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Equations en nombres entiers
Stéphane Fischler(Université Paris XI - Orsay)
Lycée Michelet (Vanves), 3 mai 2006
Dans le cadre des « Promenades Mathématiques »
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Plan
1. Une histoire d'allumettes.2. Un jeu de construction.3. Le théorème de Fermat.4. La conjecture de Catalan.5. Les nombres 1111…111.
Merci à Emmanuel Peyre !
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Plan
1. Une histoire d'allumettes.2. Un jeu de construction.3. Le théorème de Fermat.4. La conjecture de Catalan.5. Les nombres 1111…111.
Merci à Emmanuel Peyre !
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On joue avec des allumettes…Allumettes
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Un rectangle, c’est facile !Allumettes
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Un triangle rectangle,c’est plus dur
Allumettes
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Un triangle rectangle,c’est plus dur
45
3
Allumettes
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Ça ne marche pas toujours !
4
5
6
Allumettes
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C’est un problème de maths !
x allumettesz allumettes
y allumettes
Allumettes
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Théorème de Pythagore
x allumettesz allumettes
y allumettes
x2 + y2 = z2
Allumettes
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Traduction du problème
Trouver des entiers x, y et z tels quex2 + y2 = z2
(avec x, y, z ≥ 1)
Allumettes
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Solution du problème (1)
Théorème : Il existe une infinité d’entiersx,y,z tels que x2 + y2 = z2.
Exemples :32 + 42 = 52
52 + 122 = 132
Allumettes
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Solution du problème (2)Théorème : On a x2 + y2 = z2 si, et seulement
si :x = 2mn x = m2 - n2
y = m2 - n2 ou y = 2mnz = m2 + n2 z = m2 + n2
avec m > n ≥ 1.
Allumettes
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Plan
1. Une histoire d'allumettes.2. Un jeu de construction.3. Le théorème de Fermat.4. La conjecture de Catalan.5. Les nombres 1111…111.
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Un jeu de construction
Léa et Léo jouent avec des petits cubes,comme celui-ci :
Ils assemblent leurs petits cubes pour fairedes gros cubes.
Construction
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Chacun le fait de son côté…
Léa Léo
Construction
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avec ses propres petits cubes.
Léa Léo
4 × 4 × 4 = 64 petits cubes2 × 2 × 2 = 8 petits cubes
Construction
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Puis ils les mettent en commun !
Ensemble, ils ont 8 + 64 = 72 petits cubes…
Construction
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Puis ils les mettent en commun !
Ensemble, ils ont 8 + 64 = 72 petits cubes…Ils ne peuvent pas faire un gros cube ! Car :
Gros cube de côté 4 : 64 petits cubesdonc il en reste !
Gros cube de côté 5 : 125 petits cubesdonc il en manque !
Construction
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Peuvent-ils parfois réussir ?
Léa a x3 petits cubes : il en fait un gros cubede côté x.
Léo a y3 petits cubes : il en fait un gros cubede côté y.
A eux deux ils ont x3+y3 petits cubes…
Construction
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Peuvent-ils parfois réussir ?
Léa a x3 petits cubes : il en fait un gros cubede côté x.
Léo a y3 petits cubes : il en fait un gros cubede côté y.
A eux deux ils ont x3+y3 petits cubes : est-ceque ça peut faire z3 ? On veut :
x3 + y3 = z3
Construction
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Non, jamais !
• Théorème : Il n’existe pas d’entiers x,y,z ≥1 tels que
x3 + y3 = z3
• Démontré par Euler (1707 - 1783).• Donc Léa et Léo ne pourront jamais réunir
leurs cubes pour en faire un gros !
Construction
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Plan
1. Une histoire d'allumettes.2. Un jeu de construction.3. Le théorème de Fermat.4. La conjecture de Catalan.5. Les nombres 1111…111.
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Résumé
Allumettes : x2 + y2 = z2
Construction : x3 + y3 = z3
Généralisation : xn + yn = zn
avec un entier n ≥ 2.
