3. vaja: PROJEKTIRANJE OSNO-
UPOGIBNO OBREMENJENIH ARMIRANO
BETONSKIH ELEMENTOV
Zunanji vplivi in vsiljene deformacije povzročajo v konstrukciji napetostno stanje. Seštevek
normalnih napetosti po prečnem prerezu je osna sila, katere prijemališče je lahko izmaknjeno iz
težišča prereza. Tedaj govorimo o osno upogibno obremenjenem prerezu. Oddaljenost prijemališča
osne sile od težišča prereza imenujemo ekscentričnost.
Napetosti so
y
zx
y
xzx
y
yx
W
Ae
A
N
W
Ne
A
N
W
M
A
N1 . (3.1)
Slika 1 Osno-upogibno obremenjen armiranobetonski prečni prerez.
Kadar osna sila deluje v težišču prereza imamo opravka s čistim tlakom v primeru tlačnih napetosti
oziroma čistim nategom v primeru nateznih napetosti. Osna sila v obremenjenem prečnem prerezu
je lahko enaka nič, seštevek napetosti pomnoženih z razdaljo do težišča prečnega prereza pa
povzroča upogibni moment. Tedaj govorimo o čistem upogibu.
Kadar je celoten prečni prerez konstrukcije obremenjen s tlačnimi normalnimi napetostmi – tlačno
oziroma celoten z nateznimi normalnimi napetostmi – natezno, deluje osna sila znotraj jedra
prereza. Tedaj govorimo o mali ekscentričnosti.
Rob jedra prereza določimo iz pogoja napetosti na robu σ=0
A
Wj
y
z . (3.2)
b
h
a'
a
T cy
z
As
A's M y
N xez
z's
zs N x
rob jedra prereza - NATEGrob jedra prereza - TLAK
BK: 3. vaja
~ 2 ~
Kadar pa rezultanta napetosti seštetih po prečnem prerezu pade izven jedra le-tega, imamo opravka
z veliko ekscentričnostjo. V tem primeru imamo po prerezu tako tlačne kot tudi natezne napetosti.
Ekscentričnost e je enaka razmerju upogibnega momenta M in osne sile N
.,x
y
zN
Me
N
Me (3.3)
V tlačno obremenjenem pravokotnem prečnem prerezu je mala ekscentričnost, če prijemališče
rezultante napetosti ustreza pogoju
,6
h
N
Me
x
y
z (3.4)
pri čemer smo pri izračunu geometrijskih karakteristik upoštevali brutto betonski prerez in smo
zanemarili povečanje nosilnosti na mestu armature
hbE
EAAA
c
ssc . (3.5)
Prijemališče rezultante napetosti v natezno obremenjenem pravokotnem prečnem prerezu pa mora
ustrezati pogoju
0'
0
ys
ys
z Mz
Mze , (3.6)
pri čemer smo zanemarili nosilnost betona v nategu. Prijemališče rezultante napetosti pade v
prečnem prerezu znotraj težišč zgornje in spodnje armature.
PREDPOSTAVKE
Pri računu statičnih količin v prečnih prerezih obremenjenih elementov upoštevamo, da velja
Bernoullijeva hipoteza o ravnih prerezih. Prerez elementa, ki je bil pred nanosom obtežbe raven, se
ob nanosu obtežbe pomakne in zasuka kot toga šipa v deformirano lego elementa.
Poznamo konstitutivne zakone materialov, betona in armature, iz katerih sestojijo elementi.
Nosilnost betona v nategu zanemarimo. Konstitutivni zakon betona v tlaku je nelinearen.
Upoštevamo lahko poenostavljene zveze s parabolo in linearno funkcijo ali pa bilinearno zvezo, ki
je grob približek. Konstitutivni zakon armature je tudi nelinearen. Pri računu mejne nosilnosti lahko
upoštevamo poenostavljen bilinearni konstitutivni zakon jekla brez utrditve, to je s horizontalno
zgornjo vejo delovnega diagrama, pri čemer mejna deformacija ni omejena.
Privzamemo, da je adhezijski stik med armaturo in betonom popoln vse do porušitve.
BK: 3. vaja
~ 3 ~
KONSTITUTIVNI ZAKONI MATERIALOV
Poenostavljen konstitutivni zakon betona za računanje mejne nosilnosti oziroma za dimenzioniranje
betonskih konstrukcij je podan z izrazom
ccu
cucc
cc
n
c
c
c
cdc f
2
22
2
2
0
1
011
00
, (3.7)
c
ckcd
ff
. (3.8)
Slika 2 Konstitutivni zakon betona.
