Resolver equacoes: como e para que?(reflexoes e reminiscencias)
Marcelo Viana
Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada
Marcelo Viana Resolver equacoes: como e para que? (reflexoes e reminiscencias)
Resolver equacoes para que?
No mundo real:
Para resolver problemas concretos.
Para descobrir nova matematica.
Marcelo Viana Resolver equacoes: como e para que? (reflexoes e reminiscencias)
Resolver equacoes para que?
No mundo real:
Para resolver problemas concretos.
Para descobrir nova matematica.
Na sala de aula:
Para que mesmo?
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Resolver equacoes para que?
No mundo real:
Para resolver problemas concretos.
Para descobrir nova matematica.
Na sala de aula:
Para que mesmo?
Objetivo de formacao: capacitacao do aluno para abordarproblemas concretos.
Oportunidade didatica: caminho para a aprendizagem deconceitos matematicos.
Reminiscencia: Na escola, resolver equacoes era a maior diversao!
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Resolver equacoes como?
Por meio de formulas.
Por meio de algoritmos (numericos).
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Resolver equacoes como?
Por meio de formulas.
Por meio de algoritmos (numericos).
No mundo real: Praticamente todas as equacoes resultantes deproblemas concretos sao resolvidas por metodos numericos.
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Resolver equacoes como?
Por meio de formulas.
Por meio de algoritmos (numericos).
No mundo real: Praticamente todas as equacoes resultantes deproblemas concretos sao resolvidas por metodos numericos.
Na sala de aula: Formulas sao priorizadas. Metodos numericosestao praticamente ausentes.
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Resolver equacoes como?
Por meio de formulas.
Por meio de algoritmos (numericos).
No mundo real: Praticamente todas as equacoes resultantes deproblemas concretos sao resolvidas por metodos numericos.
Na sala de aula: Formulas sao priorizadas. Metodos numericosestao praticamente ausentes.
Analise crıtica:
Formulas sao mais exatas (pelo menos, e o que dizem).
Formulas sao mais faceis de usar (sem precisar pensar).
Algoritmos obrigam, em certa medida, a entender o assunto.
Algoritmos obrigam a entender outras coisas.
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Sistemas de equacoes lineares
Como se resolve um sistema de equacoes deste tipo?
a1x + b1y + c2z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3
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Sistemas de equacoes lineares
Como se resolve um sistema de equacoes deste tipo?
a1x + b1y + c2z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3
Na sala de aula: pela Regra de Cramer!
x =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
d1 b1 c1d2 b2 c2d3 b3 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
y = · · · z = · · ·
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Sistemas de equacoes lineares
Analise crıtica:
A Regra de Cramer e a pior maneira que existe para resolverum sistema de equacoes lineares (custo computacional).
Ela e importante do ponto de vista conceitual (teorico) comoum “aplicacao” do conceito de determinante.
Mas as razoes disso estao, geralmente, fora do escopo dadisciplina, mesmo na licenciatura.
Assim, o uso da Regra de Cramer em sala de aula tende a sermuito pobre do ponto de vista didatico.
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Equacao de grau 2
Como se resolve uma equacao deste tipo?
ax2 + bx + c = 0, a 6= 0
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Equacao de grau 2
Como se resolve uma equacao deste tipo?
ax2 + bx + c = 0, a 6= 0
Na sala de aula: usando a Formula Resolvente!
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a
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Equacao de grau 2
Analise crıtica:
A resposta esta certa: essa e a melhor maneira de resolveresta equacao.
A Formula Resolvente tem enorme importancia conceitual.
Ela pode ser bem explorada em sala de aula, por exemplo, naanalise do grafico da funcao f (x) = ax2 + bx + c .
Mas, na pratica, o seu uso em sala de aula tende a ser muitopobre.
Alem disso, ela e muito limitadora, uma vez que este tipo deabordagem so pode ser usado em situacoes muito particulares(equacoes polinomiais de graus 2, 3 ou 4).
Reminiscencia: No Ensino Medio, fiquei achando as equacoespolinomiais de grau 5 objetos extremamente misteriosos.
