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Series de Series de FourierFourier
Contenido
1. Funciones Periódicas
2. Serie trigonométrica de Fourier
3. Componente de directa, fundamental y armónicos
4. Ortogonalidad de las funciones seno y coseno
5. Cálculo de los coeficientes de la Serie de Fourier
6. Simetrías en señales periódicas
PrePreáámbulombulo
El análisis de Fourier fue introducido en 1822 en la “Théorie analyitique de la chaleur” para tratar la solución de problemas de valores en la frontera en la conducción del calor.
Más de siglo y medio después las aplicaciones de esta teoría son muy bastas: Sistemas Lineales, Comunicaciones, Física moderna, Electrónica, Óptica y por supuesto, Redes Eléctricas entre muchas otras.
2
Funciones PeriFunciones Perióódicasdicas
Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente propiedad para todo valor de t.
f(t)=f(t+T)
A la constante mínima para la cual se cumple lo anterior se le llama el periodo de la función
Repitiendo la propiedad se puede obtener:
f(t)=f(t+nT), donde n=0,±1, ± 2, ±3,...
Funciones PeriFunciones Perióódicasdicas
Ejemplo: ¿Cuál es el período de la función
Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir:
Pero como se sabe cos(x+2kπ)=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que
T/3=2k1π, T/4=2k2πEs decir,
T = 6k1π = 8k2πDonde k1 y k2 son enteros,El valor mínimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es decir,T=24π
)?cos()cos(f(t) 4t
3t +=
)cos()cos(T)f(t 4Tt
3Tt ++ +=+ )cos()cos(f(t) 4
t3t +==
3
Funciones PeriFunciones Perióódicasdicas
Gráfica de la función
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24π
T
)cos()cos(f(t) 4t
3t +=
Funciones PeriFunciones Perióódicasdicas
Podríamos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno produce una función periódica.
Esto no es así, por ejemplo, consideremos la funciónf(t) = cos(ω1t)+cos(ω2t).
Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que
ω1T= 2πm, ω2T=2πnDe donde
Es decir, la relación ω1/ ω2 debe ser un número racional.nm
2
1 =ωω
4
Funciones PeriFunciones Perióódicasdicas
Ejemplo: la función cos(3t)+cos(π+3)t no es periódica, ya que no es un número racional.
π+=
ωω
33
2
1
0 5 10 15 20 25 30-2
-1
0
1
2f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)
t
f(t)
Funciones PeriFunciones Perióódicasdicas
Tarea: Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si es que son periódicas:
1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero.
2) f(t)= sen2(2πt)
3) f(t)= sen(t)+sen(t+π/2)
4) f(t)= sen(ω1t)+cos(ω2t)
5) f(t)= sen(√2 t)
5
Serie TrigonomSerie Trigonoméétrica de trica de FourierFourier
Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier
f(t) = ½ a0 + a1cos(ω0t)+a2cos(2ω0t)+...
+ b1sen(ω0t)+b2sen(2ω0t)+...
Donde ω0=2π/T.Es decir,
])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n
0n0n021 ∑ ω+ω+=
∞
=
Serie TrigonomSerie Trigonoméétrica de trica de FourierFourier
Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el término ancos(nω0t)+bnsen(nω0t) se puede escribir como
Podemos encontrar una manera más compacta para expresar estos coeficientes pensando en un triángulo rectángulo:
ω
++ω
++ )tn(sen
ba
b)tncos(
ba
aba 02
n2n
n02
n2n
n2n
2n
6
Serie TrigonomSerie Trigonoméétrica de trica de FourierFourier
Con lo cual la expresión queda
n2n
2n
n
n2n
2n
n
senba
b
cosba
a
θ=+
θ=+
an
bn
2n
2nn baC +=
θn
[ ])tn(sensen)tncos(cosC 0n0nn ωθ+ωθ
[ ])tncos(C n0n θ−ω=
Serie TrigonomSerie Trigonoméétrica de trica de FourierFourier
Si además definimos C0=a0/2, la serie de Fourierse puede escribir como
Así,
y
[ ]∑∞
=
θ−ω+=1n
n0n0 )tncos(CC)t(f
2n
2nn baC +=
=θ −
n
n1n a
btan
7
Serie TrigonomSerie Trigonoméétrica de trica de FourierFourier
Tarea:
Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y θn, de manera que la serie de Fourier se pueda escribir como
[ ]∑∞
=
θ+ω+=1n
n0n0 )tn(senCC)t(f
Componentes y armComponentes y armóónicasnicas
Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias ωn=nω0.
