![Page 1: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/1.jpg)
Saulquin Bertrand, ACRI-ST Antoine Mangin, ACRI-ST
Grégoire Mercier, Telecom Bretagne Ronan Fablet, Telecom Bretagne
« Exploration temps-fréquence des séries
temporelles géophysiques, des pistes de
valorisation ?»
Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013
![Page 2: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/2.jpg)
Page 2
Domaines d’activités concernés:
Démélangeage de signaux => +++ Recherche, +++ Applications
Etude du climat => +++ Recherche, + Applications
Retours vers les capteurs, optimisation de réseaux de surveillance=> +Recherche, +++
Applications
Apprentissage / Modélisation / Prévision => +Recherche, +++ Applications
Analyse des séries temporelles, les enjeux
![Page 3: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/3.jpg)
Page 3
Saulquin B., Fablet R., Mangin A., Mercier G., Fanton d'Andon O. “Multi-scale
event-based mining in geophysical time series: an application to the satellite-
derived Sea Surface Temperature from 1985 to 2009”, submitted to IEEE in
February 2013.
I - Analyse temps-fréquence et démélangeage de signaux
![Page 4: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/4.jpg)
Page 4
Constat:
Les méthodes généralement utilisées (EOF – PCA) pour étudier les séries temporelles nécéssitent:
- Un signal stationnaire et une distribution gaussienne de la variable étudiée (en gros pas d’extrêmes et
pas de tendance).
- La notion de significativité d’un paramètre statistique est souvent peu ou pas traitée (niveaux de
corrélation significatifs …).
Nous proposons dans cet article une nouvelle approche, basée sur l’exploitation des décompositions en ondelettes,
pour aborder l’exploitation des séries temporelles basée sur:
- l’extraction d’événements significatifs par rapport au bruit local.
- la caractérisation des évènements à l’aide d’indices synthétiques.
- l’exploitation d’une base de données évènements à l’aide d’outils statistiques avancés.
Pour illustrer notre approche, nous appliquons notre approche à la température de surface (SST) de 1985-2009
I - Analyse temps-fréquence et démélangeage de signaux
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Page 5
Le concept de la représentation des séries temporelles à partir d’évènements significatifs par rapport à un bruit auto-
corrélé local.
Spectre d’énergie théorique (Fourier) d’un bruit coloré
I - Analyse temps-fréquence et démélangeage de signaux
Nino
Seuil de significativité en énergie
Transformée en ondelettes
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Page 6
Chaque évènement est caractérisé par les indicateurs suivants:
- S, T, dS, dT.
- Son énergie
- Les axes de l’élipse (informations de propagation)
Une série temporelle 2D (de dimension n) est alors représentée à l’aide de n_events * n_paramètres
Avantages:
Une meilleure discrétisation de l’information significative en temps et en échelle.
Des nouveaux outils pour étudier les liens de causalités entre les phénomènes.
Inconvénient:
Complexité accrue nécessitant des outils statistiques complexes pour explorer les bases de
données (multi-paramètres, estimations complexes des paramètres)
I - Analyse temps-fréquence et démélangeage de signaux
![Page 7: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/7.jpg)
Page 7
Un exemple simple d’analyse de la base de données evts: extraction des échelles caractéristiques des
anomalies de la température de 1989 à 2009:
Distribution en échelle de 32000 séries temporelles Extraction automatique des échelles caractéristiques
I - Analyse temps-fréquence et démélangeage de signaux
Mixture de gaussiennes
![Page 8: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/8.jpg)
Page 8
Application I : L’analyse de la distribution spatiale des échelles caractéristiques
Intérêt à discrétiser en échelles
I - Analyse temps-fréquence et démélangeage de signaux
< 4 mois
3.36 y
MEI
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Page 9
Intérêt à discrétiser en échelles
I - Analyse temps-fréquence et démélangeage de signaux
3;36 y
Application I : L’analyse de la distribution spatiale des échelles caractéristiques
=1.41y
![Page 10: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/10.jpg)
Page 10
I - Analyse temps-fréquence et démélangeage de signaux
Intérêt à discrétiser en temps
Application I : L’analyse de la distribution temporelle des échelles caractéristiques
![Page 11: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/11.jpg)
Page 11
Application III, la prédiction de El Nino
We identified a specific distribution of the density
of the high frequency SSTA events related to the
ENSO regimes showing an increase of 10%
during El Niño periods and the PDF of the time
shifts between the starting times of the high
frequency and the low frequency events at 3.36
year-scale showed an increase of 20% of the
number of high frequency events 12 months in
advance in the Pacific, and an increase of 13%
10 months advance in in the Indian Ocean.
