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Ripasso nozioni di base di campi elettromagnetici
Esercitazione 1
onde piane.....
radiazione.....
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Definizioni
Onda elettromagnetica
Si ottiene come soluzione delle equazioni di Maxwell con• equazioni costitutive dei mezzi• condizioni al contorno
Si definisce ONDA la variazione temporale di un campo
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Ripasso: Equazioni di Maxwell
( ) ( )
( ) ( ) ( )ttrDtrJtrH
ttrBtrE
∂∂
+=×∇
∂∂
−=×∇
,,,
,,rr
rrrr
rrrr
( ) ( )( ) ( ) ( )ωωωω
ωωω,,,
,,rDjrJrH
rBjrE+=×∇
−=×∇
nel dominio del tempo
nel dominio della frequenza
Trasformata di Fourier
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Ripasso: Equazioni costitutive dei mezziCaratteristiche dei mezzi:
– Linearità, isotropia, stazionarietà, omogeneità, dispersione temporale e spaziale, dissipatività
Dielettrici Conduttori
-
+ +
EE
+ -+ -
E
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ωμμωωμω
ωεεωωεω,....,,,
,....,,,
00
00rHrMrHrB
rErPrErD
r
r==+=
==+= ( ) ( )ωσω ,, rErJ =
Polarizzazione dei dielettrici ε, σ
atomica; molecolare; orientamento.
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Ripasso: Condizioni al contorno
Interfaccia
All’ ∞
( )( ) s
sJHHn
DDn=−×=−⋅
12
12 ρ mezzo 1mezzo 2
n
r0
S∞( ) 0lim
10lim
0 =−×
<∀=
∞∞→
∞→HErr
Er
r
rη
υυ
Sono le condizioni di radiazione: poiché all’infinito non vi sono cariche, il campo deve tendere a 0 con dipendenza almeno 1/r; inoltre il campo elettrico ed il campo magnetico devono tendere ad una forma ‘tipo’ onda piana.
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Onda elettromagneticasi definisce
onda elettromagneticauna soluzione delle equazioni di Maxwell
nel dominio del tempo.....
( ) ( ) ( )ωωω ,,, rjermrE Φ−=
nel dominio della frequenza.....
( ) ( ) ( )zctgzctftzE ++−=,
f(z) f(ct-z)z
E
ct
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Espressione onda elettromagnetica
( ) ( ) ( )ωωω ,,, rjermra Φ−=•Tornando nel tempo (fasori):
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )( )ωωω
ωω ωωω
,cos,,
,Re,Re, ,
rtrmtra
eermeratra tjrjtj
Φ−=
== Φ−
•La fase dell’onda è data da:( )ωω ,rt Φ−=Ψ
L’onda e.m., nel dominio della frequenza, sarà una grandezza complessa, caratterizzata
da modulo e fase
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Velocità di fase
La velocità di fase è la velocità che dovrebbe avere un ipotetico osservatore per nonosservare variazioni di fase nell’onda:
( )( ) 0, =Φ−=Ψ ωω rtdd
( ) 0,=
∂Φ∂
− drrrdt ωω
Lungo una generica direzione r:
( )rrdt
drv f
∂Φ∂
== ωω
,
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Propagazione delle onde
Se la funzione iconale è costante nello spazio
l’onda si dice stazionaria;
altrimenti si ha un’onda progressiva
( ) ( ) ( )ωωω ,,, rjermra Φ−=
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Superfici equifase, equiampiezza
Si definiscono superfici equifase quelle superfici in cui risulta Φ(r) costante
Si definiscono superfici equiampiezza quelle superfici in cui risulta costante il modulo dell’onda
( ) ( ) ( )ωωω ,,, rjermra Φ−=
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Onda uniforme
Un’onda elettromagnetica si definisce uniformequando
le superfici equifase ed equiampiezza coincidono
piane cilindriche sferiche
L’onda prende il nome dalla forma delle superfici equifase
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Onde piane
Un’onda elettromagnetica si definisce piana quandoil luogo dei punti in cui la funzione iconale è costante è un piano.
Le onde piane si ottengono come soluzione particolare delle equazioni di Maxwell,
sotto particolari condizioni semplificative.
i.e., superfici equifase = piani
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in quanto: • molti fenomeni propagativi possono essere
schematizzati con la propagazione di onde piane;• il campo lontano di un’antenna è localmente di tipo
onda piana;• nelle strutture guidanti si propagano onde piane;• un qualunque campo elettrico (trasformabile secondo
Fourier) si può esprimere come somma integrale di infinite onde piane di ampiezza infinitesima.
