Download - STO-ELEMENTARNIH-zadatci
1
100 Elementarnih zadataka
M.I.M.-SRAGA 1999./ 2010.©
**** MLADEN SRAGA ****
POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
100 ELEMENTARNIH ZADATAKA koje bi svatko trebao znati riješiti
I
POTENCIJE
a a aa a a
aa
a a a
a bc a b c
a a
ab
ab
ab
ba
ba
aa a
aa
n m n m
n m n m
n
mn m n m
n n n n
n m n m
n n
n
n n n
n
⋅ =
=
= =
=
=
FHGIKJ =
FHGIKJ = FHG
IKJ =
=
=
=
+
−
−
⋅
−
−
−
:
:
b gd i
0
1
1
1
1
1aa
nn=
ALGEBARSKI IZRAZI
a b a b a b a ab b
a b b a
a b a b a b a ab b
a b b a
a b a b
a b a b a b
a b a a b ab b
a b a a b ab b
a b a b a ab b
a b
+ = + ⋅ + = + +
+ = +
− = − ⋅ − = − +
− = −
− − = +
− ⋅ + = −
+ = + + +
− = − + −
− = − ⋅ + +
+
b g b g b gb g b g
b g b g b gb g b gb g b gb g b gb gb g
b g d i
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
3 3 2 2
3
2
2
3 3
3 3
3 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
= + ⋅ − +
+ + = + + + + +
RSTUVW
RS UV
+ + =+ =
⋅ == + ⋅ +
+ =
a b a ab b
a b c a b c ab ac bc
x px qm n p
m n qx m x n
m n b
b g d ib g
a f a f
T W⋅ = ⋅+ + = = + + + =
m n a cax bx c ax mx nx c . . .
α
TEL. 01-4578-431
© M.I.M.-SRAGA 1999./2010.
2
100 Elementarnih zadataka
M.I.M.-SRAGA 1999./ 2010.©
Autor: MLADEN SRAGA Grafička obrada MLADEN SRAGA Izdavač:
M.I.M.-Sraga d.o.o. Centar za poduku www.mim-sraga.com
Procijena i ocijena znanjaako se spremate :
Za polaganjeZa polaganje OSNOVNE razine VIŠE razine
0 50 0 0 50 0
51 75 1 51 81 176 85 2 82 86 286 91 3 87 90 392 95 4 91 94 4
96 100 5 95 100 5
Moj kome
− = − =
− = − =− = − =− = − =− = − =− = − =
hitno tražite instruktora
trebali bi ozbiljno poćeti vježbati
Vi znate nešto ali ima tu puno rupa
ntar:ako ste dobili ocjenu 0 -ako ste dobili ocjenu 1 - ako ste dobili ocjenu 2 - ako ste dobili ocjenu dobro možete krenut na pripreme
vi ste spremni za OZBILJNIJE zadatke
odlično- vama osnovni zadaci na mature
3 - ako ste dobili ocjenu 4 - ako ste dobili ocjenu 5 - nebi trebali predstavljat problem
Prvo riješite zadatke pa tek onda gledajte u rješenja jer su tamo kompletno riješeni....
Potpunu garanciju na zadatke i rješenja daje: centar za dopisnu poduku M.I.M.-SRAGA -dakle sve što vam se čini nejasno krivo ili sumnjivo - zovite 01-4578-431 ili 01-4579-130 i tražite dodatne upute i objašnjenja ...
Zadatci su u potpunosti naš autorski rad , ako se neki zadatak već pojavio u nekoj drugoj zbirci ...nije namjerno ponovljen s naše strane.
