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Setti in C.A. -Trave parete forata
Rif. Bibliografico Pozzati, vol IIa pag.379
Consideriamo una parete di
irrigidimento costituito da un setto in
c.a. in cui sono praticate delle aperture
(es. parete di un vano ascensore)
La parete viene idealizzata come unLa parete viene idealizzata come un
sistema formato da 2 ritti o mensole,
aventi le sezioni appiattite e costanti
a1s1 ed a2s2, e collegati da dei traversi
aventi luce a e sezione di momento di
inerzia Jtr
Pensiamo distribuite le sollecitazioni
applicate ai ritti dai traversi
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Setti in C.A.Risultano allora uguali:
•le linee elastiche dei 2 ritti
(v1=v2=v)
• le rotazioni delle sezioni rette
(ϕϕϕϕ1111==== ϕϕϕϕ2222====dv/dx)
•le curvature
Tra i momenti flettenti dei ritti
sussiste la relazione
Dove:2
2
1
1
J
M
J
M =
12
saJ,
12
saJ
32
2
3
11 ==
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Il traverso
Deformata
antisimmetrica
Il momento flettente si annulla in mezzeria e le sollecitazioni agli
estremi valgono ( trascurando lo sforzo normale):
ϕ===2
trtrcb a
lEJ6MMM ϕ====
3trtr
trcb a
lEJ12
a
M2TTT
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Il traverso
Supponiamo che i traversi siano diffusi sull’altezza dei ritti
Alla sezione di una lamella di ritto alta dx compete un
momento di inerzia
Le sezioni estreme di un generico traverso ruotano di ϕ e si
spsotano relativamente di u= ϕ(a1+a2)/2= ϕ(l-a), quindi agli
estremi
h/dxJtr
2trtr
trcb a
lEJ6)
a
u(
a
EJ6MMM
ϕ=+ϕ===
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Il traverso
ϕ=== la
EJ6MMM
2tr
trcb
Cui corrisponde il taglio
h/dxJtr
dxl
kdx
ha
lEJ12dxt
3tr ϕ=ϕ=
ha
lEJ12k
3
2tr=
Cui corrisponde il taglio
dove
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Setti in C.A.
Rif. Bibliografico
Pozzati, vol IIa pag.379
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Setti in C.A.
Il momento flettente sull’intera mensola costituita dai due ritti vale
Dove M0 è il momento dovuto ai carichi esterni ed l è la distanza tra
gli assi dei ritti
( ) )]x(v)H(v[k)x(Mdvk)x(Mltdx)x(M)x(M 0
H
x
0
H
x
0 −+=+=+= ∫∫
gli assi dei ritti
Tra la linea elastica v(x) ed M sussiste la relazione:
dove
)aa(12
sJJJ 3
23121tot +=+=
)x(Mdx
vdEJ
2
2
tot −=
![Page 8: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/8.jpg)
L’equazione dove
Diventa
Setti in C.A.
( ) )]x(v)H(v[k)x(Mdvk)x(Mltdx)x(M)x(M 0
H
x
0
H
x
0 −+=+=+= ∫∫
)x(Mdx
vdEJ
2
2
tot −=
)aa(12
sJJJ 3
23121tot +=+=
2 k)H(kv)x(M)x(vd +
Che ammette l’integrale generale somma della soluzione particolare vp e
della soluzione dell’omogenea associata
Dove A e B sono costanti da determinare imponendo le condizioni al
contorno
tot
2
tot
022
2
EJ
k
EJ
)H(kv)x(M)x(v
dx
)x(vd =α+−=α−
)x(vxsinhBxcoshA)x(v p+α+α=
![Page 9: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/9.jpg)
Integrali particolari
Carico uniforme q (rivolto secondo y>0)
2tot0
p
2
0
k
qEJ
k
)x(M)H(v)x(v
2
)xH(q)x(M
−+=
−−=
kk
![Page 10: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/10.jpg)
Integrali particolari
Carico concentrato P
k
)x(M)H(v)x(v
)xH(P)x(M
0p
0
+=
−−=
k)H(v)x(vp +=
![Page 11: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/11.jpg)
Sollecitazioni
Nota la linea elastica, si ricavano le sollecitazioni
Per esempio per il ritto i-esimo in caso di carico distribuito q
Lo sforzo normale al livello x è
k
qEJ)xsinhAxcoshA(EJ)x(''vEJ)x(M i
2iii +α+αα−=−=
kkHH
Per un traverso
)]x(v)H(v[l
kdv
l
kdN)x(N
H
x
H
x
ii −=== ∫∫
dx
dv
a
lEJ6M
2tr
tr =
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Estensioni
Si possono trattare anche casi di due file di aperture o pareti su
pilastri
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Osservazioni
Considerando il traverso dotato di
rigidezza flessionale si ottiene uno
stato di sollecitazione intermedio tra
quello in cui si ha un’unica mensola
costituita dai 2 ritti funzionanti comecostituita dai 2 ritti funzionanti come
trave unica e quello in cui i ritti sono
collegati da semplici bielle e si
comportano come 2 travi separate
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Metodo di Rosman-Beck
Ora si tiene in conto la deformabilità assiale dei ritti
Si considera l’influenza della deformazione nei ritti per sforzo assiale
![Page 15: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/15.jpg)
Metodo di Rosman-BeckSi consideri lo spostamento verticale relativo totale ∆∆∆∆u delle
sezioni C e C’
Consideriamo il primo ritto avente J1, A1
soggetto a momento M1 e sforzo normale N
I
II
![Page 16: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/16.jpg)
L’incremento di spostamento in mezzeria del traverso causato
dall’incremento ∆∆∆∆T (verso x<0 ) si scrive come
(freccia mensola sotto forza concentrata lunga a/2)
Metodo di Rosman-Beck
tr
3
III EJ3
)2/a(Tu
∆−=∆
Pensando diffusa la presenza dei traversi, alla generica lamella dx compete
un taglio tdx ed un momento di inerzia Jtrdx/hInoltre, l’incremento infinitesimo di sforzo assiale dN nel ritto dN=tdx,