Tuttavia, sono particolarmente importanti
Onde piane
Le onde piane rappresentano un’astrazione.
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Onde piane
Si possono ottenere come soluzioni delle 1. equazioni di Maxwell omogenee (no correnti impresse);2. nello spazio libero (no discontinuità);3. in un mezzo lineare, isotropo, omogeneo, stazionario,
eventualmente dispersivo nel tempo.
( ) ( ) 0,, 22 =+∇ ωω rEkrE
Si ottengono dall’equazione di Helmholtz omogenea
con la condizione:( ) 0, =⋅∇ ωrE
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+==
ωσεμωμεωj
k c222
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Onde piane: caratteristiche
k, vettore di propagazione, deve soddisfare la
2kkk =⋅
r vettore posizione
perché la (1) rappresenti un’onda piana deve essere:
00 =⋅ Ek
( ) rkjeErE ⋅−= 0,ω
Hanno una forma del tipo
(1)
condizione di separabilità
definisce la polarizzazione
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Onde piane: caratteristiche
2kkk =⋅ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+==
ωσεμωμεωj
k c222
Dalla condizione di separabilità....
con
αβ jk −=
( ) rjreeErE ⋅−⋅−= βαω 0,
ampiezza + polarizzazione fase
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Superfici equifase
superfici equifase = Φ(r) costante
21 rr ⋅=⋅ ββ
( ) 021 =−⋅ rrβ
( ) β⊥−= 2121 rrPP
β
costante r⋅β
Piani!
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Superfici equiampiezza
21 rr ⋅=⋅ αα
( ) 021 =−⋅ rrα
( ) α⊥−= 2121 rrPP
α
superfici equiampiezza = modulo costante
costante r⋅α
Piani!
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Velocità di fase
Nel caso generale si era trovato:
( )rrdt
drv f
∂Φ∂
== ωω
,
per l’onda piana, allora, lungo la direzione di β:
( ) βω
ωω
=
∂Φ∂
==
rrdt
drv f ,( ) rr ⋅=Φ βω,
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Lunghezza d’onda
Si definisce lunghezza d’onda λ la distanza tra due punti fra i quali esiste una differenza di fase
pari a 2πLungo la direzione di β:
πββ 212 =− rrβ
λπ2
12 =−= rr
β
λ
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Polarizzazione dell’onda
La condizione:( ) 0, =⋅∇ ωrE
diventa:00 =⋅ Ek
αβ jk −= JR EjEE 000 +=con
00
00
00=⋅−⋅
=⋅+⋅
RJ
JREEEE
αβαβ
Luogo geometrico descritto dall’estremo libero del vettore
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Polarizzazione
( ) ( ){ }( ) ( ) ( )rtErtEtrE
eeEjEtrE
JR
tjrjJR
⋅−−⋅−=
+= ⋅−
βωβω
ωβ
sincos,
Re,
00
00
r
r
( ) ( ) ( )tEtEtrE JR ωω sincos, 00 −=r
ξ
ηE0J
E0R
Luogo geometrico: ellisse
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Stato di polarizzazione
ξ
ηE0J
E0R
χ = arc tang(E0J/E0R)
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Polarizzazione ellittica
Un’onda piana polarizzata ellitticamente si può scomporre come somma di due onde piane polarizzate linearmente
con uguale direzione di propagazione e polarizzazioni non parallele e non in fase
( ) ( ) zjeyjxrE ⋅−+= βω 00 2,
( ) zjexE ⋅−= β01
( ) zjeyjE ⋅−= β02 2
( ) ( )ztxE βω −= cos01r
( ) ( )2cos2 02πβω −−= ztyE
r
( ) zjeyE ⋅−=′ β02 2 ( ) ( )ztyE βω −=′ cos2 02
r
( ) ( ) zjeyxrE ⋅−+= βω 00 2,
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Onde piane: campo magnetico
Il campo H si ottiene dalla prima equazione di Maxwell
( ) ( )ωωμω ,, rHjrE −=×∇
( ) ( ) ( ) rkjeH ⋅−0EkrEkj
jr ×=×−−=
1,1,ωμ
ωωμ
ω
( ) rkjeHrH ⋅−= 0,ω 001 EkH ×=ωμ
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Classificazione delle onde
L’onda si definisce:
