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CÁLCULO 3
Departamento de CienciasJuan Carlos Broncano Torres
Derivada Parcial, Direccional, Plano Tangente y Gradiente
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¿Qué dirección debe tomar el esquiador si quiere bajar la montaña rápidamente?
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En 1696 el matemático Johann Bernoulli anunció a la comunidad matemática la solución al problema de la braquistocrona (curva que sigue el descenso más rápido cuando existe gravedad y que es objeto de estudio en el cálculo de variaciones), mostrando que la solución era una cicloide. Leibniz, Newton, Jakob Bernoulli y Guillaume de l'Hôpital, encontraron la solución del problema enunciado por Bernoulli.
¿Es posible Encontrar una dirección de descenso mas rápido sobre una
superficie ?
Curva Maravillosa: Braquistócrona
Un curva braquistócrona, o curva del descenso más rápido, es la curva entre dos puntos que es recorrida en menor tiempo, por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero, y que debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción.
Cicloide generada por una circunferencia.
Comparación entre una trayectoria braquistócrona, y otras dos trayectorias posibles.
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Logros de la sesión:
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a la gestión e ingeniería a partir de la derivada parcial y direccional usando el cálculo de la gradiente, e interpretando su resultado con las propiedades físicas que el tiene.
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DERIVADAS PARCIALES
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NOTACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES
Ejemplo
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DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
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PLANO TANGENTE
Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.
ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE
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Ejemplo Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide en el punto
RECTA NORMAL Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.
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LA GRADIENTE
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PROPIEDADES DE LA GRADIENTE
Ejemplo
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Determine la ecuación del plano tangente y la recta normal al hiperboloide de dos mantos en el puntoSoluciónHaciendo: 1),,( 222 yxzzyxFtenemos que:
6
2
1
2
42
22
zz
yy
xx
zF
yF
xF
Por tanto, la ecuación del plano tangente es: 062 zyx
Por otro lado, la ecuación de la recta normal es :
626
42
21
tz
ty
tx
Ejemplo
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Ejemplo Hallar el o los puntos de la esfera en los cuales el plano
tangente es paralelo al planoSolución
Sea uno de estos puntos, entonces por estar en la esfera: Por otro lado, por ser el plano tangente a la esfera en el punto
paralelos, sus vectores normales son paralelos, es decir : y el plano
Entonces se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
De donde obtenemos que los puntos que buscamos son:
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Ejemplo ¿En qué punto de la superficie la recta normal es paralela al vector
?
Solución Sea el punto que buscamos. Si la recta normal es paralela al vector entonces su vector director también es paralelo a ;con lo cual, si :
entonces :
Evaluando en esta sobre la superficie, por lo que satisface su ecuación :
Obtenemos el siguiente sistema:
Y así, el punto buscado es:
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DERIVADA DIRECCIONAL
La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u está dada por:
s
y)f(x, - ) suy ,su x( f lim y)f(x, 21
0s
u
D
si el límite existe.
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Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u y se cumple:
2y1x u y)(x, f u y)(x, f y)f(x, u
D
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# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL
1515.33 PURC
PURCELL, EDWIN J.
Cálculo Diferencial E Integral
Pearson Educación
2515
STEW/M 2002
STEWART, JAMES
Cálculo Multivariable
Cuarta edición, Mexico 2001, Edit. Thomson
3 515 HOFF/C 2006
HOFFMANN, LAURENCE D.
Cálculo Aplicado Para Administración,
Economía Y Ciencias Sociales
Octava edición, México
2007,.Mcgrawhill
BIBLIOGRAFÍA
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http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/SUPERIOR/derivada-direccional/node1.html