mentre l’allungamento infinitesimo si può scrivere come
tr
3
2
2
tr
3
tr
3
III EJ24
ha
dx
Nd
dxEJ24
hadt
hdxJ
E24
adtdu
−=−=−=
![Page 17: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/17.jpg)
Metodo di Rosman-Beck
Per la lamella lunga dx, l’allungamento si può scrivere come
tr
3
2
2
IIIIII EJ24
hdxa
dx
Nddxduu −==∆
![Page 18: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/18.jpg)
I
Metodo di Rosman-Beck
2
aa
EJ
dx)x(Mu 1
1
1I
+=∆
L’incremento di spostamento dovuto al momento flettente è
dato dalla rotazione per il braccio
IIIl momento sul ritto 1 sarà dato da
[ ] 101
x
0
01 l)x(N)x(M)tdx(l)x(M)x(M ρ+=ρ
+= ∫
21
11 JJ
J++++
====ρρρρDove il coefficiente di ripartizione è
![Page 19: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/19.jpg)
Metodo di Rosman-Beck
IIIIII uuuu ∆∆∆∆++++∆∆∆∆++++∆∆∆∆====∆∆∆∆
normalesforzodaassialeospostamentEA
dxxNu
braccioperrotazioneaa
EJdxxM
u
II
I
;)(
;)(
2
1
1
1
1
====∆∆∆∆
++++====∆∆∆∆
Lo spostamento relativo di due sezioni C e C’ distanti dx risulta
I
II
traversosultagliodiincrementodallcausatoEJ
dxhaNu
tr
III '24
3
1
′′′′′′′′−−−−====∆∆∆∆
![Page 20: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/20.jpg)
Metodo di Rosman-Beck
0
22
2
2
Ml
Ndx
Nd α=λ−
Analogamente si può scrivere la relazione per il ritto
2, per il quale lo spostamento deve essere uguale a
quello del ritto 1
Eguagliando tali spostamenti si ottiene
02M
lN
dx=λ−
++=λ=α2
21
21tot22
tot3
2tr2
lAA
)AA(J1a
hJa
lJ12dove
![Page 21: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/21.jpg)
Metodo di Rosman-Beck
)(sinhcosh xNxxAN p++++++++==== λλλλλλλλ B
L’integrale generale si scrive come
Dove l’integrale particolare nel caso di carico
distribuito uniforme
02
2
4
2
Mll
qxN p λλλλ
ααααλλλλαααα −−−−====)(
distribuito uniforme
Mentre A e B sono da determinare con le condizioni
ai limiti
![Page 22: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/22.jpg)
Metodo di Rosman-Beck
![Page 23: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/23.jpg)
Esempio
![Page 24: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/24.jpg)
Diagrammi per il calcolo semplificato
Esistono delle soluzioni dell’equazione differenziale
alla Rosman-Beck relative a casi tipici
Nel seguito analizziamo il caso di una mensola con
aperture incastrata alla base e soggetta ad un carico aperture incastrata alla base e soggetta ad un carico
uniforme
Pozzati, II B pag 345
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Diagrammi per il calcolo semplificato
Hλλλλββββ ====
Variazione dello N
con
Da cui si può
ricavare
totJJ
NlMM 101 )( ++++====
![Page 26: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/26.jpg)
Diagrammi per il calcolo semplificato
Hλλλλββββ ====
Variazione del
taglio con
![Page 27: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/27.jpg)
Osservazioni
-Se la rigidezza dei traversi tende all’infinito, anche λλλλ e ββββtendono all’infinito
Gli sforzi tendono al valore che avrebbero se il complesso dei
due ritti si comportasse come un’unica trave
-Se la rigidezza dei traversi tende a divenire molto piccola,
sforzo normale N e taglio t si annullano ed il momento flettente
tende al valore
![Page 28: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/28.jpg)
Osservazioni
L’esame dei diagrammi rivela che la
presenza dei traversi dà un
contributo significativo soltanto per
valori di ββββ circa superiori a 0.5valori di ββββ circa superiori a 0.5
Per ββββ >=10 non si commettono
errori sensibili se si considerano i
traversi infinitamente rigidi
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Setto forato di controventamento
q=0.583 t/m
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Setto forato di controventamento
![Page 31: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/31.jpg)
Setto forato di controventamento
Particolari costruttivi in tre dimensioni delle armature dei setti sismici.
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Pareti in CA, verifiche
http://www.dii.unisalento.it/c/document_library/get_file?folderId=1
530383&name=DLFE-101520.pdf
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Pareti in CA, verifiche
http://www.dii.unisalento.it/c/document_library/get_file?folderId=1
530383&name=DLFE-101520.pdf
![Page 34: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/34.jpg)
Pareti in CA, verifiche
http://www.dii.unisalento.it/c/document_library/get_file?folderId=1
530383&name=DLFE-101520.pdf
![Page 35: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/35.jpg)
Pareti in CA, verifiche
http://www.dii.unisalento.it/c/document_library/get_file?folderId=1
530383&name=DLFE-101520.pdf
![Page 36: Setti in C.A. -Trave parete forata - Unife · Setti in C.A. -Trave parete forata Rif.BibliograficoPozzati,volIIapag.379 Consideriamo una parete di irrigidimento costituito da un setto](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042601/5f5b757bbce68129463c1e99/html5/thumbnails/36.jpg)
armatura
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