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7.1 INTEGRACION POR PARTES
∫ udv=uv−∫ vdu
Se aplica cuando se presenten integrales que involucran producto de potencias xn con funciones trascendentales (exponenciales logarítmicas y trigonométricas). Generalmente el exponente n se relaciona con las veces que es necesario hacer la integración por partes.
Al seleccionar la variable u se suele tomar a xn para que al derivarla reduzca su grado y en cuanto a dv será el resto de la integral que usualmente es fácil de integrar.
Ejemplo 7.1.1
∫ x2 sen5 x dx
Para este caso u=x2 ;du=2xdx y dv=sen5 xdx ;v=−15cos 5x
∫ x2 sen5 x dx=−15
x2
cos5 x+ 25∫ xcos 5x dx
En el segundo miembro de la igualdad u=x ;du=dx y dv=cos5 xdx ;v=15sen5 x
∫ x2 sen5 x dx=−15
x2
cos5 x+ 25 [ x cos5 x−15∫ sen5 x dx ]
∫ x2 sen5 x dx=−15
x2
cos5 x+ 25xcos 5x+ 1
25cos 5x+C
Existen casos en que la integral original debe ser modificada para poderla hacer por partes
Ejemplo 7.1.2
∫ x3√1+x2dxPara alguien que ya ha visto el curso completo de técnicas de integración lo más seguro es que abordará esta integral como un caso de sustitución trigonométrica. Pero en estas circunstancias como la piden por partes se modifica a la siguiente forma:
∫ x2 (x √1+x2 )dx
Así u=x2 ;du=2xdx y dv=(x √1+x2 )dx; v=13
(1+x2 )32
∫ x2 (x √1+x2 )dx=13x2 (1+x2 )
32−13∫2 x (1+x2 )
32 dx
∫ x2 (x √1+x2 )dx=13x2 (1+x2 )
32− 215
(1+x2 )52+C
7.2 ALGUNAS INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
Antes de empezar es útil saber que existen las siguientes identidades trigonométricas que ayudan a resolver integrales trigonométricas
a) Identidades de ángulo doble
sen2x=2 senx cos x ;cos 2x=cos2 x−se n2 x ; tan2 x=¿ 2 tan x
1−tan2 x¿
b) Identidades de ángulo medio
sen2 x=1−cos2 x2
;cos2 x=¿ 1+cos2 x2
¿
c) Identidades de suma y resta de ángulos
sen ( x± y )=sen x cos y± cos x sen y
cos (x ± y )=cos x cos y∓sen x sen y
tan (x ± y )= tan x± tan y1∓ tan x tan y
d) Identidades de producto de senos y cosenos de ángulos diferentes
sen xcos y=12
[sen (x− y )+sen (x+ y) ]
sen x sen y=12
[cos (x− y )−cos (x+ y) ]
cos x cos y=12
[cos ( x− y )+cos (x+ y) ]
e) Identidades pitagóricas
sen2 x+cos2 x=11+ tan2 x=sec 2 x1+cot2 x=csc2 x
Existen integrales que combinan productos de:
senm xcosn x secmx tann x cscmx cotn x
Siendo m yn∈ z≥1 que dependiendo si son pares o impares existen unas estrategias para su solución.
Cuando el coseno tiene exponente impar, aísle un coseno y exprese lo demás en termino de seno y haga u=sen xEjemplo7.2.1
∫ cos3 x
sen4 xdx
Como el coseno es impar aplicamos la sugerencia
¿∫ cos2 xcos xsen4 x
dx
Ahora se expresa el resto de los factores en términos de seno
¿∫ (1−sen2 x)cos xsen4 x
dx
Ahora se hace el siguiente cambio de variable:
u=senx du=cos x dx
Entonces la integral queda así:
¿∫ (1−u2 )u4
du
¿∫u−4du−∫u−2du
¿ u−3
−3−u−1
−1+C
¿−13 ( 1u3 )+( 1u )+C
¿−13 ( 1
sen3 x )+( 1senx )+C
∫ cos3 x
sen4 xdx=−1
3csc3 x+csc x+C
Si el seno tiene exponente impar se aísla un seno y exprese lo demás en términos de coseno y haga u=cos x
Ejemplo 7.2.2
∫ sen5ucos4udu
Como el seno es impar se utiliza la sugerencia planteada
∫cos4u(se n2u)2 senudu=∫cos4u(1−cos2u)2 senu du
z=cos udz=−senudu
La integral queda:
−∫ z4 (1−z2 )2dz=−¿∫ ( z4−2 z6+z8 )dz ¿
∫ (2 z6−z4−z8 )dz=2 z7
7− z5
5− z9
9+C
∫ sen5ucos4udu=¿2 cos7u7
− cos5u5
− cos9u9
+C ¿
Si la secante tiene exponente par, aísle un factor cuadrático de la secante y exprese lo demás en términos de tangente y haga u=tan x
Ejemplo 7.2.3
∫√tanx sec4 xdx
Como el exponente de la secante es par se utiliza la sugerencia planteada
∫ ( tan x )12 sec 2 x sec2 xdx
Ahora se expresa la primera secante cuadrática en función de tangentes
Recordemos que sec2 x=1+ tan2 x
∫ ( tan x )12 (1+ tan2 x ) sec2 xdx
Ahora hacemos cambio de variable: u=tanx du=sec2 xdx
∫ (u )12 (1+u2 )du
∫ (u )12du+∫ (u )
52du
23u32+ 27u72+C
∫√tanx sec4 xdx=23
(tanx )32+27
(tanx )72+C
Si la tangente tiene exponente impar se aísla un producto secante-tangente y lo demás se expresa en términos de secante y haga u=sec x