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Metodos alternativas
Para a maioria das equacoes (nao polinomiais), por exemplo,
cos x = x
nao e razoavel esperar que exista algo semelhante a FormulaResolvente da equacao de grau 2.
No entanto, tais equacoes podem ser muito faceis de resolver.
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A equacao cos x = x
cos
0.000000000
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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A equacao cos x = x
cos
1.000000000
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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A equacao cos x = x
cos
0.540302305
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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A equacao cos x = x
cos
0.857553215
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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A equacao cos x = x
cos
0.654289790
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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A equacao cos x = x
cos
0.793480358
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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A equacao cos x = x
cos
0.701368773
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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A equacao cos x = x
cos
0.763959682
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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A equacao cos x = x
cos
0.722102425
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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A equacao cos x = x
cos
0.750417761
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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A equacao cos x = x
cos
0.731404042
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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A equacao cos x = x
cos
0.744237354
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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A equacao cos x = x
cos
0.735604740
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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A equacao cos x = x
cos
0.741425086
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
Marcelo Viana Resolver equacoes: como e para que? (reflexoes e reminiscencias)
A equacao cos x = x
cos
0.737506890
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
Marcelo Viana Resolver equacoes: como e para que? (reflexoes e reminiscencias)
A equacao cos x = x
cos
0.740147335
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
Marcelo Viana Resolver equacoes: como e para que? (reflexoes e reminiscencias)
A equacao cos x = x
cos
0.738369204
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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A equacao cos x = x
cos
0.739567202
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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Resolvendo cos x = x
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Entendendo o metodo iterativo
Para desenvolver: Claro que nao basta verificar que este metodofunciona em alguns exemplos. E necessario compreender por quefunciona ou, melhor, em que condicoes funciona.
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Entendendo o metodo iterativo
Para desenvolver: Claro que nao basta verificar que este metodofunciona em alguns exemplos. E necessario compreender por quefunciona ou, melhor, em que condicoes funciona.
Teorema
Suponha que |f ′(ponto fixo)| < 1 (ou seja, que a inclinacao dografico de f e menor que 45o , para cima ou para baixo). Dizemosque se trata de um ponto fixo atrator. Entao a sequencia dositerados converge para o ponto fixo, desde que o valor inicial estejasuficientemente proximo.
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Entendendo o metodo iterativo
Para desenvolver: Claro que nao basta verificar que este metodofunciona em alguns exemplos. E necessario compreender por quefunciona ou, melhor, em que condicoes funciona.
Teorema
Suponha que |f ′(ponto fixo)| < 1 (ou seja, que a inclinacao dografico de f e menor que 45o , para cima ou para baixo). Dizemosque se trata de um ponto fixo atrator. Entao a sequencia dositerados converge para o ponto fixo, desde que o valor inicial estejasuficientemente proximo.
Este enunciado pode ser ”descoberto” experimentalmente(Geogebra etc)
O aluno pode ser conduzido a demonstrar o enunciado,usando fatos conhecidos sobre sequencias.
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Metodo iterativo de Newton
O metodo de Newton permite reduzir uma equacao geral
φ(x) = 0
a uma equacao de ponto fixo: consideramos a funcao
f (x) = x − φ(x)
φ′(x)
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Metodo iterativo de Newton
O metodo de Newton permite reduzir uma equacao geral
φ(x) = 0
a uma equacao de ponto fixo: consideramos a funcao
f (x) = x − φ(x)
φ′(x)
Exemplo: No caso da equacao cos x − x = 0 encontramos a funcao
f (x) = x +cos x − x
sen x + 1
Podemos (re)encontrar a solucao da equacao φ(x) = 0 iterando atransformacao f .
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A equacao cos x = x
f
0.000000000
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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A equacao cos x = x
f
1.000000000
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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A equacao cos x = x
f
0.290666173
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
Marcelo Viana Resolver equacoes: como e para que? (reflexoes e reminiscencias)
A equacao cos x = x
f
0.809391429
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
Marcelo Viana Resolver equacoes: como e para que? (reflexoes e reminiscencias)
A equacao cos x = x
f
0.740098198
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
Marcelo Viana Resolver equacoes: como e para que? (reflexoes e reminiscencias)
A equacao cos x = x
f
0.739085359
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
Marcelo Viana Resolver equacoes: como e para que? (reflexoes e reminiscencias)
A equacao cos x = x
f
0.739085133
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. ±
÷
×
−
+
=
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Metodo iterativo de Newton
Para desenvolver: Porque o metodo de Newton funciona taorapidamente?
