Soal Babak Penyisihan
Brilliant Competition 3
Matematika
PETUNJUK
1. Soal terdiri dari 60 soal pilihan ganda dan 10 soal uraian.
2. Penilaian untuk setiap jawaban pilihan ganda
a. Menjawab benar : 2
b. Menjawab salah : -1
c. Tidak menjawab : 0
3. Penilaian untuk setiap jawaban uraian
a. Maksimum : 10
b. Minimum : 0
PILIHAN GANDA 1. Perhatikan bilangan-bilangan berikut!
,
,
,
Urutan bilangan-bilangan tersebut yang benar adalah __________.
a.
b.
c.
d.
2. Misalkan himpunan memiliki anggota dan himpunan memiliki anggota. Banyaknya fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) dari himpunan ke himpunan adalah __________.
a.
b.
c.
d.
3. Banyaknya sisi dan rusuk pada kerucut berturut-turut adalah __________.
a. dan
b. dan
c. dan
d. dan
4. Diberikan segitiga dan . Perhatikan empat pernyataan berikut!
1) , ,
2) , ,
3) , ,
4) , ,
Pernyataan yang merupakan syarat cukup agar kedua segitiga kongruen adalah pernyataan __________.
a. 1
b. 1 dan 2
c. 1, 2, dan 3
d. 1, 2, 3, dan 4
5. Jika , maka nilai dari
adalah __________.
a.
b.
c.
d.
6. Perbandingan luas permukaan tabung tanpa tutup dengan jari-jari alas dan tinggi
terhadap luas permukaan setengah bola tanpa tutup dengan jari-jari adalah
__________.
a.
b.
c.
d.
7. Bentuk sederhana dari
√
√
√ adalah __________.
a. √
√
b. √
√
c. √
√
d. √
√
8. Diketahui untuk setiap bilangan real , ⌊ ⌋ menyatakan bilangan bulat terbesar yang
kurang dari atau sama dengan . Nilai dari ⌊√ √ √ ⌋ adalah
__________.
a. 44
b. 45
c. 54
d. 55
9. Jika (
) (
) (
) (
), maka pernyataan berikut yang
benar adalah __________.
a.
b.
c.
d.
10. Jika , maka nilai dari adalah __________.
a.
b.
c.
d.
11. Pada segiempat , diketahui dan . Bangun datar berikut yang
paling tepat untuk segiempat adalah __________.
a. trapesium sama kaki
b. jajargenjang
c. layang-layang
d. persegi panjang
12. Pada gambar di bawah ini, merupakan persegi dengan panjang sisi . Jika
segitiga dan merupakan segitiga sama sisi, maka luas lingkaran yang
berjari-jari adalah __________.
a.
b.
c.
d. ( √ )
13. Nomor polisi pada sebuah kendaraan bermotor selalu diawali dengan dua huruf
berbeda dan diikuti dengan tiga digit (digit pertama boleh dan ketiga digit tidak
harus berbeda). Banyaknya nomor polisi yang mengandung setidaknya satu digit
adalah __________.
a.
b.
c.
d.
14. Suatu bulan tertentu memiliki hari Minggu yang jatuh pada tanggal yang berangka
genap. Tanggal pada bulan tersebut jatuh pada hari __________.
a. Rabu
b. Kamis
c. Jumat
d. Sabtu
A B
C D
E
F
15. Sebanyak orang menghadiri suatu pertemuan. Pada pertemuan tersebut, setiap
dua orang saling berjabat tangan minimal kali. Jika pada pertemuan tersebut,
terjadi sebanyak jabat tangan, maka nilai terbesar yang mungkin adalah
__________.
a. 62
b.
c.
d.
16. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
adalah __________.
a. ( )
b. ( )
c. ( ) ( )
d. ( )
17. Himpunan * + berisikan semua bilangan asli yang bukan
merupakan kuadrat sempurna dan bukan merupakan kubik sempurna. Jika anggota
himpunan diurutkan mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar, maka anggota
ke himpunan adalah __________.
a.
b.
c.
d.
18. Diberikan dua bilangan bulat yang berjumlah . Jika bilangan yang lebih besar
dibagi dengan bilangan yang lebih kecil, maka hasil baginya adalah dan sisanya .
Selisih kedua bilangan tersebut adalah __________.
a.
b.
c.
d.