Ejemplo 7.2.4
∫ tan3 x sec3 x dx
Como el exponente de la tangente es impar se utiliza la sugerencia planteada
∫ tan2 x sec2 x sec x tanx dx
Recordemos que:tan2 x=sec2 x−1
∫ ( sec2 x−1 ) sec2 x sec x tan x dx
Luegou=sec x Entonces du=sec x tan xdx
La integral queda entonces:
∫ (u2−1 )u2du
Luego ∫ tan3 x sec3 x dx=u5
5−u3
3+C
Finalmente:
∫ tan3 x sec3 x dx= sec5 x5
− sec3 x3
+C
Sustitución Diferencial Grafica asociada
x=a tan θ
x=a senθ
dx=asec2θdθ
dx=acosθdθ
x
aθ
xa
θ
7.3 SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Esta estrategia se aplica al presentarse integrales que involucran los siguientes radicales
√ x2+a2; √a2−x2;√ x2−a2 Y similares
Ejemplo 7.3.1
∫ dx
(9+x2 )32
Como en el denominador aparece el caso x2+a2 se utilizax=√9 tan θ=3 tan θentoncesdx=3 sec2θEl triángulo asociado al caso es:
Al sustituir dx=3 sec2θ y x=3 tanθ en la integrar original y utilizando la identidad pitagórica
1+ tan2 x=sec2 x se tiene
∫ 3 sec2θdθ
3 ( sec2θ )32
=∫ sec 2θdθsec3θ
=¿∫ dθsecθ
=∫ cosθdθ=senθ=√x2+93
+C ¿
3
θ
x
√ x2+9
x=a sec θ
Ejemplo 7.3.2
∫ x2dx
√9−25 x2
Como en el denominador se presenta el caso a2−x2
Pero antes se reordena los términos del denominador
15∫ x2dx
√ 925−x2
x=35senθentoncesdx=3
5cosθdθ
El triángulo asociado con el caso es:
Al hacer las sustituciones respectivas y utilizar la identidad pitagórica 1−se n2 x=cos2 x
15∫
925
se n2θ35cos θdθ
35cosθ
=9125∫ sen2θdθ=
9125∫
12
(1−cos2θ )dθ
9250 [ 12 θ−14 sen2θ]= 9
500θ− 9500
senθ cosθ
9500
arcsen5x3
− 9500
5 x3
5√ 925− x2
3= 9500
arcsen (5 x3 )− 120 √ 925−x2+C
Ejemplo 7.3.3
∫ dx
√ x2−6 x−16
Primero se debe completar el cuadrado de la expresión del denominador así:
√ 925−x2
θ
x
35
∫ dx
√ x2−6 x+9−16−9=∫ dx
√ ( x−3 )2−25
Si z=x−3entonces dz=dx luego :
∫ dz
√ z2−25Como el denominador es de la forma x2−a2 se utiliza:
z=5 secθentonces dz=5 sec θ tan θdθ y el triángulo asociadoal casoes :
Al hacer los remplazos respectivos y utilizar la identidad pitagórica sec2 x−1=tan2 x se tiene:
∫ 5 sec θ tanθdθ5 tan θ=∫ sec θdθen este caso semultiplica y divide por sec θ+ tanθ así :
∫ sec θsecθ+ tan θsecθ+ tan θ
dθ=¿∫ sec2θ+sec θ tan θsecθ+ tan θ
dθ ¿
Se recomienda usar u=sec θ+ tan θEntonces du=( secθ tan θ+sec 2θ )dθ
Entonces se tiene:
∫ duu
=ln|sec θ+ tan θ|+C=ln|z5 + √z2−255 |+C
∫ dx
√ x2−6 x−16=ln|x−35 + √(x−3)2−25
5 |+C=ln|x−35 + √x2−6 x−165 |+C
7.4 FRACCIONES PARCIALES
Son aquellas que presentan expresiones racionales de la forma P ( x )Q ( x )
conQ ( x )≠0 siendo P(x) y
Q(x) polinomios de tal forma que el grado del denominador siempre sea mayor que el grado del polinomio del numerador
5
θ
√ x2−25
z
Caso 1 El denominador presenta factores lineales de la forma (x−a¿ no repetidos
Ejemplo 7.4.1
∫ 4 x2+5x3−10 x2−96 x
dx
Factorizando el denominador se tiene:
∫ 4 x2+5x ( x−16 ) (x+6 )
dx=¿∫ Axdx+∫ B
x−16dx+∫ C
x+6dx¿
Ahora se calculan los valores de A, B y C
Ax
+ Bx−16
+ Cx+6
=A (x−16 ) (x+6 )+Bx (x+6 )+Cx(x−16)
x (x−16 ) ( x+6 )= 4 x2+5x ( x−16 ) (x+6 )
Si x=0 en los numeradores de las dos últimas igualdades se tiene:
−96 A=5 A=−596
Si x=16 se tiene:
352B=1029B=1029352
Si x=−6 se tiene:
132C=149C=149132
Ahora se resuelven las integrales con los valores encontrados para A, B y C
∫−596x
dx+∫1029352x−16
dx+∫149132x+6
dx
∫ 4 x2+5x3−10 x2−96 x
dx=−596ln ( x )+ 1029
352ln (x−16 )+149
132ln ( x+6 )+C
Caso 2 El denominador presenta factores lineales de la forma (x−a¿ repetidos
Ejemplo 7.4.2
∫ 2x+5dx( x+5 ) (x−3 )2
Esta integral debe ser equivalente a:
∫ Ax+5
dx+∫ Bx−3
dx+∫ C
( x−3 )2dx
Se determinan los valores de A, B y C
A (x−3 )2+B ( x+5 ) ( x−3 )+C (x+5)( x+5 ) ( x−3 )2
= 2x+5( x+5 ) (x−3 )2
Si x=−564 A=−5 A=−564
Si x=38C=11C=118
Si x=09 (−564 )+B (−15 )+ 118
(5 )=2 (0 )+5 B= 564
∫−564x+5
dx+∫564x−3
dx+∫118
( x−3 )2dx
∫ 2x+5dx( x+5 ) (x−3 )2
=−564ln ( x+5 )+ 5
64ln ( x−3 )−11
81
( x−3 )+C
Caso 3 El denominador presenta factores cuadráticos irreducibles no repetidos
Ejemplo 7.4.3
∫ x+4x4+9 x2
dx
Factorizando el denominador se obtiene:
∫ x+4x4+9 x2
dx=∫ x+4x2 (x2+9 )
dx
Siendo x2→factor lineal repetido y x2+9→un factor cuadrático irreducible