A la componente sinusoidal de frecuencia nω0: Cncos(nω0t+θn) se le llama la enésima armónicade f(t).
A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)
A la frecuencia ω0=2πf0=2π/T se le llama frecuencia angular fundamental.
8
Componentes y armComponentes y armóónicasnicas
A la componente de frecuencia cero C0, se le llama componente de corriente directa (cd) y corresponde al valor promedio de f(t) en cada periodo.
Los coeficientes Cn y los ángulos θn son respectiva-mente las amplitudes y los ángulos de fase de las armónicas.
Componentes y armComponentes y armóónicasnicas
Ejemplo: La función
Como ya se mostró tiene un periodo T=24π, por lo tanto su frecuencia fundamental es ω0=1/12 rad/seg.
Componente fundamental es de la forma:
0*cos(t/12).
Tercer armónico:
cos(3t/12)=cos(t/4)
Cuarto armónico:
Cos(4t/12)=cos(t/3)
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24π
)cos()cos(f(t) 4t
3t +=
9
Componentes y armComponentes y armóónicasnicas
Ejemplo: Como puede verse, la función anterior tiene tantas partes positivas como negativas, por lo tanto su componente de cd es cero, en cambio
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24π
)cos()cos(1f(t) 4t
3t ++=
Tiene tantas partes
arriba como abajo de 1 por lo tanto, su componente de cd es 1.
Componentes y armComponentes y armóónicasnicas
Tarea: ¿Cuál es la componente fundamental, las armónicas distintas de cero y la componente de directa de
a) f(t) = sen2t
b) f(t) = cos2t ?
Justifícalo además mostrando la gráfica de las funciones y marcando en ellas el periodo fundamental y la componente de cd.
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OrtogonalidadOrtogonalidad de senos y de senos y cosenoscosenos
Se dice que un conjunto de funciones fk(t) son ortogonales en el intervalo a<t<b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen
=
≠=∫
nmparar
nmpara0dt(t)(t)ff
n
b
anm
OrtogonalidadOrtogonalidad de senos y de senos y cosenoscosenos
Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo –1< t <1, ya que
Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –π/2< t <π/2, ya que
04t
dttdttt1
141
1
31
1
2 ==∫=∫−−−
02tsen
sentcostdt2
==∫π−
ππ
π−
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OrtogonalidadOrtogonalidad de senos y de senos y cosenoscosenos
Tarea:
Dar un ejemplo de un par de funciones que sean ortogonales en el intervalo:
a) 0<t<1
b) 0<t<π
OrtogonalidadOrtogonalidad de senos y de senos y cosenoscosenos
Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2<t< T/2.1,cos1,cosωω00t, cos2t, cos2ωω00t, cos3t, cos3ωω00t,...,sent,...,senωω00t,sen2t,sen2ωω00t,sen3t,sen3ωω00t,...t,...(para cualquier valor de ω0=2π/T).
Para verificar lo anterior podemos probar por pares:1.- f(t)=1 Vs. cos(mω0t):
Ya que m es un entero.