19. Sekumpulan bilangan asli memiliki rata-rata . Semua bilangan asli tersebut
kemudian dikali dengan , kemudian hasilnya dikurangi dengan , dan kemudian
hasilnya dibagi dengan . Jika rata-rata kumpulan bilangan asli tersebut sekarang
menjadi , maka nilai adalah __________.
a.
b.
c.
d.
20. Misalkan dan merupakan segitiga sama sisi sedemikian hingga pusat
lingkaran luar segitiga merupakan pusat lingkaran dalam segitiga .
Perbandingan keliling segitiga terhadap keliling segitiga adalah __________.
a.
b.
c.
d.
21. Luas sisi-sisi yang berbeda pada sebuah balok adalah , , dan berturut-
turut. Volum balok tersebut adalah __________.
a.
b.
c.
d.
22. Bilangan palindrom adalah bilangan yang dibaca dari kiri dan kanan selalu sama
(misalnya , , dan ). Banyaknya bilangan asli ganjil yang terdiri dari
sembilan digit dan merupakan bilangan palindrom serta dua kali bilangan tersebut
juga merupakan bilangan palindrom adalah __________.
a.
b.
c.
d.
23. Misalkan merupakan bilangan asli terbesar sehingga terdapat bilangan asli yang
memenuhi . Nilai adalah __________.
a.
b.
c.
d.
24. Dua digit terakhir dari
adalah __________.
a.
b.
c.
d.
25. Banyaknya bilangan asli yang tidak lebih dari sehingga merupakan kuadrat
dari suatu bilangan asli adalah __________.
a.
b.
c.
d.
26. Tiga lingkaran kongruen saling bersinggungan seperti pada gambar di bawah ini.
Garis melalui ketiga titik pusat lingkaran tersebut dan garis merupakan garis
singgung lingkaran yang berpusat di . Titik dan merupakan perpotongan garis
dengan lingkaran yang berpusat di . Jika diketahui bahwa jari-jari lingkaran
adalah , maka panjang adalah __________.
a.
b.
c.
d.
D
F
E
C
B A
27. Bilangan bulat terbesar sehingga habis membagi adalah __________.
a.
b.
c.
d.
28. Tiga dadu berbeda, masing-masing
bersisi enam, dilemparkan bersamaan.
Peluang munculnya paling sedikit dua
angka kembar adalah __________.
a.
b.
c.
d.
29. Pada gambar di atas ini, tiga buah garis ditarik dari tiga titik sudut segitiga
menuju sisi di depannya sehingga membagi segitiga menjadi bagian. Jika
bilangan pada tiap daerah menyatakan besarnya luas daerah tersebut, maka luas
segitiga adalah __________.
a.
b.
c.
d.
A B
C
4
5
15
10
30. Jika merupakan bilangan real, maka nilai minimum dari adalah __________.
a.
b.
c.
d.
31. Misalkan merupakan jumlah semua bilangan asli empat digit yang semua digitnya
merupakan bilangan prima dan tidak terdapat digit yang berulang. Digit terakhir
dari adalah __________.
a.
b.
c.
d.
32. Misalkan kelima titik ( ); ( ); ( ); ( ); dan ( ) berada pada bidang
kartesius. Di antara bangun datar berikut, yang tidak dapat dibentuk dengan
menggunakan beberapa dari lima titik tersebut sebagai titik sudutnya adalah
__________.
a. trapesium
b. jajargenjang
c. segitiga tumpul
d. segitiga sama sisi
33. Misalkan o dan o . Nilai dari o √
adalah __________.
a. ( )
b. ( )
c. ( )
d. ( )
34. Misalkan segitiga siku-siku di dengan . Misalkan pula titik dan
pada sedemikian hingga merupakan garis tinggi dan merupakan garis
berat segitiga . Besar sudut adalah __________.
a.
b.
c.
d.
35. Misalkan dan merupakan akar-akar persamaan kuadrat . Jika
maka nilai adalah __________.
a.
b.
c.
d.
36. Dalam sebuah ruangan terdapat empat kotak yang masing-masing berisikan sebuah
bola. Seseorang mengambil keempat bola tersebut dan kemudian memasukannya
kembali ke dalam empat kotak tersebut secara acak (satu kotak berisikan satu bola).
Peluang tidak adanya bola yang kembali ke kotak semula adalah __________.
a.
b.
c.
d.
37. Banyaknya bilangan bulat yang memenuhi ( ) adalah
__________.
a.
b.
c.
d.
38. Misalkan merupakan fungsi sehingga (
√ √ ) untuk setiap . Nilai dari
( ) adalah __________.
a. √
b.
c. √
d.
