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Captulo 3
Teoria do Momento AngularModern Quantum Mechanics - J.J. Sakurai (Revised Edition)
3.1 Rotaes e Relaes de Comutao do Momento AngularRotaes Infinitesimais versus Rotaes FinitasNotao: Rx - rotao de um ngulo em torno do eixo x.
Fsica clssica
Rotaes em torno de um mesmo eixo comutam.
Exemplo. Rz/6 Rx/3 Rx/3 Rz/6 Rx/2. Rotaes em torno de eixos diferentes no comutam.
Exemplo. Rz/2 Rx/2 Rx/2 Rz/2.
Rz(/2) Rx(/2)
Rx(/2) Rz(/2)
x
z z z
z z z
xx x
xx
Observe na figura que os resultados so diferentes.
Por que rotaes em torno de eixos diferentes no comutam?
Representao matricial. No espao euclidiano, as rotaes so representadas por matrizes ortogonais. Sejao vetor V, cujas componentes so Vx,Vy,Vz. Efetuando-se uma rotao neste vetor, suas novas componentesVx ,Vy ,Vz esto relacionadas com as antigas, atravs da matriz ortogonal R
Vx
Vy
Vz R
VxVyVz
RRT RTR 1onde T significa transposta de uma matriz. Para transformaes ortogonais vale a propriedade
Vx2 Vy2 Vz2 Vx2 Vy2 Vz2 .
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Conveno: as rotaes afetam um sistema fsico, mantendo-se os eixos coordenados inalterados.
Rotao em torno do eixo z. Seja Rz uma rotao em torno do eixo z por um ngulo no sentido positivo(regra da mo direita).
Rz cos sen 0sen cos 0
0 0 1.
Rotaes infinitesimais. Seja Rz onde um ngulo infinitesimal. Expandindo Rz at segunda ordem edesprezandos os termos de ordens mais elevadas, encontramos
Rz 1 22 0
1 22 00 0 1
.
De maneira similar:
Rx 1 0 0
0 1 22 0 1 22
e
Ry 1 22 0
0 1 0
0 1 22Relao de comutao entre rotaes. Sejam os produtos
RxRy 1 22 0 2 1 22 1 2
e
RyRx 1 22
2 0 1 22 1 2
Ento
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 2
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RxRy RyRx
1 22 1
22 0
2 2 0 1 22 1
22
1 2 1 2
0 2 02 0 00 0 0
Rz2 1
onde todos os termos de ordem mais elevada que 2 foram ignorados. Por exemplo, o termo em Rz do tipo1 x22 para x
2 nos daria 1 42 1.Como podemos representar
1 Rqq0onde Rqq0 significa uma rotao de 0 em torno de qualquer eixo, ento
RxRy RyRx Rz2 Rqq0.
Mecnica Quntica
Rotaes infinitesimais. Aplicando uma rotao no sistema fsico, espera-se que o estado ketcorrespondente ao sistema girado seja diferente em relao ao sistema original.
DR operador rotao associado a uma rotao R caracterizada por uma matriz ortogonal 3 3. Esteoperador depende da dimensionalidade N do espao ket em questo. Para N 2, DR representado poruma matriz 2 2.Voltando ao argumento inicial, podemos escrever:
|R DR |Analogia com translao e evoluo temporal. Para ambos os casos, os operadores infinitesimais foramescritos na forma
U 1 iGonde G um operador hermitiano, G G. Especificamente(a) Translao dx na direo x
G px , dx.
(b) Evoluo temporal para dt
G H , dt.
(c) Rotao infinitesimal ?
Na clssica, o momento angular gerador de rotaes.
Jk projeo do momento angular no eixo k.Rotao infinitesimal em torno do eixo k por um ngulo d ser:
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G Jk , d
Caso geral: rotao em torno de um eixo caracterizado por um vetor unitrio n por um ngulo infinitesimal d.Dn,d 1 i J n .
Esta equao define momento angular.
Rotao finita. Uma rotao finita pode ser obtida, compondo-se sucessivamente rotaes infinitesimais emtorno do mesmo eixo. Por exemplo, rotao de um ngulo em torno do eixo z
Dz limN 1 iJz
N
N
exp iJz 1 iJz
Jz2222
Relaes de comutao do momento angular. Vamos supor que DR tenha as mesmas propriedades degrupo que R
Identidade: R 1 R DR 1 DRFechamento: R1R2 R3 DR1DR2 DR3Inversos: RR1 1 DRD1R 1
R1R 1 D1RDR 1Associatividade: R1R2R3 DR1DR2DR3
R1R2R3 DR1DR2DR3 R1R2R3 DR1DR2DR3.
Comutao para R:RxRy RyRx Rz2 1
Comutao para DR:DxDy DyDx Dz2 1
Mas:
Dx exp iJx 1 iJx
Jx2222
Dy exp iJy 1 iJy
Jy2222
Dz2 exp iJz2
1 iJz2
Logo,
DxDy DyDx 1 iJz2
1 iJz
2
Tambm, podemos reescreverDxDy DyDx em termos de J
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1 iJx Jx2222 1
iJy
Jy2222
1 iJy Jy2222 1
iJx
Jx2222
1 iJy Jy2
22 2 iJx
JxJy2
2 Jx222
2
1 iJx Jx2
22 2 iJy
JyJx2
2 Jy2
22 2
JxJy2 2 JyJx2
2
JxJy JyJx 22Igualando ambos os membros
JxJy JyJx 22 iJz
2
encontramos,
JxJy JyJx iJz.Isto representa o comutador de Jx com Jy
Jx,Jy iJz.Repetindo os mesmos argumentos para rotaes em torno dos demais eixos, obtm-se
Ji,Jj iijkJkconhecidas como relaes de comutao fundamentais do momento angular.
Resumo dos argumentos usados:
Jk o gerador de rotaes em torno do eixo k.
Rotaes em torno de eixos diferentes no comutam.
3.2 Sistemas de Spin e Rotaes FinitasJ vimos que os Sk tambm satisfazem as relaes de comutao do momento angular.
Agora considere uma rotao por um ngulo finito em torno do eixo z de um sistema de spin 1/2 que, antesda rotao estava num estado |. Aps a rotao,
|R Dz|com
Dz exp iSz .
Valor esperado de Sx aps a rotao. Sob uma rotao o valor esperado muda de acordo com
Sx R | Sx | R |Dz Sx Dz | Devemos ento calcular:
Dz Sx Dz exp iSz Sx expiSz .
Mtodo 1 - Forma especfica de Sx
Usando para Sk a representao na base |,Prof. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 5
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Sx 2 || || ,Sy 2i || || .Sz 2 || || .
encontramos:
exp iSz Sx expiSz
2 expiSz || ||exp
iSz
2 ei/2||ei/2 ei/2||ei/2
2 ei || ei||
2 ||cos i sen ||cos i sen 2 || || cos i || || sen
22 Sx cos i
2i Sx sen
Sx cos Sx senMtodo 2 - Relaes de comutao
Usando (2.3.47), encontramos
exp iSz Sx expiSz
Sx iiSy
Sz,Sx 12!i
2
2Sx
Sz,iSy
Sz,Sx
13!i
3
i3Sy
Sz,
2Sx
Sz, Sz,Sx
As potncias pares do Sx enquanto que as mpares, Sy. Colecionando esses termos, encontra-se
exp iSz Sx expiSz
Sx 1 2
2! Sy 33!
Sx cos Sy sen.Voltando equao do valor esperado, encontra-se
Sx R R | Sx | R |Dz Sx Dz | Sx cos Sy sen
onde Sk o valor esperado no estado ket original.Da mesma forma, podemos mostrar que:
Sy R Sy cos Sx senCaptulo 3 Teoria do Momento Angular 6
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Para Sz, enconta-se
Sz R Sz Ou seja, o valor esperado de Sz no muda, uma vez que este operador comuta comDz.Observao: Estes resultados mostram que, quando aplicamos o operador rotaoDz no estado ket, o valoresperado de S sofre uma rotao em torno do eixo z por um ngulo . Em outras palavras, o valor esperado dooperador spin comporta-se como se fosse um vetor clssico sob rotao:
Sk R l
Rkl Sl
Momento angular. Do mtodo 2, fica claro que esta propriedade tambm vale para o momento angular J. Emgeral
Jk R l
Rkl Jl
At aqui tudo como esperado. Vamos examinar com mais detalhe o efeito do operador rotao sobre um ketgeral
| a
|a a | || ||
Vemos que
exp iSz | expiSz || exp
iSz ||
ei/2|| ei/2||.A presena do arco metade /2 tem uma consequncia extremamente interessante.Rotao por 2. Neste caso,
|Rz2 ei2/2|| ei2/2|| || || |
Assim, um ket girado de 360 difere do ket original pelo sinal negativo. Precisamos de uma rotao de 720( 4) para obtermos o mesmo ket com o sinal positivo.Valor esperado. Este sinal negativo no aparece no valor esperado de S porque S fica de sanduiche entre |e |, ambos dos quais mudam de sinal.Este sinal negativo sempre observado?
Precesso de Spin RevisitadaHamiltoniano bsico do problema. Vamos analisar novamente este problema de um outro ponto de vista:
H emec S B Szonde
|e|Bmec .
Operador evoluo temporal. Baseado neste Hamiltoniano, o operador evoluo temporal dado por
Ut, 0 exp iHt expiSzt
.
Comparao de Ut, 0 comDz. Comparando Ut, 0 comDz dado por
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Dz exp iSzvemos que o operador evoluo temporal precisamente o mesmo que o operador rotao com substitudopor t.Por que o spin precessa? Desta maneira vemos imediatamente porque este Hamiltoniano causa precessodo spin. Usando os resultados da rotao, obtm-se
Sx t Sx t0 cost Sy t0 sentSy t Sy t0 cost Sx t0 sentSz t Sz t0
Depois de t 2/, o spin retorna sua direo original.Evoluo temporal do estado ket. Vamos olhar para a evoluo temporal do prprio estado ket que, em t 0, dado por | || ||. Ento, aps o tempo t teremos
|, t0 0; t eit/2|| eit/2||Vemos que, para t 2/,
|, t0 0; t 2/ ei2/2|| ei2/2|| ei|| ei|| |.
Assim, devemos aguardar at t 4/ para obter o estado ket original com o mesmo sinal.Em resumo o perodo para o estado ket duas vezes maior que o perodo para a precesso de spin
precesso 2estado ket 4
Exp. de Interferometria de Nutrons para Estudar RotaesComo detectar o sinal negativo no ket sujeito a uma rotao de 2?J sabemos que, se todos os estados kets no universo fossem multiplicados por um sinal negativo, no haverianenhuma maneira de detect-lo. A nica maneira de detectar o predito sinal negativo, seria atravs de umacomparao entre um estado que sofreu uma rotao e um outro que no foi submetido rotao.
Como na interferncia quntica induzida por gravidade, discutida na Se. 2.6, contamos com as qualidades dainterferometria de nutrons para verificar esta extraordinria predio da mecnica quntica.
A experincia. Um feixe de nutrons termalizados dividido em duas partes A e B (ver. figura abaixo).