0m
)(msen2m
T/2)(msen2m
t)(msent)dtcos(m
00
0
2/T
2/T
0
02/T
2/T0 =
ωπ
=ωω
=ωω
=∫ ω−−
12
OrtogonalidadOrtogonalidad de senos y de senos y cosenoscosenos
2.- f(t)=1 Vs. sen(mω0t):
3.- cos(mω0t) Vs. cos(nω0t):
0T/2)]m(cos-T/2)m[cos(m
1
mt)(mcos
t)dtsen(m
000
2/T
2/T
0
02/T
2/T0
=ωωω−
=
=ω
ω−=∫ ω
−−
≠=
≠=∫ ωω
− 0nmpara2/T
nmpara0t)dtt)cos(ncos(m
2/T
2/T00
OrtogonalidadOrtogonalidad de senos y de senos y cosenoscosenos
4.- sen(mω0t) Vs. sen(nω0t):
5.- sen(mω0t) Vs. cos(nω0t):
n,mcualquierpara0t)dtt)cos(nsen(m2/T
2/T00 =∫ ωω
−
≠=
≠=∫ ωω
− 0nmpara2/T
nmpara0t)dtt)sen(nsen(m
2/T
2/T00
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OrtogonalidadOrtogonalidad de senos y de senos y cosenoscosenos
Para calcular las integrales de los casos 3, 4 y 5, son útiles las siguientes identidades trigonométricas:
cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]
Además:sen2θ = ½ (1-cos2θ) cos2θ = ½ (1+cos2θ)
CCáálculo de los coeficientes de la Serielculo de los coeficientes de la Serie
Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?
Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...
Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno comentada anteriormente.
])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n
0n0n021 ∑ ω+ω+=
∞
=
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CCáálculo de los coeficientes de la Serielculo de los coeficientes de la Serie
Multiplicando ambos miembros por cos(nω0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
Similarmente, multiplicando por sen(nω0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
Similarmente, integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
,...3,2,1,0ndt)tncos()t(fa2/T
2/T0T
2n =∫ ω=
−
,...3,2,1ndt)tn(sen)t(fb2/T
2/T0T
2n =∫ ω=
−
∫=−
2/T
2/TT2
0 dt)t(fa
CCáálculo de los coeficientes de la Serielculo de los coeficientes de la Serie
El intervalo de integración no necesita ser simétrico respecto al origen.
Como la ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo:
(de t0 a t0+T, con t0 arbitrario)
las fórmulas anteriores pueden calcularse en cualquier intervalo que cumpla este requisito.
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CCáálculo de los coeficientes de la Serielculo de los coeficientes de la Serie
Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T:
Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2 es
1f(t)
t. . . -T/2 0 T/2 T . . .
-1
<<
<<−−=
2T
2T
t0para1
0tpara1)t(f
CCáálculo de los coeficientes de la Serielculo de los coeficientes de la Serie
Coeficientes an: ∫ ω=−
2/T
2/T0T
2n dt)tncos()t(fa
∫ ω+∫ ω−=
−
2/T
00
0
2/T0T
2 dt)tncos(dt)tncos(
ω
ω+ω
ω−=
− 0
2/T
002/T
0
00
T2 )tn(sen
n1
)tn(senn1
0npara0 ≠=
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CCáálculo de los coeficientes de la Serielculo de los coeficientes de la Serie
Coeficiente a0: ∫=−
2/T
2/TT2
0 dt)t(fa
∫+∫ −=
−
2/T
0
0
2/TT2 dtdt
+−=
− 0
2/T
2/T
0
T2 tt
0=
CCáálculo de los coeficientes de la Serielculo de los coeficientes de la Serie
Coeficientes bn: ∫ ω=−
2/T
2/T0T
2n dt)tn(sen)t(fb
∫ ω+∫ ω−=
−
2/T
00
0
2/T0T
2 dt)tn(sendt)tn(sen
ω
ω−ω
ω=
− 0
2/T
002/T
0
00
T2 )tncos(
n1
)tncos(n1
[ ])1)n(cos())ncos(1(n1
−π−π−π
=
[ ] 0npara))1(1n2 n ≠−−π
=
17
CCáálculo de los coeficientes de la Serielculo de los coeficientes de la Serie
Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourierqueda como
En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para ω0=π, es decir, T=2:
[ ]...)t5(sen)t3(sen)t(sen4
)t(f 051
031
0 +ω+ω+ωπ
=
CCáálculo de los coeficientes de la Serielculo de los coeficientes de la Serie
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Componentes de la Serie de Fourier
t
Componentes
Suma
fundamental
tercer armónico
quinto armónico
septimo armónico
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CCáálculo de los coeficientes de la Serielculo de los coeficientes de la Serie
Tarea: Encontrar la serie de Fourier para la siguiente señal senoidal rectificada de media onda de periodo 2π.