Entonces:
∫ x+4x2 (x2+9 )
dx=¿ Ax
+ B
x2+Cx+D
x2+9¿
Operando la suma de fracciones algebraicas se tiene:
x+4x2 (x2+9 )
=Ax (x2+9 )+B ( x2+9 )+(Cx+D ) x2
x2 (x2+9 )
Al hacer las multiplicaciones de monomio por polinomios en el numerador del lado derecho de la igualdad se tiene:
x+4x2 (x2+9 )
= A x3+9 Ax+B x2+9B+C x3+D x2
x2 (x2+9 )
Ahora se igualan los numeradores de la igualdad
x+4=( A+C ) x3+ (B+D ) x2+9 Ax+9B
Al igualar término a término se presentan las siguientes ecuaciones:
A+C=0 ECUACION 1
B+D=0 ECUACION 2
9 A=1 ECUACION 3
9 B=4 ECUACION 4
Al solucionar este sistema se tiene: {A=1
9
B=49
C=−19
D=−49
Finalmente la descomposición en fracciones parciales queda:
x+4x2 (x2+9 )
=
19x
+
49
x2−
19x+ 49
x2+9
La integral se expresa así:
19∫
dxx
+ 49∫
dx
x2−19∫
x dx
(x2+9 )+ 49∫
dx
x2+1
Al integrar directamente se tiene:
19ln x− 4
9 ( 1x )−19× 12 ln ( x2+9 )−¿ 49×13arctan
x3+C ¿
∫ x+4x4+9 x2
dx=19ln x−4
9 ( 1x )− 118ln (x2+9 )−¿ 4
27arctan
x3+C ¿
Caso 4 El denominador presenta factores cuadráticos irreducibles repetidos
Ejemplo 7.4.4
∫ 18
( x−1 ) (x2+5 )2dx
∫ 18
( x−1 ) (x2+5 )2dx=∫ A
(x−1)dx+∫ Bx+C
x2+5dx+∫ Dx+E
(x2+5 )2dx
Ahora se calculan los valores de A, B, C, D, y E
Ax−1
+Bx+Cx2+5
+Dx+E
(x2+5 )2=A (x2+5 )2+(Bx+C ) ( x−1 ) ( x2+5 )+(Dx+E)(x−1)
( x−1 ) (x2+5 )2
Si x=1 36 A=18 A=12
Organizando el numerador se tiene:
A+B=0
10 A+5 B−C+D=0
25 A−5C−E=18
−B+C=0
5C−5B+E−D=0
Al solucionar el sistema de ecuaciones se tiene:
A=12
B=−12
C=−12
D=−3E=−3
Las integrales a resolver son:
∫12
(x−1)dx+∫
−12
x−12
x2+5dx+∫−3 x−3
(x2+5 )2dx
∫12
(x−1)dx−
12∫
x
x2+5dx−
12∫
1
x2+5dx−3∫ x
(x2+5 )2dx−3∫ 1
(x2+5 )2dx
¿ 12ln ( x−1 )− 1
4ln ( x2+5 )− 1
2√5arctan( x
√5 )+ 32 1
(x2+5 )−3(sust trig )
Para la sustitución trigonométrica se tiene: x=√5 tan θdx=√5 sec2θdθ
El triángulo asociado con el caso es:
sust trig=−3√525
∫ cos3θ sen θdθ=3√5100
(cosθ)4=3√5100
cos (arccos( 1
√x2+5 ))4
sust trig=3√5100 ( 1
(x2+5 )2 )Finalmente:
√ x2+5
1
θ
√5
¿ 12ln ( x−1 )− 1
4ln ( x2+5 )− 1
2√5arctan( x
√5 )+ 32 1(x2+5 )
+ 3√5100 ( 1
(x2+5 )2 )+CEjemplo 7.4.5
Realizaremos un ejercicio en el cual el grado del polinomio del numerador es mayor o igual al del denominador.
∫ x3−2 x2−4x3−2 x2
dx
Primero se realiza la división polinomica y el la fracción se expresará como la suma del polinomio cociente y el residuo dividido entre el polinomio divisor, es decir:
P ( x )Q ( x )
=C ( x )+ R ( x )Q ( x )
Siendo C(x) = el polinomio cociente y R(x) el residuo
x3−2x2−4x3−2x2
=1− 4x3−2 x2
∫ x3−2 x2−4x3−2 x2
dx=∫1dx−∫ 4x3−2 x2
dx=x−4∫ dxx2 ( x−2 )
=x−4D
La segunda integral presenta factores lineales repetidos y no repetidos
D=∫ dx
x2 ( x−2 )=∫ [ Ax + B
x2+ Cx−2 ]dx
Al hallar los valores de A, B y C con los procedimientos explicados anteriormente se tiene
D=∫ [ −14x +
−12
x2+
14
x−2 ]dx=¿−14ln x+
12 x
+14ln(¿ x−2)+C ¿¿
Finalmente: ∫ x3−2 x2−4x3−2 x2
dx=x+ ln x−2x+ ln (x−2 )+C
7.8 INTEGTRALES IMPROPIAS
Son aquellas integrales definidas que presentan límites aparentemente indeterminados
Caso 1 INTEGRALES CON LIMITES INFINITOS
Subtipo 1.1 El límite superior es infinito
∫a
∞
f ( x )dx=limt→∞
∫a
t
f ( x )dx
Ejemplo 7.8.1.1.1
Halle la integral de ∫1
∞1
x2+xdx=lim
t→∞∫1
t1
x2+xdx
Resolviendo la integral se tiene por fracciones parciales se tiene:
limt →∞
∫1
t1xdx−¿∫
1
t1
x+1dx=lim
t→∞{ [ ln t−ln (t+1 ) ]−[ ln 1−ln 2 ] }=ln( lim
tt+1t→∞
)+ ln 2¿
¿ ln (lim
tt
tt+ 1t
t→∞
)+ ln 2=ln 1+ln 2=ln 2Subtipo 1.2 El límite inferior es infinito
∫−∞
b
f ( x )dx= limt →−∞
∫t
b
f ( x )dx
Ejemplo 7.8.1.1.2
Halle la integral de
∫−∞
o
x e2xdx= limt→−∞
∫t
0
x e2x dx
Resolviendo la integral por partes se tiene:
∫ x e2xdx
Siendo u=xdu=dx dv=e2x dx v= e2x
2
∫ x e2xdx=12x e2x−1
2∫e2x dx=12xe2x− 1
4e2x
∫−∞
o
x e2xdx= limt→−∞ [0−14−12 t e2 t+ 14 e2 t]=−1
4−12limt→−∞ [ t
e−2 t ]+ 14 ( 1∞ )Después de aplicar L´hopital
∫−∞
o
x e2xdx=¿−14−12limt→−∞ [ 1
−2e−2 t ]=−14
− 1∞
=−14
−0=−14
¿
Subtipo 1.3 Los límites son infinitos
∫−∞
∞
f ( x )dx= limt →−∞
∫t
c
f ( x )dx+ limt→∞
∫c
t
f ( x )dx
Siendo c cualquier número real.
