SUE11b : TurbulenceChapitre 2-Equations de Reynolds et modèles de turbulence
SUE11b : Turbulence
Chapitre 2 – Equations de Reynolds et modèles de
turbulence
Chapitre 2-Equations de Reynolds et modèles de turbulence SUE11b : Turbulence 2
Profils instantanés u(z,t) verticaux de CLT(couche limite turbulente)
Profil moyenné en temps u(z)
Pour pouvoir décrire les champs moyens
I- Décomposition de Reynolds ; origine et définition
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I- Décomposition de Reynolds ; origine et définition
Problème de décomposition d’un champ instantané…
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I- Décomposition de Reynolds ; équations pour le champ moyen
contraintes visqueuses
contraintes turbulentes
Tenseur de ReynoldsÉquations R.A.N.S.
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I- Décomposition de Reynolds ; équations pour les scalaires
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II- Classification des modèles de Turbulence
Comment résoudre de façon pratique un problème de turbulence… (Classification de Chassaing p411)
exemple : coeff. de perte de charge linéaire dans une conduite…
Formule de Colebrook
Hydrauliquement lisse
Hydrauliquement rugueux
Formule de Blasius (lisse et Re < 105)
1- Lois de régression et abaques
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II- Classification des modèles de Turbulence
Comment résoudre de façon pratique un problème de turbulence… (Classification de Chassaing p411)
1- Lois de régression et abaques2- Méthodes intégrales
Développées dans le cadre de la couche limite, avec approximation dePrandtl et intégration spatiale suivant 1 ou plusieurs variables→ permettent de prédire l’évolution de la couche limite le long d’unprofil??? nécessitent d’imposer une forme particulière du profil (empirique,qui va induire des valeurs particulières du paramètre de forme H,etc…) et des corrélations entre différents paramètres intégraux…
F. Charru cours de M1 fluide en laminaire
version turbulente ? voir Cousteix p173
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II- Classification des modèles de Turbulence
Comment résoudre de façon pratique un problème de turbulence… (Classification de Chassaing p411)
1- Lois de régression et abaques 2- Méthodes intégrales
3- Méthodes statistiques en 1 pointUtilisation des grandeurs moyennées en temps…. décomposition de Reynolds + fermeture….
3.1 – premier ordre (prédire seulement U, V, W)- à 0 équation (algébrique) : tenseur de Reynolds dépend de U, V, W et d’une longueur de mélange géométrique- à 1 équation (on rajoute une équation de transport pour k) : tenseur de Reynolds dépend aussi de k, énergie cinétique turbulente- à 2 équations (par exemple k et ε) : tenseur de Reynolds dépend de k et ε.
3.2 – second ordre (prédire aussi u’w’, u’v’, …)- à relations algébriques aux contraintes, connaissant k et ε (Rodi)- à équations de transport des contraintes… il faut au moins une
équation en plus, par exemple sur ε, pour fermer…
3.1 – premier ordre (prédire seulement U, V, W)- à 0 équation (algébrique) : tenseur de Reynolds dépend de U, V, W et d’une longueur de mélange géométrique- à 1 équation (on rajoute une équation de transport pour k) : tenseur de Reynolds dépend aussi de k, énergie cinétique turbulente- à 2 équations (par exemple k et ε) : tenseur de Reynolds dépend de k et ε.
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II- Classification des modèles de Turbulence
Comment résoudre de façon pratique un problème de turbulence… (Classification de Chassaing p411)
1- Lois de régression et abaques 2- Méthodes intégrales
3- Méthodes statistiques en 1 pointencore le problème de fermeture…4- Méthodes spectrales
5- Méthodes probabilistes6- simulation des grandes échelles
coupure spectrale par le maillage, au-delà, on modélise (T.H.I.)
7- simulation directe numérique coûteux.…
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III- modèles algébriques à 0 équation : viscosité turbulente…
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III- modèles algébriques à 0 équation : Prandtl-Reichardt
• Ecoulements externes, « libres » (jets, couches de mélange)
== mmt ulνFormule de Prandtl-Reichardt (1/ReT)∆U(x)δ(x)
Résultats expérimentaux :Jet plan (cf TD), S(x)=0.10x → ReT=31Pope 2000, p135 et 366
Solution autosimilaire pour le jet plan• Équation de Prandtl en RANS• Conservation de → U0(x)2δ(x) est conservé
• dδ/dx=S élargissement constant (±δ à ½U0)• Solution u(x,y)=U0(x)f(ξ) où ξ=y/δ(x)
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III- modèles algébriques à 0 équation : couche limite turbulente
• Ecoulements internes, proche paroi (couche limite sur fond lisse)
from Balachandar, Blakely. (2002)
Sous-couchevisqueuse
Loi log
Couche limite surfond lisse ?
yym κ=)(l
0.5ln1 *
*+
=
νκyu
u
u
Vitesse defrottement ?
pu τρ =2*
(Frottement pariétal)
zm Lint,≈l y+u+
)(2 ugradu mmmt
rll ==νQue choisir pour la viscosité turbulente ?
