![Page 1: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/1.jpg)
Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System)
Dr. Wuryansari Muharini K., M.Si.
Pemodelan Matematika
Program Studi Matematika
Universitas Brawijaya
![Page 2: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/2.jpg)
Situasi Real
l
0
L
m
1 2
0y
0v
![Page 3: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/3.jpg)
Bagaimana gerakan massa
setiap saat?
Bagaimana simpangan gerak
massa terhadap posisi
setimbang?
Masalah
dipertajam
![Page 4: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/4.jpg)
-
0
+ Arah
POSITIF
Situasi 1
l
0
L
m
1
![Page 5: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/5.jpg)
Situasi 1:
• Posisi setimbang
• massa diam
• tidak ada gaya yang
bekerja pada massa
![Page 6: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/6.jpg)
01
n
i
iF
Gaya yang bekerja:
1. Gaya gravitasi: 𝐹1 = 𝑚𝑔
2. Gaya pegas: 𝐹2 = 𝑘𝐿
021
2
1
kLmgFFFi
i
L
mgk
k disebut konstanta pegas atau KONSTANTA HOOKE
MODEL MATEMATIKA
![Page 7: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/7.jpg)
Interpretasi untuk konstanta pegas:
1. Apa satuan untuk k?
2. Semakin besar m semakin besar k
3. Semakin panjang L semakin kecil k
4. Konstanta pegas menyatakan apa?
![Page 8: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/8.jpg)
-
0
+ Arah
POSITIF
Situasi 2
0y
l
0
L
m
1 2
?)(ty
0v
![Page 9: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/9.jpg)
Situasi 2:
• Posisi berubah-ubah
• Massa bergerak (dinamis)
• Hukum Newton 2: jumlah
gaya yang bekerja pada massa
sama dengan massa dikalikan
dengan percepatan gerak
massa
![Page 10: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/10.jpg)
ASUMSI
O Pegas di bumi
O Massa pegas diabaikan
O Gerak pegas lurus vertikal
O Pegas berada di ruang hampa
udara
![Page 11: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/11.jpg)
Variabel dan parameter
O t = waktu
O 𝑦 𝑡 = simpangan massa terhadap posisi setimbang
O 𝑚 = massa beban
O l = panjang pegas
O L = jarak memanjangnya pegas karena diberi beban
O 𝑘 = konstanta pegas
O 𝑔 = percepatan gravitasi bumi
![Page 12: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/12.jpg)
maFn
i
i 1
Gaya yang bekerja:
1. Gaya gravitasi: 𝐹1 = 𝑚𝑔
2. Gaya pegas: 𝐹2 = 𝑘(𝐿 + 𝑦)
mayLkmgFFFi
i
)(21
2
1ymkykLmg
0 kLmg 0 kyym
Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen
MODEL MATEMATIKA
![Page 13: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/13.jpg)
SOLUSI?
00
2
0
)0(,)0(
00
vyyy
yyym
ky
Initial Value Problem (Masalah Nilai Awal)
0
0
0
2
02
0
0
)arctan(
),cos()(
ky
mv
m
k
k
mvyA
tAty
SOLUSI MODEL
![Page 14: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh
cm/dt 1)0(
cm 2)0(
cm 2
gram 10
v
y
L
m
0226.0
02.0
14.22
N/m 9.4
0
A
L
mgk
![Page 15: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/15.jpg)
Interpretasi
O Bagaimana simpangan massa setiap
saat?
O Bagaimana amplitudo simpangan?
O Bagaimana periode dan frekuensi
gerakan massa?
O Apakah massa beban berpengaruh?
O Apakah gerakan massa pada akhirnya
nanti akan berhenti?
O Apakah hal ini sesuai dengan
kenyataan?