Ejemplo 7.8.1.1.3
Hallar la integral de
∫−∞
∞x2
9+x6dx
∫−∞
∞x2
9+x6dx= lim
t→−∞∫t
0x2
9+x6dx+ lim
t →∞∫0
tx2
9+ x6dx
Resolvamos la integral por sustitución trigonométrica
∫ x2
9+x6dx
El triángulo asociado con este caso es:
3
θ
x3
√ x6+9 x3=3 tanθ
3 x2dx=3 sec2θ dθ
Entonces la integral queda:
∫ x2
9+x6dx=∫ sec2θ
9+9 tan2θdθ=1
9∫ dθ=1
9θ
Luego:
limt→−∞ [ 19 (0 )−1
9tan−1 t
3
3 ]+ limt →∞ [ 19 tan−1 t3
3−19(0)]
−19 (−π
2 )+ 19 ( π2 )= π18
+ π18
= π9
A TENER EN CUENTA:
∫1
∞1x p dx escovergente si p>1 y es divergente si p≤1
Caso 2. INTEGRALES CON DISCONTINUIDADES
Subtipo 2.1 Integrales cuyo límite superior hace discontinua al integrando
Si f ( x ) es discontinuaenb entonces∫a
b
f ( x )dx= limt→b−¿∫
a
t
f (x )dx
¿¿
Ejemplo 7.8.2.1.1
Hallar la integral de:
∫2
31
√3−xdx
∫2
31
√3−xdx=lim ¿
t→3−¿∫2
t1
√3−xdx¿¿
lim ¿t→3−¿ [−2 (3−t )
12−(−2) (3−2)
12 ]=[0+2]=2¿
¿
Subtipo 2.2 Integrales cuyo límite inferior hace discontinua al integrando
Si f ( x ) es discontinuaen aentonces∫a
b
f ( x )dx= limt→a+¿∫
t
b
f ( x )dx
¿¿
Ejemplo 7.8.2.2.1
Hallar la integral de:
∫0
2
x2 ln xdx
∫0
2
x2 ln xdx=lim ¿t→0+¿∫
t
2
x2 ln xdx¿¿
La integral se resuelve por partes
∫ x2 ln xdx u=ln x du=1xdxdv=x2dx v= x3
3
∫ x2 ln xdx= x3
3ln x−∫ x2
3dx= x3
3ln x− x3
9
Entonces
∫0
2
x2 ln xdx=lim ¿t→0+¿[ 233 ln2−2
3
9−t3
3ln t+
t3
9 ]=83 ln2−89−¿ lim ¿t →0+¿t3
3ln t ¿ ¿¿
¿¿
¿ 83ln2−8
9−¿ lim ¿
t→0+¿ ln t3t3
¿¿¿
Aplicando L´hopital al tercer término se tiene:
∫0
2
x2 ln xdx=83ln 2−8
9−lim ¿
t→0+¿
1t
−9t4
=83ln 2−8
9−lim ¿ t→0+ ¿(−9 t3)=¿ ¿
¿¿¿¿
∫0
2
x2 ln xdx=83ln 2−8
9−0=8
3ln2−8
9
Subtipo 2.3 Integrales que poseen un valor dentro de los límites de integración tal que el integrando es discontinuo
Sia<c<b y elintegrando esdiscontinuo en centonces :
∫a
b
f ( x )dx=¿∫a
c
f ( x )dx+∫c
b
f (x )dx ¿
Ejemplo 7.8.2.3.1
Hallar la integral de:
∫0
91
3√ x−1dx
Como en x = 1 el integrando es discontinuo se tiene:
∫0
91
3√ x−1dx=∫
0
11
3√ x−1dx+∫
1
91
3√x−1dx
La integral se resuelve fácilmente por sustitución simple y queda 323√ ( x−1 )2
¿ lim ¿t→ 1−¿[ 32 3√( t−1)2− 3
23√ (0−1)2 ]+lim ¿
t →1+¿ [ 32 3√ (9−1)2−32
3√ (t−1)2]¿ ¿¿¿
¿0−32+32
(8 )23=
−32
+6=92
8.1 LONGITUD DE CURVA
Si una función es continua en un intervalo [a ,b ] su longitud se puede determinar con las expresiones:
L=∫a
b
√1+( dydx )2
dx si y=f (x )
O bien
L=∫c
d
√1+( dxdy )2
dy si x=f ( y )
Ejemplo 8.1.1
Hallar la longitud de la curva y= X3
3+ 14 x
en elintervalo1≤x ≤2
dydx
=x2− 14 x2
=4 x2−14 x2
( dydx )2
=( 4 x2−14 x2 )2
=16 x8−8x4+116 x4
a b
c
d
( dydx )2
+1=16 x8−8 x4+1
16 x4+1=
16 x8−8 x4+1+16 x4
16 x4=16 x8+8x 4+1
16 x4=
(4 x4+1 )2
16 x4
√( dydx )2
+1=√ (4 x4+1 )2
16 x4=4 x4+14 x2
=x2+14x−2
Luego:
L=∫a
b
√1+( dydx )2
dx=∫1
2
x2+ 14x−2dx=[ x33 − 1
4 x ]21=[ 83−18−13 + 14 ]=5924
Ejemplo 8.1.2
Hallar la longitud de la curva x=13√ y ( y−3 ) enel intervalo1≤ y ≤9
dxdy
=16y
−12 ( y−3 )+ 1
3y12=16y
−12 [ y−3+2 y ]=1
6y
−12 [3 y−3 ]= y−1
2 y12
( dxdy )2
=( y−12 y12 )
2
= y2−2 y+14 y
( dxdy )2
+1= y2−2 y+14 y
+1= y2−2 y+1+4 y4 y
= y2+2 y+14 y
=( y+1 )2
4 y
√( dxdy )2
+1=√ ( y+1 )2
4 y= y+1
2 y12
=12y12+ 12y
−12
Luego:
L=∫c
d
√1+( dxdy )2
dy=∫1
912y12+ 12y
−12 dy=¿ [13 y
32+ y
12 ]91=13 (9 )
32+(9 )
12−13−1=32
3¿
8.2 AREA DE SUPERFICIES DE REVOLUCION
Si se hace girar la recta y = k alrededor del eje x en el intervalo cerrado x∈ [a ,b ] se obtendrá un cilindro cuya superficie no plana (la de revolución) está determinada por la LONGITUD de la circunferencia y el ancho del intervalo es decir: 2πr (b−a ) , siendor el radio.
