razao determina a maior perturbacao possıvel para um dado
xk, k ∈ N , tal que x continue factıvel (x ≥ 0) apos a perturbacao;
I A variavel xk perturbada se torna nao-nula e assim k deve entrar em B;
I A variavel xBi que se torna nula pode sair de B;
I Esse processo e chamado de troca de base,
o que determina uma iteracao
do metodo simplex.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
Com isso, temos tudo o que precisamos:
I Solucao basica primal factıvel: xB = B−1b ≥ 0, xN = 0;
I Solucao basica dual: pT = cTBB−1, sB = 0, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
I As folgas duais sj sao os custos relativos de xj , j ∈ N , e indicam qual
variavel perturbar;
I O teste da razao determina a maior perturbacao possıvel para um dado
xk, k ∈ N , tal que x continue factıvel (x ≥ 0) apos a perturbacao;
I A variavel xk perturbada se torna nao-nula e assim k deve entrar em B;
I A variavel xBi que se torna nula pode sair de B;
I Esse processo e chamado de troca de base, o que determina uma iteracao
do metodo simplex.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
Determine a solucao otima do problema de programacao linear:
min −3x1 − 2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5
s.a 0,5x1 + 0,3x2 + x3 = 3
0,1x1 + 0,2x2 + x4 = 1
0,4x1 + 0,5x2 + x5 = 3
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
0,5
0,1
0,4
xB1y1
=3
0,5;xB2y2
=1
0,1;xB3y3
=3
0,4.
I min:xB1y1
= 6
⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
0,5
0,1
0,4
xB1y1
=3
0,5;xB2y2
=1
0,1;xB3y3
=3
0,4.
I min:xB1y1
= 6
⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
0,5
0,1
0,4
xB1y1
=3
0,5;xB2y2
=1
0,1;xB3y3
=3
0,4.
I min:xB1y1
= 6
⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
0,5
0,1
0,4
xB1y1
=3
0,5;xB2y2
=1
0,1;xB3y3
=3
0,4.
I min:xB1y1
= 6
⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
0,5
0,1
0,4
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=3
0,5;xB2y2
=1
0,1;xB3y3
=3
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I min:xB1y1
= 6
⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
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0 0 1
= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB
= B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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A =
0,5 0,3 1 0 0
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3
1
3
I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
0,5
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0,4
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=3
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=1
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I min:xB1y1
= 6
⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b
=
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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0,5 0,3 1 0 0
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3
I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
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=3
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=1
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=3
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I min:xB1y1
= 6
⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
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[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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1
3
I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
0,5
0,1
0,4
xB1y1
=3
0,5;xB2y2
=1
0,1;xB3y3
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I min:xB1y1
= 6
⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= B−1
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xB = B−1b =
3
1
3
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[0 0 0
]
s1 = c1 − pT a1 = − 3
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0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
0,5
0,1
0,4
xB1y1
=3
0,5;xB2y2
=1
0,1;xB3y3
=3
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I min:xB1y1
= 6
⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= B−1
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3
1
3
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cTBB−1 =
[0 0 0
]
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0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
0,5
0,1
0,4
xB1y1
=3
0,5;xB2y2
=1
0,1;xB3y3
=3
0,4.
I min:xB1y1
= 6
⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= B−1
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3
1
3
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pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]
s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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1
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I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
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=3
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=1
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⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
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= B−1
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3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
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[0 0 0
]
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s2 = c2 − pT a2 = − 2
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I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
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=1
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⇒ x3 saira da base.
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= B−1
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xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
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− 3
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− 2
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I x1 entrara na base.
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= B−1
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=1
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= 6
⇒ x3 saira da base.
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I Calcular a solucao basica dual:
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=1
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I Calcular a solucao basica primal:
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1
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I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
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3
1
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I x1 entrara na base.
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B−1a1 =
0,5
0,1
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=3
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=1
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I min:xB1y1
= 6
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1 0 0
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0 0 1
= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
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3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
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Metodo simplex
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=[−3 −2 0 0 0
]
A =
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3
1
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I x1 entrara na base.