Teorema
Qualquer solucao da equacao φ(x) = 0 e um ponto fixo superatrator da transformacao f (x).
Neste caso f ′(ponto fixo) = 0, ou seja o grafico de f e horizontalno ponto fixo. Isto tem a grande vantagem de fazer com que aconvergencia seja muito rapida.
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Metodo para resolver qualquer equacao polinomial
Ideia: a partir de um polinomiop0(x) = xn + a1x
n−1 + · · ·+ a1x + a0 com raızes x1, . . . , xnconstruımos outro polinomiop1(y) = yn+ b1y
n−1+ · · ·+ bn−1y + bn cujas raızes sao x21 , . . . , x2n .
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Metodo para resolver qualquer equacao polinomial
Ideia: a partir de um polinomiop0(x) = xn + a1x
n−1 + · · ·+ a1x + a0 com raızes x1, . . . , xnconstruımos outro polinomiop1(y) = yn+ b1y
n−1+ · · ·+ bn−1y + bn cujas raızes sao x21 , . . . , x2n .
Tal polinomio esta dado por
p1(x2) = (−1)np0(x)p0(−x)
ou, em termos dos coeficientes,
bk = (−1)ka2k + 2
k−1∑
j=0
(−1)jaja2kj .
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Metodo para resolver qualquer equacao polinomial
Iterando este procedimento, obtemos
p0(x) com raızes x1, . . . , xn
p1(x) com raızes x21 , . . . , x2n
p2(x) com raızes x41 , . . . , x4n
· · · · · ·pm(x) com raızes x2
m
1 , . . . , x2m
n
· · · · · ·
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Metodo para resolver qualquer equacao polinomial
Iterando este procedimento, obtemos
p0(x) com raızes x1, . . . , xn
p1(x) com raızes x21 , . . . , x2n
p2(x) com raızes x41 , . . . , x4n
· · · · · ·pm(x) com raızes x2
m
1 , . . . , x2m
n
· · · · · ·
Suponha que as raızes sao reais e distintas: x1 > · · · > xn. Entao,escrevendo pm(x) = xn + am,1x
n−1 + · · ·+ am,n−1x + am,n,
am,1 = x2m
1 + · · ·+ x2m
n ≈ x2m
1 .
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Metodo para resolver qualquer equacao polinomial
Iterando este procedimento, obtemos
p0(x) com raızes x1, . . . , xn
p1(x) com raızes x21 , . . . , x2n
p2(x) com raızes x41 , . . . , x4n
· · · · · ·pm(x) com raızes x2
m
1 , . . . , x2m
n
· · · · · ·
Suponha que as raızes sao reais e distintas: x1 > · · · > xn. Entao,escrevendo pm(x) = xn + am,1x
n−1 + · · ·+ am,n−1x + am,n,
am,1 = x2m
1 + · · ·+ x2m
n ≈ x2m
1 .
Desta forma podemos obter aproximacoes tao boas quanto sequeira da maior raız de p0(x).
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Metodo para resolver qualquer equacao polinomial
E possıvel estender esta ideia para calcular todas as raızes etambem para tratar os casos em que existem raızes multiplas e/ouraızes complexas.
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Metodo para resolver qualquer equacao polinomial
E possıvel estender esta ideia para calcular todas as raızes etambem para tratar os casos em que existem raızes multiplas e/ouraızes complexas.
Reminiscencia: Tomei conhecimento deste metodo (chamado deDandelin-Graeffe) nos textos do Prof. Jose Sebastiao e Silva parao Ensino Medio (Portugal). Ele me fez sentir muito poderoso!
Marcelo Viana Resolver equacoes: como e para que? (reflexoes e reminiscencias)
Obrigado!
Boa viagem, ate o proximo Simposio!
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