Fermat
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Théorème de Fermat
Théorème : Si n ≥ 3, il n’existe pas d’entiersx,y,z ≥ 1 tels que
xn + yn = zn
Conjecturé par Fermat vers 1636…… démontré par Wiles en 1994 !
Fermat
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Enoncé par Fermat (1636)
Cubem autem in duos cubos, autquadratoquadratum in duosquadratoquadratos, et generaliter nullamin infinitum ultra quadratum potestatemin duos eiusdem nominis fas est dividere.
Fermat
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Rappels de 1ère …
Pour un polynôme de degré 2 : a X2 + b X + c avec a=1
Racines : (-b-√∆)/2 et (-b+√∆)/2.Distance entre les racines : √∆.Donc le discriminant est le carré de la distance
entre les deux racines.
Fermat
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Stratégie de preuve (1)
Si xn + yn = zn, on considère le polynômeB (B - xn) (B + yn)
Racines : 0, xn et -yn.Distances entre les racines : xn, yn et xn + yn = zn.Discriminant : ∆ = (xyz)2n
(c’est le carré du produit des distances entre les racines)
Fermat
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Stratégie de preuve (2)
Ce polynôme incite à étudier l’équationA2 = B (B - xn) (B + yn)
qui est celle d’une« courbe elliptique »
dont le discriminant ∆ est une puissance 2n-ième…
Fermat
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Stratégie de preuve (3)
Cette courbe elliptique est tellement particulièrequ’elle ne peut pas être modulaire (si n ≥ 3).
Synthèse : Si xn + yn = zn avec n ≥ 3 alors on aconstruit une courbe elliptique qui n’est pasmodulaire.
Fermat
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Stratégie de preuve (4)
Conjecture (Taniyama - Weil) : Une tellecourbe elliptique non modulaire ne peutpas exister.
Wiles a démontré cette conjecture, doncle théorème de Fermat.
Fermat
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Et après Fermat ?
Théorème : L’équationxn + yn = 2zn avec n ≥ 3
n’a que des solutions triviales x,y,z ≥ 1.
Solutions triviales : telles que x = y = z.
Démontré par Darmon et Merel (1997).
Fermat
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Plan
1. Une histoire d'allumettes.2. Un jeu de construction.3. Le théorème de Fermat.4. La conjecture de Catalan.5. Les nombres 1111…111.
![Page 34: Stéphane Fischler (Université Paris XI - Orsay) Lycée ...fischler/amej/Michelet.pdf · Plan 1.Une histoire d'allumettes. 2.Un jeu de construction. 3.Le théorème de Fermat. 4.La](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050603/5fab087afdd0c764ae65d284/html5/thumbnails/34.jpg)
Puissances pures
• Carrés : 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 =16,52 = 25, 62 = 36, 72 = 49, …
• Cubes : 13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, 43 =64,53 = 125, 63 = 216, 73 = 343, …
• Puissances quatrièmes : 14 = 1, 24 = 16, …• Puissances cinquièmes : 15 = 1, 25 = 32, …• etc.
Catalan
![Page 35: Stéphane Fischler (Université Paris XI - Orsay) Lycée ...fischler/amej/Michelet.pdf · Plan 1.Une histoire d'allumettes. 2.Un jeu de construction. 3.Le théorème de Fermat. 4.La](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050603/5fab087afdd0c764ae65d284/html5/thumbnails/35.jpg)
Dans l’ordre croissant
1 4 8 9 16 25 27 32 36 49 64 …
On voit que 8 et 9 sont consécutifs.
Est-ce que ce sont les seules puissancespures consécutives ?
Catalan
![Page 36: Stéphane Fischler (Université Paris XI - Orsay) Lycée ...fischler/amej/Michelet.pdf · Plan 1.Une histoire d'allumettes. 2.Un jeu de construction. 3.Le théorème de Fermat. 4.La](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050603/5fab087afdd0c764ae65d284/html5/thumbnails/36.jpg)
Conjecture de Catalan
• Théorème : Les seules puissances puresconsécutives sont 8 et 9.