-6 -4 -2 0 2 4 6-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Senoidal rectificada de media onda
t
f(t)
Funciones Pares e ImparesFunciones Pares e Impares
Una función (periódica o no) se dice función par(o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si f(t) = f(-t)
ππππ 2π2π2π2π
f(t)
t −π−π−π−π −2π−2π−2π−2π
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Funciones Pares e ImparesFunciones Pares e Impares
En forma similar, una función f(t) se dice función impar o con simetría impar, si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)
ππππ 2π2π2π2π
f(t)
t −π−π−π−π −2π−2π−2π−2π
Funciones Pares e ImparesFunciones Pares e Impares
Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t+1/tg(t) = 1/(t2+1), Solución:Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) es función impar.Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), por lo tanto g(t) es función par.
20
Funciones Pares e ImparesFunciones Pares e Impares
Ejemplo: ¿La función h(t)=f(1+t2) es par o impar?, donde f es una función arbitraria.Solución:Sea g(t)= 1+t2, Entonces h(t)=f(g(t))Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)),Pero g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t),finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t) es función par, sin importar como sea f(t).
Funciones Pares e ImparesFunciones Pares e Impares
Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las siguientes funciones son pares:h(t) = sen (1+t2)h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2)h(t) = cos (2+t2)+1h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2etc...Ya que todas tienen la forma f(1+t2)
21
Funciones Pares e ImparesFunciones Pares e Impares
Como la función sen(nω0t) es una función imparpara todo n≠0 y la función cos(nω0t) es una función par para todo n, es de esperar que:
• Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrátérminos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n
• Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n
Funciones Pares e ImparesFunciones Pares e Impares
Por ejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:
Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:
1f(t)
t. . . -T/2 0 T/2 T . . .
-1
[ ]...)t5(sen)t3(sen)t(sen4
)t(f 051
031
0 +ω+ω+ωπ
=
22
• Filtro: Circuito que actúa de forma selectiva sobre las distintas componentes armónicas de una señal, según sea su frecuencia. Puede ser:Frecuemcia de corte: a) Paso baja
|T(wc)|=Tmax/√2 b) Paso altac) Paso bandad) Elimina banda
• Ejemplo:
