Signály a soustavy – X37SAS, 37SASURL: http://radio.feld.cvut.cz/courses/X37SAS/
• Vyjádření spojitých a diskrétních signálů v časovéi kmitočtové oblasti.
• Charakteristiky systémů.
• Transformace signálů - průchod signálu systémem.
• Vzorkování signálu.
• Vyjádření pásmového signálu pomocí komplexníobálky.
• Úvod do náhodných signálů.
Osnova přednášek1. Klasifikace signálů, signál ve spojitém a v diskrétním čase, časové charakteristiky2. Vzájemná energie a výkon, ortogonální signály, korelační funkce. Zvláštní případy signálů
(singulární signály)3. Rozklad signálu do ortogonálního systému funkcí, Fourierova řada spojitých a diskrétních
signálů4. Spektrum neperiodických signálů, energetické a výkonové spektrum, vztah k autokorelační
funkci5. Souvislost mezi spektry spojitých a diskrétních signálů, spektrum a Fourierova řada6. Diskrétní Fourierova transformace, rychlé algoritmy, použití pro přepočet mezi signálem
a spektrem7. Klasifikace soustav ve spojitém a diskrétním čase, lineární časově invariantní soustava,
systémová funkce8. Spektrální reprezentace lineárních časově invariantních soustav, přenosová funkce9. Vzorkování signálů, interpolace vzorků signálu, vztah mezi soustavami ve spojitém
a diskrétním čase10. Pásmové signály a jejich reprezentace, komplexní obálka, ortogonální reprezentace, obálka
a fáze11. Základní analogové modulační metody - amplitudové a úhlové modulace12. Základní digitální modulační metody, příklady modulací13. Náhodné jevy, náhodné veličiny, distribuční funkce, střední hodnota, rozptyl, kovariance14. Náhodné signály a jejich charakteristiky, stacionarita a ergodicita. Bílý šum
http://www.feld.cvut.cz/education/bk/predmety/01/44/p14429.html
Definice pojmů
• Signál:– fyzikální veličina, která je funkcí času– nosič informace
• Soustava:– prostředí, kterým se přenáší informace pomocí signálů– „Množina prvků vhodným způsobem spojených a
vzájemně na sebe působících pod vlivem vnějších a vnitřních signálů za účelem splnění požadovanéfunkce.“
Soustava
objekt převod zprávyna signál
přenossignálu
převodsignálu
uživatel
Rušení N t( )
zpráva signál signál zpráva
• přenáší informaci o stavu objektu• pokud je přítomno rušení, informace je
zkreslena
Klasifikace signálů
• Deterministické nebo stochastické• Se spojitým nebo diskrétním časem• Se spojitým nebo diskrétním intervalem hodnot• Nefinitní – finitní, nekauzální - kauzální• Energetické nebo výkonové• …
s t( ) s k( )
s t( ) s k( )
s t( ) R∈ s k( ) R∈
s t( )∈Ζ
t∈R k∈Ζ
t∈R
t k
t k
0 0
0 0
1 2 3 ...