1. TEM (Trasversa ElettroMagnetica), se né Ené H hanno componenti lungo la direzione di propagazione,
2. TE (Trasversa Elettrica), se E non ha componenti lungo la direzione di propagazione,
3. TM (Trasversa Magnetica), se H non ha componenti lungo la direzione di propagazione.
βE
H
βE
βH
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Potenza trasportataSi calcola dal flusso del vettore di Poynting
attraverso una superficie
( ) ( ) ( )ωωω ,,21, * rHrErS ×=
2
21
21 EHES
ζ==
onde piane uniformiζ= impedenza
caratteristica mezzo
modulo del campo
21rmsES
ζ=
valore quadratico medio del campo2
EErms =
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Attenuazione - CAMPO
Attenuazione in dB
L’onda si attenua:
( ) lααα
αee
eEeE
EEA xx
x
x
finale
iniziale ==== −−
−01
1
0
0
0
( ) lll ααα 68.8log20log20 1010 === eeAdB
0.434
Attenuazione per unità di lunghezza α68.8=udldBA
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deciBel
AdB = 6 dB Che significa?
6 = 20 log10A A = 103/10 = 2
Il campo iniziale era il doppio di quello finale
N.B.: parliamo di campi... in potenza è:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
fin
indB P
PA 10log10 AdB = 3 dB è “il doppio”...
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Profondità di penetrazione
La profondità di penetrazione èdefinita come la distanza alla quale
l’onda si è attenuata di 1/e
αδ−= ee1
xx1 x2
E1 = 1 E2 = 1/e
δ
αδ 1=
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Costanti primarie e secondarie
Le costanti primarie sono quelle caratteristiche del mezzo
ε , μ, σ
Le costanti secondarie sono definite come:
k = numero d’onda (per opu = cost prop)
ζ = impedenza caratteristica del mezzo
ck μεω=
cεμζ =
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Ripasso
( ) ( ) cjjkkk μεωαβαβ 22 =−⋅−==⋅
( ) ( ) 0000 =+⋅−=⋅ JR EjEjEk αβ
( ) rjrrkj eeEeErE ⋅−⋅−⋅− == βαω 00,
Condizione di separabilità:
Polarizzazione:
Forma onda piana:
βω
=fvVelocità di fase:βπλ 2
=Lunghezza d’onda:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⋅
=−
2
222
ωμσαβ
μεωαβ
( ) ( ) ( )tEtEtrE JR ωω sincos, 00 −=r
Attenuazione per unità di lunghezza α68.8=udldBA
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Problemi di radiazione
Determinazione del campo elettromagnetico irradiato da un’antenna
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Potenziale vettore magnetico
• Consideriamo un mezzo LSOI in cui siano presenti correnti impresse• Per il principio di sovrapposizione degli effetti si possono considerare
prima le sole correnti elettriche e poi quelle magnetiche, ottenendo il campo effettivo come somma di quelli dovuti alle due sorgenti separatamente
• Consideriamo il caso di presenza delle sole correnti elettriche
• Eseguendo la divergenza della prima di Maxwell, si ottiene
• Il campo H è quindi solenoidale e si può porre
• A è il potenziale vettore magnetico, definito a meno di un gradiente
0Jmi =
0H =⋅∇
AH ×∇=
'AHA'A ×∇=⇒φ∇+=
( )0=×∇⋅∇ E
( )0=∇×∇ φ
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Potenziale scalare elettrico
• Sostituendo l’espressione di H nella prima di Maxwell
• Il vettore tra parentesi è dunque irrotazionale e si può porre
• Per un diverso potenziale vettore A′ = A + ∇φ
• Si può dunque porre
• Si passa dalla coppia (A V) alla coppia (A′ V′) con la trasformazione di gauge
VAjEVAjE ∇−μω−=⇒−∇=μω+
( ) 0AjEAjE =μω+×∇⇒×∇μω−=×∇
( ) ( )φμω−−∇μω−=∇−φ−∇μω−= jV'AjV'AjE
'V'AjEjV'V ∇−μω−=⇒φμω−=
φμω−=
φ∇+=
jV'V
A'A
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Equazione di Helmholtz non omogenea nel potenziale vettore magnetico
• Per determinare il campo elettromagnetico occorre determinare A e V• Introducendo le espressioni per E e H nella seconda di Maxwell
• Da cui si ottiene
• Se A e V soddisfano la condizione di Lorenz
• Si arriva all’equazione di Helmholtz non omogenea nel potenziale vettore A
• Ricavato A, si ha per E e H
( ) ic JVAjjA +∇−μω−εω=×∇×∇
ic22 JVjAkAA +∇εω−=∇−⋅∇∇
cc j
AVVjAεω⋅∇
−=⇒εω−=⋅∇
i22 JAkA −=+∇
AHk
AAjj
AAjE 2c
×∇=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅∇∇
+μω−=εω⋅∇∇
+μω−=
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Problema duale: presenza di sole correnti magnetiche impresse
• Le equazioni per il caso in cui siano presenti le sole correnti magnetiche impresse (Ji = 0) si ottengono applicando il principio di dualità
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅∇∇
+εω−=⇒μω⋅∇∇
+εω−=
−=+∇
μω−=⋅∇
=∇−εω−=
=×−∇=
=⋅∇
2cc
mi22
c
kFFjH
jFFjH
JFkF
UjF
magneticoscalarepotenzialeUUFjH
elettricovettorepotenzialeFFE
0E
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Soluzione del problema di radiazione