Poenostavljen konstitutivni zakon armature za računanje mejne nosilnosti oziroma za
dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij je podan z izrazom ob upoštevanju utrditve
ud
udud
ydydyduk
ydydudyd
ydud
yd
ud
s
kfkf
0
11
11
2
1
0
(3.9)
in izrazom, če utrditev zanemarimo
11
2 ydyd
ydudyd
s
f
, (3.10)
s
yd
ydE
f , (3.11)
s
yk
yd
ff
. (3.12)
cu2 c2 c
c
f cd
f ck
BK: 3. vaja
~ 4 ~
Slika 3 Konstitutivni zakon armature.
MEJNE DEFORMACIJE
Mejna deformacijska ravnina je tista ravnina, ki se mejnega deformacijskega območja dotika vsaj v
eni točki.
ud yd s
s
f yd
f yk
k f yk
k f yd
uk
ud yd
f yd
f yk
k f yk
uk
k f yd
ud yd s
s
f yd
f yk
k f yk
uk
ud yd
f yd
f yk
k f yk
uk
BK: 3. vaja
~ 5 ~
h … višina prečnega prereza
b … širina prečnega prereza
a' … oddaljenost težišča zgornje armature od
zgornjega robu prereza
a … oddaljenost težišča spodnje armature od
spodnjega robu prereza
Tc … težišče homogenega prečnega prereza
As' … površina zgornje armature
As … površina spodnje armature
Slika 4 Rezultante napetosti po prečnem prerezu pri upogibno-osni obremenitvi prereza.
ε1 … deformacija na spodnjem robu betonskega
prereza
εs' … deformacija v težišču zgornje tlačene oziroma
manj tegnjene armature
εs … deformacija v težišču spodnje tegnjene oziroma
manj tlačene armature
ε2 … deformacija na zgornjem robu betonskega
prereza
B … točka v diagramu deformacij, do katere se lahko
deformira najbolj tlačeni del prereza
C … točka v diagramu deformacij, v kateri se vrtijo
vse deformacijske ravnine male ekscentričnosti
v tlaku
εc2 … deformacija pri največji doseženi napetosti
betona
εcu2 … mejna deformacija betona
εud … deformacija na meji elastičnosti armature
εyd … mejna deformacija armature
x … oddaljenost točke C od zgornjega roba prereza
Slika 5 Definicijsko območje mejnih deformacijskih ravnin pri upogibno-osni mejni
nosilnosti prereza.
b
h
a'
a
T cy
z
As
A's
M y
N x NATEG xN x TLAK
b
h
a'
a
T cy
z
C
As
A's
MALA EKSCENTRIČNOST - NATEG
MALA EKSCENTRIČNOST - TLAKVELIKA EKSCENTRIČNOST
B
x
εud εyd
εc2 εcu2
BK: 3. vaja
~ 6 ~
nateg spodaj
MALA EKSCENTRIČNOST – NATEG
ud
ud
s
s
0,
1
'
2
(3.13)
VELIKA EKSCENTRIČNOST
ud
cu
s
s
2
1
'
2 ,0
(3.14)
ydud
cu
s
s
,
2
1
'
2
(3.15)
0,
2
1
'
2
yd
cu
s
s
(3.16)
MALA EKSCENTRIČNOST – TLAK
hxcu
c
2
21
. (3.17)
2
22
1
'
2
,0
,
c
cuc
s
s
(3.18)
A
A
BK: 3. vaja
~ 7 ~
h … višina prečnega prereza
b … širina prečnega prereza
a' … oddaljenost težišča zgornje armature od
zgornjega robu prereza
a … oddaljenost težišča spodnje armature od
spodnjega robu prereza
Tc … težišče homogenega prečnega prereza
As' … površina zgornje armature
As … površina spodnje armature
Slika 6 Rezultante napetosti po prečnem prerezu pri upogibno-osni obremenitvi prereza.