39. Banyaknya bilangan bulat positif yang tidak lebih dari dan tidak habis dibagi
oleh maupun adalah __________.
a.
b.
c.
d.
40. Banyaknya bilangan real yang memenuhi persamaan o ( ) ( o ) adalah
__________.
a.
b.
c.
d. lebih dari
41. Misalkan dan merupakan bilangan real positif yang memenuhi dan
. Nilai dari adalah __________.
a.
b. √
c. √
d.
42. Misalkan dan merupakan akar-akar persamaan kuadrat .
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya
dan
adalah __________.
a.
b.
c.
d.
43. Pada gambar di samping ini, garis sejajar
garis , garis sejajar garis , dan garis
sejajar garis . Titik merupakan
perpotongan dari garis , , dan . Jika luas
segitiga , , dan berturut-turut
adalah , , dan , maka luas segitiga
adalah __________.
a.
b.
c.
d.
44. Di antara bilangan-bilangan berikut, yang tidak mungkin habis membagi jumlah
bilangan bulat berurutan adalah __________.
a.
b.
c. 5
d.
E
I
H G
F
D
C
B A
45. Sebuah segitiga panjang ketiga sisinya merupakan tiga bilangan prima berbeda dan
kelilingnya juga merupakan bilangan prima. Keliling minimum segitiga tersebut
adalah __________.
a.
b.
c.
d.
46. Misalkan dan merupakan bilangan asli dengan yang memenuhi
.
Nilai dari
adalah __________.
a.
b.
c.
d.
47. Misalkan dan merupakan bilangan bulat positif yang habis dibagi dengan
. Jumlah semua bilangan bulat positif yang berada di antara dan dan tidak habis
dibagi adalah __________.
a. ( )
b.
c.
d.
48. Misalkan titik berada di dalam lingkaran yang berpusat di . Peluang jarak titik
ke lingkaran lebih pendek daripada jarak titik ke titik adalah __________.
a.
b.
c.
d.
49. Diameter lingkaran yang berpusat di adalah . Misalkan titik berada pada tali
busur lingkaran tersebut, membagi tali busur tersebut menjadi dua bagian dengan
panjang dan berturut-turut. Panjang adalah __________.
a.
b.
c.
d.
50. Pada segitiga , diketahui , , dan √ . Misalkan titik pada
sedemikian hingga . Panjang adalah __________.
a. √
b.
c. √
d. √
O
P
51. Banyaknya bilangan asli empat digit yang mengandung tepat dua digit berbeda dan
merupakan kuadrat dari suatu bilangan asli adalah __________.
a.
b.
c.
d.
52. Dalam sebuah ruangan terdapat empat kotak berwarna biru yang masing-masing
berisikan sejumlah bola (banyaknya bola pada masing-masing kotak tidak harus
sama) dan tujuh kotak berwarna kuning yang semuanya kosong. Diketahui bahwa
kotak berwarna biru yang memuat bola paling sedikit berisikan bola dan kotak
berwarna biru yang memuat bola paling banyak berisikan bola. Seseorang
mengambil semua bola dari keempat kotak berwarna biru tersebut dan kemudian
memasukkan semua bola tersebut ke dalam ketujuh kotak berwarna kuning
tersebut. Jika banyaknya bola pada masing-masing kotak berwarna kuning sekarang
adalah sama, maka banyaknya bola pada masing-masing kotak berwarna kuning
tersebut adalah __________.
a.
b.
c.
d.
53. Misalkan terdapat enam buah manik-manik, masing-masing memiliki warna yang
berbeda-beda. Banyaknya kalung yang dapat dibuat dengan menggunakan keenam
manik-manik tersebut adalah __________.
a.
b.
c.
d.
54. Misalkan dan merupakan anggota himpunan bilangan bulat. Perhatikan lima
pernyataan berikut.
1)
2)
3)
4)
5)
Banyaknya pernyataan tersebut yang benar adalah __________.
a.
b.
c.
d.
55. Misalkan titik merupakan titik pusat persegi . Dibuat tiga buah seperempat
lingkaran di dalam persegi tersebut dengan pusat , , dan berturut-turut dengan
jari-jari sama dengan sisi persegi. Misalkan lingkaran yang berpusat di memotong
lingkaran yang berpusat di dan di titik dan berturut-turut. Jika titik
merupakan perpotongan garis dan , maka besar sudut adalah __________.
a.
b.
c.
d.
