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Formação Continuada - Matemática
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E
OPERAÇÕES
Professores - 5º ano
11/09/2015Coordenadora Pedagógica: Adriana da Silva Santi
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Defasagens ou “dificuldades” em quais
conteúdos você acha que determinam a
indicação dos estudantes para o Projeto
de Alfabetização?
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Na prateleira de uma biblioteca
encontram-se três volumes de uma
coleção. Cada um deles tem cinco
centímetros de espessura. Uma traça, que
sempre procura os caminhos mais curtos,
está na primeiras páginas do volume 1.
Que distância ela percorrerá até atingir as
últimas páginas do volume 3?
Leia e resolva com seu grupo
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Na perspectiva do ensino de
Matemática pela
compreensão...
o trabalho com as operações deve estar
imerso desde o primeiro momento, em
situações-problema.
Pressuposto a necessidade de que
haja um entendimento sobre os usos das
operações em diferentes contextos e
práticas sociais.
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Aprender sobre adição, subtração,
multiplicação e divisão requer aprender
muito mais do que procedimentos de
cálculo.
Espera-se que os alunos compreendam o
que fazem e construam os conceitos
envolvidos nessas operações.
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Se os alunos estiverem repetindo
procedimentos, ou executando o que
lhes for dito para fazer, não estarão
desenvolvendo estratégias de
resolução. O problema estará se
convertendo em exercício de repetição
ou em execução algorítmica
atividade matemática em
si pode ocorrer; o que pode não
acontecer é a compreensão conceitual
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OPERAÇÕES
Construção de conceitos
Cálculos
Modos de representação
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A: Moravam seis pessoas.
P: E o rabo?
A: Aqui olha, o rabo de cavalo
da filha da vovó.Quatro pessoas e um cachorro.
O vovô, o neto,
o gato e um
rato sem rabo,
porque o gato
comeu.
Vovô disse que cresceu numa casa onde havia 12pés e um rabo. Quem poderia ter vivido com vovô?
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Uma perua escolar precisa levar 17 crianças para
casa. As crianças estão com pressa de ir embora,
mas a perua só pode levar 3 crianças dessa escola
de cada vez. Quantas viagens a perua terá de fazer
para transportar todas as crianças?
17 32 5 ?
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Operações
- Idéias das operações
com números naturais:
adição (aditiva),
subtração (subtrativa,
comparativa e aditiva),
multiplicação (aditiva,
combinatória, de
proporcionalidade, de
configuração retangular) e
divisão (repartitiva e
subtrativa).
- Cálculos: mental e
escrito, aproximado e
exato.
Frente de trabalho
conceitual: relativa aos
conceitos.
Frente de trabalho
procedimental: diz
respeito a técnicas e
estratégias de cálculo,
mental ou escrito,
assim como a usos de
instrumentos e
materiais manipuláveis
como palitos, material
dourado e ábaco.
PROPOSTA CURRICULAR MUNICIPAL
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A Resolução de Problemas é uma
abordagem metodológica que
contribui significativamente para que
a atividade matemática seja
desenvolvida de modo a valorizar a
compreensão conceitual inerente aos
procedimentos de cálculos
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desencadeia a atividade matemática
“possibilita que as crianças estabeleçam
diferentes tipos de relações entre objetos,
ações e eventos a partir do modo de pensar
de cada uma, momento em que
estabelecem lógicas próprias que devem
ser valorizadas pelos professores. A partir
delas, os alunos podem significar os
procedimentos da resolução e construir ou
consolidar conceitos matemáticos
pertinentes às soluções.”
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
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RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
seleção de contexto
aproximação com o universo de
experiências vividas pelos
estudantes
determinam o grau de
envolvimento deles com as
questões que lhes forem
propostas
e
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JOGO BATALHA DOS VALORES (cédulas do real)
coletivo
Material: papel quadriculado e lápis (para cada equipe).
Participantes: 2 equipes.
Modo de jogar: um representante de cada equipe copia
a tabela abaixo em uma folha de papel.
A B C D E F
1
2
3
4
5
6
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- Cada equipe deve preencher sua tabela com os
valores das cédulas de 2 a 100 reais (2, 5, 10, 20, 50,
100), repetindo 6 vezes cada valor. Cada uma espalha
seus valores onde quiser.
- Uma equipe não pode ver a tabela da outra, desde o
preenchimento até o final do jogo.
- Quando as tabelas estiverem preenchidas, as equipes
devem decidir quem será a primeira a jogar.