C
R
+
-
Vs
vo
C
S
o
jV
VT
ωω
ω+
==1
1~
~)( con
RCC
1=ω
∑∞
=
+=1
0 )sin()(n
nnS tnVtv φω
Aplicamos el principio de superposición: Si suponemos que sólo actúa el armónico n-ésimo,
−
+
=+
== −
C
n
C
nj
n
C
j
non
n
n
VeV
nj
eVnTV nn
ωω
φ
ωω
ωω
ω φφ 01
2
020
0 tan
11
1)(
~
( )
−=+
+
== −∞
=
∞
=∑∑
C
nnn
n
C
n
n
ono
ncontn
n
Vtvtv
ωω
φθθω
ωω
010
12
021
tansin
1
)()(
Señal periódica, no armónica
Entrada onda cuadrada y filtro con :
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10-3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10-3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
C
R
+
-
Vs
vo
0ωω =C
23
1E-3 0,01 0,1 1 10 100 1000log(ω/ω
c)
Fa
se
(ra
d)
-60
-50
-40
-30
-20
-10
01E-3 0,01 0,1 1 10 100 1000
log(ω/ωc)
|T|
(dB
)
0
2/π−
Ejemplo 1:
C
R
+
-
Vs
vo
C
S
o
jV
VT
ωω
ω+
==1
1~
~)( con
RCC
1=ω
0111
1)( =≈
+=⇒<<
C
C
j
T
ωω
ωωω
−=≈+
=⇒>>2
1
1
1)(
πωω
ωω
ωω
ωωω C
CC
C
jj
T
−=+
=⇒=42
111
)(π
ωωωj
TC
0,0)(log20 ≈≈⇒ TT ϕω
( ) ( )2
,log20log20)(log20π
ϕωωω −≈−≈⇒ TCT
( )4
,32log20)(log20π
ϕω −≈−=−=⇒ TdBT
(recta de pendiente –20 dB/década)
Respuesta paso baja
-60
-50
-40
-30
-20
-10
01E-3 0,01 0,1 1 10 100 1000
log(ω/ωc)
|T|
(dB
)
1E-3 0,01 0,1 1 10 100 1000log(ω/ω
c)
Fa
se
(ra
d)
0
2/π
Ejemplo 2:
L
R
+
-
Vs
vo
C
C
S
o
j
j
V
VT
ωω
ωω
ω+
==1
~
~)( con
L
RC =ω
0111
)( =≈+
=⇒>>
C
CC
j
j
T
ωω
ωω
ωωω
=≈+
=⇒<<21
)(π
ωω
ωω
ωω
ωω
ωωωCC
C
CC j
j
j
T
=
−=+
=⇒=42
1422
11
)(πππ
ωωωj
jTC
0,0)(log20 ≈≈⇒ TT ϕω
( ) ( )2
,log20log20)(log20π
ϕωωω ≈−≈⇒ TCT
( )4
,32log20)(log20π
ϕω +≈−=−=⇒ TdBT
(recta de pendiente +20 dB/década)
Respuesta paso alta
24
2.0=δ1=δ
2
1=δ
2.0=δ
1=δ2
1=δ
0
π−
0,01 0,1 1 10 100-80
-60
-40
-20
0
20
log(ω/ω0)
|T|
(dB
)0,01 0,1 1 10 100
log(ω/ω0)
Fa
se
(ra
d)
Ejemplo 3:LR
+
-
Vs C
vo
RCjLC
CjjLR
Cj
V
VT
S
O
ωωω
ω
ωω+−
=++
== 211
1
1
~
~)(
020
20
21
1)(
2,
1
ωω
δωω
ωδωj
TL
CR
LC +−=⇒≡≡
• Asíntotas: 011)(0 =≈⇒<< ωωω T
πωω
ωω
ωωω 2
20
2
20
0 )( =−≈⇒>> T
( ) ( )ωωω log40log40)(log20 0 −≈⇒ T
(Recta de pendiente -40 dB/década)
• Máximo: 0)(
,
41
1)(
max
20
22
2
20
2
=
+
−
=ω
ω
ω
ωω
δωω
ωd
TdT
1,02
1maxmax ==⇒≥ Tωδ
2max2
0max12
1,21
2
1
δδδωωδ
−=−=⇒< T
Frecuencia de resonancia
3 dB
2/π
2/π−
2.0=δ1=δ
2
1=δ
2.0=δ
1=δ
2
1=δ
0,01 0,1 1 10 100-60
-40
-20
0
log(ω/ω0)
|T|
(dB
)
0,01 0,1 1 10 100log(ω/ω
0)
Fa
se
(ra
d)
Ejemplo 4: vo
LC
R
+
-
Vs
020
20
221
2
1)(
ωω
δωω
ωω
δ
ωω
ω
ωj
j
R
jLLC
R
jL
T
+−=
+−=
C
L
R
LC
21
10
=
=
δ
ω
Respuesta paso banda
• Asíntotas:0
0 2)(ωω
δωωω jT ≈⇒<<
• Máximo en ω = ω0: 1)( 0 =ωT
ωω
δωωω 00 2)( jT −≈⇒>>