De manera similar si una función continua en un intervalo cerrado se hace girar en torno a un eje determinado, el área de su superficie de revolución se calcula con las siguientes expresiones:
Si gira en torno al eje x:
S=∫ 2πydsds=√1+( dydx )2
dx ó ds=√1+( dxdy )2
dy
Si gira en torno al eje y:
S=∫ 2πxdsds=√1+( dydx )2
dx ó ds=√1+( dxdy )2
dy
Ejemplo 8.2.1
Halle el área de la superficie que se obtiene al girar y=√1+4 x en torno al eje x en el intervalo x∈ [1,5 ]
S=∫ 2πydscomo y=f ( x )ds=√1+( dydx )2
dx
y=√1+4 x dy= 2
√1+4 xdx
Entonces:
( dydx )2
= 41+4 x
( dydx )2
+1=4 x+51+4 x
S=∫1
5
2πyds=∫1
5
2π √1+4 x √ 4 x+51+4 xdx=∫
1
5
2 π √4 x+5dx=¿ [2 π ( 14 )( 23 ) (4 x+5 )32 ]51¿
S= π3
[2532−932 ]=π3
[125−27 ]=983π
Ejemplo 8.2.2
Halle el área de la superficie que se obtiene al girar x=13
( y2+2 )32 en torno al eje x en el
intervalo y∈ [1,2 ]
S=∫ 2πydscomo x=f ( y )ds=√1+( dxdy )2
dy
x=13
( y2+2 )32dx= y ( y2+2 )
12 dy
( dxdy )2
= y2 ( y2+2 )= y4+2 y2
( dxdy )2
+1= y4+2 y2+1=( y2+1 )2
√( dxdy )2
+1= y2+1
Luego:
S=∫1
2
2πy ( y2+1 )dy=2π∫1
2
( y3+ y )dy=2π [ y44 + y2
2 ]21=2π [4+2−14−12 ]=212 π
Ejemplo 8.2.3
Halle el área de la superficie que se obtiene al girar y= 3√x en torno al eje y en el intervalo y∈ [1,2 ]
S=∫ 2πxdscomo y=f ( x )ds=√1+( dydx )2
dx
y=x13 dy=1
3x
−23 dx
dydx
=13x
−23
( dydx )2
=19x
−43
( dydx )2
+1=19x
−43 +1=
9 x43+1
9x43
Al remplazar los valores de y del intervalo en la función se obtienen los respectivos valores del intervalo de las x
S=∫1
3√2
2πx √ 9 x43+1
9 x43
dx
Como esta integral es muy complicada es mejor expresar a x en función de y así:
x= y3dx=3 y2dy
dxdy
=3 y2luego( dxdy )2
+1=9 y4+1
Entonces:
S=∫1
2
2πx √( dxdy )2
+1dy=2π∫1
2
y3√9 y 4+1dy
Esta integral es directa:
S=[2π ( 136 )( 23 ) (9 y4+1 )32]21= 1
27π [14532−10 32 ]≅ 63,5 π
Ejemplo 8.2.3
Halle el área de la superficie que se obtiene al girar x=√a2− y2 en torno al eje y en el intervalo
y∈[0 , a2 ]S=∫ 2πxdscomo x=f ( y )ds=√1+( dxdy )
2
dy
x=(a2− y2 )12 dx= y (a2− y2 )
−12 dy
dxdy
= y
(a2− y2 )12
( dxdy )2
+1= y2
a2− y2+1= a2
a2− y2
√( dxdy )2
+1=√ a2
a2− y2= a
√a2− y2
S=∫ 2πxds=2π∫0
a2
√a2− y2a
√a2− y2dy=2π∫
0
a2
ady=2π [ay ]a20=2π [ a22 −0]=π a2
10.1 CURVAS PARAMETRICAS
La posición de una partícula en el plano cartesiano está determinada por sus coordenadas (x,y).
Supongamos que dichas coordenadas dependen de una tercera variable, como por ejemplo el tiempo a la que denominaremos t, entonces se obtienen ecuaciones paramétricas para ambas coordenadas así:
x=f ( t ) y=f (t)
Entonces se puede trazar una curva en función del parámetro t
Ejemplo 10.1.1
Esquematice la curva usando las ecuaciones paramétricas e indique con una flecha la dirección en que se incrementa el parámetro.
x=t 2+ t y=t 2−t−2≤ t ≤2
Hallemos los puntos de corte con los ejes cartesianos
Si x = 0 t 2+ t=0 ,t ( t+1 )=0 ; t=0 y t=−1
Si y = 0 t 2−t=0 , t ( t−1 )=0; t=0 y t=1
Estos valores de t son importantes al hacer la tabulación
t x y-2 2 6
-1,5 0,75 3,75-1 0 2
-0,5 -0,25 0,750 0 0
0,5 0,75 -0,251 2 0
1,5 3,75 0,752 6 2
Ejemplo 10.1.2
x
y
Esquematice la curva usando las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro convirtiéndola en coordenadas rectangulares
x=e t−1 y=e2t
Como se sabe el valor de t para ambas coordenadas no tiene restricción
t x y-4 -0,98 0-3 -0,95 0,002-2 -0,86 0,018-1 -0,63 0,140 0 11 1,72 7,392 6,39 54,63 19,09 403,4
Para convertir a coordenadas cartesianas se despeja a e tde la primera ecuacion
e t=x+1elevandoal cuadrado setiene
e2 t=x2+2 x+1 y se remplazaen laecuacion parametricade y así :
y=x2+2 x+1
Lo cual corresponde a una parábola, sin embargo solo toma valores positivos para la y como lo indica la gráfica ya que e2 tnuncaserá negativo
Ejemplo 10.1.3
Si a y b so números fijos, halla las ecuaciones paramétricas para la curva que consiste de todos las posibles posiciones del punto P en la figura, usando el ángulo θ como parámetro. Luego elimine el parámetro e identifique la curva.
