Download - Skripsi Matematika Solusi Sistem Tak homogen
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
TAK HOMOGEN DENGAN METODE KOEFISIEN
TAK TENTU
HALAMAN JUDUL
SKRIPSI
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh
Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
OLEH
RUTH DIAN FITRIO
NIM. 0100540040
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS CENDERAWASIH
JAYAPURA
2014
ABSTRAK
Fitrio, Ruth Dian. 2014. Solusi Sistem Persamaan Diferensial Linear Tak
Homogen dengan Metode Koefisien Tak Tentu. Skripsi Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Cenderawasih.
Skripsi ini membahas solusi dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen
dengan dua persamaan yang terdiri dua fungsi tak diketahui dan tiga persamaan
yang terdiri dari tiga fungsi tak diketahui, khususnya yang berorde satu dan
memiliki koefisien konstan menggunakan metode koefisien tak tentu. Langkah-
langkah yang diperlukan untuk menentukan solusi sistem persamaan diferensial
dengan metode koefisien tak tentu dimulai dengan menuliskan sistem persamaan
diferensial dalam bentuk matriks ๐โฒ = ๐ด๐ + ๐ญ(๐) dengan ๐ด merupakan matriks
koefisien berordo ๐ ร ๐ dan ๐ญ(๐) merupakan matriks fungsi tak homogen dari
sistem tersebut. Langkah selanjutnya yaitu mencari determinan dari matriks
koefisien ๐ด, jika det(๐ด) โ 0, maka perhitungan dapat dilanjutkan yaitu mencari
solusi homogen (๐โ) dari sistem homogen ๐โฒ = ๐ด๐ dengan cara mencari nilai eigen
dan vektor eigen dari matriks ๐ด sehingga diperoleh solusi homogen dari sistem
persamaan diferensial, yaitu ๐โ = ๐1๐ฏ1๐๐1๐ฅ + ๐2๐ฏ2๐
๐2๐ฅ + โฏ+ ๐๐๐ฏn๐๐๐๐ฅ dengan
๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ merupakan nilai eigen dan ๐ฏ1, ๐ฏ2, โฆ , ๐ฏ๐ merupakan vektor eigen dari
matriks ๐ด. Langkah selanjutnya yaitu mencari solusi khusus (๐๐) dari fungsi tak
homogen ๐ญ(๐). Langkah-langkahnya yaitu, melihat bentuk fungsi yang mirip
dengan fungsi tak homogen ๐ญ(๐) dari bentuk-bentuk fungsi yang tersedia.
Kemudian lihat kesamaan ๐ญ(๐) dengan solusi homogen (๐โ), setelah itu memilih
pemisalan ๐๐ yaitu bentuk fungsi yang mirip dengan bentuk ๐ญ(๐) dengan
mengikuti aturan yang ada. Selanjutnya, substitusikan ๐๐ ke sistem ๐โฒ = ๐ด๐ +
๐ญ(๐) untuk mencari nilai dari koefisien-koefisien pada ๐๐. Setelah ๐โ dan ๐๐
diperoleh, maka dapat ditentukan solusi umum dari sistem persamaan diferensial
linear tak homogen yaitu ๐ = ๐โ + ๐๐.
Kata kunci: Sistem Persamaan Diferensial, Metode Koefisien Tak Tentu
LEMBAR PERSETUJUAN
Skripsi dengan judul : SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
TAK HOMOGEN DENGAN METODE KOEFISIEN TAK TENTU oleh Ruth
Dian Fitrio telah diperiksa dan disetujui untuk di uji.
Jayapura, 3 Juli 2014
Pembimbing I Pembimbing II
Supiyanto, S.Si., M.Kom
NIP. 19760906 200212 1 003
Westy B. Kawuwung, S.Si., M.Sc
NIP. 19681111 199703 2 001
LEMBAR PENGESAHAN
Skripsi dengan judul: SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
TAK HOMOGEN DENGAN METODE KOEFISIEN TAK TENTU oleh Ruth
Dian Fitrio telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Kamis tanggal 3
Juli 2014.
Dewan Penguji:
Nama Jabatan Tanda Tangan
1. Supiyanto, S.Si., M.Kom. (Ketua) (......................)
NIP. 19760906 200212 1 003
2. Westy B. Kawuwung, S.Si., M.Sc. (Sekretaris) (......................)
NIP. 19681111 199703 2 001
3. Alvian M. Sroyer, S.Si., M.Si. (Anggota) (......................)
NIP. 19810829 200501 1 001
4. Titik Suparwati, S.Si., M.Si. (Anggota) (......................)
NIP. 19750226 200112 2 001
5. Tiku Tandiangnga, S.Si., M.Sc. (Anggota) (......................)
NIP. 19810415 200604 2 003
Mengetahui:
Mengesahkan
Dekan Fakultas MIPA
Drs. Daniel Napitupulu, M.Si.
NIP. 19610517 199203 1 001
Ketua Jurusan,
Alvian M. Sroyer, S.Si., M.Si.
NIP. 19810829 200501 1 001
Ketua Program Studi,
Tiku Tandiangnga, S.Si., M.Sc.
NIP. 19810415 200604 2 003
ii
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI
Skripsi S1 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Cenderawasih yang tidak dipublikasikan, terdaftar dan tersedia di Perpustakaan
Universitas Cenderawasih dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak
cipta ada pada penulis.
Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau
peringkasan hanya dapat dilakukan seizin penulis, dan harus disertai dengan
kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.
Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh skripsi haruslah seizin
Rektor Universitas Cenderawasih.
Perpustakaan yang meminjam skripsi ini untuk keperluan anggotanya harus
mengisi nama dan tandatangan peminjam dan tanggal pinjam.
iii
UCAPAN TERIMAKASIH
Assalamuโalaikum Wr. Wb.
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas rahmat
dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dan tugas akhir dalam
bentuk skripsi.
Skripsi ini berjudul โSolusi Sistem Persamaan Diferensial Linear Tak
Homogen dengan Metode Koefisien Tak Tentuโ. Adapun maksud dan tujuan
pembuatan skrispi ini adalah untuk diajukan sebagai salah satu syarat dalam
menyelesaikan studi Strata Satu (S1) dan memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) di
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Cenderawasih.
Dalam menyelesaikan skripsi ini dan selama menempuh studi, penulis banyak
mengalami hambatan dan tantangan, namun Allah SWT selalu membuka jalan
dengan menghadirkan orang-orang yang baik dan selalu membantu penulis baik
berupa dukungan moril maupun materiil. Oleh karena itu, penulis mengucapkan
terima kasih dan penghargaan setinggi-tingginya kepada:
1. Prof. Dr. Karel Sesa, M.Si selaku Rektor Universitas Cenderwasih yang telah
memberikan kesempatan kepada penulis untuk menjalani studi di Universtas
Cenderawasih serta menyediakan sarana dan prasarana selama pendidikan.
2. Drs. Daniel Napitupulu, M.Si selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Cenderawasih, atas kesempatan yang diberikan
untuk menjalani studi di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
3. Alvian M. Sroyer, S.Si, M.Si., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Cenderawasih.
4. Tiku Tandiangnga, S.Si., M.Sc, selaku Ketua Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Cenderawasih.
5. Supiyanto, S.Si., M.Kom, selaku dosen Pembimbing I yang telah memberikan
arahan, nasehat dan bimbingan dengan penuh kesabaran sehingga penulisan
skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.
iv
6. Westy B. Kawuwung, S.Si., M.Sc, selaku Pembimbing II yang selalu
membimbing penulis dengan penuh kesabaran serta memberikan saran demi
kesempurnaan skripsi ini.
7. Bapak dan ibu-ibu dosen penguji yang telah memberikan saran dan kritik untuk
penyempurnaan skripsi ini.
8. Segenap Dosen dan Staf FMIPA Uncen, khususnya Dosen Jurusan Matematika.
9. Mas Anum, kakak-kakak angkatan 2008 dan 2009, adik-adik angkatan 2011
dan 2012, serta seluruh teman penulis yang tidak bisa penulis sebutkan satu per
satu yang telah membantu penulis selama studi serta penulisan skripsi ini
hingga pada ujian sidang.
10. Sahabat-sahabat senasib seperjuangan penulis terutama Eka, Wellem, Radian,
Ricky, Ilham, Kak Itha, Kak Gusti, Darwin, Asghar, Chaninda, Dewi,
Charoline, Indriyani, Octovina, Lisa, Theresia, Eko, Firdaus, Nuna, Yuyun,
Vengki, Yoke, Lin, Joe, Ria, Narty, Yenny, dan Tina yang saling mendukung
dan memberi motivasi kepada sesama.
11. Kedua orang tua tercinta, Ayahanda Almarhum Sueb dan Ibunda Nina Maria,
yang tak pernah lelah senantiasa membesarkan, mendidik dan memberikan
dukungan motivasi serta doa demi kebaikan dan keberhasilan anak-anaknya.
Hanya doa dan harapan yang dapat penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT.
Semoga semua pihak yang telah membantu penulis selama studi hingga penulisan
skripsi ini diberikan rahmat dan karunia-Nya. Amin Ya Rabbal Alamin.
Wassalamuโalaikum Wr. Wb.
Jayapura, Juni 2014
Penulis
v
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i
ABSTRAK
LEMBAR PERSETUJUAN
LEMBAR PENGESAHAN
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ................................................................ ii
UCAPAN TERIMAKASIH ................................................................................... iii
DAFTAR ISI ........................................................................................................... v
DAFTAR TABEL ................................................................................................. vii
DAFTAR SINGKATAN DAN LAMBANG....................................................... viii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang.................................................................................. 1
1.2 Rumusan Masalah ............................................................................ 2
1.3 Batasan Masalah ............................................................................... 2
1.4 Tujuan Penelitian .............................................................................. 2
1.5 Manfaat Penelitian ............................................................................ 3
1.6 Metode Penelitian ............................................................................. 3
1.7 Sistematika Penulisan ....................................................................... 3
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Fungsi ............................................................................................... 4
2.2 Turunan............................................................................................. 5
2.3 Matriks .............................................................................................. 7
2.4 Sistem Persamaan Linear ............................................................... 14
2.5 Operasi Baris Elementer ................................................................. 15
2.6 Determinan ..................................................................................... 17
2.7 Invers Matriks ................................................................................. 18
2.8 Ruang Vektor.................................................................................. 21
2.9 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ......................................................... 22
2.10 Persamaan Diferensial .................................................................... 25
vi
2.11 Metode Koefisien Tak Tentu .......................................................... 27
BAB III SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR TAK
HOMOGEN DENGAN METODE KOEFISIEN TAK TENTU
3.1 Sistem Persamaan Diferensial (SPD) Linear Orde Satu................. 30
3.2 Solusi SPD Linear Tak Homogen dengan Metode Koefisien Tak
Tentu ............................................................................................... 31
3.3 Studi Kasus Solusi SPD Linear Tak Homogen dengan Metode
Koefisien Tak Tentu ....................................................................... 32
BAB IV PENUTUP
4.1 Kesimpulan ..................................................................................... 47
4.2 Saran ............................................................................................... 48
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 49
vii
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2. 1 Cara Penulisan (Notasi) Untuk Turunan ๐ฆ = ๐(๐ฅ) ............................... 7
Tabel 2. 2 Metode Koefisien Tak Tentu ............................................................... 28
viii
DAFTAR SINGKATAN DAN LAMBANG
Simbol Nama Penggunaan pertama
kali pada halaman
๐ฆ(๐) Turunan ke-๐ dari ๐ฆ terhadap ๐ฅโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..1
lim Limitโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..โฆโฆโฆโฆโฆโฆ...โฆ...5
๐ฆโฒ, ๐ท๐ฅ๐ฆ,๐๐ฆ
๐๐ฅ Turunan pertama dari ๐ฆ terhadap ๐ฅ..โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.โฆโฆโฆ..5
๐๐๐ Entri-entri dalam matriksโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ....9
โ Untuk setiapโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ โฆ......................10
> Lebih dariโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.......................10
< Kurang dariโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ....................10
๐ด๐ร๐ Matriks berordo ๐ ร ๐โฆโฆโฆโฆโฆ.โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..10
โ Tidak sama denganโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ............11
๐ผ๐ Matriks identitas berordo ๐ ร ๐โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ....11
๐ด๐ Transpos dari matriks ๐ดโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ14
[ | ] Matriks yang diperbesarโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ....15
det(๐ด) Determinan dari matriks ๐ดโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ18
|๐ด| Determinan dari matriks ๐ดโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ18
๐ถ๐๐ Kofaktor dari ๐๐๐โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.......20
๐๐๐(๐ด) Adjoin dari matriks ๐ดโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ20
๐ดโ1 Invers dari matriks ๐ดโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.21
โ๐ Himpunan bilangan real dimensi ๐โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ...22
โ Himpunan bagianโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ......23
๐ Nilai eigenโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.................24
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Persamaan diferensial merupakan salah satu cabang dari matematika
yang berperan penting dalam menganalisis dan menyelesaikan persoalan-
persoalan rumit. Banyak masalah-masalah dalam bidang sains, teknik,
ekonomi bahkan bisnis yang bila diformulasikan secara matematis dapat
membentuk suatu persamaan diferensial. Persamaan diferensial adalah
persamaan yang memuat turunan dari satu atau beberapa fungsi yang tidak
diketahui. Apabila persamaan tersebut hanya memuat satu peubah bebas,
maka dinamakan persamaan diferensial biasa, sedangkan apabila memuat
lebih dari satu peubah bebas maka dinamakan persamaan diferensial parsial.