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 8
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lA
BB
A
B
Regio deinterferncia
Trajeto A - o feixe atravessa uma regio sem campo magntico.
Trajeto B - o feixe atravessa uma pequena regio de comprimento l onde est presente um campo magnticoesttico.
Estado ket via trajeto B. O estado ket via trajeto B sofre uma variao de fase eiT/2, onde T tempo gastopara atravessar a regio de comprimento l onde existe um campo magntico B 0 e a frequncia deprecesso de spin,
gneBmpc , gn 1,91
para o nutron com momento magntico gne2mpc .
Regio de interferncia. Quando os trajetos A e B se encontram novamente na regio de interferncia aamplitude do nutron chegar via trajeto B
c2 c2B 0eiT/2enquanto que a amplitude do nutron chegar via A c1, independente de B.
Interferncia. Assim, a intensidade observvel na regio de interferncia deve exibir uma variao senoidal
cos T2 onde a diferena de fase entre c1 e c2B 0.Ajustes no experimento. Na prtica, o tempo T uma quantidade fixa, mas a frequncia pode ser variada,de acordo com o valor do campo B. A diferena de fase, em funo do campo B, dada por
egnBlconde l o comprimento da pequena regio que contm o campo. Ento, o valor de B necessrio para umaprecesso de 4 (perodo completo)
B 4cegnlVemos ento que de 4 a rotao necessria para que o ket retorne com o mesmo sinal, como requeridopelo formalismo.
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Formalismo de Pauli de Duas ComponentesManipulaes com os kets de estado do spn 1/2 podem ser convenientemente conduzidas, usando-se oformalismo de spinor introduzido por Pauli (1926). J sabemos:
Ket. Pode ser representado por uma matriz coluna.
Bra. Pode ser representado por uma matriz linha.
Revendo a Se. 1.3. Os coeficientes de expanso de um estado arbitrrio | em relao a uma base |a podem ser escritos na forma matricial. Ou seja,
| a1|a2|
, | |a1 , |a2
Para | |a1 , isto , quando for um dos estados de base, encontra-se
|a1 a1|a1 a2|a1
10
o mesmo raciocnio valendo para aj |.Aplicao para os kets spin 1/2. Neste caso, para os kets de base encontra-se
| 10
| 01
| 1, 0 | 0, 1
Estado arbitrrio. Para um estado arbitrrio | ou | obtm-se
| || || ||| || || |, |
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Spinor. Matriz coluna do tipo|| chamada de spinor de duas componentes e escrito como
|| cc
c c
onde c e c so, em geral, nmeros complexos. Para tem-se |, | c, c c c .
Matrizes de Pauli. Os elementos de matriz | Sk | e | Sk | , exceto pelo fator /2, so iguais aoselementos de matriz da matriz k 2 2, conhecidas como matrizes de Pauli. Ou seja,
| Sk | 2 k,, | Sk | 2 k,.
Valor esperado em termos de e k. Vamos escrever o valor esperado Sk em termos de e kSk | Sk |
a
a | a a | Sk |a a | 2
k
onde usamos a regra usual da multiplicao de matrizes.
Demonstrao. Seja
a
a | a a | Sk |a a |
| | Sk | | | | Sk | | | | Sk | | | | Sk | |
2 | k, | | k, | | k, | | k, |
2 |, |, ,, ,
||
2 k.
Matrizes de Pauli. Explicitamente, de (3.2.1) juntamente com (3.2.30), vemos que
x 0 11 0
, y 0 ii 0
, z 1 01 1 .
Propriedades das matrizes de Pauli. Algumas propriedades das matrizes de Pauli so:
(1) i, j 2ij i2 1
i j j i 0,para i j.(2) i, j 2iijkk.
(3) 12 21 012 21 2i312 21 i3 etc
(4) i i.
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(5) det i 1(6) Tr i 0.
(7) a az ax iayax iay az
. Seja a um vetor tridimensional. Ento
a k
akk
ax 0 11 0
ay 0 ii 0
az 1 01 1
0 axax 0
0 iayiay 0
az 01 az
az ax iayax iay az
(8) a b a b i a b. Seja a b
j
jajk
kbk jk jkajbk
jk
12 j,k
12 j,k ajbk
jkjk ijkl lajbk
j
ajbj ijk
jkl l ajbk
a b i a b(9) a2 |a|2 (a um vetor real). Seja
a2 a a a a i a a a a |a|2.
(10) nn 1, (n par) n (n mpar) . De fato, como consequncia da propriedade anterior,
nn |n|21
a a a a 1, (n par) n (n mpar)
Rotaes no Formalismo de Duas ComponentesRepresentao matricial 2 2 do operador rotaoDn,. Como
S 2 encontra-se
exp iS n expi n
2
Usando a propriedade (10), encontra-se
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exp i n2 1 i n2
i2 n22!
2
2
1 n2
2!2
2 n
4
4!2
4
i n 2 n3
3!2
3
1 12!2
2 14!
2
4
i n 2 13!
2
3
1cos 2 i n sen2 .
onde
1 1 00 1
Forma explcita de exp i n2 como matriz 2 2. Usando o resultado
i n nz inx nyinx ny nzencontramos
exp i n2 cos 2 i nz sen
2 inx ny sen
2
inx ny sen 2 cos2 i nz sen
2
(3.2.4
que a forma da matriz de rotao.
Rotao de spinor. Assim como o operador exp iS n atua sobre o ket |, a matriz 2 2
exp i n2 atua sobre o spinor de duas componentes . Sob rotao, o spinor transforma-se da seguintemaneira:
exp i n2 .
invariante por rotao. Os k permanecem inalterados sob rotaes. no um vetor. Embora possa parecer, no um vetor. Na verdade, que obedece aspropriedades de transformao de um vetor. Ou seja,
k l
Rkl l
Demonstrao: Seja uma rotao de 1 em torno do eixo z por um ngulo
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exp iz2 x expiz
2
cos 2 i sen
2 0
0 cos 2 i sen2
0 11 0
cos 2 i sen
2 0
0 cos 2 i sen2
0 cos i sencos i sen 0
A matriz
0 cos i sencos i sen 0
pode ser reescrita combinao das seguintes matrizes:
0 cos i sencos i sen 0 cos
0 11 0
sen 0 ii 0 x cos y sen.
Ou seja,
exp iz2 x expiz
2 x cos y sen,
que o anlogo matricial de (3.2.6).
Novamente rotao por 2. Usando o formalismo dos kets, vimos que um ket | de spin 1/2, sob rotao de2, resulta em |. O anlogo 2 2 desta afirmao :
exp i n2 2 1cos2 i n sen
2 2
1,
para qualquer n.
Aplicao da matriz de rotao
Construo de um autospinor. Como aplicao da matriz de rotao, vamos construir um autospinor de ncom autovalor 1, onde n um vetor unitrio numa direo especificada. Seja a equao
n .Esta equao a representao matricial da equao de autovalores para o ket |S n; definida por
S n |S n; 2 |S n;.De fato, isto pode ser considerado como um problema autovalores, mas aqui apresentamos um mtodoalternativo baseado na matriz de rotao.
Procedimento. Sejam e os ngulos azimutal e polar, respectivamente, que caracterizam n.
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Vamos iniciar com o spinor10
, que representa o estado de spin para cima.
Em seguida, aplicamos uma rotao por um ngulo em torno do eixo y. Sequencialmente, aplicamos outra rotao por um ngulo em torno do eixo z.Dessa forma, o estado de spin desejado ento obtido (ver figura abaixo).
Segundarotao
Primeirarotao
Procedimento na linguagem de spinor de Pauli. Na linguagem do spinor, esta sequncia de operaes equivalente a:
10
exp iy210
exp iz2 expiy
210
Desta forma,
exp iz2 expiy
210
exp iz2
cos 2 sen2
sen 2 cos2
10
cos 2 i sen
2 0
0 cos 2 i sen2
cos 2sen 2
cos 2 i sen
2 cos
2
cos 2 i sen2 sen
2
Ou,
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cos 2 e
i/2
sen 2 ei/2
em concordncia com o Problema 9 do Captulo 1. De fato,
cos 2 ei/2 1
0 sen 2 e
i/2 01
ei/2 cos 2 sen2 e
ia diferena ficando por conta de uma fase global sem significado fsico.
3.3 SO(3), SU(2) e Rotaes de EulerConceito de GrupoTeoria de Grupo. As simetrias so tratadas apropriadamente num ramo da matemtica conhecido comoteoria de grupo.
O que um grupo? Um conjunto de objetos, a,b,c , forma um grupo se pudermos definir um processo quenos permita combinar quaisquer dois desses objetos, tais como a e b, para formar um objeto ab, e se asseguintes condies forem satisfeitas:
(1) Todos os resultados da combinao so membros do grupo.
(2) O grupo contm a identidade ou membro unitrio 1, que tem a propriedade a 1 1 a a, onde a qualquermembro do grupo.
(3) Cada membro a tem um inverso a1, tambm no grupo, tal que aa1 a1a 1.(4) Combinao de grupo associativa, tal que abc abc
Observaes:
(a) os membros de um grupo so chamados de elementos.
(b) o termo multiplicao no significa multiplicao usual.
Grupo OrtogonalSeja a rotao de um vetor. Os vetores antes e depois da rotao, V e V, respectivamente, so conectadospor uma matriz 3 3 real e ortogonal:
V R V
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VV
Todas as matrizes de rotao formam um grupo:
1. A combinao (produto) de duas matrizes R1 e R2 uma nova matriz R1R2.
2. A lei associativa vlida:
R1R2R3 R1R2 R3
3. A matriz identidade 1 que corresponde fisicamente a nenhuma rotao definida por
R1 1R R um membro da classe de todas as matrizes ortogonais.
4. A matriz inversa R1 que corresponde fisicamente a uma rotao no sentido oposto definida por
RR1 R1R 1 tambm um membro.
Este grupo denominado SO3, onde as iniciais significam:S especial (special, em ingls); O ortogonal; 3 trs dimenses.
Grupo Unitrio UnimodularSeja a rotao do spin 1/2 discutida anteriormente. Aqui, as matrizes de rotao so 2 2, atuando sobre umspinor de duas componentes. De (3.2.45) encontramos
Eq. (3.2.45) cos 2 i nz sen
2 inx ny sen
2
inx ny sen 2 cos2 i nz sen
2
Esta matriz unimodular. Isto significa que seu determinante 1.
Matriz unitria unimodular. De uma maneira geral, uma matriz unimodular pode ser escrita como
Ua,b a bb a (3.3.7
onde a e b so nmeros complexos que satisfazem a condio unimodular:
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|a|2 |b|2 1 (3.3.8Propriedade unitria. Seja
Ua,bUa,b a b
b aa bb a |a|
2 |b|2 1
Comparando (3.2.45) com (3.3.7), identificamos
Rea cos 2 , Ima nz sen 2 ,Reb ny sen 2 , Imb nx sen 2 ,
de onde obtm-se imediatamente a propriedade unimodular de (3.3.8).