x
y
De la figura se deduce que:
x=a cosθ y=b senθ
xa=cosθ y
b=senθ
( xa )2
=cos2θ ( yb )2
=se n2θ
x2
a2=cos2θ y2
b2=se n2θ
Si se suman estas dos últimas expresiones se tiene:
x2
a2+ y2
b2=cos2θ+se n2θ
x2
a2+ y2
b2=1
Esta ecuación corresponde a una Elipse
10.2 CACULO CON CURVAS PARAMETRICAS
Con las ecuaciones paramétricas se pueden obtener:
Tangentes
m=dydx
=dydt
∙dtdx
=
dydtdxdt
Áreas
A=∫ g (t ) f ´ (t )dt
Longitudes de arcos
L=∫√( dxdt )2
+( dydt )2
dt
b
Pθ
a
Áreas de superficies de revolución respecto al eje x
S=2πy∫ √( dxdt )2
+( dydt )2
dt
Ejemplo 10.2.1
Halle la ecuación de la recta tangente a la curva x=sen3θ y=cos3θ
Si θ=π6
m=
dydθdxdθ
dxdθ
=3cosθ sen2θ dydθ
=−3 senθ cos2θ
m=−3 senθ cos2θ3cosθ sen2θ
=−cot θ
Como θ=π6
entonces
m=−cot π6=−√3
La ecuación de la recta es de la forma y− yo=m(x−xo)
Para θ=π6
xo=se n3π6yo=cos
3 π6
xo=18yo=
3√38
La ecuación de la recta tangente es:
y−3√38
=−√3(x−18 )Ejemplo 10.2.2
Hallar la longitud de arco de la curva planteada en el intervalo 0≤ t ≤1
x=t sent y=t cos t
dxdt
=sent+t cos t dydt
=cos t−t sent
( dxdt )2
=se n2t+2 t sent cost+t 2cos2t
( dydt )2
=cos2 t−2tsen t cos t+t 2 sen2t
( dxdt )2
+( dydt )2
=1+t2
Entonces:
L=∫√( dxdt )2
+( dydt )2
dt
L=∫0
1
√1+t 2dt
Esta integral se resuelve con sustitución trigonométrica y su triangulo asociado es el siguiente:
t=tanθ dt=sec2θdθ
L=∫ sec θdθ=ln|sec θ+ tan θ|= [ln|√1+t 2|+ t ]10=ln|√2+1|
1
θ
t
√ t2+1
10.3 COORDENADAS POLARES
Es un sistema de coordenadas introducido por Newton y es muy conveniente en muchos propósitos. En este sistema un punto se representa utilizando dos parámetros que son r y θ
Siendo r la distancia que va desde el POLO hasta al punto de estudio P y θ el ángulo positivo medido desde el EJE POLAR hasta el radio r
Veamos la siguiente gráfica para comprender el concepto de como representar un punto en el plano polar
Entonces cada punto se expresa en función del radio y del ángulo
Existen casos en que el radio es negativo y para dicho caso el punto queda sobre la misma línea que incluye al radio pero en el cuadrante opuesto. Así si por ejemplo un punto tiene coordenadas
(5 , π3 ) entonces su punto opuesto es (−5 , 23 π) vea la siguiente gráfica:
P(r , θ)
poloeje polar
r
θ
23π
P1(5 , π3 )5
P2(−5 , 23 π)
π3
Conexión entre coordenadas polares y rectangulares
Es fácil deducir aplicando trigonometría básica que la relación es la siguiente:
x=r cosθ y=r senθ
x2+ y2=r2 tan θ= yx
Se puede definir la tangente de la curva como:
m=
dydθdxdθ
=( drdθ senθ+r cosθ)( drdθ cos θ−r senθ)
Ejemplo 10.3.1
Identifique la curva dada su ecuación polar
r=tan θ sec θ
Al rescribir se tiene:
r= yx∙rx
Dividiendo por r se tiene:
y=x2
La cual corresponde a una parábola con su eje de simetría x = 0 que abre hacia arriba
Ejemplo 10.3.2
Halle la ecuación polar a partir de su ecuación cartesiana
xy=4
Esta ecuación corresponde a una hipérbola con asíntota vertical x = 0 y asíntota horizontal y = 0
Al rescribir se tiene:
r cosθ ∙ r senθ=4
Mejor aún:
r2= 4senθcosθ
= 8sen2θ
Ejemplo 10.3.3
Esquematice la curva con la ecuación polar dada
r=1−cosθ
El dominio de la curva es −2π ≤θ≤2π Los valores de θ donde r es nulo corresponden a 1−cosθ=0 luego cosθ=1 ,
θ=0 y2 π
Los valores der donde la gráfica corta al eje y corresponde a θ=π2y32π entonces:
r=1−cos π2=1 yr=1−cos 3
2π=1
Los cortes con el eje y son entonces: (1 , π2 ) y (1 , 32 π ) Cálculo donde la tangente a la curva es horizontal y vertical:
Como drdθ
=senθ entonces:
m=
dydθdxdθ
=( drdθ senθ+r cosθ)( drdθ cos θ−r senθ)
= sen2θ+r cosθsenθ cosθ−r senθ
Para que la pendiente sea horizontal m = 0, entonces:
sen2θ+r cosθ=0
sen2θ+(1−cosθ ) cosθ=0
sen2θ+cosθ−cos2θ=0
Pasando todo a coseno se tiene:
2cos2θ−cosθ−1=0
Que es una ecuación que se factoriza como:
(2cosθ−2 ) (2cosθ+1 )=0
cosθ=1θ=0 y 2π
cosθ=−12θ=23π y
43π
Para que la pendiente sea vertical el denominador en la expresión de la tangente debe ser cero, entonces:
senθ cosθ−r senθ=0
senθ cosθ−(1−cosθ)senθ=0
2 senθ cosθ−senθ=0
senθ ¿
senθ=0θ=0 , π y2π
cosθ=12θ= π3y53π
A continuación se muestra la gráfica completa con las tangentes
Ejemplo 10.3.4
Esquematice la gráfica de la curva r=1−2 senθ
El dominio de la curva es −2π ≤θ≤2π
x
y
Los valores de θ donde r es nulo corresponden a 1−2 senθ=0 luego senθ=12
y
θ=π6y56π
Los valores der donde la gráfica corta al eje y corresponde a θ=π2y32π entonces:
r=1−2 sen π2=−1 yr=1−2 sen 3
2π=3
Los cortes con el eje y son entonces: (−1 , π2 ) y (3 , 32 π ) Cálculo donde la tangente a la curva es horizontal y vertical:
Como drdθ
=senθ entonces:
m=
dydθdxdθ
=( drdθ senθ+r cosθ)( drdθ cos θ−r senθ)
=−2cos θ senθ+(1−2 senθ)cosθ
−2cos2θ−(1−2 senθ) senθ
Para que la pendiente sea horizontal m = 0, entonces:
−2cosθ senθ+(1−2 senθ ) cosθ=0
−4 senθ cos θ+cosθ=0
cosθ (¿−4 senθ+1)=0¿
cosθ=0θ=π2y32π
senθ=14θ≈0,08 π y0,92 π