Centar za poduku M.I.M.-Sraga zadržava sva prava na komercijalno iskorištavanje ovih zadataka. Svako kopiranje umnažanje za vlastite potrebe i potrebe poduke i nastave je dozvoljeno i dobrodošlo. Cijena ovih zadataka je 0 kn tj. besplatni su ...i tako treba i ostati... Sve kritike i dobre i loše rado ćemo saslušati ... javite nam se na tel. 01-4578-431 ili e-mailom : [email protected]
3
100 Elementarnih zadataka
M.I.M.-SRAGA 1999./ 2010.©
STO ELEMENTARNIH ZADATAKA KOJE BI SVI TREBALI ZNATI RIJEŠITI
ako imaju namjeru položiti maturu ! Koristeći ove formule trebali bi riješiti zadane zadatke:
( )
( )( )( )
0
1
1
1
1
1
POTENCIJE
:
:
1
1
1
1 1
1 1
n m n m
n m n m
nn m n m
m
n n n n
mn n m
zmn n m z
n n
n
n n n
n
nn
nn
nn
n
mn mn
mn
m n mn
a a aa a a
a a a aa
abc a b c
a a
a a
a ab b
a b bb a a
aa a
aa
aa
a a
aaa
a a
aaa
+
−
−
⋅
⋅ ⋅
−
−
−
−
−
⋅ =
=
= =
=
=
=
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
=
=
=
=
= =
=
= =
( )
( )( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
2 3
2 4 6
2 523 2
4 2
7 2 3
7 8 9
8
3
32
543
26 52 2
35 52 4
32
42 3
322 3 2
1
2 3
1)2)
3)4) :5) : :6) :
7 )
8)
9)
10)
11) :
12) 2
213)3
214) : 23
15)
16)
x xx x x
x x xx xx x xx x xxx
x
x
x x
x x
ab
x y
a b ab
xy
x yy x
−
−
⋅ =
⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ =
=
=
⋅ =
=
=
=
⋅ =
=
=
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
3 222 2
3 3 4
1 2 3
10 0 0 1
1 10 1 3
17 ) :
2 1 118)3 3 2
119) 27 23
1 120) 2 22 5
− − −
−
−− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a y yy a a
x y
y
4
100 Elementarnih zadataka
M.I.M.-SRAGA 1999./ 2010.©
12
12
23
34
12
14
12
14
12
32
3 3
4 4
5 2 5 3
6 5 6 2
21)
22)
23)
24)
25) 36
26) 16
2527 )49
1628)81
6429)49
930)16
31) 10 10
32) 3 9
33) 2 8
34)
35) :
x
x
x
x
x x
x x
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⋅ =
⋅ =
⋅ =
⋅ =
=
( )
( )
( )( )
0
1
1
1
1
1
POTENCIJE
KORIJENI
:
:
1
1
1
1 1
1 1
n m n m
n m n m
nn m n m
m
n n n n
mn n m
zmn n m z
n n
n
n n n
n
nn
nn
nn
n
mn mn
mn
m n mn
n n n
n n
a a aa a a
a a a aa
abc a b c
a a
a a
a ab b
a b bb a a
aa a
aa
aa
a a
aaa
a a
aaa
a b a b
aa b
+
−
−
⋅
⋅ ⋅
−
−
−
−
−
⋅ =
=
= =
=
=
=
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
=
=
=
=
= =
=
= =
⋅ = ⋅
⋅ = n
b
5
100 Elementarnih zadataka
M.I.M.-SRAGA 1999./ 2010.©
Koristeći formule koje smo upravo obradili i ove nove koje vam dajem ovdje riješite sljedeće zadatke: ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) (
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
23
23 4
2
2
2 3 2 3
2 3 4 5 6 2 3 4 5 6
3
2
3
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
3 3 2 2
3 3 2 2
2 2 2 2
ALGEBARSKI IZRAZI
2
2
3 3
3 3
2 2
a b a b a b a ab b
a b b a
a b a b a b a ab b
a b b a
a b a b
a b a b a b
a b a a b ab b
a b a a b ab b
a b a b a ab b
a b a b a ab b
a b c a b c ab a
+ = + ⋅ + = + +
+ = +
− = − ⋅ − = − +
− = −
− − = +
− ⋅ + = −
+ = + + +
− = − + −
− = − ⋅ + +
+ = + ⋅ − +
+ + = + + + + 2c bc+
)
) 3
) 2 3
) 3 4
1 2)2 3
2 340)3 4
41) 5 6
42) 2 3
43) 2 5 2 5
2 4 2 444)3 5 3 5
45) 3 4 3 4
46) 3
47 ) 2 2
48) 2 3
49
−
+ =
+ =
− =
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠
− =
− − =
− ⋅ + =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− ⋅ − =
+ =
+ ⋅ + =
− =
x
x y
x y
x y
x y
x y
a y
x x
x y x y
x y z a b x y z a b
x
x x
y z
36 37
38
39
( )
( ) ( )
3
32 3
32 3 4
3 3
1 1)2 3
2 3)3 2
) 3 2
)
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠
− =
+ − − =
x
x y
x y z
x y x y
50 51 52
6
100 Elementarnih zadataka
M.I.M.-SRAGA 1999./ 2010.©
P
( ) ( )( ) ( )
3 3 2 2
3 3 2 2
ALGEBARSKI IZRAZI
a b a b a ab b
a b a b a ab b
− = − ⋅ + +
+ = + ⋅ − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 6
3 3 23 23 6 3 3 3 2 2 2 2 2
333 3 2
2
2 2 2 4
3 3 2 2Prepoznaj:
rimjer:27 8 ?