These three specific indexes underlie the added
value of the proposed event-based mining
approach (usually ENSO is detected 2 months
ahead).
Distributions of the time shifts between starts of collocated high frequency
and low frequency events. As the reference low-frequency event category, we
consider the 3.36 year characteristic scale, i.e. an exhibited scale from both our
analysis and the power spectrum of the of ENSO signal
I - Analyse temps-fréquence et démélangeage de signaux
Intérêt à discrétiser en temps
![Page 12: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/12.jpg)
Page 12
Conclusions on the event-based data mining method.
Our approach resorts to a normalized representation through the detection of significant time-frequency events,
which account for the auto-correlation and noise level of each time series. This is regarded as a key feature for the considered
geophysical time series, which depict large autocorrelation level (typically from 0.3 to 0.8) and great spatial variabilities of the variance.
Our main methodological contribution lies in the definition and detection of the significant elementary time-frequency events. It provides
a simple and quantitative means to unmix the processes of interest and study their time/scale relationships.
The proposed event-based analysis enables us to achieve a joint analysis of a large set of time series through the identification of event
categories and associated characteristic scale ranges.
This is of key interest as small scale processes in time and space might affect large scale ones in time and space and vice-
versa. Frankignoul [6] showed using a simple model that the short scale wind forcing at local scale could introduce a large geographical
scale in the SSTA.
Our event-based methodology opens new perspectives for the analysis of multivariate time series such wind and SST,
light and chlorophyll-a, light and SST and chlorophyll-a. While we considered here the interaction between events of the same geophysical
variable, this type of analysis could be applied to two or more different variables. The ability to track events among different time series is
also a possible topic of research. Finally, the event-based detection could be used to remove the contribution
of non-stationary signals such as ENSO that can affect the long term trend estimation [32] and correlation analysis.
I - Analyse temps-fréquence et démélangeage de signaux
![Page 13: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/13.jpg)
Page 13
Saulquin B., Fablet R., Mangin A., Mercier G., Antoine D., Fanton d'Andon O. “Detection
of linear trends in multi-sensor time series in presence of auto-correlated noise:
application to the chlorophyll-a SeaWiFS and MERIS datasets and extrapolation to the
incoming Sentinel 3 - OLCI mission” accepted at JGR in March 2013.
II Etude du climat, retours vers les capteurs,
optimisation des réseaux de surveillance
![Page 14: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/14.jpg)
Page 14
Qu’est ce qu’une tendance: une question philosophique ?
Notre définition: une tendance est la pente estimée dans le signal auquel on a enlevé les composantes
stationnaires (cycle saisonnier) et si possible non stationnaires (evts, El Nino …).
Le modèle linéaire est trop simple mais conservatif !
II Etude du climat, retours vers les capteurs,
optimisation des réseaux de surveillance
![Page 15: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/15.jpg)
Page 15
The detection of long-term trends in geophysical time series is a key issue in climate change
studies. This detection is affected by many factors: the amplitude of the trend to be
detected, the length of the available datasets, and the noise properties. Although the auto-
correlation observed in geophysical time series does not bias the trend estimate, it affects the
estimation of its uncertainty and consequently the ability to detect, or not, a significant trend.
Ignoring the auto-correlation level typically leads to an over-detection of significant trends.