Selain ditinjau dari peubah bebasnya, persamaan diferensial juga dapat
ditinjau dari tingkat ordenya, yaitu pangkat tertinggi dari turunan yang
muncul pada persamaan diferensial tersebut. Misalnya, jika suatu persamaan
hanya memiliki turunan pertama, maka persamaan tersebut dinamakan
persamaan diferensial orde satu. Jika turunan yang dimilikinya sampai pada
turunan kedua, maka persamaan itu dinamakan persamaan diferensial orde
dua, dan secara umum jika persamaan tersebut memiliki turunan hingga
turunan ke-๐, maka dinamakan persamaan diferensial orde ๐.
Persamaan diferensial dengan bentuk
๐๐(๐ฅ)๐ฆ(๐) + ๐๐โ1(๐ฅ)๐ฆ(๐โ1) + โฏ+ ๐0(๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ) (1)
dengan ๐0, ๐1, โฆ , ๐๐ dan ๐ adalah fungsi-fungsi dari variabel bebas x, ๐๐ โ 0
merupakan bentuk umum dari pesamaan diferensial linear. Persamaan (1)
dikatakan homogen jika ๐(๐ฅ) = 0 dan dikatakan tak homogen jika ๐(๐ฅ) โ 0.
Untuk menentukan solusi suatu persamaan diferensial, perlu diketahui
terlebih dahulu jenis dari persamaan diferensial tersebut, setelah itu baru dapat
ditentukan langkah-langkah penyelesaiannya dan metode yang dapat
digunakan untuk mencari solusinya. Contohnya jika diberikan persamaan
diferensial linear homogen, maka solusi umumnya dapat diperoleh dengan
mencari akar-akar dari persamaan karakteristiknya. Lain halnya jika diberikan
2
persamaan diferensial tak homogen. Langkah-langkah untuk mencari
solusinya terbagi menjadi dua, yaitu mencari solusi umum untuk persamaan
homogennya (๐ฆโ) dan solusi khusus untuk persamaan tak homogennya (๐ฆ๐).
Metode-metode yang dapat digunakan untuk mencari solusi khusus dari
persamaan diferensial linear tak homogen adalah variasi parameter dan
koefisien tak tentu. Namun, dalam penelitian ini metode yang digunakan yaitu
metode koefisien tak tentu. Langkah pada metode ini adalah menduga dengan
tepat solusi khusus ๐ฆ๐ yang serupa dengan ๐(๐ฅ) pada Persamaan (1), dengan
koefisien-koefisien tak diketahui yang akan dicari dengan cara
mensubstitusikan ๐ฆ๐ pada persamaan awal.
Selain untuk menentukan solusi persamaan diferensial linear tak
homogen, metode ini dapat dikembangkan untuk mencari solusi dari sistem
persamaan diferensial linear tak homogen, yaitu sistem yang memuat
beberapa persamaan diferensial linear tak homogen. Oleh karena itu, penulis
tertarik untuk meneliti solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen
dengan metode koefisien tak tentu.
1.2 Rumusan Masalah
Sesuai uraian pada latar belakang, masalah yang akan dibahas pada
penelitian ini adalah bagaimana cara menentukan solusi sistem persamaan
diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu.
1.3 Batasan Masalah
Agar pembahasan dalam penelitian ini tidak terlalu luas, maka sistem
persamaan diferensial yang dibahas yaitu sistem dengan dua persamaan
diferensial linear tak homogen orde satu yang terdiri dari dua fungsi tak
diketahui dan tiga persamaan diferensial linear tak homogen orde satu yang
terdiri dari tiga fungsi tak diketahui yang memiliki koefisien konstan.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui langkah-langkah
menentukan solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan
metode koefisien tak tentu.
3
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah untuk menambah wawasan penulis
dan pembaca tentang sistem persamaan diferensial, khususnya sistem
persamaan diferensial linear tak homogen dan mengetahui langkah-langkah
mencari solusinya menggunakan metode koefisien tak tentu.
1.6 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penulisan penelitian ini adalah metode
studi pustaka yaitu dengan mempelajari beberapa referensi yang memuat
materi yang berkaitan dengan masalah yang akan dibahas.
1.7 Sistematika Penulisan
BAB I : Pendahuluan. Bab ini berisi latar belakang, rumusan masalah,
batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode
penelitian dan sistematika penulisan.
BAB II : Landasan Teori. Bab ini berisi kajian mengenai teori-teori
dasar yang terkait dengan masalah yang akan dibahas seperti
fungsi, turunan, matriks, sistem persamaan linear, operasi baris
elementer, determinan, invers matriks, ruang vektor, nilai eigen
dan vektor eigen, persamaan diferensial dan metode koefisien
tak tentu.
BAB III : Pembahasan. Bab ini berisi pembahasan tentang solusi sistem
persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode
koefisien tak tentu.
BAB IV : Penutup. Bab ini berisi kesimpulan dari penulis atas hasil yang
telah didapatkan.
4
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Fungsi
Definisi 2.1 (Purcell, 2004)
Sebuah fungsi ๐ adalah suatu aturan korespondensi (padanan) yang
menghubungkan setiap obyek ๐ฅ dalam satu himpunan, dengan tepat satu nilai
tunggal ๐(๐ฅ) dari suatu himpunan kedua.
Untuk memberi nama fungsi, dipakai sebuah huruf tunggal seperti ๐
(atau ๐ atau ๐น). Maka ๐(๐ฅ), yang dibaca โ๐ dari ๐ฅโ atau โ๐ pada ๐ฅโ,
menunjukkan nilai yang diberikan oleh ๐ pada ๐ฅ.
Contoh 2.1:
Jika ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 + ๐ฅ, berikut ini ditentukan:
a) ๐(2)
b) ๐(2 + โ)
c) ๐(2 + โ) โ ๐(2)
d) ๐(2+โ)โ๐(2)
โ
Penyelesaian:
a) ๐(2) = 22 + 2 = 6
b) ๐(2 + โ) = (2 + โ)2 + (2 + โ)
= 4 + 4โ + โ2 + (2 + โ)
= 6 + 5โ + โ2
c) ๐(2 + โ) โ ๐(2) = 6 + 5โ + โ2 โ 6
= 5โ + โ2
d) ๐(2+โ)โ๐(2)
โ =
5โ+โ2
โ
=โ(5 + โ)
โ
= 5 + โ
5
2.2 Turunan
Definisi 2.2 (Purcell, 2004)
Turunan sebuah fungsi ๐ adalah fungsi lain ๐โฒ (dibaca โ๐ aksenโ) yang
nilainya pada sebarang bilangan ๐ฅ0 adalah
๐โฒ(๐ฅ0) = limโโ0
๐(๐ฅ0 + โ) โ ๐(๐ฅ0)
โ
asalkan limit ini ada.
Jika sebuah fungsi mempunyai turunan di titik ๐ฅ = ๐ฅ0 maka fungsi
tersebut dikatakan diferensiabel atau fungsi tersebut terdiferensialkan di titik
๐ฅ = ๐ฅ0. Turunan ๐ฆ = ๐(๐ฅ) terhadap ๐ฅ dinotasikan dengan ๐โฒ(๐ฅ) atau ๐ฆโฒ atau
๐ท๐ฅ๐ฆ atau ๐๐ฆ
๐๐ฅ.
Contoh 2.2:
Jika ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ + 3, maka ๐โฒ(๐ฅ0) dapat ditentukan sebagai berikut
๐โฒ(๐ฅ0) = limโโ0
๐(๐ฅ0 + โ) โ ๐(๐ฅ0)
โ
= limโโ0
[2(๐ฅ0 + โ) + 3] โ [2๐ฅ0 + 3]
โ
= limโโ0
2๐ฅ0 + 2โ + 3 โ 2๐ฅ0 โ 3
โ
= limโโ0
2โ
โ
= limโโ0
2
= 2
2.2.1 Aturan Pencarian Turunan
a. Aturan Fungsi Konstanta
Teorema 2.1 (Purcell, 2004)
Jika ๐(๐ฅ) = ๐ dengan ๐ suatu konstanta, maka untuk sebarang ๐ฅ,
๐โฒ(๐ฅ) = 0.
b. Aturan Fungsi Identitas
Teorema 2.2 (Purcell, 2004)
Jika ๐(๐ฅ) = ๐ฅ, maka ๐โฒ(๐ฅ) = 1.
6
c. Aturan Pangkat
Teorema 2.3 (Purcell, 2004)
Jika ๐(๐ฅ) = ๐ฅ๐, dengan ๐ bilangan bulat positif, maka ๐โฒ(๐ฅ) = ๐๐ฅ๐โ1.
d. Aturan Kelipatan Konstanta
Teorema 2.4 (Purcell, 2004)
Jika k suatu konstanta dan ๐ suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka
(๐๐)โฒ(๐ฅ) = ๐ โ ๐โฒ(๐ฅ).
e. Aturan Jumlah dan Selisih
Teorema 2.5 (Purcell, 2004)
Jika ๐ dan ๐ adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka
(๐ ยฑ ๐)โฒ(๐ฅ) = ๐โฒ(๐ฅ) ยฑ ๐โฒ(๐ฅ).
f. Aturan Hasilkali
Teorema 2.6 (Purcell, 2004)
Jika ๐ dan ๐ adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka
(๐ โ ๐)โฒ๐ฅ = ๐โฒ(๐ฅ)๐(๐ฅ) + ๐(๐ฅ)๐โฒ(๐ฅ).
g. Aturan Hasilbagi
Teorema 2.7 (Purcell, 2004)
Jika ๐ dan ๐ adalah fungsi-fungsi terdiferensialkan, maka
(๐
๐)โฒ
(๐ฅ) =๐โฒ(๐ฅ)๐(๐ฅ) โ ๐(๐ฅ)๐โฒ(๐ฅ)
(๐(๐ฅ))2
2.2.2 Turunan Tingkat Tinggi
Jika ๐ฆ = ๐(๐ฅ) maka ๐โฒ(๐ฅ) disebut turunan pertama dari ๐ฆ terhadap ๐ฅ.
Jika ๐โฒ(๐ฅ) diturunkan lagi maka akan menghasilkan fungsi lain yang
dinyatakan oleh ๐โฒโฒ(๐ฅ) (dibaca โ๐ dua aksen ๐ฅโ) dan disebut turunan kedua.
Selanjutnya jika ๐โฒโฒ(๐ฅ) diturunkan lagi, menghasilkan ๐โฒโฒโฒ(๐ฅ), yang disebut
turunan ketiga, dan seterusnya. Turunan keempat dinyatakan sebagai ๐(4)(๐ฅ),
turunan kelima dinyatakan sebagai ๐(5)(๐ฅ) dan seterusnya sampai ๐(๐)(๐ฅ)
yang disebut turunan ke-๐.
7
Contoh 2.3:
๐(๐ฅ) = 2๐ฅ3 + 2๐ฅ2 + 6๐ฅ + 100
maka:
๐โฒ(๐ฅ) = 6๐ฅ2 + 4๐ฅ + 6
๐โฒโฒ(๐ฅ) = 12๐ฅ + 4
๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) = 12
๐(4)(๐ฅ) = 0
Karena turunan fungsi nol adalah nol, maka untuk turunan kelima dan
turunan-turunan yang lebih tinggi dari ๐ juga sama dengan nol.
Telah diperkenalkan tiga notasi untuk turunan yaitu notasi ๐โฒ(๐ฅ), notasi
๐ฆโฒ, notasi ๐ท๐ฅ๐ฆ, dan notasi Leibniz (๐๐ฆ
๐๐ฅ). Semua notasi ini mempunyai
perluasan untuk turunan tingkat tinggi, seperti yang diperlihatkan pada tabel
berikut
Tabel 2. 1 Cara Penulisan (Notasi) Untuk Turunan ๐ = ๐(๐)
Turunan Notasi
๐โฒ ๐ฆโฒ ๐ท Leibniz
Pertama ๐โฒ(๐ฅ) ๐ฆโฒ ๐ท๐ฅ๐ฆ ๐๐ฆ
๐๐ฅ
Kedua ๐โฒโฒ(๐ฅ) ๐ฆโฒโฒ ๐ท๐ฅ2๐ฆ
๐2๐ฆ
๐๐ฅ2
Ketiga ๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) ๐ฆโฒโฒโฒ ๐ท๐ฅ3๐ฆ
๐3๐ฆ
๐๐ฅ3
โฎ โฎ โฎ โฎ โฎ
Ke-๐ ๐(๐)(๐ฅ) ๐ฆ(๐) ๐ท๐ฅ๐๐ฆ
๐๐๐ฆ
๐๐ฅ๐
Sumber: Purcell, 2004
2.3 Matriks
Definisi 2.3 (Anton, 2009)
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan.
Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.
8
Matriks yang mempunyai ๐ baris dan ๐ kolom dinyatakan dengan
๐ด๐ร๐ = [
๐11 ๐12 โฏ ๐1๐
๐21 ๐22 โฏ ๐2๐
โฎ๐๐1
โฎ๐๐2
โฑโฏ
โฎ๐๐๐
]
Matriks tidak mempunyai nilai tetapi ukuran. Ukuran matriks disebut
ordo yang ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom. Jika
matriks ๐ด mempunyai ๐ baris dan ๐ kolom, maka matriks ๐ด berordo
๐ ร ๐.
Suatu matriks yang mempunyai ๐ baris dan ๐ kolom dapat dinyatakan
sebagai ๐ด๐ร๐ = [๐๐๐]๐ร๐ dengan ๐ = 1, 2, 3, โฆ ,๐ menunjukkan banyaknya
baris dan ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐ menunjukkan banyaknya kolom.
Berikut diberikan contoh untuk matriks berordo 3 ร 2 dan 3 ร 3.
๐ด3ร2 = [4 12 40 5
] , ๐ด3ร3 = [1 3 56 4 22 0 1
]
2.3.1 Jenis-Jenis Matriks
Berikut adalah beberapa jenis matriks yang penting:
1. Matriks Baris
Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya terdiri dari satu baris, atau
matriks berordo 1 ร ๐. Matriks baris disebut juga vektor baris. Secara
umum matriks baris dapat ditulis [๐๐๐] dengan ๐ = 1 dan
๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐.
Bentuk umum matriks baris adalah:
[๐11 ๐12 โฏ ๐1๐]
2. Matriks Kolom
Matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya terdiri dari 1 kolom,
atau matriks berordo ๐ ร 1. Matriks kolom disebut juga vektor kolom.
Secara umum dapat ditulis dengan [๐๐๐] dengan ๐ = 1, 2, 3, โฆ ,๐ dan
๐ = 1.
9
Bentuk umum matriks kolom adalah:
[
๐11
๐21
โฎ๐๐1
]
3. Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks di mana semua unsurnya nol.
Contoh 2.4:
Matriks nol berordo 2 ร 2 dan 2 ร 3
๐2ร2 = [0 00 0
] , ๐2ร3 = [0 0 00 0 0
]
4. Matriks Bujursangkar
Matriks bujursangkar yaitu suatu matriks yang banyak barisnya sama
dengan banyak kolomnya. Dalam matriks bujursangkar ini dikenal
diagonal utama, yaitu entri-entri yang mempunyai nomor baris yang
sama dengan nomor kolom. Sebagai contoh,
[ ๐11 ๐12
๐21 ๐22
๐13 โฏ ๐1๐
๐23 โฏ ๐2๐๐31 ๐32
โฎ โฎ๐๐1 ๐๐2
๐33 โฏ ๐3๐
โฎ โฑ โฎ๐๐3 โฏ ๐๐๐]
Matriks di atas mempunyai ordo ๐ ร ๐ dan ditulis ๐ด๐ร๐, entri-entri yang
merupakan diagonal utama yaitu ๐11, ๐22, ๐33, โฆ , ๐๐๐.
5. Matriks Segitiga
Matriks segitiga atas adalah matriks bujursangkar dengan entri-entri yang
terletak di bawah entri diagonal utama semua nol. Bentuk umumnya
adalah [๐๐๐] dengan ๐๐๐ = 0, untuk setiap ๐ > ๐.
๐ด๐ร๐ =
[ ๐11 ๐12
0 ๐22
๐13 โฏ ๐1๐
๐23 โฏ ๐2๐
0 0โฎ โฎ0 0
๐33 โฏ ๐3๐
โฎ โฑ โฎ0 โฏ ๐๐๐]
10
Matriks segitiga bawah adalah matriks bujursangkar dengan entri-entri
yang terletak di atas entri diagonal utama semua nol.
Bentuk umumnya adalah [๐๐๐] dengan ๐๐๐ = 0, untuk setiap ๐ < ๐.
๐ด๐ร๐ =
[ ๐11 0๐21 ๐22
0 โฏ 00 โฏ 0
๐31 ๐32
โฎ โฎ๐๐1 ๐๐2
๐33 โฏ 0โฎ โฑ โฎ
๐๐3 โฏ ๐๐๐]
Contoh 2.5:
Matriks segitiga atas ๐ด3ร3 = [1 3 40 2 60 0 1
]
Matriks segitiga bawah ๐ด3ร3 = [3 0 04 1 01 2 5
]
6. Matriks Diagonal
Matriks diagonal merupakan matriks bujursangkar dengan semua entri
yang bukan diagonal utamanya bernilai nol. Dengan kata lain suatu
matriks ๐ด berordo ๐ ร ๐ disebut matriks diagonal , jika ๐๐๐ = 0 untuk
๐ โ ๐. Seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut ini.
๐ด๐ร๐ =
[ ๐11 00 ๐22
0 โฏ 00 โฏ 0
0 0โฎ โฎ0 0
๐33 โฏ 0โฎ โฑ โฎ0 โฏ ๐๐๐]
7. Matriks Identitas
Matriks identitas yaitu matriks diagonal yang entri-entri pada diagonal
utamanya sama dengan satu dan entri-entri lainnya sama dengan nol.
Matriks ini dilambangkan dengan ๐ผ dan dapat juga dituliskan ๐ผ๐ untuk
matriks identitas berordo ๐ ร ๐.
11
Contoh 2.6:
Berikut diberikan contoh untuk matriks identitas berordo 2 ร 2 dan
3 ร 3.
๐ผ2 = [1 00 1
] , ๐ผ3 = [1 0 00 1 00 0 1
]
2.3.2 Operasi pada Matriks dan Sifat-Sifatnya
Adapun operasi-operasi pada matriks antara lain:
1. Kesamaan Matriks
Dua matriks disebut sama jika ordonya sama dan entri yang seletak
bernilai sama, sehingga jika matriks ๐ด dan ๐ต sama, maka dapat ditulis
๐ด = ๐ต. Sebagai contoh, jika matriks ๐ด = [๐๐๐] dan ๐ต = [๐๐๐] dengan
๐ = 1, 2, 3, โฆ ,๐ dan ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐, dan ๐ด = ๐ต, maka berlaku
๐๐๐ = ๐๐๐.
2. Penjumlahan dan Selisih Matriks
Definisi 2.4 (Anton, 2009)
Jika ๐ด = [๐๐๐] dan ๐ต = [๐๐๐] merupakan matriks berukuran sama
๐ ร ๐, maka jumlah matriks ๐ด dan ๐ต adalah matriks berukuran ๐ ร ๐
yang diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri pada ๐ต dengan entri-
entri yang bersesuaian pada ๐ด.
Definisi 2.5 (Anton, 2009)
Jika ๐ด = [๐๐๐] dan ๐ต = [๐๐๐] merupakan matriks berukuran sama
๐ ร ๐, maka selisih ๐ด dan ๐ต adalah matriks berukuran ๐ ร ๐ yang
diperoleh dengan mengurangkan entri-entri ๐ด dengan entri-entri yang
bersesuaian pada ๐ต.
Dengan kata lain, jumlah dan selisih matriks dapat ditulis seperti
berikut
๐ด + ๐ต = [๐๐๐ + ๐๐๐] dan ๐ด โ ๐ต = [๐๐๐ โ ๐๐๐]
12
Contoh 2.7:
Jika diketahui
๐ด = [2 1 31 2 4
โ3 4 7] , ๐ต = [
1 2 42 โ1 40 3 5
]
maka
๐ด + ๐ต = [2 1 31 2 4
โ3 4 7] + [
1 2 42 โ1 40 3 5
] = [3 3 73 1 8
โ3 7 12]
dan
๐ด โ ๐ต = [2 1 31 2 4
โ3 4 7] โ [
1 2 42 โ1 40 3 5
] = [1 โ1 โ1
โ1 3 0โ3 1 2
]
3. Perkalian Matriks dengan Matriks
Definisi 2.6 (Anton, 2009)
Jika ๐ด adalah sebuah matriks ๐ ร ๐ dan ๐ต adalah sebuah matriks ๐ ร ๐,
maka hasil kali ๐ด๐ต adalah matriks ๐ ร ๐ yang entri-entrinya
didefinisikan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris ๐ dan
kolom ๐ dari ๐ด๐ต, pilih baris ๐ dari matriks ๐ด dan kolom ๐ dari matriks ๐ต.
Kalikan entri-entri yang berpadanan dari baris dan kolom bersama-sama
kemudian jumlahkan hasil kalinya sehingga hasil kali matriks ๐ด๐ต
berordo ๐ ร ๐.
Misalkan ๐ด๐ร๐ dan ๐ต๐ร๐ maka ๐ด๐ร๐๐ต๐ร๐ = ๐ถ๐ร๐ dengan entri-
entri dari ๐ถ๐๐ merupakan penjumlahan dari perkalian entri-entri ๐ด baris ๐
dengan entri-entri ๐ต kolom ๐.
Misalkan ๐ด2ร3 = [๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
] , ๐ต3ร2 = [๐ ๐๐ ๐๐ ๐
]
maka ๐ด2ร3๐ต3ร2 = ๐ถ2ร2 = [๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐ + ๐๐
]
4. Perkalian Matriks dengan Skalar
Suatu matriks dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap-tiap entri
pada ๐ด dikalikan dengan k.
13
Bentuk umum
๐ โ ๐ด = ๐ โ [
๐11 ๐12 โฏ ๐1๐
๐21 ๐22 โฏ ๐2๐
โฎ๐๐1
โฎ๐๐2
โฏโฏ
โฎ๐๐๐
]
= [
๐๐11 ๐๐12 โฏ ๐๐1๐
๐๐21 ๐๐22 โฏ ๐๐2๐
โฎ๐๐๐1
โฎ๐๐๐2
โฏโฏ
โฎ๐๐๐๐
]
Contoh 2.8:
Misalkan ๐ skalar dengan ๐ = 3 dan matriks ๐ด = [๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
] maka
diperoleh 3 โ ๐ด = 3 โ [๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
] = [3๐ 3๐ 3๐3๐ 3๐ 3๐
]
Teorema berikut menunjukkan sifat-sifat utama dari operasi matriks.
Teorema 2.8 (Anton, 2009)
Misalkan ๐ด, ๐ต, dan ๐ถ adalah matriks-matriks yang berukuran sama,
sedangkan ๐, ๐, dan ๐ adalah suatu skalar, maka sifat-sifat berikut ini
adalah valid.
a) ๐ด + ๐ต = ๐ต + ๐ด (Hukum komutatif untuk penjumlahan)
b) ๐ด + (๐ต + ๐ถ) = (๐ด + ๐ต) + ๐ถ (Hukum asosiatif untuk penjumlahan)
c) ๐ด(๐ต๐ถ) = (๐ด๐ต)๐ถ (Hukum asosiatif untuk perkalian)
d) ๐ด(๐ต + ๐ถ) = ๐ด๐ต + ๐ด๐ถ (Hukum distributif kiri)
e) (๐ต + ๐ถ)๐ด = ๐ต๐ด + ๐ถ๐ด (Hukum distributif kanan)
f) ๐ด(๐ต โ ๐ถ) = ๐ด๐ต โ ๐ด๐ถ
g) (๐ต โ ๐ถ)๐ด = ๐ต๐ด โ ๐ถ๐ด
h) ๐(๐ต + ๐ถ) = ๐๐ต + ๐๐ถ
i) ๐(๐ต โ ๐ถ) = ๐๐ต โ ๐๐ถ
j) (๐ + ๐)๐ถ = ๐๐ถ + ๐๐ถ
k) (๐ โ ๐)๐ถ = ๐๐ถ โ ๐๐ถ
l) ๐(๐๐ถ) = (๐๐)๐ถ
m) ๐(๐ต๐ถ) = (๐๐ต)๐ถ = ๐ต(๐๐ถ)
14
5. Transpos Matriks
Definisi 2.7 (Anton & Rorres, 2004)
Jika ๐ด adalah suatu matriks ๐ ร ๐, maka transpos dari ๐ด, dinyatakan
dengan ๐ด๐, didefinisikan sebagai matriks ๐ ร ๐ yang didapatkan dengan
menukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari ๐ด; sehingga kolom
pertama dari ๐ด๐ adalah baris pertama dari ๐ด, kolom kedua dari ๐ด๐ adalah
baris kedua dari ๐ด, dan seterusnya.