Propriedades de grupo das operaes de multiplicao. As operaes de multiplicao com matrizesunitrias unimodulares satisfazem as seguintes propriedades:
1. Fechamento
Ua1, b1 Ua2, b2
a1 b1b1 a1a2 b2b2 a2
a1a2 b1b2 a1b2 a2b1
a1b2 a2b1 a1a2 b1b2 U a1a2 b1b2, a1b2 a2b1
onde a condio unimodular para a matriz produto
|a1a2 b1b2 |2 |a1b2 a2b1 |2 1.
2. Inversa
U1a, b a bb a1
a b
b a Ua,b
3. Identidade
U1, 0 1 00 1
4. Associativa
Ua, b exp i n2
Este grupo denominado SU2: Especial, Unitrio e Bidimensional.Os grupos SU2 e SO3 tm correspondncia dois-para-um: Considere uma rotao por 2 e outra por 4. Na linguagem SO3, as matrizes representando essas rotaes so ambas matrizes identidades 3 3. Mais
geralmente, Ua, b e Ua,b correspondem a uma nica matriz 3 3 nesta linguagem. Na linguagem SU2, as matrizes so 1 vezes a matriz identidade 2 2 e a matriz identidade, respectivamente.
Rotaes de EulerRotao arbitria de um corpo rgido pode ser descrita em trs passos, conhecidas como ngulos de Euler.
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Trs passos:
1 Rz y y 2 Ry z z 3 Rz y y
Em termos de matrizes ortogonais 3 3, o produto dessas trs operaes pode ser escrito comoR,, RzRy Rz
Aqui aparecem dois tipos de rotao: em torno dos eixos do corpo e dos eixos fixos no espao. Isto inconveniente. Vamos expressar as rotaes em torno dos eixo do corpo, Ry e Rz, em termo de rotaesem torno dos eixo fixos no espao.
Ry RzRyRz1
Rz Ry RzRy 1Assim.
R,, RzRy Rz Ry RzRy 1Ry Rz
Ry RzRz RzRyRz1RzRz RzRyRz1
comutam
RzRz
RzRyRzPortanto
R,, RzRyRzonde todas as matrizes do lado direito referem-se a rotaes em torno de eixos fixos.
Aplicao a sistemas de spin O produto de operadores de rotao no espao ket corresponde ao produto de matrizes ortogonais:
D,, DzDyDz
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A representao matricial deste produto
exp iz2 expiy
2 expiz
2
ei/2 00 ei/2
cos/2 sen/2sen/2 cos/2
ei/2 00 ei/2
ei/2 cos/2 ei/2 sen/2
ei/2 sen/2 ei/2 cos/2onde usamos (3.2.44). Esta matriz claramente da forma unimodular unitria. Inversamente, a forma maisgeral da matriz unimodular unitria 2 2 pode ser escrita nesta forma dos ngulos de Euler.
3.4 Operadores de Densidade e Ensembles Puros e Mistos Leia esta seo.
3.5 Autovalores e Autoestados do Momento AngularRelaes de Comutao e Operador EscadaAs relaes de comutao entre as trs componentes de J j foram derivadas
Jx,Jy iJzJy,Jz iJxJz,Jx iJy
Estas relaes podem ser escritas numa forma mais compacta
J J iJNovo conjunto de operadores. Para estudarmos os autovalores e autovetores do momento angular, vamosintroduzir um novo conjunto de operadores
1 J2 Jx2 Jy2 Jz2
2 J Jx iJy
O operador J2 comuta com todos os Jk:
J2,Jk 0, k x,y, zComutador J2,Jz 0. Para demonstrar esta relao fazemos
J2,Jz Jx2 Jy2 Jz2,Jz JxJx,Jz Jx,Jz Jx JyJy,Jz Jy,Jz Jy JxiJy iJyJx JyiJx iJxJy iJxJy iJyJx iJyJx iJxJy 0
Como Jx,Jy e Jz no comutam entre si, no podemos diagonalizar Jx,Jy e Jz simultaneamente. Porm, podemosescolher um dos Jk para ser diagonalizado simultaneamente com J2. Por conveno, a escolha recai sobre Jz.Vamos denotar os autovalores de J2 e Jz por a e b, respectimente:
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J2 |a,b a |a,b
Jz |a,b b |a,bPara determinar os valores de a e b conveniente trabalhar com os operador escada, J. As relaes decomutao so
J,J 2Jz,
Jz,J J,
J2,J 0.Qual o significado fsico de J. Vamos examinar como Jz age sobre J |a,b:
Jz J |a,b Jz,J JJz |a,b J |a,b JJz |a,b J |a,b bJ |a,b b J |a,b
Ou seja: O ket J |a,b ainda um autoket de Jz, exceto que agora o autovalor e aumentado ou abaixado por uma unidade de . Assim, vemos por que J, que sobe ou desce degrau a degrau a escada dosautovalores de Jz, so conhecidos como operadores escadas.
J e os autovalores de J2. Embora J mudem os autovalores de Jz por uma unidade de , eles no mudamos autovalores de J2:
J2 J |a,b JJ2 |a,b a J |a,b
Resumo. Os kets J |a,b so simultaneamente autokets de J2 e Jz com autovalores a e b h. Podemosento escrever
J |a,b c |a,b onde as constantes c sero determinadas mais adiante a partir da condio de normalizao dos autokets domomento angular.
Autovalores de J2 e JzImagine que apliquemos J n vezes sobre o autoket de J2 e Jz :
n vezes
JJJ |a,b |a,b n
Mas existe um limite superior para b. De fato, para um dado a (autovalor de J2a b2. (3.5.
Demonstrao. Vamos escrever J2 em termos de J e Jz
J2 Jz2 12 JJ JJ 12 JJ
J J.O valor esperado deste operador
a,b| J2 Jz2 |a,b 12 a,b| JJ |a,b 12 a,b| J
J |a,bComo o bra de J |a,b soProf. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 21
-
J |a,b CD a,b| J , J |a,b CD a,b| JOu seja,
J |a,b c |a,b CD a,b| J a,b | cJ |a,b c |a,b CD a,b| J a,b | c
Logo,
a,b| JJ |a,b a,b| J J |a,b a,b | cc |a,b |c |2 0
Da mesma forma
a,b| J J |a,b 0.Portanto,
a,b| J2 Jz2 |a,b 0Deve existir um b bmax tal que
J |a,bmax 0Ou seja: o autovalor de b no pode aumentar alm de bmax. Disto obtm-se
JJ |a,bmax 0Mas,
JJ Jx2 Jy2 iJyJx JxJy J2 Jz2 Jz.
Assim,
J2 Jz2 Jz |a,bmax a bmax2 bmax |a,bmax 0Como |a,bmax no um ket nulo, conclui-se que
a bmax2 bmax 0ou
a bmaxbmax . (3.5.2Da mesma forma, deve existir um bmin tal que
J |a,bmin 0Escrevendo
JJ J2 Jz2 Jzencontramos que
JJ|a,bmin 0ou
J2 Jz2 Jz |a,bmin a bmin2 bmin |a,bmin 0ou
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 22
-
a bminbmin (3.2.2Comparando (3.2.25) com (3.2.22), ou seja,
a bmaxbmax bminbmin conclui-se que
bmax bmin (3.2.2Com bmax 0, podemos inferir que os valores de b esto no intervalo
bmax b bmax. (3.2.2Obteno de |a,bmax a partir de |a,bmin . Aplicando-se sucessivamente, um nmero de vezes finito, ooperador J ao ket |a,bmin , podemos obter o ket |a,bmax . Seja por exemplo,
|a,bmax n vezes
JJJ |a,bmin |a,bmin n
Logo,
bmax bmin n, (3.2.2onde n um nmero inteiro. Como resultado, obtm-se
bmax bmax nou
bmax n2 . (3.2.2
Conveno. Por conveno, vamos utilizar j ao invs de bmax, da seguinte forma
bmax jOu seja,
j n2 .Assim, o valor mximo do autovalor de Jz agora j, onde j qualquer inteiro ou semi-inteiro. A Eq. (3.5.22)torna-se
a 2jj 1.Vamos tambm definir m tal que
b m.Assim,
j m jou
j m j.Ou seja, se j um inteiro, todos os valores de m sero inteiros; se j for semi-inteiro, todos os valores de msero semi-inteiros. Os valores permitidos de m para um dado j so
m 2j1 estados
j, j 1, , j 1, j (3.5.3
Usando esta conveno, fazemos a substituio
Prof. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 23
-
|a,b |j,mpara denotar os autokets simultneos de J2 e Jz. As equaes bsicas de autovalores, so agora
J2 |j,m jj 12 |j,m
Jz |j,m m |j,m
(3.5.3
(3.5.3
onde j qualquer inteiro ou semi-inteiro, e m dado por (3.5.33). As Eqs. (3.5.34) representam a quantizaodo momento angular. Ela uma consequncia direta das relaes de comutao que, por sua vez, segue dapropriedade das rotaes juntamente com a definio de Jk como gerador de rotao.
Elementos de Matriz dos Operadores Momento AngularOs autokets |j,m formam uma base de kets normalizados para o operador momento angular:
j ,m |j,m jjm m.Elementos de matriz de J2 e Jz. Os elementos de matriz do operador J2 nesta base so
j ,m | J2 |j,m jj 12j ,m |j,m jj 12 jjm me
j ,m | Jz |j,m mj ,m |j,m m jjm mElementos de matriz de J. Para este caso, primeiro vamos considerar os elementos de matriz do operadorJ J. Este operador pode ser escrito como
J J JJ J2 Jz2 JzAssim,
j,m| J J |j,m j,m| J2 Jz2 Jz |j,m jj 12 m22 m2 2jj 1 mm 1
Mas
J |j,m cjm |j,m 1ento
j,m| J J |j,m j,m| J J |j,m j,m 1| cjm cjm |j,m 1 |cjm |2.
Portanto,
|cjm |2 2jj 1 mm 1 2j mj m 1
A constante cjm determinada a menos de um fator de fase arbitrrio. costume (conveno) escolher estaconstante como sendo real e positiva:
cjm j mj m 1 Logo,
J |j,m j mj m 1 |j,m 1.De uma maneira similar, podemos obter
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 24
-
J |j,m j mj m 1 |j,m 1Finalmente, os elementos de matriz de J so:
j ,m | J |j,m j mj m 1 jjm ,m1 (3.5.4
Elementos de Matriz do Operador RotaoPara uma rotao R especificada por n e , os elementos de matriz do operador rotao so
Dm mj R j,m | exp J n |j,m (3.5.4
Estes elementos de matriz so conhecidos como funes de Wigner. Observe que os elementos de matriz deDR entre estados com js diferentes se anulam: DR |j,m ainda um autoestado de J2 com o mesmoautovalor jj 12. De fato,
J2DR|j,m DRJ2|j,m jj 12DR|j,m
uma vez que J2,DR 0 como consequncia de J2,Jk 0 e, portanto, J2,FJk 0, onde FJk significaqualquer funo de Jk.
Rotaes no mudam o valor j, o que um resultado absolutamente lgico.