Satellite time series have been providing remote observations of the sea surface for several
decades. Due to satellite lifetime, usually between 5 and 10 years, these time series do not
cover the same period and are acquired by different sensors with different characteristics. These
differences lead to unknown level shifts (biases) between the datasets, which affect the trend
detection
The estimation of the level shift between the two time series using an inter-calibration
procedure prior to the estimation of the shared linear trend is statistically relevant if one
accounts for the uncertainty of the level shift in the variance of the trend estimate.
Neglecting this uncertainty resorts to a null-shift case.
Trend detection : the problem ?
II Etude du climat, retours vers les capteurs,
optimisation des réseaux de surveillance
![Page 16: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/16.jpg)
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Trend detection: case of a single-sensor dataset
The trend uncertainty:
(4)
II Etude du climat, retours vers les capteurs,
optimisation des réseaux de surveillance
![Page 17: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/17.jpg)
Page 17
(*********)
II Etude du climat, retours vers les capteurs,
optimisation des réseaux de surveillance
![Page 18: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/18.jpg)
Page 18
II Etude du climat, retours vers les capteurs,
optimisation des réseaux de surveillance
![Page 19: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/19.jpg)
Page 19
Trend detection: application to the SeaWiFS (1998-2009) and MERIS (2002-2011) datasets
II Etude du climat, retours vers les capteurs,
optimisation des réseaux de surveillance
![Page 20: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/20.jpg)
Page 20
Where the time t is in any case relative to the start of the first time series, which is considered as
the reference. T0 is the starting time of the second time series, and n1, n2, are respectively the
length of the first and second time series. μ and ῳ are respectively the intercept term and the
linear trend shared by the two time series. δ is the unknown level shift of the second time series
compared to the first one, supposed here as constant in time. U=1 for t >= T0 and U = 0 for t < T0.
N1t and N2t are the auto-correlated noises of the two time series.
Trend detection: case of a multi-sensor dataset
II Etude du climat, retours vers les capteurs,
optimisation des réseaux de surveillance
![Page 21: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/21.jpg)
Page 21
The use of the joint chl-a SeaWiFS-MERIS dataset over
the period 1998-2011 led to the detection of 60% of
significant trends, compared to 41 % for the SeaWiFS
dataset only and 50% for the MERIS dataset only,
contributing to a better characterization of region-specific
patterns in the detected trends.
Global 2.83 x 10-4 1.59 x 10-1 1.0 x 10-2 3.20 x 10-3
Atlantic 8.27 x 10-4 -1.59 x 10-1 1.0 x 10-2 4.60 x 10-3
Pacific 7.27 x 10-4 -7.49 x 10-2 1.0 x 10-2 2.80 x 10-3
Indian Ocean -1.40 x 10-3 -1.14 x 10-1 9.60 x 10-3 2.00 x 10-3
Trend detection: application to the SeaWiFS & MERIS (1998-2011) datasets
II Etude du climat, retours vers les capteurs,
optimisation des réseaux de surveillance
![Page 22: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/22.jpg)
Page 22
Effect of the time overlap or the gap-time (in months)
between two time series of 60 months on the trend
uncertainty coefficient G (Eq. 9).
Trend detection: optimisation of an observation network
II Etude du climat, retours vers les capteurs,
optimisation des réseaux de surveillance
60 months
60 months
60 months
60 months
DT
The varying parameter
DT
![Page 23: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/23.jpg)
Page 23
Trend detection: optimisation of an observation network
Figure 5: Effect of the length of the second time series on
the uncertainty trend coefficient G (Eq. 9) with (a) a one year
overlap and (b) a one year gap.
II Etude du climat, retours vers les capteurs,
optimisation des réseaux de surveillance
60 months
L
60 months
L
The varying parameter
![Page 24: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/24.jpg)
Page 24
Estimated duration of needed Sentinel 3 - OLCI measurements to enhance the joint
SeaWiFS - MERIS detection of long-term linear trend: from simulations of model (Eq. 9, see text for details)
Trend detection: optimisation of an observation network
II Etude du climat, retours vers les capteurs,
optimisation des réseaux de surveillance
![Page 25: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/25.jpg)
Page 25
Conclusions sur l’étude de tendances dans des séries géophysiques
The two major statistical factors governing a trend estimation and detection in a single-sensor time-series are the auto-correlation
and the variance of the noise. The estimated noise auto-correlation showed a latitudinal distribution with a greater mean value of
0.35, compared to 0.25 for greater latitudes. This difference leads to an increase of 16% of the uncertainty on the
estimation of the same trend in these two different areas.