• Consideriamo un mezzo LSOI in cui siano presenti solo correnti elettriche impresse che occupino un volume limitato τ
• Il potenziale vettore magnetico A deve soddisfare l’equazione di Helmholtz
• Proiettando l’equazione sui tre assi cartesiani x1, x2, x3 (x, y, z)
• Ogni componente cartesiana di A deve soddisfare separatamente un’equazione differenziale di Helmholtz non omogenea scalare
• L’equazione di Helmholtz, per poter essere risolta, richiede delle opportune condizioni al contorno sul potenziale vettore, derivate a partire da quelle sul campo elettromagnetico
• Se anche le condizioni al contorno si possono separare per le tre componenti cartesiane, il problema complessivo da vettoriale diventa scalare
i22 JAkA −=+∇
( )3,2,1sJAkA iss2
s2 =−=+∇
Se le correnti irradiano in spazio libero il problema è scalarizzabile
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Funzione di Green
• Per risolvere l’equazione di Helmholtz scalare introduciamo l’operatore L
• Ponendo As = f e Jis = h
• Si definisce funzione di Green dell’operatore L, con le associate condizioni al contorno, la soluzione dell’equazione
• La funzione di Green rappresenta, in generale, la risposta impulsiva spaziale del sistema rappresentato attraverso l’operatore L
( )22 k+∇−=L
hf =L
sorgentedipunto'rneosservaziodipuntor)'rr()'r,r(G ==−δ=L
Nel caso dell’equazione di Helmholtz per il potenziale vettore magnetico, la funzione di Green rappresenta il potenziale prodotto da un impulso
spaziale di corrente
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Soluzione mediante l’utilizzo dellafunzione di Green
• Data una generica distribuzione di correnti impresse in τ, si può sempre pensare di scomporla in una serie di infinite sorgenti impulsive di ampiezza infinitesima
• Grazie al principio di sovrapposizione degli effetti, il potenziale sarà dato dalla somma integrale dei potenziali dovuti alle singole sorgenti impulsive
• In formule...
• Moltiplicando per h(r′) e integrando su τ rispetto alla variabile r′
• Osservando che L opera su r e può quindi essere portato fuori integrale
• Confrontando la precedente equazione con la L f = h
)'rr()'r,r(G −δ=L
'd)'rr()'r(h'd)'r,r(G)'r(h τ−δ=τ ∫∫ ττ L
)r(h'd)'r,r(G)'r(h =τ∫τL
'd)'r,r(G)'r(h)r(f τ= ∫τ
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Equazione di Helmholtz scalare per lo spazio libero e condizioni al contorno
• Il problema di radiazione per lo spazio libero riempito di un mezzo LSOI richiede la soluzione dell’equazione di Helmholtz scalare
• Le condizioni al contorno utilizzate, nel caso di un distribuzione di sorgenti contenute in un volume τ limitato, sono le condizioni di radiazione o di Sommerfeld
• La prima condizione impone che il potenziale vada a zero all’infinito almeno come 1/r e deriva da considerazioni energetiche
• La seconda condizione impone che l’onda all’infinito abbia le caratteristiche di un’onda sferica che si propaghi radialmente allontanandosi dalle sorgenti
( )3,2,1sJAkA iss2
s2 =−=+∇
( ) ( )
( )3,2,1s0Akjr
Arlim
3,2,1sArlim
ss
r
sr
==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∂∂
==
∞→
∞→l
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Funzione di Green per lo spazio libero (1/5)
• La funzione di Green per lo spazio libero deve soddisfare
• Facendo coincidere il punto di sorgente con l’origine (r′ = 0)
• Assumendo un sistema di coordinate sferiche e sfruttando la simmetria sferica dello spazio libero e della sorgente
• Esprimendo l’operatore ∇2 in coordinate sferiche
• Cercando la soluzione per r ≠ 0
( ) )'rr()'r,r(Gk22 −δ=+∇−
( ) )r()r(Gk22 δ=+∇−
)r(G)r(G;0G;0G==
ϕ∂∂
=θ∂
∂
)r()r(Gkdr
)r(dGrdrd
r1 222 δ=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
0)r(Grkdr
)r(dGrdrd
r10)r(Gk
dr)r(dGr
drd
r1 22222 =+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⇒=+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
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Funzione di Green per lo spazio libero (2/5)
• Imposizioni…
• Moltiplicando per r l’ultima equazione
• Sostituendo nell’equazione di partenza
• Si giunge finalmente alla semplice equazione
• La soluzione cercata è dunque (k ≠ 0)
GdrG~d
drdGrG
drdGr
drG~d)r(Gr)r(G~ −=⇒+=⇒=
G~drG~drGr
drG~dr
drdGr2 −=−=
0G~kdrG~d
drG~dr
drG~d
r10G~kG~
drG~dr
drd
r1 2
2
22 =+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⇒=+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
0G~kdr
G~d 22
2=+
reC
reC)r(GeCeC)r(G~
rkj
2
rkj
1rkj
2rkj
1 +=⇒+=−
−
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Funzione di Green per lo spazio libero (3/5)
• Restano da imporre le condizioni al contorno, per determinare C1 e C2• Per la prima condizione...
