![Page 1: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/2.jpg)
![Page 3: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/3.jpg)
Inceputurile teoriei probabilitatilor sunt legate de numele matematicienilor Blaise Pascal (1623-1662) si Pierre Fermat (1601-1665). Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita jocurilor de noroc. Doi jucatori vor sa joace un numar un numar de partide pana ce castigatorul castiga m partide.Jocul, insa se intrerupe la n<m partide si celalalt la p<m partide. Pascal si-a dat seama care este raspunsul la provocare si I l-a comunicat lui Fermat, amandoi reusind sa rezolve enigma .
La noi, teoria probabilitatii are vechi traditii si a fost ilustrat de matematicienii Octav Onicescu, Gheorghe Mihoc, C.T. Ionescu Tulcea, George Ciucu, Ioan Cuculescu, Marius Iosifescu , etc.
![Page 4: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/4.jpg)
Blaise Pascal
![Page 5: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/5.jpg)
Pierre Fermat
![Page 6: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/6.jpg)
Multimi.Operatii cu multimi
![Page 7: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/7.jpg)
Multimi = multime finita
O multime nevida = 1, 2,......,n
Un element 1, i=1,n se afla in ,il notam i ( ii apartine multimii )
Daca (n+1) nu se afla in , atunci notam (n+1)
A este o submultime a daca ( ) x A implica x
A ( A este inclusa in )
P( ) reprezinta toate submultimile lui , adica
P()=A A
Pentru P(), card (P())= 2 (card())
Daca A P() , atunci A=C A= -A (fig. 5)
![Page 8: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/8.jpg)
![Page 9: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/9.jpg)
Daca A,B P() , atunci AB=A si B
(intersectia multimilor) (fig 6)
Daca A,B P() , atunci AB=A sau B
(reuniunea multimilor) (fig 7)
Daca A,B P() , atunci AB=
( multimi disjuncte)
AxB=(a,b)a A si b B
Ex:
Pentru A=1,2,3,4 si B a,b,c
AxB= (1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(3,c),(4,a),(4,b),(4,c)
Diagrama (fig8)
Arbore(fig 9)
![Page 10: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/10.jpg)
![Page 11: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/11.jpg)
![Page 12: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/12.jpg)
Clasificarea evenimentelor:
a) sigur - evenimentul apariţiei una din feţele 1,2,3,4,5,6 la un zar;
b) imposibil- evenimentul apariţiei feţei 7 la un zar;c) aleator - evenimentul apariţiei feţei 3 la un zar.
Frecvenţa unui eveniment
=
, unde m reprezintă numărul de apariţii E în cazul a n încercări.
Probabilitatea unor evenimente aleatoareÎn cazul unui număr n suficient de mare de experimente în care evenimentul
E apare de m ori, frecvenţa relativă m/n poate fi socotită ca valoarea probabilităţilor. Această valoare se numeşte probabilitatea (statistică a)
evenimentului E şi se notează P(E); P(E) = m
n
![Page 13: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/13.jpg)
Evenimente incompatibile, contrare
Evenimente incompatibile - evenimentele nu se produc simultan.
Evenimente contrare - producerea unuia înseamnă nerealizarea celorlalte.
Regula de adunare şi cea de înmulţire
Regula de adunare
Probabilitatea reuniunii unui număr de evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităţilor acestor evenimente
Regula de înmulţirepentru evenimente independente
pentru evenimente condiţionate
![Page 14: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/14.jpg)
Multimea vidã se noteazã cu simbolul si reprezintã multimea fãrã
nici un element.
O multime poate fi reprezentata:
enumerându-se elementele sale, între acolade:
Ex: A = 0, 2, 4, 6, 8
cu ajutorul unei proprietãti caracteristice, comune tuturor
elementelor multimii:
Ex: B = x: xN si x este par
print-o diagramã Venn-Euler:
![Page 15: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/15.jpg)
ReuniuneaExistă mai multe moduri de a construi o mulţime nouă din alta sau altele deja existente. Două mulţimi pot fi "adunate". Operaţia, numită "reuniunea" lui A cu B şi notată A U B, este muţimea tuturor entităţilor care sunt membri fie ai lui A, fie ai lui B.Exemple:
Unele proprietăţi de bază ale reuniunii:
![Page 17: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/17.jpg)
IntersectiaO nouă mulţime poate fi construită şi prin determinarea membrilor pe care două
mulţimi date îi au în comun. "Intersecţia" dintre A şi B, notată A ∩ B, este mulţimea tuturor entităţilor (membrilor) care aparţin atât mulţimii A cât şi
mulţimii B. Dacă A ∩ B = ø, atunci A şi B se numesc mulţimi disjuncte (fără membri comuni).