ešenje:
27 8 3 2 3 2 3 2
3 2
3 2
3 2 9 6 4
x y
x y x y x y y x x y y
a x b y
a x b y
x y x xy y
a b a b a a b b
− =
− = − = − = − ⋅ + ⋅ + =
↓ ↓
↓ ↓
= =
= =
= − ⋅ + +
− = − ⋅ + ⋅ +
rj
x 3 3 2 2
Koristi gornji primjer i ove formule riješi sljedeće zadatke: R
3
3
6
6 6
3
9 6 3
astavi na faktore:
) 8
) 8 27
) 125
)
1) 127
) 64 125
x
y
x
x y
y
x y z
− =
− =
+ =
− =
+ =
+ =
53
54
55
56
57
58
7
100 Elementarnih zadataka
M.I.M.-SRAGA 1999./ 2010.©
( )2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +Koristeći se formulom riješi sljedeće zadatke: ( )
( )
( )
2
2
2
) 2 3
) 2 3 4
) 3 3
x y
x y z
x y
+ + =
+ + =
+ − =
59 60
61
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
4 6
4 4
2 4 8
2 2
22
2 2 Koristeći se formulom:
rastavi na faktore:
) x 16
) 4 36
1 25)4 49
)
) 4
) 2
) 36 16
y x
x y
x y
x y z
x y x y
x y x y
a b a b a b
− =
− =
− =
− =
− =
+ − − =
+ − − =
− = − ⋅ +
62 63 64
65 66
67
68
8
100 Elementarnih zadataka
M.I.M.-SRAGA 1999./ 2010.©
( ) ( )
2 2
2 2
6 3 4 8
4 6 2 3
2 4 8
2 2 4
2 22 2 2 2 Koristeći se formulama:
slijedeće zadatke zapiši u obliku kvadrata binoma:
) 9 6
4 20 25
) 9 12 4
) 2
) 2
1) 3 94
2 2
x y y
x xy y
x x y y
x y x y
x xy y
a ab b
a ab b a b a ab b a b
+ + =
− + =
− + =
+ + =
− + − =
− + =
+ + = + − + = − 69
70)
71
72 73 74
( ) ( )2
2 2
2
2
2
...
Kvadratni trinom
Koristeći se gornjim formulama rastavi na faktore slijedeće kvadratne trinome:
75) x 2 15
76) 3 2
77 )
ax bx c ax mx nx c
m n px px q x m x n
m n q
m n b
m n a c
x
x x
x x
+ + = = + + + =
+ =+ + = = + ⋅ +
⋅ =
+ =
⋅ = ⋅
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
+ − =
+ − =
− 12− =
9
100 Elementarnih zadataka
M.I.M.-SRAGA 1999./ 2010.©
Skra
( )
( )
2 2
2 2
4 4
2 2
2
2 2
2
4 4
3 3
2 2
3
Pogledaj u formule za ove brojnike u 81) i 82)
ti razlomke koristeći sve što smo izvježbali do sada:
4 6)6 9
)2
)2
)
)
)3 3
)
x yx y
x yx xy y
a ba ab b
x yy x
y xx y
x yx y
x
−=
−
−=
+ +
−=
− +
−=
−
+=
−
−=
−
( )
78
79
80
81
82
83
3
3
2
2
2 2
2 2
3 18 27)2 18
2 3)3 6 3
yx y
x xx
x xy yx xy y
+=
+
+ +=
−
− +=
+ +
84
85
86
10
100 Elementarnih zadataka
M.I.M.-SRAGA 1999./ 2010.©
( )
( )
2
2
2
2 2 4 4
2 2 2
3 2)2 3 4
1 2)2 2
2 3 3 2)1 1 1
1 1)3 3
1)
)
x x x
x x
xx x x
y y
yx y x y
y yx y y x
+ −− + =
− =+ −
−+ − =
− + −
− =− −
− =+ −
− =− −
87 87 88 89 90
91
Iz
( )
2 2 2 2
3 3 2
4 4 6 3 3 6
3 3 4 2 2
4
2
računaj:
4 4 4)
2)
1 2 1)1 1 9 1
x y x xy yx y y x
x y x x y yx y x x y
xx x x
− + +⋅ =
− +
− + +⋅ =
+ +
−⎛ ⎞+ ⋅ =⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠
92
93 94
11
100 Elementarnih zadataka
M.I.M.-SRAGA 1999./ 2010.©
( )( )
2 2
2 2
2 2 2
2 22
3 2
2 2
2 3
2
3 18 27 995) :6 24 4 4
2) :
1 1 3 2 2)1 1 1 6 9
111)
111
111 2)11
1 2
00)4 4
x y xy y xx y y x x
x y y yx yxz yz zx y z
x x x xx x x x x
y
y
xxxx
x y x yx y x y
x y xyxy x y y
+ + −=
− + +
+ − +=
− −− −
− + +⎛ ⎞− + ⋅ =⎜ ⎟− + − −⎝ ⎠
+−
=−
+
+−
− =+
+−
− +−
+ −=
−− + −
96
97
98
99
1