s k( )∈Ζk∈Ζ
A
B
C
D
signály ve spojitém čase
sign
ály
se s
pojit
ým o
bore
m
signály v diskrétním čase,vzorkované signály,posloupnosti
sign
ály
s di
skré
tním
obo
rem
vzorkováníinterpolace
kvantování hodn
otho
dnot
, kva
ntov
ané
sign
ály
Časové omezení signálu
s t( )
s t( )
s t( )
t
t
t
0
0
0
∞
∞
∞
t
t t
a
a b
nekauzální, nefinitní
kauzální, nefinitní
kauzální, finitní
Základní charakteristiky signálu
( ) ( )1Av lim d2
T
ss TT
s s t s t tT→∞
−
= = ∫
( ) ( )1Av lim2 1
N
ss N k Ns s k s k
N→∞=−
= = + ∑
Střední hodnota (stejnosměrná složka):
( ) ( )( )00
1Av dT
s t s t tT
= ∫
Střední hodnota periodických signálů se s výhodou počítá z jedné periody,není třeba pracovat s limitou
( ) ( )0 0
0
1
0
1Avk N
k ks k s k
N
+ −
=
= ∑
Základní charakteristiky signálu
( ) ( ) ( ) ( )2 *d d dE p t t s t t s t s t t∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
= = = ⋅∫ ∫ ∫Energie:
( ) ( ) ( ) ( )2 *p t s t s t s t= = ⋅Okamžitý výkon:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 *
*
Av Av Av
1lim d2
T
TT
P p t s t s t s t
s t s t tT→∞
−
= = =
= ∫
Střední výkon:
efs P=Efektivní hodnota:
... analogicky pro signál v diskrétním čase
Energie: ( ) ( ) ( ) ( )2 *
k k kE p k s k s k s k
∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞
= = = ⋅∑ ∑ ∑
Okamžitý výkon: ( ) ( ) ( ) ( )2 *p k s k s k s k= = ⋅
Střední výkon: ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 *
*
Av Av Av
1lim2 1
N
N k N
P p k s k s k s k
s k s kN→∞
=−
= = =
=+ ∑
Energetické a výkonové signály
• Energetické signály– pro hodnocení velikosti používáme energii– energie je konečná, střední výkon je nulový– Pozn.: nemusí být finitní
• Výkonové signály– jejich energie je nekonečná, střední výkon nenulový
(zpravidla konečný)– pro hodnocení velikosti používáme střední výkon– nefinitní, typický příklad – signály periodické
Vzájemná energie
Energie součtového signálu s t( ) ( ) ( )1 2s t s t= +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 12 21 2
2 * *1 2 1 2 1 2
* * * *1 1 1 2 1 2 2 2
1 2 12 21
d d
d d d d
E E E E
E s t s t t s t s t s t s t t
s t s t t s t s t t s t s t t s t s t t
E E E E
∞ ∞
−∞ −∞
∞ ∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞ −∞
= + = + ⋅ + =
= + + + =
= + + +
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
vzájemná energie
Energie součtového signálu obecně není rovna součtu energií složek.
( ) ( )* *12 21 1 2 dE E s t s t t
∞
−∞
= = ∫Vzájemná energie:
Vzájemná energie a vzájemný výkon
( ) ( )* *12 21 1 2 dE E s t s t t
∞
−∞
= = ∫Vzájemná energie:
Vzájemný (střední) výkon:
( ) ( ) ( ) ( )* * *12 21 1 2 1 2
1Av lim d2
T
TT
P P s t s t s t s t tT→∞
−
= = = ∫
Pokud s ( ) ( )1 2t s t=12 21E E E= =
12 21P P P= =
...pro signály v diskrétním čase zavedeno analogicky
( ) ( )* *12 21 1 2
kE E s k s k
∞
=−∞
= = ⋅∑Vzájemná energie:
Vzájemný (střední) výkon: ( ) ( ) ( ) ( )* * *12 21 1 2 1 2
1Av lim2 1
N
N k NP P s k s k s k s k
N→∞=−
= = = + ∑
Ortogonální signály
• Signály jsou vzájemně ortogonální, pokud (pro energetické signály) nebo (pro výkonové signály).
• Praktický význam (přibližně): ortogonální signály lze vzájemně oddělit, lze je tedy použít pro přenos nezávislých informací ve společném prostředí (sdílení kom. kanálu).
• Význam jako kriteria „podobnosti“ signálů, detekce přítomnosti hledané složky signálu.