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= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
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1
3
I Calcular a solucao basica dual:
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1
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I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
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= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
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A =
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3
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I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
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0,5
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0,4
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0,5;
xB2y2
=1
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I min:xB1y1
= 6
⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
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A =
0,5 0,3 1 0 0
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3
1
3
I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
0,5
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0,4
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=3
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=1
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= 6
⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
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3
1
3
I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
0,5
0,1
0,4
xB1y1
=3
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=1
0,1;xB3y3
=3
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I min:xB1y1
= 6
⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
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A =
0,5 0,3 1 0 0
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I Teste da razao:
y = B−1a1 =
0,5
0,1
0,4
xB1y1
=3
0,5;xB2y2
=1
0,1;xB3y3
=3
0,4.
I min:xB1y1
= 6
⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
0,5
0,1
0,4
xB1y1
=3
0,5;xB2y2
=1
0,1;xB3y3
=3
0,4.
I min:xB1y1
= 6 ⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
=0,4
0,14;xB3y3
=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
0,1 1 0
0,4 0 1
B−1 =
2 0 0
−0,2 1 0
−0,8 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
6
0,4
0,6
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
=0,4
0,14;xB3y3
=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
0,1 1 0
0,4 0 1
B−1 =
2 0 0
−0,2 1 0
−0,8 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
6
0,4
0,6
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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Metodo simplex
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0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
=0,4
0,14;xB3y3
=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
0,1 1 0
0,4 0 1
B−1 =
2 0 0
−0,2 1 0
−0,8 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
6
0,4
0,6
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
=0,4
0,14;xB3y3
=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
0,1 1 0
0,4 0 1
B−1 =
2 0 0
−0,2 1 0
−0,8 0 1
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xB = B−1b =
6
0,4
0,6
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[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
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0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
=0,4
0,14;xB3y3
=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
0,1 1 0
0,4 0 1
B−1 =
2 0 0
−0,2 1 0
−0,8 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB
= B−1b =
6
0,4
0,6
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
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=0,4
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=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
0,1 1 0
0,4 0 1
B−1 =
2 0 0
−0,2 1 0
−0,8 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b
=
6
0,4
0,6
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pT = cTBB−1 =
[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
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=0,4
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=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
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B−1 =
2 0 0
−0,2 1 0
−0,8 0 1
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6
0,4
0,6
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[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
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xB1y1
=6
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=0,4
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=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
0,1 1 0
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B−1 =
2 0 0
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−0,8 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
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6
0,4
0,6
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[−6 0 0
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s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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0,5 0,3 1 0 0
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b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
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xB1y1
=6
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=0,4
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=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
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B−1 =
2 0 0
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−0,8 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
6
0,4
0,6
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pT =
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b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
=0,4
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=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
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B−1 =
2 0 0
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−0,8 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
6
0,4
0,6
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pT = cTBB−1 =
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]
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s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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3
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I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
=0,4
0,14;xB3y3
=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
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B−1 =
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−0,8 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
6
0,4
0,6
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]
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0,5 0,3 1 0 0
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b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
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=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
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B−1 =
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I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
6
0,4
0,6
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 =
6
s2 = c2 − pT a2 =
− 0,2
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b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
=0,4
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=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
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B−1 =
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xB = B−1b =
6
0,4
0,6
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
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3
1
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I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
=0,4
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=0,6
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I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
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xB = B−1b =
6
0,4
0,6
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[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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0,1 0,2 0 1 0
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3
1
3
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y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
=0,4
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=0,6
0,26.
