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Sistemas de segundo orden
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden auna ecuación diferencial lineal de segundo orden
)()()(
)()()(
212
2
0212
2
0 trbdttdr
bdt
trdbtca
dttdc
adt
tcda ++=++
Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde:
.0,,,1 102210 ====== bbKbapaa
Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden:
)( pssK+
)(sR )(sC)(sE K
p
dondees una const.que representauna ganancia.
es una const. realrepresenta al polodel sistema.
Su función de transferencia de lazo cerrado es:
Kpss
KsRsC
++= 2)()(
Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos
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−−+
−++
=K
ppsK
pps
KsRsC
4242
)()(
22
1. Reales diferentes si: Kp >4
2K
p =4
2
Kp <4
2, 2. Reales iguales si:
3. Complejos si
Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables2nK ω= σζω 22 == np
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22
2
2)()(
nn
n
sssRsC
ωζωω
++= forma estándar del sistema
de segundo orden.
donde es la frecuencia natural no amortiguada, se denomina atenuación, es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los parámetros y .ζ nω
Se analizará la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario:
(1) Caso subamortiguado : en este caso se escribe)10( << ζ )()( sRsC
donde se denomina fracuencia natural amortiguada. Si21 ζωω −= nd
nω σζ
))(()()( 2
dndn
n
jsjssRsC
ωζωωζωω
−+++=
)(sRes una entrada escalón, entonces
ssssC
nn
n
)2()(
22
2
ωζωω
++=
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Utilizando fracciones parciales
2222 )()(
1)(
dn
n
dn
n
ss
ss
sCωζω
ζωωζω
ζω++
−++
+−=
y conociendo que
tes
sd
t
dn
n n ωωζω
ζω ζω cos)( 22
−=
++
+1-L
tsenes
dt
dn
d n ωωζω
ω ζω−=
++ 22)(
1-L
Se obtiene la salida en el tiempo
)0(1
tan1
1)(2
12
≥
−+−
−= −−
ttsene
tc d
tn
ζζω
ζ
ζω
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(2) Caso de amortiguamiento crítico :)1( =ζ
)(sC
sssC
n
n2
2
)()(
ωω
+=
)0()1(1)( ≥+−= − ttetc ntn ωω
la transformada inversa arroja
en este caso se tienen dos polos reales iguales y ante un escalón es
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ssssC
nnnn
n
)1)(1()(
22
2
−−+−++=
ζωζωζωζωω
t
t
n
n
e
etc
ωζζ
ωζζ
ζζζ
ζζζ)1(
22
)1(22
2
2
)1(12
1
)1(12
11)(
−+−
−+−
−−−−
−+−+=
en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para unaentrada escalón, es
(3) Caso sobreamortiguado :)1( >ζ
)(sC
La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es
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Fig. Curvas de respuesta al escalón unitario.
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
sa1>ζ
ca1=ζ
0=ζ
2.0=ζ
4.0=ζ
7.0=ζ8.0=ζ
Figura. Respuesta al escalón de diferentes sistemas de segundo orden.
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Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden
22
2
2)(
nn
n
sssC
ωζωω
++=
)10( <≤ ζ )0(11
)( 22
≥−−
= − ttsenetc ntn n ζω
ζω ζω
)1( =ζ
)0(1212
)( )1(2
)1(2
22
≥−
−−
= −−−−−− teetc tntn nn ζωζζζωζζ
ζω
ζω
para
para
)1( >ζ
)0()( 2 ≥= − ttetc tn
nωω
Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de )(tc
para
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0 2 4 6 8 10 12-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sa1>ζ
ca1=ζ
0=ζ2.0=ζ
4.0=ζ
7.0=ζ
Figura. Respuesta al impulso de diferentes sistemas de segundo orden.
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Definición de los parámetros de la respuesta transitoria
Las características de desempeño de un sistema de control se comparan basándose en el tiempo de la repuesta transitoria. La característica transitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad de responder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. La respuesta transitoria es común clasificarla con base a los siguientes parámetros.
1. Tiempo de retardo
2. Tiempo de crecimiento
3. Tiempo pico
4. Sobreimpulso máximo
5. Tiempo de establecimiento
rtdt
pt
pM
st
a continuación se definen…0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t
c(t)
1
0st
pM
rt pt
Tiempo de retardo
, td . Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del valor final por primera vez.
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2.- Tiempo de crecimiento, . Es el tiempo requerido para que la respuesta aumente de 0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o del 10 al 90% para sistemas críticamente amortiguados o sobreamortiguados.
El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuación de respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón.
1)1
(cos1)(2
=−
+−= −rdrd
t tsentetc rn ωζ
ζωζω
01
cos2
=−
+ rdrd tsent ωζ
ζω
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0tan1
1costancos1
cos22
=
−+=
−+ rdrdrdrdrd ttttt ω
ζζωωω
ζζω
o bien
σωβ
ωβπ
σω
ωd
d
d
drt
11 tan,tan1 −− =−=
−=
σω
ζζω
−=
−−= d
rdt21
tan
el tiempo de crecimiento es
β
σ
dω
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3.- Tiempo pico, . Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuación de respuesta c(t) e igualándola a cero, con lo que se obtiene
pt
01
)(2
=−
− pntnpd etsen
ζω
ζωω
dppd
pd
tt
sosobreimpulprimereleligese
sonecuaciónestasatisfacenquevaloreslostsen
ωππω
πππω
=⇒=
=
.,,3,2,,0
,0
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SOBREPASO
1)( −= pp tcM
−+−= −
dd
dd sene dn
ωπω
ζζ
ωπωωπζω
2)(
1cos
( ) ( )πωσπωωζ ddn ee −− ==
( )πζζ 21−−= eM p
st
4.
Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad o valor deseado. El sobreimpulso máximo se obtiene de la respuesta evaluada en el tiempo pico.
pM
5.- Tiempo de establecimiento,5.- Tiempo de establecimiento, . Es el tiempo mínimo donde la curva de respuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error preestablecido, generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el del 2%. Para sistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del 2% después de 4 constantes de tiempo:
σζω44
4 ===n
s Tt
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Ejemplo: Definir los parámetros de respuesta transitoria del sistema
)34(
375
+ss
)(sR )(sC
Desarrollo:
La función de transferencia de lazo cerrado es
37534
375
)(
)(2 ++
=sssR
sC
Se utiliza la siguiente igualdad
22
2
2 237534
375
nn
n
ssss ωζωω
++=
++
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se obtiene
3752 =nω
342 =nζω
375=nω
877876.03752
34 ==ζ
17=σ
A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta transitoria
segundostd
r 2849.0=−=ω
βπ
86=dω
.499.0tan 1 radd == −
σωβ
segundostd
p 33876.0==ωπ
( ) %315.000315.0 === − πωσ deM p
segundosts 23529.04 ==σ
Nota: Analizar porque prs ttt <<
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Ejemplo: De los siguientes parámetros de respuesta transitoria obtener la función de transferencia.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t
c(t)
127
0
142
0.75
Desarrollo: de la gráfica
1181.0127
127142 =−=pM segundosts 75.0=Estos dosParámetrosSon suficientes
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De st3333.5
44 ==→=s
s tt σ
σDe y conociendo pM σ
( ) 84335.7ln
=−=→= −
pdp M
eM dσπωπωσ
Entonces
3333.5=σ84335.7=dω
48486.922 =+= dn ωσω56229.0==→=
nn ω
σζσζω
96256.89666.10
96256.89
2)( 222
2
++=
++=
sssssG
nn
n
ωζωω