• Interval ortogonality I
12 21 0E E= =
12 21 0P P= =
12 12,E P
( ) ( )( )
*12 1 2 d 0
I
E s t s t t= ⋅ =∫
Příklady ortogonálních signálůs t1( ) s t1( )
s t1( ) s t1( )
s t2( ) s t2( )
s t2( ) s t2( )
t
t
t
t
t
t
t
t
0 0
0 0
0 0
0 0
Korelační funkceVzájemná korelační funkce (vzájemná energie nebo výkon mezi vzájemněposunutými signály)
( ) ( ) ( )*12 1 2 dR s t s t tτ τ
∞
−∞
= +∫ ( )12 120R E=
Autokorelační funkce (vzájemná energie nebo výkon mezi vzájemněposunutými kopiemi téhož signálu)
( ) ( ) ( )* dR s t s t tτ τ∞
−∞
= +∫ ( )0R E=
Korelační funkceVzájemná korelační funkce (vzájemná energie nebo výkon mezi vzájemněposunutými signály)
( ) ( ) ( )*12 1 2 dR s t s t tτ τ
∞
−∞
= +∫ ( ) ( ) ( )*12 1 2AvR s t s tτ τ = +
( ) ( ) ( )*12 1 2
kR m s k m s k
∞
=−∞
= + ⋅∑ ( ) ( ) ( )*12 1 2AvR m s k m s k = +
Autokorelační funkce (vzájemná energie nebo výkon mezi vzájemněposunutými kopiemi téhož signálu)
( ) ( ) ( )* dR s t s t tτ τ∞
−∞
= +∫ ( ) ( ) ( )*AvR s t s tτ τ = +
( ) ( ) ( )*
kR m s k m s k
∞
=−∞
= + ⋅∑ ( ) ( ) ( )*AvR m s k m s k = +
Význam korelační funkce• Nalezení společné složky ve dvou signálech
• Určení zpoždění kopie signálu oproti předloze (synchronizace)
• Korelační příjem signálu• Nalezení periodické složky v signálu
s t1( )
s t2( )
τ
R ( )12 τ
0 τa
τa
Jednotkový skok
( )
0; 01 ; 021; 0
t
t t
t
η
<= =
>
( )0
0; 01; 0
tt
tη
≤= >
( )1
0; 01; 0
tt
tη
<= ≥
( ) 0; 01; 0
kk
kη
<= ≥
t
k
t t0
0
0 0
η( )t
η( )k
η0( )t η1( )t1
1
1 1
Obdélníkový impuls
( )
10;2
1 1 1 1rect ;2 2 2 2
11;2
t
t t t t
t
η η
> = + − − = =
<
t0
rect( )t1
-½ ½
Diracův impuls
• „Derivace“ jednotkového skoku• Má jednotkovou plochu, nulovou šířku,
„nekonečnou“ amplitudu• Platí vzorkovací vlastnost (podmínkou je spojitost
signálu s(t0) v bodě t0
δ(t)
t0
( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )0 0
00
0 0
0 0
; ,0 ; ,
d0 ;
1 0 ;
b
a
a bt
a b
bt
a
s t t t tt t t
s t t t ts t t t
s t t t
δηη
∈
∉⋅ − = ⋅ = ⋅ − =
∫
Diracův impuls
( ) ( ) 2d 0E g t t tη
∞
−∞
= − →∫
t
t
0
0
∆/2−∆/2
g t( )1
ddg t
t
∆
1/∆
Jednoduchý speciální případ g(t) - rampa
Namísto jednotkového skoku derivujeme spojitou funkci g(t), kteráse k jednotkovému skoku limitně blíží (energie rozdílu je nulová)
Derivací rampy je obdélníkový impuls o jednotkové ploše, limitním přechodem ∆→0 obdržíme δ(t)
(lze zvolit i libovolnou jinou spojitou aproximaci jednotkového skoku g(t))
Vzorkovací vlastnost Diracova impulsu
C s t= ( )0
0 t0 t
δ( )ts t( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )0
0 0 0
01; pokud ,
0 0
d d d
; pokud ,
b b b
a a a
a b
t t t
t t t
t t t
a b
s ts t t t t C t t t C t t t
s t t t t
δ δ δ
∈
⋅ − = ⋅ − = ⋅ − =
= ∈
∫ ∫ ∫
Jednotkový impuls
Obdoba Diracova impulsu pro signály v diskrétním čase
( ) ( ) ( ) 0 0 ; pokud , ,b
as k k k s k k a bδ⋅ − = ∈∑ …
( ) 1; 00; jinde
kkδ
==
δ( )k
k0 1 2 3-1-2
1
Vzorkovací vlastnost
Vzorkovací funkce
Sa
sin ;
;t
tt
t
ta f
a f=
≠
=
RS||
T||
0
1 0
sinc Sat ta f a f=
sinc Sat ta f a f= π
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
0
1
( )
( )
( )
-
2
-
Sa d analyticky neřešitelný
Sa d
Sa d
t t
t t
t t
π
π
∞
∞
∞
∞
=
=
∫
∫
∫
(častější definice)
(používá matlab)
Periodický signál( ) ( )0 ; ,s t s t m T t R m Z= + ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈ ( ) ( )0 ; ,s k s k m N k Z m Z= + ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈
s t( ) s k( )
t k0 0
T0 N0
• T0>0, N0>0 – perioda• nejmenší perioda• Součet, rozdíl, součin, podíl periodických signálů se shodnou periodou je
opět periodický signál.• Integrál přes celistvý počet period signálu nezávisí na volbě počátku
integračního intervalu.
