Download - Resolução de problemas 4
em Matemtica em Rede Nacional
Mestrado Profissional
Iniciao Matemtica
Autores: Krerley Oliveira Adn J. Corcho
Unidade IV: Captulos VII e VIII
7Desigualdades
Neste captulo estudaremos algumas desigualdades clssicas que so usadas frequentemente na resoluo de problemas matemticos, sendo estas aplicadas em contextos que variam desde o nvel mais simples at o mais complexo. Uma vez que uma inequao em uma ou mais variveis resolvida, o resultado d lugar a uma desigualdade que vlida para um certo conjunto de valores. Alguns exemplos simples de desigualdades so os seguintes: (a) (b) (c) (d)
x |x|, x2 < x,
para qualquer se
1 < x < 1;
x < 1;para quaisquer
(x y)2 0,x y
x
e
y
reais;
+
y x
2,
para quaisquer
x, y > 0.233
234
7
Desigualdades
7.1
Desigualdade Triangular
A desigualdade triangular arma o seguinte
comprimento de um dos lados sempre inferior soma dos comprimentos dos outros dois lados, ou seja,AB < AC + CB, AC < AB + BC
Teorema 7.1 (Desigualdade Triangular). Dado um tringulo ABC o
e BC < BA + AC.
C
AFigura 7.1:
B
Desigualdade Triangular
Em outras palavras, a desigualdade triangular a formulao matemtica da ideia intuitiva de que o caminho reto mais curto entre os pontos A e B. Em analogia com a geometria plana temos uma verso da desigualdade triangular para nmeros reais, que provamos a seguir.
Proposio 7.2. Sejam a e b nmeros reais quaisquer, ento|a + b| |a| + |b|.
Demonstrao.contrrio, se
a + b 0, ento |a + b| = a + b |a| + |b|. a + b < 0, ento |a + b| = a b |a| + |b|.Se
Caso
7.1
Desigualdade Triangular
235
Corolrio 7.3. As seguintes desigualdades valem|a b| |a| + |b|(7.1) (7.2) (7.3)
|a b| |a| |b|,
|a b| |a| |b|
Demonstrao.
Para a primeira, escrevemos
|a| + | b| = |a| + |b|. A segunda |b + (a b)| |b| + |a b|. A ltima desigualdade segunda, trocando os papis de a e b. D
|a b| = |a + (b)| desigualdade decorre de |a| = consequncia da
C A O P BFigura 7.2:
Problema da central de energia
Exemplo 7.4. Quatro cidades rurais, A, B , C e D, esto situadas
geogracamente formando um quadriltero convexo. Deseja-se construir uma central de distribuio de energia para as quatro cidades de modo que a soma total das distncias da central a cada uma das quatro cidades seja a mnima possvel. Onde dever ser construda a central? Soluo.Mostraremos que a central de energia dever ser colocada
no ponto
O
de interseco das diagonais do polgono
ABCD.
Com
236
7
Desigualdades
efeito, considerando um ponto
P,
diferente de
O,
(veja Figura 7.2) a
desigualdade triangular nos garante que
OA + OC = AC < P A + P Ce
OB + OD = BP < P B + P D,de onde se segue que
OA + OC + OB + OD < P A + P C + P B + P D,como espervamos.
separadas a uma distncia d. As torres so amarradas por uma corda AP B que vai do topo A da primeira torre para um ponto P no cho, entre as torres, e ento at o topo B da segunda torre, como na Figura 7.3. Qual a posio do ponto P que nos d o comprimento mnimo da corda a ser utilizada?A B
Exemplo 7.5. Duas torres de alturas h1 e h2 , respectivamente, esto
PFigura 7.3:
Problema das Torres
7.1
Desigualdade Triangular
237
Soluo.
Imaginemos que a superfcie do cho um espelho e que re-
etimos o ponto atravs deste, obtendo assim o ponto a Figura 7.4.
B
como mostra
A B
C P
P
D
BFigura 7.4:
Soluo geomtrica do problema das torresABque intercepta o cho no ponto
Consideremos o segmento
P
e para nossa surpresa vericaremos que este o ponto que nos d o comprimento mnimo das cordas. Com efeito, suponhamos que existe outro
P
situado entre as torres que nos d um comprimento menor
para a corda, ento da Figura 7.4 fcil ver que os tringulos e
B PD
so congruentes, assim como os tringulos
BP D
e
BP D BP D
tambm so congruentes. Logo, as seguintes igualdades seguem diretamente das congruncias:
BP = B P
e
BP = B P . AB Pe as igual-
Agora, usando a desigualdade triangular no tringulo dades acima, temos que
AP + P B = AP + P B AB = AP + P B = AP + P B,
238
7
Desigualdades
chegando assim concluso de que mento mnimo desejado.
AP + P B P
nos oferece o compri-
Agora calcularemos a que distncia est que
da base
D.
Lembremos
AC = h1 , BD = h2tang(
e
CD = d
e observamos que
BP D) =
Da tem-se
PD =
dh2 . h1 + h2
h1 h2 = . PD d PD
7.2
Desigualdade das Mdias
As quantidades
Denio 7.6. Sejam a1 , a2 , . . . , an1 e an nmeros reais positivos.mh (a1 , a2 , . . . , an ) = n , 1/a1 + 1/a2 + + 1/an n a1 a2 an ,(7.4)
mg (a1 , a2 , . . . , an ) =
(7.5)
ma (a1 , a2 , . . . , an ) =
a1 + a2 + + an , n a2 + a2 + + a2 1 2 n n
(7.6)
mq (a1 , a2 , . . . , an ) =
(7.7)
so chamadas, respectivamente, de mdia harmnica, mdia geomtrica, mdia aritmtica e mdia quadrtica dos nmeros ai , i = 1, 2, . . . , n.A seguir provaremos alguns resultados que estabelecem relaes de desigualdades entre as mdias denidas acima.
7.2
Desigualdade das Mdias
239
Proposio 7.7 (Desigualdade das Mdias Aritmtica e Quadrtica).Dados a1 , a2 , . . . , an nmeros reais positivos tem-sea1 + a2 + + an n a2 + a2 + + a2 2 1 n , n
ou seja, ma (a1 , a2 , . . . , an ) mq (a1 , a2 , . . . , an ). Alm disso, a igualdade vale se, e somente se, a1 = a2 = = an . Demonstrao.Usando a igualdade
n
1i