2.4 Sistem Persamaan Linear
Secara umum, persamaan linear dengan ๐ variabel ๐ฅ1, ๐ฅ2,โฆ, ๐ฅ๐ adalah
persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
๐1๐ฅ1 + ๐2๐ฅ2+. . . +๐๐๐ฅ๐ = ๐
dengan ๐1, ๐2,โฆ, ๐๐ dan ๐ merupakan konstanta. Variabel-variabel dalam
persamaan linear seringkali disebut sebagai faktor-faktor yang tidak
diketahui. Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear
dalam peubah ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐ dinamakan sistem persamaan linear atau sistem
linear.
Secara umum sistem persamaan linear didefinisikan sebagai berikut
Definisi 2.8 (Anton dan Rorres, 2004)
Sistem persamaan linear adalah suatu sistem sebarang yang terdiri dari ๐
persamaan linear dengan ๐ variabel yang tidak diketahui dengan bentuk:
๐11๐ฅ1 + ๐12๐ฅ2+. . . +๐1๐๐ฅ๐ = ๐1
๐21๐ฅ1 + ๐22๐ฅ2+. . . +๐2๐๐ฅ๐ = ๐2
โฎ
๐๐1๐ฅ1 + ๐๐2๐ฅ2+. . . +๐๐๐๐ฅ๐ = ๐๐
dengan ๐๐๐ dan ๐๐ merupakan konstanta dan ๐ = 1, 2, โฆ ,๐, ๐ = 1, 2, โฆ , ๐.
Sistem persamaan linear (2.1) dapat ditulis matriks sebagai berikut
[
๐11 ๐12
๐21 ๐22
โฏ ๐1๐
โฏ ๐2๐
โฎ โฎ๐๐1 ๐๐2
โฑ โฎโฏ ๐๐๐
] [
๐ฅ1
๐ฅ2
โฎ๐ฅ๐
] = [
๐1
๐2
โฎ๐๐
]
(2.1)
(2.2)
15
Jika matriks tersebut berturut-turut dilambangkan ๐ด, ๐, dan ๐ต, maka Sistem
persamaan linear (2.2) dapat dituliskan sebagai
๐ด๐ = ๐ต
Jika ๐ = ๐, Sistem persamaan (2.1) disebut sistem bujursangkar atau persegi.
Penulisan Sistem persamaan linear (2.1) juga dapat disingkat dengan
menggabungkan entri-entri pada matriks ๐ด dan ๐ต sebagai berikut
[๐ด | ๐ต] = [
๐11 ๐12 โฆ ๐1๐
๐21 ๐22 โฆ ๐2๐
โฎ โฎ โฑ โฎ๐๐1 ๐๐2 โฆ ๐๐๐
|
๐1
๐2
โฎ๐๐
]
bentuk ini disebut matriks yang diperbesar.
2.5 Operasi Baris Elementer
Operasi baris elementer merupakan operasi yang digunakan untuk
menyederhanakan bentuk sistem persamaan linear pada baris-baris matriks
yang diperbesar, sehingga sistem persamaan lebih mudah diselesaikan.
Operasi-operasi tersebut adalah sebagai berikut :
a. Mengalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta tak nol.
(๐๐ ๐, dengan ๐ = konstanta, ๐ โ 0 dan ๐ ๐ = baris ke- ๐).
b. Menukarkan antara dua baris.
(๐ ๐ โ ๐ ๐, dengan ๐ ๐ = baris ke- ๐ dan ๐ ๐ = baris ke- ๐).
c. Menambahkan perkalian dari satu baris ke baris lainnya.
(๐๐ ๐ + ๐ ๐, dengan ๐ = konstanta, ๐ โ 0, ๐ ๐ = baris ke- ๐ dan ๐ ๐ = baris ke-
๐).
Contoh 2.9:
Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut
๐ฅ + ๐ฆ + 2๐ง = 9
2๐ฅ + 4๐ฆ โ 3๐ง = 1
3๐ฅ + 6๐ฆ โ 5๐ง = 0
Solusi dari sistem persamaan di atas dapat ditentukan menggunakan operasi
baris elementer.
(2.3)
16
Penyelesaian:
Sistem persamaan linear di atas dapat ditulis dalam bentuk
[1 1 22 4 โ33 6 โ5
] [๐ฅ๐ฆ๐ง] = [
910]
atau dapat disingkat
๐ด๐ = ๐ต
dengan ๐ด = [1 1 22 4 โ33 6 โ5
], ๐ = [๐ฅ๐ฆ๐ง], dan ๐ต = [
910].
Sistem (2.3) ditulis dalam bentuk matriks yang diperbesar seperti berikut
untuk menentukan solusinya menggunakan operasi baris elementer
[1 1 22 4 โ33 6 โ5
|910]
dengan operasi baris pada matriks di atas yaitu baris pertama dikalikan
dengan (โ2), kemudian ditambahkan ke baris kedua, maka diperoleh
[1 1 20 2 โ73 6 โ5
|9
โ170
]
Baris pertama dikalikan dengan (โ3), kemudian ditambahkan ke baris ketiga,
sehingga diperoleh
[1 1 20 2 โ70 3 โ11
|9
โ17โ27
]
Kemudian kalikan baris kedua dengan (1
2), sehingga diperoleh
[
1 1 2
0 1 โ72
0 3 โ11
|
9
โ172
โ27
]
Selanjutnya baris kedua dikalikan dengan (โ3), kemudian ditambahkan ke
baris ketiga, sehingga diperoleh
[ 1 1 2
0 1 โ72
0 0 โ12
||
9
โ172
โ32 ]
17
Kalikan baris ketiga dengan (โ2), sehingga diperoleh
[
1 1 2
0 1 โ72
0 0 1
|
9
โ172
3
]
Baris kedua dikalikan dengan (โ1), kemudian ditambahkan ke baris pertama,
sehingga diperoleh
[ 1 0
112
0 1 โ72
0 0 1
||
352
โ172
3 ]
Baris ketiga dikalikan dengan (โ11
2), kemudian ditambahkan ke baris
pertama dan baris ketiga dikalikan dengan (7
2), kemudian ditambahkan ke
baris kedua, sehingga diperoleh
[1 0 00 1 00 0 1
|123]
Dari matriks di atas, diperoleh
[1 0 00 1 00 0 1
] [๐ฅ๐ฆ๐ง] = [
123]
atau ๐ฅ = 1, ๐ฆ = 2 dan ๐ง = 3.
2.6 Determinan
Definisi 2.9 (Anton, 2009)
Misalkan ๐ด adalah suatu matriks bujursangkar. Fungsi determinan dinyatakan
dengan det, dan didefinisikan det(๐ด) sebagai jumlah semua hasil kali entri
bertanda dari ๐ด.
Notasi |๐ด| adalah notasi alternatif untuk det(๐ด).
Akan ditunjukkan rumus untuk menghitung determinan dengan ordo
2 ร 2 dan 3 ร 3.
a. Determinan matriks 2 ร 2
Misalkan matriks ๐ด = [๐11 ๐12
๐21 ๐22]
maka, det(๐ด) = |๐11 ๐12
๐21 ๐22| = ๐11๐22 โ ๐12๐21
18
b. Determinan matriks 3 ร 3
Misalkan ๐ด = [
๐11 ๐12 ๐13
๐21 ๐22 ๐23
๐31 ๐32 ๐33
]
maka,
det(๐ด) = |
๐11 ๐12 ๐13
๐21 ๐22 ๐23
๐31 ๐32 ๐33
|
= ๐11๐22๐33 + ๐12๐23๐31 + ๐13๐21๐32 โ ๐13๐22๐31
โ๐12๐21๐33 โ ๐11๐23๐32
Contoh 2.10:
Diberikan matriks ๐ด sebagai berikut
๐ด = [3 2 41 โ2 32 3 2
]
maka
det(๐ด) = ๐11๐22๐33 + ๐12๐23๐31 + ๐13๐21๐32 โ ๐13๐22๐31 โ ๐12๐21๐33
โ๐11๐23๐32
= (โ12) + 12 + 12 โ (โ16) โ 27 โ 4
= โ3
2.7 Invers Matriks
Definisi 2.10 (Anton, 2009)
Jika ๐ด adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks ๐ต yang
berukuran sama dapat ditentukan sedemikian sehingga ๐ด๐ต = ๐ต๐ด = ๐ผ, maka
๐ด disebut dapat dibalik dan ๐ต disebut invers dari ๐ด.
Contoh 2.11:
Matriks ๐ต = [3 51 2
] adalah invers dari ๐ด = [2 โ5
โ1 3]
Karena ๐ด๐ต = [2 โ5
โ1 3] [
3 51 2
] = [1 00 1
] = ๐ผ
dan ๐ต๐ด = [3 51 2
] [2 โ5
โ1 3] = [
1 00 1
] = ๐ผ
19
Sebelum memasuki teorema berikutnya tentang invers matriks, berikut
diberikan definisi tentang adjoin suatu matriks.
Definisi 2.11 (Anton, 2009)
Jika ๐ด adalah matriks bujursangkar, maka minor entri ๐๐๐ dinyatakan oleh ๐๐๐
dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang masih tersisa setelah
baris ke- ๐ dan kolom ke- ๐ dihilangkan dari ๐ด. Bilangan (โ1)๐+๐(๐๐๐)
dinyatakan oleh ๐ถ๐๐ dan disebut kofaktor entri ๐๐๐.
Definisi 2.12 (Anton, 2009)
Jika ๐ด adalah sembarang matriks ๐ ร ๐ dan ๐ถ๐๐ adalah kofaktor dari ๐๐๐, maka
matriks
[
๐ถ11 ๐ถ12 โฆ ๐ถ1๐
๐ถ21 ๐ถ22 โฆ ๐ถ2๐
โฎ โฎ โฑ โฎ๐ถ๐1 ๐ถ๐2 โฏ ๐ถ๐๐
]
disebut matriks kofaktor dari ๐ด. Transpos dari matriks ini disebut adjoin ๐ด
dan dinyatakan oleh ๐๐๐(๐ด).
Contoh 2.12:
Diberikan matriks ๐ด sebagai berikut
๐ด = [3 2 โ11 6 32 โ4 0
]
Kofaktor dari ๐ด adalah
๐ถ11 = (โ1)1+1 |6 3
โ4 0| = 12
๐ถ12 = (โ1)1+2 |1 32 0
| = 6
๐ถ13 = (โ1)1+3 |1 62 โ4
| = โ16
๐ถ21 = (โ1)2+1 |2 โ1
โ4 0| = 4
๐ถ22 = (โ1)2+2 |3 โ12 0
| = 2
๐ถ23 = (โ1)2+3 |3 22 โ4
| = 16
๐ถ31 = (โ1)3+1 |2 โ16 3
| = 12
20
๐ถ32 = (โ1)3+2 |3 โ11 3
| = โ10
๐ถ33 = (โ1)3+3 |3 21 6
| = 16
Sehingga matriks kofaktornya adalah
[12 6 โ164 2 1612 โ10 16
]
dan adjoin ๐ด adalah
๐๐๐(๐ด) = [12 4 126 2 โ10
โ16 16 16]
Teorema 2.9 (Anton, 2009)
Suatu matriks bujursangkar ๐ด dapat dibalik jika dan hanya jika det(๐ด) โ 0.
Teorema 2.10 (Anton, 2009)
Jika ๐ด adalah suatu matriks yang dapat dibalik, maka
๐ดโ1 =1
det(๐ด)๐๐๐(๐ด)
Contoh 2.13:
Invers dari matriks ๐ด dalam Contoh 2.12 dapat dicari menggunakan rumus
pada Teorema 2.10.
Diketahui
๐ด = [3 2 โ11 6 32 โ4 0
]
det(๐ด) = ๐11๐22๐33 + ๐12๐23๐31 + ๐13๐21๐32 โ ๐13๐22๐31 โ ๐12๐21๐33 โ
๐11๐23๐32
= 0 + 12 + 4 โ (โ12) โ (โ36) โ 0
= 64
๐ดโ1 =1
det(๐ด)๐๐๐(๐ด) =
1
64[
12 4 126 2 โ10
โ16 16 16] =
[ 12
64
4
64
12
646
64
2
64
โ10
64โ16
64
16
64
16
64 ]
21
2.8 Ruang Vektor
Definisi 2.13 (Imrona, 2009)
Sebuah vektor di โ๐ dinyatakan oleh ๐ bilangan terurut yaitu
๐ข = (๐ข1, ๐ข2, โฆ , ๐ข๐).