• Conjecturé par Catalan en 1844.• Démontré par Mihailescu en 2002.
Catalan
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Autre formulation
• Conjecture de Catalan : L’équationxa = yb + 1
admet une seule solution x,a,y,b avec a,b ≥ 2 :(x,a,y,b) = (3,2,2,3).
• Tijdeman, 1976 : les solutions sont ennombre fini.
Catalan
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Plan
1. Une histoire d'allumettes.2. Un jeu de construction.3. Le théorème de Fermat.4. La conjecture de Catalan.5. Les nombres 1111…111.
![Page 39: Stéphane Fischler (Université Paris XI - Orsay) Lycée ...fischler/amej/Michelet.pdf · Plan 1.Une histoire d'allumettes. 2.Un jeu de construction. 3.Le théorème de Fermat. 4.La](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050603/5fab087afdd0c764ae65d284/html5/thumbnails/39.jpg)
Nombres formés de 1
• 11 n’est pas une puissance pure.• 111 n’est pas une puissance pure car :
102 = 100 < 111 < 121 = 112
43 = 64 < 111 < 125 = 53
34 = 81 < 111 < 256 = 44
25 = 32 < 111 < 243 = 35
111…11
![Page 40: Stéphane Fischler (Université Paris XI - Orsay) Lycée ...fischler/amej/Michelet.pdf · Plan 1.Une histoire d'allumettes. 2.Un jeu de construction. 3.Le théorème de Fermat. 4.La](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050603/5fab087afdd0c764ae65d284/html5/thumbnails/40.jpg)
Nombres formés de 1
• 1111 n’est pas une puissance pure car :332 = 1089 < 1111 < 1156 = 342
103 = 1000 < 1111 < 1331 = 113
54 = 625 < 1111 < 1296 = 64
45 = 1024 < 1111 < 3125 = 55
36 = 729 < 1111 < 4096 = 46
27 = 128 < 1111 < 2187 = 37
111…11
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De même…
• 11111 n’est pas une puissance pure.• 111111 n’est pas une puissance pure.• 1111111 n’est pas une puissance pure.• etc.
Un nombre formé de 1 peut-il être unepuissance pure ?
111…11
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• Théorème : Un nombre formé de n fois lechiffre 1 ne peut jamais être une puissancepure (si n ≥ 2).
• Démontré par Bugeaud et Mignotte (1999).
111…11
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Comment généraliser ?
• 11111 = 99999 / 9• 99999 = 100000 - 1 = 105 - 1
• 111….111 =
• Puissance pure : yq avec q ≥ 2.
10n - 110 - 1n chiffres
111…11
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Théorème de Bugeaud-Mignotte
Théorème : L’équation
= yq
n’a aucune solution n,y,q ≥ 2.
10n - 110 - 1
111…11
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Généralisation
Conjecture : L’équation
= yq
admet exactement trois solutions (x,n,y,q)avec x,y,q ≥ 2 et n ≥ 3.
xn - 1x - 1
111…11
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Les trois solutions
74 - 1 7 - 1
= 202
35 - 1 3 - 1
= 112
183 - 1 18 - 1
= 73
35 = 243
74 = 2401
183 = 5832 et 73 = 343
111…11
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On en est loin…
On ne sait pas démontrer que l’équation
= yq
n’admet qu’un nombre fini de solutionsavec x,y,q ≥ 2 et n ≥ 3.Seuls certains cas particuliers sont connus.
xn - 1x - 1
111…11
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Méthodes de démonstration
• Théorie algébrique des nombres :Cas particuliers de Fermat ; Mihailescu.
• Modularité des courbes elliptiques :Wiles ; Merel-Darmon.
• Formes linéaires de logarithmes :Tijdeman ; Bugeaud-Mignotte.
• Et il y en a d’autres !
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Merci pour votre attention !
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l'Académie des sciences à 18 ans
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Plan projectif éclaté en 3 points
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Produit de deux droites projectives
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Plan projectif
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Droite projective sur Q(i)