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⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
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B−1 =
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−0,8 0 1
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xB = B−1b =
6
0,4
0,6
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y =
B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
=0,4
0,14;xB3y3
=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
0,1 1 0
0,4 0 1
B−1 =
2 0 0
−0,2 1 0
−0,8 0 1
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xB = B−1b =
6
0,4
0,6
I Calcular a solucao basica dual:
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[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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Metodo simplex
cT
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A =
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0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
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3
1
3
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y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
=0,4
0,14;xB3y3
=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
0,1 1 0
0,4 0 1
B−1 =
2 0 0
−0,2 1 0
−0,8 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
6
0,4
0,6
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
=0,4
0,14;xB3y3
=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
0,1 1 0
0,4 0 1
B−1 =
2 0 0
−0,2 1 0
−0,8 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
6
0,4
0,6
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;
xB2y2
=0,4
0,14;xB3y3
=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
0,1 1 0
0,4 0 1
B−1 =
2 0 0
−0,2 1 0
−0,8 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
6
0,4
0,6
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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=[−3 −2 0 0 0
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0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
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1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
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0,26
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=6
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=0,4
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=0,6
0,26.
I min:xB3y3
⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
0,1 1 0
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B−1 =
2 0 0
−0,2 1 0
−0,8 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
6
0,4
0,6
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
=0,4
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=0,6
0,26.
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Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
0,1 1 0
0,4 0 1
B−1 =
2 0 0
−0,2 1 0
−0,8 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
6
0,4
0,6
I Calcular a solucao basica dual:
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[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
=0,4
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=0,6
0,26.
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⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
0,1 1 0
0,4 0 1
B−1 =
2 0 0
−0,2 1 0
−0,8 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
6
0,4
0,6
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
=0,4
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=0,6
0,26.
I min:xB3y3⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
0,1 1 0
0,4 0 1
B−1 =
2 0 0
−0,2 1 0
−0,8 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
6
0,4
0,6
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
I f(x?) = cTBxB = −18,46;
Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};
B =
[0,5 0 0,3
0,1 1 0,2
0,4 0 0,5
]B−1 =
[3,84 0 −2,30
0,23 1 −0,54
−3,07 0 3,84
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
4,62
0,08
2,30
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
]s3 = c3 − pT a3 = 5,36
s5 = c5 − pT a5 = 0,78
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A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
I f(x?) = cTBxB = −18,46;
Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};
B =
[0,5 0 0,3
0,1 1 0,2
0,4 0 0,5
]
B−1 =
[3,84 0 −2,30
0,23 1 −0,54
−3,07 0 3,84
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
4,62
0,08
2,30
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
]s3 = c3 − pT a3 = 5,36
s5 = c5 − pT a5 = 0,78
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]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
I f(x?) = cTBxB = −18,46;
Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};
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[3,84 0 −2,30
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]
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
4,62
0,08
2,30
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
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s5 = c5 − pT a5 = 0,78
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cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
I f(x?) = cTBxB = −18,46;
Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};
B =
[0,5 0 0,3
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[3,84 0 −2,30
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−3,07 0 3,84
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
4,62
0,08
2,30
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pT = cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
]s3 = c3 − pT a3 = 5,36
s5 = c5 − pT a5 = 0,78
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=[−3 −2 0 0 0
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A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
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3
1
3
I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
I f(x?) = cTBxB = −18,46;
Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};
B =
[0,5 0 0,3
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]B−1 =
[3,84 0 −2,30
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−3,07 0 3,84
]I Calcular a solucao basica primal:
xB
= B−1b =
4,62
0,08
2,30
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
]s3 = c3 − pT a3 = 5,36
s5 = c5 − pT a5 = 0,78
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0,5 0,3 1 0 0
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3
1
3
I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
I f(x?) = cTBxB = −18,46;
Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};
B =
[0,5 0 0,3
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]B−1 =
[3,84 0 −2,30