|T(ω)| ≈ Rectas de pendiente +20 dB/década y –20 dB/década que se cortan en
2
1
41
2)(
20
22
2
20
2
0 =
+
−
=
ωω
δωω
ωω
δωT
( )δ2log20
• Ancho de banda:
⇒ Dos soluciones: ωL y ωH
( ) ( )δωωδωωδ +≈−≈⇒<< 1,11 00 HLSi
RCR
LQ
Q
BW LH
0
0
00
1,
12
ωω
δω
ωωω
====−
=
Q = Factor de calidad
25
4.7.- Potencia en el régimen sinusoidal permanente. Potencia activa y reactiva. Factor de potencia• Potencia instantánea:
• Potencia media o activa:
)()()( tvtitp =
∫==T
dttvtiT
tpP0
)()(1
)(
)cos()cos()()cos()(,)cos()( θωωθωω −=⇒−== ttVItptItitVtv mmmm
[ ]θωωθω sin)sin()cos(cos)(cos)( 2 tttVItp mm +=
⇒=⇒ θcos21
)( mmVItp θcosrmsrmsVIP = cosθ = Factor de potencia
• Con fasores:
( )VISeIIVVSi j
rmsrms
~~~~,
~ *≡⇒== − θ
Definimos el fasor Potencia Aparente: θθ j
rmsrms
j
mm eVIeVISVIS ==⇒=2
1~~~2
1~ *
0)sin()cos(,21
)(cos2 == ttt ωωω
Potencia activa:
Potencia reactiva:
[ ] θcos~
Re rmsrmsVISP ==
[ ] θsin~
Im rmsrmsVISQ ==
• Resistor:
• Condensador:
• Inductor:
0,0 ==⇒= QVIP rmsrmsθ
rmsrmsVIQP −==⇒−= ,02
πθ
rmsrmsVIQP ==⇒= ,02
πθ
4.7.- Acoplamiento magnético. Transformador lineal
• Existe acoplamiento magnético entre dos o más inductores que comparten un núcleo común: la corriente que circula por uno de ellos genera un campo magnético en el interior del núcleo. Si el flujo de ese campo magnético es variable en el tiempo, induce una diferencia de potencial en los demás inductores• El elemento resultante del acoplamiento de dos o más inductores se llama transformador• El transformador es lineal si las características de su núcleo no dependen del valor del campo magnético que fluye en su interior
• Modelo: + +
− −1v 2v
1i 2i
1L 2L
M
dt
diM
dt
diLv
dt
diM
dt
diLv
1222
2111
+=
+= 121
≤
=
k
LLkM
Transformador sin pérdidas de flujo: k = 1
• Con fasores:
1222
2111
~~~
~~~
IjMIjLV
IjMIjLV
ωω
ωω
+=
+=
221
22
1
2 nN
N
L
L==
26
+
-
V1Z
21 :NN
1I 2I
−
+
2V1222
2111
22
~~~
~~~
~~
IjMIjLZI
IjMIjLV
ZIV
ωω
ωω
+=−
+=
−=
( ) 221
2111
~~0
~~~
IZjLIjM
IjMIjLV
++=
+=
ωω
ωω
( ) ( ) ( ) ZjLkLLMZjLjLZjLjM
jMjLωωωωω
ωωωω
122
212
212
1 1 +−−=++=+
=∆
( )( ) ZjLkLL
ZjLVZjL
jMV
Iωω
ωωω
122
21
212
1
1 1
~0
~
~+−−
+=
∆
+=
( ) ZjLkLL
MVjjM
VjL
Iωω
ωωω
122
21
1
11
2 1
~0
~
~+−−
−=
∆=
• Transformador sin pérdidas: ( )ZjL
ZjLVIk
ωω
1
211
~~
1+
=⇒=ZL
MVI
ωω
1
12
~~ −
=
nN
N
V
V
L
LV
L
LLV
L
MVZIV ==⇒===−=
1
2
1
2
1
21
1
211
1
122 ~
~~
~~~~
• Transformador ideal:
ZL
LVIZjLk
1
2112
~~
,1 ≈⇒>>= ωnN
N
L
L
I
I
ZL
MVI
1~
~~~
2
1
2
1
1
2
1
12 ===−⇒
−=
• Impedancia vista desde el primario en un transformador ideal:2
2
1
1
11 ~
~
n
ZZ
L
L
I
VZ ==≡