Download - Rotatia Rigidului
Rotatie bidimensionala
Rotatie tridimensionala
Forma indiciala a rotatiei
9 parametrii ce descriu rotatia 3D
Rotatia nu poate modifica lungimea unui vector
• constrangerea pentru miscarea solidului rigid va fi
• folosind transformarea matriciala
9-6=3GL
• matricea este ortogonala Transpusa
matrice proprie matrice improprieSpatiul inversiunii este • este ortogonal si nu modifica distantele
• nu poate fi o rotatie
Rotatia solidului rigid este reprezentata de matrici ortogonala proprii !
Cum se interpreteaza actiunea matricii A pe r ( ) ?
- rotim r in jurul unei axe cu un anumit unghi in directia acelor de ceasornic (+) - rotim axele de coordonate in jurul aceleiasi axe cu acelasi unghi, dar in directie opus (unghiul +=in sens invers acelor de ceasornic)
Rotatie cu un unghi in jurul axei Ozin sens invers acelor de ceasornic
Rotatie cu un unghi in jurul axei in sens invers acelor de ceasornic
Rotatie cu un unghi in jurul axei in sens invers acelor de ceasornic
Miscarea solidului rigid se studiaza facand urmatorii pasi:
Se definesc axele (axele solidului) atasate solidului rigid
- Originea fixata intr-un punct al solidului rigid- Axele avand la t=0 aceeasi directie cu axele spatiale
Folosim R(t) pentru a descrie miscarea originiiFolosim A(t) pentru a descrie rotatia axelor
- Utilizam unghiurile Euler
-
Observam ca avem 6 coordonate independente
Teorema lui EulerIn general, deplasare unui solid rigid in raport cu un punct fixat este o rotatie in raport cu o axa
- o rotatie 3D arbitrara este echivalenta cu o rotatie in jurul un ei axe - orice rotatie 3D lasa un vector neschimbat- pentru orice matrice de rotatie A exista un vecror r care satisface
- matricea A are valoarea proprie egala cu 1Dem
deoarece
( si deoarece pentru matrici impare )
Q.E.D
Exista posibilitatea introducerii unui vector de rotatie ?
Teorema lui Euler evidentiaza un alt mod de a descrie rotatia 3D:
1. directia axelor (2 parametrii) si unghiul de rotatie (1 parametru)2. pare similar cu momentul unghiular !
Diferenta de baza consta in : ComutativitateMomentul unghiular este un vector
- nu conteaza ordinea adunarii a doua momente unghiulareRotaia nu este un vector
- doua rotatii se aduna diferit , rezultatul depinzand de ordinea lor
Rotatiile infinitezimale sunt comutative
• ele pot fi reprezentate prin vectori• sunt importante pentru a descrie modul in care un solid rigid isi schimba orientarea in timp
doua rotatii infinitezimale succesive conduc la
In general comutativa
Inversa rotatiei infinitezimale este:
Deoarece antisimetric
Definim acum rotatia infinitezimala a unui vector
Conform teoremei lui Euler rotatia infinitezimalaa unui vector este echivalenta cu rotatia de unghidФ in jurul unei axe n
unde
se comporta aproape ca un vector
se roteste in acelasi fel ca si r in raport cu coordonatele rotatieie
In spatiul inversiunilor S un vector ordinar se incerseaza dupa legea:
iar nu
Un astfel de vector este numit vector axial (momentul unghiular, c.magnetic)
Care este legatura dintre acceleratia unghiulara si unghiurile Euler?Consideram un corp solid in rotatie
Definim coordonatele corpului solid
Intre momentele t si t+dt, coordonateleCS se rotesc cu
- rotatia are loc in sens invers acelor de ceasornic- observam ca in spatiul coordonatelor, orice punct r al rigidului se va misca dupa legea:
Pentru un vector oarecare V
deoarece
Spatiul coordonatelor Coordonatele rotatieiIncercam sa utilizam viteza unghiulara pentru a descrie rotatia rigidului!
Rotatii infinitezimale
este
In sistemul
Stim deja sa exprimam vitezele in termenii derivatelor temporale ale unghiurilor Euler!Care este forma Lagrangianului ?
Energia cinetica a unui sistem multi-particula este:
Miscarea CM Miscarea in jurul CM
Definind axele solidului din CM
Componenta translationala Componenta rotationalaAceasta separare este valabila cand CM este originea sistemului axelor solidului
Consideram momentul unghiular total:
Pe componente:
Tensorul de inertie I
Utilizand formalismul indicial
Iar componentele matricii au forma
Pentru cazul unei distributii continue de masa:
Cum exprimam energia cinetica in functiede momentul unghiular total ?