0,23 1 −0,54
−3,07 0 3,84
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b
=
4,62
0,08
2,30
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
]s3 = c3 − pT a3 = 5,36
s5 = c5 − pT a5 = 0,78
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0,5 0,3 1 0 0
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1
3
I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
I f(x?) = cTBxB = −18,46;
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B =
[0,5 0 0,3
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]B−1 =
[3,84 0 −2,30
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−3,07 0 3,84
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
4,62
0,08
2,30
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pT = cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
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I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
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]B−1 =
[3,84 0 −2,30
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−3,07 0 3,84
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
4,62
0,08
2,30
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
]
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s5 = c5 − pT a5 = 0,78
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]
A =
0,5 0,3 1 0 0
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3
I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
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B =
[0,5 0 0,3
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]B−1 =
[3,84 0 −2,30
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−3,07 0 3,84
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
4,62
0,08
2,30
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pT =
cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
]
s3 = c3 − pT a3 = 5,36
s5 = c5 − pT a5 = 0,78
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=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
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3
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I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
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[0,5 0 0,3
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]B−1 =
[3,84 0 −2,30
0,23 1 −0,54
−3,07 0 3,84
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
4,62
0,08
2,30
I Calcular a solucao basica dual:
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]
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=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
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0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
I f(x?) = cTBxB = −18,46;
Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};
B =
[0,5 0 0,3
0,1 1 0,2
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]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
4,62
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2,30
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pT = cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
]
s3 = c3 − pT a3 = 5,36
s5 = c5 − pT a5 = 0,78
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A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
I f(x?) = cTBxB = −18,46;
Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};
B =
[0,5 0 0,3
0,1 1 0,2
0,4 0 0,5
]B−1 =
[3,84 0 −2,30
0,23 1 −0,54
−3,07 0 3,84
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
4,62
0,08
2,30
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
]s3 = c3 − pT a3 =
5,36
s5 = c5 − pT a5 =
0,78
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
I f(x?) = cTBxB = −18,46;
Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};
B =
[0,5 0 0,3
0,1 1 0,2
0,4 0 0,5
]B−1 =
[3,84 0 −2,30
0,23 1 −0,54
−3,07 0 3,84
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
4,62
0,08
2,30
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
]s3 = c3 − pT a3 = 5,36
s5 = c5 − pT a5 = 0,78
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Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
I f(x?) = cTBxB = −18,46;
Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};
B =
[0,5 0 0,3
0,1 1 0,2
0,4 0 0,5
]B−1 =
[3,84 0 −2,30
0,23 1 −0,54
−3,07 0 3,84
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
4,62
0,08
2,30
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
]s3 = c3 − pT a3 = 5,36
s5 = c5 − pT a5 = 0,78
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Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
I f(x?) = cTBxB = −18,46;
Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};
B =
[0,5 0 0,3
0,1 1 0,2
0,4 0 0,5
]B−1 =
[3,84 0 −2,30
0,23 1 −0,54
−3,07 0 3,84
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
4,62
0,08
2,30
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
]s3 = c3 − pT a3 = 5,36
s5 = c5 − pT a5 = 0,78
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=[−3 −2 0 0 0
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A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
I f(x?) = cTBxB = −18,46;
Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};
B =
[0,5 0 0,3
0,1 1 0,2
0,4 0 0,5
]B−1 =
[3,84 0 −2,30
0,23 1 −0,54
−3,07 0 3,84
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
4,62
0,08
2,30
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
]s3 = c3 − pT a3 = 5,36
s5 = c5 − pT a5 = 0,78
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]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
I f(x?) = cTBxB = −18,46;
Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};
B =
[0,5 0 0,3
0,1 1 0,2
0,4 0 0,5
]B−1 =
[3,84 0 −2,30
0,23 1 −0,54
−3,07 0 3,84
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
4,62
0,08
2,30
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
]s3 = c3 − pT a3 = 5,36
s5 = c5 − pT a5 = 0,78
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Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
I f(x?) = cTBxB = −18,46;
Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};
B =
[0,5 0 0,3
0,1 1 0,2
0,4 0 0,5
]B−1 =
[3,84 0 −2,30
0,23 1 −0,54
−3,07 0 3,84
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
4,62
0,08
2,30
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
]s3 = c3 − pT a3 = 5,36
s5 = c5 − pT a5 = 0,78
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
0,5
0,1
0,4
xB1y1
=3
0,5;xB2y2
=1
0,1;xB3y3
=3
0,4.
I min:xB1y1
= 6
⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
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x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x1 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
0,5
0,1
0,4
xB1y1
=3
0,5;xB2y2
=1
0,1;xB3y3
=3
0,4.