ε1 … deformacija na spodnjem robu betonskega
prereza
εs' … deformacija v težišču zgornje tlačene oziroma
manj tegnjene armature
εs … deformacija v težišču spodnje tegnjene oziroma
manj tlačene armature
ε2 … deformacija na zgornjem robu betonskega
prereza
B … točka v diagramu deformacij, do katere se lahko
deformira najbolj tlačeni del prereza
C … točka v diagramu deformacij, v kateri se vrtijo
vse deformacijske ravnine male ekscentričnosti
v tlaku
εud … deformacija na meji elastičnosti armature
εyd … mejna deformacija armature
εc2 … deformacija pri največji doseženi napetosti
betona
εcu2 … mejna deformacija betona
x … oddaljenost točke C od zgornjega roba prereza
Slika 7 Definicijsko območje mejnih deformacijskih ravnin pri upogibno-osni mejni
nosilnosti prereza.
b
h
a'
a
T cy
z
As
A's
M y
N x NATEG xN x TLAK
b
h
a'
a
T cy
z
C
As
A's
MALA EKSCENTRIČNOST - NATEG
MALA EKSCENTRIČNOST - TLAKVELIKA EKSCENTRIČNOST
B
x
εud εyd
εc2 εcu2
BK: 3. vaja
~ 8 ~
nateg zgoraj
MALA EKSCENTRIČNOST – NATEG
0,1
'
2
ud
ud
s
s
(3.19)
VELIKA EKSCENTRIČNOST
21
'
2
,0 cu
ud
s
s
(3.20)
21
'
2
,
cu
ydud
s
s
(3.21)
21
'
2
0,
cu
yd
s
s
(3.22)
MALA EKSCENTRIČNOST – TLAK
hxcu
c
2
21
. (3.23)
22
2
1
'
2
,
,0
cuc
c
s
s
(3.24)
A
A
BK: 3. vaja
~ 9 ~
POSTOPEK DIMENZIONIRANJA PO METODI MEJNIH STANJ
Znana projektna obremenitev ne sme presegati mejne nosilnosti prečnega prereza
RdRdddEdEddd MNRgeometrijaSCRMNEqgQGE ,,... ,,,,...,,, , (3.25)
pri čemer je
Ed ... mejna obremenitev prečnega prereza,
Rd ... mejna nosilnost prečnega prereza.
sc A
s
A
cRd dAdAN , (3.26)
sc A
s
A
cRd zdAzdAM . (3.27)
Slika 8 Mejna nosilnost prereza.
s/1 = ud/0
s/1 = ud/cu2
s/1 = yd/cu2
2/1 = 0/cu2
2/1 = c2/c2
2/1 = cu2/0
's/2 = 'yd/cu2
's/2 = 'ud/cu2
's/2 = 'ud/0s/'s = ud/'ud
-10MN
-8MN
-6MN
-4MN
-2MN
0MN
2MN
4MN
-0,8
MN
m
-0,6
MN
m
-0,4
MN
m
-0,2
MN
m
0M
Nm
0,2
MN
m
0,4
MN
m
0,6
MN
m
0,8
MN
m
mejna nosilnost izbranega prereza mejna nosilnost betona
mejna nosilnost prereza z minimalno armaturo mejna nosilnost prereza z maksimalno armaturo
mejna zunanja obremenitev
MEd
NEd
BK: 3. vaja
~ 10 ~
Slika 9 Deformacijsko in napetostno stanje v prečnem prerezu.
Upogibni moment na težišče natezne armature je
sEdxEdyEdsy zNMM ,,, . (3.28)
b
h
a'
a
T cy
z
As
A's
M y,Ed
N x,Ed
x
1
's
s
zs
d
N x,c,Rd
N 'x,s,Rd
N x,s,Rd
z
nevtralna os
N x,Ed
M y,Eds
BK: 3. vaja
~ 11 ~
1.1 Velika ekscentričnost 1.1.1 Čisti upogib
Dimenzionirajte prerez a-a za armiranobetonsko konstrukcijo, iz betona C30/37 in armature S500,
na sliki 35.
Slika 10 Geometrijske karakteristike obravnavanega nosilca in obtežba nanj.
Stalna obtežba: gk = 30 kN/m
Spremenljiva qk = 25 kN/m
V prvi vaji smo izračunali projektno obremenitev v prerezu a-a.
Največji projektni upogibni moment je
kNm2,351Ed,maxM , pripadajoča osna sila v prerezu a-a je kN0EdN .
Najmanjši projektni upogibni moment v prerezu a-a je
kNm2,27Ed,minM , pripadajoča osna sila v prerezu a-a je kN0EdN .
qk
2,50 m 7,00 m 2,50 m
gk
a
a
BK: 3. vaja
~ 12 ~
1.2 Mala ekscetričnost
1.3 Čisti tlak
1.4 Čisti nateg