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SISTEMAS DE FLUIDOSRepresentação de um sistema de fluido
Bloco desistemade fluido
SaídaEntrada
Diferença de
pressão
Taxa de fluxo
volumétrica
Sistemas de fluidos• Hidráulicos• Pneumáticos
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SISTEMAS HIDRÁULICOSElementos dos sistemas hidráulicos
•Resistência Hidráulica•Armazenamento
•Acumulo de fluido•Capacitância hidráulica
•Inércia hidráulica
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RESISTÊNCIA HIDRÁULICA
AVqr
=Rqpp =− 21
Para um tubo → Equação de Darcy
γgV
dLfp2
2r
=∆
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Para escoamento laminar
γνgV
dLp2
64 2
r
=∆dVf
.64
Re64
rν
== VdLpr
2
.32µ=∆
pL
dq ∆=..128
. 4
µπ
AVq .r
= pL
dV ∆=..32
2
µ
r
Portanto a relação entre p e q é linear para o escoamento laminar
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Para escoamento turbulento
γgV
dLfp2
2r
=∆
é obtido do diagrama de Moody
f
A relação entre p e q é não linear para o escoamento turbulento
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f varia com o número de Reynolds de forma não linear, e depende da rugosidade do tubo
( ) 8,0Reln86,01−= f
f
41
Re
316,0=f
• Para tubos lisos
ou a fórmula de Blasius
• Para tubos rugosos
−=dfεln86,014,11
• Para tubos comerciais entre a região hidraulicamente lisa e hidraulicamente rugosa
+−=
ffd
.Re51,2ln86,01
7,3
ε
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A relação entre q e ∆p é não linear
pLfdV ∆= ....2ρ
Em válvulas e acessórios
ρ2
2VKpr
=∆ pK
V ∆= ..2ρ p
KAq ∆= .
.2ρ
Para contornar o problema das relações não lineares, vamos linearizá-las próximo ao ponto de operação, de modo a permitir expressá-las na forma linear como:
Rppq 21 −=
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Capacitância hidráulica
dtdVqq =− 21
mas AhV =
dtdhA
dtAhdqq ==−)(
21
A diferença de pressão entre entrada e saída
atmpp =1 pghppp ≡=−=∆ ρ12⇒ghpp ρ+= 12
dtdp
gA
dtgpdAqq
ρρ
==−)(
21
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Líquido incompressível
dtdpCqq =− 21
gACρ
= ⇒
( ) dtqqC
p ∫ −= 211
Integrando
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Inércia hidráulicaPara acelerar um fluido e aumentar sua velocidade é necessário uma Força
( )AppApApFF 212121 −=−=−Força
maF =∑2a lei de Newton
dtVdmmaAppr
==− )( 21
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dtVdmAppr
=− )( 21
ρALm =AL=A massa de líquido tem volume
dtVdALAppr
ρ=− )( 21 VAqr
=
dtdqLApp ρ=− )( 21
dtdqIpp =− )( 21
ALI ρ
=onde = Inércia hidráulica
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SISTEMAS PNEUMÁTICOSElementos básicos dos sistemas pneumáticos
•Resistência pneumática•Armazenamento
•Acumulo de fluido•Capacitância pneumática
•Inércia
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RESISTÊNCIA PNEUMÁTICA
mRpp &=− 21
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Capacitância pneumática
21 mm && −=Taxa de variação de massa no recipiente
( )dtVd ρ
=Taxa de variação de massa no recipiente
dtdV
dtdV ρρ +=Taxa de variação de massa no recipiente
mRTpV =Gás ideal
dtdp
RTV
dtdp
dpdV
+= ρTaxa de variação de massa no recipiente
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dtdp
RTV
dtdp
dpdV
+= ρTaxa de variação de massa no recipiente
dtdp
RTV
dpdVmm
+=− ρ21 &&
Capacitância pneumática devidoa variação do volume dp
dVC ρ=1⇒
Capacitância pneumática devidoa compressibilidade do gás RT
VC =2⇒
( )dtdpCCmm 2121 +=− &&
( ) ( )∫ −+
=− dtmmCC
pp 2121
211
&&
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Inércia pneumática( )dtVmdmaFr
==∑ ( )dtVmdAppr
=− )( 21
LqAqLAVm ρρ =
=
r
( )dtqdLApp ρ
=− )( 21qm ρ=&
dtmd
ALpp
&=− )( 21
dtmdIpp&
=− )( 21
ALI =Inércia pneumática