Exemple:
Proprietăţi de bază ale intersecţiilor:
![Page 19: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/19.jpg)
ComplementareaDouă mulţimi pot fi "scăzute". Complementul relativ al lui A în B (numit şi diferenţa dintre mulţimile B şi A), notat B − A (sau şi B \ A), este mulţimea
tuturor elementelor care fac parte din B, dar nu şi din A. De notat că nu este greşit să se "scoată" dintr-o mulţime elemente care nu îi aparţin, cum ar fi
eliminarea elementului verde din mulţimea 1,2,3; doar că această operaţie nu are nici un efect.
În anumite cazuri, toate mulţimile despre care se discută sunt considerate submulţimi ale unei mulţimi universale U. În astfel de cazuri U − A se numeşte complementul absolut (faţă de U), sau pur şi simplu complementul lui A, şi este
notat cu A′.
Exemple:
![Page 20: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/20.jpg)
Dacă U este mulţimea numerelor întregi, E este multimea întregilor pari, şi O este mulţimea întregilor impari, atunci complementul lui E faţă de U este O:
Proprietăţi de bază ale complementelor:
![Page 21: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/21.jpg)
Complementul relativ al lui A fata de B
![Page 22: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/22.jpg)
Teorema probabilitatii totale
Definiţie: Mulţimea Ω a tuturor rezultatelor posibile, incompatibile două câte două, care pot avea loc în cazul unei probe a unui experiment aleatoriu se
numeşte universul probelor (sau spaţiul probelor).Exemplu. La aruncarea unei monede omogene avem Ω=b,s, unde b este
banul, iar s este stema.
Definiţie: Fie Ω un univers. Se numeşte eveniment orice submulţime a lui Ω.Exemplu: La aruncarea monedei Ω=s,b si P(Ω=Ø,s,b,s,b.
Deci în acest caz avem patru evenimente:
Ø numit eveniment imposibil (care nu se realizează în nici o probă),
A=s (constă în apariţia stemei într-o probă),
B=b (constă în apariţia banului într-o probă),
C=s,b=Ω numit evenimentul sigur (constă în apariţia banului sau a stemei într-o aruncare) care se realizează întotdeauna
![Page 23: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/23.jpg)
b=banul; s=stema
![Page 24: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/24.jpg)
Camp de probabilitate
Mulţimea tuturor evenimentelor legate de o experienţă împreună cu probabilităţile respective formeaya un câmp de probabilitate.
Probabilităţile calculate se referă la evenimente legate de experienţe având un număr finit de cazuri posibile(evenimente elementare).
Formule pentru calcularea unor probabilităţi
1. P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
2. P(AB)=P(A)
+P(B)P(AB)
![Page 25: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/25.jpg)
Scheme clasice de probabilitate
1.Schema lui PoissonSe dau n urne U1, U2, U3, ..., Un care contin bile albe si negre in proportii date. Cunoastem, deci, probabilităţile pi (i=1, 2, ..., n) cu care este extrasa o bila albă din urna Ui. Se cere probabilitatea de a extrage k bile albe si n-k bile negre, atunci cand din fiecare urna se extrage cate o bilă.
Probabilitatea căutată va fi coeficientul lui xk in polinomul
P(x)=(p1x+q1)(p2x+q2)…(pnx+qn).
![Page 26: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/26.jpg)
2. Schema lui BernoulliIn schema lui Poisson peresupunem ca avem urnele identice. Atunci putem lua
p1 = p2 = ... pn = p si q1 = q2 = ... qn = q = 1 - p . In acest caz, probabilitatea extragerii a k bile albe, va fi coeficientul lui xk din
polinomul
adica va fi egala cu :
P(x)=(px+q)n
![Page 27: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/27.jpg)
Operatii cu probabilitati
![Page 28: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/29.jpg)
Evenimente elementare echiprobabile
Definitie: Fie Ω=ω1, ω2,…, ωn.
Evenimentele elementare ω1, ω2,…, ωn se numesc echiprobabile daca au aceeasi probabilitate.
Teorema: Daca Ω este un univers format din n evenimente elementare
echiprobabile, iar A este un eveniment format din reuniunea a k
evenimente elementare, atunci:
PA=kn=n(A)n(Ω).
![Page 30: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/30.jpg)
Probleme rezolvate1.
![Page 31: statistica-probabilitati.wikispaces.comstatistica-probabilitati.wikispaces.com/file/… · PPT file · Web view · 2010-06-08Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081502/5b18af9d7f8b9a2d258bedc6/html5/thumbnails/31.jpg)
2.