When two time series are available, the trend detection depends on the uncertainty on the level shift between the datasets. In
case of an overlap, the shift uncertainty is diminished. The use of the joint chl-a SeaWiFS-MERIS dataset over the period
1998-2011 led to the detection of 60% of significant trends, compared to 41 % for the SeaWiFS dataset only and 50% for the
MERIS dataset only, contributing to a better characterization of region-specific patterns in the detected trends.
Optimizing an observation network for the long term monitoring implies to minimize the effect of the unknown level shift by
organizing time overlaps between successive missions. From our analysis and for a noise auto-correlation level greater than
0.3 as observed in mean four our dataset, an overlap of 12 months has been found optimal to lower the uncertainty on
the level shift and to minimize the uncertainty on the trend estimate within two time series of 60 months.
II Etude du climat, retours vers les capteurs,
optimisation des réseaux de surveillance
![Page 26: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/26.jpg)
Page 26
Conclusions sur l’étude de tendances dans des séries géophysiques
With no overlap between time series, the estimation of a potential level shift and its uncertainty is
needed (**).
We estimated a mean value of 53 months for the needed Sentinel 3 – OLCI observations, with some region-
dependent fluctuations between 40 to 68 months. This simulation was carried out using an uncertainty level on
the shift between OLCI and MERIS of the same magnitude than the one estimated between SeaWiFS and
MERIS. These results are coherent with the expected lifetime of the Sentinel 3-OLCI mission, and suggest that
the analysis of the global long-term patterns should actually benefit from the joint analysis of SeaWiFS, MERIS
and Sentinel 3-OLCI datasets.
II Etude du climat, retours vers les capteurs,
optimisation des réseaux de surveillance
![Page 27: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/27.jpg)
Page 27
Le dernier volet de la thèse sera basé sur l’estimation de différents modes de co-
variation entre les variables géophysiques (regréssions) et d’utiliser à postériori ces
modes estimés pour prévoir des quantités géophysiques uniquement à partir
d’observations de surfaces.
Constat:
- les dynamiques entre les paramètres ne sont pas constantes au cours
du temps et des zones géographiques.
(ex: Chl = f (PAR , SST, CHL))
Solution (méthodologie en cours de développement … ):
Estimation de modèles probabilistes de mélanges de modes (régressions)
III Apprentissage / Modélisation / Prévision
![Page 28: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/28.jpg)
Page 28
Probabilité conditionnelle d’une VA d ’appartenir
à une régression (dynamique géophysique …)
Sachant X
En cas de mixture (θ) la probabilité
conditionnelle (à maximiser) devient :
Prédiction
Probabilité à postériori d’un individu d’appartenir
au mode k:
III Apprentissage / Modélisation / Prévision
![Page 29: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/29.jpg)
Page 29
A optimiser:
- le nombre de classes (dynamiques entre les paramètres géophysiques)
- l’ordre des paramètres (récursivité temporelle)
=> par maximisation de la variance expliquée
A interpréter:
- les différentes dynamiques géophysiques
III Apprentissage / Modélisation / Prévision
Exemple sur l’anomalie de chlorophylle-a
![Page 30: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/30.jpg)
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III Apprentissage / Modélisation / Prévision
![Page 31: Soumission du manuscrit prévue pour fin 2013 « Exploration temps …pagesperso.univ-brest.fr/~ailliot/SlidesBerder/Saulquin.pdf · 2013-07-12 · I - Analyse temps-fréquence et](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042419/5f35c8cc26195a03d866680a/html5/thumbnails/31.jpg)
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Publication …. en cours mais l’application reste à définir vers de la haute
résoltion
A Suivre … acte III …
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