I min:xB1y1
= 6
⇒ x3 saira da base.
Iteracao 1: B = {3, 4, 5} e N = {1, 2};
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
3
1
3
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 3
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I x2 entrara na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
0,6
0,14
0,26
xB1y1
=6
0,6;xB2y2
=0,4
0,14;xB3y3
=0,6
0,26.
I min:xB3y3⇒ x5 saira da base.
Iteracao 2: B = {1, 4, 5} e N = {3, 2};
B =
0,5 0 0
0,1 1 0
0,4 0 1
B−1 =
2 0 0
−0,2 1 0
−0,8 0 1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
6
0,4
0,6
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−6 0 0
]s3 = c3 − pT a3 = 6
s2 = c2 − pT a2 = − 0,2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−3 −2 0 0 0
]
A =
0,5 0,3 1 0 0
0,1 0,2 0 1 0
0,4 0,5 0 0 1
b =
3
1
3
I E possıvel melhorar essa solucao?
I Nao! Os custos relativos sao ≥ 0.
I Ou seja, a solucao dual e factıvel.
I Portanto: solucao otima encontrada!
I x? = (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0);
I f(x?) = cTBxB = −18,46;
Iteracao 3: B = {1, 4, 2} e N = {3, 5};
B =
[0,5 0 0,3
0,1 1 0,2
0,4 0 0,5
]B−1 =
[3,84 0 −2,30
0,23 1 −0,54
−3,07 0 3,84
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
4,62
0,08
2,30
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[−5,36 0 −0,78
]s3 = c3 − pT a3 = 5,36
s5 = c5 − pT a5 = 0,78
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
I Observe que nao foi precisoenumerar todos os pontosextremos!
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Ilustracao
Para x = (x1, x2, x3, x4, x5):
I A: (0, 0, 3, 1, 3)
I B: (0, 5, 1,5, 0, 0,5)
I C: (3,33, 3,33, 0,33, 0, 0)
I D: (4,62, 2,3, 0, 0,08, 0)
I E: (6, 0, 0, 0,4, 0,6)
I Observe que nao foi precisoenumerar todos os pontosextremos!
6 107.5
10
6
5
x2
x1
x3=0
x5=0
x4=0
A
B
C
D
E
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)
Entrada:
B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1,
sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0,
entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao,
xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo (incompleto)
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 7: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Lista 3, Exercıcio 1(a)
Resolva o seguinte problema pelo metodo simplex:
max x1 + 2x2
s.a x1 + x2 ≤ 6
x1 − x2 ≤ 4
−x1 + x2 ≤ 4
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Lista 3, Exercıcio 1(b)
Resolva o seguinte problema pelo metodo simplex:
min 5w1 + 6w2 + 3w3
s.a 5w1 + 5w2 + 3w3 ≥ 50
1w1 + 1w2 − 1w3 ≥ 20
7w1 + 6w2 − 9w3 ≥ 30
5w1 + 5w2 + 5w3 ≥ 35
2w1 + 4w2 − 15w3 ≥ 10
12w1 + 10w2 + 0w3 ≥ 90
0w1 + 1w2 − 10w3 ≥ 20
w1, w2, w3 ≥ 0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Lista 3, Exercıcio 1(c)
Resolva o seguinte problema pelo metodo simplex:
max 2x1 + 2x2
s.a −x1 + x2 ≤ 3
2x1 − 3x2 ≤ 3
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB
= B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b
=
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]
s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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=[−2 −2 0 0
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A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT =
cTBB−1 =
[0 0
]
s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]
s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]
s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]s1 = c1 − pT a1 =
− 2
s2 = c2 − pT a2 =
− 2
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A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
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= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
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[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y =
B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
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[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]
xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
=
min
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}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
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]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
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pT = cTBB−1 =
[0 0
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cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
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= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
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]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s1 < 0⇒ x1 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a1 =
[−12
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
xB2y2
=3
2
I B2 = 4⇒ x4 sai da base.