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Resistência hidráulica
Dissipação de energia
Capacitância pneumática
Capacitância hidráulica
Resistência pneumática
Inércia pneumática
Inércia hidráulica
Armazenamento de energia
Const. AnálogaEquaçãoBloco
( )∫ −= dtppI
q 211
( )∫ −= dtppI
m 211
&
( )dtppdCq 21 −=
( )dtppdCm 21 −=&
LA
I ρ=
1
gAC ρ=
RTV
dtdVC += ρ
LA
I=
1
( )Rppq 21 −=
( )Rppm 21 −=&
R1
R1
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Construindo um Modelo para um Sistema de Fluidos
dtdpCqq =− 21
A razão q2 na qual o líquido passa pela válvula é
(a)
ghRqp ρ== 2
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A pressão deve-se a altura de líquido no recipiente. Substituindo q2 na eq. (a)
dtdpC
Rpq =−1
Se ghp ρ=
dtghdC
Rghq )(
1ρρ
=−
gAC ρ=Se
Rgh
dtdhAq ρ
+=1
Essa equação mostra como a altura de um líquido em um recipiente depende da taxa de entrada do líquido no recipiente
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Sistema Pneumático
A taxa de fluxo de massa para dentro do fole é: m&
Rppm 21 −=& (b)
Todo gás que entra no fole permanece lá, não há escape
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A capacitância do fole é dada por:
( )dtdpCCmm 2
2121 +=− &&
Como é dado pela eq. (b) e 1m& 02 =m&
( )dtdpCC
Rpp 2
2121 +=
−( ) 2
2211 pdtdpCCRp ++= (c)
O fole expande ou contrai como resultado da variação de pressão dentro dele. Os foles são um tipo de mola.
xkF .= xkFAp ..2 ==
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Substituindo p2 na eq. (c)
( ) xAk
dtdx
AkCCRp ++= 211
Essa equação descreve como a expansão ou a contração do fole varia com o tempo quando ele é submetido a uma pressão de entrada p1
21 dp
dxAC ρ=2
1 dpdVC ρ= AxV =
xkAp .2 =Para o fole
( ) kA
AkxddxAC
2
1ρρ ==Assim
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ExemploA Figura mostra um sistema hidráulico. Determinar as equações que descrevem como a altura do líquido nos dois recipientes variará com o tempo. Desprezar a energia a cinética.
Recipiente 1
dtdpCqq 121 =−
dtdhAqq 1
121 =−ghp ρ1=
gACρ1
1 =
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A taxa q2 na qual o líquido deixa o recipiente é:
( ) 2121 qRghh =− ρ21qRp =
( )dtdhA
Rghhq 1
11
211 =
−−
ρ (d*)
Essa eq. Descreve como a altura de líquido no recipiente 1 depende da vazão de entrada
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Recipiente 2
dtdpCqq 232 =−
dtdhAqq 2
232 =−ghp ρ2=
gACρ2
2 =
322 qRgh =ρPara o fluxo q3 322 qRp =
dtdhA
Rghq 2
22
22 =−
ρ ( )dtdhA
Rgh
Rghh 2
22
2
1
21 =−− ρρ
Essa eq. Descreve como a altura de líquido no recipiente 2 varia. Assim, as eqs (d*) e (e*) descrevem as variações na altura de líquido nos dois recipientes
(e*)
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ExemploA Figura mostra um tubo em U contendo um líquido. Derivar uma expressão que indique como a diferença de altura entre os dois braços varia com o tempo quando a pressão acima do líquido em um dos braços aumenta. Desenhar um diagrama em blocos para o análogo elétrico de um sistema hidráulico
dtdqI=Queda de pressão devido à inércia
Rq=Queda de pressão devido à resistência
∫= dtqC1Queda de pressão devido à capacitância
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Se p é igual à soma dessas quedas de pressão:
∫++= dtqC
RqdtdqIp 1
AhV =Volume de líquido deslocado
( )dtdhA
dtAhd
dtdVq === ∫++= dh
CA
dtdhRA
dthdIAp 2
2
ALI ρ
=gACρ
=hdh 2=∫Se:
ghdtdhRA
dthdLp ρρ 22
2
++=
O sistema tem quedas de pressão devidas à inércia, à resistência e à capacitância somadas
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Equivalente elétrico
Exercício para a próxima semana: Exercício 8, página 111, Livro Engenharia de Controle, W. Bolton, Makron Books, 1995