Energia cinetica datorata rotatiei are forma:
Tinand cont de versorul directiei vitezei unghiulare
unde este momentul de inertiein raport cu axa n
Obs. - n se misca in timp - I=I(t)
Daca originea axelor corpului solid nu se gaseste in CMeste bine sa separammiscarea de translatiede cea de rotatie
de la origine de la CM
I al CM I in raport cu CM
Ce am reusit sa demonstram ?
- Viteza datorata rotatiei
- Conexiunea dintre ω si unghiurile Euler
- Forma Lagrangianului cu cumponentele sale : translatie/rotatie
- Definirea tensorului de inertie- calculu momentului cinetic si al energiei cinetiece
Cu ajutorul tensorului de rotatie R, tensorul de inertie poate fi diagonalizat
Proprietatile cinematice ale unui solid rigid sunt complet descrise dac se cunosc:masa, axele principale si momentele de inertieCe sunt axele principale ?
- Fie un corp solid a carui axe sunt•tensorul de inertie I (in general) nu este diagonal•el poate fi diagonalizat prin
- Rotind cu R noi axe de coordonate in care
Putem alege un set de axeale solidului care sa diago-nalizeze tensorul de inertie
Axele principale
Cum facem aceasta alegere ?
-consideram versorii axelor principale
Vector propriu Valoare proprie
- exprimam I in orice sistem de coordonate al solidului
- rezolvam ecuatia cu valori proprii
- vectorii proprii indica axele principale
- utilizam aceste axe pentru a redefini coordonatele solidului si a simplifica I
Ecuatia miscarii de rotatie !
- ecuatia newtoniana a mis carii da
Axele “spatiale” Axele “solidului”
- Luam axele principale ale solidului
Ecuatia Euler de miscare a solidului in raprt cu un punct fix
Cazuri speciale
In SCM
Tensorul de inertie in formalism indicial
Tensor simetric
Momente de inertie in raport cu axele de coordonate
Pentru distributii continue de masa
EXEMPLE
Determinati componentele Iij ale tensorului de inertie {Iij} pentru un cub de densitate uniforma, de latura b si masa M, avand unul din colturi plasat in origine
b
M
deoarece
datorita simetriei
Momentul Unghiular in formalism indicial
deoarece
Legatura dintre momentul unghiular si Trot
dar
Axe principale de inertie
Determinarea formei diagonale a {Iij} este echivalenta cu gasirea unui nousistem de trei axe de coordonate pentru care energia cinetica de rotatie si momentul unghiular sunte date de:
Aceste axe se numesc axe principale de inertie !
Avand dat un sistem de referinta inertial in solid, putem trece la axele principaleprintr-o transformare ortogonala = transformare pt. axe principale
Existenta solutiilor netriviale implica anularea determinantului:
Ecuatie seculara sau ecuatie caracteristica( In aplicatii, momentele principale de inertie, fiind valori proprii ale lui I, sunt solutiile ecuatiei seculare)
EXEMPLUDeterminati principalele axe de inertie pentru cubul din exemplul anterior
Facem urmatoarea notatie
Valori proprii
Matricea care diagonalizeaza {Iij) va fi
Matricea diagonalizata a lui
Teorema axelor paralele
Sistem care are originea in CM al corpului rigid
Sistem cu originea intr-un punct diferit (dar axe paralele)
Componentele tens. Inertie in noul sistem
Coord. CM
Tensorul de inertie pentru CM= teorema axelor paraleleEXEMPLU
Pentru cubul anterior
EXEMPLU
Dinamica solidului rigid
Proiectam ecuatia pe principalele axe de inertie
Deoarece axele principale de inertie sunt independente de timp
Ecuatiile Euler
EXEMPLU
Demonstrati ca dupa lovirea orizontala cu un tac, o bila de biliard vaaluneca fara rotatie pe distanta
= viteza initiala
dupa care va incepe sa se roteasca, fara sa alunece, un timp
Cand forta impulsiva a incetat, conditiile initiale sunt:
Forta de frecare este:
Ecuatia de miscare va fi:
Ecuatia momentului cinetic:
Integrand cele doua ecuatii:
Tinand cont de conditiile initiale:
Conditia de rostogolire pura (fara frecare):
Integram
Titirezul
Orice solid in miscare de revolutie este un titirez simetric.
Axa de simetrie este
Inexistenta cuplurilor de torsiune
(+)
notam
Ecuatiile Euler proiectate pe principalele axe de inertie
indep. de timpAcest vector efectueaza o miscare de precesie cu o frecventa de precesie
=const.
Notand cu unghiul dintre si
Pentru miscarea de revolutia unui corp turtit
cazul Pamantului
zile- Pamantul nu este un corp rigid
- Structure sa interna estenfluida