56. Misalkan terdapat delapan titik pada suatu bidang dengan tidak ada tiga titik yang
terletak pada satu garis. Banyaknya segitiga paling banyak yang dapat dibentuk
sehingga tidak terdapat dua segitiga yang memiliki lebih dari satu titik sudut yang
sama adalah __________.
a.
b.
c.
d.
57. Misalkan N0 merupakan himpunan bilangan bulat tak negatif. Di antara himpunan-
himpunan berikut, himpunan yang memiliki berhingga banyaknya anggota adalah
__________.
a. {
|
}
b. {
|
}
c. {
|
}
d. {
|
}
58. Sebuah dadu bersisi enam dilempar empat kali. Misalkan hasil kali keempat angka
yang muncul pada dadu tersebut adalah . Di antara bilangan-bilangan berikut,
yang tidak mungkin menjadi sebagai jumlah dari keempat angka yang muncul pada
dadu tersebut adalah __________.
a.
b.
c.
d.
59. Tiga buah kartu masing-masing bertuliskan sebuah bilangan asli. Johan, Joses, dan
James diberi tahu bahwa:
1) ketiga bilangan tersebut berbeda
2) jumlah ketiga bilangan tersebut adalah
3) angka pada kartu pertama merupakan angka terkecil
4) angka pada kartu kedua merupakan angka terbesar
Pertama Johan me ihat an ka pada kartu pertama dan men atakan “Saya tidak dapat menentukan dua an ka ainnya.” Kemudian Joses me ihat an ka pada kartu kedua dan men atakan “Saya tidak dapat menentukan dua an ka ainnya.” Kemudian James melihat an ka pada kartu keti a dan men atakan “Saya tidak dapat menentukan dua angka lainnya." Maka angka pada kartu ketiga tersebut adalah __________.
a.
b.
c.
d. tidak dapat ditentukan
60. Misalkan titik ( ) dan ( ) berada pada bidang kartesius. Banyaknya
persegi panjang yang dapat dibentuk dengan merupakan diagonal persegi
panjang tersebut dan dua titik sudut yang lain berkoordinat bilangan bulat adalah
__________.
a.
b.
c.
d.
URAIAN
1. Misalkan merupakan jajargenjang. Titik
dan berada di luar jajargenjang
sedemikian hingga segitiga dan
merupakan segitiga sama sisi. Tunjukkan
segitiga merupakan segitiga sama sisi.
2. Misalkan dan merupakan bilangan real
yang memenuhi persamaan
o ( ) o o
Tentukan nilai
3. Sebelas buku tulis berbeda akan dibagikan kepada Adrian, Billy, Christopher, dan
David dengan syarat bahwa Adrian menerima paling sedikit buku tulis, Billy
menerima paling sedikit buku tulis, Christopher menerima paling sedikit buku
tulis, dan David menerima paling sedikit buku tulis. Tentukan banyaknya cara
pembagian buku tulis.
4. Misalkan merupakan segiempat sedemikian hingga lingkaran dalam segitiga
bersinggungan dengan lingkaran dalam segitiga . Buktikan bahwa dapat
dibentuk lingkaran yang menyinggung keempat sisi segiempat .
5. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan * + yang terdiri
dari anggota dan jumlah ketiga anggotanya habis dibagi .
6. Misalkan dan merupakan bilangan real dengan dan yang
memenuhi
√( )( ) √( )( )
( )
Tentukan nilai dari .
7. Tiga buah lingkaran saling
bersinggungan seperti pada
gambar di samping. Kedua
garis menyinggung ketiga
lingkaran tersebut. Jari-jari
ketiga lingkaran adalah
dan berturut-turut dengan
. Tunjukkan bahwa
√ .
A BA
DC
ED
CA
FB
8. Bilangan dapat dinyatakan sebagai penjumlahan paling sedikit dua bilangan asli
berurutan dalam cara yaitu
dan . Tentukan
banyaknya cara menyatakan bilangan sebagai penjumlahan paling sedikit dua
bilangan asli berurutan.
9. Seseorang sedang menyusun kode angka yang terdiri dari digit dengan ketentuan
digit pertama minimal , digit kedua minimal , digit ketiga minimal , dan
seterusnya sampai digit ketujuh minimal . Tentukan banyaknya kode angka yang
dapat dibuat jika tidak ada pemakaian digit yang berulang.
10. Diberikan empat bilangan asli dan . Misalkan dan
memenuhi . Tentukan nilai minimum dari .