Definisi 2.14 (Imrona, 2009)
vektor nol adalah vektor yang semua entrinya nol.
Definisi berikut ini terdiri dari sepuluh aksioma untuk ruang vektor.
Definisi 2.15 (Imrona, 2009)
Misalkan ๐ adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan
operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar (dalam hal ini, skalar adalah
bilangan real). ๐ disebut ruang vektor jika memenuhi sepuluh aksioma
berikut.
(1) Jika ๐ฎ dan ๐ฏ adalah objek-objek pada ๐, maka ๐ฎ + ๐ฏ berada pada ๐.
(2) ๐ฎ + ๐ฏ = ๐ฏ + ๐ฎ
(3) ๐ฎ + (๐ฏ + ๐ฐ) = (๐ฎ + ๐ฏ) + ๐ฐ
(4) Di dalam ๐ terdapat suatu objek 0, yang disebut vektor nol (zero vector)
untuk ๐, sedemikian rupa sehingga ๐ + ๐ฎ = ๐ฎ + ๐ = ๐ฎ untuk semua ๐ฎ
pada ๐.
(5) Untuk setiap ๐ฎ pada ๐, terdapat suatu objek โ ๐ฎ pada ๐, yang disebut
sebagai negatif dari ๐ฎ, sedemikian rupa sehingga
๐ฎ + (โ๐ฎ) = (โ๐ฎ) + ๐ฎ = ๐
(6) Jika ๐ adalah skalar sebarang dan ๐ฎ adalah objek sebarang pada ๐, maka
๐๐ฎ terdapat pada ๐.
(7) ๐(๐ฎ + ๐ฏ) = ๐๐ฎ + ๐๐ฏ
(8) (๐ + ๐)๐ฎ = ๐๐ฎ + ๐๐ฎ
(9) ๐(๐๐ฎ) = (๐๐)(๐ฎ)
(10) 1๐ฎ = ๐ฎ
Anggota ruang vektor disebut vektor.
22
Definisi 2.16 (Anton, 2009)
Suatu himpunan bagian ๐ dari suatu ruang vektor ๐ disebut suatu subruang
dari ๐ jika ๐ adalah suatu ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian
skalar yang didefinisikan pada ๐.
Definisi 2.17 (Imrona, 2009)
Misalkan ๐ ruang vektor. ๐ = {๐1, ๐2, โฆ , ๐๐} โ ๐. Misalkan pula ๐ โ ๐.
Vektor ๐ disebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari ๐ jika
terdapat skalar-skalar ๐1, ๐2, โฆ , ๐๐, sehingga memenuhi persamaan
๐1๐1 + ๐2๐2 + โฏ+ ๐๐๐๐ = ๐
Definisi 2.18 (Imrona, 2009)
Misalkan ๐ ruang vektor. ๐ = {๐1, ๐2, โฆ , ๐๐} โ ๐. ๐ disebut membangun ๐
jika setiap vektor di ๐ tersebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari
๐.
Definisi 2.19 (Imrona, 2009)
Misalkan ๐ ruang vektor. ๐ = {๐1, ๐2, โฆ , ๐๐} โ ๐. Himpunan ๐ disebut
bebas linear jika persamaan vektor
๐1๐1 + ๐2๐2 + โฏ+ ๐๐๐๐ = ๐
hanya dipenuhi oleh ๐1 = ๐2 = โฏ = ๐๐ = 0. Jika terdapat penyelesaian yang
lain, maka ๐ disebut tak bebas linear.
Definisi 2.20 (Imrona, 2009)
Misalkan ๐ ruang vektor. ๐ = {๐1, ๐2, โฆ , ๐๐} โ ๐. ๐ disebut basis ruang
vektor ๐ jika ๐ memenuhi dua aksioma berikut:
1. ๐ bebas linear
2. ๐ membangun ๐.
2.9 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 2.21 (Anton & Rorres, 2004)
Misalkan ๐ด adalah matriks bujursangkar, maka sebuah vektor tak nol ๐ฏ dalam
๐ ๐ dinamakan vektor eigen dari ๐ด jika ๐ด๐ฏ adalah kelipatan skalar dari ๐ฏ,
23
yaitu:
๐ด๐ฏ = ๐๐ฏ
dengan ฮป adalah skalar. Selanjutnya skalar ฮป dinamakan nilai eigen dari ๐ด dan
๐ฏ dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan ๐ด yang terkait dengan ฮป.
Untuk mencari nilai eigen matriks ๐ด maka ๐ด๐ฏ = ฮป๐ฏ dituliskan kembali
sebagai
๐ด๐ฏ = ๐๐ผ๐ฏ
atau
(๐ ๐ผ โ ๐ด)๐ฏ = ๐
Supaya ฮป menjadi nilai eigen, maka harus ada solusi tak nol dari persamaan
di atas, yaitu jika dan hanya jika
๐๐๐ก (๐๐ผ โ ๐ด) = 0
Persamaan (2.4) dinamakan persamaan karakteristik dari ๐ด. Skalar yang
memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari ๐ด. Jika ฮป adalah suatu
parameter, maka det (๐๐ผ โ ๐ด) adalah suatu polinomial ๐ด yang dinamakan
polinomial karakteristik dari ๐ด.
Vektor eigen ๐ด yang bersesuaian dengan nilai eigen ฮป adalah vektor tak
nol ๐ฏ yang memenuhi ๐ด๐ฏ = ฮป๐ฏ. Masalah nilai eigen dan vektor eigen dapat
diselesaikan melalui proses berikut:
1. Temukan semua skalar ๐ sedemikian sehingga det (๐๐ผ โ ๐ด) = 0. Ini adalah
nilai eigen dari ๐ด.
2. Jika ๐1, ๐2, โฆ, ๐๐ adalah nilai eigen yang diperoleh di (1), maka selesaikan
n sistem persamaan linear
(๐๐๐ผ โ ๐ด)๐ฏ๐ = ๐, i = 1, 2, 3, โฆ,n
untuk memperoleh semua vektor eigen ๐ฏ๐ yang bersesuaian dengan setiap
nilai eigen.
Contoh 2.14:
Diberikan matriks sebagai berikut ๐ด = [1 3 4 2
]
Akan ditentukan nilai eigen dan vektor eigen dari ๐ด.
(2.4)
24
Penyelesaian :
Sistem persamaan linear untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen
adalah
(๐๐ผ โ ๐ด)๐ฏ = ๐
([๐ 00 ๐
] โ [1 34 2
]) [๐ฅ1
๐ฅ2] = [
00]
[๐ โ 1 โ 3 โ 4 ๐ โ 2
] [๐ฅ1
๐ฅ2] = [
00] (2.5)
Sistem ini mempunyai paling tidak ada satu solusi jika dan hanya jika:
det(๐๐ผ โ ๐ด)= 0
sehingga diperoleh
|๐ โ 1 โ 3 โ 4 ๐ โ 2
| = 0
(๐ โ 1)(๐ โ 2) โ (โ3(โ4)) = 0
๐2 โ 2๐ โ ๐ + 2 โ 12 = 0
๐2 โ 3๐ โ 10 = 0
(๐ + 2)(๐ โ 5) = 0
Maka diperoleh nilai eigen dari ๐ด adalah ๐1 = โ2 atau ๐2 = 5
Selanjutnya adalah mencari vektor eigen.
Untuk ฮป= โ2
Substitusikan ๐ = โ2 ke dalam Sistem persamaan (2.5) sehingga
menghasilkan sistem:
[โ3 โ3โ4 โ4
] [๐ฅ1
๐ฅ2] = [
0 0
]
dengan operasi baris elementer, diperoleh:
[1 10 0
] [๐ฅ1
๐ฅ2] = [
00]
๐ฅ1 + ๐ฅ2 = 0
๐ฅ1 = โ๐ฅ2
Jika ๐ฅ2 = ๐ maka ๐ฅ1 = โ ๐ , dengan s adalah variabel bebas.
Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan ฮป = โ2 adalah vektor tak nol yang
berbentuk
๐ฏ = [โ๐ ๐
] = ๐ [โ1 1
]
25
Untuk ฮป = 5
Substitusikan ฮป=5 ke dalam Sistem persamaan (2.5) sehingga menghasilkan
sistem:
[ 4 โ 3โ 4 3
] [๐ฅ1
๐ฅ2] = [
0 0
]
dengan operasi baris elementer, diperoleh:
[4 โ30 0
] [๐ฅ1
๐ฅ2] = [
0 0
]
4๐ฅ1 โ 3๐ฅ2 = 0
4
3๐ฅ1 = ๐ฅ2
Jika ๐ฅ1 = ๐ก maka ๐ฅ2 =4
3๐ก, dengan t adalah variabel bebas.
Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan ฮป = 5 adalah vektor tak nol
yang berbentuk
๐ฏ = [ ๐ก4
3๐ก] = ๐ก [
14
3
]
2.10 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu
variabel atau lebih yang menghubungkan fungsi itu sendiri dan turunannya
dalam berbagai orde. Selain itu, persamaan diferensial juga didefinisikan
sebagai persamaan yang memuat satu atau beberapa turunan fungsi yang tak
diketahui (Waluya, 2006).
Persamaan diferensial yang menyangkut satu atau lebih fungsi (peubah
tak bebas) beserta turunannya terhadap satu peubah bebas disebut persamaan
diferensial biasa. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial
yang menyangkut satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta
turunannya terhadap lebih dari satu peubah bebas.
Contoh 2.15:
1. ๐ฆโฒ + ๐ฅ๐ฆ = 6
2. ๐ฆโฒโฒ + ๐ฆโฒ โ 6๐ฆ = 0
3. ๐2๐ข
๐๐ก2 โ๐2๐ข
๐๐ฅ2 = 0
26
Persamaan 1 dan 2 memuat turunan biasa dan disebut persamaan
diferensial biasa. Persamaan 3 memuat turunan-turunan parsial dan disebut
persamaan diferensial parsial.
Definisi 2.22 (Finizio dan Ladas, 1982)
Suatu persamaan diferensial biasa orde ๐ adalah suatu persamaan yang dapat
ditulis dalam bentuk
๐ฆ(๐) = ๐น(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆโฒ, โฆ , ๐ฆ(๐โ1))
dengan ๐ฆ๐ menyatakan turunan ke-๐ dari fungsi ๐ฆ terhadap ๐ฅ.
Contoh 2.16:
1. ๐ฆโฒ = 3๐ฆ + ๐ฅ + ๐โ2๐ฅ merupakan persamaan diferensial orde satu, dan
2. ๐ฆโฒโฒ = ๐ฆโฒ โ 2๐ฆ โ 3 merupakan persamaan diferensial orde dua.
2.10.1 Persamaan Diferensial Linear
Persamaan diferensial linear yaitu persamaan diferensial yang
berpangkat satu dalam peubah tak bebas dan turunan-turunannya yaitu
persamaan diferensial yang berbentuk :
๐๐(๐ฅ)๐ฆ(๐) + ๐๐โ1(๐ฅ)๐ฆ(๐โ1) + โฏ+ ๐0(๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ)
dengan ๐0, ๐1, โฆ , ๐๐ dan ๐ adalah fungsi-fungsi dari variabel bebas ๐ฅ, serta
๐๐ โ 0. Persamaan di atas dapat dikategorikan menjadi beberapa bentuk
persamaan berikut:
a. Jika ๐(๐ฅ) = 0 maka persamaan tersebut homogen.
b. Jika ๐(๐ฅ) โ 0 maka persamaan tersebut tak homogen.
c. Jika seluruh koefisien ๐0, ๐1, โฆ , ๐๐ adalah konstanta, maka persamaan
tersebut dikatakan memiliki koefisien konstan.
d. Jika satu atau lebih dari koefisien ๐0, ๐1, โฆ , ๐๐ adalah variabel, maka
persamaan tersebut dikatakan memiliki koefisien variabel.
Contoh 2.17:
1. ๐ฅ๐ฆโฒ โ 2๐ฆ = ๐ฅ3 dengan ๐ฅ โ 0 adalah suatu persamaan diferensial linear tak
homogen orde satu dengan koefisien variabel.
2. ๐ฆโฒโฒ โ ๐ฆ = 0 adalah suatu persamaan diferensial linear homogen orde dua
dengan koefisien konstan.