- Neste jogo, uma equipe ganha os pontos da cartela
da outra. Para isso, cada uma deve escolher as
coordenadas que deseja na tabela da outra.
- Uma coordenada é formada por uma letra (que indica
a coluna) e um número (que indica a linha).
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- Um jogador de cada equipe, por vez, alternadamente,
pede uma coordenada e o outro da outra equipe localiza
em sua tabela o número escrito nessa coordenada e
informa-o ao colega, que registra quantos pontos sua
equipe ganhou.
5
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- As equipes precisam estar atentas pois não vale pedir
duas vezes uma mesma coordenada.
- Cada equipe pode fazer uma tabela para registrar os
seus pontos, com a quantidade de linhas suficiente para
registrar todas as jogadas.
- Ao término do jogo cada equipe calcula seus pontos e
os pontos da outra equipe para ver quem fez mais
pontos. Vence quem tiver mais pontos.
COORDENADA
PEDIDA
PONTOS
OBTIDOS
D4 2
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Com seu grupo elabore um problema a
partir do Jogo Batalha dos Valores, que
contemple a ideia....................da
operação de........................
Registre-o na transparência e apresente
para a turma
- aditiva (adição);- subtrativa (subtração), comparativa (subtração), aditiva (subtração); - aditiva (multiplicação), proporcionalidade (multiplicação); - subtrativa (divisão), repartitiva (divisão).
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Leitura do texto: Procedimentos pessoais
de cálculo e os algoritmos convencionais
Ana Ruth Starepravo
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Com sua equipe faça uma síntese das
ideias do recorte do texto na forma de
esquema, tópicos ou de outro modo e
apresente em transparência para a turma.
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Calcule, sem usar o algoritmo tradicional, e
registre como você pensou.
72 + 14 = 64 + 18 =
4 X 12 = 12 X 14 =
100 - 7 = 93 - 12 =
42 ÷ 2 = 448 ÷ 4 =
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Cálculos que colocam em ação diferentes
relações entre os números, permitem
“raciocinar” sobre o que está sendo feito, ao
contrário de utilizarem algoritmos de forma
mecânica.
Parra (1996) propôs um trabalho com o que
denominou cálculos “pensados” ou
“refletidos”, ou seja, procedimentos mentais ou
escritos selecionados em função dos números e
da operação envolvida num problema, não
automatizados e diferentes dos algoritmos
tradicionais, mas apoiados nas propriedades do
sistema de numeração decimal e nas
propriedades das operações.
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Quais são as propriedades das
operações?
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COMUTATIVA: a adição e a multiplicação possuem a
propriedade comutativa, pois o resultado das operações
é o mesmo, independentemente da ordem das parcelas
ou dos fatores. Podemos dizer que:
- Na adição a ordem das parcelas não altera a soma:
6 + 3 = 9 ou 3 + 6 = 9
- Na multiplicação a ordem dos fatores não altera o
produto:
6 x 3 = 18 ou 3 x 6 = 18
A subtração e a divisão não usufruem da propriedade
comutativa, pois, se mudarmos a ordem de seus
termos, o resultado será completamente diferente.
Subtração: 5 - 3 = 2 3 - 5 = - 2
Divisão: 15 : 3 = 5 3 : 15 = 0,2
AS PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES
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Mafalda no jardim-de-infância
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Livro Didático Porta Aberta (FTD) - 5º ano, p. 83
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ASSOCIATIVA: as operações de adição e multiplicação possuem a
propriedade associativa. Numa adição de três ou mais parcelas, pode-
se associar as parcelas de modos diferentes sem alterar a soma. Do
mesmo modo numa multiplicação pode-se associar de vários modos os
fatores sem alterar o produto.
- Na adição: 132 + (84 + 99)= 132 + 183 = 315 ou
(132 + 84) + 99 = 216 + 99 = 315
- Na multiplicação: 3 X 4 X 2 = (3 X 4) X 2 = 12 X 2 = 24 ou
3 X (4 X 2) = 3 X 8 = 24
A subtração e divisão não usufruem da propriedade associativa, pois
os termos nem sempre podem ser associados de forma diferente.
Subtração: 20 – 7 – 3 = (20 – 7) – 3 = 10
20 – (7 – 3) = 16
Divisão: 40 : 10 : 2 = (40 : 10) : 2 = 2
40 : (10 : 2) = 8
AS PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES
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DISTRIBUTIVA: para multiplicar um número por uma soma
indicada, pode-se multiplicá-lo pelos termos da adição e
adicionar os produtos obtidos (propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição).