Representao irredutvel. s vezes, a matriz de dimensoes 2j 1 2j 1 formada pelos elementosDm m
j R referida na literatura como representao irredutvel 2j 1-dimensional do operador rotaoDR.A matriz que corresponde a um operador rotao arbitrria no espao ket no necessariamente caracterizadopor um nico valor j pode, com uma escolha apropriada da base, ser colocado na forma bloco-diagonal:
(3.5.4
onde cada quadrado sombreado uma matriz quadrada 2j 1 2j 1 formada pelos elementos Dm mj Rcom qualquer valor definido de j. Alm disto, cada matriz quadrada no pode ser quebrada em blocos menores
Prof. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 25
-
2j+1
k
k
2j+1-k
2j+
1-k
(3.5.4
para qualquer escolha da base.
Grupo das matrizes de rotao. As matrizes de rotao para um dado j formam um grupo:
Identidade. um elemento do grupo, um vez que a matriz de rotao correspondedo a nenhuma rotao 0 a matriz identidade 2j 1 2j 1.Inversa. Tambm um elemento do grupo, correspondendo inverso do ngulo de rotao ,mantendo o eixo de rotao n.
Fechamento. As matrizes possuem esta propriedade, uma vez que o produto de qualquer duas delas tambm um elemento do grupo. Explicitamente, temos
m Dm m
j R1Dm mj R2 Dm mj R1R2 (3.5.4
onde o produto R1R2 representa uma nica rotao.
Unitariedade. A matriz de rotao unitria, uma vez que o correspondente operador unitrio.Explicitamente, temos
Dm mj R1 Dmm j R
Significa fsico da matriz de rotaoSeja o estado |j,m; sob rotao encontramos
|j,m DR |j,m.Embora a rotao no mude o j, geralmente obtm-se estados com valores m diferentes do valor original.
Amplitude de probabilidade para |j,m . Para determinar a amplitude de probabilidade de encontrar o estadoem |j,m , vamos expandir o estado final como segue:
DR |j,m m
|j,m j,m |DR |j,m
m
|j,m Dm mj R (3.5.4
ngulos de Euler e a matriz DComo j sabemos, os ngulos de Euler, ,,, podem ser usados para caracterizar a rotao mais geral.Assim, para um j arbitrrio
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 26
-
Dm mj ,, j,m | exp Jz exp
Jy exp
Jz |j,m
eim mj,m | exp Jy |j,m
A rotao central, de um ngulo em torno do eixo y, mistura diferentes valores de m. convenientedefinirmos uma nova matriz dj como
dm mj j,m | exp Jy |j,m (3.5.5
Logo,
Dm mj ,, eim mdm mj
ExemplosCaso j 1/2. Neste caso, os valores de m so
m 12 ,12 .
Escrevendo Jy 2 y e usando (3.2.44)
exp y2 cos/2 iy sen/2
A matriz d1/2 torna-sedm mj j,m | exp y2 |j,m
j,m | 1cos/2 iy sen/2 |j,m cos/2 m m i sen/2j,m |y|j,m
Como
y 0 ii 0
encontra-se
dj cos/2 1 00 1
i sen/2 0 ii 0
cos/2 00 cos/2
0 sen/2sen/2 0
ou
dj
m 1/2 m 1/2
cos 2 sen2
sen 2 cos2
Caso j 1. Agora os valores de m som 1,0,1
o que deve resultar numa matriz 3 3. Neste caso no contamos mais com as propriedades das matrizes deProf. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 27
-
Pauli. Mas, como
Jy J J2ipodemos usar (3.5.41), para j j , ou seja,
j,m | J |j,m j mj m 1 m ,m1Assim, a matriz Jy pode ser obtida a partir da relao
j,m | Jy |j,m 12i j,m | J |j,m 12i j,m
| J |j,mMas,
m 1| J |m 1 m2 m m 1| J |m 1 m2 m 1| J |0 2 , 0| J |1 2 0| J |1 2 1| J |0 2
sendo nulos os demais elementos. Logo,
m 1 m 0 m 1
12i J
j1 20 2 i 00 0 2 i0 0 0
m 1m 0
m 1
e
m 1 m 0 m 1
12i Jj1 2
0 0 02 i 0 00 2 i 0
m 1m 0
m 1
Portanto,
m 1 m 0 m 1
Jyj1 20 2 i 02 i 0 2 i0 2 i 0
m 1m 0
m 1
Como j conhecemos a representao matricial de Jyj1, agora podemos obter a expanso de Taylor deexpiJy/. Seja a expresso
exp iJy 1 iJy
12!
2 Jy
2 13! i
3 Jy
3
Pode-se mostrar que
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 28
-
Jy
n
Jy
2n par
Jy , n mpar
Assim,
exp iJy 1 iJy
12!
2 Jy
2 13! i
3 Jy
3
1 Jy2
1 cos
1 2
2! iJy
33!
1 Jy2cos 1 i Jy sen
ou
exp iJy 1 Jy
21 cos i Jy sen
Logo,
dm mj1 j,m | exp Jy |j,m
j,m | 1 Jy21 cos i Jy sen |j,m
m m 1 cos j,m | Jy2
|j,m i sen j,m | Jy |j,m
Como
iJyj1
12
0 2 0 2 0 2
0 2 0e
Jyj1
2
122
0 2 i 02 i 0 2 i0 2 i 0
2
121 0 10 2 01 0 1
ento
d1 1 0 00 1 00 0 1
121 0 10 2 01 0 1
1 cos
120 2 0
2 0 20 2 0
sen
ou
Prof. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 29
-
d1 1 0 00 1 00 0 1
12 1 cos 0
12 1 cos
0 1 cos 0 12 1 cos 0
12 1 cos
0 12
sen 0
12
sen 0 12
sen
0 12
sen 0
sen
Finalmente, agrupando os termos obtm-se
d1
12 1 cos
12
sen 12 1 cos
12
sen cos 12
sen
12 1 cos
12
sen 12 1 cos
Evidentemente este mtodo torna-se cada vez mais trabalhoso medida que o j aumenta. Na Se. 3.8estudaremos um mtodo muito mais fcil de obter dm m
j para qualquer j.
3.6 Momento Angular OrbitalO momento angular foi definido como sendo o gerador de rotaes infinitesimais. Existe uma outra maneira deestudar o assunto, quando o momento angular de spin nulo ou pode ser desprezado. O momento angular Jpara uma partcula ento o mesmo que o momento angular orbital L, definido como
L r p. (3.6.
Momento Angular Orbital como Gerador de RotaesComo foi definido em (3.6.1), o momento angular L satisfaz as relaes de comutao para momento angular:
Li,Lj iijkLk (3.6.2em virtude das relaes de comutao entre as componentes de r e p. Isto pode ser facilmente demonstrado:Seja
Lx ypz zpyLy zpx xpz
ento
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 30
-
Lx,Ly ypz zpy, zpx xpz ypz, zpx zpy,xpz ypzzpx zpxypz zpyxpz xpzzpy ypxpz, z pyxz,pz ixpy ypx iLz.
e assim por diante.
Agora considere o operador
1 i Lz 1 i xpy ypx
atuando sobre um autoket arbitrrio da posio |x ,y , z para examinarmos se ele pode ser interpretado comoo operador de rotaes infinitesimais em torno do eixo z por um ngulo . Como o momento linear umgerador de translaes [v. Eq. (1.6.32)], isto ,
Tdx 1 ip dx ou seja,
Tdx |x 1 i p dx |x |x dx
encontra-se
1 i Lz |x,y , z 1 i x
py y px |x ,y , z
1 i py x i px y
|x ,y , z 1 i py x
i px y |x ,y , z
x y , y x , z
Isto corresponde a uma rotao infinitesimal de um ngulo em torno do eixo z. De fato, numa rotao emtorno do eixo z, as coordenadas x,y, z transormam-se de acordo com
x xcos y seny x sen ycos
Para um ngulo infinitesimal , valem as aproximaescos 1sen
Assim, para as coordenadas transformadas, obtm-se
x x y y y x z z
que o resultado obtido.
Funo de onda. Suponha agora que a funo de onda para um estado arbitrrio seja dada por x ,y , z |.Aps uma rotao por um ngulo em torno do eixo z, a funo de onda do estado transformado ser
Prof. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 31
-
x ,y , z | 1 i Lz | x y ,y x , z | (3.6.6
Coordenadas esfricas. Mudando a base para coordenadas esfricas, isto
x ,y , z | r,,|o estado tranformado torna-se, de acordo com (3.6.6)
r,,| 1 i Lz | r,, |
r,,| r,,|
Como r,,| um autoklet arbitrrio da posio, podemos identificarx |Lz| i x
| (3.6.9
que um resultado bem conhecido da mecnica ondulatria.
Rotao em torno do eixo x. Vamos agora considerar uma rotao em torno do eixo x por um ngulo x.Em analogia com (3.6.6) podemos escrever
x ,y , z | 1 i x Lx | x,y z x, z y x | (3.6.
Expressando x , y e z em coordenadas esfricas, podemos mostrar que
x |Lx| i sen cotgcos x
| (3.6.
De maneira similar,
x |Ly| i cos cotg sen x
| (3.6.
Usando essas duas relaes e as definies de L, encontramos
x |L| iei i cotg x
| (3.6.
Finalmente, usando
L2 Lz2 12 LL LL (3.6.juntamente com (3.6.9) e (3.6.13), encontramos
x |L2| 2 1sen2
22
1sen
sen
x
| (3.6.
Exceto pelo fator 1/r2, esta a expresso para a parte angular do operador Laplaciano em coordenadasesfricas.
Relao entre L2 e a parte angular de 2. Uma outra maneira de se obter esta relao trabalhardiretamente com o operador energia cintica.