27
2.10.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial
Penyelesaian dari persamaan diferensial dalam fungsi y yang tidak
diketahui dari variabel bebas ๐ฅ dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai
berikut:
Langkah I : Menentukan solusi khusus persamaan diferensial linear
homogen (๐ฆโ)
Langkah II : Menentukan solusi khusus persamaan diferensial linear tak
homogen (๐ฆ๐)
Langkah III : Menentukan solusi umum persamaan diferensial linear yaitu
๐ฆ = ๐ฆโ + ๐ฆ๐
Contoh 2.18:
Diberikan persamaan diferensial orde dua sebagai berikut
๐ฆโฒโฒ โ ๐ฆ = 1
Solusi umum dari persamaan diferensial di atas yaitu
Langkah 1 : Menentukan solusi umum persamaan diferensial linear
homogen (๐ฆโ)
๐ฆโฒโฒ โ ๐ฆ = 0
Solusi umum: ๐ฆโ = ๐1๐โ๐ฅ + ๐1๐
๐ฅ
Langkah 2 : Menentukan solusi khusus dari persamaan diferensial linear
tak homogen (๐ฆ๐)
๐ฆโฒโฒ โ ๐ฆ = 1
Solusi khusus: ๐ฆ๐ = 1
Langkah 3 : Menentukan solusi umum persamaan diferensial
๐ฆ = ๐ฆโ + ๐ฆ๐ = ๐1๐โ๐ฅ + ๐1๐
๐ฅ + 1
2.11 Metode Koefisien Tak Tentu
Metode ini digunakan untuk menghitung suatu penyelesaian khusus dari
persamaan diferensial tak homogen
๐๐(๐ฅ)๐ฆ(๐) + ๐๐โ1(๐ฅ)๐ฆ(๐โ1) + โฏ+ ๐0(๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ) (2.5)
28
dengan koefisien-koefisien ๐0, ๐1, โฆ , ๐๐ merupakan konstanta-konstanta,
๐๐ โ 0 dan ๐(๐ฅ) adalah kombinasi linear dari fungsi dengan tipe yang dapat
dilihat pada tabel berikut.
Tabel 2. 2 Metode Koefisien Tak Tentu
Suku-suku dalam ๐(๐ฅ) Pilihan untuk ๐ฆ๐
๐๐๐พ๐ฅ ๐ถ๐๐พ๐ฅ
๐พ๐ฅ๐(๐ = 0, 1, โฆ ) ๐พ๐๐ฅ๐ + ๐พ๐โ1๐ฅ๐โ1 + โฏ+ ๐พ1๐ฅ + ๐พ0
๐๐๐๐ ๐๐ฅ ๐๐ก๐๐ข ๐๐ ๐๐ ๐๐ฅ ๐พ๐๐๐ ๐๐ฅ + ๐๐ ๐๐ ๐๐ฅ
Sumber: Purcell, 2004
Langkah-langkah untuk menentukan solusi umum dari PD linear tak
homogen dengan metode koefisien tak tentu yaitu sebagai berikut:
Langkah I : Menentukan solusi umum persamaan diferensial linear
homogen (๐ฆโ)
Langkah II : Menentukan solusi khusus persamaan diferensial linear tak
homogen (๐ฆ๐)
i. Melihat bentuk ๐(๐ฅ), cocokkan bentukya dengan bentuk
pada Tabel 2.2 dan lihat kesamaan bentuk dengan solusi
persamaan diferensial linear homogen
ii. Menentukan bentuk solusi khusus (๐ฆ๐) yang sesuai
dengan bentuk ๐(๐ฅ)
iii. Mensubstitusikan ๐ฆ๐ pada Persamaan (2.5) untuk mencari
nilai dari koefisien-koefisien yang terdapat pada ๐ฆ๐
iv. Menentukan solusi khusus ๐ฆ๐
Langkah III : Menentukan solusi umum dari persamaan diferensial linear,
yaitu ๐ฆ = ๐ฆโ + ๐ฆ๐
29
Aturan untuk metode koefisien tak tentu:
a. Aturan Dasar
Jika ๐(๐ฅ) adalah salah satu fungsi yang ada dalam Tabel 2.2, pilih fungsi
๐ฆ๐ yang bersesuaian dan tentukan koefisien tak tentunya dengan
mensubstitusikan ๐ฆ๐ pada Persamaan (2.5).
b. Aturan Modifikasi
Jika ๐(๐ฅ) sama dengan solusi persamaan diferensial homogen, kalikan ๐ฆ๐
yang bersesuaian dalam Tabel 2.2 dengan ๐ฅ (atau ๐ฅ2 jika ๐(๐ฅ) sama
dengan solusi akar kembar persamaan diferensial homogen)
c. Aturan Penjumlahan
Jika ๐(๐ฅ) adalah jumlah fungsi-fungsi yang terdapat dalam Tabel 2.2 pada
kolom pertama, ๐ฆ๐ adalah jumlah fungsi pada baris yang bersesuaian.
30
BAB III
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR TAK
HOMOGEN DENGAN METODE KOEFISIEN TAK TENTU
Dalam penelitian ini, secara khusus dibahas solusi dari sistem persamaan
diferensial linear tak homogen berorde satu yaitu sistem yang memuat dua atau
lebih persamaan diferensial linear tak homogen yang memiliki koefisien konstan.
3.1 Sistem Persamaan Diferensial (SPD) Linear Orde Satu
Definisi 3.1 (Goode, 1991)
Sistem Persamaan Diferensial (SPD) linear orde satu dengan ๐ persamaan
dan ๐ fungsi tak diketahui dapat dinyatakan dalam bentuk
๐ฆ1โฒ = ๐11๐ฆ1 + ๐12๐ฆ2 + โฏ+ ๐1๐๐ฆ๐ + ๐น1(๐ฅ)
๐ฆ2โฒ = ๐21๐ฆ1 + ๐22๐ฆ2 + โฏ+ ๐2๐๐ฆ๐ + ๐น2(๐ฅ)
โฎ
๐ฆ๐โฒ = ๐๐1๐ฆ1 + ๐๐2๐ฆ2 + โฏ+ ๐๐๐๐ฆ๐ + ๐น๐(๐ฅ)
dengan ๐ฆ๐โฒ =๐๐ฆ๐
๐๐ฅ, untuk ๐ = 1,2, โฆ , ๐.
Sistem (3.1) dapat ditulis dalam bentuk matriks
๐โฒ = ๐ด๐ + ๐ญ(๐)
dengan
๐ = [
๐ฆ1
๐ฆ2
โฎ๐ฆ๐
], ๐โฒ = [
๐ฆ1โฒ
๐ฆ2โฒโฎ
๐ฆ๐โฒ
], ๐ด = [
๐11 ๐12
๐21 ๐22
โฏ ๐1๐
โฏ ๐2๐
โฎ โฎ๐๐1 ๐๐2
โฎโฏ ๐๐๐
] dan ๐ญ(๐) = [
๐น1(๐ฅ)๐น2(๐ฅ)
โฎ๐น๐(๐ฅ)
],
๐ด merupakan matriks koefisien yang berordo ๐ ร ๐. Jika ๐ญ(๐) = ๐, maka
Sistem (3.1) dikatakan SPD homogen, sehingga bentuk matriksnya adalah
๐โฒ = ๐ด๐
selain itu dikatakan SPD tak homogen.
Untuk menentukan solusi dari SPD tak homogen dengan metode
koefisien tak tentu, maka matriks koefisien dari SPD tersebut harus memiliki
determinan yang tidak sama dengan nol.
(3.1)
31
Contoh 3.1:
Diberikan sistem persamaan diferensial seperti berikut
๐ฆ1โฒ = ๐ฆ1 โ ๐๐ฅ
๐ฆ2โฒ = 2๐ฆ1 โ 3๐ฆ2 + 2๐ฆ3 + 6๐โ๐ฅ
๐ฆ3โฒ = ๐ฆ1 โ 2๐ฆ2 + ๐ฆ3 + ๐๐ฅ
SPD di atas merupakan SPD linear tak homogen orde satu dengan tiga
fungsi tak diketahui dan memiliki koefisien konstan. SPD tersebut dapat
ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut
[
๐ฆ1โฒ
๐ฆ2โฒ
๐ฆ3โฒ
] = [1 0 02 โ3 21 โ2 1
] [
๐ฆ1
๐ฆ2
๐ฆ3
] + [โ๐๐ฅ
6๐โ๐ฅ
๐๐ฅ]
atau secara singkat
๐โฒ = ๐ด๐ + ๐ญ(๐)
dengan ๐ด = [1 0 02 โ3 21 โ2 1
] dan ๐ญ(๐) = [โ๐๐ฅ
6๐โ๐ฅ
๐๐ฅ].
3.2 Solusi SPD Linear Tak Homogen dengan Metode Koefisien Tak Tentu
Pada Subbab 2.11, telah dipaparkan tentang metode koefisien tak tentu
untuk mencari solusi persamaan diferensial linear tak homogen. Selain untuk
mencari solusi persamaan diferensial linear, metode koefisien tak tentu dapat
juga digunakan untuk mencari solusi SPD linear sebagaimana akan dibahas
pada subbab ini, yaitu bagaimana mencari solusi SPD linear tak homogen
dengan koefisien konstan menggunakan metode koefisien tak tentu.
Untuk mencari solusi SPD linear tak homogen, langkah-langkah
utamanya terbagi menjadi empat, yaitu:
1. Menulis sistem persamaan diferensial dalam bentuk matriks
๐โฒ = ๐ด๐ + ๐ญ(๐).
2. Menghitung determinan dari matriks koefisien ๐ด, jika det(๐ด) = 0, maka
perhitungannya tidak dilanjutkan.
3. Mencari solusi homogen (๐โ) dari SPD homogen ๐โฒ = ๐ด๐ dengan
langkah-langkah sebagai berikut:
i. Tentukan semua nilai eigen ๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ dari ๐ด๐ร๐.
32
ii. Selanjutnya, tentukan vektor eigen ๐ฏ1, ๐ฏ2, โฆ , ๐ฏ๐ yang bersesuaian
dengan nilai-nilai eigen pada Langkah i.
Dengan dua langkah di atas, maka diperoleh ๐ solusi sebagai berikut
๐1 = ๐ฏ1๐๐1๐ฅ, ๐2 = ๐ฏ2๐
๐2๐ฅ, โฆ, ๐๐ = ๐ฏ๐๐๐๐๐ฅ.
sehingga diperoleh solusi umum dari SPD yaitu kombinasi linear dari ๐
solusi di atas sebagai berikut
๐โ = ๐1๐1 + ๐๐๐2 + โฏ+ ๐๐๐๐
4. Mencari solusi particular/khusus (๐๐) dari fungsi tak homogen ๐ญ(๐).
Dalam hal ini, langkah-langkah pada metode koefisien tak tentu yaitu:
i. Melihat bentuk fungsi tak homogen ๐ญ(๐), cocokkan bentuknya
dengan bentuk pada Tabel 2.2 dan lihat kesamaan pada solusi
homogen (๐โ)
ii. Memilih permisalan ๐๐ yang sesuai dengan bentuk ๐ญ(๐)
iii. Mensubstitusikan ๐๐ ke SPD untuk mencari koefisien-koefisien yang
terdapat pada ๐๐.
iv. Menentukan solusi khusus ๐๐.
5. Menentukan solusi umum SPD, yaitu ๐ = ๐โ + ๐๐.
3.3 Studi Kasus Solusi SPD Linear Tak Homogen dengan Metode Koefisien
Tak Tentu
Kasus 1:
Diberikan sebuah SPD linear dengan dua persamaan yang terdiri dari dua
fungsi tak diketahui sebagai berikut
๐ฆ1โฒ = โ3๐ฆ1 + 2๐ฆ2 โ ๐ฅ2
๐ฆ2โฒ = ๐ฆ1 โ 2๐ฆ2 + ๐๐ฅ
Solusi umumnya dapat ditentukan sebagai berikut
1. Bentuk matriks dari SPD linear di atas adalah
๐โฒ = ๐ด๐ + ๐ญ(๐)
dengan ๐ด = [โ3 21 โ2
] dan ๐ญ(๐) = [โ๐ฅ2
๐๐ฅ ]
2. det(๐ด) = |โ3 21 โ2
| = 4
karena det(๐ด) โ 0, maka solusi dapat dicari.
33
3. Mencari solusi homogen (๐โ) dari SPD homogen ๐โฒ = ๐ด๐
๐โ = ๐1๐ฏ1๐๐1๐ฅ + ๐2๐ฏ2๐
๐2๐ฅ
i. Mencari nilai-nilai eigen dari matriks ๐ด
๐ด = [โ3 21 โ2
]
Sesuai dengan Persamaan (2.4) pada halaman 23, maka persamaan
karateristik untuk mencari nilai eigen dari matriks ๐ด adalah
det(๐๐ผ โ ๐ด) = 0
det([๐ 00 ๐
] โ [โ3 21 โ2
]) = 0
|๐ + 3 โ2โ1 ๐ + 2
| = 0
(๐ + 3)(๐ + 2) โ (โ2)(โ1) = 0
๐2 + 5๐ + 6 โ 2 = 0
๐2 + 5๐ + 4 = 0
(๐ + 1)(๐ + 4) = 0
Sehingga diperoleh nilai-nilai eigen dari ๐ด yaitu ๐1 = โ1 dan ๐2 = โ4.
ii. Mencari vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen
pada Langkah i.
a. Untuk ๐1 = โ1
Sistem untuk mencari vektor eigen adalah
(๐๐ผ โ ๐ด)๐ฏ = ๐
[๐ + 3 โ2โ1 ๐ + 2
] [๐ฅ1
๐ฅ2] = [
00]
[2 โ2
โ1 1] [
๐ฅ1
๐ฅ2] = [
00]
Sistem di atas dapat ditulis dalam bentuk
๐ด๐ = ๐ต
dengan ๐ด = [2 โ2
โ1 1], ๐ = [
๐ฅ1
๐ฅ2], dan ๐ต = [
00].
