Download - Ruch okresowy
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I
10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)
Siły oporu (tarcia) są zwykle proporcjonalne do prędkości ciała*:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
dt
xdrvrFoporu
Oscylator mechaniczny w obecności sił tarcia (tłumienie):
kxrvma
Obwód RLC (opór R odpowiada za tłumienie):
0C
qRI
dt
dIL
* A przedtem było (patrz wykład 3.), że do kwadratu prędkości! Nieoduczeni ci
wykładowcy, albo kłamią na wykładach…
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)
Ogólne równanie drgań tłumionych (straty energii na oporze ośrodka,
proporcjonalne do pierwszej pochodnej zmiany położenia, czyli prędkości):
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
02 2
0 xxx
Dla oscylatora mechanicznego:
m
r
2
m
k0
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)
Ogólne rozwiązanie w postaci kombinacji liniowej rozwiązań
szczególnych:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
txNtxNtx 2211
gdzie:
tAtx 2
0
2
2,12,1 exp
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Rodzaje rozwiązań:
1) dla oba pierwiastki są
rzeczywiste i ujemne, więc rozwiązaniem
jest aperiodyczne, wykładnicze malenie
x od A do zera;
2) dla występuje tzw. tłumienie krytyczne – jest to minimalna
wartość tłumienia, przy której ruch jest aperiodyczny;
2
0
2
2
0
2
tAtx 2
0
2
2,12,1 exp
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Rodzaje rozwiązań:
3) dla mamy drgania gasnące – oscylacje o zanikającej
amplitudzie:
2
0
2
titAx expexp02,1
tAtx 2
0
2
2,12,1 exp
22
0
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)
Ograniczając się do jednego rozwiązania (znak „plus” przy fazie) i pisząc
rozwiązanie w postaci funkcji harmonicznej:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
00 sinexp ttAtx
tAtA exp0 nazywamy amplitudą drgań gasnących;
m
r
2 to współczynnik tłumienia;
22
0 to częstość własna drgań układu tłumionego;
m
k0 to częstość drgań swobodnych układu;
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)
Drgania gasnące są drganiami nieokreślonymi – nigdy nie powtarzają się
największe wartości wychylenia, prędkości, przyspieszenia. Dlatego tylko umownie
można nazwać częstością kątową – w tym sensie, że wskazuje ona, ile razy w
ciągu sekund drgający układ przechodzi przez położenie równowagi!
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
00 sinexp ttAtx
Podobnie:
nazwiemy umownym okresem drgań gasnących.
22
0
22
T
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)
Współczynnik tłumienia mówi nam o stosunku kolejnych amplitud
drgań gasnących:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
TA
A
n
n exp1
Logarytm naturalny stosunku amplitud dwóch kolejnych wychyleń,
następujących po sobie w odstępie czasu T (umownego okresu) nazywamy
logarytmicznym dekrementem tłumienia :
TA
A
n
n 1
ln
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)
Oznaczmy przez odstęp czasu, w ciągu którego amplituda drgań
zmniejszy się e-krotnie. Wtedy:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
1 albo: 1
czyli: współczynnik tłumienia jest wielkością fizyczną równą
odwrotności odstępu czasu , w ciągu którego amplituda zmniejsza się
e-razy. Czas nazywamy czasem relaksacji.
Podobnie: gdy przez N oznaczymy liczbę drgań, po wykonaniu których
amplituda zmaleje e-razy, okaże się, że:
N
1
czyli: dekrement logarytmiczny tłumienia jest wielkością równą
odwrotności liczby drgań, po upływie których amplituda zmniejszy się
e-razy.
DRGANIA WYMUSZONE
Oprócz siły sprężystej i siły oporu, działamy na układ dodatkową siłą –
okresową siłą wymuszającą F:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
tFtF cos0
Ogólne równanie ruchu oscylatora mechanicznego przybiera wtedy
postać:
tFkxdt
dxr
dt
xdm cos02
2
Jest to równanie różniczkowe niejednorodne.
DRGANIA WYMUSZONE
Spodziewamy się rozwiązania powyższego równania różniczkowego w
postaci drgania harmonicznego z częstością , równą częstości siły
wymuszającej F, ale amplituda tych drgań powinna „zawierać informacje” o
masie m, tłumieniu i wielkości siły wymuszającej F0 a także częstości
własnej układu 0:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
tFkxdt
dxr
dt
xdm cos02
2
0sin tAtx
m
0F0
?
?0
DRGANIA WYMUSZONE
Można pokazać, że:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
22222
0
0
4
m
FA
Amplituda A ustalonych drgań wymuszonych jest wprost proporcjonalna do
amplitudy siły wymuszającej F0 i odwrotnie proporcjonalna do masy m
układu oraz zmniejsza się wraz ze wzrostem współczynnika tłumienia .
„Faza początkowa” ma teraz sens różnicy faz między amplitudą drgań
wymuszonych A i amplitudą siły wymuszającej F0 – ściślej: ponieważ
użyliśmy funkcji „cosinus” do opisu siły wymuszającej i funkcji „sinus” do
opisu drgania x(t), to szukaną różnicą faz będzie:
22
0
2tan
20
DRGANIA WYMUSZONE
Analizując wyrażenie na amplitudę drgań wymuszonych:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
22222
0
0
4
m
FA
możemy zauważyć, że w przypadku braku tłumienia (=0), gdy
częstość siły wymuszającej F równa jest częstości drgań własnych
układu 0, amplituda ta rośnie do nieskończoności!
DRGANIA WYMUSZONE
Natomiast w obecności tłumienia 0, maksimum wyrażenia na
amplitudę A uzyskamy dla:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
22
0 2
Zjawisko to nazywamy
rezonansem.
Ale co to jest rezonans?
Niedobry wykładowca nie podał
definicji, żeby ją na ściądze
zapisać…
DRGANIA WYMUSZONE
Przykład obwodu elektrycznego: siła elektromotoryczna, wymuszająca
drgania, jest równa:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
titE exp0
Wtedy: równanie opisujące ruch ładunku elektrycznego w obwodzie (=
prąd elektryczny!):
tiC
q
dt
dqR
dt
qdL exp02
2
Rozwiązanie ogólne w postaci:
tiqq exp0
2
222
0
00
L
RL
q
gdzie:
22
0
/
LRtg