Vamos primeiro considerar uma importante identidade de operadores:
L2 x2p2 x p2 i x ponde x2 x x e p2 p p.Demonstrao. O operador L2 pode ser escrito na forma
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 32
-
L2 k
LkLk
Mas
Lk ij
ijkxipj
ento
L2 k
ij
ijkxipj lm
lmkxlpm
ijlmk
ijkxipjlmkxlpm
ijlm
xipjxlpmk
ijklmk
Como
k
ijklmk iljm imjl
encontra-se
L2 ijlmiljm imjlxipjxlpm
ijlm
iljm xipjxlpm imjl xipjxlpm
ijlm
iljm xixlpj ijlpm imjl xipj pmxl ilm
ijlm
iljm xixlpj ijlpm ijlm
imjl xipj pmxl ilm
Cada termo pode ser reescrito como
Prof. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 33
-
ijlm
iljm xixlpj ijlpm
ijlm
iljm xixlpjpm iijlm
iljmjl xipm
il
ilxixljm
jmpjpm iim
jl
iljmjl xipm
i
xixij
pjpj iijm
l
iljl jmxipm
x2p2 iijm
ij jmxipm
x2p2 iim
j
ij jm xipm
x2p2 iim
im xipm
x2p2 im
i
im xi pm
x2p2 im
xmpm
x2p2 ix pe
ijlm
imjl xipj pmxl ilm
ijlm
imjl xipjpmxl iijlm
imjl xipjlm
ijlm
imjl xipmpj xl iijlm imjl lmxipj
ijlm
imjl xipmxlpj ijl iijlm
imjl lmxipj
ijlm
imjl xipmxlpj iijlm
imjl jl xipm iijlm
imjl lmxipj
im
imxipmjl
jl xlpj ii
xipijl
jl jl ilm
lmxmpl
i
xipij
xjpj ii
xipi
3
j
1 il
xlpl
x p2 3ix p ix p x p2 2ix p
Substituindo estes resultados na equao para L2, encontra-se
L2 x2p2 ix p x p2 2ix pouCaptulo 3 Teoria do Momento Angular 34
-
L2 x2p2 x p2 ix pElementos de matriz de cada termo de L2. Tomando-se os elementos de matriz de cada termo de L2,encontramos
x | x p | x ix | ir r x
|Da mesma forma,
x | x p2 | x | x px p | x ix |x p| ix x |x p| ir r x
|x p| ir r x
ix | 2r r r
r x
|
2 r2 2r2 x | r r x
|Ento,
x |L2 | x |x2p2| x |x p2| ix |x p|Como x2 x x r2, obtm-se
x |L2 | r2x |p2| 2 r2 2r2 x | r r x
| 2r r x |
ou
x |p2| 2 2r2 x | 2r r x
| 1r2 x |L2 |
Energia Cintica. Em termos da energia cintica p2/2m, temos
12m x
|p2| 22m 2x |
22mparte radial do Laplaciano
2r2 x
| 2r r x |
parte angular
12r2 x
|L2 |
em concordncia com (3.6.15).
Harmnicos EsfricosPartcula num potencial com simetria esfrica. Vamos considerar uma partcula sem spin sujeita a umpotencial com simetria esfrica. Sabe-se que a equao de onda em coordenadas esfricas admite separaode variveis e as autofunes da energia pode ser escrita como
x |n, l,m RnlrYlm, (3.6.2Um Hamiltoniano esfericamente simtrico comuta com Lz e L2 e seus autoestados so tambm autoestados deL2 e Lz. Como Lk satisfazem as relaes de comutao do momento angular, as equaes de autovalores paraL2 e Lz sero:
Prof. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 35
-
L2 |n, l,m ll 12 |n, l,mLz |n, l,m m |n, l,m
onde
m l, l 1, , l 1, l.Dependncia angular. Como a dependncia angular comum para todos os problemas com simetriaesfrica, podemos isol-la e considerar
n|l,m Ylm, Ylmn (3.6.2onde definimos um autoket da direo |n. Deste ponto de vista, Ylm, a amplitude de probabilidade para oestado caracterizado por l e m ser encontrado na direo n especificada por e . Assim, partindo da equaode autovalores para Lz,
Lz|l,m m |l,mmultiplicando pela esquerda pelo bra de |n, encontra-se
n|Lz|l,m m n|l,me, usando (3.6.9),
n|Lz|l,m i n|l,m
obtm-se
i n|l,m m n|l,m
Ou,
i Ylm, m Ylm,
o que implica que a dependncia em de Ylm, comporta-se como eim. Por outro lado, deL2 |l,m ll 12 |l,m
encontra-se
n| L2 |l,m ll 12 n|l,mDe (3.6.15),
n|L2| 2 1sen2
22
1sen
sen
n|
segue-se
2 1sen2
22
1sen
sen
n| ll 1
2 n|l,m
ou
1sen2
22
1sen
sen
ll 1 Yl
m 0. (3.6.2
que a equao diferencial parcial satisfeita por Ylm.
Ortogonalidade. A relao de ortogonalidade,
l ,m |l,m llm mforneceCaptulo 3 Teoria do Momento Angular 36
-
dn l ,m |nn|l,m llm mou
d n Ylm ,Ylm, 02
d 0
d sen Ylm ,Ylm,
0
2d
1dcos Ylm ,Ylm,
llm m (3.6.3onde usamos a completeza para os autokets da direo,
d n |nn| 1 (3.6.3Clculo de Yll. Para obtermos os Ylm vamos partir com o caso m l. Aplicando o operador levantamento Lao ket |l, l devemos obter um ket nulo, ou seja,
L|l, l 0,uma vez que a ao de L sobre o valor de m aumentar por uma unidade um valor que j o mximo.Multiplicando pela esquerda pelo bra de |n e usando o resultado dado em (3.6.13), obtm-se
iei i cotg n| l, l 0
Lembrando que a dependncia em dada por eim eil, e fazendon| l, l eiln| l
encontra-se
i ilcotg n| l 0ou seja
dd n| l lcotgn| l
n| l clel cotgd clel12 ln22 cos2 cl 2 2 cos2 l
cl 2 21 sin2 sin2 l cl 4 sin2 l
cl sen londe o fator 2 foi englobado na constante cl. Logo,
n| l, l Yll, cl eil sen l (3.6.3A constante cl determinada pela condio de normalizao (3.6.30), obtendo-se
cl 1l
2 ll!2l 12l!
4 (3.6.3
Clculo dos demais Ylm. Partindo de (3.6.34) e aplicando sucessivamente o operador abaixamento L, podemosobter todos os Ylm. De uma maneira geral, podemos escrever
n|l,m 1 n| L |l,ml ml m 1 uma vez que
Prof. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 37
-
L |l,m l ml m 1 |l,m 1dado na Eq. (3.5.40). Usando novamente (3.6.13), encontra-se
n|l,m 1 1l ml m 1 iei i cotg
n| l,m
1l ml m 1 ei
icotg n| l,m (3.6.3
Fazendo-se m l, l 1, , obtm-se sucessivamente Yll,Yll1, ,Yl0,Yll. O resultado geral, para m 0
Ylm, 1l
2 ll!2l 1
4l m!l m! e
im 1senm
dlmdcoslm sen
2l (3.6.3
e definimos Ylm atravs da relao
Ylm, 1mYlm, (3.6.3Dependncia em . Independente de m ser positivo ou negativo, a dependncia em de Ylm, sen |m|vezes um polinmio em cos, com a maior potncia valendo l |m|. Para m 0, obtm-se
Yl0, 2l 14 Plcos (3.6.3
Podemos mostrar que os valores de l devem ser inteiros. Leia os argumentos no final da seo.Harmnicos Esfricos como Matrizes de RotaoHE sob o ponto de vista das MR. Neste contexto, vamos construir o autoket |n a partir de |z, aplicandooperadores de rotao apropriadoDR, tal que
|n DR|z (3.6.4Isto pode ser obtido, usando-se a mesma tcnica para a construo do autospinor de n na Se. 3.2 (vejafigura abaixo):
(1) rotao em torno do eixo y; (2) rotao em torno do eixo z.
Segundarotao
Primeirarotao
|n|z
x
y
z
Em termos dos ngulos de Euler, , e , temosD , , 0.
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 38
-
A equao |n DR|z pode ser reescrita como uma expanso em termos de |l,m|n
l
m
DR |l,ml,m|z
onde |n contm todos os possveis valores de l. Projetando no estado l ,m | apenas um termo na soma lcontribui, isto ,
l ,m |n l
m
DR l,m |l,ml,m|z
l
m
l ,m |DR |l,ml,m|z
m
Dm ml , , 0 l ,m|z
uma vez queD s conecta estados com o mesmo valor de l ou j . Ou seja
l,m |n m
Dm ml , , 0 l,m|z (6.6.4
Por definio
n|l,m Ylm,ento
z|l,m Ylm 0, indeterminadoe portanto
l,m|z Ylm 0, indeterminado um nmero. Sabe-se que, para 0, Ylm se anula para m 0, uma vez que |z um autoket de Lz comautovalor zero. Assim,
l,m|z Ylm 0, indeterminado m0
2l 14 Plcoscos1
m0
2l 14 m0Voltando Eq. (3.6.49), obtm-se
Ylm,
m
Dm ml , , 0 l,m|z
2l 14 m
Dm ml , , 0 m0
2l 14 Dm 0l , , 0
ou
Dm0l ,, 0 42l 1 Yl
m,,
(3.6.5
Caso m 0. Para m 0, que de particular importncia, partindo deDm m
j ,, eim mdm mj ,Prof. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 39
-
com m m 0, encontramosD00
j , , 0 d00jLogo,
d00j 42l 1 Yl
0,
42l 12l 1
4 Plcos
ou seja,
d00j Plcos. (3.6.5
3.7 Adio de Momentos AngularesAplicaes em todas as reas da fsica moderna alm de oferecer uma excelente oportunidade para ilustrar osconceitos de mudana de base discutiva no Captulo 1.
Exemplos Simples de Adio de Momento AngularExemplo (1): Adio de momento angular orbital e de spin. Neste exemplo vamos estudar sistemas de spin12 sem ignorar os outros graus de liberdade, como fizemos at agora. Uma descrio realstica de uma
partcula com spin deve levar em conta tanto os graus de liberdade espaciais quanto os graus de liberdadeinternos.
Base ket para uma partcula de spin 12 . A base ket para uma partcula de spin12 pode ser visualizada como
sendo o espao produto-direto do espao ket infinito dimensional dos autokets da posio |x e o espaobidimensional do spin, | e |. Explicitamente, para a base ket, temos
|x , |x | (3.7.onde qualquer operador no espao descrito por |x comuta com qualquer operador no espao descrito por|.Operador rotao. Neste espao, o operador rotao tem ainda a forma expiJ n/, mas J, o gerador derotaes, agora possui duas partes:
J L S (3.7.2Forma mais evidente:
J L 1S 1x S (3.7.3onde 1S o operador indentidade no espao do spin e 1x o operado identidade no espao de dimensoinfinita dos autokets da posio.
Uma vez que L e S comutam, podemos escrever
DR D orb R D spin R exp iJ n exp
iS n (3.7.4
Funo de onda. A funo de onda para uma partcula com spin escrita como
x ,| x (3.7.5
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 40
-
As duas componentes s vezes so dispostas na forma de matriz coluna
x x
onde |x |2 representa a densidade de probabilidade de encontrar a partcula na posio x com spin paracima e para baixo .Base alternativas
Base formada pelos autokets de L2, Lz, S2 e Sz. Ao invs da base |x para a parte espacial, podemos usar|n, l,m que so autokets de L2 e Lz, ou seja,
L2 |n, l,m ll 12 |n, l,mLz |n, l,m m |n, l,m
e para a parte de spin |, que so autokets de S2 e Sz, ou seja,S2 | 12
12 1
2| 34 2|
Sz | 12 |.
Base formada pelos autokets de J2,Jz,L2 e S2. Como veremos mais adiante, podemos tambm usar umabase formada pelos autokets de J2,Jz,L2 e S2.
Em outras palavras, podemos expandir um estado ket de uma partcula com spin em termos dos autoketssimultneos de L2, Lz, S2 e Sz ou em termos dos autokets simultneos de J2,Jz,L2 e S2.
Exemplo (2): Adio de dois momentos angulares de spin. Neste exemplo, vamos estudar duas partculas despin 12 digamos, dois eltrons com o grau de liberdade orbital ignorado.