Untuk mencari solusinya, bentuk matriks di atas dapat ditulis dalam
bentuk matriks yang diperbesar sebagai berikut
[2 โ2
โ1 1|00]
34
dengan operasi baris pada matriks di atas yaitu kalikan baris pertama
dengan (1
2), maka diperoleh
[1 โ1
โ1 1|00]
Tambahkan baris kedua dengan baris pertama, sehingga diperoleh
[1 โ10 0
|00]
Dari matriks di atas, diperoleh
[1 โ10 0
] [๐ฅ1
๐ฅ2] = [
00]
atau
โ ๐ฅ1 + ๐ฅ2 = 0
๐ฅ2 = ๐ฅ1
misalkan ๐ฅ1 = ๐ , maka ๐ฅ2 = ๐ sehingga vektor
๐ฏ = [๐ฅ1
๐ฅ2] = [
๐ ๐ ] = ๐ [
11]
Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen ๐1 = โ1
yaitu ๐ฏ1 = [11].
b. Untuk ๐2 = โ4
Sistem untuk mencari vektor eigen adalah
(๐๐ผ โ ๐ด)๐ฏ = ๐
[๐ + 3 โ2โ1 ๐ + 2
] [๐ฅ1
๐ฅ2] = [
00]
[โ1 โ2โ1 โ2
] [๐ฅ1
๐ฅ2] = [
00]
Sistem di atas dapat ditulis dalam bentuk
๐ด๐ = ๐ต
dengan ๐ด = [โ1 โ2โ1 โ2
], ๐ = [๐ฅ1
๐ฅ2], dan ๐ต = [
00].
Untuk mencari solusinya, bentuk matriks di atas dapat ditulis dalam
bentuk matriks yang diperbesar sebagai berikut
[โ1 โ2โ1 โ2
|00]
dengan operasi baris pertama dikalikan dengan (โ1), maka
diperoleh
35
[1 2
โ1 โ2|00]
Selanjutnya, tambahkan baris pertama ke baris kedua, sehingga
diperoleh
[1 20 0
|00]
Dari matriks di atas, diperoleh
[1 20 0
] [๐ฅ1
๐ฅ2] = [
00]
atau
๐ฅ1 + 2๐ฅ2 = 0
๐ฅ1 = โ2๐ฅ2
misalkan ๐ฅ2 = ๐ก, maka ๐ฅ1 = โ2๐ก sehingga vektor
๐ฏ = [๐ฅ1
๐ฅ2] = [
โ2๐ก๐ก
] = ๐ก [โ21
]
Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen ๐2 = โ4
yaitu ๐ฏ2 = [โ21
].
Maka solusi homogen dari SPD adalah
๐โ = ๐1 [11] ๐โ๐ฅ + ๐2 [
โ21
] ๐โ4๐ฅ
4. Mencari solusi particular/khusus (๐๐) dari fungsi tak homogen ๐ญ(๐).
i. Bentuk dari ๐ญ(๐) = [โ๐ฅ2
๐๐ฅ ] = [โ๐ฅ2
0] + [
0๐๐ฅ] = ๐ฅ2 [
โ10
] + ๐๐ฅ [01]
ii. Dapat dilihat bahwa bentuk ๐ญ(๐) di atas mengandung variabel ๐ฅ2 dan
๐๐ฅ sehingga dipilih pemisalan ๐๐ dari Tabel 2.2 yang sesuai dengan
bentuk ๐ญ(๐) yaitu ๐๐ = ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ + ๐ + ๐ ๐๐ฅ
iii. Substitusi ๐๐ pada SPD
(๐๐)โฒ= ๐ด๐๐ + ๐ญ(๐)
2๐๐ฅ + ๐ + ๐ ๐๐ฅ = ๐ด๐๐ฅ2 + ๐ด๐๐ฅ + ๐ด๐ + ๐ด๐ ๐๐ฅ + [โ10
] ๐ฅ2 + [01] ๐๐ฅ
Dari persamaan di atas, diperoleh
36
a. koefisien dari ๐ฅ2 yaitu
๐ = ๐ด๐ + [โ10
]
๐ด๐ + [โ10
] = ๐
๐ด๐ = [10]
๐ = ๐ดโ1 [10]
๐ = (1
6 โ 2[โ2 โ2โ1 โ3
]) [10]
๐ = [โ
1
2โ
1
2
โ1
4โ
3
4
] [10]
๐ = [โ
1
2
โ1
4
]
โฆ(3.2)
b. koefisien dari ๐ฅ yaitu
2๐ = ๐ด๐ โฆ(3.3)
2๐ = ๐ด๐
๐ = ๐ดโ12๐
๐ = [โ
1
2โ
1
2
โ1
4โ
3
4
] [โ1
โ1
2
]
๐ = [
3
45
8
]
c. koefisien dari ๐๐ฅ yaitu
๐ = ๐ด๐ + [01] โฆ(3.4)
๐ = ๐ด๐ + [01]
misalkan ๐ = [๐ฅ๐ฆ]
[๐ฅ๐ฆ] = [
โ3 21 โ2
] [๐ฅ๐ฆ] + [
01]
37
[๐ฅ๐ฆ] = [
โ3๐ฅ + 2๐ฆ๐ฅ โ 2๐ฆ
] + [01]
[๐ฅ๐ฆ] = [
โ3๐ฅ + 2๐ฆ๐ฅ โ 2๐ฆ + 1
]
Diperoleh
๐ฅ = โ3๐ฅ + 2๐ฆ atau 4๐ฅ โ 2๐ฆ = 0 โฆ(3.5)
๐ฆ = ๐ฅ โ 2๐ฆ + 1 atau ๐ฅ โ 3๐ฆ = โ1 โฆ(3.6)
Persamaan (3.5) dan (3.6) dapat ditulis dalam bentuk matriks
๐ด๐ = ๐ต
dengan ๐ด = [4 โ21 โ3
], ๐ = [๐ฅ๐ฆ], dan ๐ต = [
0โ1
].
Untuk mencari solusinya, bentuk matriks tersebut dapat ditulis
dalam bentuk matriks yang diperbesar seperti berikut
[4 โ21 โ3
|0
โ1]
dengan operasi baris pada matriks di atas yaitu kalikan baris
pertama dengan (1
4), maka diperoleh
[1 โ24
1 โ3|0
โ1]
Baris pertama dikalikan dengan (โ1), kemudian tambahkan ke
baris kedua, sehingga diperoleh
[1 โ
24
0 โ104
|0
โ1]
Kalikan baris kedua dengan (โ4
10), sehingga diperoleh
[1 โ24
0 1|0410
]
Baris kedua dikalikan dengan (2
4), kemudian ditambahkan ke
baris pertama, sehingga diperoleh
[1 00 1
|
210410
]
38
atau
๐ = [๐ฅ๐ฆ] = [
2
104
10
]
d. Koefisien dari konstanta yaitu
๐ = ๐ด๐ โฆ(3.7)
๐ = ๐ด๐
๐ = ๐ดโ1๐
๐ = [โ
1
2โ
1
2
โ1
4โ
3
4
] [
3
45
8
]
๐ = [โ
11
16
โ21
32
]
iv. Sehingga diperoleh solusi khusus ๐๐ yaitu
๐๐ = [โ
1
2
โ1
4
] ๐ฅ2 + [
3
45
8
] ๐ฅ + [โ
11
16
โ21
32
] + [
2
104
10
] ๐๐ฅ
5. Jadi solusi umum dari SPD tak homogen di atas yaitu
๐ = ๐โ + ๐๐ = ๐1 [11] ๐โ๐ฅ + ๐2 [
โ21
] ๐โ4๐ฅ โ [
1
21
4
] ๐ฅ2 + [
3
45
8
] ๐ฅ โ [
11
1621
32
]
+ [
2
104
10
] ๐๐ฅ
39
Kasus 2:
Diberikan sebuah SPD linear dengan tiga persamaan yang terdiri dari tiga
fungsi tak diketahui sebagai berikut
๐ฆ1โฒ = ๐ฆ1 โ ๐๐ฅ
๐ฆ2โฒ = 2๐ฆ1 โ 3๐ฆ2 + 2๐ฆ3 + 6๐โ๐ฅ
๐ฆ3โฒ = ๐ฆ1 โ 2๐ฆ2 + 2๐ฆ3 + ๐๐ฅ
Solusi umumnya dapat ditentukan sebagai berikut
1. Bentuk matriks dari SPD di atas adalah
๐โฒ = ๐ด๐ + ๐ญ(๐)
dengan ๐ด = [1 0 02 โ3 21 โ2 2
] dan ๐ญ(๐) = [โ๐๐ฅ
6๐โ๐ฅ
๐๐ฅ]
2. det(๐ด) = |1 0 02 โ3 21 โ2 2
| = โ2
karena det(๐ด) โ 0, maka solusi dapat dicari.
3. Mencari solusi homogen (๐โ) dari SPD homogen ๐โฒ = ๐ด๐.
๐โ = ๐1๐ฏ1๐๐1๐ฅ + ๐2๐ฏ2๐
๐2๐ฅ + ๐3๐ฏ3๐๐3๐ฅ
i. Mencari nilai-nilai eigen dari matriks ๐ด
๐ด = [1 0 02 โ3 21 โ2 2
]
Sesuai dengan Persamaan (2.4) pada halaman 23, maka persamaan
karateristik untuk mencari nilai eigen dari matriks ๐ด adalah
det(๐๐ผ โ ๐ด) = 0
det([๐ 0 00 ๐ 00 0 ๐
] โ [1 0 02 โ3 21 โ2 2
]) = 0
|๐ โ 1 0 0โ2 ๐ + 3 โ2โ1 2 ๐ โ 2
| = 0
(๐ โ 1)(๐ + 3)(๐ โ 2) + (0)(โ2)(โ1) + (0)(โ2)(2)
โ(0)(๐ + 3)(โ1) โ (๐ โ 1)(โ2)(2) โ (0)(โ2)(๐ โ 2) = 0
๐3 โ 7๐ + 6 + 4๐ โ 4 = 0
๐3 โ 3๐ + 2 = 0
(๐ โ 1)(๐ โ 1)(๐ + 2) = 0
40
Sehingga diperoleh nilai eigen dari ๐ด yaitu ๐1,2 = 1 dan ๐3 = โ2.
ii. Mencari vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen
pada Langkah i.
a. Untuk ๐ = 1
Sistem untuk mencari vektor eigen yaitu
(๐๐ผ โ ๐ด)๐ฏ = ๐
[๐ โ 1 0 0โ2 ๐ + 3 โ2โ1 2 ๐ โ 2
] [
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฅ3
] = [000]
[0 0 0
โ2 4 โ2โ1 2 โ1
] [
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฅ3
] = [000]
Matriks di atas dapat ditulis dalam bentuk
๐ด๐ = ๐ต
dengan ๐ด = [0 0 0
โ2 4 โ2โ1 2 โ1
], ๐ = [
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฅ3
], dan ๐ต = [000].
Untuk mencari solusinya, bentuk matriks di atas dapat ditulis dalam
bentuk matriks yang diperbesar sebagai berikut
[0 0 0
โ2 4 โ2โ1 2 โ1
|000]
dengan menukarkan baris pertama dengan baris ketiga, maka
diperoleh
[โ1 2 โ1โ2 4 โ20 0 0
|000]
Baris pertama dikalikan dengan (โ1), sehingga diperoleh
[1 โ2 1
โ2 4 โ20 0 0
|000]
Baris pertama dikalikan dengan (2), kemudian ditambahkan ke baris
ketiga, sehingga diperoleh
[1 โ2 10 0 00 0 0
|000]
41
Dari matriks di atas, diperoleh
[1 โ2 10 0 00 0 0
] [๐ฅ1
๐ฅ2๐ฅ3
] = [000]
atau
๐ฅ1 โ 2๐ฅ2 + ๐ฅ3 = 0
๐ฅ1 = 2๐ฅ2 โ ๐ฅ3
misalkan ๐ฅ2 = ๐ dan ๐ฅ3 = ๐ก, maka diperoleh
๐ฅ1 = 2๐ โ ๐ก
๐ฏ = [
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฅ3
] = [2๐ โ ๐ก
๐ ๐ก
] = [2๐ ๐ 0
] + [โ๐ก0๐ก
] = ๐ [210] + ๐ก [
โ101
]
sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen ๐ = 1
yaitu
๐ฏ๐ = [210] dan ๐ฏ๐ = [
โ101
]
b. Untuk ๐ = โ2
Sistem untuk mencari vektor eigen yaitu
(๐๐ผ โ ๐ด)๐ฏ = ๐
[๐ โ 1 0 0โ2 ๐ + 3 โ2โ1 2 ๐ โ 2
] [
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฅ3
] = [000]
[โ3 0 0โ2 1 โ2โ1 2 โ4
] [
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฅ3
] = [000]
Matriks di atas dapat ditulis dalam bentuk
๐ด๐ = ๐ต
dengan ๐ด = [โ3 0 0โ2 1 โ2โ1 2 โ4
], ๐ = [
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฅ3
], dan ๐ต = [000].