Para que la pendiente sea vertical el denominador debe ser cero
−2cos2θ−(1−2 senθ ) senθ=0
−2cos2θ+2 se n2θ−senθ=0
4 se n2θ−senθ−2=0
Esta ecuación cuadrática no se puede factorizar y al aplicar la ecuación general de segundo grado se obtiene:
senθ=1+√338
y senθ=1−√338
Que le corresponden respectivamente las siguientes parejas de ángulos:
θ≈0,32π con 0,68π y 1,2π con1,8π
A continuación se muestra la gráfica con todas sus pendientes
Ejemplo 10.3.5
Esquematice la gráfica de la curva r=1+2cos 2θ
El dominio de la curva es −2π ≤θ≤2π
Los valores de θ donde r es nulo corresponden a 1+2cos2θ=0 luego cos2θ=−12
y
θ=23π y
13π
Los valores der donde la gráfica corta al eje y corresponde a θ=π2y32π entonces:
r=1+2cos 2 π2=−1 yr=1+2cos2 3
2π=−1
Los cortes con el eje y son entonces: (−1 , π2 ) y (−1 , 32 π)
x
y
Los valores de donde la gráfica corta al eje x corresponde a θ=0 y π
r=1+2cos 2 (0 )=3 y r=1+2cos (2 π )=3
Los cortes con los ejes x son entonces: (3 ,0 ) y (3 , π )
A continuación se muestra su gráfica:
10.4 AREA Y LONGITUDES DE ARCO EN POLARES
10.4.1 Área en coordenadas polares
Se calcula con las expresiones:
A=12∫θa
θb
[ f (θ ) ]2dθ parauna curva
A=12∫θa
θb
( [ f (θ)]2−[g (θ)]2 )dθentre doscurvas
x
y
Ejemplo 10.4.1.1
Hallar el área de la región que está limitada por la curva dada en el intervalo especificado
r=e−θ4 π2≤θ≤ π
A=12∫θa
θb
[ f (θ ) ]2dθ=12∫π2
π
e(−θ4 )
2
dθ=12∫π2
π
e(−12 θ )
dθ
A=−14
[ e−12θ ] ππ2=14
[e−12 ( π2 )
−e−12
(π ) ]=14
[e−π4 −e
π2 ]
Ejemplo 10.4.1.2
Hallar el área de la región que está sombreada
r=1+cosθ
El área a calcular es:
A=12∫0
π
[1+cos θ ]2dθ=12∫0
π
(1+2cosθ+cos2θ )dθ
A=12∫0
π
( 32+2cosθ+12cos2θ)dθ=12 ( 32 θ+2 senθ+ 14 sen2θ)π0
A=12 ( 32 π )=34 π
Ejemplo 10.4.1.3
Halle el área por dentro del lazo grande y por fuera del lazo pequeño de la curva r=12+cosθ
Por simetría el área es el doble de la sección comprendida entre la diferencia de áreas de
0hasta23π y
23π hasta π es decir:
A=2{12∫023π
[ 12+cos θ]2
dθ−1 /2∫23π
π
[ 12+cosθ]2
dθ}A={∫( 14 +cosθ+cos2θ)dθ}=∫( 34 +cos θ+
12cos2θ)dθ
A=34θ+senθ+ 1
4sen2θ
A=[ 12 π +sen( 23 π )+ 14 sen( 43 π )]−[ 34 π+0+0−12π−sen( 23 π )+ 14 sen( 43 π )]
A=12π+ 12π−3
4π+2 sen( 23 π )+12 sen ( 43 π)
A=14π+√3−1
4√3
A=14π+ 34
√3=14
(π+3 √3 )
10.4.2 longitud de arco
Se calcula con la expresión
L=∫θ1
θ2 √r2+( drdθ )2
dθ
Ejemplo 10.4.2.1
Halle la longitud exacta de la curva polar r=5θ en el intervalo 0≤θ≤2 π
drdθ
=5θ ln 5
( drdθ )2
=(5θ ln 5 )2=52θ ( ln 5 )2
L=∫0
2π
√52θ+52θ ( ln5 )2dθ
L=∫0
2π
5θ√1+ (ln 5 )2dθ
L=√1+( ln5 )2∫0
2π
5θdθ=√1+(ln 5 )2
ln 5{52 π−1 }
11.1 SUCESIONES
Una sucesión es una lista de números escrita en un orden definido. También se puede definir como una función cuyo dominio son los enteros positivos.
Una sucesión puede ser denotada como:
{an }=a1 ,a2 , a3 ,………,an
Siendo a1 el primer término de la sucesión cuando n = 1, {an } representa el termino enésimo que es la regla general que determina como se generan cada uno de los términos de la sucesión
Límite de una sucesión
Este se determina cuando n tiende a infinito. En el caso que el límite exista se dice que la sucesión es convergente de lo contrario la sucesión es divergente.
Límite de una sucesión de la forma {an }=r n
Es convergente si y solo si −1<r ≤1 de lo contario es divergente
Si es convergente el límite es 1 si r = 1 y es cero si -1 < r < 1
Ejemplo 11.1.1
Halle los cinco primeros términos de cada sucesión e indique si es o no convergente
a) {an }=3+5n2
n+n2
b) {bn }=3n−2
5n
c) {cn }=n2 e−n
Solución:
a) {an }=3+5n2
n+n2=4 , 23
6,4 ,8320
,6415
,
limn→∞
3+5n2
n+n2=¿limn→∞
3n2
+ 5n2
n2
n
n2+ n
2
n2
=51=5¿
La sucesión es convergente
b) {bn }=3n−2
5n= 115
,125
,3125
,9625
,27125
limn→∞
3n−2
5n=limn→∞
1
9∙( 35 )
n
=19limn→∞ ( 35 )
n
=19∙0=0
Note que ( 35 )n
es de la forma rn y35esta enel rango−1<r<1
La sucesión es convergente
c) {cn }=n2 e−n=1e,4
e2,9
e3,16
e4,25
e5
lim n→∞
n2 e−n=lim n→∞
n2
enaplicando L ´ Hopital se tiene
lim2n
enn→∞
=lim 2
enn→∞
= 2∞
=0
La sucesión es convergente
11.2 SERIES
Una serie corresponde con la suma de los términos de una sucesión y se denota como
Sn=∑i=1
n
{ai }=a1+a2+a3+…+an
1. Suma de la Serie geométrica de la forma ar n−1 Es convergente si |r|<1 y su suma es igual a:
∑n=1
∞
arn−1=¿ a1−r
¿
Es divergente si |r|≥1
2. La suma de la serie armónica 1n
es divergente
∑n=1
∞1n=1+ 1
2+ 13+¿noexiste
3. Prueba de divergencia:
Si el límite al infinito de una sucesión no existe o es diferente de cero, entonces la serie es divergente
4. Teorema
Si una serie es convergente entonces el límite al infinito de su sucesión tiende a cero
Este teorema no opera necesariamente a la inversa
Ejemplo 11.2.1
Halle la suma delos 10 primeros términos de la serie indicada, grafique en un mismo plano la sucesión y la serie e indique si las gráficas muestran convergencia o divergencia y averigua si es o no convergente.
