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Solução das equações de estado
Equação de estado (vetorial):
Equação escalar:
Aplicando a transformada de Laplace:
FONTE: www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_03.pdf
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Solução das equações de estado
Solução em X(s):
Mas:
E:
)]([)( 1 sXLtx
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Solução das equações de estado
Aplicando a transformada inversa na expressão de X(s):
Vamos utilizar o mesmo raciocínio para solucionar a equação diferencial matricial:
Solução para entrada nula Solução para estado nulo
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Solução das equações de estado
Aplicando a transformada de Laplace:
Mas:
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Solução das equações de estado
Aplicando a transformada de Laplace:
Por analogia com arelação escalar:
Introduz-sea notação:
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Solução das equações de estado
Se A é uma matriz (n n), então eAt também é uma matriz (n n), chamada de matriz exponencial.
Observe que:
Assim:
Como deteminar x(t)?
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Solução das equações de estado
A matriz exponencial eAt é também chamada de matriz de transição de estados (t):
pois descreve a transição dos estados da condição inicial x(0) para estados no tempo t, para uma entrada nula:
Solução para entrada nula Solução para estado nulo
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Solução das equações de estado
Observe que (t) satisfaz a equação:
Outras propriedades de (t):
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Solução das equações de estado
Computação da matriz de transição de estados:
Pode-se calcular:
até que não sejam mais observadas mudanças significativas.
Exemplo:
Variáveis de estado?
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Solução das equações de estado
Exemplo (cont):
Variáveis de estado:
Equação de estado matricial:
Cálculo de (t):
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Solução das equações de estado
Assim, a solução para a equação homogênea
com condições iniciais é dada por:
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Solução das equações de estado
Solução por transformada de Laplace para a matriz de transição de estados:
Exemplo:
Uma realização em espaço de estados:
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Solução das equações de estado
Exemplo (cont):
Portanto:
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Solução das equações de estado
Assim:
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Computação da matriz exponencial com o Toolbox Symbolic Math do Matlab:
Pode-se também calcularo valor numérico:
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Solução das equações de estado
Resposta total do sistema (entrada + condições iniciais):
Entrada = degrau unitário:
aplicada ao sistema:
Resposta total:
Entrada no domínio s :
Este termo já temos
Falta determinar este termo
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Solução das equações de estado
Já havíamos calculado a resposta à entrada nula. Agora falta calcular a resposta ao estado nulo:
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Solução das equações de estado
Assim:
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Respostas de sistemas no Matlab:
Dado um objeto LTI:
Resposta a condições iniciais:
Resposta ao impulso:
Resposta ao degrau:
Resposta a uma entrada genérica:
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Respostas de sistemas no Matlab:
Viewer do Matlab para um sistema LTI:
File Import selecionar G
• Clique com o botão direito do mouse sobre a figura
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ltiview no Matlab:
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ltiview no Matlab:
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Resposta completa de x(t) Resposta completa do sistema:
Resposta completa do sistema - Symbolic Math Toolbox:
• Resposta àentrada nula:
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• Resposta ao estado nulo:
)()()( txtxtx ZSZI
Resposta completa de x(t)
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>> help syms
SYMS Short-cut for constructing symbolic objects. SYMS arg1 arg2 ... is short-hand notation for arg1 = sym('arg1'); arg2 = sym('arg2'); ... SYMS arg1 arg2 ... real is short-hand notation for arg1 = sym('arg1','real'); arg2 = sym('arg2','real'); ... (...)Examples: syms x beta real is equivalent to: x = sym('x','real'); beta = sym('beta','real');
Toolbox simbólico no Matlab
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Transformações entre conjuntos de variáveis de estado
Já vimos que não existe um único conjunto de variáveis de estado que resultam em um mesmo comportamento entrada-saída (ou mesma função de transferência).
Como passar de uma realização em espaço de estados para outra?
Considere uma realização dada por:
Queremos encontrar uma outrarealização dada por:
FONTE: http://www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_04.pdf
uy
u
DCx
BAxx
uy
u
DzC
BzAz
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Transformações entre conjuntos de variáveis de estado
Para isto, precisamos realizar uma transformação (não-singular) linear de variáveis:
T: matriz de transformação. Assim:
FONTE: http://www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_04.pdf
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Transformações entre conjuntos de variáveis de estado
Assim:
onde:
Esta é uma chamada de transformação de similaridade.
FONTE: http://www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_04.pdf
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Transformações entre conjuntos de variáveis de estado
Como estas duas realizações referem-se a um mesmo sistema (mesma função de transferência), deve-se ter:
Exemplo:
DBAICDBAICY
G 11 )()()()(
)( sssUs
s
Vamos escolher:
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Exemplo: ss tf Para esta definição de variáveis de estado, as
equações de estados são dadas por:
: Forma canônica controlável
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Diagrama desimulação:
Função de transferência?
Exemplo: ss tf
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Função de transferência:
Exemplo: ss tf
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No Matlab: ss tf : ss2tf Função de transferência G:
>> G=tf(1,conv([1 2],[1 3])) Transfer function: 1-------------s^2 + 5 s + 6 >> [A,B,C,D]=tf2ss(1,conv([1 2],[1
3]))D = 0
A = -5 -6 1 0
B = 1 0
C = 0 1
: Forma canônicacontrolável
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Formas canônicas e diagramas de simulação
Diagrama de simulação para o sistema descrito pela equação diferencial:
Assim:
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Saídas dos integradores = estados
Formas canônicas e diagramas de simulação
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Diagrama de blocos:
Formas canônicas e diagramas de simulação
Matriz A: Forma canônica companheira (superior)
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Forma canônica controlável com derivadas da entrada:
Introduz-se um estado parcial como uma variável auxiliar, tal que:
Formas canônicas e diagramas de simulação
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Forma canônica controlável com derivadas da entrada – equação envolvendo estados e entrada:
Também pode ser realizado com integradores em série
A saída pode ser dada por:
Formas canônicas e diagramas de simulação
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Forma canônica controlável com derivadas da entrada – diagrama de simulação:
Formas canônicas e diagramas de simulação
Os estados são realimentados para a entrada
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Equações de estado:
Formas canônicas e diagramas de simulação
Matriz Ac: Forma canônica companheira (superior) Esta matriz é companheira da equação característica
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Para próxima aula: Estudar formas canônicas:
Forma canônica controlável; Forma canônica observável; Formas canônicas companheiras.