Untuk mencari solusinya, bentuk matriks di atas dapat ditulis dalam
bentuk matriks yang diperbesar sebagai berikut
[โ3 0 0โ2 1 โ2โ1 2 โ4
|000]
42
dengan operasi baris pertama dikalikan dengan (โ1
3), dan baris
kedua dikalikan dengan (โ2), kemudian ditambahkan ke baris
ketiga, maka diperoleh
[1 0 0
โ2 1 โ23 0 0
|000]
Baris pertama dikalikan dengan (โ3), kemudian ditambahkan ke
baris ketiga, sehingga diperoleh
[1 0 0
โ2 1 โ20 0 0
|000]
Dari matriks di atas, diperoleh
[1 0 0
โ2 1 โ20 0 0
] [๐ฅ1
๐ฅ2๐ฅ3
] = [000]
atau
๐ฅ1 = 0 โฆ(3.8)
โ2๐ฅ1 + ๐ฅ2 โ 2๐ฅ3 = 0 โฆ(3.9)
substitusikan nilai ๐ฅ1 pada Persamaan (3.8) ke Persamaan (3.9),
maka diperoleh
โ2(0) + ๐ฅ2 โ 2๐ฅ3 = 0
๐ฅ2 = 2๐ฅ3
misalkan ๐ฅ3 = ๐ก, maka ๐ฅ2 = 2๐ก
sehingga
๐ฏ = [
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฅ3
] = [02๐ก๐ก] = ๐ก [
021]
Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen ๐ = โ2 yaitu
๐ฏ๐ = [021].
Maka solusi homogen dari SPD yaitu
๐โ = ๐1 [210] ๐๐ฅ + ๐2 [
โ101
] ๐๐ฅ + ๐3 [021] ๐โ2๐ฅ.
4. Mencari solusi particular/khusus (๐๐) dari fungsi tak homogen ๐ญ(๐).
43
i. Bentuk dari ๐ญ(๐) = [โ๐๐ฅ
6๐โ๐ฅ
๐๐ฅ] = [
โ๐๐ฅ
0๐๐ฅ
] + [0
6๐โ๐ฅ
0]
= ๐๐ฅ [โ101
] + ๐โ๐ฅ [060]
ii. Dapat dilihat pada langkah i bahwa bentuk ๐ญ(๐) memiliki variabel ๐๐ฅ
dan ๐โ๐ฅ sehingga dipilih pemisalan ๐๐ dari Tabel 2.2 yang sesuai
dengan bentuk ๐ญ(๐) yaitu ๐๐ = ๐๐๐ฅ + ๐๐โ๐ฅ namun, karena ๐๐ฅ
terdapat juga pada solusi homogen dari SPD, maka dipilih pemisalan
๐๐ yaitu ๐๐ = ๐๐ฅ๐๐ฅ + ๐๐๐ฅ + ๐๐โ๐ฅ.
iii. Substitusikan ๐๐ ke SPD
(๐๐)โฒ= ๐ด๐๐ + ๐ญ(๐)
๐๐ฅ๐๐ฅ + ๐๐๐ฅ + ๐๐๐ฅ โ ๐๐โ๐ฅ
= ๐ด๐๐ฅ๐๐ฅ + ๐ด๐๐๐ฅ + ๐ด๐๐โ๐ฅ + [โ101
] ๐๐ฅ + [060] ๐โ๐ฅ
Dari persamaan di atas, diperoleh:
a. koefisien dari ๐ฅ๐๐ฅ yaitu
๐ = ๐ด๐
Dari Persamaan (1), diperoleh ๐ merupakan vektor
eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen 1, maka
๐ = [โ101
].
โฆ(3.10)
b. koefisien dari ๐๐ฅ yaitu
๐ + ๐ = ๐ด๐ + [
โ101
] โฆ(3.11)
๐ + ๐ = ๐ด๐ + [
โ101
]
๐ โ [โ101
] = ๐ด๐ โ ๐
๐ โ [โ101
] = (๐ด โ ๐ผ)๐
44
misalkan ๐ = [๐ฅ๐ฆ๐ง]
[โ101
] โ [โ101
] = ([1 0 02 โ3 21 โ2 2
] โ [1 0 00 1 00 0 1
]) [๐ฅ๐ฆ๐ง]
[000] = [
0 0 02 โ4 21 โ2 1
] [๐ฅ๐ฆ๐ง]
Dibentuk matriks yang diperbesar sebagai berikut
[0 0 02 โ4 21 โ2 1
|000]
dengan operasi baris pertama ditukar dengan baris ketiga, maka
diperoleh
[1 โ2 12 โ4 20 0 0
|000]
Baris pertama dikalikan dengan (โ2), kemudian ditambahkan
ke baris kedua, sehingga diperoleh
[1 โ2 10 0 00 0 0
|000]
Dari matriks di atas, diperoleh
[1 โ2 10 0 00 0 0
] [๐ฅ1
๐ฅ2๐ฅ3
] = [000]
atau
๐ฅ โ 2๐ฆ + ๐ง = 0
๐ฅ = 2๐ฆ โ ๐ง
misalkan ๐ฆ = ๐ dan ๐ง = ๐ก, maka ๐ฅ = 2๐ โ ๐ก sehingga
๐ = [2๐ โ ๐ก
๐ ๐ก
] = ๐ [210] + ๐ก [
โ101
]
diambil ๐ = ๐ก = 0, maka diperoleh
๐ = [000]
c. koefisien dari ๐โ๐ฅ yaitu
45
โ๐ = ๐ด๐ + [
060] โฆ(3.12)
โ๐ = ๐ด๐ + [
060]
[โ060] = ๐ด๐ + ๐
[0
โ60
] = (๐ด + ๐ผ)๐
misalkan ๐ = [
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฅ3
]
[0
โ60
] = ([1 0 02 โ3 21 โ2 2
] + [1 0 00 1 00 0 1
]) [
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฅ3
]
[0
โ60
] = [2 0 02 โ2 21 โ2 3
] [
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฅ3
]
Dibentuk matriks yang diperbesar sebagai berikut
[2 0 02 โ2 21 โ2 3
|0
โ60
]
dengan operasi baris pertama dikalikan dengan (1
2), dan baris
ketiga dikalikan dengan (โ1) kemudian ditambahkan ke baris
kedua, sehingga diperoleh
[1 0 01 0 โ11 โ2 3
|0
โ60
]
Dari matriks di atas, diperoleh
[1 0 01 0 โ11 โ2 3
] [๐ฅ1
๐ฅ2๐ฅ3
] = [0
โ60
]
atau
๐ฅ1 = 0 โฆ(3.13)
๐ฅ1 โ ๐ฅ3 = โ6 โฆ(3.14)
๐ฅ1 โ 2๐ฅ2 + 3๐ฅ3 = 0 โฆ(3.15)
46
Substitusikan nilai ๐ฅ1 pada Persamaan (3.13) ke Persamaan (3.14),
maka diperoleh
0 โ ๐ฅ3 = โ6 atau ๐ฅ3 = 6
dan substitusikan nilai ๐ฅ1 dan ๐ฅ3 pada Persamaan (3.15), maka
diperoleh
0 โ 2๐ฅ2 + 3(6) = 0
โ2๐ฅ2 = โ18
๐ฅ2 =โ18
โ2
๐ฅ2 = 9
sehingga
๐ = [
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฅ3
] = [096]
iv. Sehingga diperoleh solusi khusus ๐๐ yaitu
๐๐ = [โ101
] ๐ฅ๐๐ฅ + [096] ๐โ๐ฅ
5. Jadi, solusi umum dari SPD yaitu
๐ = ๐โ + ๐๐
= ๐1 [210] ๐๐ฅ + ๐2 [
โ101
] ๐๐ฅ + ๐3 [021] ๐โ2๐ฅ + [
โ101
] ๐ฅ๐๐ฅ + [096] ๐โ๐ฅ
47
BAB IV
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Sesuai pembahasan pada Bab III, maka diperoleh kesimpulan bahwa
langkah-langkah untuk mencari solusi SPD linear tak homogen dengan
metode koefisien tak tentu yaitu sebagai berikut:
1. Menulis sistem persamaan diferensial dalam bentuk matriks
๐โฒ = ๐ด๐ + ๐ญ(๐).
2. Menghitung determinan dari matriks koefisien ๐ด, jika det(๐ด) = 0, maka
perhitungannya tidak dilanjutkan.
3. Mencari solusi homogen (๐โ) dari SPD homogen ๐โฒ = ๐ด๐ dengan
langkah-langkah sebagai berikut:
i. Menentukan semua nilai eigen ๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ dari ๐ด๐ร๐.
ii. Selanjutnya menentukan vektor eigen ๐ฏ1, ๐ฏ2, โฆ , ๐ฏ๐ yang bersesuaian
dengan nilai-nilai eigen pada langkah i.
Dengan dua langkah di atas, maka diperoleh ๐ solusi berikut
๐1 = ๐ฏ1๐๐1๐ฅ, ๐2 = ๐ฏ2๐
๐2๐ฅ, โฆ, ๐๐ = ๐ฏ๐๐๐๐๐ฅ.
sehingga diperoleh solusi umum dari SPD yaitu kombinasi linear dari ๐
solusi di atas sebagai berikut
๐โ = ๐1๐1 + ๐๐๐2 + โฏ+ ๐๐๐๐
dalam penelitian ini hanya dibahas untuk ๐ = 2 dan ๐ = 3.
4. Mencari solusi particular/khusus (๐๐) dari fungsi tak homogen ๐ญ(๐)
dengan langkah-langkah pada metode koefisien tak tentu yaitu:
i. Melihat bentuk fungsi tak homogen ๐ญ(๐), mencocokkan bentuknya
dengan bentuk-bentuk yang tersedia dan lihat kesamaan bentuknya
dengan bentuk pada solusi homogen (๐โ)
ii. Memilih permisalan ๐๐ yang sesuai dengan bentuk ๐ญ(๐)
iii. Mensubstitusi ๐๐ ke SPD untuk mencari koefisien-koefisien yang
terdapat pada ๐๐.
iv. Menentukan solusi khusus ๐๐.
5. Menentukan solusi umum SPD, yaitu ๐ = ๐โ + ๐๐.
48
4.2 Saran
Pada penelitian ini penulis hanya membahas mengenai solusi dari sistem
persamaan diferensial linear tak homogen orde satu. Bagi pembaca yang
tertarik untuk membahas lebih mendalam mengenai metode ini, dapat
mengkaji tentang solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen
dengan orde yang lebih tinggi atau solusi persamaan diferensial linear tak
homogen dengan orde yang lebih tinggi.
49
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 2009. Dasar-dasar Aljabar Linear (jilid 1). Tangerang: Binarupa Aksara
Anton, H. dan C. Rorres. 2004. Aljabar Linear Elementer versi Aplikasi, Edisi
Kedelapan. Terjemahan oleh R. Indriasari dan I. Harmen. Jakarta : Erlangga.
Finizio, N dan G. Ladas. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan
Modern. Terjemahan oleh Dra. W. Santoso. Jakarta : Erlangga.
Gazali, W. 2005. Matriks dan Transformasi Linear. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Goode, S. W. 1991. An Introduction to Differential Equations and Linear Algebra.
New York: Prentice-Hall International, Inc.
Granita. 2012. Persamaan Diferensial Biasa. Riau. Zanafa Publishing.
Imrona, M. 2009. Aljabar Linear Dasar. Jakarta: Erlangga.
Purcell, E. J, D. Varberg, dan S. E. Rigdon. 2004. Kalkulus Jilid 1(Edisi
Kedelapan). Jakarta: Erlangga.
. 2004. Kalkulus Jilid 2(Edisi Kedelapan). Jakarta: Erlangga.
Waluya, B. 2006. Buku Ajar Persamaan Diferensial. Semarang: Universitas Negeri
Semarang.