Modèle de longueur de mélange de Prandtl
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III- modèles algébriques à 0 équation : couche limite turbulente
• Ecoulements internes, proche paroi (couche limite sur fond lisse)
sous-couchevisqueuse
( ) 0.5ln1 += ++ yuκ
13
++ = yu
( )
)/(2
0.5ln1
δκ
κ
yw
yu
Π+
+= ++
loi déficitaire
loi log
Π paramètre de Cole« wake function »w
32
2
23
2sin
−
≈
≈
δδ
δπ
δ
yy
yyw
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III- modèles algébriques à 0 équation : couche limite turbulente
• Ecoulements internes, proche paroi (couche limite sur fond lisse)
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Π paramètre de Cole, dépend de l’écoulement externe…
45.0≈Π
dx
dP
ue
21
*
δβ =
Gradient de pression nul :
et sinon ?
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III- modèles algébriques à 0 équation : couche limite turbulente
• Ecoulements internes, proche paroi (couche limite sur fond lisse)
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Profils des rms pour les fluctuations turbulentes
'' ji uu2*u
22 */' uu
22 */' uv
22 */' uw2*/'' uwu
2*/ uEt)/exp(27.1*/
)/exp(63.1*/
)/exp(30.2*/
δδδ
yuw
yuv
yuu
rms
rms
rms
−≈−≈−≈
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III- modèles algébriques à 0 équation : couche limite turbulente
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• Ecoulements internes, proche paroi (couche limite sur fond lisse)
Encore plus simple : approximation classiqueen y+
1/7 pour aéro
( ) 71
75.8 ++ = yu
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III- modèles algébriques à 0 équation : théorie gradient…
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IV- modèles algébriques à 2 équation : k-epsilon…
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( ) ( )ijijiii
ii
suuupux
kuxt
k''2'''
1 2 νρ
+−∂∂−=
∂∂+
∂∂
• Equation de transport de k, l’énergie cinétique turbulente (Et)
2'2'' ijijji sSuu ν−−
avec
∂∂
+∂∂=
∂∂
+∂∂=
i
j
j
iij
i
j
j
iij x
u
x
uset
x
u
x
uS
''
2
1'
2
1
P -εTi
« shear » production
dissipationdiffusion ?
déjà :ijtijji Skuu νδ 2
3
2'' +−=−
• Modélisation ?
on rajoute :
itjii x
kuupu
∂∂≈− ν2'''
et encore :l
l
212
3
ketk
t ≈≈ νε
Modèle algébrique à 1 équation (en k) en se
donnant l !!!
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IV- modèles algébriques à 2 équation : k-epsilon…
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( ) ( )2
2
ii
ii
i xPT
xu
xt ∂∂+−+
∂∂=
∂∂+
∂∂ ενεεε
εεε
• Equation de transport de ε, la dissipation
• Modélisation ?
iti x
T∂∂≈ ενε En supposant encore une fois ,
et en combinant avec l’équationen k, on peut écrire :
et aboutir à un modèle algébrique à deux équations de transport (k et ε), le fameux modèle « k –epsilon » !!!
Ça ne rentre pas dans le transparent….mais sous forme simplifiée
kx
uuuP
j
iji
εε ∂
∂−≈ ''
k
2εε ε ≈
l
23
k≈ε
εν
22
1 kkt ≈≈ l
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IV- modèles algébriques à 2 équation : k-epsilon…
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• Le modèle avec les valeurs « classiques » de ses paramètres
∂∂
+∂∂+−=−
i
j
j
itijji x
u
x
ukuu νδ
3
2''
Equation R.A.N.S. pour iu
εν
2
1
kct =
( )
∂∂
∂∂+−
∂∂=
∂∂+
∂∂
i
t
ij
ijii
i x
k
cxx
uuuku
xt
k
2
''νε
( )
∂∂
∂∂+−
∂∂=
∂∂+
∂∂
i
t
ij
ijii
i x
k
cxkc
x
uuu
kcu
xt 5
2
43 ''νεεεε
c1=0.09, c2=1.0, c3=1.44, c4=1.92, c5=1.3 (Spaziale, 1991)Comment ? Par calage du modèle sur des écoulements de référence
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IV- modèles algébriques à 2 équation : k-epsilon…
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• Et les conditions limites ???
Il faut utiliser des « fonctions de paroi » pour avoir des conditions limites compatibles avec ce que l’on sait de la couche limite turbulente…
Si on est dans la sous-couche inertielle, au premier point du maillage on doit avoir : ( ) 0.5ln
111 += ++ yu
κLa valeur de vitesse u1 nous donne u*
Cette valeur impose k1
Et comme P=ε (transparent suivant), on estime ε avec ε=u*2/(κy1)
Mais, en fonction de la position du premier point de maillage, on a des formulations plus subtiles…
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• retour : couche limite sur fond lisse
P/ε≈1 dans la sous-
couche inertielle
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IV- modèles algébriques à 2 équation : les autres…
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V- simulation aux grandes échelles
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