O operador spin total geralmente escrito como
S S1 S2 (3.7.7que deve ser entendido como
S S1 12 11 S2 (3.7.8onde 11 representa o operador identidade no espao de spin do eltron 1, e 12, no espao de spin do eltron 2.
Como sabemos,
S1x,S2y 0, (3.7.9Dentro do prprio espao, temos as relaes de comutao usuais:
S1x,S1y iS1z, S2x,S2y iS2z, (3.7.Como consequncia das anteriores, as relaes de comutao para o operador spin total so
Sx,Sy iSz, (3.7.Autovalores dos operadores spins. Os autovalores para os vrios operadores de spin so listados abaixo
Prof. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 41
-
Operador AutovalorS2 S1 S22 ss 12Sz S1z S2z mS1z m1S2z m2
Expanso de um estado de spin arbitrrio. Podemos expandir um estado de spin arbitrrio em termos dosautokes de S2 e Sz ou em termos dos autokets de S1z e S2z. As duas possibilidades so:
1. A representao m1, m2 baseada nos autoketes de S1z e S2z:|m1, m2 |,, |, |, e |,
2. A representao s, m (representao singleto-tripleto) baseada nos autokets de S2 e Sz:|s, m |s 1, m 1, |s 1, m 0, |s 1, m 1,
|s 0, m 0.onde s 1 s 0 tripleto de spin (singleto de spin).
Observe que em cada conjunto existem quatro kets de base. A relao entre os dois conjuntos :
|s 1,m 1 |, a|s 1,m 0 1
2|, |, b
|s 1,m 1 |, c|s 0,m 0 1
2|, |, d
(3.7.
Demonstrao. O lado direito de a nos diz que temos ambos os eltrons com spin para cima; esta situaos pode corresponder a s 1 e m 1. A b pode ser obtida de a, aplicando-se o operador abaixamento
S S1 S2 S1x iS1y S2x iS2y (3.7.a ambos os lados de a. Ou seja,
S |s 1,m 1 S1 S2 |, (3.7.onde S1 S2 afeta apenas a primeira (segunda) entrada de |,. Lembrando que
J |j,m j mj m 1 |j,m 1encontramos para este caso:
1 11 1 1 |s 1,m 0 12 12
12
12 1 |,
12 12
12
12 1 |,
ou
2 |s 1,m 0 |, |, |s 1,m 0 1
2|, |,
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 42
-
Da mesma forma, podemos obter c:
S |s 1,m 0 12 S1 S2 |, |,
ou
1 01 0 1 |s 1,m 1
12
S1 |, S1|, S2 |, S2|,
12
0 S1|, S2 |, 0
12
12
12
12
12 1 |,
12 12
12
12 1 |,
ou
2 |s 1,m 1 2 |, |s 1,m 1 |,.Finalmente, a d pode ser obtida, exigindo que este seja ortogonal aos outros trs kets, em particular ao b.Coeficientes de Clebsch-Gordan. Os coeficientes que aparecem do lado direito de (3.7.15) so o exemplomais simples dos coeficientes de Clebsch-Gordan, que sero discutidos mais adiante. Eles representamsimplesmente os elementos da matriz de transformao que conecta a base m1,m2 base s,m.Outra forma de obter os coeficientes. Uma outra maneira de se obter esses coeficiente escrever arepresentao matricial do operador
S2 S1 S22 S12 S22 2S1 S2 S12 S22 2S1zS2z S1S2 S1S2 (3.7.
na base m1,m2. Ou seja
m1,m2 | ,| ,| ,| ,|
|m1,m2
S2 22 0 0 00 2 1 00 1 2 00 0 0 2
|,|,|,|,
Como se pode observar, esta matriz quadrada no diagonal, devido aos operadores S1 e S2 que conectamestados |m1,m2 com |m1 1,m2 1. Mas podemos mostrar que esta matriz diagonalizado por uma matrizunitria do tipo
Prof. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 43
-
U
1 0 0 0
0 12
12
0
0 12
12
0
0 0 0 1
uma vez que
U1S2U
1 0 0 0
0 12
12
0
0 12
12
0
0 0 0 1
2 0 0 00 2 1 00 1 2 00 0 0 2
1 0 0 0
0 12
12
0
0 12
12
0
0 0 0 1
2 0 0 00 3 0 00 0 1 00 0 0 2
Os elementos da matriz U que diagonaliza S2 so os coeficientes de Clebsch-Gordan para este problema.
Teoria Formal da Adio de Momento AngularConsidere dois operadores momentos angulares J1 e J2. Suas componentes satisfazem as relaes decomutao usuais para momento angular:
J1i,J1,j iijkJ1k (3.7.2e
J2i,J2,j iijkJ2k (3.7.2Porm,
J1k,J2j 0 (3.7.2entre os pares de operadores de diferentes subespaos.
Operador rotao infinitesimal. O operador rotao infinitesimal que afeta ambos os subespaos, 1 e 2, escrito como
1 iJ1 n 1 iJ2 n
1 iJ1 12 11 J2 n
(3.7.2
O momento angular total definido por
J J1 12 11 J2 (3.7.2que mais comumente escrito como
J J1 J2 (3.7.2Rotao finita. A verso de ngulo finito de (3.7.22)
D1R D2R exp iJ1 n expiJ2 n
(3.7.2
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 44
-
Relao de comutao do momento total. Devido a (3.7.20) e (3.7.21), o momento angular total satisafaz asrelaes de comutao
Ji,Jj iijkJk (3.7.2Escolha da base. Temos duas opes para a escolha da base:
Opo A - Base formada pelos autokets simultneos de J12,J22, J1z e J2z, denotado por |j1j2;m1m2 . Esses operadorescomutam entre si. As equaes de autovalores para esses operadores so
J12|j1j2;m1m2 j1j1 12|j1j2;m1m2 J1z|j1j2;m1m2 m1|j1j2;m1m2 J22|j1j2;m1m2 j2j2 12|j1j2;m1m2 J2z|j1j2;m1m2 m2|j1j2;m1m2
Opo B - Base formada pelos autokets simultneos de J2,J12,J22, e Jz. Esses operadores comutam entre si. Denotamos
esta base por |j1j2; jm. As equaes de autovalores para esses operadores soJ12|j1j2; jm j1j1 12|j1j2; jmJ22|j1j2; jm j2j2 12|j1j2; jmJ2|j1j2; jm jj 12|j1j2; jmJz|j1j2; jm m|j1j2; jm
Embora se tenha
J2,Jz 0, (3.7.3esta relaao no vale para as componentes z de J1 e J2, ou seja,
J2,J1z 0 e J2,J2z 0 (3.7.3como pode se demonstrado, escrevendo-se
J2 J12 J22 2J1zJ2z J1J2 J1J2.Mudana de base. Vamos considerar a transformao unitria que conecta as duas bases:
|j1j2; jm m1
m2
|j1j2;m1m2 j1j2;m1m2 |j1j2; jm (3.7.3
onde usamos
m1
m2
|j1j2;m1m2 j1j2;m1m2 | 1 (3.7.3
Os elementos de matriz j1j2;m1m2 |j1j2; jm desta transformao so os coeficientes de Clebsch-Gordan, Cjmm1m2 .Propriedades dos coeficientes de Clebsch-Gordan
1. Os coeficientes Cjmm1m2 so nulos, exceto para
m m1 m2.
Demonstrao: Seja Jz J1z J2z. EntoJz |j1j2; jm J1z J2z |j1j2; jm m m1 m2.
2. Os coeficientes Cjmm1m2 so nulos, exceto para
Prof. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 45
-
|j1 j2 | j j1 j2. (3.7.3
Demonstrao: Esta a verso quntica do modelo vetorial da adio de dois momentos angulares, ondevisualisamos J como a soma vetorial de J1 e J2. Porm, importante verific-la, mostrando que, se (3.7.38) vlida, ento a dimensionalidade do espao definido por |j1j2;m1m2 a mesma de |j1j2; jm. No primeirocaso, a dimenso vale
N 2j1 1 2j2 1 (3.7.3Para o segundo caso, considerando j1 j2, vemos que, para cada valor de j, existem 2j 1 estados e, deacordo com (3.7.38) j pode variar desde j1 j2 at j1 j2. Assim,
N jj1j2
j1j22j 1
2j1 j2 1 2j1 j2 12j2 12 2j1 1 2j2 1Uma vez que ambas as contagem do o mesmo valor de N, vemos que (3.7.38) consistente (veja prova noApndice B).
Os coeficientes de Clebsch-Gordan forma uma matriz unitria. Alm disso, os elementos de matriz, porconveno, so tomados como sendo reais. Uma consequncia imediata disto, que
j1j2;m1m2 |j1j2; jm j1j2; jm|j1j2;m1m2ou seja, os inversos so iguais aos prprios coeficientes. Uma matriz unitria real ortogonal. Assim,
jmj1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2;m1 m2 |j1j2; jm m1m1 m2m2 (3.7.4
ou seja,
jmj1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2;m1 m2 |j1j2; jm
jmj1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2; jm|j1j2;m1 m2
j1j2;m1m2 |j1j2;m1 m2 m1m1 m2m2devido ortogonalidade dos estados |j1j2;m1m2, juntamente com a condio de que os coeficientes so reais.Da mesma forma,
m1,m2
j1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2;m1m2 |j1j2; j m jjmm (3.7.4
ou seja,
m1,m2
j1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2;m1m2 |j1j2; j m
m1,m2
j1j2; jm|j1j2;m1m2j1j2;m1m2 |j1j2; j m
j1j2; jm|j1j2; j m jjmm onde usamos argumentos similares.
Normalizao de |j1j2; jm. Como caso especial deste ltimo, faamos j j, m m m1 m2. Obtm-se
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 46
-
m1,m2
j1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2;m1m2 |j1j2; jm
m1,m2
|j1j2;m1m2 |j1j2; jm|2 1
que justamente a condio de normalizao para |j1j2; jm.Smbolo 3j de Wigner. Os coeficientes de Clebsch-Gordan podem tambm ser escritos em termos dossmbolos 3j de Wigner:
j1j2;m1m2 |j1j2; jm 1j1j2m 2j 1 j1j2jm1m2 m
(3.7.4
Relaes de Recorrncia para os Coeficientes de Clebsch-GordanFixando-se j1, j2 e j, os coeficientes com diferentes valores de m1 e m2 esto relacionados entre si atravs derelaes de recorrncia. Partindo com
J|j1j2; jm J1 J2 m1m2
|j1j2;m1 m2
e usando (3.5.39) e (3.5.40) obtemos
j mj m 1 |j1j2; j,m 1
m1m2
j1 m1 j1 m1 1 |j1j2;m1 1,m2
j2 m2 j2 m2 1 |j1j2;m ,m2 1 j1j2;m1 m2 |j1j2; jm
Multiplicando agora o resultado por j1j2;m1m2 | e usando a ortogonalidade, que significa contribuies nonulas para o lado direito apenas se
m1 m1 1, m2 m2 , primeiro termom1 m1 , m2 m2 1, segundo termo.