![Page 16: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/16.jpg)
ASUMSI
O Pegas di bumi √
O Massa pegas diabaikan √
O Gerak pegas lurus vertikal √
O Pegas TIDAK berada di ruang
hampa udara
MODIFIKASI
![Page 17: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/17.jpg)
-
0
+ Arah
POSITIF
Situasi 2
0y
L
m
1 2
?)(ty0v
hambatan
![Page 18: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/18.jpg)
Gaya yang bekerja:
1. Gaya gravitasi: 𝐹1 = 𝑚𝑔
2. Gaya pegas: 𝐹2 = 𝑘 𝐿 + 𝑦
3. Gaya hambat media: 𝐹3 = 𝑟𝑦′
mayryLkmgFi
i
)(3
1
ymyrkykLmg
0 kLmg 0 kyyrym
Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen
MODIFIKASI MODEL
![Page 19: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/19.jpg)
00 )0(,)0(
0
vyyy
kyyrym
SOLUSI MODEL
Persamaan Karakteristik:
m
mkrr
krm
2
4
0
2
2,1
2
mkr 42
mkr 42
mkr 42
![Page 20: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/20.jpg)
Lanjutan Solusi Model
Kasus 1: OVER DAMPED (Redam lebih)
mkr 42
2
0
2
22
2,1
22
222
4
m
r
m
r
m
k
m
r
m
r
m
mkrr
![Page 21: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/21.jpg)
022
02222
2
0
2
2
2
2
0
2
1
m
r
m
r
m
r
m
r
m
r
m
r
Solusi: tt
eCeCty 21
21)(
0)(lim
tyt
Interpretasi: pegas akan segera berhenti
![Page 22: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/22.jpg)
Lanjutan Solusi Model
Kasus 2: CRITICAL DAMPED (Redam kritis)
mkr 42
02
21
m
r
Solusi: t
etCCty 1)()( 21
0)(lim
tyt
Interpretasi: pegas akan berhenti
![Page 23: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/23.jpg)
Lanjutan Solusi Model
Kasus 3: UNDER DAMPED (Redam lemah)
mkr 42
im
ri
m
r
m
r
m
ki
m
r
m
rmkir
2
2
0
22
2,1
22
222
4
Solusi: )sincos()( 21 tCtCety t
0)(lim
tyt
Interpretasi: pegas akan berosilasi namun
pada akhirnya berhenti
![Page 24: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/24.jpg)
Modifikasi model lagi Bagaimana bila diberikan gaya luar
secara periodik, misalnya sebesar
?)cos( 10 tf
00
10
)0(,)0(
)cos(
vyyy
tfkyyrym
Model matematika berubah menjadi PDB
linear orde dua NON HOMOGEN
![Page 25: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/25.jpg)
Jika 𝑟 ≠ 0
SOLUSI: )( ph yyty
0)(lim
tyht
sehingga )()(lim tyty pt
Solusi transien / steady state
![Page 26: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/26.jpg)
SOLUSI:
0
022
1
2
0
001
01
12
1
2
0
00201
,)(
.asalkan
),cos()(
)sin()cos(
)(
vC
m
fyC
tm
ftCtC
yyty ph
Jika 𝑟 = 0
00
10
)0(,)0(
)cos(
vyyy
tfkyym
![Page 27: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/27.jpg)
Bagaimana bila 𝜔1 ≈ 𝜔0?
Misalkan 0,0 00 vy
ttm
f
ttm
f
tm
ft
m
fty
2sin
2sin
)(
2
)]cos()[cos()(
)cos()(
)cos()(
)(
0101
2
1
2
0
0
012
1
2
0
0
12
1
2
0
002
1
2
0
0
![Page 28: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/28.jpg)
CONTOH
5.21,1,14.22 100 f
Amplitudo termodulasi
![Page 29: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/29.jpg)
Bagaimana bila 𝜔1 = 𝜔0?
Misalkan 0,0 00 vy
)sin(2
)(
0)0(
0)0(
),sin(2
)sin()cos()(
0
0
0
02
1
0
0
00201
ttm
fty
Cy
Cy
ttm
ftCtCty
![Page 30: Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System) · PDF fileVariabel dan parameter ... Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen MODIFIKASI MODEL ... linear orde dua NON HOMOGEN . Jika 𝑟≠0](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012302/5a72bdb67f8b9abb538de0a5/html5/thumbnails/30.jpg)
RESONANSI