( ) ( )0 0
0; ,
m N X m N
k k Xs k s k X m
⋅ + ⋅
= =
= ∀ ∈ ∈∑ ∑ Z Z( ) ( )0 0
0
d d ; ,mT X mT
X
s t t s t t X m+
= ∀ ∈ ∈∫ ∫ R Z
Periodický signál• Vždy signál výkonový• Střední hodnotu lze počítat přes periodu (nebo celistvý počet period)
→týká se operátoru Av[ ] a výrazů využívajících Av[ ] (P, R(τ), ...)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
0
0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0 0 0
0 0
0
1 1Av lim d lim d2 2 2
1 1 1lim d lim d lim d2 2 2 2 2 2
1lim d2 2
mTT
T mT mT
mT mT mT
m m mmT mT mT
mT
mmT
s t s t t s t tT mT
s t t s t t s t tmT mT mT
s t tmT
ν
ν
ν
ν
ν
ν ν ν
ν
+
→∞ →∞− − −
− +
→∞ →∞ →∞− − −
→ →
→∞−
= = = +
= + + =+ + +
= =+
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ( ) ( )( )
0
0 00 0
1 1lim d d2
mT
mmT T
s t t s t tmT T→∞
−
=∫ ∫
( ) ( )0 0
0
1
0
1Avk N
k ks k s k
N
+ −
=
= ∑( ) ( )( )00
1Av dT
s t s t tT
= ∫
Periodický signál
( ) ( )0 0
0
1
0
1Avk N
k ks k s k
N
+ −
=
= ∑
( ) ( )0 0
0
12 2
0
1Avk N
k kP s k s k
N
+ −
=
= = ∑
( ) ( ) ( )0 0
0
1*
12 1 20
1Rk N
k km s k m s k
N
+ −
=
= + ⋅∑
( ) ( )( )00
1Av dT
s t s t tT
= ∫
( ) ( )( )0
2 2
0
1Av dT
P s t s t tT
= = ∫
( ) ( ) ( )( )0
*12 1 2
0
1R dT
s t s t tT
τ τ= + ⋅∫
Harmonický signál• Reálný harmonický signál
• Komplexní harmonický signál
• Spojitý čas:– Speciální případ periodického signálu– Kmitočet f [Hz]– Perioda T0= 1/f [s]– Úhlový kmitočet ω = 2π f [rad/s]
• Diskrétní čas:– Nemusí být periodický– Kmitočet F [-] (nebo [1/vzorek])– Perioda N0 = 1/F [-] (nebo [vzorek])– Úhlový kmitočet Ω = 2π F [rad] (nebo [rad/vzorek])
( ) ( )coss t A tω θ= ⋅ + ( ) ( )coss k A k θ= ⋅ Ω +
( ) ( ) ( ) ( )cos sinj ts t Ae A t jA tω θ ω θ ω θ+= = + + +
( ) ( ) ( ) ( )cos sinj ks k Ae A k jA kθ θ θΩ += = Ω + + Ω +
Harmonický signál• Předpokládáme ω ≠ 0• Stejnosměrná složka je nulová• Výkon a autokorelační funkce reálného harm. signálu
• Výkon a autokorelační funkce komplexního harm. signálu
( )( )2
2Av cos
2AP A tω θ = + =
( ) ( )2 22 2
1
Av Avj t j tP Ae A e Aω θ ω θ+ +
= = ⋅ =
( ) ( )2
R cos2A tτ ω=
( ) 2R j tA e ωτ =
Autokorelační funkce nezávisí na fázi signálu
Harmonický signál - vzájemný vztah reálného a komplexního signálu
( ) ( ) ( )( )cos2
j t j tAA t e eω θ ω θω θ + − −+ = +ω
-ω
Re( ( ))s t
Re(
())s
t
Im( ( ))s t
θ−θ
A/2
A
0
0t