Desta forma, obtm-se as relaes de recorrncia desejadas:
j mj m 1 j1j2;m1m2|j1j2; j,m 1 j1 m1j1 m1 1 j1j2;m1 1,m2|j1j2; jm
j2 m2j2 m2 1 j1j2;m1,m2 1|j1j2; jm (3.7.4
Suprimindo a j1j2 da notao, isto ,
|j1j2; jm |jm e |j1j2;m1m2 |m1m2podemos escrever
j mj m 1 m1m2|j,m 1 j1 m1j1 m1 1 m1 1,m2|jm
j2 m2j2 m2 1 m1,m2 1|jm (3.7.4
Visualizao das relaes de recorrncia. Representando os valores dos m s no plano m1m2, as relaes derecorrncia para J diz-nos que os coeficientes para m1,m2 esto relacionados aos coeficientes para
Prof. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 47
-
m1 1,m2 e m1,m2 1. Da mesma forma, para J, a relao de recorrncia relaciona os trs coeficientescujos valores de m1 e m2 so dados na figura da direita.
(m1-1,m2)
(m1,m2-1)
(lado direito)
J+
J-
(lado direito)
(m1,m2)(lado esquerdo)
(m1,m2)(lado esquerdo)
(m1,m2+1)(lado direito)
(m1+1,m2)(lado direito)
Os coeficientes de Clebsch-Gordan e as relaes de recorrncia. Considere o plano m1m2 com j1, j2 e j fixos.Na parte (a) da figura abaixo, plotamos o contorno da regio permitida determinado por
|m1 | j1, |m2 | j2, j m m1 m2 j.
A
m1 + m2 = j
m2 = j2
m2 = - j2
m1 = - j1 m1 = j1
AD
E
F C
B x
proibido!J+
J+
J-
J-
(a) (b)
J-
m1 + m2 = - j
Partimos com o canto direito superior representado por A.
Aplicamos a relao de recorrncia para J (sinal inferior) com m1, m2 1 correspondendo a A. Observe que estarelao s conecta A com B, porque o stio correspondendo a m1 1, m2 proibido por m1 j1. Como resultado,obtemos os coeficientes de C-G de B em termos dos coeficientes de A.
Em seguida, forma-se o tringulo J com A, B e D. Isto permite encontrar o coeficientte de D, uma vez que ocoeficiente de A seja especificado.
Conhecendo-se B e D, podemos obter E.
Conhecendo-se B e E podemos obter C e assim por diante.
Adio de j1 l e j2 s 12Considere o seguinte exemplo de adio do momento angular orbital com o momento angular de spin 1/2:
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 48
-
j1 l, inteiro , m1 mlj2 s 12 , m2 ms
(3.7.5
Valores de j permitidos . Neste caso, os valores de j permitidos so
j l 12 , l 0.j 12 , l 0.
(3.7.5
Assim, para cada l, existem dois valores permitidos para j
j l 12 e l 12 .
Por exemplo, para l 1 (estado p), os valores permitidos de j so: j 32 e12 . Na notao espectroscpica,
p3/2 e p1/2 onde o subscrito refere-se a j.
Plano m1m2. O plano m1m2, ou melhor, o plano mlms deste problema particularmente simples: os stiospermitidos formam apenas duas linhas. A linha superior, para ms 12 , e a inferior, para ms
12 .
Caso j l 12 . Vamos estudar o caso especfico j l 12 . Uma vez que ms no pode ser maior que
12 ,
podemos usar a recorrncia de J de maneira que sempre estaremos na linha superior m2 ms 12 ,enquanto que o valor de ml varia por uma unidade, cada vez que consideramos um novo tringulo J. De(3.7.49) (sinal inferior), para m1 ml m 12 e m2 ms
12 , ou seja,
j mj m 1 mlms|j,m 1 j1 m1j1 m1 1 ml 1,ms|jm
j2 m2j2 m2 1 ml,ms 1|jmencontramos fazendo m m 1:
l 12 m 1 l 12 m m
12 ,
12 |l
12 ,m
l m 12 l m 12 m
12 ,
12 l
12 ,m 1
Logo,
m 12 ,12 |l
12 ,m
l m 12 l m 12
l 12 m 1 l 12 m
m 12 ,12 l
12 ,m 1
ou
m 12 ,12 l
12 ,m
l m 12l m 32
m 12 ,12 l
12 ,m 1
Fazendo m m 1, sucessivamente, nesta equao, at que m l, encontramos
Prof. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 49
-
m 12 ,12 l
12 ,m 1
l m 32l m 52
m 32 ,12 l
12 ,m 2
m 32 ,12 l
12 ,m 2
l m 52l m 72
m 52 ,12 l
12 ,m 3
m 52 ,12 l
12 ,m 2
l m 72l m 92
m 72 ,12 l
12 ,m 4
l 1, 12 l
12 , l 1
12
2l2l 1 l,
12 l
12 , l
12
e, portanto,
m 12 ,12 l
12 ,m
l m 12l m 32
l m 12l m 32
l m 32l m 52
2l2l 1 l,12 l
12 , l
12
l m 12
2l 1 l,12 l
12 , l
12 . (3.7.5
ms
ml
J- J- J-
x x x
Configurao de valores mximos: m1 l e m2 12 . Neste caso, o valor total m m1 m2 vale m l 12 ,
que s ser possvel para j l 12 e no para j l 12 . Assim:
ml l,ms 12 j l 12 ,m l
12
onde um fator de fase. Tomando este fator de fase real e positivo, igual unidade, por conveno,encontramos
ml l,ms 12 j l 12 ,m l
12 l,
12 l
12 , l
12 1 (3.7.5
Assim, de (3.7.57)
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 50
-
m 12 ,12 l
12 ,m
l m 122l 1 (3.7.5
Estados j l 12 ,m e j l 12 ,m . Como m ml ms, os valores de ml e ms podem ser, para ambos os
estados: a ml m 12 e ms 12 e b ml m
12 e ms
12 . Assim, esses estados conectam ambos.
Logo,
j l 12 ,m a ml m 12 ,ms
12 b ml m
12 ,ms
12
j l 12 ,m c ml m 12 ,ms
12 d ml m
12 ,ms
12
O parmetro a pode ser facilmente obtido de (3.7.59), sendo dado por a l m 12
2l 1 . Portanto,
j l 12 ,m l m 12
2l 1 ml m 12 ,ms
12
b ml m 12 ,ms 12 .
j l 12 ,m c ml m 12 ,ms
12
d ml m 12 ,ms 12
Isto pode ser escrito na forma matricial
j l 12 ,mj l 12 ,m
a bc d
m 12 ,12
m 12 ,12
Devido ortogonalidade, espera-se que a matriz de transformao seja da forma,
a bc d
cos sen sen cos
Como cos a l m 12
2l 1 , podemos encontrar
sen b 1 cos2 1 l m 12
2l 1 2l 1 l m 12
2l 1
l m 12
2l 1Portanto, a matriz de transformao ser:
l m 122l 1
l m 122l 1
l m 12
2l 1l m 12
2l 1
Prof. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 51
-
3.8 Modelo de Oscilador de Schwinger do Momento AngularExiste uma conexo entre a lgebra do momento angular e a lgebra de dois osciladores desacoplados.Vamos considerar dois tipos de oscilador: oscilador tipo mais e oscilador tipo menos. Os operadores de criaoe destruio so denotados por a e a . Os operadores nmeros so definidos por
N aa (3.8.Relaes de comutao. Admitimos que as relaes de comutao para a, a e N so do mesmo tipo quedos osciladores. Ou seja,
a,a 1, a,a 1,N,a a, N,a a,N,a a , N,a a .
(3.8.2
Para osciladores diferentes (desacoplados),
a,a 0, (3.8.3Como N e N comutam, podemos definir autoestados simultneos desses operadores, |n,n ,ou seja,
N|n,n n|n,n , N|n,n n|n,n (3.8.4Ao dos operadores a e a. Em analogia com o problema do oscilador, segue que
a |n,n n 1 |n 1,n , a |n,n n 1 |n,n 1,a|n,n n |n 1,n , a|n,n n |n,n 1.
(3.8.5
Ket |n,n a partir do vcuo |0, 0. Para obter o ket |n,n basta aplicar sucessivamente a e a ao vcuo|0, 0. Isto
aa |0, 0 |1, 1 |1, 1 aa |0, 0aa |1, 1 2 2 |2,2 |2, 2 a
2a
2|1,1 a
22
a 22
|0, 0
aa |2, 2 3 3 |3,3 |3, 3 a
3a
3|2,2 a
33 2
a 33 2 |0,0
onde
a |0, 0 0 (3.8.6De uma maneira geral
|n,n a na nn! n!
|0, 0 (3.8.7
Agora definimos
J aa, J aa
Jz 2 aa aa 2 N N
(3.8.8
(3.8.8
Estes operadores satisfazem as relaes de comutao de momento angular:
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 52
-
Jz,J J, J,J 2Jz (3.8.9Definindo o operador nmero total, N, como
N N N aa aa,podemos mostrar que
J2 Jz2 12 JJ JJ 22 N
N2 1 .
Demonstrao. Como J2 Jx2 Jy2 Jz2 e escrevendo J Jx iJy, obtm-se Jx 12 J J eJy 12i J J, ento
J2 Jx2 Jy2 Jz2 Jz2 14 J J
2 12 J J2
Jz2 14 JJ JJ JJ JJ JJ JJ JJ JJ Jz2 14 2JJ 2JJ Jz2 12 JJ JJ
Como J aa e J aa, a,a 1 e a,a 0 encontramosJJ 2 aaaa 2 a 1 aaa
2 aa1 aa 2N1 N
Da mesma forma
JJ 2 aaaa 2 a 1 aaa 2 aa1 aa 2N1 N
assim como,
Jz2 24 N N2 24 N
2 N2 2NN onde usamos N,N 0. Logo,
J2 Jz2 12 JJ JJ 24 N
2 N2 2NN 22 N1 N N1 N
22N2 N2 2NN
2 N NN N NN
22N2 N2 2NN 2N N 4NN
2
22N2 2N
2
22 NN2 1
como foi antecipado. Interpretao Fsica1) interpretao 1
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-
spin para cima uma unidade quntica do oscilador tipo mais. spin para baixo uma unidade quntica do oscilador tipo menos.2) interpretao 2
uma partcula de spin 1/2 com spin para cima cada uma unidade quntica do oscilador tipo mais. uma partcula de spin 1/2 com spin para baixo cada uma unidade quntica do oscilador tipo menos.Os autovalores n representam o nmero de spins para cima e para baixo . J a a destri uma unidade de spin para baixo, com componente z do momento angular /2 e cria uma
unidade de spin para cima, com componente z do momento angular /2: a componente z do momento angularaumenta uma unidade de .
J a a destri uma unidade de spin para cima, com componente z do momento angular /2 e cria uma unidadede spin para baixo, com componente z do momento angular /2: a componente z do momento angular diminui umaunidade de .
Jz N N /2 calcula o produto de /2 pela diferena de n e n, exatamente a componente z do momentoangular total.