Iteracao 1: B = {3, 4} e N = {1, 2};
B =
[1 0
0 1
]= B−1
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[3
3
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 0
]s1 = c1 − pT a1 = − 2
s2 = c2 − pT a2 = − 2
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]
I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB
= B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b
=
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]
I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]
s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT =
cTBB−1 =
[0 −1
]
s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]
s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]
s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 =
1
s2 = c2 − pT a2 =
− 5
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=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y =
B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]
xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
=
min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}=
min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I E agora?
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
Otimizacao Contınua e Discreta (Prof. Pedro Munari, [email protected])
Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I x2 →∞
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
Otimizacao Contınua e Discreta (Prof. Pedro Munari, [email protected])
Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex
cT
=[−2 −2 0 0
]
A =
[−1 1 1 0
2 −3 0 1
]b =
[3
3
]
I s2 < 0⇒ x2 entra na base.
I Teste da razao:
y = B−1a2 =
[−0,5−1,5
]xBlyl
= min
{xBiyi| yi > 0
}= min∅
I PARE! Problema ilimitado.
Iteracao 2: B = {3, 1} e N = {4, 2};
B−1 =
[1 0,5
0 0,5
]I Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b =
[4,5
1,5
]I Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1 =
[0 −1
]s4 = c4 − pT a4 = 1
s2 = c2 − pT a2 = − 5
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Solucao grafica: Casos particulares
max f(x1, x2) = 2x1 + 2x2
s.a −x1 + x2 ≤ 3
2x1 − 3x2 ≤ 3
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
. Solucao ilimitada
x1
x2
-5
6
4
-1
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;
Passo 7: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 8: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo
Entrada:
B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;
Passo 7: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 8: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;
Passo 7: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 8: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal:
xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;
Passo 7: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 8: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;
Passo 7: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 8: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual:
pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;
Passo 7: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 8: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1,
sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;
Passo 7: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
Passo 8: Atualizar B e N e voltar para o Passo 1.
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;
Passo 7: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
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Metodo simplex: Algoritmo
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;
Passo 7: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
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Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0,
entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;
Passo 7: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
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Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;
Passo 7: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
xBlira sair da base.
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Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao,
xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;
Passo 7: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
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Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;
Passo 7: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
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Metodo simplex: Algoritmo
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;
Passo 7: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex: Algoritmo
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0,
entao PARE! Problema ilimitado;
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= min
{ xBiyi| yi > 0
};
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Metodo simplex: Algoritmo
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;
Passo 7: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
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Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;
Passo 7: Teste da razao:xBlyl
= min
{ xBiyi| yi > 0
};
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Metodo simplex: Algoritmo
Entrada: B e N tal que B = AB e invertıvel e B−1b ≥ 0.
Passo 1: Calcular a solucao basica primal: xB = B−1b, xN = 0;
Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
Passo 4: Se sk ≥ 0, entao PARE! Solucao otima encontrada;
Senao, xk ira entrar na base;
Passo 5: Calcular y = B−1ak;
Passo 6: Se y ≤ 0, entao PARE! Problema ilimitado;
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Passo 2: Calcular a solucao basica dual: pT = cTBB−1, sj = cj − pT aj , ∀j ∈ N ;
Passo 3: Determinar sk = minj∈N
sj ;
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
Metodo simplex. Lista 3, Exercıcio 2
Encontre tres solucoes otimas pelo metodo simplex:
min −1x1 − 2x2
s.a 0,5x1 + 0,3x2 ≤ 3
0,1x1 + 0,2x2 ≤ 1
0,4x1 + 0,5x2 ≤ 3
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
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Semana 3: Dualidade, condicoes de otimalidade e o metodo simplex
I Obrigado pela atencao!
I Duvidas?
I Revisem todo o conteudo da aula e facam todos os exercıcios das
listas 1 e 2, e exercıcios 1 e 2 da lista 3;
I Proxima aula:
I Inicializacao do metodo primal simplex;
I Metodo dual simplex;
I Computadores com Octave/Matlab?