∑n=1
∞12
(−5 )n
Tabla de valores de la sucesión y la serie
n {an }= 12
(−5 )n∑n=1
∞12
(−5 )n
1 -2,4 -2,42 0,48 -1,923 -0,096 -2,0164 0,0192 -1,99685 -0,00384 -2,000646 0,000768 -1,9998727 -0,0001536 -2,00002568 0,00003072 -1,999994889 -6,144E-06 -2,00000102
10 1,2288E-06 -1,9999998
A continuación se muestran ambos gráficos en un solo plano
Notándose que la sucesión tiende a cero cuando los valores de n son cada vez más grandes, esto quiere decir que al parecer es una sucesión convergente.
En cuanto a la serie se puede notar que la suma tiende al parecer a 2
0 2 4 6 8 10 12
-2.6-2.4-2.2
-2-1.8-1.6-1.4-1.2
-1-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
sucesión serie
Confirmación analítica:
Para la sucesión
limn→∞
12(−5 )n
=se rescribe como limn→∞
12(−15 )n
y como r=−15entonces
al pertenecer al intervalo−1<r<1 la sucesióntiende acero y converge
Para la sucesión
∑n=1
∞12
(−5 )nse rescribe como∑
n=1
∞
12(−15 )n
∙(−15 )
−1
(−15 )−1=∑
n=1
∞
(−125 )(−15 )n−1
La cual corresponde con una serie geométrica en la que r=−15
, a=−125
y|−15 |<1luego :Esconvergente y su sumaes
a1−r
∑n=1
∞
(−125 )(−15 )n−1
=
−125
1−(−15 )=
−125
1+15
=−2
Ejemplo 11.2.2
Halle la suma delos 10 primeros términos de la serie indicada, grafique en un mismo plano la sucesión y la serie e indique si las gráficas muestran convergencia o divergencia y averigua si es o no convergente.
∑n=1
∞
( 1√n− 1√n+1 )
Tabla de valores de la sucesión y la serie
n {an }=( 1√n− 1
√n+1 )∑n=1
∞
( 1√n− 1√n+1 )
1 0,29289322 0,292893222 0,12975651 0,422649733 0,07735027 0,54 0,0527864 0,55278645 0,03896531 0,591751716 0,03028382 0,622035537 0,02441108 0,646446618 0,02022006 0,666666679 0,01710557 0,68377223
10 0,01471642 0,69848866
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
sucesión serie
Como puede notarse la sucesión tiende a cero es decir al parecer converge y la suma de la serie parece también converger
Confirmación analítica:
Para la sucesión
limn→∞ ( 1√n− 1
√n+1 )= 1∞
− 1∞
=0−0=0
Para la serie
Al hallar la suma se tiene:
(1− 1
√2 )+( 1√2− 1
√3 )+( 1√3− 1
√4 )+( 1√4− 1
√5 )+…Se nota que solo quedará el primer término del primer paréntesis. Entonces la serie converge y su suma es 1.
Ejemplo 11.2.3
Determine si converge o no cada una de las siguientes series. En caso de convergencia halle la suma.
a¿2+0,5+0,125+0,03125+…
b¿∑n=1
∞
6 (0,9 )n−1
c ¿∑n=1
∞10n
(−9 )n−1
d ¿∑n=1
∞ (−3 )n−1
4n
Solución:
a) Esta es un serie geométrica que se puede escribir como:
2+ 12+ 18+ 132
+. . .La razón es 14y a=2
La suma es
∑n=1
∞
2 ( 14 )n−1
= a1−r
= 2
1−14
=83
b¿∑n=1
∞
6 (0,9 )n−1= 61−0,9
=60
c ¿∑n=1
∞10n
(−9 )n−1=∑
n=1
∞ (10 )n
(−9 )n (−9 )−1=∑
n=1
∞
(−9 )(−109 )n
∙(−109 )
−1
(−109 )−1
¿∑n=1
∞
(10 )(−109 )n−1
r=−109
pero r noesta en elintrevalo−1<r<1
Entonces la serie diverge
d ¿∑n=1
∞ (−3 )n−1
4n=¿∑
n=1
∞ (−3 )n (−3 )−1
4n=∑
n=1
∞
(−13 )(−34 )n
=∑n=1
∞
(−13 )(−34 )n
∙(−34 )
−1
(−34 )−1 ¿
∑n=1
∞
( 14 )(−34 )n−1
como|−34 |<1entonces la sumaes14
1−(−34 )=
14
1+34
=17
Ejemplo 11.2.4
Exprese la siguiente serie como una suma telescópica y determine si convergente o no. Si es convergente halle la suma.
∑n=1
∞3
n (n+3 )
Como se debe expresar como una suma telescópica se transforma en una suma de fracciones parciales con denominadores con factores simples no repetidos así:
∑n=1
∞3
n (n+3 )=∑
n=1
∞An
+ Bn+3
Los valores de A y B son respectivamente 1 y -1
∑n=1
∞1n− 1n+3
al desarrollar la suma setiene :
(1−14 )+( 12−15 )+( 13−16 )+( 14−17 )+( 15−18 )+( 16−19 )+( 17− 1
10 )+( 18− 111)+…
De la suma se nota que los elementos que quedan son:
∑n=1
∞1n− 1n+3
=1+ 12+ 13=116
Ejemplo 11.2.5
Exprese el número como una razón de enteros
7 ,12345
Se expresa el número como una suma de números racionales
7+ 12.345105
+12.3451010
+ 12.3451015
Al resolverlo todo se tiene:
7 ,12345=237.44633.333
NOTAS ADICIONALES REFERENTES A DERIVE
Para averiguar los valores de una sucesión se utiliza el comando ≔El cual es para asignación de vectores y matricesEjemplo: ingrese la siguiente sucesión dada y averigua los 8 primeros términos y la suma de estos.
an=3n2+5n2
Se digita así a(n)≔(3n^2 +5)/(n^2) Para ver los 8 términos se digita así vector(a(n),n,8) luego oprima el botón = Para saber la suma se digita así sum(vector(a(n),n,8))
Para descomponer una fracción en parciales, solo basta introducir la fracción original en el editor y oprimir el botón Simplificar (en la parte superior) aparece un submenú selecciones la opción Expandir e inmediatamente se abre una ventana y seleccione Racional y luego Expandir
Para dividir dos polinomios y hallar su cociente se utilizan las instrucciones quotient y remainder de la siguiente forma
Se introducen los polinomios a dividir y luego se dan las instrucciones Ejemplo
Hallar el cociente y el residuo de dividir x4−2x3+5 x+1entre x3+2 x
Se digita polinomio dividendo al cual le denomino pp≔x^4-2x^3+5x+1
Se digita el polinomio divisor al cual le denomino qq≔x^3+2x
Ahora se utilizan las instrucciones mencionadas
[quotient(p,q),remainder(p,q)] y se oprime el botón igual en la parte superior