Ao de J e Jz sobre |n,n . Estes operadores atuam sobre |n,n da seguinte maneira:J |n,n aa|n,n n n 1 |n 1,n 1
nn 1 |n 1,n 1,J |n,n aa|n,n n n 1 |n 1,n 1
nn 1 |n 1,n 1,Jz|n,n 2 N N|n,n
12 n n |n,n
(3.8.
(3.8.
(3.8.
Note que em todas essas operaes, a soma n n, que corresponde ao nmero total de de partculas despin 1/2, permanece constante.
Essas expresses podem ser reduzidas s formas familiares de momento angular, fazendo-se
n j m, n j m (3.8.Assim,
nn 1 j mj m 1 ,nn 1 j mj m 1 , (3.8.
Tambm, os autovalores de J2, definido em (3.8.12) ser
J2|n,n 22 NN2 1 |n,n
22 n nn n
2 1 |n,n Assim, como n n j m j m 2j
22 n n
n n2 1
22 2j
2j2 1
2 jj 1
Relao entre os elementos de matriz do oscilador e do momento angularDe (3.8.14), podemos usar
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 54
-
j 12 n n, m 12 n n,
no lugar de n e n, para caracterizar autokets simultneos de J2 e Jz. Ou seja,
|n,n |j,m.Ao de J sobre |j,m. Como vimos, o operador J atuando sobre |n,n muda n para n 1 e n paran 1, ou seja,
J |n,n nn 1 |n 1,n 1Usando , isto ser
J |n,n J j n n2 ,m n n
2 j mj m 1
j n 1 n 12 ,m n 1 n 12
j mj m 1 j n n2 ,m n n2 1
onde j j j e m m m 1:J |j,m j mj m 1 |j,m 1.
De forma similar para J. A Eq. (3.8.7), ou seja,
|n,n a na nn! n!
|0, 0
pode ser escrita agora para o autoket mais geral de N,N
|j,m a jma jm
j m!j m! |0 (3.8.
Caso de interesse. Seja m j, que fisicamente significa que o autovalor de Jz o maior possvel para umdado j. Logo,
|j, j a 2j2j! |0 (3.8.
Podemos imaginar este estado como sendo o estado de 2j partculas de spin 1/2 com todos os spinsapontando na direo positiva do eixo z.
Observao (1) Em geral, notamos que objetos complicados com valores altos de j podem ser visualizados como sendoconstitudos de partculas de spin 1/2, das quais j m com spins para cima e j m com spins para baixo.Observao (2) Embora nem sempre se possa considerar literalmente um objeto de momento angular j como umsistema composto de partculas de spin 1/2, sempre possvel afirmar que, enquanto estamos considerando aspropriedades de transformao sob rotaes, podemos visualizar qualquer objeto de momento angular j como um sistemacomposto de 2j partculas de spin 1/2 formado da maneira indicada pela Eq. (3.8.18).
Leia o restante da seo.Frmula Explcita para Matrizes de RotaoO esquema de Schwinger pode ser usado para obter, de uma maneira bastante simples, uma frmula fechadapara as matrizes de rotao.
Vamos aplicar o operador DR a |j,m. Na notao dos ngulos de Euler, a nica rotao no trivial aquelaem torno do eixo y
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-
DR D,,|0 expiJy
Assim,
DR |j,m DR a jma jm
j m!j m! |0
DRaD1RjmDRaD1Rjm
j m!j m! (3.8.2
Como
DR|0 exp iJy |0
1 i Jy 12!
i
2Jy2 |0
e com Jy 12i J J 2i a
a aa,
Jy|0 2i aa aa|0
0devido a (3.8.6). Assim,
DR|0 |0.Logo,
DRaD1R exp iJy a exp iJy (3.8.2
Usando o lema de Baker-Hausdorff com
A a , G Jy , Calculando os diversos comutadores do tipo G,A, G, G,A, encontramos
Jy ,a
12i aa aa,a
12i aa,a aa,a
12i a a,a a ,a a a a,a a ,a a
12i a 0 0 a a a,a 0 a
12i a a,a
12i a
Jy ,
Jy ,a
Jy ,12i a
12iJy ,a
14 a
Assim
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 56
-
exp iJy a exp iJy
a i Jy ,a i2!
2 Jy ,
Jy ,a
i3!3 Jy
,Jy ,
Jy ,a
ou
exp iJy a exp iJy a
i 12i a i2!
2 14 a
Finalmente,
exp iJy a exp iJy a
2 a i2!
2 14 a
a 1 i2!2
22 a 2 a
a cos 2 a sen 2 .
ou seja,
exp iJy a exp iJy a
cos 2 a sen 2 (3.8.2
Da mesma forma
exp iJy a exp iJy a
cos 2 a sen 2 (3.8.2
Substituindo estas duas ltimas expresses em (3.8.21), encontra-se
DR |j,m DRa
D1RjmDRaD1Rjmj m!j m! |0
a cos
2 a
sen 2jm
a cos2 a
sen 2jm
j m!j m! |0
Recorrenco ao teorema binomial,
x yN k
N!N k! k! x
Nkyk (3.8.2
encontramos
a cos2 a
sen 2jm
k
j m!j m k! k! a
cos 2jmk
a sen2
k
e
a cos2 a
sen 2jm
l
j m!j m l! l! a
sen 2jml
a cos2
l.
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-
Logo,
D 0,, 0 |j,m 1j m!j m! k l
j m!j m k! k! a
cos 2jmk
a sen2
k
j m!j m l! l! a sen 2
jmla cos
2
l|0
Ou,
D 0,, 0 |j,m
k
l
j m!j m!j m k! k!j m l! l!
1 jlma 2jkla kl cos 2jmkl
sen 2jklm
|0 (3.8.2
Outra maneira de expressar este resultado usar (3.5.49), (3.5.5.1) e (3.8.18) , isto ,
D 0,, 0 |j,m m
|j,m dmm j
m
dmm j a
jm a jm j m !j m ! |
0 (3.8.3
Comparando as duas expresses, podemos obter uma forma explcita para dmm j , atravs da igualdade dos
coeficientes das potncias de a . Especificamente,
a 2jkl a jm
o que nos fornece
2j k l j m l j k m (3.8.3Para m constante, esta relao nos diz que as somas em k e l no so independentes. Eliminando l de acordocom (3.8.31),
a kl a jm
fica automaticamente satisfeita. Os expoentes do sen/2, cos/2 e 1 ficam, com esta substiuio
cos 2jmkl
cos 2jmkjkm
cos 22j2kmm
sen 2jklm
sen 2jkjkm m
sen 22kmm
1 jlm 1kmm
Portanto, (3.8.29), aps eliminarmos a soma em l, torna-se
D 0,, 0 |j,m
k
a jm a jm j m !j m !
j m!j m! j m !j m !j m k! k!j m l! l!
1kmm cos 22j2kmm
sen 22kmm
|0
Comparando com (3.8.30) para um m fixo, encontramos
Captulo 3 Teoria do Momento Angular 58
-
dm mj
k1kmm j m!j m! j m
!j m !j m k! k!j m l! l!
cos 22j2kmm
sen 22kmm
(3.8.3
que a frmula de Wigner para dm mj .
3.9 Medida de Correlao de Spin e Desigualdade de BellCorrelaes em Estados Singletos de SpinSistema de dois eltrons num estado singleto. Considere dois eltrons com spin total zero. O estado ket podeser escrito como
singleto 12
|z ; z |z ; z (3.91
Medida da componente de spin de um dos eltrons. Existe uma chance de 50% de se obter (numa medida)qualquer uma das componentes do spin para cada um dos eltrons, uma vez que o sistema composto podeestar em |z ; z ou |z ; z com igual probabilidade.Conhecendo a componente do spin de um dos eltrons. Suponha que um dos eltrons esteja, com certeza,no estado de spin para cima, o outro eltron est necessariamente no estado de spin para baixo.
Medida. Quando a componente do spin do eltron 1 est para cima, o aparelho de medida seleciona oprimeiro termo, |z ; z , de (3.9.1); uma medida subseqente da componente do spin do eltron 2 deveconfirmar que o estado ket do sistema composto dado por |z ; z .Correlao. Este tipo de correo pode persistir mesmo quando as duas partculas esto muito separadas ej interagem uma com a outra. A exigncia que medidas que elas se afastem no exista nenhumamudana em seus estados de spin.
Visualizao. Considere a figura que representa um sistema de duas partculas de spins , movendo-se emdirees opostas.
Partcula 2B APartcula 1
Observadores. O observador A mede Sz da partcula 1 (indo para a direita), enquanto que o observadormede o Sz da partcula 2 (esquerda).
O observador A realiza medida. Se A encontrar Sz , ento mesmo antes de B realizar sua medida, A podepredizer com certeza que o resultado de B ser Sz para a partcula 2.O observador A no realiza medida. Sem realizar sua medida, A pode apenas afirmar que o resultado de Btem 50% de chance para encontrar Sz ou Sz .Este resultado parece no ser to estranho. Podemos dizer: parecido com o caso de uma caixa quecontm uma bola preta e uma branca. Quando, sem olhar, retiramos uma delas, existe uma chance de 50% detirarmos a bola preta ou a branca. Mas se a primeira for a bola preta, ento podemos dizer com certeza que asegunda bola ser a branca.
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A situao quntica mais complexa. De fato, os observadores podem querer medir Sx ao invs de Sz. Emtermos da analogia com a caixa, como se o mesmo par de bolas qunticas pudesse ser analizado emtermos de preto e branco ou em termos de azul e vermelho.
Sx em termos de Sz. Para um nico spin, sabemos que
|x, 12
|z |z |z, 12
|x |x (3.9.3
Logo, para nosso sistema composto,
singleto 12
|x ; x |x ; x (3.9.4
Observador A. Pode medir tanto Sz como Sx da partcula 1, bastando apenas mudar a orientao doanalizador de spin.
Observador B. S pode medir Sx para a partcula 2.
O observador A realiza uma medida de Sz. Se A obtm Sz para a partcula 1, a medida de B pode resultarnuma das duas Sx ou Sx , com igual chance. Mesmo conhecendo-se o Sz da partcula 2, sua componente Sx completamente indeterminada.
O observador A realiza uma medida de Sx. Se A tambm obtm Sx para a partcula 1, ento com certeza oobservador encontrar Sx para a partcula 2.O observador A no realiza medida. Neste caso, B ter uma chance de 50% para obter Sx ou Sx .Resumo:
1. Se A mede Sz e B mede Sx, existe uma correlao completamente aleatria entre as duas medidas.
2. Se A e B medem Sx, existe 100% de correlao de sinais opostos entre as duas medidas.
3. Se A no realiza medida, as medidas de B apresentam resultados aleatrios.
Os observadores A e B podem medir Sx ou Sz. Neste caso, todos os resultados possveis dessas medidas decorrelao de spin so mostradas na tabela abaixo:
Medida de A Resultado de A Medida de B Resultado de Bz z z x x z x z z x x x z x x x z z z x x z x z
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3.10 Operadores TensoriaisLeia esta seo.
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