3 x 5 = 15 3 X (2 + 3) = 6 + 9 =15
1 2 10 + 2
x 3 x 3
3 6 30 + 6
Para multiplicar um número por uma subtração indicada,
pode-se multiplicá-lo pelos termos da subtração e subtrair os
produtos obtidos (propriedade distributiva da multiplicação
em relação à subtração).
5 x 4 = 20 5 x (8 – 4) = 5 x 8 – 5 x 4 = 40 - 20 = 20
ou
5 x (8 – 4) = 5 x 4 = 20
AS PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES
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Livro Didático Porta Aberta (FTD) - 5º ano, p. 85
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Livro Didático Porta Aberta (FTD) - 5º ano, p. 85
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O número ZERO e as operações
Muitos “dizem que o zero não vale nada. Isso não é
bem verdade. Os números 20, 200, 2000 indicam
quantidades diferentes, e o zero comparece para indicar
os agrupamentos de dez, contidos nessas quantidades.”
(CENTURIÓN, 1994, p.111)
Na linguagem matemática, o zero é denominado
elemento neutro da adição, pois ele não modifica o
valor da parcela ao qual foi adicionado.
4 + 0 = 4 ou 0 + 4 = 4
Na multiplicação o zero anula o fator com o qual é
multiplicado.
3 x 0 = 0 ou 0 x 3 = 0
AS PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES
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O número UM e a operação de multiplicação
Em uma multiplicação com dois fatores, se
um dos fatores é 1, o produto é igual ao outro
fator.
13 X 1 = 13 1 X 13 = 13
247 X 1 = 247 1 X 247 = 247
Podemos dizer então, que o número 1 é o
elemento neutro da multiplicação
AS PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES
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72 + 14 = 64 + 18 = 72 + 10 + 4 = 64 + 20 =82 + 4 = 86 84 – 2= 82
100 – 7 = 93 – 12 =99 + 1 – 7 = 90 + 3 – 10 + 2=99 – 7 = 92 90 – 10 = 8092 + 1 = 93 3 – 2 = 1
80 + 1 = 81
Cálculos utilizando estratégias baseadas:
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4 X 12 = 4 X (10 + 2) =4 X 10 + 4 X 2 =40 + 8 = 48
12 X 14 = 10 X 10 + 10 X 4 + 2 X 10 + 2 X 4=100 + 40 + 20 + 8 =
140 + 28 = 148
42 ÷ 2 = 448 ÷ 4 = 40 ÷ 2 = 20 400 ÷ 4 = 1002 ÷ 2 = 1 + 40 ÷ 4 = 10 +
21 8 ÷ 4 = 2112
Cálculos utilizando estratégias baseadas:
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Cálculos realizados por decomposição de númerosestão apoiados na compreensão do princípio aditivodo sistema de numeração decimal
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Estratégias como essas não surgem
do nada, precisam ser trabalhadas
em sala de aula
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Video: Resolução de Problemas
Destaque 3 aspectos relevantes do
vídeo e registre-os.
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Algoritmos tradicionais (formais)
modos de representar os processos operativos
pautados nas propriedades do SND
“permite realizar cálculos de uma maneira ágil e sintética
principalmente quando envolve números altos.
Possibilita, também, ampliar a compreensão sobre o
Sistema de Numeração Decimal (SND).” p. 59
É uma das maneiras de se “fazer contas”, não é a única
e nem a melhor.
É importante que a criança tenha se apropriado das
características do SND para que compreenda os
processos sequenciais dos algoritmos.
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BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Pacto
Nacional pela Alfabetização na Idade Certa.Operações na Resolução de
Problemas. Caderno 4. Brasília: MEC, SEB, 2014.
PIRAQUARA. Secretaria Municipal de Educação. Caderno de
Subsídios- Sistema de Numeração Decimal e Operações
Fundamentais. Piraquara, 2008.
STAREPRAVO, Ana Ruth. Matemática: fazer e aprender, 3º ano. Curitiba:
Aymará, 2008, p. 130-132.
STAREPRAVO, Ana Ruth. Procedimentos pessoais de cálculo e os
algoritmos convencionais. IN: Jogando com a matemática: números e
operações. Curitiba: Aymará, 2009, p. 51-64.
Vídeo TV Escola Matemática: Resolução de Problema