• Perché l’espressione risulti limitata per r → ∞ serve C2 = 0 (se kJ ≠ 0 ⇒mezzo dissipativo)
• Per la seconda condizione...
• Perché l’espressione tenda a zero per r → ∞ serve C2 = 0 (anche se kJ = 0)• In conclusione la soluzione è
∞→=+= −− rpereeCeeC)r(Gr rkrkj2
rkrkj1 JRJR l
( )
( ) ∞→=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+
++−=+−=+
−−
−
rper0r1kj2eC
reC
reC
reC1rkj
eCeCkjGrkjGdrG~dGrkj
drdGr
rkj2
rkj
1
rkj
2
rkj
1
rkj2
rkj1
reC)r(G
rkj
1
−=
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Funzione di Green per lo spazio libero (4/5)
• Per determinare C1 includiamo ora il punto r = 0 e consideriamo la sorgente• Integriamo l’equazione di partenza ad un volume sferico τ0 di raggio r0 avente
centro nell’origine, limitato dalla superficie sferica S0
• Applicando il teorema della divergenza
• Si ottiene, per la sfera di raggio r0
∫∫∫ ττττδ=τ−τ∇−
000
d)r(dGkdG 22
1dGkdSnG1dGkdSGn
0000
2
S
2
S=τ−
∂∂
−⇒=τ−∇⋅− ∫∫∫∫ ττ
1drerdsindCkdrdGr4
1dddrsinrGkdSdrdG
0
0
0
00
r
0
rkj
0
2
01
2
rr
20
r
0
2
0
2
0
2
Srr
=θθϕ−π−⇒
⇒=ϕθθ−−
∫∫∫∫∫∫∫
−ππ
=
ππ
=
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Funzione di Green per lo spazio libero (5/5)
• Facendo tendere il raggio r0 della sfera a zero, dalla precedente espressione si vede che il contributo dell’integrale volumetrico tenderàanch’esso a zero, ottenendo
• Da cui si ottiene
• Se la sorgente non è posizionata nell’origine basterà sostituire r con |r – r′|, ottenendo finalmente la funzione di Green per lo spazio libero
r4e)r(G
41C
rkj
1 π=⇒
π=
−
'rr4e)'r,r(G
'rrkj
−π=
−−
( ) 1C4r
e1rkjCr4lim
drerdsindCkdrdGr4lim
120
rkj0
120
0r
r
0
rkj
0
2
01
2
rr
20
0r
0
0
0
00
=π=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−π−=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θθϕ−π−
−
→
−ππ
=→ ∫∫∫
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Come si ricava il potenziale vettore?
• La conoscenza della funzione di Green per lo spazio libero permette di ricavare il potenziale vettore prodotto da un’assegnata distribuzione di correnti elettriche impresse nello spazio libero
• L’integrale va esteso a tutto lo spazio, ovvero al solo volume occupato dalle sorgenti
• Moltiplicando per il versore coordinato x0s e sommando per s da 1 a 3
• La precedente è la soluzione dell’equazione di Helmholtz vettoriale non omogenea per il potenziale vettore magnetico in presenza di una generica distribuzione di correnti elettriche impresse nello spazio libero
∫∫ τ
−−
ττ
−π=τ= 'd
'rr4e)'r(J'd)'r,r(G)'r(J)r(A
'rrkj
isiss
∫τ−−
τ−π
= 'd'rr4
e)'r(J)r(A'rrkj
i